正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

1.

若 x 〜N (0,1), 求(I) P (-2.32< x <1.2) ; (2) P ( x >2).

解：(1) P (-2.32< x <1.2)=

(1.2)-

(-2.32)

=(1.2)-[1-

(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.

(2) P (x >2)=1- P (x <2)=1- (2)=1-0.9772=0.0228. i

2利用标准正态分布表，求标准正态总体

(1) 在 N(1,4)下，求 F(3).

2 ,

(2)在 N(^,b )下，求F (卩一6,卩+6)

;

3 1

解: (1) F (3) = ( ) =0( 1)= 0.8413

2

(2) F(y+b)= ( ------------- ) =0( 1)= 0.8413

F(u —c)=

( ------------ ) =0 (— 1 )=1—0 ( 1 )= 1 - 0.8413 = 0.1587

F(u —b,a+b)=F(a+b)—F(a —b)=

0.8413 — 0.1587 = 0.6826 3某正态

总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为 间(—1.2 , 0.2 )之间的概率 J 0 ( 0.2 ) =0.5793,

0 ( 1.2 ) =0.8848]

(X 上

「X (, 1

说明” 0, f(x)的最大值为f()

=亍，所以"

1

=，求总体落入区

)，它是偶函数,

解：正态分布的概率密度函数是

f(x) 1,这个正态分布就是标准正态分

P( 1.2 x 0.2)

(0.2)

( 1.2)

(0-2) [1

(1.2)] (0.2) (1.2) 1

0.5793 0.8848 1

0.4642

4.某县农民年平均收入服从

=500 入在500： 520元间人数的百分比； 内的

概率不少于 0.95，则a 至少有多大? 元，

(2) =200元的正态分布•( 1)求此县农民年平均收 如

果要使此县农民年平均收入在( a, a )

[0 ( 0.1 ) =0.5398, 0 ( 1.96 ) =0.975]

解：设 表示此县农民年平均收入,

~ N(500,2002).

P(500 520)

(520 500 P(

a)

200 )

(盘)

(500 500、

)(0.1) (0) 0.5398 0.5 0.0398 ( 2 ) 200

a a ( )2( )1

0.95,

200

200

a (

200)

查表知：—

0.975 - 1.96

200

a 392

1设随机变量

（3,1）,若

”则P （2

”黔-汽二叹对7「讣,选C .

2. （2010新课标全国理）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000粒，对于没有发

芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为

X ，则X 的数学期望为（ ）

A . 100

B . 200

C . 300

D . 400［答案］B

［解析］记“不发芽的种子数为

了，则E 〜B(1 000,0.1)，所以E(3= 1 000 X 0.1 = 100,

而 X = 2E,故 E(X)= E(2 3= 2E( 3 = 200，故选 B.

3. 设随机变量3的分布列如下:

3

—1

0 1 P

a

b

c

其中a , b , c 成等差数列，若 E( 3 = 3,贝U D(3 =( )

［答案］A

［解析］设白球x 个，则黑球7 — x 个，取出的2个球中所含白球个数为 3则3取值0,1,2 , C 7-

x?

7 — x 6 — x

P （3=0）

= & =

42

x - 7 — x P( 3= 1) = ~C ；^

(A)

(B)l

C . l-2p

【答案】 C

因为 「「二七二心；、］:二，:,所以

P(2

4 A.

9 B . 1 2 9 C.3

［答案］D

［解析］由条件a , b , c 成等差数列知，2b = a + c , 由分布列的性质知 a + b + c = 1,又

1 111 1

E( 3 = — a + c = 3 解得 a = 6’ b = 3 c = 2，二 D (3 = 6X

2

+21-12=舟.

4. （2010上海松江区模考）设口袋中有黑球、白球共 7个，从中任取 2个球，已知取到 白球个数的数学期望值为7，则口袋中白球的个数为（

)A . 3 B . 4 C . 5 D . 2

x 7 —

x 21

C x

P(3=2)

=C?= X x — 1

42

0X 7— x 6— x 42

x 7 — x 21 + 2X X x — 1

42 5