培训班资料-0045

奥赛资料(3)
整式的恒等变形
内容：（1）运用运算性质法则。

（2）灵活运用乘公式。

（3）配方法。

（4）应用因式分解。

（5）代换法。

一．（运用性质和法则）
1． 设x , y , z 都是整数，且11整除7x+2y-5z , 求证：11整除3x-7y+12z .
2． 已知d cx x ax y +++=356，当x = 0 时，y = - 3 ;当x = -5 时，y = 9 , 求当
x = 5时 y 的值。

二．（灵活运用乘法公式）
3． 计算：()()()()1121212123242+++++
4． 设a , b , c 为有理数，且0,0333=++=++c b a c b a .
求证：对于任何正奇数n ，都有0=++n n n c b a
5． 当1,0222=++=++c b a c b a 时，试求下列各式的值：
（1）ab ca bc ++ ；（2）444c b a ++
6． 试求x x x x x x +++++392781243被1-x 除的余数。

三．（配方法）
7． 证明：当a , b 取任意有理数时，多项式116222++-+b a b a 的值总是正数。

8． 若()
()22223214c b a c b a ++=++，求a : b : c . 9． 已知a , b , c , d 为正数，且abcd d c b a 44444=+++，
求证：a = b = c = d .
11. 解方程：0441212322222=+-++-y y y x y x x
12．若a , b , c , d 是整数，且2222,d c n b
a m +=+=， 求证：mn 可表示成两个整数的平方和。

13．已知2,12
2=+=+b a b a ，求77b a +的值。

四．（应用因式分解）
14．在三角形ABC 中，22216c b a -- 0106=++bc ab （a , b , c 是三角形的三边），
求证：b c a 2=+
15．已知c a bc a b c b ac b a 222222++=++，试求()()()a c c b b a ---的值。

五．（代换法）
16．已知a , b , c 适合,d c b a +=+
3333d c b a +=+。

求证1993199319931993d c b a +=+
17．证明： ()()()333222c b a b a c a c b -++-++-+()()()c b a b a c a c b 2223-+-+-+=
18．已知3=++z y x ,且()()()01113
33=-+-+-z y x ， 求证：x , y , z 中至少有一个等于1。

19． 若100,1033=+=+b a b a ，则=+22b a _______
20．若222333c b a c b a ++=++ 1=++=c b a 则abc = ______
21．设x-y=1+m , y-z =1-m , 则 x 2+y 2+z 2-xy-yz-zx = ________
22．若2a=6b=3c , 且ab+bc+ca=99, 则2a 2+12b 2+9c 2=_______
23．若多项式1634-++na ma a 含有因式(a-2)和(a-1) , 则mn=________ 24．131254222+-+-y y xy x 的最小值是_____。