电容的充放电过程及其应用 (2)

电容的充放电过程及其应用

一、实验目的

1.观察RC电路的矩形脉冲响应。

2.了解RC微分电路、积分电路及耦合电路的作用及特点。

3.学习双踪示波器的使用方法。

二、实验原理

1．RC串联电路的充放电过程

在由电阻R及电容C组成的直流串联电路中,暂态过程即就是电容器的充放电过程(图1),当开关K打向位置1时,电源对电容器C充电,直到其两端电压等于电源E。这个暂态变化的具体数学描述为q＝CUc,而I = dq / dt ,故

dt

dUc

C

dt

dq

i=

=(1)

E

iR

Uc=

+(2)

将式(1)代人式(2),得

E

RC

Uc

RC

dt

dUc1

1

=

+

考虑到初始条件t=0时,u C=0,得到方程的解:

[]

()

()

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

-

=

-

=

-

=

=

RC

t

E

U

E

U

RC

t

R

E

i

RC

t

E

U

C

R

/

exp

/

exp

）

/

-

（

exp

-

1

C

上式表示电容器两端的充电电压就是按指

数增长的一条曲线,稳态时电容两端的电压等于

电源电压E,如图2(a) 所示。式中RC=τ具有时间

量纲,称为电路的时间常数,就是表征暂态过程进

行得快慢的一个重要的物理量,由电压u c上升到

0、63E,1/e≈0、37,所对应的时间即为τ。

当把开关k1打向位置2时,电容C通过电阻R放电,放电过程的数学描述为

将

dt

dUc

C

i=,代人上式得0

1

=

+Uc

RC

dt

dUc

由初始条件t＝0时,Uc＝E,解方程得

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

-

-

=

-

-

=

-

=

)

/

exp(

)

/

exp(

)

/

exp(

RC

t

E

U

RC

t

R

E

i

RC

t

E

Uc

R

表示电容器两端的放电电压按指数律衰减到零,τ也可由此曲线衰减到0、37E所对应的

时间来确定。充放电曲线如图2所示。

2、半衰期T1/2

图2 RC电路的充放电曲线

(a)电容器充电过程(b)电容器放电过程

U R

Uc

K

1

2

V

E

R

C

图1 RC串联电路

与时间常数τ有关的另一个在实验中较容易测定的特征值,称为半衰期T 1/2,即当U C (t)下降到初值(或上升至终值)一半时所需要的时间,它同样反映了暂态过程的快慢程度,与t 的关系为:T 1/2 =τln2 = 0、693τ(或τ= 1、443T 1/2)

3、 RC 电路的矩形脉冲响应。

若将矩形脉冲序列信号加在电压初值为零的RC 串联电路上,电路的瞬变过程就周期性地发生了。显然,RC 电路的脉冲响应就就是连续的电容充放电过程。如图3所示。

图3 RC 电路及各元件上电压的变化规律

若矩形脉冲的幅度为U ,脉宽为t p 。电容上的电压可表示为:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤⋅≤≤-=-

-211

0)1()(t t t e U t t e U t u t

t c τ

τ 电阻上的电压可表示为:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤⋅-≤≤⋅=-

-2

110)(t t t e U t t e U t u t

t

R ττ

即当10t t ≤≤时,U t u i =)(,电容被充电;当21t t t ≤≤时,电容器经电阻R 放电。 4.RC 电路的应用

(1)微分电路。取RC 串联电路中的电阻两端为输出端,并选择适当的电路参数使时间常数τ<

dt

t du RC dt du RC i R t u i c c )

()(0⋅≈⋅

=⋅=

(t u i )(t R )

(t C )(t u i

(t u R (t u C u

u

u

-t

t

t