士兵军考试题:年军队院校招生文化科目统一考试——士兵高中数学模拟试题1(含答案)资料
军考数学高中士兵考军校综合测试卷及答案

2021年军考-高中学历士兵考军校-数学综合测试卷一.选择题(共9小题)1.设集合2{|}M x x x ==,{|0}N x lgx =,则(M N =)A .[0,1]B .(0,1]C .[0,1)D .(-∞,1]2.函数221(2x y -=的单调递减区间为()A .(-∞,0]B.[0,)+∞C .(-∞D .,)+∞3.设02x π<<,则“2cos x x <”是“cos x x <”的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.已知1t >,2log x t =,3log y t =,5log z t =,则()A .235x y z<<B .523z x y<<C .352y z x <<D .325y x z<<5.若关于x 的不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-,1]都成立,则实数a 的取值范围是()A .[4-,3]-B .{3}-C .{3}D .[3,4]6.已知数列{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,312S =,且1a ,2a ,6a 成等比数列,则10(a =)A .33B .28C .4D .4或287.一段1米长的绳子,将其截为3段,问这三段可以组成三角形的概率是()A .14B .12C .18D .138.2251lim 25n n n n →∞--+的值为()A .15-B .52-C .15D .529.已知圆22:(1)1M x y -+=,圆22:(1)1N x y ++=,直线1l ,2l 分别过圆心M ,N ,且1l 与圆M 相交于A ,B 两点,2l 与圆N 相交于C ,D 两点,点P 是椭圆22149x y +=上任意一点,则PA PB PC PD +的最小值为()A .7B .8C .9D .10二.填空题(共8小题)10.49log 43log 2547lg lg ++=.11.已知22sin 3α=,1cos()3αβ+=-,且α,(0,)2πβ∈,则sin β=.12.若函数3()2()f x x ax a R =--∈在(,0)-∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1-,2]上的最小值为.13.从6个人挑选4个人去值班,每人值班一天,第一天安排1个人,第二天安排1个人,第三天安排2个人,则共有种安排情况.14.73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是.15.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈,且11a =,则n a =.16.已知函数()f x 对任意的x R ∈,都有11()()22f x f x +=-,函数(1)f x +是奇函数,当1122x-时,()2f x x =,则方程1()2f x =-在区间[3-,5]内的所有零点之和为.17.已知点O 为坐标原点,圆22:(1)1M x y -+=,圆22:(2)4N x y ++=,A ,B 分别为圆M 和圆N 上的动点,OAB ∆面积的最大值为.参考答案与解析一.选择题(共9小题)1.【解答】解:由2{|}{0M x x x ===,1},{|0}(0N x lgx ==,1],得{0MN =,1}(0⋃,1][0=,1].故选:A .2.【解答】解:令22t x =-,则1()2t y =,即有y 在t R ∈上递减,由于t 在[0x ∈,)+∞上递增,则由复合函数的单调性,可知,函数y 的单调减区间为:[0,)+∞.故选:B .3.【解答】解:由2x x =得0x =或1x =,作出函数cos y x =和2y x =和y x =的图象如图,则由图象可知当2cos x x <时,2B x x π<<,当cos x x <时,2A x x π<<,AB x x <,∴“2cos x x <”是“cos x x <”的充分不必要条件,故选:A .4.【解答】解:1t >,0lgt ∴>.又0235lg lg lg <<<,2202lgt x lg ∴=>,3303lgt y lg =>,505lgtz lg =>,∴5321225z lg x lg =>,可得52z x >.29138x lg y lg =>.可得23x y >.综上可得:325y x z <<.故选:D .5.【解答】解:令3()41f x x ax =+-,[1x ∈-,1].不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-,1]都成立,即()0f x 对任意[1x ∈-,1]都成立,取4a =-,则3()441f x x x =--,此时11()022f -=>,排除A .取3a =,则3()431f x x x =+-,此时1()102f =>,排除CD .故选:B .6.【解答】解:设数列{}n a 为公差为d 的等差数列,当0d =时,312S =,即1312a =,即有1014a a ==;当0d ≠时,1a ,2a ,6a 成等比数列,可得2216a a a =,即2111()(5)a d a a d +=+,化为13d a =,311331212S a d a ∴=+==,11a ∴=,3d =,1019328a ∴=+⨯=.综上可得104a =或28.故选:D .7.【解答】解:设三段长分别为x ,y ,1x y --,则总样本空间为010101x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩.其面积为12,能构成三角形的事件的空间为111x y x y x x y y y x y x +>--⎧⎪+-->⎨⎪+-->⎩,其面积为18,则这三段可以组成三角形的概率是118142p ==.故选:A.8.【解答】解:222215515limlim 152522n n n n n n n n→∞→∞--==-+-+.9.【解答】解:圆22:(1)1M x y -+=的圆心(1,0)M ,半径为1M r =;圆22:(1)1N x y ++=的圆心为(1,0)N -,半径为1N r =;所以22()()()1PA PB PM MA PM MB PM PM MA MB MA MB PM =++=+++=-,22()()()1PC PD PN NC PN ND PN PN NC ND NC ND PN =++=+++=-,P 为椭圆22149x y +=上的点,∴222221022()89y PA PB PC PD PM PN x y +=+-=+=+;由题意可知,33y -,21088189y ∴+,即PA PB PC PD +的最小值为8.故选:B .二.填空题(共8小题)10.【解答】解:原式71243115310072244log log lg -=++=-++=.故答案为:154.11.【解答】解:22sin 3α=,(0,2πα∈,1cos 3α∴==,α∴,(0,2πβ∈,(0,)αβπ∴+∈,又1cos()3αβ+=-,sin()3αβ∴+=.则11sin sin[()]sin()cos cos()sin ()33βαβααβααβα=+-=+-+=--⨯.故答案为:429.12.【解答】解:3()2()f x x ax a R =--∈,2()3(0)f x x a x ∴'=-<,①当0a 时,2()30f x x a '=->,函数()f x 在(,0)-∞上单调递增,又(0)20f =-<,()f x ∴在(,0)-∞上没有零点;②当0a >时,由2()30f x x a '=->,解得33x <或33x >(舍).()f x ∴在(,)3-∞上单调递增,在(3,0)上单调递减,而(0)20f =-<,要使()f x 在(,0)-∞内有且只有一个零点,3(()()20333f a ∴-=--⨯--=,解得3a =,3()32f x x x =--,2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-,[1x ∈-,2],当(1,1)x ∈-时,()0f x '<,()f x 单调递减,当(1,2)x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增.又(1)0f -=,f (1)4=-,f (2)0=,()min f x f ∴=(1)4=-.故答案为:4-.13.【解答】解:根据题意,可得排法共有112654180C C C =种.故答案为:180.14.【解答】解:73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数可这样求得:第一个括号7(1)x -中提供x 时,第二个括号3(1)x +只能提供常数,此时展开式中x 的系数是:1637(1)17C -=;同理可求,第一个括号7(1)x -中提供常数时,第二个括号3(1)x +只能提供x ,此时展开式中x 的系数是7123(1)13C -=-,所以展开式中x 的系数是16371273(1)1(1)14C C -+-=.故答案为:4.15.【解答】解:数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈,可得1111n n S S +-=,所以1{}n S 是等差数列,首项为1,公差为1,所以11(1)1nn n S =+-=,1n S n =,1111(1)n a n n n n -=-=--,2n ,(*)n N ∈,所以1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩,故答案为:1,11,2(1)n n n n =⎧⎪-⎨⎪-⎩.16.【解答】解:根据题意,因为函数(1)f x +是奇函数,所以函数(1)f x +的图象关于点(0,0)对称,把函数(1)f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象,即函数()f x 的图象关于点(1,0))对称,则(2)()f x f x -=-,又因为11()()22f x f x +=-,所以(1)()f x f x -=,从而(2)(1)f x f x -=--,再用x 替换1x -可得(1)()f x f x +=-,所以(2)(1)()f x f x f x +=-+=,即函数()f x 的周期为2,且图象关于直线12x =对称,如图所示,函数()f x 在区间[3-,5]内有8个零点,所有零点之和为12442⨯⨯=.故答案为:4.17.【解答】解:如图以OM 为直径画圆,延长BO 交新圆于E ,AO 交新圆于F 点,连接FE ,NF ,MF ,则MF 与OA 垂直,又MA MO =,F 为AO 的中点,由对称性可得OF OB =,由1sin 2ABO S OA OB AOB ∆=∠,1sin()2EAO S OE OB AOB π∆=-∠1sin 2OE OB AOB =∠,可得2ABO EAO EFO S S S ∆∆∆==,当EFO S ∆最大时,ABO S ∆最大,故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF 的面积的最大值,由圆内接三角形A B C '''的面积1sin 2S a b C '''=,2sin a A ''=,2sin b B ''=,3sin sin sin 2sin sin sin 2()3A B C S A B C '+'+''''=,由()sin f x x =,[0x ∈,]π,为凸函数,可得sin sin sin 3sinsin 3332A B C A B C π'+'+''+'+'==,当且仅当3A B C π'''===时,取得等号,可得3sin sin sin 2()23A B C '+'+'=.即三角形OEF 的面积的最大值为.进而得到ABO S ∆最大值为3333242⨯=,故答案为:332。
2021年军考复习解放军武警(高中)士兵考军校数学综合测试卷附答案解析

则 a b 2 0 ,即 a b 2 ,即 a b 的取值范围是 [2 , ) ,故答案为: [2 , )
11.【详解】函数在 ( ,1] 上有意义,即 a4x 3x 2x 1 0 在 ( ,1] 恒成立,
即 a [(1 )x ( 2)x ( 3)x ] 在 ( ,1] 恒成立, 444
③当 x 1 时, f (x) log2 x , f (x 1) log2 (x 1) ,
不等式 f (x) f (x 1) ,即 log2 x log2 (x 1) ,它恒成立,故 x (1, ) 满足不等式.
综合①②③可得,不等式的解集为 ( 1 , ) ,故选: C . 2
9.【详解】 c 1 a b cos A ,由正弦定理可得 sin C 1 sin A sin B cos A ,
3
参考答案与试题解析
一.选择题(共 9 小题) 1.【详解】集合 A {x | x2 2x 8 0} {x | 2 x 4} , B {x | 1 x 5} ,
A B {x | 1 x 4} .故选: B .
2.【详解】 a2 2 是 a1 1 与 a3 3 的等比中项,设公比为 q(q 0) ,
8.【详解】 函数
f
(x)
lxo2g2
x, x 1, x
1 ,
1
①当 x 0 时, f (x) x2 1 , f (x 1) (x 1)2 1, 不等式 f (x) f (x 1) ,即 x2 1 (x 1)2 1 ,求得 1 x 0 .
2 ②当 x [0 ,1] 时,不等式 f (x) x2 1 , f (x 1) log2 (x 1) ,
C. (0,1)[2 , 3) D. (0,1)[2 , )
军考真题数学【完整版】

2017年军考真题士兵高中数学试题关键词:军考真题,德方军考,大学生士兵考军校,军考数学,军考资料 一、单项选择(每小题4分,共36分).1. 设集合A={y|y=2x ,x ∈R},B={x|x 2﹣1<0},则A ∪B=( )A .(﹣1,1)B .(0,1)C .(﹣1,+∞)D .(0,+∞)2. 已知函数f (x )=a x +log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为(log a 2)+6,则a 的值为( )A .B .C .2D .43. 设a b 、是向量,则||=||a b 是|+|=|-|a b a b 的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知421353=2,4,25a b c ==,则( )A .b<a<cB .a<b<cC .b<c<aD . c<a<b 5. 设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A .B .C .D .6. 设数列{a n }是首项为a 1、公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和,若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1=( )A .2B .C .﹣2D .﹣7. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( )A .B .C .D .18. 已知A ,B ,C 点在球O 的球面上,∠BAC=90°,AB=AC=2.球心O 到平面ABC 的距离为1,则球O 的表面积为( )A .12πB .16πC .36πD .20π9. 已知2017ln f x x x =+()(),0'2018f x =(),则0x =( ) A. 2e B.1 C. ln 2 D. e二、填空题(每小题4分,共32分)10. 设向量,,且,则m=.12. 已知A、B为双曲线E的左右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为.13. 已知函数f(x)=,则f(f())= .14. 在的展开式中x7的项的系数是.15. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架“歼﹣15”飞机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法数是_______。
2015年军队院校招生文化科目统一考试第一次士兵高中数学模拟试题

绝密★启封前二〇一五年军队院校招生文化科目统一考试第一次士兵高中数学模拟试题组卷人:魏学锐2014.10一、 选择题(本大题共9小题,每小题4分,共36分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把该选项的代号写在答题卡指定位置上。
)1、设集合{}(){}R x x y y x N R x x y y M ∈,1, , ∈,12+==+==,则N M ( )A {}1,0B {}0C ∅D {}12、已知集合M={0,2,3},P={x|x=ab,a,b ∈ M},则集合P 的非空子集个数为( )A 、4B 、8C 、16D 、153、设a 、b 都是实数,则“)1lg()1lg(22+<+b a ”是“b a <”的( )A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件4、设a >0,a ≠1,则“函数f(x)=x a 在R 上是减函数”,是“函数g(x)=(2-a)3x 在R 上是增函数”的 ( )A 、充分必要条件B 、必要不充分条件C 、充分不必要条件D 、既不充分也不必要条件5、若则,8.0log ,6log ,log 273===c b a π ( )A. c b a >>B. c a b >>C. b a c >>D. a c b >>6、设)(x f 为定义在R 上的奇函数,当x ≥ 0时,b x x f x ++=22)((b 为常数),则()=-1f ( )A 3B 2C -1D -37、函数1ln +=x y 的反函数是( )A.)(1R x e y x ∈=+B.)∈(1-R x e y x =C.)1(1>=+x e y xD.)1(1->=x e y x8、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若3S =9,6S =36,则987a a a ++=( )A.63B.45C.36D.279、设{n a }是公差不为零的等差数列,1a =2且631a a a ,,成等比数列,则{n a }的前n项和n S =( )474.2n n A + 353.2n n B + 432.2n n C + n n D +2.二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分,把答案填在答题卡指定位置上)1、已知集合, {0,1}=M 则满足}210{,,=N M 的集合N 的个数为______.2、p: x1、x2是方程06-52=+x x 的两根,q : x1+x2=-5,则p 是q 的__________条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选一个填写)3、设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数,则a=_________. 4、若函数)(x f 的反函数2-11)(x x f +=(x<0),则)2(f 的值为_______.5、函数x43x -x -2+=y 的定义域为_____. 6、若函数m x x x f +=2-)(2在)∞,2[+上的最小值为-2,则实数m 的值为______.7、在等差数列}{n a 中,,27,39963741=++=++a a a a a a 则}{n a 的前9项之和S 9为___.8、在等比数列}{n a 中,553=•a a ,则7531a a a a •••=_____.三、计算题,本题共两小题.(16分)1.(本小题共7分)求解方程:235x x =.2.(本小题共9分)求解方程:()2313log 13log 133=⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x .四、(12分)若n S 是公差不为0的等差数列}{n a 的前n 项和(n=1,2,3,...),且421,,S S S 成等比数列。
(题目)士兵考军校数学模拟试题

数学一 选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把该选项的代号写在题后的括号内。
)1设集合{}(){}R x x y y x N R x x y y M ∈+==∈+==,1,,,12,则N M ( )A ∅B {}0C {}1,0D {}12已知不等式()()012422<-+--x a x a 对R x ∈恒成立,则a 的取值范围是 ( ) A a ≤2- B 2-≤a 56< C 2-56<<a D 2-≤a 2< 3若则,8.0log ,6log ,log 273===c b a π ( )A. c b a >> B 。
c a b >> C. b a c >> D 。
a c b >> 4设0>ω,函数2)3sin(++=πωx y 的图像向右平移34π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是 ( ) A 32 B 34 C 23 D 3 5设)(x f 为定义在R 上的奇偶数,当x ≥0时,b x x f x ++=22)((b 为常数),则()=-1f( )A 3B 2C —1D —36 ()()3411x x --的展开式2x 的系数是 ( ) A -6 B —3 C 0 D 37 设向量a ,b 满足:,4,3==b a a ·b = 0 ,以a ,b ,b a - 的模为边长构成三角形,则它的边长与半径为1的圆的公共点的个数最多为 ( )A 3B 4C 5D 68 设n m ,是平面α内的两条不同直线,21,l l 是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是 ( )A m ∥β且1l ∥αB m ∥1l 且n ∥2lC m ∥β且n ∥βD m ∥β且n ∥2l二 填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在题中横线上.)9 函数x x y sin 162+-=的定义域 .10 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若,24,363==S S 则9a = 。
2022年军考高中学历层次士兵考学数学专项练习测试卷及答案

(1,
1)
,
又由点 (1, 1) 在圆 x2 y2 4 的内部,
故对于任意的实数 a ,直线与圆相交, 即当 a 0 时,直线 (a 1)x (a 1) y 2a 0(a R) 与圆 x2 y2 4 相交,反之不一定成立,
故“ a 0 ”是直线 (a 1)x (a 1) y 2a 0(a R) 与圆 x2 y2 4 相交的充分而不必要条件, 故选: A . 3.【解答】解:圆心 (0, 0) 到直线的距离为 d | k | ,
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
11.以 M (4,3) 为圆心 r 为半径的圆与直线 2x y 5 0 相离的充要条件是 ( )
A. 0 r 2
B. 0 r 5
C. 0 r 2 5
D. 0 r 10
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参考答案与详解
1.【解答】解:根据题意,圆 C : x2 y2 5 的圆心为 (0, 0) ,半径 r 5 ,
3(x1 x2 ) 2( y1 y2 ) 0 ,
直线 AB 的斜率为 k y1 y2 3 ,
x1 x2
2
直线 AB 的方程为 y 1 3 (x 1) , 22
即 3x 2y 4 0 .
由于 P 在椭圆内,故成立. 故选: B .
9.【解答】解: F1(c, 0) , F2 (c, 0) ,直线 l : y x c ,
2 故a 1 .
4 故选: B .
7.【解答】解:设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2 ) , M (x, y) ,
M 是线段 AB 的中点, x1 x2 2x , y1 y2 2 y ,
把
军队院校招生文化科目统考士官高中《数学》模拟试题及详解【圣才出品】

图1
9.一个盒子里有 3 个分别标有号码为 1,2,3 的小球,每次取出一个,记下它的标号
后再放回盒子中,共取 3 次,则取到小球标号最大值为 3 的取法共有( )种.
A.19
B.16
C.13
D.11
【答案】A
【解析】第一种情况:三次都取到 3 号球,共有 1 种取法;第二种情况:有两次取到 3
号球,共有 C32 ? 2 6 种取法;第三种情况:有一次取到 3 号球,共有 C31创2 2 = 12 种取
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军队院校招生文化科目统考士官高中《数学》模拟试题及详解
一、(36 分)选择题,本题共有 9 个小题,每个小题都给出代号为 A、B、C、D 的四个
结论,其中只有一个结论是正确的,将正确的结论代号写在答题纸指定位置上,选对得 4
法;因此,取到小球标号最大值为 3 的取法种数=12+6+1=19.
二、(32 分)填空题,本题共有 8 个小题,每个小题 4 分,只要求给出结果,并将结果 写在答题纸指定位置上.
1.函数 f (x) = ln 1 的定义域为______. 4 - x2
{ 【答案】 x - 2 < x < 2}
【解析】观察函数知,函数 f (x) 的定义域需满足: 1 > 0 ,得 4 - x2 > 0 ,解得 4 - x2
又因为 a5=9,所以
,即
,
7.直线 A.1 B.2 C.4 D. 【答案】C
被圆
截得的弦长为( ).
【解析】圆心(1,2),圆心到直线的距离
,半径
,所以
最后弦长为
.
8.已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC= , 则球 O 表面积等于( ).
武警部队院校招生统考士兵本科及士官高等职业技术教育《数学》模拟试题及详解(一)

D.63 种
【答案】B
【解析】解法 1:2 人中有 1 名女生的选法有
种;2 人都是女生的选法
有
种,上述两类选法均符合题意,故所有选法种数共有
种;
解法 2:从 10 名学生中选 2 名有
种选法,选出的 2 人都是男生的选法有
种,故所求选法有
种.
7.已知 a.b、c 为三条丌重合的直线,下面有三个结论:①若 a⊥b,a⊥c,则 b∥c; ②若 a⊥b,a⊥c,则 b⊥c;③若 a∥b,b⊥c,则 a⊥c.其中正确的个数为( ).
3
.
已
知
0
<
a
<
1
,
,则( ).
【答案】C
【解析】由对数运算法则
函数
是减函数,
,而 0<a<1, .
4.关亍 x 的丌等式 A.{x∣5a<x<-a}
的解集是( ).
B.{x∣-a<x<5a}
C.{x∣x>-a 或 x<5a}
D.{x∣x>5a 或 x<-a}
【答案】C 【解析】原丌等式化简为(x+a)(x-5a)>0,又 a<0,则 5a<-a,所以丌等式 的解为:x>-a 或 x<5a.
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即第一象限中双曲线的渐近线不椭圆 C 的交点坐标为
.所以四边形的面
积为
所以 b2=5.所以椭圆方程为
.
二、填空题(本大题包括 5 小题,每小题 5 分,共 】[3,+∞)
9.经过点 P(1,4)且不两条坐标轴围成的三角形面积等亍1的直线方程是( ). A.2x-y+2=0 B.8x-y-4=0 C.3x-y+1=0或2x-y+2=0 D.2x-y+2=0或8x-y-4=0 【答案】D
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士兵军考试题:2017年军队院校招生文化科目统一考试——士兵高中数学模拟试题1(含答案)阶段性检测试题一、选择题(共9小题,每题4分)1、已知全集U =R ,集合A ={x |lg x ≤0},B ={x |2x ≤32},则A ∪B =( D )A .∅B .(0,13]C .[13,1] D .(-∞,1](1)由题意知,A =(0,1],B =(-∞,13],∴A ∪B =(-∞,1].故选D. 2.已知等比数列{an}的公比为正数,且a 3a 9=2a 52,a 2=2,则a 1=( C ) A.12 B.22 C. 2D .2解析:选C.由等比数列的性质得 , ∵q>0,∴a6=2a5,q =a6a5=2,a1=a2q =2,故选C.3.已知f(x)=3sin x -πx ,命题p :∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f(x)<0,则( D )A .p 是假命题,⌝p :∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x)≥0B .p 是假命题,⌝p :∃x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f(x0)≥0C .p 是真命题,⌝p :∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f(x)>0D .p 是真命题,⌝p :∃x0∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,f(x0)≥0解析:选D.因为f′(x)=3cos x -π,所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2时,f ′(x)<0,函数f(x)单调递减,所以∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,f(x)<f(0)=0,所以p 是真命题,又全称命题的否定是特称命题,所以答案选D.4.已知向量a ,b 满足|a|=3,|b|=23,且a ⊥(a +b),则a 与b 的夹角为(D ) A.π2 B.2π3 C.3π4D.5π6解析:选D.a ⊥(a +b)⇒a·(a +b)=a2+a·b =|a|2+|a||b|cos 〈a ,b 〉=0,故cos 〈a ,b 〉=-32,故所求夹角为5π6.5.下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( A ) A .f(x)=21xB .f(x)=x 2+1C .f(x)=x 3D .f(x)=2-x解析:选A.A 中f(x)=1x2是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,故A 满足题意.B 中f(x)=x2+1是偶函数,但在(-∞,0)上是减函数.C 中f(x)=x3是奇函数.D 中f(x)=2-x 是非奇非偶函数.故B ,C ,D 都不满足题意.6.已知lg a +lg b =0,则函数f(x)=a x 与函数g(x)=-log b x 的图象可能是( B)解析:选B.∵lg a +lg b =0,∴ab =1,∵g(x)=-logbx 的定义域是(0,+∞),故排除A. 若a >1,则0<b <1, 此时f(x)=ax 是增函数,g(x)=-logbx 是增函数, 结合图象知选B.7、已知数列{an}的前n 项和为Sn ,a 1=1,S n =2a n +1,则S n =( B ) A .2n -1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1 D.12n -1[解析] (1)由已知Sn =2an +1,得Sn =2(Sn +1-Sn),即2Sn +1=3Sn ,Sn +1Sn =32,而S1=a1=1,所以Sn =⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1.[答案] B8.设正实数x ,y ,z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0.则当xy z 取得最大值时,2x +1y -2z 的最大值为( B )A .0B .1 C.94 D .3 解析:选B.z =x 2-3xy +4y 2(x >0,y >0,z >0), ∴xy z =xy x 2-3xy +4y 2=1x y +4y x -3≤14-3=1.当且仅当x y =4yx ,即x =2y 时等号成立,此时z =x 2-3xy +4y 2=4y 2-6y 2+4y 2=2y 2,∴2x +1y -2z =22y +1y -22y 2=-1y 2+2y =-⎝ ⎛⎭⎪⎫1y -12+1,∴当y =1时,2x +1y -2z 的最大值为1.9.已知{a n }为等差数列,a 10=33,a 2=1,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 20-2S 10等于( C )A .40B .200C .400D .20解析:选C.S 20-2S 10=20(a 1+a 20)2-2×10(a 1+a 10)2=10(a 20-a 10)=100d . 又a 10=a 2+8d , ∴33=1+8d , ∴d =4.∴S 20-2S 10=400.二、填空题(共8小题,每题4分)1、函数f (x )=10+9x -x 2lg (x -1)的定义域为( )解析:要使函数有意义,则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧10+9x -x 2≥0,x -1>0,lg (x -1)≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧(x +1)(x -10)≤0,①x >1,x ≠2,解①得-1≤x ≤10.所以不等式组的解集为(1,2)∪(2,10]. 2、函数y =)24cos(x -π的单调减区间为________.(3)由y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-2x =cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4,得2k π≤2x -π4≤2k π+π(k ∈Z), 故k π+π8≤x ≤k π+5π8(k ∈Z).所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π8,k π+5π8(k ∈Z).3、函数f(x)=43323--+x x x 在[0,2]上的最小值是( ) A .-173 B .-103 C .-4D .-643解析:选A.f ′(x)=x2+2x -3, 令f′(x)=0,得x =1(x =-3舍去), 又f(0)=-4,f(1)=-173,f(2)=-103, 故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)=-173.4、某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为________.解析:根据三视图还原几何体,得如图所示的三棱锥P-ABC.由三视图的形状特征及数据,可推知PA ⊥平面ABC ,且PA =2.底面为等腰三角形,AB =BC ,设D 为AC 中点,AC =2,则AD =DC =1,且BD =1,易得AB =BC =2,所以最长的棱为PC ,PC =PA2+AC2=2 2. 答案:2 25、若数列{a n }满足a 1=15,且3a n +1=3a n -4,则a n =________.解析:由3a n +1=3a n -4,得a n +1-a n =-43, 所以{a n }是等差数列,首项a 1=15,公差d =-43, 所以a n =15-43(n -1)=49-4n 3.答案:49-4n 36、若命题“∃x 0∈R ,2x 20-3ax 0+9<0”为假命题,则实数a 的取值范围是________.因为“∃x 0∈R ,2x 20-3ax 0+9<0”为假命题,则“∀x ∈R ,2x 2-3ax +9≥0”为真命题.因此Δ=9a 2-4×2×9≤0,故-22≤a ≤2 2.7、若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (1-x ),0≤x ≤1,sin πx ,1<x ≤2,则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416=________.∵f (x )是以4为周期的奇函数,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8-34=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-34,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8-76=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-76. ∵当0≤x ≤1时,f (x )=x (1-x ),∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34=34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-34=316.∵当1<x ≤2时,f (x )=sinπx ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76=sin 7π6=-12.又∵f (x )是奇函数, ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫-34=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34=-316,f ⎝⎛⎭⎪⎫-76=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76=12. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416=12-316=516.8.设函数f(x)=ax 3-3x +1(x ∈R),若对于任意x ∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a 的值为________.解析:(构造法)若x =0,则不论a 取何值,f (x)≥0显然成立; 当x>0时,即x ∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x +1≥0可化为a≥3x2-1x3. 设g(x)=3x2-1x3,则g′(x)=3(1-2x )x4, 所以g(x)在区间⎝⎛⎦⎥⎤0,12上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1上单调递减, 因此g(x)max =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=4,从而a≥4.当x<0时,即x ∈[-1,0)时,同理a≤3x2-1x3. g(x)在区间[-1,0)上单调递增, ∴g(x)min =g(-1)=4, 从而a≤4,综上可知a =4. 答案:4三.计算下列各题:(18分)(1)12lg 3249-43lg 8+lg 245; 解:(1)12lg 3249-43lg 8+lg 245=12×(5lg 2-2lg 7)-43×32lg 2+12(lg 5+2lg 7) =52lg 2-lg 7-2lg 2+12lg 5+lg 7 =12lg 2+12lg 5=12lg(2×5)=12.(2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2asin A =(2b +c)sin B +(2c +b)sin C.求角A 的大小; [解] (1)由题意知,根据正弦定理得2a2=(2b +c)b +(2c +b)c ,即a2=b2+c2+bc.①由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A , 故cos A =-12,A =120°. 四、(12分)已知2311:≤--x p ,)0(012:22>≤-+-m m x x q ,若q p ⌝⌝是的必要不充分条件,求实数m 的取值范围。
五、证明:(1)连接AD 1,由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体,知AD 1∥BC 1,因为F ,P 分别是AD ,DD 1的中点,所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ , 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)如图,连接AC ,BD ,则AC ⊥BD .由CC 1⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,可得CC 1⊥BD . 又AC ∩CC 1=C , 所以BD ⊥平面ACC 1.而AC 1⊂平面ACC 1,所以BD ⊥AC 1. 因为M ,N 分别是A 1B 1,A 1D 1的中点, 所以MN ∥BD ,从而MN ⊥AC 1. 同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN =N ,所以直线AC 1⊥平面PQMN .(12分)六、已知函数)0(cos cos )sin()(2>+-=ωωωωπx x x x f 的最小正周期为π,将函数)(x f y =的图像上各点的横坐标缩短到原来的21,纵坐标不变,得到函数)(x g y =的图像,求函数)(x g y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡16,0π上的最小值。