解线性方程组的基本思想

四：基本方法
基本思路将在解题的过程中得到体现。

1．（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠
密矩阵——直接法；一类是解大型稀疏矩阵——迭代法。

1.1利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解）
方程：AX=b，解法：X=A\b，(注意此处’\’不是’/’)
例1-1 求方程组的解。

解: A = ; = ；b=(1,0,0,0,1)’
由于>>rank(A)=5,rank( )=5 %求秩，此为R（A）=R（）>=n的情形，有唯一解。

>>X= A\b %求解X =(2.2662, -1.7218, 1.0571,-0.5940, 0.3188)’ 或用函数rref
求解，>>sv=rref(A:b);所得sv的最后一列即为所要求的解。

1．2 利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解
这三种分解，在求解大型方程组时很有用。

其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。

I) LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。

即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。

则：A*X=b 变成L*U*X=b
所以X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。

命令[L，U]=lu (A)
在matlab中可以编如下通用m 文件：
在Matlab中建立M文件如下
% exp1.m
A;b;
[L，U]=lu (A);
X=U\(L\b)
II）Cholesky分解
若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：其中R为上三角阵。

方程A*X=b 变成所以
在Matlab中建立M文件如下
% exp2.m
A;b;
[R’，R]=chol(A);
X=R\(R’\b)
III）QR分解
对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形
式，即：A=QR
方程A*X=b 变形成QRX=b
所以X=R\(Q\b)
上例中[Q, R]=qr(A)
X=R\(Q\B)
在Matlab中建立M文件如下
% exp3.m
A;b;
[Q，R]=qr(A);
X=R\(Q\b)
2．求线性齐次方程组的通解(A*X=0)
在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足A•X=0的解空间，实际上是求出解空
间的一组基（基础解系）。

在Matlab中建立M文件如下
% exp4.m
format rat %指定有理式格式输出
A;b=0;
r=rank(A);
bs=null(A，‘r’); %一组基含(n-r)个列向量
% k ,k ,……,k
% X= k *bs(:,1)+ k *bs(:,2)+……+ k *bs(:,n-r) 方程组的通解
pretty(X) %让通解表达式更加精美
3 求非齐次线性方程组的通解（A*X=b）
非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。

因此，步骤为：
第一步：判断AX=b是否有解，(利用基本思路的第一条)
若有解则进行第二步
第二步：求AX=b的一个特解
第三步：求AX=0的通解
第四步：AX=b的通解为：AX=0的通解加上AX=b的一个特解。

在Matlab中建立M文件如下
% exp4.m
clear all
A;b; %输入矩阵A,b
[m,n]=size(A);
R=rank(A);
B=[A b];
Rr=rank(B);
format rat
if R==Rr&R==n % n为未知数的个数，判断是否有唯一解
x=A\b;
elseif R==Rr&R<n %判断是否有无穷解
x=A\b %求特解
C=null(A, r ) %求AX=0的基础解系,所得C为n-R列矩阵，这n-R列即为对
%应的基础解系
% 这种情形方程组通解xx=k(p)*C(:,P)(p=1…n-R)
else X= No solution! % 判断是否无解
end
第3章线性方程组的迭代解法
3.1实验目的
理解线性方程组计算机解法中的迭代解法的求解过程和特点，学习科学计算的方法和简单的编程技术。

3.2概念与结论
1.n阶线性方程组
如果未知量的个数为n ,而且关于这些未知量x1,x2, …,x n的幂次都是一次的(线性的)那末, n 个方程
a11x1+a12x2+ …+a1n x n=b1
┆┆┆(1)
a n1x1+a n2x2+ …+a nn x n=
b n
构成一个含n个未知量的线性方程组,称为n阶线性方程组。

其中,系数a11,…,a1n,a21, …,a2n, …,a n1, …,a nn和b1, …,b n都是给定的常数。

方程组(1)也常用矩阵的形式表示,写为
Ax=b
其中,A是由系数按次序排列构成的一个n阶矩阵,称为方程组的系数矩阵,x和b都是n维向量,b称为方程组的右端向量。

2. n阶线性方程组的解
使方程组(1)中每一个方程都成立的一组数x1*,x2*, …,x n*称为式(1)的解,把它记为向量的形式,称为解向量.
3. 向量范数的三种常用范数
4．矩阵的四种常用范数
5.谱半径 设 n ⨯n 阶矩阵A 的特征值为λ i (i=1,2,3……n),则称
ρ (A) = MAX | λi |
1≤i ≤ n
为矩阵A 的谱半径.
矩阵范数与谱半径之间的关系为: ρ (A) ≤ ||A||
6.严格(行)对角占优阵A
如果 矩阵 A=(a ij )满足
n
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛====
∑∑=≤≤∞=n n k k k n
k n k k
x x x x x x x x x x 21122111m ax .
211222211121112111111max
max
最大特征值是行范数列范数A A A a a a a a a a a a A a A a A a A T nn n n n n n k kj n j f n k jk n j n k kj n j λλ
=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==
==∑∑∑∑===≤≤∞=≤≤
|a ii | > ∑ |a ij | i=1,2,……n,
j=1,j ≠i
则称方阵A 是严格(行)对角占优的.
7.收敛定理
对任意初始向量x (0)及任意右端向量 g ，由迭代x (k+1) =B x (k) +g 产生的迭代向量序列{x (k)}收敛的充要条件是谱半径ρ（B ）<1
8.收敛判别条件
判别条件1：
若||B||<1, 则迭代x (k+1) =B x (k) +g 对任何初始向量x (0)都收敛.
判别条件2：
如果A 为严格对角占优阵，则其 Jacobi 迭代和Seidel 迭代对任何初始向量x (0)都收敛。

判别条件3：
如果A 为对称正定阵，则其 Seidel 迭代对任何初始向量x (0)都收敛。

9.迭代法的误差估计
若||B||<1，则对迭代格式 x (k+1) =B x (k) +g 有
3.3 程序中Mathematica 语句解释
a*matrix 数a 与矩阵matrix 相乘
matrix1+matrix2 矩阵matrix1和矩阵matrix2相加（注意矩阵的大小相同）
matrix1.matrix2 矩阵matrix1和矩阵matrix2相乘(注意矩阵乘法的规则)
Transpose[matrix] 求矩阵matrix 转置
Inverse[matrix] 求矩阵(方阵) matrix 的逆
)
()1(*)()
1()(*)(1.21.
1o k k k k k x x B
B x x x x B B x x --≤---≤--
DiagonalMatrix[list] 使用列表list 中的元素生成一个对角矩阵.
IdentityMatrix[n] 生成n 阶单位矩阵
Max[x] 求向量x 中元素的最大值
3.4 方法、程序、实验
解线性方程组的迭代法是将线性方程组 Ax=b 化为等价线性方程组
x=Bx+f
再由矩阵迭代格式
x (k+1)=Bx (k)+f
构造向量序列{x (k)}来求线性方程组解的。

如果得出的向量序列{x (k)}收敛至某个向量x *，则可得该向量x *就是所求方程组 Ax=b 的准确解.
线性方程组的迭代法主要有Jocobi 迭代法、Seidel 迭代法和超松弛(Sor)迭代法。

1. Jocobi 迭代法
1) Jocobi 迭代法的构造过程
假设a ii ≠0，依次在第i 个方程解出x i , i=1,2,⋯,n 并令
c ij = -a ij /a ii (i ≠j) ， g i = b i /a ii
就得到如下Jocobi 迭代格式：
x 1(k+1)= c 12x 2(k)+c 13x 3(k)+⋅⋅⋅⋅ +c 1n x n (k)+g 1
x 2(k+1)=c 21x 1(k) +c 23x 3(k)+⋅⋅⋅⋅ +c 2n x n (k)+g 2。

x n (k+1)=c n1x 1(k) +c n2x 2(k)+⋅⋅⋅⋅ +c n(n-1)x n-1(k) + g n
若令
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n J g g g g x x x x c c c c c c B 212121221
112000
则有Jocobi 迭代的矩阵格式：
x (k+1) = B J x (k) +g J
B J 称为Jocobi 迭代矩阵。

Jocobi 迭代可以写成如下紧凑格式：
在给定初始迭代向量x (0)后就可以进行Jocobi 迭代求解了。

2) Jacobi 迭代算法
1.输入变量个数n 、初值向量x
（0）、迭代精度eps 、系数矩阵A 、常数项b 和迭代最大次数nmax 2 For i=1,2,…,n
2.1 如果|a ii |<eps1,则输出“迭代失败”提示并终止
3. Bj ⇐ E-D -1A
4. g j ⇐ D -1b
5.For k=1,2,…,nmax
5.1 x ⇐Bj.x0+ g j
5.2 如果||x-x0||<eps ,输出解向量x ，终止；否则x
（0） ⇐ x
6. 如果||x-x0||>eps ,输出迭代失败，终止。

3) Jacobi 迭代法程序
Clear[a,b,x];
nmax=500;
n=Input[“线性方程组阶数n=”];
a=Input["系数矩阵A="]；
b=Input["常数项b="]；
x0=Input["输入迭代初值向量x0"]；
eps1=0.;
eps=Input["输入精度控制eps="]； n
i n
i j j ii i k j ii ij k i a b x a a x ,,2,11)()1( =≠=+∑
--=
Do[If[Abs[a[[i,i]]]<eps1,t1=1;Return[],t1=0],{i,1,n}];
If[t1==1,
Print["Jacobi迭代法失效"],
d=DiagonalMatrix[Table[a[[i,i]],{i,1,n}]];
d1=Inverse[d];
bj=IdentityMatrix[n]-d1.a;
gj=d1.b;
Do[ x=bj.x0+gj;
err=Max[Abs[x-x0]];
Print["x=",x//N," i=",i," err=",err//N];
If[N[err]<eps,Break[],x0=x],
{i,1,nmax}];
If[err>=eps,Print["迭代失败"]]
]
说明本程序用于求线性方程组Ax=b的解。

程序执行后，先通过键盘输入线性方程组阶数n、系数矩阵A、常数项b、迭代初值向量x0和输入精度控制eps，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代向量序列x(k),其中最后输出的结果即为所求的根。

如果迭代超出500次还没有求出满足精度的根则输出迭代失败提示，如果出现主对角线元素a ii=0给出Jacobi迭代法失效提示。

程序中变量说明
x0：存放初始向量和迭代过程中的向量x（k）
x: 存放迭代过程中的向量x（k+1）
nmax:存放迭代允许的最大次数
err:存放误差||x-x0||
t1:临时变量
注：迭代最大次数可以修改为其他数字。

4)例题与实验
例1.用Jacobi 迭代法解如下线性方程组
5x1+2x2+x3= -12
-x1+4x2+2x3= 20
2x1-3x2+10x3= 3
要求误差||x(k+1)-x(k)|| <10-4，并用取不同初值的方法实验观察迭代收敛的情况。

解：执行Jacobi迭代法程序后在输入的四个窗口中按提示分别输入:
3、{{5, 2, 1}, {-1, 4, 2}, {2, -3, 10}}、{-12, 20, 3}、{0, 0, 0}、0.0001
每次输入后用鼠标点击窗口的“OK”按扭，得如下输出结果：
x={-2.4, 5., 0.3} i=1 err=5.
x={-4.46, 4.25, 2.28} i=2 err=2.06
x={-4.556, 2.745, 2.467} i=3 err=1.505
x={-3.9914, 2.6275, 2.0347} i=4 err=0.5646
x={-3.85794, 2.9848, 1.88653} i=5 err=0.3573
x={-3.97123, 3.09225, 1.96703} i=6 err=0.
x={-4.03031, 3.02368, 2.02192} i=7 err=0.
x={-4.01386, 2.98146, 2.01316} i=8 err=0.
x={-3.99522, 2.98995, 1.99721} i=9 err=0.
x={-3.99542, 3.00259, 1.99603} i=10 err=0.
x={-4.00024, 3.00313, 1.99986} i=11 err=0.
x={-4.00122, 3.00001, 2.00099} i=12 err=0.
x={-4.0002, 2.9992, 2.00025} i=13 err=0.
x={-3.99973, 2.99983, 1.9998} i=14 err=0.
x={-3.99989, 3.00017, 1.99989} i=15 err=0.
x={-4.00005, 3.00008, 2.00003} i=16 err=0.
x={-4.00004, 2.99997, 2.00003} i=17 err=0.
x={-4., 2.99997, 2.} i=18 err=0.
此结果说明迭代18次，求得误差为err=0.的近似解，最后显示的近似解向量为x={-4., 2.99997, 2.}，它表示所求解为
x1=-4，x2=2.99997，x3=2 。

本题的准确解为
x1=-4，x2=3，x3=2 。

如果将如上输入的初值改为{21, -18, 30}，执行Jacobi迭代法程序后得如下输出结果：
x={-1.2, -4.75, -9.3} i=1 err=39.3
x={1.36, 9.35, -0.885} i=2 err=14.1
x={-5.963, 5.7825, 2.833} i=3 err=7.323
x={-5.2796, 2.09275, 3.22735} i=4 err=3.68975
x={-3.88257, 2.06642, 1.98375} i=5 err=1.39703
x={-3.62332, 3.03749, 1.69644} i=6 err=0.97106
x={-3.95428, 3.24595, 1.93591} i=7 err=0.
x={-4.08556, 3.04347, 2.06464} i=8 err=0.
x={-4.03032, 2.94629, 2.03015} i=9 err=0.
x={-3.98455, 2.97734, 1.98995} i=10 err=0.
x={-3.98893, 3.00889, 1.99011} i=11 err=0.
x={-4.00158, 3.00771, 2.00045} i=12 err=0.
x={-4.00318, 2.99938, 2.00263} i=13 err=0.
x={-4.00028, 2.99789, 2.00045} i=14 err=0.
x={-3.99925, 2.99971, 1.99942} i=15 err=0.
x={-3.99977, 3.00048, 1.99976} i=16 err=0.
x={-4.00014, 3.00018, 2.0001} i=17 err=0.
x={-4.00009, 2.99992, 2.00008} i=18 err=0.
x={-3.99998, 2.99994, 1.99999} i=19 err=0.
x={-3.99997, 3.00001, 1.99998} i=20 err=0.
从计算结果可以看到虽然所取的初值不同，但迭代总是收敛相同的结果。

考察本题系数矩阵可以发现它是严格对角占优矩阵，由收敛判别法，Jacobi迭代对任意初值都是收敛的，我们通过实际计算验证了这个结果。

例2.通过Jacobi 迭代序列观察用Jacobi 迭代法解如下线性方程组
x1+2x2+2x3= -12
-x1+4x2+x3= 20
2x1-3x2+x3= 3
的收敛性。

解：执行Jacobi迭代法程序后在输入的四个窗口中按提示分别输入:
3、{{1, 2, 2}, {-1, 4, 1}, {2, -3, 1}}、{-12, 20, 3}、{0, 0, 0}、0.0001
每次输入后用鼠标点击窗口的“OK”按扭，得如下输出结果：
x={-12., 5., 3.} i=1 err=12.
x={-28., 1.25, 42.} i=2 err=39.
x={-98.5, -12.5, 62.75} i=3 err=70.5
x={-112.5, -35.3125, 162.5} i=4 err=99.75
…………………………………………….
{246.719, -120.176, 696.719} i=8 err=763.5
x={-1165.09, -107.5, -850.965} i=9 err=1547.68
x={1904.93, -73.5303, 2010.67} i=10 err=3070.02
x={-3886.28, -21.4355, -4027.45} i=11 err=6038.12
x={8085.77, 40.2917, 7711.26} i=12 err=11972.1
x={-15515.1, 98.6279, -16047.7} i=13 err=23758.9
x={31886.1, 138.141, 31329.1} i=14 err=47401.2
x={-62946.5, 144.247, -63354.7} i=15 err=94832.5
x={., 107.068, .} i=16 err=.
x={-., 25.0775, -.} i=17 err=.
x={., -92.4305, .} i=18 err=.
…………………………………….
通过观察迭代过程中的误差是不断变大的特点可以知道本题的Jacobi 迭代序列是不收敛的，因此，本题线性方程组不能用Jacobi 迭代法求解。

这个实验说明并不是每个线性方程组都能用Jacobi 迭代法求解。

2.Seidel迭代
1) Seidel迭代的构造过程
为了加快收敛速度，同时节省计算机的内存，对Jocobi迭代作如下的改进：每算出一个分量的近似值，立即用到下一个分量的计算中去，即用迭代格式：
x1(k+1)= c12x2(k)+c13x3(k)+⋅⋅⋅⋅+c1n x n(k)+g1
x2(k+1)=c21x1(k+1)+c23x3(k)+⋅⋅⋅⋅+c2n x n(k)+g2。

x n (k+1)=c n1x 1(k+1) +c n2x 2(k+1)+⋅⋅⋅⋅+c n(n-1)x n-1(k+1) + g n
如上迭代可以写成如下紧凑格式：
这样所得的迭代法就称为Seidel 迭代法。

利用Ax=b 及A=L+D+U,其中D 为对角矩阵,L,U 分别为严格下，上三角矩阵．则有Seidel 迭代法的矩阵形式为
x (k+1)= B s x (k)+g s 其中：B s =-(L+D)-1U ，g s =D -1b
Seidel 迭代矩阵为 B s =-(L+D)-1U 。

在给定初始迭代向量x (0)后就可以进行Seidel 迭代求解了。

Jacobi 迭代和Seidel 迭代格式可表述为统一形式:
2) Seidel 迭代算法
1.输入变量个数n 、初值向量x
（0）、迭代精度eps 、系数矩阵A 、常数项b 和迭代最大次数nmax
2. For i=1,2,…,n
2.1 如果|a ii |<eps1,则输出“迭代失败”提示并终止
3.For i=1,2,…,nmax
3.1 For i=1,2,…,n
3.2 如果||x (k+1)-x (k)||∝<eps ,输出解向量x ，终止；否则x
（k ） ⇐ x (k+1)
4. 如果||x-x0||∝<eps ,输出迭代失败，终止。

ii
n i j k j ij i j k j ij i k i
a x a x a
b x ∑∑+=-=++--=1)(11)1()1(g
Bx x k k +=+)()1(ii
n i j k j
ij i j k j ij i k i a x a x a b x ∑∑+=-=++--=1)(11)1()1(
3) Seidel 迭代法程序
Clear[a,b,x];
nmax=500;
n=Input[“线性方程组阶数n=”];
a=Input["系数矩阵A="]；
b=Input["常数项b="]；
x0=Input["输入迭代初值向量x0"]；
eps1=0.;
eps=Input["输入精度控制eps="]；
x=x0;
Do[If[Abs[a[[i,i]]]<eps1,t1=1;Return[],t1=0],{i,1,n}];
If[t1==1,
Print["Seidel迭代法失效"],
Do[ Do[u1=Sum[a[[i,j]]*x[[j]],{j,1,i-1}];
u2=Sum[a[[i,j]]*x0[[j]],{j,i+1,n}];
x[[i]]=(b[[i]]-u1-u2)/a[[i,i]],
{i,1,n}];
err=Max[Abs[x-x0]];
Print["x=",x//N," k=",k," err=",err//N];
If[N[err]<eps,Break[],x0=x],
{k,1,50}];
If[err>=eps,Print["迭代失败"]]
]
说明本程序用于求线性方程组Ax=b的解。

程序执行后，先通过键盘输入线性方程组阶数n、系数矩阵A、常数项b、迭代初值向量x0和输入精度控制eps，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代向量序列x(K),其中最后输出的结果即为所求的根。

如果迭代超出500次还没有求出满足精度的根则输出迭代失败提示，如果出现主对角线元素a ii=0给出Jacobi迭代法失效提示。

程序中变量说明
x0：存放初始向量和迭代过程中的向量x（k）
x: 存放迭代过程中的向量x（k+1）
nmax:存放迭代允许的最大次数
err:存放误差||x-x0||∝
t1,u1,u2:临时变量
注：迭代最大次数可以修改为其他数字
4)例题与实验
例3.用Seidel 迭代法解如下线性方程组
5x1+2x2+x3= -12
-x1+4x2+2x3= 20
2x1-3x2+10x3= 3
要求误差||x(k+1)-x(k)||∝<10-4。

解：执行Seidel迭代法程序后在输入的四个窗口中按提示分别输入:
3、{{5, 2, 1}, {-1, 4, 2}, {2, -3, 10}}、{-12, 20, 3}、{0, 0, 0}、0.0001
每次输入后用鼠标点击窗口的“OK”按扭，得如下输出结果：
x={-2.4, 4.4, 2.1} k=1 err=4.4
x={-4.58, 2.805, 2.0575} k=2 err=2.18
x={-3.9335, 2.98787, 1.98306} k=3 err=0.6465
x={-3.99176, 3.01053, 2.00151} k=4 err=0.
x={-4.00451, 2.99812, 2.00034} k=5 err=0.
x={-3.99931, 3., 1.99986} k=6 err=0.
x={-3.99997, 3.00007, 2.00002} k=7 err=0.
x={-4.00003, 2.99998, 2.} k=8 err=0.
此结果说明迭代8次，求得误差为err=0.的近似解，最后显示的近似解向量为x={-4.00003, 2.99998, 2.}，与本题的准确解为x1=-4.，x2=3.，x3=2. 误差很小。

注意到本题在同样迭代误差和初值前提下，用Jacobi 迭代需要18次迭代才获得具有同样精度的解，这说明，在都收敛的前提下，Seidel 迭代比Jacobi 迭代收敛快。

例4.设线性方程组为
x1+2x2-2x3= 1
x1+x2+x3= 1
2x1+2x2+x3= 1
考察用Jacobi迭代法和Seidel 迭代法求解该线性方程组的收敛情况。

如果收敛，给出误差满足||x(k+1)-x(k)||∝<10-4的解。

解：执行Seidel迭代法程序后在输入的四个窗口中按提示分别输入:
3、{{1, 2, -2}, {1,1,1}, {2,2,1}}、{1,1,1}、{0, 0, 0}、0.0001
每次输入后用鼠标点击窗口的“OK”按扭，得如下输出部分结果：
………………………………………..
x={-5123., 5379., -511.} k=9 err=3072.
x={-11779., 12291., -1023.} k=10 err=6912.
x={-26627., 27651., -2047.} k=11 err=15360.
x={-59395., 61443., -4095.} k=12 err=33792.
x={-., ., -8191.} k=13 err=73728.
x={-., ., -16383.} k=14 err=.
x={-., ., -32767.} k=15 err=.
………………………………………………………..
x={-8.05018⨯1016, 8.10648⨯1015, -1.1259⨯1015} k=50 err=4.13768⨯1016
通过观察迭代过程中的误差是不断变大的特点可以知道本题的Seidel 迭代序列是不收敛的，因此，本题线性方程组不能用Seidel 迭代法求解。

执行Jacobi迭代法程序后在输入的四个窗口中按提示分别输入:
3、{{1, 2, -2}, {1,1,1}, {2,2,1}}、{1,1,1}、{0, 0, 0}、0.0001
每次输入后用鼠标点击窗口的“OK”按扭，得如下输出结果：
x={1., 1., 1.} i=1 err=1.
x={1., -1., -3.} i=2 err=4.
x={-3., 3., 1.} i=3 err=4.
x={-3., 3., 1.} i=4 err=0
此结果说明迭代4次，求得误差为err=0的近似解，最后显示的近似解向量为
x={-3., 3., 1.}，与本题的准确解为x1=-3.，x2=3.，x3=1.相同。

本次实验说明Seidel 迭代与Jacobi 迭代不是包含与被包含关系，Seidel 迭代不能取代Jacobi 迭代。

2.5思考与提高
1.在例题中如果选用||x (k+1)-x (k)||1<eps 来控制迭代终止会出现什么情况？
2.设y (k+1)是利用Seidel 迭代法由x (k)算出的下一个向量 ，人们又构造出如下称为超松弛迭代格式（Sor 迭代格式）：
x (k+1)= x (k)+ω∆x= x (k)+ω( y (k+1) –x (k))=(1-ω )x (k)- ωy (k+1)
其中ω称为松弛因子。

研究由此编制程序进行求解一个线性方程组的迭代计算情况，运算中要选用不同的松弛因子进行尝试。

3．在解线性方程组时，是否Seidel 迭代法总比Jacobi 迭代法收敛的快？
4.分析Jacobi 迭代法程序的编程优缺点，你能给出哪些改进？
5.分析Seidel 迭代法程序的编程优缺点，你能给出哪些改进？
2.6练习
1． 用 Seidel 迭代法求如下线性方程组的解
要求误差||x (k+1)-x (k)||∝<10-8。

2． 用Jacobi 迭代法法解线性方程组
3. 用ω=1.25和0.5的超松弛方法解线性方程组
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-+--=++++=-+-+=+-+--=-+-+3322224343
238243214225432154321
543215422153321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1102151012402170
183131204321x x x x ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+-=-+-=-+-=-0
20202021254543
43232121x x x x x x x x x x x x x
要求误差||x(k+1)-x(k)|| <10-8。