第十一章 最短道路和最小树

第十一章 最短道路和最小树
5.1 网络最优化问题基本概念
8 7 5 8 2 v2 3 v4 6 v6 1
第5章 网络 最优化问题
v1
v3
v5
5
4
对于该网络图，可以提出许多极值问题
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5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
标号法具体计算步骤
开始，先给v1标上P标号P(v1)＝ 0，其余各点标上T标号 T(vj)＝+∞（j≠1）。 ① 如果刚刚得到P标号的点是vi，那么，对于所有这样 的点
v v , v E, 而且v 的标号是 T标号
j i j j
v j0
将其T标号修改为： min[T(vj)，P(vi)+wij]。 vj
最小的路p0使称p0为vs到vt的最短路，w(p0)为vs到vt的
距离，记d(vs,vt)
w( p0 ) min w( p)
p
注：在有向图中d(vs,vt)与d(vt,vs)不一定相同
最短路问题在实际中具有广泛的应用，如管道铺设、线
路选择等问题，还有些如设备更新、投资等问题也可以
归结为求最短路问题求最短路有两种算法： 一是求从某一点至其它各点之间最短离的狄克斯特拉 (Dijkstra)算法； 另一种是求网络图上任意两点之间最短路的Floyd(弗 洛伊德)矩阵（表格）算法。
则通过第三个港口转运。那么，各个港口之间最
廉价的货运线路是什么？
3）“时间”意义上的最短路径。 例如，某家经营公司有一批货物急需从一
个城市运往另一个城市，那么，在由公路、
铁路、河流航运、航空运输等四种运输方
式和各个运输线路所构成的交通网络中，
究竟选择怎样的运输路线最节省时间？
以上三类问题，都可以抽象为同一类问题， 即赋权图上的最短路径问题。 ◣不同意义下的距离都可以被抽象为网络 图中边的权值。 ◣权——这种权值既可以代表“纯距离 ”， 又可以代表“经济距离 ”，也可以代表 “时间距离 ”。
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5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
网络最优化问题类型主要包括：
（1）最小费用流问题； （2）最大流问题； （3）最短路问题； （4）最小支撑树问题； （5）货郎担问题和中国邮路问题，等等
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v [2] 2
1 5
[3] v5 3
2 9
v8
[5]
7 9
v11
2
[0] v
1
6
v3
[8] 8 1
（一）最短路径的含义
（1）“纯距离”意义上的最短路径。
例如，需要运送一批物资从一个城市到
另一个城市，选择什么样的运输路线距离最短？
1、问题
对上述校园，若各学院有如图所示的道路连通，现
考虑如下问题： 1）若v1是学校行政部门，常有一名办事员到各学 院办事，现希望确定其行走路线，使之到各学
院的路程最短。 2）若该办事员从v1出发，到每个学院发一份文件， 再回到v1，问若何设计其行走路线，使其行走路
（二）最短路径的算法
最短路径问题最好的求解方法：
1959年，Dijkstra 提出的标号法。
标号法优点
不仅可以求出起点到终点的最短路径及其长度，
而且可以求出起点到其它任何一个顶点的最短路径
及其长度；同时适用于求解有向图或无向图上的最
短路径问题。
1
首先v1从开始，给每一个顶点标一个数，称为标号。这些 标号，又进一步区分为T标号和P标号两种类型。其中，每
0
② 若G中没有T标号，则停止。否则，把点 修改为P标号，然后再转入①。 其中， 满足： T (v j ) minT (v j )
0
的T标号
v2
1 5
v5
2 9
v8
2
v 8
1
6
v3
3
7 1
9
v11
1 7
2
1
v4
4
v7
v6 6
v9 2
3 1
4
9
v10
v [2] 2
1 5
v5
2 9
v8
2
[0] v
1
6
v3
[8] 8 1 7
[1]
v4
3
7 1
9
v11
1
2
4
v7
v6 6
v9 2
3 1
4
9
v10
v [2] 2
1 5
[3] v5 3
2 9
v8
2
[0] v
1
6
v3
[8] 8 1 7
[1]
v4
7 1
9
v11
1
2
4
v6 6
v9 2
3
4
9
v7[10] 1
v10
v [2] 2
1 5
[3] v5 3
2 9
v8
[5]
7 9
v11
2
[0] v
1
6
v3
[8] 8 1 7
[1]
v4
1
2
4
v6 6
3
1
v9 2
4
9
v7[10] 1
v10
v [2] 2
1 5
[3] v5 3
2 9
v8
[5]
7 9
v11
2
[0] v
1
6
v3
[8] 8 1
[1]
v4
7
1 [6] v6 6 4 3 2 9
v7[10] 1
1
v9 2
4
v10
（1）将某个点vi的物资或信息送到另一 个点 vj ，使得运送总成本最小。这属 于最小费用流问题。 （2）将某个点vi的物资或信息送到另一 个点 vj ，使得总流量最大。这属于最 大流问题。 （ 3 ）从某个点 vi 出发到达另一个点 vj ， 怎样安排路线使得总距离最短或总费 用最小。这属于最短路问题。
2、最短路的概念： 问题1）就是所谓的最短路问题：其一般提法如下 给定一赋权图G，对每一条边aij=(vi,vj)，其对应
权为w(aij)=wij，又给定图中两个顶点vs和vt，设p是vs
到vt的一条路，定义路的权为p中所有边权之和，记 为w(p)，即：
w( p )
aij p
w
ij
求一条从vs到vt的最短路径，即求从vs到vt的一条权和
程最短。
ห้องสมุดไป่ตู้
3）若学校保卫处巡逻队每隔一段时间将学
校所有的道路巡逻一遍，问若何行走，才
使所行走的路程最短。
v1
v2
v5
v6
v3
v4
v7
v8
（2）“经济距离”意义上的最短路径。
例如，某公司在10大港口C1，C2，…，C10设有货
栈，从Ci到Cj之间的直接航运价格，是由市场动
态决定的。如果两个港口之间无直接通航路线，
一个顶点的 T 标号表示从起点v 1到该点的最短路径长度的
上界，这种标号为临时标号；P 标号表示从 v 1 到该点的最 短路长度，这种标号为固定标号。
在最短路径计算过程中，对于已经得到 P标号的顶点，
不再改变其标号；对于凡是没有标上 P标号的顶点，先给 它一个T标号；算法的每一步就是把顶点的T标号逐步修改， 将其变为P标号。