高中数学北师大选修4-4课件：121极坐标系的概念
选修4-4极坐标系课件
我们先看下面的问题. 2
如何确定以下两船 的位置关系呢？
（1）距离：5 海里 （2）方向：东偏北20º.
SOS!!!
拯救船o
30º
x
2021/5/23
3
从这向北 2000米。
请问：去阳江一中 中学怎么走？
2021/5/23
4
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
X
极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边 相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式： 4 ，2 k π +
π 4
2021/5/23
14
练习：探索点M（3，/4）的所有极坐标
3， 2k
4
M
O
P x
2021/5/23
15
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
2021/5/23
θ
o·
x
6
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用
表示线段OM的长度，用 表
示从OX到OM 的角度， 叫
M
做点M的极径， 叫做点M的
极角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的 距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为
F (4, )
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9
2
4
5
6
C
E
F
A O
B X
4
D
G 5
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3
3 10
题组3.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆, 实验楼,办公楼的位置.建立适当的极坐标系,写出各点 的极坐标.
北师大版高中数学选修4-4课件高二理科同步课件：1.2.1极坐标系的概念随堂验收(共14张PPT)
4
6.点M(1,θ)(θ∈[0,π])的轨迹是( ) A.射线 B.直线 C.圆 D.半圆 答案:D 解析:由于M(1,θ)满足ρ=|OM|=1,θ∈[0,π],故点M的轨迹是以
极点为圆心,半径为1的圆的上半部分,即半圆.
7.将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转
6
得到射线OP,若在OP
上取点M,使|OM|=4,则ρ>0,θ∈[0,2π]时点M的极坐标为
(4,11 )
_____6___.
解析:ρ=|OM|=4,与OP终边相同的角为2kπk=1,θ= 161π,∴M(4,π)1.61
6
,k∈Z,令
8.点
M
(6,
5 6
)
到极轴所在直线的距离为_____3___.
5
解析:依题意,点M(6,
π=3.
5
π6)到极轴所在直线的距离为d=6×sin
6
D.(3, )
答案:A
解析:如图所示,
COx 3 ,| OC || OA | tan 2 3.
24 4
3
5.点M(ρ, ) (ρ≥0)的轨迹是( )
4 A.点 B.射线 C.直线 D.圆
答案:B
解析轨:迹由是于极动角点为M的(ρ,终边)4的,是极一角条θ射=,线ρ取,故一4选切B2, )
3
C.(2, 4 )
3
B.(2, 2 )
3
D.(2, 5 )
3
答案:D
解析:如图所示,
设点 P(2, 3关) 于极轴的对称点为P′,易得P′点的极坐标为 (2, 5 ).
3
3.下列点与极点O, M(2, 5 )三点共线的是
1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化PPT课件(北师大版选修4-4)
课 堂 互 动 探 究
π π y＝ρsin θ＝4sin(－12)＝－4sin12＝ 2－ 6. π ∴点的极坐标(4， － )化为直角坐标为( 12 6)．
菜 单
课 时 作 业
2＋ 6， 2－
BS ·数学 选修4-4
课 时 作 业
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的 象限取最小正角．
菜 单
BS ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
1．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什 么？ 【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是
联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若
BS ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
2.2
点的极坐标与直角坐标的互化
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
1.了解极坐标系与直角坐标系的联系． 2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的 课标解读 位置的区别． 3.能进行极坐标和直角坐标的互化.
课 时 作 业
菜
单
BS ·数学 选修4-4
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
2π ∴点的极坐标(4， 3 )化为直角坐标为(－2,2 3)．
课 时 作 业
菜
单
BS ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
π (4)∵cos ＝ 12 π sin12＝
π 1＋cos6 ＝ 2 π 1－cos6 2 ＝
3 1＋ 2 6＋ 2 ＝ ， 2 4 3 1－ 2 6－ 2 2 ＝ 4 ，
课 时 作 业
点的极坐标(ρ，θ)―→x＝ρcos θ，y＝ρsin θ ―→点的直角坐标(x，y)
2018版数学课堂讲义北师大版选修4-4讲义：第一讲 坐标
§2 极坐标系 2.1 极坐标系的概念2.2 点的极坐标与直角坐标的互化1.极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：如图在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系. (2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ). 当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值. 2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位. (2)互化公式：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）. 【思维导图】【知能要点】 1.极坐标系的四要素. 2.点的极坐标的写法. 3.极坐标和直角坐标的互化.题型一 极坐标系的概念与点的极坐标1.极坐标系的概念极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③单位长度；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置. 2.点的极坐标每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置.其中，ρ是点M 的极径，θ是点M 的极角.平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标.根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋2k π) (k ∈Z )，另一类为(－ρ，θ＋2k π＋π) (k ∈Z ).在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时，就与极点重合，此时θ不确定.给定点的极坐标(ρ，θ)，就唯一地确定了平面上的一个点.但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式.由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系.这是极坐标与直角坐标的不同之处.如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系. 【例1】 写出图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π).解 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E (9，0)，F (3，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π2. 【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了.(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.1.写出下列各点的极坐标.解 A (4，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，1312π，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，53π.【例2】 在极坐标系中，作出下列各点：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B (6，－120°)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π4，E (4，0)，F (2.5，180°). 解 各点描点如图所示.【反思感悟】 知道点的极坐标(ρ，θ)，我们可以先根据极角θ确定方向(射线)，然后根据ρ来确定距离，进而描出(ρ，θ)的对应点.2.在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3所在的位置.解 由图可得点A ，B ，C 的极坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π4.点D ，E ，F 的位置如上图所示.【例3】 在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标可能是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4C.(23，π)D.(3，π)解析 如图所示，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点.又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，|OC |＝23，∠AOC ＝π2，C对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝π4－π2＝－π4，即C 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4.答案 B【反思感悟】 在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的方法是一致的，数形结合.3.点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6解析 当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找.描点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边.又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2，就是由极角为π2的那些点的集合.故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选择支没有这样的坐标.又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.答案 B题型二 两点间的距离公式一般地，设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，由余弦定理可得到两点间的距离公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.【例4】 已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积.解 求两点间的距离可用如下公式： |AB |＝4＋16－2×2×4×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝12×2×4＝4.【反思感悟】 求两点间距离可以直接套用公式，求三角形面积时可以结合公式S ＝12·ab sin θ考虑.4.若△ABC 的三个顶点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，判定△ABC 的形状.解 AB ＝25＋64－2×8×5cos 5π3＝49＝7，BC ＝9＋64－2×8×3×cos π3＝7， AC ＝25＋9－2·3·5cos 4π3＝7，∴△ABC 为等边三角形.题型三 极坐标与直角坐标的互化我们把极轴与平面直角坐标系xOy 的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，设P (x ，y )是平面上的任一点，如图所示，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.① 从①可得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0） ② ①与②是平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)之间的换算公式.【例5】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点N 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标. 解 (1)x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sin π6＝－52. ∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－523，－52.(2)ρ＝（－3）2＋（－1）2＝2，tan θ＝－1－3＝33.又∵点N 在第三象限，ρ>0.∴最小正角θ＝76π. 故点N 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76π.【反思感悟】 把极坐标化成直角坐标，直接代入公式即可；把直角坐标化为极坐标，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)，一般只要取θ∈[0，2π)，ρ>0即可.5.若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. (1)已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标.(ρ＞0，0≤θ＜2π)解 (1)x ＝4cos 5π3＝2，y ＝4sin 5π3＝－2 3. ∴直角坐标为(2，－23).(2)ρ1＝4＋4＝22，sin θ1＝－222＝－22，cos θ1＝222＝22，∴θ1＝7π4，∴(2，－2)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，ρ2＝15，sin θ2＝－1，cos θ2＝0，∴θ2＝3π2，∴(0，－15)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，3π21.在极轴上与点⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点的坐标是________. 解析 设所求点的坐标为(ρ，0)，则 ρ2＋（42）2－2×42ρcos π4＝5.即ρ2－8ρ＋7＝0，解得ρ＝1或ρ＝7.∴所求点的坐标为(1，0)或(7，0). 答案 (1，0)或(7，0)2.在直角坐标系中，已知点A (－3，33)，B (33，3). 将A 、B 两点的直角坐标化为极坐标.解 直接根据互化公式，可得A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23π，B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π6.3.某大学校园的部分平面示意图如图所示.用点O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 分别表示校门，器材室，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0))解 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示.由|OB |＝600 m ，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝90°，得|AB |＝300 m ，|OA |＝3003m ，同样求得|OD |＝2|OF |＝3002，所以各点的极坐标分别为O (0，0)，A (3003，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，E (300，π)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1502，3π4. 4.已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标. (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点.解 (1)由于P 、Q 关于极点对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z ).所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z ). (2)由P 、Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z )，所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z ).[P 10练习]在极坐标中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)有什么关系？答 关于极轴对称.设M 点坐标为(ρ，θ)，为直观，以极点为原点，以x 轴的正方向与极轴建立直角坐标系，不难看出与M 点关于y 轴对称的点M 1的坐标为(ρ，π－θ)M 1关于极点对称的点M 2的坐标为(－ρ，π－θ) 则M 2与M 关于极轴对称，如图所示. 【规律方法总结】1.建立极坐标系可以确定点的位置和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面内的点和极坐标一一对应.2.利用极坐标可以刻画点的位置，有时比直角坐标方便，在台风预报、测量、航空、航海中主要采用这种方法.3.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并且取相同的长度单位，平面内一点的直角坐标和极坐标可以进行互化.一、选择题1.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式. 答案 B2.已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于( )A.32＋62B.32－62C.36＋322D.36－322解析 极坐标系中两点A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)的距离|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.答案 C3.在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( ) A.M 和N B.M 和G C.M 和HD.N 和H解析 把极坐标写成最简形式M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，0，故M 、N 是相互重合的点. 答案 A4.在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3，则线段AB 中点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π3 解析 由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3知，∠AOB ＝π2，于是△AOB 为等腰直角三角形，所以|AB |＝22×2＝1， 设线段AB 的中点为C ，则|OC |＝12，极径OC 与极轴所成的角为5π12， 所以线段AB 中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12.答案 A5.一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P 1(－5，109°)，P 2(4，49°)，则这个三角形P 1OP 2的面积为( ) A.5 3B.10 3C.52 3D.10解析 点P 1的坐标可写为(5，－71°)，则∠P 1OP 2＝120°，S △P 1OP 2＝12×4×5sin 120°＝5 3.答案 A二、填空题6.在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________. 解析 利用极坐标系中两点间距离公式.答案 57.在极坐标系中，点P (ρ，θ)与Q (－ρ，π－θ)的位置关系是________.解析 Q 的极坐标可写成(ρ，－θ)，故与P (ρ，θ)关于极轴对称.答案 关于极轴对称8.直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________. 解析 A 、B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32， k ＝－1，倾斜角为3π4，故直线与极轴的夹角为π4.答案 π49.极坐标系中，点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则 (1)点A 关于极轴对称的点是________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________.(规定ρ>0，θ∈[0，2π))解析 如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化.另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6 三、解答题10.在极坐标系中，(1)求A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π36，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43π36两点间的距离；(2)已知点P 的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R ，求满足上述条件的点P 的位置.解 (1)A ，B 在过极点且与极轴成7π36的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB |＝5＋12＝17.(2)由于点P 的极径恒为ρ＝1，且θ∈R ，因此，点P 在以1为半径，极点为圆心的圆上.11.设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标.解 如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列两种情形：(1)当θ＝30°时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝150°时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝210°时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝330°时，ρ＝30(万千米).彗星此时的极坐标有四种情形：⎝ ⎛⎭⎪⎫30，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫30，5π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫30，7π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫30，11π6. 12.在极坐标系中，已知三点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，－π4，R (6，2π). (1)将P 、Q 、R 三点的极坐标化为直角坐标；(2)求△PQR 的面积.解 (1)P (23，2)，Q (4，－4)，R (6，0).(2)直线PQ 的方程为y ＋4＝6（x －4）23－4， 与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋43，0，S △PQR ＝14－4 3. 13.已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0，0≤θ<2π时，求点P 的极坐标.解 设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3，∴点P 的直角坐标为(3，－3).ρ＝32＋（－3）2＝23，tan θ＝－33， ∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝11π6，∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6.。
高中数学北师大版选修4-4+2.1极坐标系的概念导学案教案
O引一条射线四、课堂小结你今天主要学习了什么？都有哪些收获？课堂检测内容1.在下面的极坐标系里描出下列各点：(3,0)(6,2)(3,)2A B Cππ，，455 (5,)(3,)(4,)(6,) 363D E F Gππππ，，，2、第18页A组 1精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
解：在直线l上任意取点M ( , ) A(2, ) 4 MH 2 sin
练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4
§1.3.2直线的极坐标方程
复习引入：
怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 在
a sin( ) sin( ) 即
解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
OBLeabharlann XA
(2, ) 4
M
2
4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2
2、求过A(2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
解：在直线l上任意取点M ( , ) A(2, ) 4 MH 2 sin
练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4
A
(2, ) 4
M
2
4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2
2、求过A(2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 在
a sin( ) sin( ) 即
§1.3.2直线的极坐标方程
复习引入：
怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
选修4-4 1.2 极坐标系
2 1 2 2
o
x
思考:极坐标系中，点A的极坐标是(3, ) 6
11 (3, ) （1）点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7 (3, ) （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5 (3, ) （3）点A关于直线 ＝ 的对称点的极坐标是_______ 6 2
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
C (5,0) E (3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 , 1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
化成直角坐标. 2 5 解: x 5 cos 3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
1 3、极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 在
a sin( ) sin( ) 即
解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
5、在极坐标系中，已知 一个圆的方程为 6 直线的极坐标方程是( C
＝12 sin( )，则过圆心与极轴垂直 的
)
A、 sin 3 3B、 sin 3 3 C、 cos 3D、 cos 3
6、在极坐标系中，与圆 ＝4 sin 相切的一条 直线的方程是 ( B ) A、 sin 2, B、 cos 2 C、 cos 4, D、 cos 4
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
高二数学北师大版选修4-4《极坐标系的概念》教案
石泉中学课时教案 一、 情境导入
如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M 后到达什么位置？
该位置唯一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
二、自主学习（预习教材P 8~ P 9，找出疑惑之处）
1、极坐标的概念
1、如右图，在平面内取一个定点O ，叫做 ；自极点O 引一条射线 Ox ，叫做 ；再选定一个 ，一个 （通常取 ） 及其 （通常取 方向），这样就建立了一个 。
如图：
2、设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离||OM 叫做点M 的 ，记为 ； 以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 ，记为 。
有序数对 叫做点M 的 ，记作 。
),(θρM
● ρ θ O x
特别规定：
当M 在极点时，它的极坐标ρ= ，θ可以取任意值.
3、思考：
如何做点）？，（），，（ππ-2-6
-2B A 三、典型例题
题型一：已知点的极坐标在极坐标系里描出点的位置
例1． 在极坐标系中描出下列各点：
).6
75.3(),345(),23(),62()0,4(ππππ，，，，，E D C B A 题型二：已知极坐标系点的位置写出点的极坐标
例2.在极坐标系中，请写出点A ，B ，C 的极坐标。
四、课堂小结
你今天主要学习了什么？都有哪些收获？。
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
3、极坐标方程 cos( )所表示的 4 曲线是 （ D ）
A、双曲线 C、抛物线 B、椭圆 D、圆
解：该方程可以化为 ＝cos( ) 4 1 1 以( , )为圆心， 为半径的圆。 2 4 2
解：＝cos cos
2
4
sin sin
4
2 2 cos sin 即 2 2 2 2 2 2 x y x y0 2 2 2 2 2 2 1 (x ) (y ) 4 4 4
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是 C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
题组练习 1 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r OC 4,
O
C(4,0)
连结CM ， M 是弦ON的中点 CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos
练习 4 把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－cos
4、圆＝10 cos( )的圆心坐标是 （ C ） 3 2 C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 , ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 解：＝4 cos( ) 4sin
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标 方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
北师大版高中数学选修4-4《点的极坐标和直角坐标的互化》课件(共13张PPT)
3.已知A，B两点的极坐标A(2, )，B(4, 5 )，求A, B两点间
3
6
距离和AOB的面积。
4.已知两点的极坐标A(3, )，B(3, )，求A, B两点间
2
6
距离和AB与极轴正方向的夹角.
课时小结
1.点的极坐标的理解，极坐标的不唯一性； 2.点的极坐标与直角坐标的互化； 3.极坐标系下，两点间距离公式及应用。
(1)当极径 0，以OX为始边作角，在角的终边上截取| OM | ; (2)当极径 0,以OX为始边作角，在角的终边的反向延长线上 截取 | OM || |； （3）极点的极坐标为（0，），其中为任意角。
M
O
X
° O
x
(, )
3.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平
M (ρ,θ)
面内确定唯一的一点M；
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
（，），(， 2k ), (, 2k )(k Z)表示同一点
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
(ρ,θ)
(ρ,θ +2kπ)
(-ρ,θ +π) (-ρ,θ +（2k+1）π)
[3]对称性：
点（，）关于极轴的对称点为(，2 ); 点(, )关于极点对称点为(, ); 点(， )关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(, ).
新课探究
1.点的极坐标与直角坐标的互化：
(
R);
(2)点M的直角坐标(x, y)为极坐标(, )的关系式：
高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系素材 北师大版选修4-4
极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．图1－2－13．极坐标与直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1－2－1所示．(2)互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎨⎧x＝ρcos θy＝ρsin θρ2＝x2＋y2tan θ＝yx(x≠0)1．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？【提示】极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来研究平面内点与距离等有关问题．2．由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标惟一吗？【提示】平面上点的极坐标不是惟一的．如果限定ρ>0，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)可建立一一对应关系．3．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？【提示】任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若ρ>0，则sin θ＝yρ，cos θ＝xρ，所以x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0).。
高二数学北师大版选修4-4课件：1-2-1-1-2-2 极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究四易错辨析
易错点 因未正确理解点的极坐标表示而致误
典型例题4
已知点 A 的极坐标是
4,
π 3
,则使 ρ<0,-2π≤θ<0 的极坐标是什么?使
,B
点评
5 3
,
π 2
,C
4,
2π 3
.
将极坐标化为直角坐标,只需利用公式
������ ������
= =
������������csoins������������.,已知点的直角坐
标求极坐标时,关键是确定 θ 的值,此时要注意点在坐标系中的位置
及 θ 的范围.
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
,D
4,-
π 2
,求
它们的直角坐标;
(2)已知点的直角坐标分别为 A(3,-
3),B
0,
5 3
,C(-2,2
3),求它们的
极坐标,其中极径 ρ>0,极角 θ∈[0,2π).
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究二极坐标系中点与点的位置关系
1.同一个点:如极坐标系中点
4,
π 6
,
4,
π 6
+
2π
,
4,
π 6
+
4π
,
4,
π 6
+
6π
,
4,
π 6
−2π
,由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同,并
且到极点的距离相等,这样,它们就表示平面上的同一个点,实际
高中数学 第一章 坐标系 1-2-4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化课件 北师大版选修4-4
3．将直角坐标方程 x2＋y2＋2x＋2y＝0 化为极坐标方程为
()
A．ρ＝－2cosθ
B．ρ＝－2sinθ
C．ρ＝－2(cosθ＋sinθ)
π D．ρ＝－2cos(θ＋ 4 )
答案 C 解析 依题意得 ρ2＋2ρcosθ＋2ρsinθ＝0， 所以 ρ＋2cosθ＋2sinθ＝0 或 ρ＝0， 又曲线 ρ＋2cosθ＋2sinθ＝0 经过极点， 所以 ρ＝－2(cosθ＋sinθ)．故选 C.
π ∴这是过极点且倾斜角为 3 的射线的极坐标方程．
π ∴射线 y＝ 3x(x≥0)的极坐标方程为 θ＝ 3 (ρ≥0)．
(2)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入 x2＋y2＝r2，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，∴ρ2＝r2(r>0)． ∵ρ≥0，∴ρ＝r 为所求．
题型二 极坐标方程化为直角坐标方程
(2)圆心为(2，23π)，半径为 3.
π (3)圆心为(2， 3 )，半径为 3.
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
【答案】 (1)(x－12)2＋(y＋ 23)2＝1， (2)(x－ 23)2＋(y－12)2＝1， (3)x－ 3y－2＝0， (4) 3x＋y－2＝0
题型三 极坐标方程的应用
例 3 (2015·新课标全国Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1: x ＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系．
π 由此题总结：直线 ρcosθ＝1 绕极点逆时针旋转 3 ，即得直线
π
π
ρcos(θ－ 3 )＝1，其中点(1，0)转到(1， 3 )．
1.2 极坐标系 课件1 (北师大选修4-4)
6、确定极坐标方程 4 sin( )与 3 3 cos sin 8 0所表示的曲线 及位置关系。
解：由 4 sin(
4 cos( ) 4 cos( ) 6 6 即表示以A(2,
) 4 cos[ ( )] 3 2 3
ห้องสมุดไป่ตู้
4、两圆或直线和圆的位置关系
5、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos圆心的坐标是 ,0) ( 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 圆＝sin 的圆心坐标是 , ) ( 2 2 2 所以圆心距是 2
3、求过点 (2, ), 并且和极轴垂直的直线 。 3
解：将(2, )化为平面直角坐标为1, 3 ) ( 3 则和极轴垂直的直线为 1 x
2 4、已知直线的极坐标方 程为 sin( ) 4 2 7 求点A(2, )到这条直线的距离。 4
2 解：将直线 sin( ) 化为直角坐标方 4 2 7 程为x y 1 0, 点A(2, )化为直角坐标为 4 （ 2，－ 2） 点到直线的距离为 2－ 2－1 2 2 ＝ 2
表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双 曲线)
y
F
x
7、极坐标方程 sin 3
2
2 A、圆，B、椭圆，C、双曲线，D、抛物线
1所表示的曲线是
解：将3 sin
2
2
1化为直角坐标方程
1－cos 2 得3 1即9 y 12x 4 2 表示抛物线
小结：