第十一章最短道路和最小树

合集下载

最短路线1

例题【一C→F→G→B、 A→E→F→G→B、A→C→F→I→B、 A→E→F→I→B、A→E→H→I→B、
例题【一】（★ ★ ）
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路最近。小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
方法二：标数法
只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房！蜜蜂的运动方向是固定的，所以依然可以采取标数法。
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
小蜜蜂从A出发到B处共有89种不同的回家方法!
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
最短路线
最短路线问题就是确定从某处到另一处最短路线的条数。
标数法：
用来解决最短路线问题的方法，在给出的图形中的每一个结点标出到达该点的方法数，最后利用相加原则求出到达目的地方法数。
例题【一】（★ ★ ）
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路最近。小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
目标：右、下方向：左、上
箭头很重要，一定逐一标；步骤要严谨，不能跳着做。
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
图中的“我爱史老师”有多少种不同的读法。
标数法
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
起点是“我” 每个字看做“点”（车站）共有1+4+6+4+1=16（种）
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
目标：右、下方向：左、上

最小树的名词解释

最小树的名词解释最小树是图论中的一个概念，它是指在一个连通的无向图中，通过选择最少的边将所有的顶点连接起来的一棵树。

最小树通常用于解决最优路径问题和网络设计等领域，它能够在保证所有顶点连通的前提下，使整个图的总权重最小。

为了更好地理解最小树的概念，我们可以通过一个简单的例子来说明。

假设我们有一个无向图，其中有四个顶点A、B、C和D，以及相应的边AB、AC、AD、BC、BD和CD。

现在的问题是如何通过选择最少的边，将所有的顶点连接起来。

为了解决这个问题，我们可以使用Kruskal算法或Prim算法来构建最小树。

这两种算法在解决最小树问题上非常有效。

在Kruskal算法中，首先将所有边按照权重从小到大进行排序。

之后，依次从最小权重的边开始选择，但要保证所选择的边不会形成环路。

当所有的顶点都被连接起来，即形成一棵树时，这棵树就是最小树。

而在Prim算法中，则是从一个初始顶点开始，逐渐将与该顶点相连的边加入最小树中，直到所有的顶点都被连接起来。

无论是Kruskal算法还是Prim算法，它们都能够快速地找到最小树。

通过这种方式，我们可以在保证图的连通性的前提下，选择最少的边来构建一棵最小树。

最小树不仅仅在图论中有应用，它也可以被应用在其他领域。

例如，最小树经常被用于解决计算机网络设计中的问题。

在设计网络拓扑结构时，我们希望通过尽可能少的连接来保证所有节点之间的可达性和通信效率。

使用最小树可以帮助我们找到一个经济高效的网络设计方案。

此外，最小树还可以用于解决最优路径问题。

在网络路由或交通规划中，我们经常需要找到一条连接所有目标点的最短路径。

使用最小树可以帮助我们找到连接所有目标点的最短路径，从而提高路由的效率和减少通信成本。

总之，最小树是图论中一个重要的概念，它通过选择最少的边来保证图的连通性，并在此过程中使整个图的总权重最小。

最小树不仅仅在图论领域有应用，它还可以被广泛应用于网络设计和最优路径问题等领域。

最短路径经典练习题

最短路径经典练习题一、基础理论题1. 请简述迪杰斯特拉（Dijkstra）算法的基本原理。

2. 什么是贝尔曼福特（BellmanFord）算法？它适用于哪些类型的图？3. 请解释A搜索算法中启发式函数的作用。

4. 如何判断一个图中是否存在负权环？5. 简述弗洛伊德（Floyd）算法的基本步骤。

二、单选题A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 弗洛伊德算法D. A搜索算法A. 初始化距离表B. 选择当前距离最小的顶点C. 更新相邻顶点的距离D. 重复步骤B和C，直到所有顶点都被访问A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 弗洛伊德算法D. A搜索算法A. 启发式函数B. 起始节点C. 目标节点D. 图的规模三、多选题A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 深度优先搜索算法D. 广度优先搜索算法A. 初始化距离矩阵B. 更新距离矩阵C. 查找负权环D. 输出最短路径A. 图的存储结构B. 顶点的数量C. 边的数量D. 起始顶点四、计算题A (3)>B (2)> D\ | ^ \ | | \(2)\ | (1)/C \|(4)A (1)>B (2)> D\ ^ |\(2)\ | (3)/C \ |(1)A (2)>B (3)> D\ | ^\(3)\ | (1)/C \ |(2)五、应用题1. 假设你是一名地图软件的开发者，请简述如何利用最短路径算法为用户提供导航服务。

2. 在一个网络游戏中，玩家需要从起点到达终点，途中会遇到各种障碍。

请设计一种算法，帮助玩家找到最佳路径。

六、判断题1. 迪杰斯特拉算法只能用于无向图的最短路径问题。

（）2. 贝尔曼福特算法可以检测图中是否存在负权环。

（）3. 在A搜索算法中，如果启发式函数h(n)始终为0，则算法退化为Dijkstra算法。

（）4. 弗洛伊德算法的时间复杂度与图中顶点的数量无关。

（）七、填空题1. 迪杰斯特拉算法中，用来存储顶点到源点最短距离的数组称为______。

小学教育-最短路线问题

在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。

比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。

这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。

典型例题例[1] 假如直线AB 是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1。

现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。

问：车站应该建在什么地方？分析如果只考虑甲村的人距离公路AB 最近，只要由甲村向公路AB 画一条垂直线，交AB 于C 点，那么C 点是甲村到公路AB 最甲乙乙图1图2近的点，但是乙村到C点就较远了。

反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙村到公路AB最近的点。

但是这时甲村到公路AB的D点又远了。

因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。

解用直线把甲村、乙村连起来。

因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P 点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。

例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。

他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。

问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？3分析选择最短的路线最合理。

那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的。

邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点。

因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。

但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。

要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。

最短路径问题——造桥选址问题

设计意图
一、情境引入（5分钟）
二、自主探究、合作交流
1、旧知回顾：
师：上节课我们探究了最短路径问题，请你用所学知识解决下面的问题。
问题：要在公路m旁建一所小学，到A村和B村的距离和最小？应该建在什么位置？为什么？
（1）
（2）
2、导入：
在现实生活中还有很多涉及到选择最短路径的问题,本节我们将再利
用数学知识来探究数学中有名的“造桥选址问题”
出示问题：
造桥选址问题：
A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
教师出示引导分析：
先将实际问题抽象为几何模型，
1、直接连接AB行吗？为什么？
2、路径是哪些线段之和？
3、桥的位置发生变化后，路径中哪些线段是不变的，哪些在变？
按上面的思路进行引导，尽量让学生思考解决。
2、如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
4、当有n条河时呢？
让学生自主思考，并归纳
按上面的方法思考、讨论、交流解决问题
沿垂直于河岸方向依次把Ａ点移到Ａ１、Ａ１点移到Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２＝ＰＱ；
对问题的探索做准备，
激发学生兴趣
通过层层递进将问题逐步简化，让学生能真正参与到教学活动之中。
展示幻灯片达到直观，并能作为归纳的作用
让学生认识到为什么要将A点沿桥的方向平移一个桥长
三、反馈训练，拓展延伸
1、如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）

最小树_运筹学_[共8页]

156运筹学图6.17 生成树此时41k E V ==−+，这样得到了生成树。

6.2.3 最小树最小树是网络优化中的一个重要概念，在交通网、电力网、通讯网等的设计中均有广泛的应用。

定义6.2.3 设连通图G V E =（，）。

每条边i j e v v =（，）上都有一个非负权数ij w e w =（）。

若1T V E =（，）是G 的一个生成树，则称1E 中所有边的权之和为生成树T 的权，记为()ij w T w =∑。

称具有最小权的生成树为G 的最小生成树，简称为最小树。

显然，对于最小树，有如下结论成立。

定理6.2.2 若把连通网络图的所有点分成V 和V 两个集合，则两集合之间连线的最短边一定包含在最小树内。

下面介绍如何寻找或构建一个最小树的几种算法。

算法1 Kruskal 算法1956年Kruskal 给出了求最小树问题的一种算法。

其基本思想是从网络中逐步挑选边构成最小生成树。

每次挑选的边对应的权要尽可能小，但必须保证已选好的边不产生圈。

这种方法称为Kruskal 算法，也称为避圈法。

这种方法与求生成树的避圈法类似。

避圈法步骤如下。

Step1 把图中的所有顶点分成V 和V 两个集合。

从图中任选一点i v ，让i v V ∈，图中其余点均包含在V 中。

Step2 从V 和V 的连线中找出最小边，这条边一定包含在最小树内，不妨设最小边为i j v v （，），将i j v v （，）标记成最小树内的边。

令{}j V V v =∪，{}\j V V v =。

Step3 若V =Φ，则算法终止。

否则转入Step2。

例6.6 一个乡有9个自然村，其间道路及各个道路长度如图6.18所示，各边上的数表示距离，问如何拉线才能使用线最短。

解用Kruskal 算法。

Step1 令{}1V v =，{}02345678V v v v v v v v v =，，，，，，，。

Step2 {}12101818min 1w w w w ==，，。

道路交通运输网络分析技术-道路运输系统工程

§ 6.1
如图6-2 a和图6-2 b
引言
§ 6.1
在生产实际中，我们要了解某地区的公路交通状况，要了解公路分布状况和公路长度，还有与节点或枝线（弧）相关的数量指标。
引言
§ 6.1
引言
网络，网络理论，网络分析技术
我们带有某种数量指标的图称为网络图或称网络
网络
撇开各种图的具体内容来讨论这种由点、线段构成的抽象形式的图，从中研究其一般规律。
( vi , v j )A

f ij
( vi ,v j ) A
f
ji
0
对于发点vs，记对于收点vt，记
( vs ,v j )A

f sj
( v j ,vs )A
f
js
V( f )
( vt , v j )A

f tj
( v j ,vt )A
f
jt
V ( f )
11
• 定义每条边与顶点的顺序无关，边都没有方向的图称为无向图
在无向图中,有(vi , v j ) (v j , vi ). • 如果边是用顶点的有序对来定义，即令其一个顶点是始点，另一个顶点是终点，那么称该边为有向边，全部由有向边构成的图称为有向图。 • 有向图中的边称为弧。 • 从有向图中 D (V , A)去掉所有弧上的箭头,就成为无向图,称为D的基础图. • 图中既有边又有弧, 称为混合图.
水取暖点相互连通，但总的线路长度最短。试求
最短的管道铺设方案。这类问题在网络分析中称为最小生成树问题。
1、树的定义无圈的连通图称为树。我们用了T表示树，树中的边称为树枝
2、树的性质

最短路径(将军饮马造桥选址).pptx

在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
问题延伸一
如图，A和B两地之间
A
有两条河，现要在两
条河上各造一座桥MN
和PQ.桥分别建在何处
才能使从A到B的路径
最短？（假定河的两
岸是平行的直线，桥
要与河岸垂直）
B
思维分析
如图，问题中所走总路径是
A
M
N
P
Q
B2
B1
B
问题延伸二
A
如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、 PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
B
思维分析
A
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．
桥MN、PQ和GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用 “两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.
M
P
N
P
Q Q
连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２＝
A
A1 A2
ＰＱ；
M
连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻
河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸
N P
于Ｎ点，建桥ＭＮ；
Q
从Ａ点到Ｂ点的最短路径
为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ
平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ 平移到A点处；PQ、GH平移到B点处

造桥选址问题最短路径.4-造桥选址问题-最短路径(2)课件

A
M N P Q B
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
B
2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.
A A1 A2
P Q B
3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.A A1 A1 AM P Q N P Q
连接A1P交A1的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把Ａ点A1、A2，使ＡA1＝ＭＮ，A1A2＝ＰＱ；连接A2Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；连接A1Ｐ交A1的对岸于Ｎ点，建桥ＭＮ；从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２＝ MN ；连接B２A交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；连接B１N交B１的对岸于P 点，建桥PQ；从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为AB２+B２B１+B１B．
A
M N P Q B2 B1 B
A A1 A2 M N P Q B
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至A1点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至B1点，连接A1B1 分别交 A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ. 最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为 AA1+A1B1+BB1.

小学数学《最短路线》练习题

小学数学《最短路线》练习题【例1】甲、乙两村之间隔一条河，如图．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？【例2】如下图，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？【例3】如图是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒．一只蚂蚁要从A点出发在纸盒表面上爬到B点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程。

【例4】如下图，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的A点爬到桶内的B点．已知A 点到桶口C点的距离为14厘米，B点到桶口D点的距离是10厘米，而C、D两点之间的弧长是7厘米．如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？【例5】一个邮递员投送信件的街道如图，图上数字表示各段街道的千米数．他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．问走什么样的路线最合理，全程要走多少千米？【例6】下图是一个城市道路图，数字表示各段路的路程（单位：千米），求出图中从A到F 的最短路程。

【例7】仍取上面拓展训练的图中八个行政村的位置和线路图，乡政府要在全乡沿村与村之间的道路挖渠修道，建立排灌系统．全乡的地势是西高东低，即A村最高，依次为B、F、G、H、E、C、D，水源在A村，问沿什么路线修道最合理？【例8】有八栋居民楼A1、A2、…、A8分布在公路的两侧，如下图，由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，使汽车站到各居民楼的距离之和最小，车站应设在哪里？【例9】有两条通讯路线A和B，如下图，通讯员从C处出发，查完两条线后到D处，作图表示他怎样走路程最短（假设到达通讯线路的任何一处都可完成查线工作）？【例10】要在两条街道（如下图）A和B上各设立一个邮筒，M处是邮局，问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发，到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短？【作1】如下图，A、B、C三点分别是正方体三条棱的中点．假设一只蚂蚁沿着正方体的表面从中点A爬到中点C，图中所示路线是否为蚂蚁爬行的最短路线，为什么？【作2】一个小虫从圆柱体（如下图）的A点处绕圆柱体侧面一周，最后爬到顶点B处．请画出小虫从A点绕到圆柱体侧面到达B点的最短路线。

最小生成树题目

最小生成树题目最小生成树是图论中的一个重要概念，被广泛应用于路由算法、网络设计、电力传输等领域。

最小生成树问题可以简单描述为：给定一个连通图，选择一些边使得图中所有节点都能够连接，并且总边权之和最小。

最小生成树题目是在解决最小生成树问题时所遇到的具体情境。

以下通过分析两个不同的最小生成树题目，来理解最小生成树算法的应用。

题目1：某城市的道路规划假设一个城市有多个地区，每个地区之间需要建立道路来连接。

已知每条道路的长度，在保证每个地区都能连通的情况下，设计一个道路规划方案，使得总道路长度最小。

解题思路： 1、首先，根据题目中给出的道路长度，建立一个无向带权图。

其中，每个地区对应图的节点，道路对应图的边，道路长度对应边的权值。

2、通过使用Kruskal或Prim算法，从这个带权图中构建最小生成树，即选取一些道路使得所有地区连通，并且这些道路的权值之和最小。

3、最小生成树即为最优的道路规划方案，输出最小生成树的边集合即可。

题目2：电力传输网络设计某地区有多个居民点，需要建立电力传输网络来确保每个居民点都能接收到电力供应。

已知每个居民点之间建立电力线路的成本，在保证每个居民点都能接收到电力供应的情况下，设计一个电力传输网络，使得总成本最小。

解题思路： 1、根据题目给出的电力线路成本，建立一个带权完全图。

其中，每个居民点对应图的节点，电力线路对应图的边，电力线路成本对应边的权值。

2、通过使用Kruskal或Prim算法，从这个带权图中构建最小生成树，即选取一些电力线路使得所有居民点都能接收到电力供应，并且这些电力线路的成本之和最小。

3、最小生成树即为最优的电力传输网络设计方案，输出最小生成树的边集合即可。

最小生成树问题是一个经典的优化问题，通过构建最小生成树，我们可以找到图中连接所有节点的最优边集合。

在实际应用中，最小生成树算法可以帮助我们进行有效的资源分配、网络规划等决策。

总体来说，最小生成树题目涉及到图的建模和优化算法的运用。

13.4.最短路径(2)—造桥选址问题电子教案

13.4.最短路径(2)—
造桥选址问题
精品资料
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
13.4造桥选址问题
一．学习目标：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.
2、在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 二．重点难点：
学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 学习难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．三．合作探究：（同学合作，教师引导） 1．温故知新：
前面我们研究过最短路径问题，求最短路径的依据有：
（1） . （2） . 2．探究新知：问题2 造桥选址问题
如图,A 和B 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
思维分析：
1.如右图假定任选位置造桥MN,连接AM 和BN,从A 到B 的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?
2.利用上面的“求最短路径的依据”解决问题:我们遇到了什么障碍呢?
四．感悟与反思：
A ·
· B
A ·
· B。

最小树问题

i 2在 , X 2 中e 2 选 ,4 边 E 3 E 2 e 2 4e 1,e 2 2,e 3 2,4 3 X X 2 v 4 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,X 3 v 5 ,v 6 ,
i 3在 , X 3 中e 4 选 ,5 边 E 4 E 3 e 4 5e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,5 4 X X 3 v 5 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,X 4 v 6 ,
i 4在 , X 4 中e 5 选 ,6 边 E 5 E 4 e 5 6e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,e 5 5,6 5 X X 4 v 6 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 V ,
设v1是T的一个悬挂点，考虑图T-｛v1｝，则图T｛v1｝的顶点数为K，由归纳假设可得：
，因为 m T(v1) nT(v1)1 nT(v1) nT 1 ， nT(v1) nT 1，则 mT(v1) mT1 ，证毕。
定理3：图T是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰有一条链。
证明：必要性因T是连通的，故任两个点之间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾，从而任两个点之间恰有一条链。
7
4 v6
5
v4
v2 2
v5
4
3
4 v6 v4
v5
4
3
4 v6 v4
v3 5
6
v1 1
7
5
v2 2
v5
v3 5
4
6
3
v1 1
7
4 v6 5
v4
v2 2
v5
4
3
4 v6 v4

最短路径(将军饮马+造桥选址)

为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ
B
Ｑ＋ＱＢ．
11/24/2019
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方
A
向平移Ａ点至Ａ１点，沿 A1
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
M
分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ.
N P
最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
Q B
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处
11/24/2019
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
B
11/24/2019
最短路径问题
将军饮马造桥选址
问题
问题
郧西县河夹中学
段廉洁
最短路径问题
①垂线段最短。
B L
A
②两点之间，线段最短。
A L
C B
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马
人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
A C
B
L
两种情形
① 点A，B分别是直线l异侧的两个点
a
A
M
b
N
B
解决问题 2
① 作图
A A′
M N
a b
B
② 证明
A A′
a
M′
b
M
N′
N
B

最短路径(将军饮马造桥选址)

平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ 平移到A点处；PQ、GH平移到B点处
M N P Q
G
H
B
问题解决 A
A1
沿垂直于河岸方向依次把A点平 A 2 移至A１、A２、A3，使AA１ A3 ＝MN，A１A２＝PQ，A2A3 =GH ；连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH；连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ；连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
M N
P Q
G H
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２＝PQ，A2A3 =GH ；连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH；连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ；连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
B
Ｑ＋ＱＢ．
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方
A
向平移Ａ点至Ａ１点，沿 A1
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
M
分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ.
N P
最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
Q B
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２＝MN ；连接B２A交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；连接B１N交B１的对岸于 P点，建桥PQ；从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为AB2+B2B1+B1B．

造桥选址问题最短路径.4-造桥选址问题-最短路径(2)课件

pq在中间且方向不能改变仍无法直接利用两点之间线段最短解决问题只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长mn平移pq平移到mn此时问题转化为问题基本题型两点利用基本问题的解决方法确定桥pq确定pq的位置也确定了bqpq此时问题可转化为由点和第一条河确定桥mn的位置a2a1的对岸于n点建桥mn
13.4 课题学习 ---最短路径问题（2）
A·
B
问题延伸一
如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
A
B
思维分析
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长. 平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处
1、2两种方法改变了.
怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
问题解决
如图，平移A到A1，使AA1 等于河宽，连接A1B交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
A
A1
M N
Ｍ１Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由三角形三边关系知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN

运筹学第3版熊伟编著习题答案

运筹学（第3版）习题答案第1章线性规划 P36第2章线性规划的对偶理论 P74 第3章整数规划 P88 第4章目标规划 P105第5章运输与指派问题P142 第6章网络模型 P173 第7章网络计划 P195 第8章动态规划 P218 第9章排队论 P248 第10章存储论P277 第11章决策论P304第12章多属性决策品P343 第13章博弈论P371 全书420页第1章线性规划1.1工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．表1－23产品资源 A B C 资源限量材料(kg) 1.5 1.2 4 2500 设备(台时) 3 1.6 1.2 1400 利润(元/件)101412根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.2建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：表1－24 窗架所需材料规格及数量型号A 型号B 每套窗架需要材料长度（m ）数量(根)长度(m) 数量(根)A 1：2 2B 1：2.5 2 A 2：1.53 B 2：23需要量（套）300400问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．【解】第一步：求下料方案，见下表。

方案一二三四五六七八九十需要量 B1 2.5 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 800 B2 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1200 A1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 600 A21.5120 2 3 900 余料(m) 0 0.5 0.5 1 1 1 010.5第二步：建立线性规划数学模型设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则（1）用料最少数学模型为10112342567368947910min 28002120026002239000,1,2,,10jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为2345681012342567368947910min 0.50.50.52800212002*********0,1,2,,10j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。

小学数学《最短路线》练习题 (1)

小学数学《最短路线》练习题【例1】咱们先做个游戏：在方格纸上任取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B作为终点划一条由A到B的最短路线。

聪明的小朋友，你能划出来吗？总共能划出几条呢？在上面这个游戏中，你是用什么方法找到从A到B的最短路线呢？如果A、B两点变成图1、2、3的位置，那么从A到B的最短路线有几条呢？小朋友们，你是怎么做的？你发现了什么规律？如果图形变得复杂，还要保证找出的路线既不重又不漏呢？你又该如何解决呢？我们一起来看【例2】。

【例2】阿呆和阿瓜到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训。

请你想一想他们从学校到少年宫的最短路线最多有多少种？聪明的小朋友，你总结出什么规律了吗？请填在下面的空格内：【例3】下图是动物王国的街道平面图，纵横各有5条路，森林之王老虎先生通知大家去运动场开会，如果迟到就要挨罚喝100杯水。

爱睡懒觉的树袋熊一觉醒来，呀，要迟到了，想想那100杯水，树袋熊都快晕了。

善良的小朋友们，快来给树袋熊找找最近的吧！【例4】小猫汤姆和老鼠杰克在博物馆看连环画，突然它们发现了一个千年藏宝图，于是它们决定去寻宝。

请爱动脑筋的小朋友们帮他们想想共有几条最短路线能到藏宝地呢？【例5】下图是小明家和学校的示意图，你们觉得小明从家到学校一共有几条最短路线呢？图）。

爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？【例7】“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩。

聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？【例8】大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如图所示),他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！1.如图，从A到B，最短路线有几条？2. 如图，从P点出发到Q点，走最短的路程，有多少种不同的走法？3.小海龟在小猪家玩，它们想去游乐园坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐园共有几条最短路线呢？4.（第五届希望杯六年级1试）小君家到学校的道路如右图所示。

最短路径问题——造桥选址问题

目标
教学知识点
能利用平移解决造桥选址问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想。
能力训练要求
在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力培养学生的创新意识及应用意识。
情感与价值观要求
通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,培养学生乐于探索的学习态度，体现人人都学有所用的数学。
先将实际问题抽象为几何模型，
1、直接连接AB行吗？为什么？
2、路径是哪些线段之和？
3、桥的位置发生变化后，路径中哪些线段是不变的，哪些在变？
4、路径最短就是哪些线段之和最小？
5、路径中的线段可以转化吗？
课件演示：将直线L一分为二，上面部分向上平移变为如图，再将上面部分向下平移回到直线异侧两点的情况。
（意图：让学生认识到为什么要将A点沿桥的方向平移一个桥长）
引导学生充分探究后，教师归纳：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ点，建桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.（课件展示）
这是最短吗？
引导证明
理由:另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1.由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1. AM+MN+BN转化为AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1转化为AA1+A1N1+BN1.在△A1N1B中,由线段公理知A1N1+BN1>A1B.因此AM1+M1N1+BN1> AM+MN+BN,
对问题的探索做准备，
激发学生兴趣
通过层层递进将问题逐步简化，让学生能真正参与到教学活动之中。

第十一章 最短道路和最小树

最短路线1

最小树的名词解释

最短路径经典练习题

小学教育-最短路线问题

最短路径问题——造桥选址问题

最小树_运筹学_[共8页]

道路交通运输网络分析技术-道路运输系统工程

最短路径(将军饮马造桥选址).pptx

造桥选址问题 最短路径.4-造桥选址问题-最短路径(2)课件

小学数学《最短路线》练习题

最小生成树题目

13.4.最短路径(2)—造桥选址问题电子教案

最小树问题

最短路径(将军饮马+造桥选址)

最短路径(将军饮马造桥选址)

造桥选址问题 最短路径.4-造桥选址问题-最短路径(2)课件

运筹学第3版熊伟编著习题答案

小学数学《最短路线》练习题 (1)

最短路径问题——造桥选址问题

第十一章最短道路和最小树

造桥选址问题最短路径.4-造桥选址问题-最短路径(2)课件

造桥选址问题最短路径.4-造桥选址问题-最短路径(2)课件