圆的方程-直线与圆的位置关系--知识点

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直线与圆圆与圆的位置关系考点与题型归纳

直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳、基础知识1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r i,匕，d=|O i O2|)、常用结论(1 )圆的切线方程常用结论①过圆x2 + y2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为 x o x+ y o y= r2②过圆(x- a)2+ (y- b)2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为(x o—a)(x— a)+ (y o — b)(y -b) = r2.③过圆x2 + y2= r2外一点M(x o, y o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x o x+ y o y =r2.(2)直线被圆截得的弦长1 i弦心距d、弦长I的一半及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2 = d2+ ~l 2.考点一直线与圆的位置关系考法(一)直线与圆的位置关系的判断［典例］直线I: mx— y+ 1— m = 0与圆C： x2+ (y— 1)2= 5的位置关系是( )A•相交 B •相切C.相离 D •不确定mx— y+ 1 — m= 0,［解析］法一：由o ox2 + y — 1 = 5,消去 y,整理得(1 + m2)x2— 2m2x+ m2— 5= 0,因为△= 16m2+ 20>0,所以直线I与圆相交.法二：由题意知，圆心(0,1)到直线I的距离d=―<1<寸5，故直线I与圆相交.yj m2 + 1法三：直线I: mx — y+ 1 — m= 0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2 + (y— 1)2= 5的内部，所以直线I 与圆相交.［答案］A［解题技法］判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.［提醒］上述方法中最常用的是几何法.考法(二)直线与圆相切的问题［典例］(1)过点P(2,4)作圆(x— 1)2+ (y— 1)2 = 1的切线，则切线方程为()A . 3x+ 4y — 4= 0B.4x— 3y + 4= 0C.x = 2 或 4x— 3y+ 4 = 0D.y= 4 或 3x+ 4y— 4 = 0(2)(2019成都摸底)已知圆C： x2+ y2— 2x— 4y+ 1 = 0上存在两点关于直线I: x+ my+ 1=0对称，经过点 M(m, m)作圆C的切线，切点为 P,则|MP|= ________________________ .［解析］⑴当斜率不存在时，x= 2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y— 4= k(x-2），即 kx — y+ 4-2k= 0,则|k — 1 + 4 - 2k|■ k 2 + 1=1，解得4k= 3，则切线方程为4x — 3y + 4= 0,故切线方程为 x= 2或4x — 3y + 4= 0.⑵圆C: x 2 + y 2— 2x — 4y+ 1= 0的圆心为C(1,2)，半径为2•因为圆上存在两点关于直线I: x+ my + 1= 0 对称，所以直线 I: x+ my+ 1 = 0 过点(1,2)，所以 1 + 2m+ 1 = 0,解得 m = —1，所以 |MC|2= 13, |MP|= 13— 4= 3.［答案］(1)C(2)3考法(三)弦长问题［典例］ ⑴若a 2 + b 2= 2C 2(C M 0)，则直线ax+ by+ c= 0被圆x 2 + y 2= 1所截得的弦长为( )1B . 1C#D. . 2(2)(2019海口一中模拟)设直线y= x+ 2a 与圆C ：x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A,B 两点，若|AB|= 2 .3,则圆C 的面积为()A . 4 nB . 2 n C. 9 nD. 22 n［解析］⑴因为圆心(0,0)到直线ax+ by+ C = 0的距离d = t |C|=#弟=¥‘因此根寸 a 2+ b 2 V 2|C| 2据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1 — I2 =于，所以弦长为2.(2)易知圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2 = 0的圆心为(0, a)，半径为-a 2+ 2.圆心(0, a)到直线y = x+ 2a 的距离d = |a 2，由直线y= x+ 2a 与圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A, B 两点，|AB| =2诵，可得齐3 = a 2 + 2,解得a 2= 2，故圆C 的半径为2,所以圆C 的面积为4 n 故选 A.［答案］(1)D(2)A［题组训练］1 •已知圆的方程是X2+ y2= 1,则经过圆上一点M 誓，当的切线方程是 _________________________ -解析：因为M #, +是圆X2+y2= 1上的点，所以圆的切线的斜率为一1,则设切线方程为x + y+ a = 0，所以 #+#+ a= 0,得a=— 2,故切线方程为 x+ y— 2= 0.答案：x+ y— 2 = 02.若直线kx— y+ 2 = 0与圆x2 + y2— 2x — 3 = 0没有公共点，则实数 k的取值范围是解析：由题知，圆 x2 + y2— 2x— 3 = 0可写成(x— 1)2+ y2= 4,圆心(1,0)到直线 kx— y+ 2=0的距离|k + 2| 4 d>2,即------------ >2,解得 0v kv3.p k2+1 3答案：4 033.设直线y= kx+ 1与圆x2 + y2 + 2x— my= 0相交于A, B两点，若点A, B关于直线l:x+ y= 0 对称，则 |AB|= _____________ .解析：因为点A, B关于直线I: x+ y= 0对称，所以直线y= kx+ 1的斜率k= 1,即y = 「、mx+ 1•又圆心—1, 2在直线I: x+ y= 0上，所以m= 2,则圆心的坐标为(一1,1)，半径r = 2，所以圆心到直线 y= x+ 1的距离du^2，所以AB|= 2 r2— d2= ,6.答案：6考点二圆与圆的位置关系［典例］(2016 •东高考)已知圆M : x2 + y2— 2ay= 0(a> 0)截直线x+ y= 0所得线段的长度是2 2，则圆M与圆N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1的位置关系是( )A.内切 B .相交C.外切 D .相离x2+ y2— 2ay= 0,［解析］法一：由x+ y= 0,得两交点为(0,0), (— a, a).•••圆M截直线所得线段长度为 2 2,r = 1,则点N到直线2x-2y- 1= 0的距离d = —1| 2,2•••- a2 + - a 2 = 2 2.又 a>O,「・a= 2.A圆 M 的方程为 x2 + y2-4y= 0, 即 x2 + (y- 2产=4,圆心 M(0,2)，半径 r i = 2.又圆 N : (x- 1)2+ (y- 1)2= 1,圆心 N(1,1)，半径 r2= 1, •••|MN|=- 0 - 1 2+ 2- 1 2= 2.•.•「1-「2= 1, r1+ r2 = 3,1<|MN|<3,•两圆相交.法二a 一：由题知圆 M : x2 + (y- a)2— a2(a>0),圆心(0, a)到直线x+ y= 0的距离d —所以2 :a2—2—2 2，解得a —2•圆M，圆N的圆心距|MN|— .2,两圆半径之差为 1,两圆半径之和为3，故两圆相交.［答案］B［变透练清］1. (2019 太原模拟)若圆 C1： x2 + y2= 1 与圆 C2： X2 + y2- 6x- 8y+ m= 0 外切，则 m=( )A. 21 B . 19C. 9 D . - 11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1= 1，因为圆C2的方程可化为(x- 3)2+ (y-4)2= 25- m,所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径 r2= 25 - m(m V 25).从而 |C1C2=：32+ 42=5•由两圆外切得 C1C2= r1 + ",即卩1 +「25 - m= 5,解得m= 9，故选C.2.变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为 ___________________ .x+ y — 4y= 0,解析：联立两圆方程两式相减得，2x-2y- 1 = 0,因为N(1,1),x-1 2 + y-1 2= 1,答案：*4匚2,故公共弦长为• 2 2. 144 = 2B . ±5C. 3［解题技法］几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1) 确定两圆的圆心坐标和半径长； (2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求r i + r 2, |r i — r 2|;⑶比较d, r i + r 2, |r i — r 2|的大小，写出结论.[课时跟踪检测]1.若直线2x+ y + a= 0与圆x 2 + y 2 + 2x — 4y= 0相切，则a 的值为()A. ±,5 D . ±3解析：选B 圆的方程可化为(x+ 1)2+ (y — 2)2= 5，因为直线与圆相切，所以有|a 5 = ,5, 即a= ±故选B. 2.与圆 C i ： x 2 + y 2— 6x+ 4y+ 12 = 0, C 2： x 2+ y 2— 14x — 2y+ 14= 0 都相切的直线有C. 3条解析：选A两圆分别化为标准形式为C i ： (x — 3)2+ (y+ 2)2= 1, C 2 : (x — 7)2 + (y — 1)2=36，则两圆圆心距|C i C 2|= 7 — 3 2+ [1 —— 2 ]2= 5,等于两圆半径差，故两圆内切.所以它们只有一条公切线.故选A.3. (2019南宁、梧州联考)直线y= kx+ 3被圆(x — 2)2+ (y — 3)2= 4截得的弦长为2.3, 则直线的倾斜角为(),n ［、. 5 nA ・6或石n D ・6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2,所以圆心到直线的距离为d= 22— 3 2 =1.即d=J^= 1，所以k=±富由k=tan"得a= 6或于故选A.B.x+ ay+ 1线的距离为1,故圆心（一1,3）到直线x+ ay+ 1 = 0的距离为1,即|— 1+ 3a+ 1| :1'1 + a 2=1,解得a =4.过点（3,1）作圆（x — 1）2+ y 2= r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A . 2x+ y — 5= 0B . 2x+ y — 7= 0 C. x — 2y — 5 = 0D . x — 2y — 7= 0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2 = 5,圆的方程为(x — 1)2+ y 2=5，则过点(3,1)的切线方程为(x — 1)・—3) + y(1 — 0) = 5，即2x+ y — 7 = 0•故选5. （2019重庆一中模拟）若圆x 2 + y 3+ 2x — 6y+ 6= 0上有且仅有三个点到直线 =0的距离为1，则实数a 的值为（）C. 土，2解析：选B 由题知圆的圆心坐标为（一1,3），半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直D . y=— 4圆(x — 1)2+ y 2= 1 的圆心为 C(1,0)，半径为 1,以 |PC|= -''=2为直径的圆的方程为（x — 1）2+ （y+ 1）2= 1,将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2yC. y =解析：选B解析：易知圆心（2, — 1）,半径r = 2,故圆心到直线的距离|2+ 2 X — 1 — 3| 3,5 弦长为2 r 2— d2 =迸5答案: 2 '555.12 + 22±2±4 -6.（2018嘉定二模）过点P（1 , — 2）作圆C : （x— 1）4+ y2= 1的两条切线，切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为（）1B . y=— 21+ 1 = 0，即 y= —2•故选 B.x— (3 + a)y— a= 0,圆心(0,0)到直线的距离I— a| d= . 1 +3 + a&若P(2,1)为圆(x— 1)2+ y2= 25的弦AB的中点，则直线 AB的方程为 _____________________一 1解析：因为圆(x— 1)2+ y2= 25的圆心为(1,0),所以直线AB的斜率等于 =—1,由点1 — 0斜式得直线 AB的方程为y— 1 = — (x— 2)，即卩x+ y— 3= 0.答案：x+ y— 3 = 09.____________________________________________________________________________ 过点P(— 3,1),Q(a,O)的光线经x轴反射后与圆x2+ y2= 1相切，则a的值为_____________________________解析：因为P( — 3,1)关于x轴的对称点的坐标为P' (— 3, — 1),一 1所以直线P' Q的方程为y= (x— a),即—3 — a所以a=— |.5答案：—|10.点 P 在圆 C1: x2+ y2— 8x— 4y + 11 = 0 上，点 Q 在圆 C2: x2+ y2+ 4x+ 2y + 1 = 0 上,则|PQ|的最小值是 ____________解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x— 4)2+ (y— 2)2= 9, (x + 2)2 + (y+ 1)2 =4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3;圆C2的圆心坐标是(一 2,— 1)，半径是2.圆心距d =■4+ 2 2 + 2+ 1 2= 3 ,5> 5•故圆C1与圆C2相离，所以|PQ |的最小值是3 .5 — 5.答案：3 5—511.已知圆 C1: x2+ y2— 2x— 6y— 1 = 0 和圆 C2: x2 + y2— 10x— 12y+ 45 = 0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；⑵求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径「1=111, 圆C2的圆心 C2(5,6)，半径r2= 4,y=— 2x 上.C 截得的弦长为两圆圆心距 d = |C i C 2|= 5, r i + r 2 = ：.； 11 + 4, |r i — r 2|= 4— 11,-■•|r i — r 2|<d<门 + r 2,「.圆 C 1 和圆 C 2 相交. ⑵圆C 1和圆C 2的方程相减，得 4x+ 3y — 23 = 0, •••两圆的公共弦所在直线的方程为4x + 3y — 23= 0.|20+ 18— 23| 圆心C 2(5,6)到直线4x+ 3y —23= 0的距离d=, = 3, 寸 16+ 9故公共弦长为 2 16— 9= 2 ,7.12. 已知圆C 经过点A(2, — 1)，和直线x + y= 1相切，且圆心在直线 (1) 求圆C 的方程；(2) 已知直线I 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为2，求直线I 的方程解：(1)设圆心的坐标为 C(a,— 2a),化简，得a 2— 2a + 1 = 0,解得a= 1. •Q(1 , — 2)，半径 r = |AC|=1 —2 2+ — 2 + 1 2= ,2.•••圆 C 的方程为(x — 1)2 + (y+ 2)2= 2.⑵①当直线I 的斜率不存在时，直线I 的方程为x = 0,此时直线I 被圆 2,满足条件.②当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y= kx, K+ 2|3由题意得 -------- =1，解得k=— 4,寸 1 + k 243•直线I 的方程为y= — ]x,即3x+ 4y= 0. 综上所述，直线I 的方程为x= 0或3x+ 4y= 0.—2a+ 11.过圆x2+ y2= 1上一点作圆的切线，与 x轴、y轴的正半轴相交于 A, B两点，则|AB|B. ,.''3 D . 3解析：选C 设圆上的点为(x o , y o ),其中x o > 0, y o >0，则有x g + 的最小值为() A. .''2C. 2y 0= 1，且切线方程为x o x+ y o y = 1.分别令 y = 0, x= 0得1 / 12 1 1B0，y ，则IAB =.. x 04 5 6+ y 02=硕》右=2当且仅当等号成立.2.(2018 •苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线I: y= 2x 上在第一象限内的点,B(5,0)，以AB 为直径的圆 C 与直线I 交于另一点 D.若AB CD = 0，则点A 的横坐标为n解析：因为AB CD = 0,所以AB 丄CD ，又点C 为AB 的中点，所以/ BAD = 4,设直n线I 的倾斜角为0,直线AB 的斜率为k ，则tan 0= 2, k=tan 0+ 4 =- 3.又B(5,0)，所以直线AB 的方程为y=— 3(x — 5)，又A 为直线l: y= 2x 上在第一象限内的点，联立直线y=— 3 x — 5 ,x= 3,AB 与直线l 的方程，得解得所以点A 的横坐标为3.y= 2x,y= 6, 答案：33. (2018 安顺摸底)已知圆 C: x 2 + (y — a)2= 4,点 A(1,0). 5 当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数 a 的取值范围；6 设AM , AN 为圆C 的两条切线，M , N 为切点，当|MN|= 誓时，求MN 所在直线的方程. 解：(1)过点A 的切线存在，即点 A 在圆外或圆上， •••1 + a 2>4,^a> '3或 a< — .'3. (2)设MN 与AC 交于点D, O 为坐标原点.4/52 需•••|MN|=〒，.・.|DM|=才.20_ 4 又 |MC|= 2 ,「.|CD| =25= .5,4A 的方程为(x — 1)2+ y 2 =即 x — 2y= 0 或(x — 1)2+ y 2 V 52|MC| 2 厂2丢cos Z MCA 2_7•••|OC|= 2, |AM|= 1,• MN 是以点A 为圆心，1为半径的圆A 与圆C 的公共弦，圆 1,圆 C 的方程为 x 2+ (y — 2)2 = 4 或 x 2+ (y+ 2)2= 4,•'■MN 所在直线的方程为 (x — 1)2+ y 2— 1 — x 2 — (y — 2)2+ 4 = 0, —1 — x 2— (y+ 2)2 + 4= 0，即 x+ 2y= 0,因此MN 所在直线的方程为 x — 2y= 0或x+ 2y= 0.17.在平面直角坐标系 xOy 中，直线x+ 2y — 3 = 0被圆（x — 2）2+ （y+ 1）2= 4截得的弦长为 __________ .。

圆圆的位置关系知识点总结

圆圆的位置关系知识点总结圆的位置关系是几何学中一个重要的概念，涉及到圆与直线、圆与圆之间的相对位置关系。

下面是关于圆的位置关系的知识点总结。

一、圆与直线的位置关系：1.外切：当直线与圆相切于圆的一点时，我们称这条直线与圆外切。

2.内切：当直线与圆只在圆的内部与圆相切时，我们称这条直线与圆内切。

3.交于两点：当直线与圆相交并有两个交点时，我们称这条直线与圆相交于两点。

4.不相交：当直线与圆没有交点时，我们称这条直线与圆不相交。

二、圆与圆的位置关系：1.相切：当两个圆相切于圆的一点时，我们称这两个圆相切。

2.相交：当两个圆有交点时，我们称这两个圆相交。

3.重合：当两个圆的圆心和半径完全相同时，我们称这两个圆重合。

4.内含：当一个圆完全在另一个圆内部时，我们称这个圆在另一个圆内含。

5.相离：当两个圆没有交点，且一个圆的外部不与另一个圆的内部相交时，我们称这两个圆相离。

三、判别圆与直线的位置关系的方法：1.利用距离：计算直线上一点到圆心的距离，根据距离与圆的半径的大小关系来判断圆与直线的位置关系。

-当直线上一点到圆心的距离等于圆的半径时，这条直线与圆相切。

-当直线上一点到圆心的距离大于圆的半径时，这条直线与圆相交。

-当直线上一点到圆心的距离小于圆的半径时，这条直线与圆不相交。

2.利用方程：通过圆的方程和直线的方程来求解相交的点，根据求解得到的交点的数量来判断圆与直线的位置关系。

四、判别圆与圆的位置关系的方法：1.利用距离：计算两个圆心之间的距离，根据距离与两个圆的半径之和、之差的大小关系来判断圆与圆的位置关系。

-当两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，这两个圆相交。

-当两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，这两个圆相离。

-当两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之差的绝对值时，一个圆完全包含在另一个圆内即一个圆内含于另一个圆。

-当两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，但小于两个圆的半径之和时这两个圆相交于两个交点。

高二《直线与圆》知识点总结

高二《直线与圆》知识点总结直线与圆是高中数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中具有广泛的应用。

掌握了直线与圆的相关知识，对于理解和解决几何和代数问题都有很大的帮助。

本文将对高二学生需要掌握的直线与圆的知识点进行总结。

一、直线与圆的基本概念和性质：1. 直线的定义和性质：直线是一条无限延伸的连续直线，具有无宽度和无端点的特点。

直线的特征是经过其中任意两点的直线上的所有点。

2. 圆的定义和性质：圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的集合。

圆由圆心和半径唯一确定，其中半径是圆心到圆上任意一点的距离。

3. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。

相离表示直线与圆没有任何交点；相切表示直线与圆有且仅有一个交点；相交表示直线与圆有两个交点。

4. 切线的定义和性质：切线是与圆相切且与圆的切点相同的直线，切线与半径垂直。

二、直线与圆的方程和解析几何：1. 直线的一般方程：直线的一般方程可以写为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

2. 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程可以写为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

3. 圆的方程：圆的方程可以写为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。

4. 直线与圆的位置关系的方程：要判断直线和圆的位置关系，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到判别式。

判别式小于0时，直线和圆相离；判别式等于0时，直线和圆相切；判别式大于0时，直线和圆相交。

三、直线与圆的交点和切线：1. 直线与圆的交点：若要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到交点的坐标。

2. 切线的判定和方程：若要确定直线是否为圆的切线，可以计算直线的斜率，然后计算圆心到直线的距离。

若斜率与圆心到直线的距离相等，则直线为圆的切线。

切线方程可以使用直线方程得出。

直线与圆知识点及经典例题_含答案_

圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程(x a)2 ( y b)2 r 2 这个方程叫做圆的标准方程。

新疆王新敞学案说明：1、若圆心在坐标原点上，这时 a b 0 ，则圆的方程就是 x2 y2 r 2 。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要 a, b, r 三个量确定了且 r ＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件新疆确定 a, b, r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

王新敞学案（二）圆的一般方程将圆的标准方程 (x a)2 ( y b)2 r 2 ,展开可得 x 2 y 2 2ax 2by a 2 b2 r 2 0 。

可见，任何一个圆的方程都可以写成 : x2 y2 Dx Ey F 0问题：形如 x2 y2 Dx Ey F 0 的方程的曲线是不是圆？将方程x2y2DxEyF0 左边配方得：(x D )2 2(x E )2 2D2 E2 4F 2（1）当 D 2E24F＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程x2y2DxEyF0 表示以(D , 2E 2)为圆D2 E2 4F心，以2为半径的圆。

,（3）当 D2 E 2 4F ＜0 时，方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：当 D2 E2 4F ＞0 时，方程 x2 y2 Dx Ey F 0 称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（1） x2 和 y2 的系数相同，不等于零；（2）没有 xy 这样的二次项。

（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离；(2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。

2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当 d>r 时，直线与圆相离；当 d＝r 时，直线与圆相切;当 d<r 时，直线与圆相交。

中职直线与圆的方程知识点总结

中职直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程在二维平面上，直线可以由一元一次方程表示，其一般形式为:Ax + By + C = 0其中 A、B 和 C 是实数且 A 和 B 不同时为 0。

斜截式方程：斜率为 k，截距为 b 的直线方程可以表示为：y = kx + b其中 k 是斜率，b 是截距。

点斜式方程：已知直线上一点（x₁, y₁）和直线的斜率 k，可以使用以下点斜式方程表示直线：y - y₁ = k(x - x₁)二、圆的方程在二维平面上，圆可以由圆心的坐标 (h, k) 和半径 r 表示，其标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²三、直线与圆的关系直线与圆有以下几种关系：1.直线与圆相切：当直线与圆只有一个交点时，即直线与圆相切。

相切的直线与圆的切线相切于圆的一点。

2.直线与圆相离：当直线与圆没有交点时，即直线与圆相离。

3.直线与圆相交：当直线与圆有两个交点时，即直线与圆相交。

相交的直线与圆会穿过圆的两个点。

4.直线在圆上：当直线经过圆心时，即直线在圆上。

四、直线与圆的方程求解1.判断直线与圆的位置关系：–将直线方程代入圆的标准方程，得到一个一元二次方程；–计算一元二次方程的判别式；–根据判别式的值得出直线与圆的位置关系。

2.求直线与圆的交点坐标：–将直线方程代入圆的标准方程，得到一个二元一次方程组；–解方程组，求得交点坐标。

五、举例例 1：判断直线与圆的位置关系，直线方程为 y = 2x + 1，圆的标准方程为 (x - 3)² + (y - 4)² = 9。

将直线方程代入圆的标准方程得到：(x - 3)² + (2x + 1 - 4)² = 9化简得：5x² - 14x + 9 = 0计算判别式 D = (-14)² - 4 * 5 * 9 = 4，判别式大于 0，因此直线与圆相交。

直线和圆的位置关系知识点归纳整理

直线和圆的位置关系知识点归纳整理直线和圆的位置知识点直线和圆有三种位置关系1.交点:当一条直线和一个圆有两个公共点时，称为直线和圆的交点。

此时直线称为圆的割线，公共点称为交点。

2.相切:当直线与圆有唯一的公共点时，称为直线与圆相切，然后直线称为圆相切。

3.分离:当一条直线和一个圆没有共同点时，称为直线和圆分离。

直线与圆的三种位置关系的判定与性质（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；(2)共点法:通过确定一条直线和一个圆的共点数来确定。

直线l与⊙O相交d<r2个公共点；直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；直线l与⊙O相离d>r无公共点。

切线知识点切线的定义:在平面中，与圆只有一个公共交点的直线称为圆的切线。

切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线为圆的切线。

切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。

切线长度:圆的切线上的点与切点之间的线段通过圆外一点的长度，称为该点到圆的切线长度。

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.判断直线与圆位置关系的方法1、代数法:联立线性方程和圆方程，解方程，方程无解，直线与圆分离，方程有一组解，直线与圆相切，方程有两组解，直线与圆相交。

2、几何法:求出圆心到直线的距离d，半径为r。

d>r，则直线与圆相离，d=r，则直线与圆相切，d<r，则直线与圆相交。

如何判断直线和圆的位置关系平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1、由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

直线与圆的方程知识点总结

直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程1.直线的定义：直线是由一切与它上面两点P、Q相应的全体点构成的集合。

在坐标平面中，直线可以由一般式方程、对称式方程、斜截式方程、截距式方程等多种形式表示。

2.一般式方程：Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。

一般式方程表示直线的一种常用形式，它能够直观地反映直线的方向和位置。

3.对称式方程：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点。

对称式方程通过给出直线上两个点的坐标，从而确定直线的方程。

4. 斜截式方程：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

斜截式方程将直线的方程转化为了y和x的关系，便于直观地理解直线的特征。

5.截距式方程：x/a+y/b=1，其中a和b为直线与x轴和y轴的截距。

截距式方程能够直观地表达直线与坐标轴的交点，并通过截距反映直线的位置和倾斜情况。

二、圆的方程1.圆的定义：圆是平面上所有到定点的距离等于定长的点的轨迹。

在坐标平面中，圆可以由一般式方程、截距式方程、标准方程等多种形式表示。

2.一般式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。

一般式方程为圆的一种常用形式，能够直观地描述圆的位置和形状。

3.截距式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。

截距式方程通过圆的截距反映了圆的位置和形状。

4.标准方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。

通过圆的标准方程，可以直观地反映圆的位置、形状以及与坐标轴的交点等信息。

5. 圆的三角方程：由半径与直径、半径与斜边等关系来定义圆的方程，例如sinθ = r/l，其中θ为圆心角的弧度，l为圆弧的长度。

圆的三角方程常用于解决涉及圆的三角学问题。

直线与圆知识点总结

直线与圆知识点总结1. 直线与圆的位置关系：- 直线与圆可能相交于两个点，这种情况称为相交。

- 直线与圆可能与圆外部割线相切于一点，这种情况称为相切。

- 直线可能与圆没有交点，这种情况称为相离。

2. 判断直线与圆的位置关系：- 使用勾股定理可以判断直线与圆是否相交。

设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。

若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。

- 使用两点式可以判断直线与圆的位置关系。

设直线上两点为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

计算直线的斜率m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，若直线的斜率存在且非零，则直线与圆相交或相离；若直线的斜率不存在或为0，则直线可能与圆相切或相离。

将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。

3. 求直线与圆的交点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。

解这个方程即可得到直线与圆的交点的x坐标。

将得到的x坐标代入直线的方程，可以求得对应的y坐标。

4. 求直线与圆的切点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

直线与圆的位置关系与性质知识点总结

直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。

在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。

一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。

- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。

- 直线位于圆的内部，没有交点。

- 直线位于圆的外部，也没有交点。

2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。

与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。

- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。

通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。

二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。

定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。

2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。

3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。

4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。

三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。

- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。

2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。

3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。

圆直线方程知识点总结

圆直线方程知识点总结圆直线方程是解析几何中的重要内容，它描述了圆和直线在平面上的几何特性。

掌握圆直线方程的知识对于解决与圆和直线相关的几何问题是至关重要的。

本文将对圆直线方程的相关知识进行总结，包括圆的标准方程、一般方程和直线的一般方程等内容，并对圆和直线的位置关系、交点等问题进行探讨。

一、圆的标准方程和一般方程1. 圆的标准方程圆的标准方程是描述平面上一点到圆心的距离等于半径的平方的方程。

设圆的圆心坐标为（h，k），半径为r，则圆的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(x，y)为圆上的任意一点的坐标。

例如，圆心坐标为(2，3)，半径为5的圆的标准方程为：(x - 2)² + (y - 3)² = 252. 圆的一般方程圆的一般方程是描述平面上一点到圆心的距离等于半径的平方的方程的一般形式。

设圆的圆心坐标为（h，k），半径为r，则圆的一般方程为：x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0其中，g、f、c分别为常数，满足g² + f² - c > 0。

具体的圆心坐标和半径通过一般方程不容易直接看出来，但一般方程更灵活，适合解决一些特殊情况下的圆的问题。

二、直线的一般方程直线的一般方程是描述平面上一条直线的一般形式方程。

设直线的斜率为m，截距为b，则直线的一般方程为：y = mx + b其中，m为斜率，表示直线的倾斜程度，b为截距，表示直线与y轴的交点。

三、圆和直线的位置关系1. 圆和直线的位置关系有四种可能的相交情况：（1）相离：直线与圆无交点；（2）相切：直线与圆只有一个交点；（3）相交：直线与圆有两个不同的交点；（4）相含：直线完全包含在圆内部，或者圆完全包含在直线内部。

2. 判断圆和直线的位置关系的方法：（1）计算直线方程和圆的方程，求出交点；（2）用坐标代入判断，判断交点的位置关系；（3）通过图像观察，直线与圆的位置关系。

高二直线和圆的方程知识点归纳

高二直线和圆的方程知识点归纳直线和圆是数学中常见的几何图形，它们的方程是我们学习的重点内容。

在高二阶段，我们对直线和圆的方程有了更深入的学习和理解。

下面是对高二直线和圆的方程知识点的归纳总结。

1. 直线的方程直线的方程可以分为两种形式：一般式和点斜式。

一般式方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。

点斜式方程为y-y₁=m(x-x₁)，其中m为直线的斜率，(x₁,y₁)为直线上的一点。

2. 直线的斜率和倾斜角直线的斜率m定义为y轴上的增量与x轴上的增量的比值。

直线的倾斜角θ是它与x轴正方向的夹角。

两者满足关系式m=tanθ。

3. 直线的截距直线与x轴的截距为点(0,b)，与y轴的截距为点(a,0)。

直线的一般式方程中的常数C即为与y轴的截距。

4. 圆的方程圆的方程有两种形式：标准式和一般式。

标准式方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。

一般式方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。

5. 直线和圆的关系直线和圆的关系可以分为三种情况：相离、相切和相交。

判断方法是将直线的方程代入圆的方程，观察判别式的值。

6. 切线和法线在圆上的一点处，过该点的直线与圆相切，该直线称为切线。

切线与半径的夹角为直角，称为法线。

7. 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系有两种情况：相离和相交。

判断方法是将直线的方程代入圆的方程，观察判别式的值。

如果判别式大于0，则直线和圆相交；如果判别式小于0，则直线和圆相离；如果判别式等于0，则直线与圆相切。

8. 直线和圆的交点坐标如果直线与圆相交，交点坐标可通过解方程组得到。

将直线的方程和圆的方程联立，解得x和y的值，即为交点的坐标。

综上所述，高二直线和圆的方程知识点主要包括直线的方程、直线的斜率和倾斜角、直线的截距、圆的方程、直线和圆的关系、切线和法线、直线和圆的位置关系以及直线和圆的交点坐标。

直线与方程和圆与方程-知识点总结

第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此，倾斜角的取值范围是0180α︒≤<︒（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即tan k α=。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l 与x 轴平行或重合时,0α=︒,tan 00k =︒=；当直线l 与x 轴垂直时,90α=︒,k 不存在.当[) 90,0∈α时，0≥k ；当() 180,90∈α时，0<k ；当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=（11122212(,),(,),P x y P x y x x ≠）注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

注意：当直线的斜率为1当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但l x x x（5）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。

方程组无解21//l l ⇔；方程组有无数解⇔1l 与2l 重合（6设(,),A x y B x y ，（）（7一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l（8已知两条平行线直线1l 和2l01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l第四章圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学直线与圆的方程知识点总结公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围：斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1>0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即；<2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=；<2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合：斜率都存在时：2121,b b k k ==；二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可；②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中，将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可；⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-=②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121yy x x ++ 靠近A 的三分点坐标)32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

数学圆的方程知识点总结

数学圆的方程知识点总结一、圆的标准方程。

1. 定义。

- 在平面直角坐标系中，到定点C(a,b)的距离等于定长r的点的轨迹叫做圆，其中定点C(a,b)为圆心，定长r为半径。

2. 方程形式。

- (x - a)^2+(y - b)^2=r^2。

例如，圆心为(2, - 3)，半径为4的圆的方程为(x - 2)^2+(y+3)^2 = 16。

- 圆心在原点(0,0)时，圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。

3. 确定圆的标准方程的要素。

- 要确定圆的标准方程，需要确定圆心坐标(a,b)和半径r。

二、圆的一般方程。

1. 方程形式。

- x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0（D^2+E^2 - 4F>0）。

2. 与标准方程的转化。

- 将圆的标准方程(x - a)^2+(y - b)^2=r^2展开得x^2 - 2ax+a^2+y^2 - 2by +b^2=r^2，即x^2+y^2 - 2ax - 2by+a^2 + b^2 - r^2=0。

- 令D=-2a，E = - 2b，F=a^2 + b^2 - r^2，就得到圆的一般方程。

3. 圆心和半径的确定。

- 对于圆的一般方程x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0，其圆心坐标为(-(D)/(2),-(E)/(2))，半径r=(1)/(2)√(D^2+E^2 - 4F)。

三、点与圆的位置关系。

1. 判断方法。

- 设点P(x_0,y_0)，圆的方程为(x - a)^2+(y - b)^2=r^2。

- 计算点P到圆心C(a,b)的距离d=√((x_0 - a)^2+(y_0 - b)^2)。

- 若d>r，则点P在圆外；若d = r，则点P在圆上；若d，则点P在圆内。

- 对于圆的一般方程x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0，同样先求出圆心(-(D)/(2),-(E)/(2))和半径r=(1)/(2)√(D^2+E^2 - 4F)，再按照上述距离公式判断点与圆的位置关系。

九年级数学圆的知识点总结

圆是一种特殊的几何图形，是平面上所有到一些点的距离相等的点的集合。

在九年级数学中，我们学习了许多与圆相关的知识点，包括圆的性质、圆的方程、圆的切线和弦、圆与直线的位置关系等。

下面是对这些知识点的详细总结。

一、圆的性质1.圆的定义：平面上到一个固定点的距离相等的点的集合叫做圆。

2.圆的元素：圆心、半径、直径、弦、弧等。

3.圆的表示方法：圆心为O，半径为r的圆可以表示为O(r)，或者简写为O。

二、圆的方程1.标准方程：以圆心为原点O(0,0)，半径为r的圆的方程为x²+y²=r²。

2.一般方程：以圆心为(h,k)，半径为r的圆的方程为(x-h)²+(y-k)²=r²。

三、圆的切线和弦1.切线：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线。

切线垂直于半径。

2.弦：连接圆上两个不相邻点的线段叫做圆的弦。

圆心到弦的中点的线段垂直于弦。

四、圆与直线的位置关系1.直线与圆的位置关系有三种情况：a.直线与圆相交于两点：直线穿过圆的内部，与圆有两个交点。

b.直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，且切点在圆上。

c.直线与圆相离：直线没有与圆的交点。

五、圆的相关定理1.切线定理：切线与半径的垂直定理。

切线与半径的垂线相互垂直。

2.弦切角定理：圆弦上的两个角对相同弧的度数相等。

3.弧上的角等于圆心角的一半：弧上的角等于它所对的圆心角的一半。

4.切线垂直半径定理：过圆的切点作切线，与过切点的半径垂直。

六、圆的计算1.弧长公式：弧长L=2πr(θ/360°)，其中r为半径，θ为圆心角度数。

2.弧度制与角度制转换：1°=π/180，1弧度=180/π。

以上是九年级数学中圆的主要知识点的总结，通过对这些知识点的学习和理解，能够更好地理解和解决与圆相关的问题。