《线性代数(理)》第2阶段在线作业
《线性代数》第二次作业解答-国家开放大学(中央电大)2020年期末考试复习题及答案
13 20
4 7
8 0
（5） x1
x2
a11 a21
a12 x1
a22
x2
解：
x1
x2
a11
a21
a12 a22
x1 x2
a11x1 a21x2
a12 x1 a22 x2
x1
x2
（a）11（x1 ）a21x2 x1 a12 x1 a22 x2 x2 a11x12 （a）12 a21 x1x2 a22 x22
x1 x2
1 2
3 2
3
0 3
2 1
1 1 0
0 z1
3
z2
2 z3
1（） 3（）3 2 0 1 （ ） 2（）（3）（2）2（ ）（3 ） （1）
11 31 0 0 2 1 211 0
1 0 33 0 2 2 023 3
2
z1 z2 z3
3 13
4 0
9 0
z1 z2 z3
即
x1
x2
3z1 13z1
4z2
9 z3
9.AX=AY,A≠0，问能否确定 X=Y？为什么？ 解：不能，因为 AX=AY，则 A（X-Y）=0，即使 A≠0，X-Y 也不一定为 0，即 X 不一定
等于 Y。例如：
A
2 3
4 2 4 6，X=， 1Y= 2
解：
1
1 1 1
AT B 2 1 1 1 2 2 2
3
3 3 3
1 1 1 1 1 1 ( AT B)2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
111 2 13 111 2 13 21 2 2 2 3 21 2 2 2 3
线性代数练习题二
线性代数练习题二（矩阵）一、 填空题1、设A 是m n ⨯阶矩阵，B 是s m ⨯阶矩阵，则T T A B 是 阶矩阵.2、设A B ,均为m n ⨯阶矩阵，则AB BA =的充要条件是 .3、设A B ,均为n 阶矩阵，则AB 不可逆的充要条件是 .4、设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则由A B ≠≠0,0可推出O A B O = ；O A B O -⎛⎫= ⎪⎝⎭1. 5、 设A B C ,,均为n 阶方阵，且A AB C ≠=0,，则B = 6、 设A B ,为同阶方阵，则A B A AB B +-++=222()(2) 7、设A 为5阶方阵，且A =3，则A -=1 ；A =2 ；A *= .8、设A 为3阶方阵，且A =12，则A A -*-=132 . 二、 选择题1、设A B ,均为n 阶矩阵，且A AB +=0，则（ ）2020/3/27A AB E BC A E BD AE B =+==+==+=000000或和2、设矩阵A B A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭12，其中A A 12,都是方阵，若A 可逆，则下列结论成立的是（ ）A A AB A A CA A DA A 12211212,,可逆不可逆可逆不可逆与可逆性不定与均可逆3、若A B C ,,均为同阶方阵，且A 可逆，则下列结论成立的是（ ）A AB AC B CB AB CB A CC AB O B OD BC O B O========若则若则若则若则4、若A 是（ ）矩阵，则A 必是方阵A B Cn D 对称矩阵可逆矩阵阶矩阵的转置矩阵线性方程组的系数矩阵5、设A 是非奇异对称矩阵，则（ ）仍是对称矩阵TT AA BA CA DAA -136、若A 为n 阶方阵，且A a =≠0，则A *=（ ）n n A aB a Ca D a --11三、 计算题1、设A ⎛⎫⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭1111111111111111，求n A .2、设A B C ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭4113021,25,0424234，求TABC (). 3、解矩阵方程A AX E -=2，其中A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭111011001，E 为单位矩阵.4、设4阶方阵A r r r B r r r ==234234(,,,),(,,,)αβ，其中r r r 234,,,,αβ均为4维列向量，且行列式A a B b ==,，求行列式A B +的值.5、若A B ,均为n 阶方阵，且A B ==-2,3，求行列式A B *-13的值.6、设A 为n 阶实方阵，且T AA E A ==-,1，求行列式E A +的值. 四、 证明题1、已知矩阵A ab c a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭222111，证明： T AA b a c a c b =---222()()().（提示：利用范德蒙德行列式）2、设A 为n 阶实方阵，且T AA E =，证明：行列式A =±1.2020/3/27答案：一、1、n s m n A B A B ⨯===1. 2.,, 3.00且可交换或；nOB A B AC BA AB A A AO -----⎛⎫--== ⎪⎝⎭1111114.(1); 5. 6.7.;3A A *==29;818.16二、C D A C A B C A B C D C 1. 2. 3., 4.,, 5.,,, 6. 三、n n n n A E n A E n A A -=⇒==2211.22;2为偶数时，为奇数时，n X a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭1021601402. 3.000 4.8() 5.68.02642000四、（略）.。
线性代数习题2(附答案)
线性代数复习题2一. 填空题（每小题4分，共28分） 1. 若240,32k k -=+ 则 k = .2. 设含参数λ的方程组 000x y z x y z x y z λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解, 则 λ应满足的条件是 .3. 设 44⨯ 矩阵 234234(,,,),(,,,),A B αγγγβγγγ== 且已知行列式 1A =，4.B = 则行列式 A B += .4. 已知方阵A 满足 220,A A I +-= 其中 I 是与 A 同阶的单位阵, 则()1A I -+= .5. 设20001013A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与400020002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，则a = .6. 设 111022,003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦*A A 是伴随矩阵, 则 ()1*A -= . 7. 设四阶矩阵A 的元素全为1, 则 A 的非零特征值为 .二. 选择题（每小题4分，共32分）1. 设A 是n 阶可逆矩阵, 则下列叙述不正确的是 ( ) A. 0A ≠ B. ()r A r n =<C. 存在n 阶矩阵 B 使得 .A B I =D. A 必能表为有限个初等矩阵的乘积.2. 设A 是n 阶方阵，其秩 ,r n < 则在A 的 n 个行向量中 （ ） A ．必有 r 个行向量线性无关. B. 任意 r 个行向量线性无关.C. 任意 r 个行向量都构成极大线性无关组.D. 任意一个行向量都可由其他 r 个行向量线性表出. 3. 设A 为三阶方阵, 且 3,A =- 则 2A -= ( )A. 24B. 6C. --24D. --64. 若向量组 ,,αβγ 线性无关, 而向量组 ,,αβδ 线性相关. 则 ( ) A. 向量 α 必可由向量组 ,,βγδ 线性表示. B. 向量 β 必不能由向量组 ,,αγδ 线性表示. C. 向量 δ必可由向量组 ,,αβγ线性表示. D. 向量 δ必不能由向量组 ,,αβγ线性表示.5. 设A, B 为同阶方阵, 则 ()2222A B A AB B +=++ 成立的充要条件是 ( )A. A I =B. 0B =C. A B =D. AB BA =6. 已知 0011205010,1236,2002015P PA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则 ()r A = ( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 设 010100001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则 2010A = ( )A. 010100001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭B. 100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C. 020*******00002010-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ D. 201000020100002010-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭8. 设 ,,A B AB I -是同阶可逆矩阵, 则 ()()1111A BA------=( )A. BAB I -B. ABA I -C. ABA A -D. BAB B -三. (本题满分10分) 设 1234511133,325422221146523D = D 的 (),i j 元的代数余子式为 ij A . 试求 (1) 313233;A A A ++ (2) 3435.A A +四. (本题满分10分) 求下列向量组的秩和一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.123451110002401,,,,.1115101252ααααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭五．(本题满分10分) 设 1102,1/2,0,,,108T TA B αβγαββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中 T β 是β的转置， 求解方程组 22428.B A x Ax B x γ=++六．(本题满分10分) 已知向量 111X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵 2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭ 的一个特征向量. (1) 求参数 ,a b X 及对应的特征值. (2) 试判断矩阵 A 是否可对角化.线性代数复习题2答案一. 填空题 (每小题4分, 共28分)1. 4±2. 1λ≠3. 404. 12A5. 36. 1/61/61/601/31/3001/2⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭7. 4二. 选择题 (每小题4分, 共32分)三. (本题满分10分)解: 将D 中第三行换成 1, 1, 1, 3, 3, 行列式的值等于0, 则有 ()()313233343530,A A A A A++++=…………………………………………4分 同理将D 中第三行的元素换成第四行的对应元素, 按第三行展开, 则有 ()313233343520,A A A A A ++++=……………………………………………8分 联立上面两式, 解得 31323334350,0.A A A A A ++=+=………………………………………..10分四. (本题满分10分) 解: 将12345,,,,ααααα 为列向量作成矩阵, 并施以行初等变换11100024011115101252A --⎛⎫⎪ ⎪=⎪--⎪⎝⎭………………………………………………2分 111000100000251000103--⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ 10001/40100000101/40013/10⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭………………..6分 故向量组12345,,,,ααααα 的秩为 4, 且 1234,,,αααα 为向量组 12345,,,,ααααα 的极大线性无关组……………………………………………………………………………..8分 5134113.4410αααα=++……………………………10分五．(本题满分10分)解: ()111/20211/20210,111/20TA αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………2分 ()111/2022,1TB βα⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………4分而 ()22.T T T TA A αβαβαβαβ===………………………………………5分代入方程, 可得 ()82,A I x γ-=……………………………………………….6分 从而有线性方程组121212310,220,121,2x x x x x x x ⎧-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩可求得其对应齐次线性方程组的基础解系为 12,1⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭………………………………8分而 001/2⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭ 为方程组 ()82A I x γ-= 的一个特解,…………………………9分故原方程组的通解为 0102,1/21x k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭其中 k 为任意常数………… 10分六. (本题满分10分) 解: (1) 设0λ 为特征向量 X 对应的特征值, 则0212115311,1211a b λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………………………2分 即 000,1,2,1a b λλλ⎧=-⎪+=⎨⎪+=-⎩故01,3,0.a b λ=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩……………………………………………....5分 (2) 由(1)得 212533102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭, 所以()321253310,12I A λλλλλ---=-+-=-+=+ 因此 1- 是A 的三重特征值……………………………………………………….7分 解齐次方程组 ()0,I A x --= 因其系数矩阵 ()I A -- 的秩为2, ………….9分 故 ()dim 13N I A --=<. 所以 A 不能对角化………………………………10分。
线性代数第二章题库及答案
第二章掌握2、2节若干运算律及性质，注意矩阵乘法一般不满足交换律、消去律、两个矩阵都不等0乘积也可能是0，会进行矩阵运算，掌握公式11a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 会求二、三阶逆矩阵，会求矩阵的秩，会解矩阵方程。
5、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321212113A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=111012111B 求（1）AB 和BA ；(2)BA AB -解 （1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111012111321212113AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---++++---++++---++=301321341202212222103113123=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---248016216⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=321212113111012111BA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+-+-+--+-+-+=321211123022012026321211123⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222014004（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=-222428001146020146BA AB ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=0660222126、设矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021A 求32A A ，. 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=104110002201102110212A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=1061100042011021104123A A A7. 设矩阵521320A ,B 341201--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求T T T(1)AB ;(2)B A;(3)A A.解 AB T=(5−2134−1)(−3−22001)=(−15−4+0−10+0+1−9+8+0−6+0−1)=(−19−9−1−7) B T A =(−3−22001)(5−2134−1)=(−15−66−8−3+210+0−4+02+00+30+40−1)=(−21−2−110−4234−1) A T A =(53−241−1)(5−2134−1)=(25+9−10+125−3−10+124+16−2−45−3−2−41+1)=(3422220−62−62) 9. 求下面矩阵的秩.（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32015431A 解 因为A 的二阶子式030131≠-=是非零子式，所以2)(=A r .（2）110201211344⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=443112102011A −−→−-13r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---242012102011−−→−+232r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000012102011由于最后一个行阶梯矩阵由两个非零行，所以2)(=A r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=0150331312231213A ）（解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=015033131223121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−--688601755023121131232r r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−−→−-5245220017550231212356r r由于最后一个行阶梯矩阵由三个非零行，所以3)(=A r8、求逆矩阵（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1324A解 2641324-=-==A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=*4321A ，所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==*-2231211A A A . （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=113111321A解()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100113010111001321E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−−→−--10385001121000132113123r r r r −−→−-⨯)1(2r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----103850011210001321 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−+152200011210001321235r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−→−÷2125110001121000132123r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−−→−--21251100141010232152021313232r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−-2125110014101021210001212r r =()1-A E .所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-21251141212101A （3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=210111121A()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210010111001121E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−-10021001103000112112r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−↔01103010021000112132r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−-⨯01103010021000112112）（r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−+311600100210001121233r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−-⨯216161100100210001121613）（r⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−-+2161611000313101021616502131322r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−-21616110003131010216561001212r r ()1-=A E .所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-216161031312165611A10.求逆矩阵.（1）100120123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;解 |A |=1×2×3=6A 11=|2023|=6 A 12=−|1013|=−3 A 13=|1212|=0A 21=−|0023|=0 3310122==A 2210123-=-=A0020031==A 0010132=-=A 2210133==A所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=*220033006A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==*-31310021210011A A A （2）223110121⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.解 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10121010011001322E A −−→−↔21r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100121001322010011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−+-11011002134001001113122 r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−→−↔02134011011001001132 r r−−→−-234r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----461100110110010011 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−-⨯+461100351010010011)1(332 r r r−−→−+21r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461100351010341001 ()1-=A E , 所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-4613513411A.11. （2）解以下矩阵方程.2746X 1421-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4172A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1264B 即 B XA =,因为11742=⨯-⨯=A ≠0，所以A 可逆，所以 1-=BA X .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-21741A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-1274022214181228616217412641BA X .第67页4、已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2A 3A 2E O --=,其中A 给定，E 为n 阶单位矩阵，证明A 可逆，并求1A -. 证明：2132(3)23200A A E O A A E E A A E E A A ---=⇒-=⇒-=≠⇒≠所以存在。
线性代数阶段性作业21
中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院线性代数课程作业2（共 4 次作业）学习层次：专升本涉及章节：第3章1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1)1021 2031 3043-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭；解102120313043-⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭2131(2)(3)~r rr r+-+-102100130020-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭23(1)(2)~rr÷-÷-102100130010-⎛⎫⎪-⎪⎪⎝⎭32~r r-102100130003-⎛⎫⎪-⎪⎪⎝⎭33~r÷102100130001-⎛⎫⎪-⎪⎪⎝⎭233~r r+102100100001-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭1213(2)~r rr r+-+100000100001⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭(2)0231 0343 0471-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪--⎝⎭解023103430471-⎛⎫⎪-⎪⎪--⎝⎭21312(3)(2)~r rr r⨯+-+-023100130013-⎛⎫⎪⎪⎪--⎝⎭32123~r rr r++0201000130000⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭12~r÷010500130000⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭。
2．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1)3102 1121 1344⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪-⎝⎭；解 310211211344⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭12r r ↔~112131021344--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭21313112104650465~r r r r ----⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭32112104650000~r r ----⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以秩为2， 一个最高二阶子式为 31411=--；(2) 321312131370518---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭； 解 321322131370518---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭1221311344120711957021332715~r r r r r r ---------⎛⎫ ⎪⎝⎭ 321344171195~00003r r ----⎛⎫- ⎪⎝⎭. 所以秩为2， 一个最高二阶子式 32721=--．3．求解下列齐次线性方程组:(1) 12341234123420,20,2220;x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩解 对系数矩阵实施行变换:112121112212-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭1010013140013~⎛⎫ ⎪-⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ， 即得 1424344443343x x x x x x x x⎧=⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪=⎩故方程组的解为1234433431x x k x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭；(2) 12341234123420,3630,51050;x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩解 对系数矩阵实施行变换:1211361351015-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭120100100000~-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 即得1242234420x x x x x x x x =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 故方程组的解为 12123421100001x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
江西理工大学线性代数课后习题二
线性代数第二章习题二答案1. )0,1,19()2,1,3(3)3,1,5(232)2,1,3()8,4,12(41)]3,1,5(3)17,7,3[(41=-+-=+-=---=----=βαβ2.因为维数不同。
不能由它们线性表出，1)1(β321243212432144343243214433221124321-20,1,2,1),,,()0,1-1,2(,,,2αααβααααβααααβ+==-===++++++=+++=即：的线性组合。
，，，可以表示为所以：解得：，即：使得）设存在（k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k因为维数不同不能由它们线性表出，3)3(β432144321443214434324321443322114432134-23,4,2,1),,,()3,1-1,2(,,,4ααααβααααβααααβ++==-===++++++=+++=即：的线性组合。
，，，可以表示为所以：解得：，即：使得）设存在（k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k3. 使得证明：设存在4321,,,k k k k44332211ααααβk k k k +++=只有一种。
线性表示并且表示方法，，，可以由即且有唯一解。
所以上线性方程组有解因为系数行列式即：则：43214434324321432144343243214321011000210032104321232432),2,32,432(),,,(ααααβ≠==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++=+++++++++=D b k b k k b k k k b k k k k k k k k k k k k k k b b b b44343243213214443343223211)2()2()2(222ααααβ b b b b b b b b b b k b b k b b b k b b b k +-++-++-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-=+-=即：解得： 4.n ααα∙++∙+∙=000)0,,0,0(21证明：维向量组线性表示维零向量可由任意的所以：n n 5.证明：因为表示。
中国地质大学《线性代数》在线作业二-00110
地大《线性代数》在线作业二-0011方阵A和A的转置有相同的特征值.
A:错误
B:正确
答案：B
等价的两个线性无关向量组所含有向量的个数一定相等。
A:错误
B:正确
答案：B
(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成为3维向量空间的一个基。
A:错误
B:正确
答案：B
AX＝b有无穷多解，那么Ax=0有非零解。
B:正确
答案：A
合同的两个矩阵的秩一定相等
A:错误
B:正确
答案：B
非齐次线性方程组任意两个解之差为对应系数的齐次线性方程组的解。
A:错误
B:正确
答案：B
若AX=0只有零解，那么AX=b有唯一解。
A:错误
B:正确
反对称矩阵的主对角线上的元素和为0
A:错误
B:正确
答案：B
矩阵A的行列式不等于零，那么A的行向量组线性相关。
A:错误
B:正确
答案：A
如果一个矩阵的行向量组为正交的单位向量组且为方阵，那么这个矩阵的行列式为1。
A:错误
B:正确
答案：B。
地大《线性代数》在线作业二答案
地大《线性代数》在线作业二答案
地大《线性代数》在线作业二答案1
n阶方阵可逆的充要条件是它的行列式不等于0.
A 错误
B 正确
正确答案：B
2
齐次线性方程组任意两个解之线性组合仍然是原方程组的解
A 错误
B 正确
正确答案：B
3
反对称矩阵的主对角线上的元素和为0
A 错误
B 正确
正确答案：B
4
等价的两个线性无关向量组所含有向量的个数一定相等。
A 错误
B 正确
正确答案：B
5
二次型为正定的充要条件是对应的矩阵为正定矩阵
A 错误
B 正确
正确答案：B
6
对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B)
A 错误
B 正确
正确答案：A
7
两个矩阵A与B，若AB=0则一定有A=0或者B=0
A 错误
B 正确
正确答案：A
8
(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成为3维向量空间的一个基。
A 错误
B 正确
正确答案：B
9
两个行列式相等的正交矩阵的乘积也是正交矩阵
A 错误。
线性代数 习题二答案
1. 241110331032350382A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，110020130350011361B C --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2410204222323032011091A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2.由32A X B -=可得()341231010283211153312111125211222234221171157115222X A B ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=---=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦.3. 由22422243a b a b c d c d +--⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭可得，24222423a b a b c d c d +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩ 解方程组可得0,2,1,2a b c d ====. 4.设()ijm nA a ⨯=，当kA O =时，由零矩阵定义，有0ij ka =,则0k =或0ij a =，即0k =或A O =.5．（1）()()()323122382031237243181141142184011437813203515112581051137402++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-+-+--+=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .（2）()()()1311113213804220142232701371021310-+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=+-+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （3）()()()()()13121110132101312111013210321023222120264203332313039630-⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .（4）()()()()1132211322151⎡⎤⎢⎥=++-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. （5）()()()()210112113121121111120101321101-⎡⎤⎢⎥-=-+--+-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()325=--.（6）()()111211222211121122221212111a a b x x xy a a b y a x a y b a x a y b b x b y c y b b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()111211222212a x a y b x a x a y b y b x b y c =++++++++()2212111222222c b x b y a x a xy a y =+++++.6．21010101121A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3210101021131A A A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，我们猜测101nA n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，下面用归纳法证明：当1n =时成立；假设当1n -时成立，则()()110101010111111nn A A A n n n λλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此101n A n λ⎛⎫=⎪⎝⎭.7．（1）设cos sin sin cos A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭， 则2cos 2sin 2sin 2cos 2A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，3cos3sin3sin3cos3A θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此，我们猜测cos sin sin cos nn n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，下面用归纳法证明：当1n =时成立；假设当1n -时成立，则()()()()1cos 1sin 1cos sin sin 1cos 1sin cos n n n n A A A n n θθθθθθθθ----⎛⎫-⎛⎫==⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()()cos 1cos sin 1sin cos 1sin sin 1cos sin 1cos cos 1sin sin 1sin cos 1cos n n n n n n n n θθθθθθθθθθθθθθθ-------⎛⎫=⎪-+---+-⎝⎭cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，因此cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭.（2）设142032043A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则2100010001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以2100010001k A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，21142032043k A +⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 即()()()()()()122111012111022121n nn nnn n A ⎡⎤----⎢⎥⎢⎥=-+--+-⎢⎥----⎢⎥⎣⎦.（3）设1111111111111111A ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦，则 241111111140001111111104004111111110040111111110004A E ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎢⎥------ ⎪⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥------ ⎪⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 所以244k k A E ==，2111111111411111111k k A +---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦. （4）1112233111121311112233112233212223313233()()()()T T T T T T T T n Tnn n T n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ----===++⎡⎤⎢⎥=++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦8, （1）设矩阵11122122x x B x x ⎛⎫=⎪⎝⎭与矩阵A 可交换， 则112112222122x x x x AB x x ++⎛⎫=⎪⎝⎭，111112212122x x x BA x x x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，由AB BA =得210x =，1122x x =.（2）设矩阵111213212223313233x x x B x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵A 可交换， 则212223313233000x x x AB x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111221223132000x x BA x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 由AB BA =得2131320x x x ===，112233x x x ==，1223x x =9. 设矩阵111213212223313233x x x B x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵A 可交换，则111213212223313233ax ax ax AB bx bx bx cx cx cx ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111213212223313233ax bx cx BA ax bx cx ax bx cx ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 由AB BA =得2131321213230x x x x x x ======，即与A 可交换的矩阵必为对角距阵. 10. 因为A T=A , 所以(P TAP)T=P T(P TA)T=P T A TP =P TAP ，从而P TAP 是对称矩阵. 11. 证明充分性: 因为A T=A , B T=B , 且AB =BA , 所以 (AB)T=(BA)T=A T B T=AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T=AB , 所以AB =(AB)T=B T A T=BA.12.（1）因为AB BA =，所以()222222A B A AB BA B A AB B +=+++=++，得证.（2）因为AB BA =，所以右边2222A AB BA B A B =-+-=-=左边，得证. （3）因为AB BA =， 所以()()()()()()()()()()()()()1p p pAB AB AB AB AB AB AB A BA BA BA BA BA BA B -==()()()()()()()()()()1222p p A AB AB AB AB AB AB B A BA BA BA BA B --==()()()()()()()()()23223311p p p p p pA AB AB AB AB B A AB AB AB AB B A AB B A B ----===== ；如果AB BA ≠，则上述等式不成立. 13, 1001A -⎛⎫=⎪-⎝⎭14, 充分性：因为2B E =， 所以()()()22111222442A B E B E B E B A =++=+=+=； 必要性：因为2A A =， 所以()()()22111222442A B E B E B B E =++=+=+， 整理得2B E =.15, 因为A 是反对称矩阵，B 是对称矩阵， 所以TA A =-，TB B =， （1）()()()22TT T AA A A A A ==--=，即2A 是对称矩阵.（2）()()()()()TTTT T T TAB BA AB BA B A A B B A A B AB BA -=-=-=---=-，即AB BA -是对称矩阵.（3）充分性：因为AB BA =，所以()()TT TAB B A B A BA AB ==-=-=-，即A 是反对称矩阵；必要性：因为A 是反对称矩阵，所以()()TT TAB B A B A BA AB ==-=-=-，即AB BA =. 16,设111211112222121121111121n n n n n n n n n n nnn nnn a a a a a a a a A a a a a a a a a --------⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则2A 主对角线上的元素分别为22221112111n n a a a a -++++ ，22221222212n n a a a a -++++ ，…，2222121n n n n nn a a a a -++++ ，又因为2A O =，所以222211121110n n a a a a -++++= ，222212222120n n a a a a -++++= ，…，22221210n n n n nn a a a a -++++= ，解得11121222320n n nn a a a a a a a ========== ， 即A O =.17.设111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，则112111222212m m T nn mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 222111212222122222212n Tn m m mn a a a a a a AA a a a ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦因为TAA O =，则222111210n a a a +++= ，222212220n a a a +++= ，…，222120m m mn a a a +++= ， 所以1112121222120n n m m mn a a a a a a a a a ======+==+++= ，即A O =. 18，（1）2111111141132222232323872341A A --------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）321411141110325432548723872301A A A E ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭91128554024303221316141015046036-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 19，因为()21fλλλ=-+，所以()21551222310014391331100100531371331200110612f A A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20，11A d =，12A c =-，21A b =-，22A a =，所以d b A c a *-⎛⎫= ⎪-⎝⎭.若0ad bc -≠，则0A ad bc =-≠，所以矩阵A 可逆，11d b ad bc ad bc A A ca A ad bcad bc -*⎛⎫-⎪--==⎪ ⎪-⎪--⎝⎭. 21，11A d =，12A c =-，21A b =-，22A a =， 所以d b A c a *-⎛⎫=⎪-⎝⎭.若0ad bc -≠，则0A ad bc =-≠，所以矩阵A 可逆，11d b ad bc ad bc A A ca A ad bcad bc -*⎛⎫-⎪--==⎪ ⎪-⎪--⎝⎭. 22.（1）200A =-≠，所以矩阵A 可逆，又112A =-，123A =-，216A =-，221A =，所以113261110103131202020A A A -*⎛⎫ ⎪--⎛⎫=== ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭. （2）10A =≠，所以矩阵A 可逆，又11cos A θ=，12sin A θ=-，21sin A θ=，22cos A θ=，所以1cos sin 1sin cos A A A θθθθ-*⎛⎫== ⎪-⎝⎭. （3）10A =≠，所以矩阵A 可逆，又111A =，120A =，130A =，212A =-，221A =，230A =，317A =，322A =-，331A =，所以11271012001A A A -*-⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭. （4）()()()()2123134141000100010001000112000100020011002213000100130201011214000102141001r r r A E r r r r r r ⎛⎫⎛⎫+-→ ⎪ ⎪- ⎪⎪=+-→ ⎪⎪- ⎪⎪+-→-⎝⎭⎝⎭ ()()32323424100010001000100020130201001302010020011000060312020214100100543021r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-→-- ⎪ ⎪↔ ⎪ ⎪---+-→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()343100010000130201010014010100543021r r r ⎛⎫⎪- ⎪+-→ ⎪--- ⎪--⎝⎭()()232434100010001110001000010000223010122313111001401010010052630024352615110001824124r r r r r r ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪-⎪⎪+→--- ⎪ ⎪→ ⎪----- ⎪+-→ ⎪⎪--⎝⎭⎪-- ⎪⎝⎭所以，距阵A 可逆，且1100011002211102631511824124A -⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. （5）因为0A =， 所以1A -不存在.（6）50A =≠，所以矩阵A 可逆，又113A =，122A =，131A =-，213A =-，223A =，231A =，311A =-，324A =-，332A =，所以13315551234555112555A A A-*⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. （7）2312223341000100110000100010010100(,)001000100100100001001010001a a a a r ar a a a A E r ar a a r ar -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以，距阵A 可逆，且11110110010001a a A a --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦22，（1）1100500510121012271003403453753712333023023X -⎛⎫⎪⎛⎫⎪---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎪⎝⎭；（2）1100001100001001100a a a a Xb b b bc c c c -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭； （3）111111211000111112100001110120000011000210000100012X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11000211000110012100001000120000011000210000100012-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1110011100011000001100012--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（4）由XP PB =得：111001001002100002102110012111001010010021000021020021101411611X PBP --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦511111111111111151()()()()()()()()()X PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PB P P B P P B P P B P P BP PB P----------------====5B B =，故55100200611X XB X XBX ⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦23，100110111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故：11210010(2)(2)110120111112100100200110120120011112112A E A A E ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦24，1311110,211A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 由1111*111,,3A A A A A A A ----====－，得*1113A A A A --==，*1**1211211()111,()1119154154A A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦25，1*11210121001210121,0012001200010001A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而*A 中的所有元素即为A 中所有元素的代数余子式，即A 所有元素的代数余子式为0. 26，由题意得：*1()*E A A kA AA kE A E kE -=-+=--=--，即 13k A =--=- 27，（1）.因为2AX B X =+， 所以()2A E X B -=，又因为()111013112111110112211A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则()13112135242110012201211103311X A E B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由题意得：11()()()()AXA BXB AXB BXA EA B X A B E X A B A B --+--=⇒--=⇒=-- 故：11111111125011011012001001001X ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3）由12*0,2n A A AA A ->==⇒=1*1002211002210022A A A A-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⇒=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦由111111133()31263()332231122ABA BA E ABA BA E A E BA E B A E A -------=+⇒-=⇒-=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⇒=-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦28，因为A ，B ，C 都是非奇异矩阵，所以1A -，1B -，1C -存在，又111111ABC C B A C B A ABC E ------==， 则由推论知ABC 可逆，且()1111ABC C B A ----=29，111111AB BA B ABBB BAB B A AB ------=⇔=⇔=，111111AB BA A ABA A BAA BA A B ------=⇔=⇔=， ()()111111AB BA AB BA B A A B ------=⇔=⇔=，综上可得11111111AB BA ABB A A B BA A B B A --------=⇔=⇔=⇔=.30，（1）不成立，A B =-时不成立.（2）成立，A ，B 可逆，0A ≠，0B ≠，0AB A B =≠，则AB 可逆. （3）成立，AB 可逆，0AB A B =≠，0A ≠，0B ≠，则A ，B 可逆. 31，()2200A A E A A E A E A E A -+=⇒-=⇒-=⇒≠， 即A 为非奇异矩阵. 32，因为B 可逆，所以0B ≠，20B B B =≠，又22A AB B O ++=，则22A AB B +=-，()()22210nA AB A A B A A B B B +=+=+=-=-≠，即0A ≠，0A B +≠， 由推论知A 和A B +都可逆. 33，证明：假设*A 可逆，则1*00n A AA -=≠⇒≠，即A 可逆，1A -存在，再由2211A A A A AA A E --=⇒=⇒=与题设A E ≠矛盾，故假设不成立即*A 不可逆，证毕。
线性代数习题 第二章 (附详解)
线性代数习题 第二章 （附详解）第二章 矩阵及其运算【编号】ZSWD2023B0061 1 已知线性变换3213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换解： 由已知221321323513122y y y x x x故3211221323513122x x x y y y321423736947y y y 321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2 已知两个线性变换32133212311542322y y y x y y y x y y x 323312211323z z y z z y z z y求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解： 由已知221321514232102y y y x x x321310102013514232102z z z321161109412316z z z所以有 3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3 设 111111111A150421321B 求3AB 2A 及A TB解：1111111112150421321111111111323A AB2294201722213211111111120926508503092650850150421321111111111B A T4 计算下列乘积(1)127075321134解：127075321134 102775132)2(7111237449635(2)123)321(解：123)321( (1 3 2 2 3 1) (10)(3))21(312解： )21(31223)1(321)1(122)1(2632142(4)20413121013143110412 解：20413121013143110412 6520876(5)321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x 解：321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x(a 11x 1 a 12x 2 a 13x 3 a 12x 1 a 22x 2 a 23x 3 a 13x 1 a 23x 2 a 33x 3)321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a5 设3121A2101B 问(1)AB BA 吗? 解： AB BA 因为6443AB8321BA 所以AB BA(2)(A B)2A 22AB B 2吗? 解： (A B)2A 22AB B 2因为5222B A52225222)(2B A2914148但 43011288611483222B AB A27151610 所以(A B)2A 22AB B 2(3)(A B)(A B) A 2B 2吗?解： (A B)(A B) A 2B 2因为5222B A1020B A906010205222))((B A B A而718243011148322B A 故(A B)(A B) A 2B 26 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A 20 则A 0解： 取0010A 则A 20 但A 0 (2)若A 2A 则A 0或A E 解： 取0011A 则A 2A 但A 0且A E (3)若AX AY 且A 0 则X Y 解： 取0001A 1111X1011Y则AX AY 且A 0 但X Y7 设101 A 求A 2A 3A k解：12011011012 A1301101120123 A A A101 k A k8 设001001A 求Ak解： 首先观察0010010010012A2220020123232323003033 A A A43423434004064 A A A545345450050105A A AkA k k kk k k k k k k 0002)1(121用数学归纳法证明 当k 2时 显然成立 假设k 时成立，则k 1时，0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k 由数学归纳法原理知k k k k k k k k k k k A 0002)1(1219 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B TAB 也是对称矩阵 证明： 因为A TA 所以(B TAB)TB T(B TA)TB T A TB B TAB从而B TAB 是对称矩阵10 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明： 充分性 因为A TA B TB 且AB BA 所以(AB)T(BA)TA TB TAB即AB 是对称矩阵必要性 因为A TA B TB 且(AB)TAB 所以AB (AB)TB T A TBA11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)5221 解：5221A |A| 1 故A 1存在 因为1225*22122111A A A A A故 *||11A A A1225(2)cos sin sin cos 解cos sin sin cos A |A| 1 0 故A 1存在 因为cos sin sin cos *22122111A A A A A所以 *||11A A Acos sin sin cos(3)145243121解145243121A |A| 2 0 故A 1存在 因为214321613024*332313322212312111A A A AA A A A A A所以 *||11A A A1716213213012(4)n a a a 0021(a 1a 2a n0)解 n a a a A 0021由对角矩阵的性质知n a a a A 1001121112 解下列矩阵方程 (1)12643152X解：126431521X1264215380232(2)234311*********X 解： 1111012112234311X0332321012343113132538122(3)101311022141X解： 11110210132141X2101101311421212101036612104111 (4)021102341010100001100001010X解： 11010100001021102341100001010X01010000102110234110000101020143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组(1) 3532522132321321321x x x x x x x x x解： 方程组可表示为321153522321321x x x故0013211535223211321x x x从而有 001321x x x(2) 05231322321321321x x x x x x x x x解： 方程组可表示为012523312111321x x x故3050125233121111321x x x 故有 305321x x x14 设A kO (k 为正整数) 证明(E A) 1E A A 2A k 1证明： 因为A kO 所以E A kE 又因为E A k(E A)(E A A 2A k 1)所以 (E A)(E A A 2A k 1) E由定理2推论知(E A)可逆 且 (E A) 1E A A 2A k 1证明 一方面 有E (E A) 1(E A)另一方面 由A kO 有E (E A) (A A 2) A 2A k 1(A k 1A k)(E A A 2 Ak 1)(E A)故 (E A) 1(E A) (E A A 2A k 1)(E A)两端同时右乘(E A) 1就有 (E A) 1(E A) E A A 2A k 115 设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆 并求A 1及(A 2E) 1证明： 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 即A(A E) 2E或 E E A A)(21 由定理2推论知A 可逆 且)(211E A A 由A 2A 2E O 得A 2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E或 E A E E A)3(41)2( 由定理2推论知(A 2E)可逆 且)3(41)2(1A E E A证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得 |A 2A| 2即 |A||A E| 2 故 |A| 0所以A 可逆 而A 2E A 2|A 2E| |A 2| |A|20 故A 2E 也可逆由 A 2A 2E O A(A E) 2EA 1A(A E) 2A 1E )(211E A A又由 A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E (A 2E)(A 3E) 4 E所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E) 4(A 2 E) 1)3(41)2(1A E E A16 设A 为3阶矩阵 21||A 求|(2A) 15A*| 解： 因为*||11A A A所以 |||521||*5)2(|111 A A A A A |2521|11 A A | 2A 1| ( 2)3|A 1| 8|A| 18 2 1617 设矩阵A 可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*) 1(A 1)*证明： 由*||11A A A得A* |A|A 1所以当A 可逆时 有|A*| |A|n|A 1| |A|n 10 从而A*也可逆因为A* |A|A 1所以(A*) 1|A| 1A又*)(||)*(||1111A A A A A 所以 (A*) 1|A| 1A |A| 1|A|(A 1)* (A 1)*18 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A| 0 则|A*| 0 (2)|A*| |A|n 1证明：(1)用反证法证明 假设|A*| 0 则有A*(A*) 1E 由此得A A A*(A*) 1|A|E(A*) 1O所以A* O 这与|A*| 0矛盾，故当|A| 0时 有|A*| 0(2)由于*||11A A A则AA* |A|E 取行列式得到 |A||A*| |A|n若|A| 0 则|A*| |A|n 1若|A| 0 由(1)知|A*| 0 此时命题也成立 因此|A*| |A|n 119 设321011330A AB A 2B 求B解： 由AB A 2E 可得(A 2E)B A 故321011330121011332)2(11A E A B01132133020 设101020101A 且AB E A 2B 求B解： 由AB E A 2B 得(A E)B A 2E即 (A E)B (A E)(A E)因为01001010100|| E A 所以(A E)可逆 从而201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求B 解： 由A*BA 2BA 8E 得 (A* 2E)BA 8E B 8(A* 2E) 1A 18[A(A* 2E)] 18(AA* 2A)18(|A|E 2A) 18( 2E 2A) 14(E A)14[diag(2 1 2)] 1)21 ,1 21(diag 4 2diag(1 2 1)22 已知矩阵A 的伴随阵8030010100100001*A 且ABA 1BA 13E 求B解： 由|A*| |A|38 得|A| 2由ABA 1BA 13E 得AB B 3AB 3(A E) 1A 3[A(E A 1)] 1A11*)2(6*)21(3A E A E103006060060000660300101001000016123 设P 1AP 其中1141P2001 求A 11解： 由P 1AP 得A P P 1所以A 11A=P 11P 1. |P| 31141*P 1141311P而11111120 012001故31313431200111411111A6846832732273124 设AP P 其中111201111P511求 (A) A 8(5E 6A A 2) 解： ( ) 8(5E 6 2)diag(1 1 58)[diag(5 5 5) diag( 6 6 30) diag(1 1 25)] diag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 0 0) (A) P ( )P 1*)(||1P P P1213032220000000011112011112111111111425 设矩阵A、B 及A B 都可逆 证明A 1B 1也可逆 并求其逆阵证明： 因为A 1(A B)B 1B 1A 1A 1B 1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1(A B)B 1可逆 即A 1B 1可逆(A 1B 1) 1[A 1(A B)B 1] 1B(A B) 1A26 计算30003200121013013000120010100121 解： 设10211A30122A 12131B30322B则 2121B O B E A O E A222111B A O B B A A而4225303212131021211B B A90343032301222B A 所以 2121B O B E A O E A 222111B A O B B A A9000340042102521即30003200121013013000120010100121900034004210252127 取1001D C B A 验证|||||||| D C B A D C B A解：4100120021010*********0021010010110100101D C B A 而01111|||||||| D C B A 故|||||||| D C B A D C B A28 设22023443O O A 求|A 8|及A 4解： 令 34431A22022A则21A O O A A故 8218 A O O A A8281A O O A 1682818281810|||||||||| A A A A A464444241422025005O O A O O A A29 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆 求 (1)1O B A O解： 设43211C C C C O B A O 则O B A O 4321C C C Cs n E O O E BC BC AC AC 2143 由此得 s n E BC O BC O AC E AC 2143 121413B C O C O C A C所以O A B O O B A O 111(2)1B C O A解： 设43211D D D D B C O A 则s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得 s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121 14113211B D CA B D O D A D所以11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)2500380000120025 解： 设1225A2538B 则5221122511A8532253811B于是850032000052002125003800001200251111B A B A(2)4121031200210001 解： 设 2101A 4103B2112C 则1111114121031200210001B CA B O A BC O A411212458103161210021210001。
线性代数课程作业及答案2
线性代数作业2单项选择题第1题设A为方阵，则A的行列式det(A)=0是A的列向量组线性相关的___。
A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既非充分条件，也非必要条件答案：C第2题答案：D第3题答案：D第4题设α1,α2,α3是方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也可作为方程组Ax=0的基础解系的是___。
A、α1+α2,α2+α3,α3-α1B、α1+α2,α2+α3, α1+2α2+α3C、α1,α1+α2,α1-α2D、α1+α2,α1-α2,α3答案：D第5题答案：A第6题 9——设Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b对应的是非齐次线性方程组，则必成立___。
A、若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解；B、若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解C、若Ax=b有唯一解，则Ax=0有非零解D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解答案：D第7题已知4阶方阵A的行列式det(A)=0，则A中___。
A、必有两列的元素对应成比例B、必有一列的元素全为零C、必有一列向量是其余列向量的线性组合D、任一列向量是其余列向量的线性组合答案：C第8题设A为m×n矩阵，则方程组Ax=0仅有零解的充要条件是___。
A、A的列向量组线性无关B、A的列向量组线性相关C、A的行向量组线性无关D、A的行向量组线性相关答案：A第9题答案：C第10题向量组（I）：α1,α2,…,αm(m≥3)线性无关的充要条件是___。
A、存在一组不全为零的数k1,k2,…,k m，使k1α1+ k2α2+…+ k mαm≠0B、存在一组不全为零的数k1,k2,…,k m，使k1α1+ k2α2+…+ k mαm≠0C、（I）中存在一个向量，它不能由其余m-1个向量线性表出D、（I）中任一向量都不能由其余m-1个向量线性表出答案：D第11题设向量组（I）：α1,α2,…,αm的秩为r，且r< m，则___。
A、(I）中必有r个向量线性无关，且（I）中任意r+1个向量都线性相关B、（I）中任意r个向量都线性无关C、（I）中任意r个向量都构成（I）的最大无关组D、（I）中任一向量都可由该组中其它任意r个向量线性表出答案：A第12题设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是___。
经济数学线性代数第二章习题答案
习题二参考答案(Ａ)1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=543212132131A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=424222242242B ，求(1) B A 32+；(2) 若X 满足X B X A +=-2，求X ．解：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+42422224224254321213213132B A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2221824281828184. (2) 由X B X A +=-2得，B A X -=22，所以B A X 21+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42422224224221543212132131⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=351323013012.2.计算解：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24317421432231321.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--86164233241121123.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963642321)321(321.(4)10321)123(=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛.(5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=321333223113323222121313212111x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=．3.已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=-=3213321231123232y y y x y y y x y y x ，⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=-=213212211323zz y z z y z z y ，(1)试把这两个线性变换分别写成矩阵形式；(2)用矩阵乘法求连续施行上述变换的结果． 解：(1) 写成矩阵形式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321213121302y y y x x x ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21321311231z z y y y .(2)连续施行上述变换有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21213214146155311231213121302z z z z x x x .4.某企业在一月份出口到三个国家的两种货物的数量以及两种货物的积各为多少？解：设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6001300100088012002000A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2.03.0P ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=05.0012.0W ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=6.012.0V ，则该企业出口到三个地区的货物总价值为()()384720080060013001000880120020002.03.0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A P T ；总重量为()()6.1354.7974600130010008801200200005.0012.0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A W T ； 总体积为()()6.46530084060013001000880120020006.012.0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A V T ．5.计算下列矩阵(其中n 为正整数)．(1) n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011； (2) n⎪⎪⎭⎫⎝⎛101λ； (3)nc b a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000； (4)n⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------1111111111111111．解： 2=n 时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110011001100112， 假设当k n =时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001100110011k成立，则当1+=k n 时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001100110011k ，有归纳法有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110011n． (2) 2=n 时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10211011011012λλλλ，假设当k n =时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101101λλk k 成立，则 当1+=k n 时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+10)1(11011011011λλλλk kk ， 有归纳法有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101101λλn n．(3) 2=n 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222200000000000000000000000c b a c b a c b a c b a ， 假设当k n =时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k kc b a c b a 000000000000成立，则 当1+=k n 时， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++1111000000000000000000000000k k k kk c b ac b a c b a c b a ， 有归纳法有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n nc b a c b a 00000000000． (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=1111111111111111A , 2=n 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=4000040000400004111111111111111111111111111111112AE 22=,3=n 时，A A A A 2232==,于是，当k n 2=（k 为正整数）时，E E A A n k k n 2)2()(22===,当12+=k n （k 为正整数）时，A A E A A A A n k k k n 122122)2(-+====, 因此得⎩⎨⎧=-为奇数）（为偶数）n En EA n n n12(2.6.设0111)(a x a xa x a x f n n nn ++++=-- ，记E a A a A a A a A f n n nn 0111)(++++=-- ，称)(A f 为方阵A 的n 次多项式．现设1)(2+-=x x x f ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211012113A ，求)(A f ．解: E A A A f +-=2)(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1000100012110121132110121132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010001211012113527218538⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=416216426. 7.设矩阵A 、B 是可交换的，试证： (1) 22))((B A B A B A -=-+； (2) 2222)(B AB A B A ++=+．证明:因为矩阵A 、B 是可交换的，所以BA AB =,因此有(1) 22))((B AB BA A B A B A --+=-+22B A -=，(2) 222_)(B AB BA A B A +++=+222B AB A ++=. 8.设A 、B 是同阶矩阵，且)(21E B A +=，证明：A A =2的充分必要条件是E B =2．证明:必要性 如果 A A =2，则)(21)](21[2E B E B +=+， 由于矩阵B 与E 是可交换的，由上式得)(21)2(412E B E B B +=++ 整理得 E B =2．充分性 如果E B =2，则A EB E B B E B A =+=++=+=)(21)2(41)](21[222．9.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=a bcd b a d c c d a bd c b aA d c b a ,,,(均为实数）， (1)计算TAA ；(2)利用(1)的结果，求A ．解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=a b cdb a dc cd a b d c b a a bcd b a d c c d a b d c b aAA T⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++++=2222222222222222000000000000d c b a d c b a d c b a d c b a(2)由(1)有422222)(d c b a A A A AA T T +++===，所以22222)(d c b a A +++=．10. 证明题：(1)对于任意的n m ⨯矩阵A ，则T AA 和A A T 均为对称矩阵． (2) 对于任意的n 阶矩阵A ，则T A A +为对称矩阵；而-A T A 为反对称矩阵．证明：(1) 因为TTTTTTAA A A AA ==)()(，所以T AA 为对称矩阵；又因为A A A A A A TTTTTT==)()(，所以A A T为对称矩阵．(2) 因为TTTTTTA A A A A A +=+=+)()(，所以TA A +为对称矩阵；又因为)()()(TTTTTTTA A A A A A A A --=-=-=-，所以T A A +为反对称矩阵．11.如果A 、B 是同阶对称阵，则AB 是对称阵的充分必要条件是AB BA =．证明：必要性 如果AB 是对称阵，则AB AB T=)(，即AB A B TT =，由已知有 B B A A TT==,，所以BA AB =．充分性 如果BA AB =，则AB BA A B AB T T T ===)(，所以AB 是对称阵．12.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明(1) 若 0=A ，则 0=*A ； (2) 1-*=n AA ．证明：(1)假设0≠*A ，则E A A =-**1)(，由此得 O A E A A AA A ===-*-**11)()(，所以 O A =*，这与0≠*A 相矛盾，故0=A 时，有0=*A ．(2) 由E A AA =*得，nA A A =*，若0≠A 时，有1-*=n AA ，若0=A 时，由(1)知0=*A ，等式也成立，故有1-*=n AA ，13.设n 阶矩阵A ,B ,C 满足E ABC =，则下列各式中哪一个必定成立？简述理由．(1)E ACB =，(2)E CBA =，(3)E BAC =，(4)E BCA =.解：由E ABC =可改写为E BC A =)(，即BC 是A 的逆矩阵，所以有E A BC =)(，即(4) 必定成立．类似可得(1)、(2)、(3)未必成立. 14.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵，下列各式一定成立的有哪些？简述理由．(1) 1111])[(])[(----=TTA A ；(2) T T T A A ])[(])[(111---=；(3) k k A A )()(11--= (k 为正整数)；(4) 111)(---+=+B A B A ； (5) T T TB A AB )()(])[(111---=； (6) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---O B A O O B A O 111． 解: (1)由于TTA A =--])[(11,T TA A =--11])[(,所以1111])[(])[(----=T T A A ,即(1)式一定成立．(2) 由于11])[(--=A A T T,T T A A =--])[(11，即(２)式不一定成立．(3) k kk A A A A A AA A )()()(111111------===，(３)式一定成立．(4)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1001B ，显然A 、B 都可逆，但是 O B A =+不可逆，故(４)式不成立．(5) 由于T T T T T T T B A B A A B AB )()()())()(])[(111111------===，即(５)式一定成立．(6) 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1111BA O O AB O BA OO B A O 但是11--BA AB 和不一定等于E ，故(6) 式不一定成立15.设A 是n 阶矩阵，满足O A k=k (是正整数),求证：A E -可逆， 并且121)(--++++=-k A A A E A E ．证明：因为))((12-++++-k A A A E A Ek A E -= E =，所以A E -可逆，并且121)(--++++=-k A A A E A E ．16.设A 是可逆矩阵，证明：其伴随矩阵*A 也可逆，且*--*=)()(11A A ．证明：因为A 是可逆矩阵，所以0≠A ，由于E A AA =*，有E AA A=*1， 因此，伴随矩阵*A 也可逆． 由上述证明可知A AA 1)(1=-*， 又因为 E A A A 111))((-*--=，所以 A AA A A 1)(1)(111==--*-， 故 *--*=)()(11A A ．17.设A 、B 和B A +均是可逆矩阵，试证：11--+B A 也可逆，并求其逆矩阵．解：11111-----+=+AB A A B A)(11--+=AB E A )(111---+=AB BB A11)(--+=B A B A ，由于A 、B 和B A +均是可逆矩阵，它们的乘积也可逆，所以有=+---111)(B A 111])([---+B A B A11111)()()(-----+=A A B B A A B B 1)(-+=．18.设A 为三阶矩阵，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，已知21=A ，求 *--A A 2)3(1．解：因为21=A ，所以有A 可逆，且有211==--A A ．而E A AA =*，于是1121--*==A A A A ，因此有*--A A 2)3(11131---=A A 132--=A 1278--=A 2716-=．19.用分块矩阵的乘法计算.(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1102012124221011110200100001；(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--020222202010111101．解：(1) 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---B A O E 1011110200100001， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---F E D C110201212422， 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A O E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛F E D C⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=BF AD B AC DC而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+4433101112221102B AC ， BF AD +⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+35121011241102BF AS ，于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3445332124221102012124221011110200100001． (2)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321010111101A A A ，()321020222202B B B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--，则()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111321321B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B B A A A ， 而()202210111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A ，()222010121-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B A ，()202210131-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A ，()002211112=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A ，()422011122=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A ，()402211132-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A ，()202201013=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A ，()222001023-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A ，()202201033=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A ，于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--222440222020222202010111101． 20.求分块矩阵的逆矩阵．(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4300110000110032； (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2000133412121211． 解：(1)记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1132A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4311B ，则 11132-==A ，14311-=--=B ，所以A 、B 都可逆，且有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--2131113211A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--1314431111B ，于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---130014000021003143001100001100321．(2)记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=334212211A ，)2(=B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111C ，因为04334212211≠=----=A ，022≠==B ，所以A 、B 均是可逆矩阵，且有 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-3722524931A，)21(1=-B ，根据例2.17的结论有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111B O CB A A B OC A ， -=---11CB A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------372252493⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4255)21(，所以=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1B OC A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------210004372252525493． 21.设A 为三阶矩阵，2-=A ，把A 按列分块为),,(321A A A A =， 其中j A )3,2,1(=j 为A 的第j 列，求(1) 231,2,A A A -； (2) 1213,2,3A A A A -． 解： (1) 231231,,2,2,A A A A A A -=- 321,,2A A A =A 2=4-=．(2) 1213,2,3A A A A -123,2,A A A =3212,,A A A = 1232,,A A A =- 2A =-4=．22.设A 为n 阶矩阵，把A 按列分块为),,,(21n A βββ =，j β),,2,1(n j =为A 的第j 列，试用n βββ,,,21 表示A A T ．解：),,,(2121n T N T T T A A ββββββ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n Tn T n T n n TT T n T T T ββββββββββββββββββ21222121211123.设A 为三阶可逆矩阵，若A 按行分块为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321A A A A ，按列分块为),,(321B B B A =，试判断下列分块矩阵是否可逆．(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++133221A A A A A A ； (2) ),,(133221B B B B B B ---．解：(1)利用行列式的性质计算分块矩阵的行列式133232113323211332212)(2A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ++++=++++=+++133212A A A A A ++=33212A A A A +=3212A A A =02≠=A ，从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++133221A A A A A A 可逆．(2) 0,,,,1332133221=--=---B B B B O B B B B B B ， 从而),,(133221B B B B B B ---不可逆．24.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则下列各式中哪一个必定成立？简述理由．(1)B P AP =21；(2)B P AP =12；(3)B A P P =21；(4)B A P P =12．解：因为A 的第一行加到第三行，再交换的第一行和第二行，从而得得到B ，故用2P 左乘A ，再左乘1P ，即B A P P =21，(3)式必定成立．25.求下列矩阵的等价标准形．(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--021123211； (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---433221； (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-34624216311230211111．解：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--210550001210550211021123211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→100010001300010001210110001． (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---201001201021433221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→001001． (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1022010520105201111134624216311230211111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→0070000000105200000110220105201052000001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→00000001000001000001． 26.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵．(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121322011； (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300420531； (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------111111*********1； (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000000000000121nn a a a a ),,2,1(,0n i a i =≠．解：(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101110012340001011100121010322001011 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→416100101110001011012340101110001011 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→416100315010314001416100101110001011，所以1121322011-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=416315314．(2)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3100100010420001531100300010420001531⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→310010032210010350103131001000210210001531 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→31001003221001031231001， 所以=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1300420531⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--31003221031231． (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1001022001012020001122000001111110001111010011110010111100011111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------→1111400000112200010120200001111111002200001122000101202000011111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------→414141411000414********0414********0414141410001414141411000212121210200212121210020414141430111，所以=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------11111111111111111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------41414141414141414141414141414141． (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0100000000010000000000100000000010000121nn a a a a⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→-01000000000100000000010000100000000121n n a a a a⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→-----000100000000001000000000100000000011112111n n a a a a， 所以=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1121000000000000000 nn a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----0000000000000001112111n n a a a a． 27.解下列矩阵方程．(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3211024311X ； (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120311*********X ；(3) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--101311122131X ； (4) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101110011A ，且AX A X =+2，求X ． 解：(1)因为14311=，所以矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛4311可逆，在方程的两边左乘该矩阵的逆矩阵，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-32110243111X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3211021314 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=025127．(2) 因为1311211401=，所以矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛311211401可逆，在方程的两边右乘该矩阵的逆矩阵，得1311211*********-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111211********* ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=532100． (3) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2131A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1112B ，则1-=A ，1=B ， 故矩阵B A ,都可逆，在方程的两边左乘1-A ，右乘1-B ，得11111210132131--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211110131132 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=3345． (4)由AX A X =+2得，A X E A =-)2(，而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-10111001110001000121011100112E A ，且02≠-E A ，所以E A 2-可逆，在A X E A =-)2(两边左乘1)2(--E A 得，A E A X 1)2(--=，又⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=--212121212121212121)2(1E A ， 故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=101110011212121212121212121X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=011101110． 28.求下列矩阵的秩．(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10030116030242201211．解：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211443112112013 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→000056401211564056401211， 所以该矩阵的秩是２.(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1003014030000000121110030116030242201211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000040001003001211， 所以该矩阵的秩是３.29.已知n 阶矩阵A 满足O E A A =--422，证明：E A +为可逆矩阵；并求1)(-+E A ．解：由O E A A =--422得，E E A A =--322，即E E A E A =+-))(3(，所以E A +为可逆矩阵，E A E A 3)(1-=+-．30.已知n 阶矩阵A ,B 满足AB B A =+，(1) 证明：E B -为可逆矩阵；(2) 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031A ，求矩阵B ．证明：(1)由AB B A =+得， )(E B A B -=， 即E E B A E B --=-)(， 整理的E E B E A =--))((， 因此E B -可逆，且E A E B -=--1)(．解：(2)由(1)得，1)(--=-E A E B ， 即1)(--+=E A E B1100002030100010001-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20001310211．(B)1.若A 、B 是n 阶方阵，且AB E +可逆，则BA E +也可逆，且 A AB E B E BA E 11)()(--+-=+．证明：])()[(1A AB E B E BA E -+-+A AB E BAB A AB E B BA E 11)()(--+-+-+=A AB E E AB E B A AB E B BA E 11))(()(--+-+-+-+=E =，所以BA E +也可逆，且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+．2. 设B 为可逆矩阵，A 、B 是同阶方阵，且O B AB A =++22，证明：A 和B A +都为可逆矩阵．证明：由O B AB A =++22得，22B AB A -=+，即2)(B B A A -=+， 由于B 为可逆矩阵，所以0≠B ，因而有 02≠-=+B B A A ，于是00≠+≠B A A ，所以A 和B A +都为可逆矩阵．3.已知实矩阵33)(⨯=ij a A 满足 (1) ij ij A a =)3,2,1,(=j i ，其中ij A 是ij a 的代数余子式；(2)011≠a ，计算A ．解：由ij ij A a =)3,2,1,(=j i 得， E A AA AA T==*，于是 32A AAA T==，从而0=A 或1=A ， 但由于011≠a 得，0213212211131312121111>++=++=a a a A a A a A a A ， 因此 1=A ．4.设A 、B 为同阶可逆矩阵，证明：***=A B AB )(． 证明：因为A 、B 为同阶可逆矩阵，所以有0≠=B A AB ，即AB 也可逆，而E AB AB AB =*))((， 于是AB AB AB 1)()(-*=B A A B 11--=))((11A A B B--=**=A B ． 5.设矩阵B 的伴随矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=*8031010100100001B ， 且E AB BAB311+=--，求A ．解：由题有E B B B =*，4B B B =*，所以 83==*BB ，即2=B ．又E AB BAB 311+=--从而E ABE B 3)(1=--，B A E B 3)(=-，即 E A B E 3)(1=--于是 E A B B E 3)1(=-*，E A B E 3)21(=-*，E A B E 6)2(=-*， 故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-*1031060100600006)2(61B E A6.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ， 且矩阵X 满足X AX A 21+=-*，其中*A 是A 的伴随矩阵，求矩阵X ．解：由E A A A =*，X A X A 21+=-* 有AX E X A 2+=，于是 E X A E A =-)2(，所以 1)2(--=A E A X ． 而4111111111=---=A ，于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-22222222211111111124000400042A E A ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=-10111001141)2(1A E A X ． 7．已知A 、B 都是n 阶矩阵，且满足E B B A 421-=-．其中E 为n 阶单位矩阵．(1) 证明：E A 2-可逆，并求1)2(--E A ；(2) 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200021021B ，求矩阵A ． 证明：(1) 由于E B B A 421-=-，因此A AB B 42-=， 于是E E A B AB 8842=+--, 即E E B E A 8)4)(2(=--,从而E A 2-可逆，且有)4(81)2(1E B E A -=--． 由(1)得1)4(82--=-E B E A ，即1)4(82--+=E B E A ， 而11400040004200021021)4(--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-E B1200021023-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=21000838104141， 所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100083810414181000100012A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=200011020． 8.设n 阶矩阵A 满足A A =2，E 是n 阶单位矩阵，证明：n E A r A r =-+)()(．证明：因为A A =2，因此A A =2，即O E A A =-)(， 从而n E A r A r ≤-+)()(，又)()(A E r E A r -=-， 所以)()()()(A E r A r E A r A r -+=-+ )(A E A r -+≥n =，故 n E A r A r =-+)()(．9.设*A 是)2(≥n n 阶方阵A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1)(01)(1)()(n A r n A r n A r n A r 若若若．证明：(1) 因为n A r =)(，所以A 可逆，于是0≠A ．而E A A A =*，因此*A 也可逆，故n A r =*)(．(2) 因为1)(-=n A r ，所以0=A ，于是0==*E A A A ，从而n A r A r ≤+*)()(，又 1)(-=n A r ，所以 1)(≤*A r ．又1)(-=n A r 知A 中至少有一个1-n 阶子式不为零，所以1)(≥*A r ，从而1)(=*A r ．(3) 因为1)(-<n A r ，所以A 中的任一1-n 阶子式为零，故0=*A ，所以0)(=*A r ．10. 设A 为n 阶非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 是常数．记分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=*A A O EP T α，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b A Q T αα， 其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵． (1)计算并化简PQ ；(2)证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是b A T ≠-αα1． 解：(1) 因为E A A A =*，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=*b A A A O EPQ T T ααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=**A b A A A A A T T T ααααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-A b A A O A T ααα1 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-)(1αααA b A O A T ． 证明：(2) 由(1)得 )(1ααα--=A b A OAPQ T ，即 )(12αα--⋅=A b A Q P T，而0≠==-=*A A E AA O E P T α，所以)(1αα--⋅=A b A Q T，由此可知，矩阵0≠Q 的充分必要条件是01≠--ααA b T，即矩阵Q 可逆的充分必要条件是b A T≠-αα1．。
线性代数2试卷及答案
线性代数（经管类）试题(出卷人：黄继忠)试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A 是3阶方阵，且|A |=-21，则|A -1|=（ ） A ．-2 B ．-21 C ．21 D ．2 2. 设A 为n 阶方阵，令方阵B =A +A T ，则必有（ ） A ．B T =B B ．B =2A C ．B T =-B D ．B =03. 设A 为四阶矩阵，且,2=A 则=*A （ ） A.2 B.4 C.8 D.124. 下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100101110C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0013000105. 设A 是m ×n 矩阵，B 是m ×n 矩阵，则下列结果中是n 阶方阵的是（m ≠n ）（ ）A ．AB T B ．A T BC ．B A TD ．A B 6. 已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ ） A. 4321,,,αααα线性无关 B. 4321,,,αααα线性相关 C. 1α可由432,,ααα线性表示D. 43,αα线性无关7. 设A 为m n ⨯矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（ ） A.A 的行向量组线性无关 B.A 的行向量组线性相关 C.A 的列向量组线性无关 D.A 的列向量组线性相关 8. 设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ） A ．E-A B ．-E-AC ．2E-AD ．-2E-A9. 与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是（ ）A.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001 B.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011 C.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001 D.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101 10. 设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111，则二次型f(x 1，x 2)=x T Ax 是（ ） A.正定 B.负定 C.半正定 D.不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数第二章习题及解答
解：令 X
−1
比较矩阵等式得
4
AX21 = E, AX22 = 0, BX12 + CX22 = E, BX11 + CX21 = 0, 于是 X21 = A−1 , X22 = 0 X12 = B −1 , X11 = −B −1 CA−1 15.A 的元素均为整数， 求证 A−1 的元素均为整数的充要条件是 |A| = ±1
那么 1 1 0 1 0 0 0 0
A=0 0 0 1 0 , 分别求 A−1 , B −1 1 1 0 1
和 C −1
(
解:A−1 = sin θ cos θ 1 2 2 B −1 = 1 1 −2 9 2 2 −2 1
cos θ
− sin θ
)
2
C
−1
0 = 0 0
1
−1 0 0
1 −1 1 0 2
1 −1
1 −1 1 −1
2 1
1 1 1
1 = 1
9.解矩阵方程
3
1 2 −1 2
0 X = −1 0 ; 10.解矩阵方程A 0 1 −2 3 1 0 0
aa7a是实对称矩阵且注意到ax我们仅对矩阵ab进行行初等变换将10如法炮制恕不赘述其结果为11
第二章练习题解答
( 1. 设 A = , 计算： 2A, 3B, A + B, 2A − 3B 1 1 1 3 1 1 2. 设 A = 2 1 2 , B = 2 −1 0 , 求 AB − BA. 1 0 2 1 2 3 1 a11 a12 · · · a1n 2 a21 a22 · · · a2n 0 3. 计算 . . . . . . . . . .. . an1 an2 · · · ann 0 ( ) ( ) ( 2 3 1 0 2 4. 已知 A = P ΛQ, 其中 P = ,Λ = ,Q = 1 2 0 −1 −1 2 −1 ,B = 1 2 A8 , A9 , A2n , A2n+1 , (n 为正整数) 解:An = P ΛQP ΛQ · · · P ΛQ
《线性代数》阶段测试题（1-5套）24P
《线性代数》阶段测试题（注：请下载后留言索取DOC 版文件）线性代数阶段测试题（一） .................................................................. 1 线性代数阶段测试题（二） .................................................................. 5 线性代数阶段测试题（三） ................................................................ 10 线性代数阶段测试题（四） ................................................................ 20 线性代数阶段测试题（五） . (22)线性代数阶段测试题（一）一、填空题1. 排列34679215的逆序数记为τ(34679215)= ___________.2. 行列式321111-c b a= ___________.3. 行列式513231412--的代数余子式31A = __________, 23A = __________. 4. 若将行列式D 的某两行互换，再将其中某一列每个元素都反号，则行列式的值 __________.5. 若行列式每行元素之和都为零，则此行列式的值为 __________。
6. 线形方程组⎩⎨⎧=+=+ndx cx mbx ax 2121 的系数满足 __________时，方程组有唯一解。
二、单项选择题：（每小题只有一个正确答案）1. 若23252113x -=2，则x =（ ） A. 0 B. 30 C.730 D. 42. 000000000002a b c d =（ ）A. abcdB. -abcdC. 2abcdD. -2abcd3.4400373251304321----中的代数余子式34A 为（ ） A. 0 B. 36 C. 12 D. -124. 将n 阶行列式D 中所有元素都反号、形成的行列式的值为（ ） A. 0 B. D C. -D D. D n )1(-5. 若333231232221131211a a a a a a a a a =D，则111213212223313233232323a a a a a a a a a =（ ）A. DB. 2DC. -6DD. 6D三、多项选择题：（每小题至少两个正确答案）1. 若2311221-x x =0，方程的解为x = ( )A. 1B. 2C. 0D. 7E.-72. 以下哪些情况，行列式的值为零（ ） A. 行列式某行元素全为0B. 行列式某列元素的余子式全为0C. 行列式某行元素全部相等D. 行列式两行互换E. 行列式某两列元素对应相等 3.0a x b c d x ++=++（ ）A.x x d c b a 00+B.x d b x x d c b a +++++000 C.x d c b x x d b a +++++000 D.xb x a dc b x a 000+++++ E. 00a x c b d x++++4. 在下列哪些情况下，行列式的值一定不变（ ） A. 行列式转置B. 行列式两列互换C. 行列式某一列元素全部反号D. 行列式某两列元素全部反号E. 行列式的第一行乘以2，最后一列乘以215. 设A=333231232221131211a a a a a a a a a ，记11A 是元素11a 的代数余子式，则（ ）A. A A a A a A a =++323222221212B. 0333123211311=++A a A a A aC. A A a A a A a =++131312121111D. A A a A a A a =++323122211211E. A A a A a A a =++322322221221 四、计算题：1. 解方程：12022021+-x x x =0 ——答：2. 若333231232221131211a a a a a a a a a =2，求 333231312322212113121111456456456a a a a a a a a a a a a ---——答：3. 求261517215131412---x 中x 的系数——答：4. 计算2132651192311021- ——答：5. 若某四阶行列式第三行元素依次为527234333231=-===a a a a ，，，对应的余子式依次为,231634333231====M M M M ，，，，求此行列式的值。
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∙A)
A的列向量线性无关∙B)
A的列向量线性相关∙C)
A的行向量线性无关∙D)
A的行向量线性相关
∙A)
∙B)
∙C)
∙A)
矩阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩
∙B)
矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩
∙C)
一个n阶方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关∙D)
相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值
∙A)
∙C)
∙D)
∙A)
若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解
∙B)
若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解∙C)
若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解∙D)
若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解
参考答案：D
收起解析
解析：
无
∙A)
∙B)
∙C)
∙D)
∙A)
所含向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关
∙B)
如果一个向量组线性无关，则该向量组中一定不包含零向量
∙C)
如果一个向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其它向量线性表示∙D)
如果n阶方阵的行列式为零，则该矩阵的列向量组一定线性无关
∙A)
秩相同的向量组一定是等价向量组
∙B)
一个向量组的最大无关组是唯一的
∙C)
向量组与其最大无关组是等价的
∙D)
如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关
∙A)
∙B)
∙C)
∙D)
∙A)
24
∙B)
12
∙C)
6
∙D)
1
参考答案：B
收起解析
解析：
无。