贵阳市高三模拟考文科数学试卷及答案解析
2024届贵州省贵阳市高三下学期一模数学试题及答案
贵阳市2024年高三年级适应性考试（一）数学2024.2本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名､准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上.2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.请保持答题卡平整，不能折叠考试结束后，监考老师将试题卷､答题卡一并收回.第I 卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}1,3,5,6,2,3,5,8A B ==，则A B ∩=（ ） A.{}1,2,3,5,6,8 B.{}3,5 C.{}1,3 D.{}2,82.已知z 是复数，若()1i 2z +=，则z =（ ） A.1i − B.1i + C.2i 22i −3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知281514,27a a a +==，则12S =（ ） A.150 B.140 C.130 D.1204.向量()6,2a = 在向量()2,1b =− 上的投影向量为（ ） A.()2,1− B.11,2−C.()4,2−D.()3,1 5.已知圆22:(1)(2)9C x y −+−=，直线():10,l m x y y xm +++−=∈R ，则下列说法正确的是（ ） A.直线l 过定点()1,1−−B.直线l 与圆C 一定相交C.若直线l 平分圆C 的周长，则4m =−D.直线l 被圆C 6.2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有（ ）A.6种B.9种C.18种D.36种7.将函数()sin f x x =的图像先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的1(0)ωω>倍，得到函数()g x 的图像.若函数()g x 在π,02 − 上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A.10,6 B.10,3 C.10,2D.(]0,1 8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()e xf x ′+也是偶函数，若()()21f a f a >−，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),1∞−B.()1,∞+C.1,13D.()1,1,3∞∞ −∪+二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设样本数据1,3,5,6,9,11,m 的平均数为x ，中位数为0x ，方差为2s ，则（ ）A.若6x =，则7m =B.若2024m =，则06x =C.若7m =，则211s =D.若12m =，则样本数据的80%分位数为1110.已知0,0a b >>，且2a b +=，则（ ）A.22a b +B.112a b+ C.22log log 1a b + D.222a b +11.在三棱锥P ABC −中，PC ⊥平面,3ABC PCAB ==，平面ABC 内动点D 的轨迹是集合}2{|DB M D DA ==.已知,i C D M ∈且i D 在棱AB 所在直线上，1,2i =，则（ ）A.动点D 的轨迹是圆B.平面1PCD ⊥平面2PCDC.三棱锥P ABC −体积的最大值为3D.三棱锥12P D D C −外接球的半径不是定值第II 卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知tan 2α=，则1sin2α=__________.13.已知一个圆台的上､下底面半径分别为1和3，高为若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为__________.（球的厚度可忽略不计）14.设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，直线1BF 与椭圆C 的另一个交点为A .若220AF BF ⋅=，则椭圆C 的离心率为__________. 四､解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin cos a C A =.（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，22PA AD AB ===.（1）证明：平面PCD ⊥平面PAD ；（2）求平面PBC 与平面PCD 的夹角的余弦值.17.（本题满分15分）猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲､乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为23，乙同学猜对每个灯谜的概率为12.假设甲､乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求： （1）甲､乙任选1个独立竞猜，求甲､乙恰有一人猜对的概率；（2）活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在A 箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是23；没有都猜对则在B 箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是14，求甲同学抽中新春大礼包的概率； （3）甲､乙各任选2个独立竞猜，设甲､乙猜对灯谜的个数之和为X ，求X 的分布列与数学期望. 18.（本题满分17分）已知双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b−=>>，虚轴长为2，点()4,1A −−在C 上. （1）求双曲线C 的方程；（2）过原点O 的直线与C 交于,S T 两点，已知直线AS 和直线AT 的斜率存在，证明：直线AS 和直线AT 的斜率之积为定值；（3）过点()0,1的直线交双曲线C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与x 轴的交点分别为,M N ，求证：MN 的中点为定点.19.（本题满分17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：23e 1!2!3!nxx x x x n =++++++ 其中!1234,e n n =××××× 为自然对数的底数，e 2.71828= .以上公式称为泰勒公式.设()()e e,2x x f x g x −−==. （1）证明：e 1x x + ；（2）设()0,x ∞∈+，证明：()()f x g x x <；（3）设()()212x F x g x a =−+，若0x =是()F x 的极小值点，求实数a 的取值范围.贵阳市2024年高三年级适应性考试（一）参考答案与评分建议2024.2一､选择题（每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C B D B D二､多项选择题（每小题6分，共18分）题号 9 10 11 答案 ABD ABCD ABC三､填空题（每小题5分，共15分）12.54 13.四､解答题（共5小题，共77分）15.解：（1）由正弦定理，得sin sin cos A C C A =，又()0,π,sin 0C C ∈≠，所以sin A A =，即tan A =.又()0,πA ∈，所以π3A =. （2）由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +−==， 所以224b c bc +−=.由基本不等式知222b c bc + ，于是224244bc b c bc bc =+−−⇒ .当且仅当2b c ==时等号成立.所以ABC 的面积1sin 42S bc A =，当且仅当2b c ==时，面积S16.（1）证明：因为PA ⊥底面,ABCD CD ⊂底面ABCD ，所以PA CD ⊥.因为底面ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥.又PA AD A ∩=，所以CD ⊥平面PAD .又因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD .（2）解 以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图3所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,2,0,0,0,2A B C D P .所以()()()1,2,2,0,2,0,1,0,0PC BC CD =−==− .设平面PBC 的法向量为()111,,n x y z =，则 1111220,0,20.0x y z n PC y n BC +−=⋅= ⇒ =⋅=取12x =，得()2,0,1n = .设平面PCD 的法向量为()222,,m x y z =，则 1111220,0,0.0x y z m PC x m CD +−=⋅= ⇒ −=⋅=取21y =，得()0,1,1m = .设平面PBC 与平面PCD 的夹角为θ，则||cos |cos ,|||||n m n m n m θ⋅=>=<= 所以平面PBC 与平面PCD. 17.解：设A =“甲猜对一个灯谜”，B =“乙消对一个灯谜”，则()()21,.32P A P B == （1）因为甲､乙恰有一人猜对的事件为AB AB +，所以()()()P AB AB P AB P AB +=+()()()()P A P B P A P B +21111.32322=×+×= 所以，甲､乙恰有一人猜对的概率为12. （2）设C =“甲猜对两道题”，D =“甲中奖”，则()()()()()P D P C P D C P C P D C =+∣∣22222113334=×+−× 85472736108=+= 所以，甲同学抽中新春大礼包的概率47108. （3）由（1）知()()21,32P A P B ==. 易知甲､乙猜对灯谜的个数之和X 的可能取值为0,1,2,3,4.则()221110,3236P X ==×= ()2211222111111111,3322239186P X C ==×××+××=+= ()2222112221112111132,3232332236P X C C ==×+×+×××××=()22112221111213,2233332P X C C ==×××+×××= ()22211.4932P x ==×= 所以X 的分布列为因此，X 的数学期望()11131184701234.3663639363E X =×+×+×+×+×== 18.解：（1）因为虚轴长22b =，所以1b =.又因为点()4,1A −−在双曲线上，所以221611a b −=， 解得28a =.故双曲线C 的方程为2218x y −=. （2）证明：设()00,S x y ，则()00,T x y −−所以200020001114416AT AS y y y k k x x x +−+−⋅=⋅=+−+− 因为()00,S x y 在双曲线C 上，所以2222000011288x x y y −=⇒−=− 于是20202200211816168AS AT x y k k x x −−⋅===−−， 所以直线AS 和直线AT 的斜率之积为定值，定值是18. （3）证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为1y kx =+. ()22221,160161888y kx k x kx x y =+ −=−⇒− −= ① 则()()222Δ(16)41816642560,k k k =−−−×−=−>所以 ()()()1212122221118y y kx kx k x x k +=+++=++=−② ()()()2121212121111y y kx kx k x x k x x =++=+++=③直线AP 的方程为()111414y y x x ++−+，令0y =，得点M 的横坐标为11441M x x y +=−+ 同理可得点N 的横坐标为22441N x x y +=−+ 所以121244811NM x x x x y y ++−+=+++ ()()()122112121248811x y x y x x y y y y ++++++−++ ()()()122112121212114881x kx x kx x x y y y y y y ++++++++−+++ ()()121212121222488.1kx x x x y y y y y y +++++−+++ 将①②③式代入上式，并化简得到 ()()2288188484,2218M N k x x k+−+=−=−=−+− 所以MN 的中点的横坐标为22M N x x x +==−， 故MN 的中点是定点()2,0−.19.证明：（1）设()e 1x h x x =−−，则()e 1x h x ′=−. 当0x >时，()0h x ′>：当0x <时，()0h x ′<.所以()h x 在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增. 因此，()()00h x h = ，即e 1x x + . （2）由泰勒公式知2345e 12!3!4!5!!nxx x x x x x n =++++++++ ，① 于是5432e 1(1)2!3!4!5!!n x n x x x x x x n −=−+−+−++−+ ，② 由①②得()()3521e e ,23!5!21!x x n x x x f x x n −−−==+++++−()()2422e e 1,2!4!22!2x x n x x x g x n −−+==+++++− 所以 ()()2422121!3!5!n f x x x x n x −+=++++− ()242212!4!22!n x x x n −<+++++− ().g x = 即()()f x g x x <.（3）()()22e e 11222x x x x F x g x a a − +=−+−+=，则 ()()e c e e ,.22x x x xF x ax F x a −−′+=′−=−−′由基本不等式知，e e 1122x x −+=× ，当且仅当0x =时等号成立. 所以当1a 时，()10F x a ′′− ，所以()F x ′在R .单调递增. 又因为()F x ′是奇函数，且()00F ′=，所以当0x >时，()0F x ′>；当0x <时，()0F x ′<.所以()F x 在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增.因此，0x =是()F x 的极小值点.下面证明：当1a >时，0x =不是()F x 的极小值点.当1a >时，()ln ln 1111e e ln 0222a a a a a a F a a a −′+ −==−<+−=′ ， 又因为()F x ′′是R 上的偶函数，且()F x ′′在()0,∞+上单调递增（这是因为当0x >时，所以当()ln ,ln x a a ∈−时，()0F x ′′<.因此，()F x ′在()ln ,ln a a −上单调递减.又因为()F x ′是奇函数，且()00F ′=，所以当ln 0a x −<<时，()0F x ′>；当0ln x a <<时，()0F x ′<. 所以()F x 在()ln ,0a −上单调递增，在()0,ln a 上单调递减. 因此，0x =是()F x 的极大值点，不是()F x 的极小值点. 综上，实数a 的取值范围是(],1∞−.。
2021-2022学年贵州省贵阳市高三(上)8月摸底数学试卷(文科)与祥细答案与解析
2021-2022学年贵州省贵阳市高三（上）8月摸底数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={−1, 0, 1, 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∩B =( ) A.{−1, 0, 1} B.{0, 1} C.{−1, 1, 2} D.{1, 2}2. 已知复数z =2i1−i ，则复数z 为（ ） A.1+i B.−1+i C.1−i D.−1−i3. 已知向量a →=(1, m)，b →=(3, −2)且(a →−b →)⊥b →，则m =( ) A.−8 B.−5C.5D.84. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的体积是（ ）A.2B.2√2C.2√3D.3√35. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下．则下面结论中错误的一个是（ ）A.甲的极差是29B.乙的众数是21C.甲罚球命中率比乙高D.甲的中位数是246. 已知函数f(x)={sinπx6,x≤0log13x,x>0，则f（f(9)）＝（）A.12B.−12C.√32D.−√327. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝51，则2a10−a11＝（）A.2B.3C.4D.68. 已知a=243，b=323，c=2513，则（）A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b9. 函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（）A. B.C. D.10. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的有（）①直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4；②点C到平面ABC1D1的距离为√22；③两条异面直线D1C和BC1所成的角为π4；④三棱柱AA1D1−BB1C1外接球半径为√32．A.1个B.2个C.3个D.4个11. 已知函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，且为奇函数，若f(1)=−2，则满足−2≤f(x−2)≤2的x的取值范围是（）A.[−2, 2]B.[−1, 1]C.[0, 4]D.[1, 3]12. 设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离等于a+√a2+b2，则该双曲线的离心率e=()A.√2B.√3C.2D.√5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2023届贵州省贵阳市高考12月模拟性联考 数学(文)试题【含答案】
2023届贵州省贵阳市第一中学高考12月备考模拟性联考文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则表示的集合为（）{}{}1,0,1,2,2xA B y y =-==A B ⋂A. B. C. D. {}1-{1,0}-{1,2}{0,1,2}2. 复数，则（ ）3i11i z -=-+||z =C. 2D. 53. 某医疗公司引进新技术设备后，销售收入（包含医疗产品收人和其他收入）逐年翻一番，据统计该公司销售收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）A. 该地区2021年的销售收入是2019年的4倍B. 该地区2021年的医疗产品收入比2019年和2020年的医疗产品收入总和还要多C. 该地区2021年其他收人是2020年的其他收入的3倍D. 该地区2021年的其他收入是2019年的其他收人的6倍4. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则它的最长侧棱与底面所成角的正切值为（）A. B. 1125. 已知焦点在坐标轴上且中心在原点的双曲线的一条渐近线方程为，若该双曲线2y x =过点，则它的方程为（）(1,1)A.B.C.D.2243y x -=2243x y -=2221y x -=2221x y -=6. 若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，0,2,35,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩(2)x m y =-则实数m 的值为（）A. 1B. C. D. 1213147. 已知直线与圆，则下列(2)(1)210()m x m y m m ++---=∈R 22:40C x x y -+=说法错误的是（ ）A. 对，直线恒过一定点m ∀∈RB. ，使直线与圆相切m ∃∈R C. 对，直线与圆一定相交m ∀∈R D. 直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为8. 以下关于的命题，正确的是（ ）21()sin cos cos 2f x x x x =-+A. 函数在区间上单调递增()f x 2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 直线是函数图象的一条对称轴π8x =()y f x =C. 点是函数图象的一个对称中心π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭()y f x =D. 将函数图象向左平移个单位，可得到的图象()y f x =π82y x=9. 在中，分别为角的对边，且满足，则的ABC ,,a b c ,,A B C 22sin 2Cb a b -=ABC 形状为（）A. 直角三角形B. 等边三角形C 直角三角形或等腰三角形D. 等腰直角三角形10. 小明家订了一份牛奶，送奶人可能在早上6：30~7：00之间把牛奶送到小明家，小明出门去上学的时间在早上6：50~7：10之间，则小明在离开家之前能得到牛奶的概率是（ ）A. B. C. D. 1122378111211. 已知符号函数，函数满足1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x ，当时，，则（ ）(1)(1),(2)()f x f x f x f x -=++=[0,1]x ∈π()sin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B. sgn(())0f x >404112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. D. sgn((2))0(Z)f k k =∈sgn((2))|sgn |(Z)f k k k =∈12. 已知直线l 与曲线相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为e xy =坐标原点．若的面积为，则点P 的个数是（ ）OAB 1e A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量，若，则___________．(1,3),(3,4)a b == ()//()ma b a b -+ m =14. 153与119的最大公约数为__________．15. 若，则a 的值为___________．a =16. 如图，已知正方体的棱长为2，M ，N ，P 分别为棱1111ABCD A B C D -的中点，Q 为该正方体表面上的点，若M ，N ，P ，Q 四点共面，则点Q 的11,,AA CC AD 轨迹围成图形的面积为___________．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图），解决下列问题．组别分组频数频率第1组[)50,60140.14第2组[)60,70m第3组[)70,80360.36第4组[)80,900.16第5组[)90,1004n合计（1）求m ，n ，x ，y 的值；（2）求中位数；（3）用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动，求抽到的2人均来自第四组的概率．18. 已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足{}n a q n n S ，是与的等比中项．1534a a +=82a 4a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，是的前项和，求使成立的最大正整数的n n b n a =⋅n T n b n 12100n n T n +-⋅>-n 值．19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面P ABCD -ABCD PD ⊥．,1,ABCD AD BD AB ===（1）求证：平面平面；PBD ⊥PBC （2）若二面角的大小为，求点D 到的距离．P BC D --60︒PBC 20. 已知椭圆过点．2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>⎛ ⎝（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点P ，Q ，那么在x 轴上是否存在点M ，:2l y mx =+使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．MP MQ =MP MQ ⊥21. 已经函数．22e ()ln 2,()2()xf x a x xg x x ax a x =+=--∈R （1）求函数的单调性；()f x （2）若，求当时，a 的取值范围．()()()F x f x g x =+()0F x ≥请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂題题目的题号一致，在答题卡选答区城指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数），xOy cos )cos )x y θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩θ以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为O x l．πcos 4ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（1）求直线和曲线的直角坐标方程；l C （2）从原点引一条射线分别交曲线和直线于两点，求的最O C l ,M N 22121||||OM ON +大值．23. 已知函数．()||2af x x a x =++-（1）当时，求不等式的解集；2a =()5f x ≤（2）设且的最小值为m ，若，求的最小值．0,0a b >>()f x 332m b +=32a b +2023届贵州省贵阳市第一中学高考12月备考模拟性联考文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则表示的集合为（）{}{}1,0,1,2,2xA B y y =-==A B ⋂A. B. C. D. {}1-{1,0}-{1,2}{0,1,2}【答案】C 【解析】【分析】由指数函数值域得，再根据交集的含义即可得到答案.{0}B yy =>∣【详解】根据指数函数值域可知，{0}B y y =>∣表示的集合为，A B ∴ {}1,2故选：C.2. 复数，则（ ）3i11i z -=-+||z =C. 2D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据复数运算规则计算即可.【详解】 ，()221i 3i 3i 1i 22i 12i 1i 1i 1i 2z ------=-====-+++ ；2z ∴=故选：C.3. 某医疗公司引进新技术设备后，销售收入（包含医疗产品收人和其他收入）逐年翻一番，据统计该公司销售收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）A. 该地区2021年的销售收入是2019年的4倍B. 该地区2021年的医疗产品收入比2019年和2020年的医疗产品收入总和还要多C. 该地区2021年其他收人是2020年的其他收入的3倍D. 该地区2021年的其他收入是2019年的其他收人的6倍【答案】D 【解析】【分析】设该地区2019年销售收入为，a 则由销售收入（包含医疗产品收人和其他收入）逐年翻一番，所以该地区2020年销售收入为，2a 该地区2021年销售收入为，4a 然后逐项分析即可.【详解】设该地区2019年销售收入为，a 则由销售收入（包含医疗产品收人和其他收入）逐年翻一番，所以该地区2020年销售收入为，2a 该地区2021年销售收入为，4a 选项A ：该地区2021年的销售收入是2019年的4倍，故选项A 正确；选项B ：由图可得该地区2021年的医疗产品收入为，40.7 2.8a a ⨯=该地区2019年的医疗产品收入为，0.90.9a a ⨯=该地区2020年的医疗产品收入为，20.8 1.6a a ⨯=由，0.9 1.6 2.5 2.8a a a a +=<故选项B 正确；选项C ：该地区2021年的其他收入为，40.3 1.2a a ⨯=2020年的其他收入为，20.20.4a a ⨯=所以该地区2021年其他收人是2020年的其他收入的3倍，故选项C 正确；选项D ：该地区2021年的其他收入为，40.3 1.2a a ⨯=2019年的其他收入为，0.10.1a a ⨯=所以该地区2021年的其他收入是2019年的其他收人的12倍，故选项D 不正确.故选：D.4. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则它的最长侧棱与底面所成角的正切值为（）A. B. 112【答案】C 【解析】【分析】首先还原几何体，并得到最长侧棱，根据线面角的定义，求线面角的正切值.【详解】如下图，还原几何体，其中平面，底面为矩形，SA ⊥ABCD，，，，1AB =2BC =AC =1SA =SB ==, SD==SC===SC 与底面所成的角是，SC SCA∠tanSASCAAC∠===故选：C5. 已知焦点在坐标轴上且中心在原点的双曲线的一条渐近线方程为，若该双曲线2y x=过点，则它的方程为（）(1,1)A. B. C. D.2243y x-=2243x y-=2221y x-=2221x y-=【答案】A【解析】【分析】根据渐近线设双曲线方程为，代入点坐标，计算得到答案.224y xλ-=【详解】双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为，2y x=224y xλ-=该双曲线过点，则，故双曲线方程为，(1,1)413λ-==2243y x-=故选：A6. 若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，0,2,35,xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩(2)x m y=-则实数m的值为（）A 1 B. C. D.121314【答案】A【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域,利用三角形面积公式，选择同一条边为底，高为一半即可.【详解】如图所示，不等式组所表示的平面区域为，0,2,35,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩ABC 为的中点，M BC 解得：、、、()0,2A 31,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,5C 311,44M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此直线过定点.(2)x m y =-∴A 只要直线过点，(2)x m y =-M 就可以将分成面积相等的两部分.ABC 设直线的斜率为，k 则，即，解得.1124134k -==11m =1m =故选：A.7. 已知直线与圆，则下列(2)(1)210()m x m y m m ++---=∈R 22:40C x x y -+=说法错误的是（ ）A. 对，直线恒过一定点m ∀∈RB. ，使直线与圆相切m ∃∈RC. 对，直线与圆一定相交m ∀∈R D.直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为【答案】B 【解析】【分析】首先求出直线过定点，则可判断A ，求出圆心，，则()1,1P ()2,0C 2r =，根据点在圆内，则直线与圆一定相交，故可判断B,C ，对D选项，||2PC =<()1,1P 分析出时弦长最短，则.PC l ⊥l =【详解】直线，即，(2)(1)210m x m y m ++---=(2)210m x y x y +-+--=令，解得，即直线恒过定点，故A 正确；20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩11x y =⎧⎨=⎩()1,1P 圆，即圆，圆心，半径，22:40C x x y -+=22:(2)4C x y -+=()2,0C 2r =则，即点在圆内，所以直线与圆一定相交，故B错||2PC ==<()1,1P 误，故C 正确，当时直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，最短弦长PCl ⊥，故D正确，l ==故选：B.8. 以下关于的命题，正确的是（ ）21()sin cos cos 2f x x x x =-+A. 函数在区间上单调递增()f x 2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 直线是函数图象的一条对称轴π8x =()y f x =C. 点是函数图象的一个对称中心π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭()y f x =D. 将函数图象向左平移个单位，可得到的图象()y f x=π82y x=【答案】D【分析】根据三角函数恒等变换化简为21()sin cos cos 2f x x x x =-+，计算出，根据正弦函数的单调性，可判断π())4f x x =-ππ13π2(,4412x -∈-A;采用代入验证的方法可判断;根据三角函数的平移变换可得平移后的函数解析式，判B,C 断D.【详解】由题意得，2111π()sin cos cos sin 2cos 2)2224f x x x x x x x =-+=-=-当时，，由于函数在不单调，2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ13π2(,4412x -∈-sin y x =π13π(,)412-故函数在区间上不是单调递增函数，A 错误；()f x 2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，故直线不是函数图象的对称轴，π8x =ππ8(4)f x⨯-==π8x =()y f x =B 错误；当时，，故点不是函数图象的对称中心，π4x =ππ1)42()4f x ⨯-==π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭()y f x =C 错误；将函数图象向左平移个单位，可得到的()y f x =π8ππ)284y x x=+-=图象，D 正确，故选：D9. 在中，分别为角的对边，且满足，则的ABC ,,a b c ,,A B C 22sin 2Cb a b -=ABC 形状为（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 直角三角形或等腰三角形D. 等腰直角三角形【解析】【分析】根据三角恒等变换得，再由余弦定理解决即可.cos a b C =【详解】由题知，，22sin 2C b a b -=所以，21cos sin 222b a C Cb --==所以，得，cos b a b b C -=-cos a b C =所以，得，2222a b c a b ab +-=⋅222a cb +=所以的形状为直角三角形，ABC 故选：A10. 小明家订了一份牛奶，送奶人可能在早上6：30~7：00之间把牛奶送到小明家，小明出门去上学的时间在早上6：50~7：10之间，则小明在离开家之前能得到牛奶的概率是（ ）A. B. C. D. 11223781112【答案】D 【解析】【分析】根据题意，设送奶人到达时间为，小明出门去上学的时间为，则可以看x y (,)x y 成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得结果.A 【详解】设送奶人到达时间为，小明出门去上学的时间为，x y 记小明在离开家之前能得到牛奶为事件，A 以横坐标表示送奶人到达时间，以纵坐标表示小明出门去上学的时间，建立平面直角坐标系，小明在离开家之前能得到牛奶的事件构成的区域如图所示：由于随机试验落在长方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意，只要点落到阴影 部分，就表示小明在离开家之前能得到牛奶，即事件发生，A所以，120301010112()203012P A ⨯-⨯⨯==⨯故选：.D 11. 已知符号函数，函数满足1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x ，当时，，则（ ）(1)(1),(2)()f x f x f x f x -=++=[0,1]x ∈π()sin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B. sgn(())0f x >404112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. D. sgn((2))0(Z)f k k =∈sgn((2))|sgn |(Z)f k k k =∈【答案】C 【解析】【分析】计算得到A 错误，根据周期计算B 错误，根sgn((0))0f =40412f ⎛⎫= ⎪⎝⎭据定义计算C 正确，取，得到D 不正确，得到答案.1k =【详解】对选项A ：，错误；()sgn((0))sgn 00f ==对选项B ：，函数周期为，，错误；(2)()f x f x +=240411πsin 224f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对选项C ：，正确；()()sgn((2))sgn sin πsgn 00(Z)f k k k ===∈对选项D ：取，，，不正确.1k =()sgn((2))sgn((0))sgn 00f f ===|sgn1|1=故选：C12. 已知直线l 与曲线相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为e xy =坐标原点．若的面积为，则点P 的个数是（ ）OAB 1e A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设出切点坐标，利用导数求切线斜率，写出切线方程，求出点A ，B 的坐标，表示的面积函数，求面积函数与直线有几个交点.OAB 1e y =【详解】设直线l 与曲线相切于，又，e xy =00(,)P x y e xy '=所以直线l 的斜率为，方程为，0e x k =000e e ()x x y x x -=-令，；令，,即，.0x =00(1)e xy x =-0y =01x x =-0(1,0)A x -00(0,(1)e )x B x -所以.0020001111(1)e (1)e 222x x OAB S OA OB x x x =⨯⨯=⨯-⨯-=-△设，则.21()(1)e 2x f x x =-[]211()2(1)(1)e (1)(1)e 22x xf x x x x x '⎡⎤=--+-=+-⎣⎦由，解得或；由，解得.()0f x '>1x <-1x >()0f x '<11x -<<所以在，上单调递增，在上单调递减.()f x ()1-∞-，()1+∞，()11-，，，，，且恒有21(1)e e f -=>43252511(4)2e 2e e e f -==⨯<(1)0f =2e 1(2)2e f =>成立，()0f x ≥如图，函数与直线有3个交点.()f x 1e y =所以点P 的个数为3.故选：C .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量，若，则___________．(1,3),(3,4)a b == ()//()ma b a b -+m =【答案】1-【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量平行的坐标表示可求出结果.【详解】因为，(1,3),(3,4)a b ==所以，，(3,34)ma b m m -=-- (4,7)a b +=因为，所以，解得.()//()ma b a b -+7(3)4(34)0m m ---=1m =-故答案为：.1-14. 153与119的最大公约数为__________．【答案】17【解析】【详解】因为，153119134,11934317,34172=⨯+=⨯+=⨯所以153与119的最大公约数为17.答案：1715. 若，则a 的值为___________．a =【答案】1【解析】【分析】利用对数的运算性质分别对分子分母化简即可得到结果.【详解】原式()()266666612log 3log 3log log 6332log 2-++⋅⨯=()()22666612log 3log 31log 32log 2-++-=.()666666621log 3log 6log 3log 212log 2log 2log 2--====故答案为：116. 如图，已知正方体的棱长为2，M ，N ，P 分别为棱1111ABCD A B C D -的中点，Q 为该正方体表面上的点，若M ，N ，P ，Q 四点共面，则点Q 的11,,AA CC AD轨迹围成图形的面积为___________．【答案】【解析】【分析】根据题意找出点Q 的轨迹围成图形为正六边形即可求解.PENFGM 【详解】如图，取的中点分别为，1111,,CD B C A B EFG 则点Q 的轨迹围成图形为正六边形，PENFGM，所以点Q的轨迹围成图形的面积为，6=故答案为:三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图），解决下列问题．组别分组频数频率第1组[)50,60140.14第2组[) 60,70m第3组[)70,80360.36第4组[)80,900.16第5组[)90,1004n 合计（1）求m，n，x，y的值；（2）求中位数；（3）用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动，求抽到的2人均来自第四组的概率．【答案】（1）30;0.04;0.030;0.004（2）71.67（3）35【解析】【分析】（1）根据频率分布表可求得，根据频率分布直方图中的含义即可求得其,m n ,x y 值；（2）根据频率分布直方图，利用中位数的估计方法，可计算得答案；（3）用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，确定每组中的人数，列举从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动的所有基本事件，列举出抽到的2人均来自第四组的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【小问1详解】由题意可知,第四组的人数为，1000.1616⨯=故，；100143616430m =----=40.04100n ==又内的频率为 ，∴；[)60,70300.30100=0.300.03010x ==∵内的频率为 ，∴.[)90,1000.040.040.00410y ==【小问2详解】由频率分布直方图可知第一、二组频率之和为，0.140.300.44+=前三组频率之和为，0.140.300.360.80++=故中位数为：.0.500.447071.670.036-+≈【小问3详解】由题意可知，第4组共有16人，第5组共有4人，用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人,则第四、第五组抽取人数为4人和1人，设第4组的4人分别为 ，第5组的1人分别为A,a b c d ,,,则从中任取2人，所有基本事件为：共10个，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a A b c b d b A c d c A d A又抽到的2人均来自第四组的基本事件有∶共6个，(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d b c b d c d 故抽到的2人均来自第四组的的概率为.63105=18. 已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足{}n a q n n S ，是与的等比中项．1534a a +=82a 4a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，是的前项和，求使成立的最大正整数的n n b n a =⋅n T n b n 12100n n T n +-⋅>-n 值．【答案】（1）（）2n n a =*n ∈N （2）5【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质结合条件是与的等比中项得到，联立82a 4a 1564a a =条件得到和，根据题目条件和等比数列的通项公式即可求解.1532a a +=1a 5a （2）根据（1）求得，利用错位相减求和得到，从而得到，通过2nn b n =⋅n T 12n n T n +-⋅函数法判断出是单调递减数列，即可求解.12n n T n +-⋅【小问1详解】因为是与的等比中项，所以，82a 4a 224864a a ==则由题意得：，即，解得：或，15243464a a a a +=⎧⎨=⎩15153464a a a a +=⎧⎨=⎩15232a a =⎧⎨=⎩15322a a =⎧⎨=⎩因为数列是递增的等比数列，所以，即，，{}n a 1451232a a a q =⎧⎨==⎩12a =2q =所以，111222n n nn a a q --==⨯=故数列的通项公式为（）.{}n a 2n na=*n ∈N 【小问2详解】由（1）得：（），2n n n b n a n =⋅=⨯*n ∈N则123n nT b b b b =++++ ，①1231222322n n =⨯+⨯+⨯++⨯ 即，②234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 则得：-①②123122222n n nT n +-=++++-⨯ 即（），()11122212212n n n n T n n +++-=⨯-=-+-*n ∈N 所以（），()11112122222n n n n n T n n n ++++-⋅=-+-⋅=-*n ∈N 设，则（），12n n n C T n +=-⋅122n n C +=-*n ∈N 因为在上单调递减，122x y +=-()0,∞+所以是单调递减数列，122n n C +=-又有，，652262100C =-=->-7622126100C =-=-<-所以当且时，成立，5n ≤*n ∈N 12100n nT n +-⋅>-故使成立的最大正整数的值为.12100n n T n +-⋅>-n 519. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面P ABCD -ABCD PD ⊥．,1,ABCD AD BD AB ===（1）求证：平面平面；PBD ⊥PBC （2）若二面角的大小为，求点D 到的距离．P BC D --60︒PBC 【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）利用线面垂直及面面垂直的判定定理可得结果；（2）根据等体积法即可求得点到平面的距离.C PBD 【小问1详解】在中, ，ADB1,===AD BD AB ，∴，222AD BD AB ∴+=AD BD ⊥∵平面,平面，∴.PD ⊥ABCD AD ⊂ABCD PD AD ⊥又∵,平面，∴平面，PD BD D ⋂=,PD DB ⊂PBD AD ⊥PBD 又，∴平面，//AD BC BC⊥PBD 又平面，所以平面平面BC ⊂PBC PBD ⊥PBC 【小问2详解】由（1）知平面，，，BC⊥PBD PB BC ∴⊥DB BC ⊥∴为二面角的平面角，∴.PBD ∠P BC D --60PBD ∠=在中, ，Rt PDB1,2===PD BD PB 所以，，111122=⨯⨯= BDC S 11212=⨯⨯= PBC S 设点D 到的距离,PBC d 由，有，P BCDD PBC V V --=1133△△⋅⋅=⋅⋅BDC PBCSPD S d即，解得1111323⨯=⨯⨯d d =即点D 到PBC20. 已知椭圆过点．2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>⎛ ⎝（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点P ，Q ，那么在x 轴上是否存在点M ，:2l y mx =+使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．MP MQ =MP MQ ⊥【答案】（1）22142x y +=（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据条件得到关于的方程组，即可求得椭圆方程；,,a b c （2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示线段中点坐标PQ ，再根据,以及，转化为坐标表示，代入韦2242,1212mN m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭MN PQ ⊥MP MQ ⊥达定理后，即可求,m n 【小问1详解】由条件可知，，解得：，，222221312a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩24a =222b c ==所以椭圆C 的方程是；22142x y +=【小问2详解】假设在轴上存在点，使且，x (),0M n MP MQ =MP MQ ⊥联立，设，，222142y mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()11P x y ()22,Q x y 方程整理为，()2212840m xmx +++=，解得：或，()226416120m m∆=-+>m>m <，，122812m x x m -+=+122412x x m =+1224212x x mm +-=+则线段的中点的横坐标是，中点纵坐标，PQ 2412mx m -=+2224221212m y m m -=+=++即中点坐标，，2242,1212mN m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭(),0M n 则，即，化简为，①MN PQ ⊥222112412m m m n m +=---+2220m n m n ++=又,0MP MQ ⋅= 则，，()()12120x n x n y y --+=()()()()1212220x n x n mx mx --+++=整理为，()()()2212121240m x x m n x x n ++-+++=，()()22224812401212m mm n n m m -+⨯+-⨯++=++化简为②()222124880n m m mn +-++=由①得，即，代入②得()2212mn m+=-()22212m n mn+=-，整理得③，又由①得，代224880mn m mn --++=22340m mn -++=2221mn m -=+入③得，即，222234021mm m m --+⋅+=+()()()222221324210m m m m m -++⋅-++=整理得，即.41m =1m =±当时，，当时，，满足，1m =23n =-1m =-23n =0∆>所以存在定点,此时直线方程是，当定点,此时直线方程是2,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭l 2y x =+2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭l .2y x =-+21. 已经函数．22e ()ln 2,()2()xf x a x xg x x ax a x =+=--∈R （1）求函数的单调性；()f x （2）若，求当时，a 的取值范围．()()()F x f xg x =+()0F x ≥【答案】（1）见解析 （2）ea ≤【解析】【分析】（1）根据两种情况讨论.()24x af x x +'=0,0a a ≤>(2)求出，首先证明()ln e ()ln ln e xx xF x a x ax a x x x -=+-=-+()ln e e ln x x x x -≥-只需要求即可.()()ln e ln 0a x x x x -+-≥【小问1详解】()()2440a x af x x x x x+'=+=> (1)时，，所以在单调递增.0a ≥()240x a f x x +'=>()f x ()0,∞+(2)时，a<0()0,f x x '===时，时x ⎛∈ ⎝()0f x '<x ∞⎫∈+⎪⎪⎭()0f x ¢>所以在单调递减，在单调递增.()f x ⎛⎝∞⎫+⎪⎪⎭综上：时在单调递增0a ≥()f x ()0,∞+时在单调递减，在单调递增a<0()f x ⎛⎝∞⎫+⎪⎪⎭【小问2详解】()()()22e e ln 22ln x x F xf xg x a x x x ax a x axx x=+=++--=+-，要求，即求()()ln ln e ln ln e e xx xx a x x a x x -=-+=-+()0F x ≥()ln ln e 0x x a x x --+≥设，则，当，ln 1t x x =-+1110,1xt x x x -'=-===()()0,10,1,0x t x t ∞'∈∈+'><，所以在上单调递增，在单调递减，所以即t ()0,1()1,+∞ln1110t ≤-+=ln 1x x -≥设，，()()()e e 1,e e 0x x h x x x h x '=-≤-=-=()10x h x x '∴=<∈(],1-∞，所以在单调递减，在单调递增()[)01,h x x ∞∈'>+()h x (],1-∞[)1,+∞，故当且仅当时成立.所以当且()()1e e 0h x h ∴≥=-=e e xx ≥1x =()ln e e ln x x x x -≥-仅当即当且仅当时等号成立，ln 1x x -=1x =，又因为()()()ln ln e ln e ln 0x x a x x a x x x x --+≥-+-≥ln 1x x -≤-所以，所以.e 0a -≤e a ≤请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂題题目的题号一致，在答题卡选答区城指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数），xOy cos )cos )x y θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩θ以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为O x l．πcos 4ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（1）求直线和曲线的直角坐标方程；l C （2）从原点引一条射线分别交曲线和直线于两点，求的最O C l ,M N 22121||||OM ON +大值．【答案】（1）直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：l 10x y --=C.22164x y +=（2【解析】【分析】（1）消去参数可得曲线的直角坐标方程；利用两角和的余弦公式和θC ，可得直线的直角坐标方程；cos x ρθ=sin y ρθ=l （2）设射线方程为（），将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，θα=0,0πρθ≥≤<C 并将代入可得，将代入可得，再利用辅助角θα=||OM θα=cos sin 10ρθρθ--=||ON 公式可求出的最大值.22121||||OM ON +【小问1详解】由，得，cos )cos )x y θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩2222(sin cos )(sin cos )32x y θθθθ+=-++2=即,22164x y +=所以曲线的直角坐标方程为：.C 22164x y +=由，πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππcos cos sin sin 44ρθρθ-=，cos sin θθ=cos sin 10ρθρθ--=将，代入得，cos x ρθ=sin y ρθ=10x y --=所以直线的直角坐标方程为：.l 10x y --=综上所述：直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：l 10x y --=C .22164x y +=【小问2详解】设射线方程为（），θα=0,0πρθ≥≤<将，代入，得，cos x ρθ=sin y ρθ=22164x y +=2222cos sin 164ρθρθ+=得，2221cos sin 64θθρ=+将代入，得，得θα=2221cos sin 64θθρ=+2221cos sin 64ααρ=+21||OM ，22cos sin64αα=+由，πcos 4ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭1π4θρ=+将代入，得()，，得θα=1π)4θρ=+1π4αρ=+π5π[0,)(,2π)44α∈ ，221π2cos (||4ON α=+所以22121||||OM ON +222π2cos 3sin 2cos ()4ααα=+++2222cos 3sin 2(cos sin αααα=++-2222cos 3sin (cos sin )αααα=++-22222cos 3sin cos 2sin cos sin αααααα=++-+23sin sin 2αα=+-1cos 23sin 22αα-=+-17cos 2sin 222αα=--+72sin 22αα=++（其中，），7)2αϕ=-+sin ϕ=cos ϕ=tan 2ϕ=因为，所以，π5π[0,)(,2π)44α∈ π5π2[0,)(,4π)22α∈ 又，所以，ϕπ(0,)2∈ππ2(,)(2π,4π)22αϕ-∈- 所以当时，即，即（其中cos(2)1αϕ-=-2αϕ-=3π3π22ϕα=+sin ϕ=，）时，.cos ϕ=tan 2ϕ=22121||||OM ON +23. 已知函数．()||2a f x x a x =++-（1）当时，求不等式的解集；2a =()5f x ≤（2）设且的最小值为m ，若，求的最小值．0,0a b >>()f x 332m b +=32a b +【答案】（1）[3,2]-（2【解析】【分析】（1）分段讨论求解，（2）由绝对值三角不等式求最小值，再由基本不等式求解，m 【小问1详解】当时，，2a =21,2()213,2121,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩故即或或，()5f x ≤2215x x <-⎧⎨--≤⎩2135x -≤≤⎧⎨≤⎩1215x x >⎧⎨+≤⎩解得，即原不等式的解集为32x -≤≤[3,2]-【小问2详解】由题意得，3()||||222a a f x x a x a a =++-≥+=即，，即，32m a =3333222m b a b +=+=2a b +=而即3232()()55b a a b a b a b ++=++≥+32b ab a =时等号成立，64a b =-=故32a b +。
2020年贵州省贵阳市高考数学模拟试卷(文科)(一)(3月份)(有解析)
2020年贵州省贵阳市高考数学模拟试卷(文科)(一)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2,3,5,7,11}，B={x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 52.已知i为虚数单位，在复平面内复数2i1+i对应点的坐标为()A. (1,1)B. (−1,1)C. (2,2)D. (−2,2)3.向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(0,2)，则a⃗⋅b⃗ =()A. 2B. (0,4)C. 4D. (1,4)4.已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是半径为1的半圆形，俯视图为等边三角形，则该几何体的体积为()A. √3π3B. √3π6C. √3πD. √6π5.已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中假命题是()A. 若α//β，l⊂α，则l//βB. 若α//β，l⊥α，则l⊥βC. 若l//α，m⊂α，则l//mD. 若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β6.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)=()A. 726B. 114C. 152D. 3147.函数f(x)=x(e−x−e x)4x2−1的部分图象大致是()A. B. C. D.8. 从甲、乙两种玉米中各抽测了10株玉米苗的高度(单位：cm)，其茎叶图如图所示，根据茎叶图，下列描述正确的是( )A. 甲种玉米苗的平均高度大于乙种玉米苗的高度，且甲种玉米苗比乙种玉米苗长得整齐B. 甲种玉米苗的平均高度大于乙种玉米苗的高度，但乙种玉米苗比甲种玉米苗长得整齐C. 乙种玉米苗的平均高度大于甲种玉米苗的高度，且乙种玉米苗比甲种玉米苗长得整齐D. 乙种玉米苗的平均高度大于甲种玉米苗的高度，但甲种玉米苗比乙种玉米苗长得整齐9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sinA sinB+sinC +sinC sinA+sinB ≥1，则角B 的取值范围是( ) A. (0,π2]B. (0,π3]C. [π3,π)D. [π6,π) 10. 已知双曲线C ：y 29−x 2b 2=1(b >0)，其焦点F 到C 的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率e 为( )A. √133 B. √132 C. 23D. 32 11. 若函数f(x)=sinωx (ω>0)在开区间(π6,π2)上有唯一的波峰(即函数图象上的最高点)，则实数ω的取值范围是( )A. (1,3)∪(5,9]B. (1,3)∪[9,12]C. (3,12]D. (1,3)12. 已知函数f (x )={x −1,x ≥1,x 2−2x,x <1,则f(x)的零点是( ) A. 1 B. 0，1 C. 0，2 D. 0，1，2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则的值为_________．14.若x，y满足不等式{x≥2 x+y≤6x−2y≤0，则yx的最大值是 ______ ．15.已知直线l：y=kx+1与圆C：x2+y2−2x−2y+1=0相交于A，B两点，若|AB|=√2，则k=______．16.方程|x2−a|−x+2=0(a>0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．(1)求a n与b n；(2)若不等式1S1+1S2+⋯+1S n<m−20104对n∈N∗成立，求最小正整数m的值．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=1，E，F分别是CC1，BC的中点．(Ⅰ)求证：B1F⊥平面AEF；(Ⅱ)求三棱锥E−AB1F的体积．19.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250,400)内的学生共有__________人.20.在直角坐标系xOy中，动点P与定点F(1,0)的距离和它到定直线x=4的距离之比是1，设动点P2的轨迹为E．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若CD//AB，求证：|CD|2为定值．|AB|21.已知函数f(x)=x−alnx(a∈R)．(Ⅰ)当a=2时，求曲线f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)设函数ℎ(x)=f(x)+1+ax，求函数ℎ(x)的单调区间；(Ⅲ)若g(x)=−1+ax，在[1,e](e=2.71828…)上存在一点x0，使得f(x0)≤g(x0)成立，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2√3+at,y=4+√3t(其中t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为(2,π6)，直线l经过点A.曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)过点P(√3,0)作直线l的垂线交曲线C于D，E两点(D在x轴上方)，求1|PD|−1|PE|的值．23.已知函数f(x)=x2+2|x−1|．(1)求不等式f(x)>|2x|的解集；x(2)若f(x)的最小值为N，且a+b+c=N，(a,b，c∈R).求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2．【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查了交集的运算，属于基础题．解：∵A={1,2,3,5,7,11}，B={x|3<x<15}，∴A∩B={5,7,11}，∴A∩B中元素个数为3．故选B．2.答案：A解析：根据复数的几何意义，即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，比较基础．解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i22=1+i，则对应的点的坐标为(1,1)，故选：A．3.答案：C解析：解：由题意可得a⃗=(1,2)，b⃗ =(0,2)，∴a⃗⋅b⃗ =1×0+2×2=4故选C由向量数量积的坐标运算，代入已知数据计算可得．本题考查平面向量数量积的运算，属基础题．4.答案：B解析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．由三视图可知，该几何体是半个圆锥，利用已知条件求解几何体的体积．解：由三视图可知，该几何体是半个圆锥，如图：其底面为半径为1，圆锥的高为：√3，故其体积V=12×13×12π×√3=√3π6；故选B．5.答案：C解析：解：当两个平面平行时，一个平面上的线与另一个平面平行，故A正确，一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，就垂直与另一个平面，故B正确，由面与面垂直的性质定理知，D正确，C选项中l，m的关系是不相交，故C不正确，故选C．当两个平面平行时，一个平面上的线与另一个平面平行，一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，就垂直与另一个平面，C选项中l，m的关系是不相交，得到结果．本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，本题是一个基础题，这种题目可以出现在高考卷中的选择题目上，是一个易错题，出错的原因是，题目中所说的结论区分度较低，不易区分．6.答案：A解析：由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，分别事件A、B的概率，这两个事件是不能同时发生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到结果．解：由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，∵事件A为“抽得红桃K”，∴事件A的概率152，∵事件B 为“抽得为黑桃”，∴事件B 的概率是P =1352，∴由互斥事件概率公式P(A ∪B)=152+1352=726．故选A ．7.答案：B解析：本题考查了函数图象的应用，函数的奇偶性，函数值的变化趋势是关键，属于中档题.先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．解：∵函数f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)，则f(−x)=−x(e x −e −x )4x 2−1=x(e −x −e x )4x 2−1=f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y 轴对称，故排除A ，令f(x)=0，即x(e −x −e x )4x 2−1=0，解得x =0，∴函数f(x)只有一个零点，故排除D ，当x =1时，f(1)=1e−e 3<0，故排除C ，综上所述，只有B 符合．故选B ．8.答案：D解析：解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：甲=19+20+21+23+25+29+31+32+33+3710=27， 乙=10+10+14+26+27+30+44+46+46+4710=30S 甲2<S 乙2∴乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D ．本题考查的知识点是茎叶图，由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两种树苗抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数，然后根据平均数的大小判断哪种树苗的平均高度高，根据数据的分布情况判断哪种树苗长的整齐．数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其方差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其方差越大． 9.答案：B解析：本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，属于基础题.由正弦定理变形化简已知式可得a 2+c 2−b 2≥ac ，再利用余弦定理求解即可．解：由正弦定理，得a b+c +c b+a ≥1，化简得a 2+c 2−b 2≥ac ，则a 2+c 2−b 22ac ≥12，由余弦定理，得cosB ≥12，所以0<B ≤π3．故选B ．10.答案：A解析：解：双曲线C ：y 29−x 2b 2=1(b >0)，其焦点F(0,√9+b 2)到C 的一条渐近线y =3b x 的距离为2， 可得√9+b 2√1+(3b )=2，可得b =2，a =3，所以c =√13，所以双曲线的离心率为：e =√133． 故选：A ．求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．11.答案：A解析：本题主要考查正弦函数的图象和性质、最值，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 由题意利用正弦函数的图象和性质可得0<ω⋅π6<π2，且5π2≥ω⋅π2>π2；或者π2≤ω⋅π6<5π2，且9π2≥ω⋅π2>5π2，由此求得实数ω的取值范围．解：函数f(x)=sinωx(ω>0)在开区间(π6,π2)上有唯一的波峰(即函数图象上的最高点)， 故0<ω⋅π6<π2，且5π2≥ω⋅π2>π2，求得1<ω<3． 或者π2≤ω⋅π6<5π2，且9π2≥ω⋅π2>5π2，求得5<ω≤9．综合可得，1<ω<3或5<ω≤9， 故选：A ．12.答案：B解析：本题考查函数的零点，解决问题的关键是令f(x)=0求解对应零点． 解：由f(x)=0 可得当x ≥1时，x =1，或{x 2−2x =0x <1，解得x =0． 所以函数的零点为0，1， 故选B ．13.答案：78解析：题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值． 解：，，∴sin2x =cos(π2−2x)=1−2sin 2(π4−x)=78．故答案为78.14.答案：2解析：本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题．画出满足条件的平面区域，求出A 的坐标，结合yx 的几何意义，求出其最大值即可． 解：画出x ，y 满足不等式{x ≥2x +y ≤6x −2y ≤0的平面区域，如图所示：y x的几何意义表示过平面区域内的点与原点连线的的斜率，由图象得直线过OA 时斜率最大， 由{x =2x +y =6，解得A(2,4)， ∴(yx )max =42=2． 故答案为：2．15.答案：±1解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题． 根据圆心到直线的距离d 与半径和弦长的关系求出k 的值即可． 解：圆C ：x 2+y 2−2x −2y +1=0，化为：(x −1)2+(y −1)2=1， ∴圆心为C(1,1)，半径r =1，则圆心到直线的距离为d =√k 2+1，即|k|√k 2+1=√r 2−(|AB|2)2=√1−12，解得：k =±1． 故答案为：±1．16.答案：a >4解析：解：∵方程|x 2−a|−x +2=0(a >0)有两个不等的实数根， ∴函数y =|x 2−a|(a >0)与函数y =x −2的图象有两个交点， 作函数y =|x 2−a|(a >0)与函数y =x −2的图象如下，，结合图象可得，存在x >2时，x 2−a =0， 故a >4； 故答案为：a >4．题意转化为函数y =|x 2−a|(a >0)与函数y =x −2的图象有两个交点，从而结合图象求解． 本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题． 17.答案：解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正整数，a n =3+(n −1)d ，b n =q n−1， ∵b 2S 2=64，b 3S 3=960． ∴{S 3b 3=(9+3d)q 2=960S 2b 2=(6+d)q =64，解得{d =2q =8，或{d =−65q =403(舍去)， 故a n =3+2(n −1)=2n +1,b n =8n−1． (2)∵S n =3+5+⋯+(2n +1)=n(n +2)，∴1S 1+1S 2+⋯+1S n =11×3+12×4+13×5+⋯+1n(n +2)=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)<34≤m−20104，解得m ≥2013，∴所求m 的最小正整数是2013．解析：(1)由条件建立方程组即可求出数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)利用裂项法先求出数列的和，然后再解不等式即可．本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的计算，以及利用裂项法进行求和的知识，考查学生的计算能力．18.答案：(Ⅰ)证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，F 是BC 的中点，且侧棱AA 1⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，∴AF ⊥BC,AF ⊥AA 1，又AA 1//BB 1，∴BB 1⊥AF ，且BB 1,BC ⊂平面C 1CBB 1，BB 1∩BC =B ， ∴AF ⊥平面C 1CBB 1，，∴AF ⊥B 1F ，由∠BAC =90°，且AB =AA 1=1，得B 1F =√62，EF =√32，B 1E =32，∴B 1E 2=B 1F 2+EF 2，即B 1F ⊥EF ，又∵EF ∩AF =F ，EF ，AF ⊂平面AEF ，EF ∩AF =F ， ∴B 1F ⊥平面AEF ；(Ⅱ)解：由已知可得，AF =√22，且由(Ⅰ)知B 1F ⊥平面AEF ，AF ⊥平面C 1CBB 1， ∵EF ⊂平面C 1CBB 1， ∴AF ⊥EF ， ∴S △AFE =12×√22×√32=√68，∴V E−AB1F =V B1−AEF=13×√68×√62=18．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．(Ⅰ)证明AF⊥B1F，B1F⊥EF，然后证明B1F⊥平面AEF；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，B1F⊥平面AEF，然后利用等积法求得三棱锥E−AB1F的体积．19.答案：750解析：本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．由样本的频率分布直方图求出a，从而成绩在[250,400)内的频率为0.75，由此能求出成绩在[250,400)内的学生人数．解：由样本的频率分布直方图得：(0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003)×50=1，解得a=0.006；∴成绩在[250,400)内的频率为(0.004+0.006+0.005)×50=0.75，∴成绩在[250,400)内的学生共有1000×0.75=750人．故答案为：750．20.答案：解：(1)设点P(x,y)，由题意得√(x−1)2+y2|x−4|=12，将两边平方，并简化得x24+y23=1，故轨迹C1的方程是x24+y23=1．(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，易求|AB|=3，|CD|=2√3，则|CD|2|AB|=4．②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，依题意k ≠0，则直线AB 的方程为y =k(x −1)，直线CD 的方程为y =kx ． 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，C (x 3,y 3)，D (x 4,y 4)，由{x 24+y 23=1y =k(x −1)得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0． 则x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(8k 23+4k 2)2−4(4k 2−123+4k 2)=12(1+k 2)3+4k 2，由{x 24+y 23=1y =kx，整理得x 2=123+4k 2，则|x 3−x 4|=√3√3+4k 2．|CD|=√1+k 2|x 3−x 4|=4√3(1+k2)3+4k 2．∴|CD|2|AB|=48(1+k 2)3+4k 2⋅3+4k 212(1+k 2)=4．综合①②知：|CD|2|AB|=4为定值．解析：本题主要考查了圆锥曲线中与圆有关的轨迹方程与定值问题，属于中档题； (1)根据题意设点P (x,y )，由题意得√(x−1)2+y 2|x−4|=12，再将两边平方即可求解；(2)①当当直线AB 的斜率不存在时，易求|AB|=3，|CD|=2√3，则|CD|2|AB|=4．②直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，依题意k ≠0，则直线AB 的方程为y =k(x −1)，直线CD 的方程为y =kx.联立方程，在再通过两根之和与积代入计算化简。
2019-2020学年贵州省贵阳市第九中学高三数学文模拟试卷含解析
2019-2020学年贵州省贵阳市第九中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合，则等于（）A．B．C．D．参考答案：C略2. cos80°cos35°＋sin80°cos55°的值是()A． B．－C． D．－参考答案：A3. 已知a＞0，b＞0，且为3a与3b的等比中项，则的最大值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．【分析】由等比中项推导出a+b=1，从而===，由此利用基本不等式能求出的最大值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且为3a与3b的等比中项，∴3a?3b=3a+b=（）2=3，∴a+b=1，∴===≤=．当且仅当时，取等号，∴的最大值为．故选：B．4. 若实数a、b、c成等差数列，点P(–1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N(0, 3)，则线段MN长度的最小值是．参考答案：略5. 《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）A．144种B．288种C．360种D．720种参考答案：A【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、用倍分法分析《将进酒》、《望岳》和另两首诗词的排法数目，②、用插空法分析《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将《将进酒》、《望岳》和另两首诗词的4首诗词全排列，有A44=24种顺序，由于《将进酒》排在《望岳》前面，则这4首诗词的排法有=12种，②、这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有A43=12种安排方法，则后六场的排法有12×12=144种；故选：A．6. 某公司生产甲、乙两种桶装产品。
202202贵阳市高三适应性考试(一)文科数学试题(解析版)
由于 ，
所以 ，即 ，
所以 是偶函数，所以当 时， 递减.
不等式 等价于：
，
即 ，所以 ，
两边平方并化简得 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D
二､填空题，本题共4小题，每小题5分.共20分.
13.已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为___________
【答案】13
【解析】
喜欢音乐
不喜欢音乐
喜欢体育
20
10
不喜欢体育
5
15
0.05
0.025
0.10
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
根据以上数据，对该校学生情况判断不正确的是（）
A.估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占
B.从这30名喜欢体育的学生中采用随机数表法抽取6人做访谈，则他们每个个体被抽到的概率为
【详解】设 ，
设 折叠后为 ，设 ，
在 中，
，
，
在 中，
，
当且仅当 时等号成立.此时 .
故选：D
12.已知定义在 上的函数 ， 为其导函数，满足① ，②当 时， .若不等式 有实数解，则其解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过构造函数法，结合导数来求得不等式的解集.
【详解】构造函数 ，
【答案】①②③
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对四个命题逐一分析，从而确定其中的真命题.
【详解】设正方体的边长为 ，建立如图所示空间直角坐标系，
设 ，
①，当 是 的中点时， 是 的中点，
贵州省贵阳市第六中学2022届高三一模数学(文)试题(含答案解析)
试卷第 3页，共 5页
(1)求出直方图中 a，b，c 的值； (2)估计中位数（精确到 0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(3)若从得分在区间50, 60 内的学生中抽取 2 人编号为 A，B，从得分在区间90,100 内
的学生中抽取 6 人编号为 1，2，3，4，5，6，组成帮助小组，从 1，2，3，4，5，6 中
进入 A 或 C 区，另一个冰壶进入 B 或 D 区的概率为（ ）
A．1
B．0.2139
C．0.4278
D．0.1958
11．已知 f (x) ln(x 2)
x 1
3x x3
，则曲线
y
f
x 在点 3,
f
3 处的切线方程为
()
试卷第 2页，共 5页
A． 2x 10y 10ln 5 1 0
B． 2x 10y 10ln 5 1 0
21．已知函数
f (x)
ex x2
t ln x ， g(x)
2t x
， F(x)
f
(x) g(x) .
(1)当 t 1时，求证： F x 0 对于任意正实数 x 恒成立.
(2)若函数 F x 在 0, 2 上有且仅有两个极值点，求实数 t 的取值范围.
试卷第 4页，共 5页
x 1 t
即
ABC
为等边三角形，其外接圆的半径设为
r
，则
2r
4 sin 60
8 ，
3
又 PB2 PA2 AB2 ， PC2 PA2 AC2，
所以 PA AB 且 PA AC ，又 AB AC A ， AB, AC 平面 ABC ，所以 PA 平面 ABC ，
贵州省贵阳市第三十八中学高三上学期模拟考试数学(文)试题含解析
文科数学满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数3i54i m ++是纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．125-B ．125C ．154D ．154-2．已知集合101x A x x ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，集合(){}22log 2Z B x y x =∈=-，则下列说法正确的是（ ）A ．B A ⊆ B ．[]1,1A B =-UC ．{}1,1A B =-ID ．()R B A =∅I ð3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8616,1S a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．32 B ．32-C ．23 D ．23-4．已知命题()2000:0,,p x x x ∃∈+∞>；命题11:,,22222x x q x -⎛⎫∀∈+∞+> ⎪⎝⎭．则下列命题中是真命题的为（ ）A ．q ⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∨⌝5．如图所示，线段BD 是正方形ABCD 的一条对角线，现以BD 为一条边，作正方形BEFD ，记正方形ABCD 与BEFD 的公共部分为Ω（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD 中投掷一点，该点落在Ω内的概率为（ ）A ．16 B ．15 C ．14 D ．136．已知某几何体的顶点满足()()()()()4,0,0,0,2,4,4,4,4,4,4,0,0,0,0S A B C D ，则下列图形中，该几何体的三视图不可能为（ ）7．运行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 8．已知ABC △中，,,DEF 分别是,,AB AC BC 的中点，则（ ）A ．32AF AB BE =+u u u r u u u r u u u r B ．32AF AB BE =-+u u u r u u u r u u u rC ．32AF AB BE =-u u u r u u u r u u u rD ．32AF AB BE =--u u u r u u u r u u u r9．《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽6尺，上宽一丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺（注：一丈=十尺）．则该五面体的体积为（ ）A ．66立方尺B ．78立方尺C ．84立方尺D ．92立方尺10．已知函数()()sin cos 0=f x x x ωωω+>在5,612ππ⎛⎫⎪⎝⎭上仅有1个最值，且为最大值，则实数ω的值不可能为（ ）A ．45B ．76C ．32D ．5411．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线3:2l x =-，点M 在抛物线C 上，点A在准线l 上，若MA l ⊥，且3AF k =-（AF k 表示直线AF 的斜率），则AFM △的面积为（ ） A ．33B ．63C ．93D ．12312．已知函数()f x 的图象与函数()211ax a g x x a ++=+-的图象关于y x =对称，若()()3340f x f x ++-++=，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）13．已知双曲线1C 与双曲线222:126x y C -=的渐近线相同，且双曲线1C 的焦距为8，则双曲线1C 的方程为 ．14．已知实数,x y 满足230430x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则2z x y =+的取值范围为 ．15．已知532παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,，若3cos 3α=-，则()13tan cos2αα+= ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11(1)2,2n n na a a n++-==，则50S = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知ABC △中，()01BM BC λλ=<<u u u u r u u u r ，若8,4AM AC MC =-=，3MAC π∠=．（1）证明：AMC △为等边三角形；（2）若ABC △的面积为103，求BAM ∠的正弦值．18．（12分）共享单车又称为小黄车，近年来逐渐走进了人们的生活，也成为减少空气污染，缓解城市交通压力的一种重要手段．为调查某地区居民对共享单车的使用情况，从该地区居民中按年龄用随机抽样的方式随机抽取了21人进行问卷调查，得到这21人对共享单车的评价得分统计填入茎叶图，如下所示（满分100分）：（1）找出居民问卷得分的众数和中位数； （2）请计算这21位居民问卷的平均得分；（3）若在成绩为70~80分的居民中随机抽取3人，求恰有2人成绩超过77分的概率．19．（12分）在四棱锥S ABCD -中，SA AD ⊥，平面SAD ⊥平面ABCD ，190,22ADC BCD AD DC SA BC ∠=∠=====o ，点,E G 分别在线段,SA AD 上，且,SE AE AG GD ==，F 为棱BC 上一点，且1CF =． （1）证明：平面//SCD 平面EFG ； （2）求三棱锥A DEF -的体积．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3，且椭圆C 过点3⎛ ⎝，直线:2l y kx =-与椭圆C 相交于,A B 两点，圆Ω是以AB 为直径的圆． （1）求椭圆C 的方程；（2）记O 为坐标原点，若点O 不在圆Ω内，求实数k 的取值范围． 21．（12分）已知函数()ln f x x x =．（1）若曲线()22y x f x px =+在()()1,1f 与曲线22x b y +=-在()()1,1f 处有公切线，求p的值；（2）证明：当2,1ea m >≥时，()ln ln ln ln ln m m m a m e -⋅+>⋅．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 4ρθρθ-=．（1）若4πα=，求直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于,M N 两点，且12MN =，求直线l 的斜率．23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()=+3f x x x -． （1）求不等式(24)10f x +≤的解集； （2）记()f x 的最小值为m ，若正实数,p q 满足1132m p q+=，求94p q +的最小值．选题题号（请在所选的题号后√）：22□ 23□ 选考题答题区：答案1．答案：A 解析：依题意，()()()()()354512154354545441m i i m m im i i i i +-++-+==++-，故51201540m m +=⎧⎨-≠⎩， 即125m =-，故选A ． 2．答案：B解析：依题意，{}10111x A x x x x ⎧⎫+=<=-<<⎨⎬-⎩⎭，(){}{}22log 21,0,1Z B x y x =∈=-=-，故[]1,1A B =-U ，故选B ． 3．答案：D解析：依题意，()()183********a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故63233a a d -==-，故选D ．4．答案：C解析：取012x =，可知21122⎛⎫> ⎪⎝⎭，故命题p 为真；因为112222222x x x x --+⋅=≥，当且仅当12x =时等号成立，故命题q 为真；故p q ∧为真，故选C ． 5．答案：B解析：依题意，不妨设1AB =，故五边形ABEFD 的面积15222S =+=，阴影Ω的面积为12，故所求概率为1121522P ==+，故选B ．6．答案：D解析：在正方体模型中作出该几何体的直观图如下所示，可知A ，B ，C 分别是正视图、侧视图以及俯视图，观察可知，故选D ．7．答案：C解析：运行该程序，第一次是，6,5S a ==，第二次是，11,4S a ==，第三次是，15,3S a ==，第四次是，18,2S a ==，第五次是，20,1S a ==，第六次，否，跳出循环，输出a ＝1．故选C ． 8．答案：A解析：：依题意，()11=22BE BA BC AB BF +=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，故32AF AB BF AB BE =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选A ．9．答案：C解析：如图，在,DC EF 上取,G H ,使得DG EH AB ==，连接,,,BG BH GH CH ，故多面体的体积11()7332ADE BGH B CGHF V V V S AB CG HF --=+=⋅+⨯+⨯⨯直截面111736(42)7384232=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故选C ．10．答案：C解析：依题意，()24f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()52642124Z k k πωπππωππ+<+<+∈，解得()324312552Z k k k ω+<<+∈，且51262T πππω-=≤，故4ω≤，故3352ω<<，观察可知，故选C ． 11．答案：C 解析：依题意，抛物线2:6C y x =；因为3AF k =-，故直线AF 与x 轴正半轴所成角为120°，故AFM△为等边三角形，则26AF AM MF p ====，则AFM △的面积为236934⨯=，故选C ． 12．答案：D解析：因为()()3340f x f x ++-++=，故函数()f x 的图像关于()3,2-对称，因为()f x 与()g x 的图象关于y ＝x 对称，所以，()g x 的图象关于点(2,3)-对称，又()21111ax a ag x a x a x a +++==++-+-，其对称中心为()1,a a -，依题意得123a a -=-⎧⎨=⎩，解得3a =，故选D ．13．答案：221412x y -=或221124y x -=解析：依题意，设双曲线1C 的方程为()22026x y λλ-=≠，故()221026x y λλλ-=≠，则2616λλ+=或2616λλ--=；解得2λ=或2λ=-，故双曲线1C 的方程为221412x y -=或221124y x -=． 14．答案：280,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，当直线2z x y =+过点(0,0)O 时，z 有最小值0，当直线2z x y =+过点128(,)55A 时，z 有最大值285，故2z x y =+的取值范围为280,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．61- 解析：因为532παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,，所以α是第二象限角；因为3cos α=，所以6sin α=，故tan 2α=-21cos22cos 13αα=-=-，故()6113cos 2αα-． 16．答案：1302解析：依题意，()112nn n a a n ++-=，因为12a =，故23454,0,6,2a a a a ====，612a =，7891011120,14,2,20,0,22,a a a a a a ======L ，以此类推，发现数列{}n a 每间隔4项呈现出一定的规律，即第1项、第5项、第9项…都是2，第2项、第6项、第10项…成等差数列，第3项、第7项、第11项…都是0，第4项、第8项、第12项…成等差数列，故()()5041001369412213012130222S +⨯+⨯=⨯++⨯+=．17．解析：（1）在AMC △中，,4,83AMC MC AM AC π∠===-，由余弦定理得2222cos MC AM AC AM AC MAC =+-⋅⋅⋅∠， 所以()()2224828cos60AM AM AM AM =+--⋅⋅-⋅o ，解得4AM =． 又,43AMC MC π∠==，所以AMC △是等边三角形．（6分）（2）因为103ABC S =△23443AMC S =△63AMB S =△ 所以1sin 632AM MB AMB ⋅⋅⋅∠=，解得6MB =， 在AMB △中，2222cos 76AB AM MB AM MB AMB =+-⋅⋅⋅∠=，所以219AB =在AMB △中，由正弦定理得sin sin AB MBAMB BAM=∠∠，所以sin BAM ∠o （12分） 18．解析：（1）依题意，居民问卷得分的众数为99，中位数为88；（4分） （2）依题意，所求平均得分为76521334578991516171818191919808821-----+++++++++++++++++=（8分）（3）依题意，从5人中任选3人，可能的情况为（73,74,75）,（73,74,78）,（73,74,79），（73,75,78）,（73,75,79）,（73,78,79）,（74,75,78）,（74,75,79）,（74,78,79）,（75,78,79），其中满足条件的为3种，故所求概率310P =；（12分）19．解析：（1）因为点,E G 分别在线段,SA AD 上，且,SE AE AG GD ==，故//EG SD ，又EG ⊄平面SCD ，SD ⊂平面SCD ，故//EG 平面SCD ； 因为90ADC BCD ∠=∠=o ，故//AD BC ，因为1GD FC ==， 故四边形GDCF 为平行四边形，故//GF CD ；又GF ⊄平面SCD ,CD ⊂平面SCD ，故//GF 平面SCD 因为GF ⊂平面EFG ,EG ⊆平面,EFG EG FG G =I ， 所以平面//SCD 平面EFG ；（6分） （2）由已知可得，2AFD S =△， 由11221333A DEF E AFD AFD V V S EA --==⋅=⋅⋅=△.（12分）20．解析：（1）依题意，2222213,1,4c a b c a a b=+==+，解得2,1,a b c == 故椭圆C 的方程为2214x y +=；（4分）（2）联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：()221416120k x kx +-+=（*）， 因直线l 与椭圆C 有两个交点，即方程（*）有不等的两实根，故()()2216414120k k ∆=--+⋅>，解得234k >，设1122(,),(,)A x y B x y ，由根与系数的关系得12212216141214k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩， 点O 不在圆Ω内0OA OB ⇔⋅u u u r u u u r≥，即12120x x y y +≥， 又由()()()2121212122212162212401414kx x y y x x kx kx k k k k +=+--=+⋅-⋅+++≥ 解得24k ≤，故2344k <≤2k <≤或2k -<≤． 则满实数k的取值范围为2,⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎭⎝⎦U ．（12分） 21．解析：（1）依题意，()2232ln y x f x px x x px =+=+，故22'3ln 2y x x x px =++，故121p +=-，故1p =-；（4分）（2）令()ln h x x x a =+，则()ln 1h x x '=+．当10e x <<时，()0f x '<；当1ex >时，()0f x '>．所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．当1e x =时，()min1e h x a ⎡⎤=-+⎣⎦．于是，当2e a ≥时，()11.e eh x a -+≥≥①令()e x x x ϕ-=，则()()e e e 1x x x x x x ϕ---'=-=-． 当01x <<时, ()0x ϕ'＞；当1x ＞时, ()0x ϕ'<．所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减． 当1x =时，()max 1e x ϕ⎡⎤=⎣⎦，于是，当0x >时，()1.ex ϕ≤ ② 显然，不等式①②中的等号不能同时成立．故当20,e x a >≥时，ln e x x x a x -+>．因为1m >，所以ln 0m >．所以()ln ln ln ln ln e mm m a m -⋅+>⋅．（12分）22．解析：（1）依题意，直线:x l y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可知直线l 是过原点的直线，故其极坐标方程为()4πθρ=∈R ；曲线22:4sin 4cos C ρρθθ=+，故曲线C 的直角坐标方程为244x y =+．（5分） （2）依题意，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ；设,M N 对应的极径分别为12,ρρ，将()θαρ=∈R 代入曲线C 的极坐标可得22cos 4sin 40ραρα--=；故1212224sin 4,cos cos αρρρραα+==-， 故1224cos MN ρρα=-=，故2412cos α=，则21cos 3α=， 2tan 2α=，故直线l 的斜率为（10分） 23．解析：（1）依题意，(24)=24+21f x x x +++，当2x <-时，()()242110x x -+-+≤，解得1524x -<-≤， 当122x --≤≤时，()()242110x x +-+≤，故122x --≤≤；当12x >-时，15544x -≤≤，故1524x -<≤；综上，所求不等式的解集为{x |15544x -≤≤}．（5分）（2）依题意，()=+333f x x x x x --+=≥，故11332p q+=， 故()(111149119494325533233233q p p q p q p q p q ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝≥当且仅当=时等号成立，故94p q +的最小值为(153+．（10分）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
贵阳市高三适应性考试文科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|2}A x x =>，2{|40}B x x x =-<，则A B = （）A．(4,)+∞B．(2,4)C．(0,4)D．(0,2)2.若a 为实数，i 是虚数单位，且22a ii i+=+，则a =（）A．1B．2C．-2D．-13.已知向量,a b满足||a b +=，2a b = ，则||a b -=（）A．8B．4C．2D．14.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若35727a a a ++=，则9S =（）A．81B．79C.77D．755.设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最大值是（）A．-3B．-6C.15D．126.已知1sin 24α=，则2sin (4πα+=（）A．34B．38 C.58D．237.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．0B．-1 C.-2D．-88.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =与向量(2,1)n =-垂直的概率为（）A．16B．14C.13D．129.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+B．6+ C.8+D．6+10.函数1()sin()2f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图像如图所示，则()f x 的单调递增区间为（）A．15(2,2)2424k k ππ-++，()k Z ∈B．15(,)122122k k-++，()k Z ∈C.11(2,2)123k k ππ-++，()k Z ∈D．15(,242242k k -++，()k Z ∈11.若函数21()1f x nx x a e=-+有零点，则实数a 的取值范围是（）A．(,1]-∞-B．(,1]-∞ C.[1,)-+∞D．[1,)+∞12.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>与两条平行直线1:l y x b =+与2:l y x b =-分别相交于四点,,,A B D C ，且四边形ABCD 的面积为283b ，则椭圆E 的离心率为（）A．2B．2C.3D．3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若cos cos 2cos a C c A b B +=，则B =．14.若命题:p x R ∀∈，2210x ax ++≥是真命题，则实数a 的取值范围是．15.正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，则该四棱锥外接球的表面积为．16.富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句．据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是．（A 莎士比亚、B 雨果、C 曹雪芹，按顺序填写字母即可．）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若公差0d ≠，510a =，且124,,a a a 成等比数列。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1(1)(1)n n n b a a =-+，12n n T b b b =+++ ，求证：12n T <．18.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60),[90,100)的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．19.如图，棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，11,2AB AC BC BB ====．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11ABB A ；（Ⅱ）求点D 到平面1ABC 的距离d ．20.设椭圆2222:1(0)8x y E a a a +=>-的焦点在x 轴上，且椭圆E 的焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆外一点(,0)()M m m a >作倾斜角为56π的直线l 与椭圆交于,C D 两点，若椭圆E 的右焦点F 在以弦CD 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．21.已知函数()1f x x nx =．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若4()f x m k m≥+-对任意的[3,5]m ∈恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑．22.选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )4ρθθ-=，且与曲线C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）在直角坐标系下求曲线C 与直线l 的普通方程；（Ⅱ）求AOB ∆的面积．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|,(0)f x m x m =-->，且(1)0f x +≥的解集为[3,3]-．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若正实数,,a b c 满足11123m a b c++=，求证：233a b c ++≥．试卷答案一、选择题1-5:BDCAD6-10:CBBAD11、12：CA二、填空题13.3π14.[1,1]-15.8π16.,,C B A三、解答题17.解：（Ⅰ）由题知：12111410(3)()a d a a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解之得：12,2a d ==，故2n a n =（Ⅱ）证明：∵1(1)(1)n n n b a a =-+1(21)(21)n n =-+111()22121n n =--+，∴12n n T b b b =+++=111111(123352121n n -+-++--+ 111(12212n =-<+．18.解：（Ⅰ）由茎叶图知分值为[50,60)的人数为8人，则80.01610n⨯=，解得50n =，∴21050y ⨯=，解得0.004y =，0.10.0040.0100.0160.0400.030x =----=；（Ⅱ）[80,90)有5人，记为,,,,a b c d e ，[90,100)有2人，记为,f g ，∴随机抽取2名同学的基本事件为,,,,,ab ac ad ae af ,,,,,ag bc bd be bf ,,,,,bg cd ce cf cg ,,,,,de df dg ef eg fg 共21种，2名同学来自不同组有,,,,,,,,,af ag bf bg cf cg df dg ef eg 共10种．∴2名同学来自不同组的概率1021．19.（Ⅰ）证明：∵在底面ABCD 中，1AB =，AC =，2BC =，即222BC AC AB =+，∴AB AC ⊥，∵侧棱1AA ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1AA AC ⊥，又∵1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，∴AC ⊥平面11ABB A ；（Ⅱ）连接1,DB DC ，由（Ⅰ）知ABC ∆为直角三角形，且131322ABC S ∆=⨯⨯=，∴1322ABC ABCD ABC S S S ∆∆===，又∵侧棱1CC ⊥底面ABCD ，∴111333C ABD ABD V S CC -∆=⨯⨯=，∵AB AC ⊥，1AB CC ⊥，1AC CC C = ，∴AB ⊥平面1ACC ，且1AC ⊂平面1ACC ，∴1AB AC ⊥，又∵22117AC AC CC =+=，∴1171722ABC S ∆=⨯⨯=，∴1113D ABC ABC V S d -∆=⨯⨯133C ABD V -==，解得2217d =20.解：（Ⅰ）∵椭圆2222:1(0)8x y E a a a+=>-的焦点在x 轴上，222a b c =+，∴228a a >-，即24a >，又∵22(8)4a a --=∴26a =，所以椭圆方程为22162x y +=．（Ⅱ）因为直线l 的倾斜角为56π，所以直线l的斜率5tan63k π==-，所以直线l的方程为()(3y x m m =-->，设1122(,),(,)C x y D x y ，由22()336y x m x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩消去y 得222260x mx m -+-=，所以12x x m +=，21262m x x -=，且22(2)8(6)0m m ∆=--->，即212m <，因为椭圆的右焦点F 在以弦CD 为直径的圆的内部，所以0FC FD <，即1212(2)(2)0x x y y --+<，所以212124(6)()120x x m x x m -++++<，所以2264(6)1202m m m m -⨯-+⨯++<，即230m m -<，所以03m <<，又m >212m <，所以m ∈．21.解（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，'()11f x nx =+，令'()0f x >，得1x e >；令'()0f x <，得10x e<<．故当1(0,)x e ∈时，()f x 单调递减；当1(,)x e∈+∞时，()f x 单调递增．故当x e =时，()f x 取得极小值，且1111()=()1f x f n e e e e ==-极小值，无极大值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，min 1()f x e =-．要使4()f x m k m ≥+-对[3,5]m ∀∈恒成立，只需min 4()f x m k m ≥+-对[3,5]m ∀∈恒成立，即14m k e m -≥+-，即41m k m e +≤-对[3,5]m ∀∈恒成立，令4()g m m m =+，则22244'()1m g m m m-=-=，故[3,5]m ∈时'()0g m >，所以()g m 在[3,5]上单调递增，故max 429()(5)555g m g ==+=，要使41m k m e +≤-对[3,5]m ∀∈恒成立，只需max 1()k g m e -≥，所以2915k e ≥+，即实数k 的取值范围是291[,)5e++∞．22.解：（Ⅰ）已知曲线C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），消去参数得24y x =，直线l 的极坐标方程为(cos sin )4ρθθ-=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=得普通方程为40x y --=（Ⅱ）已知抛物线24y x =与直线40x y --=相交于,A B 两点，由2440y x x y ⎧=⎨--=⎩，得||AB =，O到直线l 的距离d ==，所以AOB ∆的面积为2S =⨯=23.解：（Ⅰ）因为(1)||f x m x -=-，所以(1)0f x -≥等价于||x m ≤，由||x m ≤，得解集为[,],(0)m m m ->又由(1)0f x -≥的解集为[3,3]-，故3m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知111323a b c ++=，又∵,,a b c 是正实数，∴23a b c ++=1111(23)(323a b c a b c ++++2133≥=．当且仅当111,,23a b c ===时等号成立，所以233a b c ++≥．。