普通物理B复习

2018年11月12日星期一
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一、质点运动学 参照系
绝对速度
牵连速度
运动的相对性 直角坐标系
v u v'
相对速度
坐标系
自然坐标系 运动的描述
r (t )
r r t
求导 积分
v(t )
求导 积分
a (t )
d r v dt
t t0
2 d v d r a 2 dt dt
W保守内力 ( E p 2 E p1 ) E p
E p引力 G
r
保 守 力
E p重力 mg y
1 2 E p弹力 kx 2
保守力作正功，势能减少；作负功，势能增加。
5.功能原理
W ＋ W
外
内非
E k E k 0 W内保
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解：由牛顿第二运动定律得
m1 g T1 m1a1 T2 m2 g m2 a2
滑轮作定轴转动，则有转动定律有
T1r1 T2r2 J1 J2
由于绳子与滑轮间无相对滑动，所以
a1 r1 , a2 r2
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联立以上5个方程可得，两物体的加速度和绳子中的张力分别为
F
a
m
C

o
A
B
F N mg f 0
物体在其切线方向上的加速度为零， 选取自然坐标系由牛顿第二定律得：
F mg cos f
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W F (adα )
0
θ
F
θ
m a
C
mg cos α(adα ) kaα(adα )
2
1.018 105
v 0 319m / s
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三、刚体的定轴转动 1.刚体定轴转动特征： 每一个质元都在其转动平面内 作等角速度的圆周运动。
o r
P
v
dθ 角位置 θ 角位移 θ 角速度 ω dt
角量与线量的关系
dω 角加速度 β dt
2
vi ri ω, aiτ ri β，an ri ω
刚体定轴转动定律
M i外
M 合外
d ( r i mi v i )
i
dt

d ( Jω ) dω J Jβ dt dt
刚体内作用力和反作用力的 力矩互相抵消
dω J Jβ dt
3.刚体角动量定理
d M J J Mdt Jd , dt

t
t0
Mdt L L0
t2

t2
t1
速度应是对 n i n n nn t2 i n 同一惯性系 ( Fix( 0 ) dt m Fi ) dt m v ix m 恒量 viiv i vi m i i 0 i0 的速度 t 1 i 1 i 1 i 1


i 1

压缩过程摩擦力的功:
Wf ( M m) gx
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由功能原理:
外力摩擦力所做的功，等于系统（弹簧和物体）机械能的增量
1 2 1 mv 0 2 ( M m ) gx kx ( M m )( ) 2 2 Mm
1 2 kx ( M m ) gx v02 2 1 m ( )2 2 Mm
最后得到：
3-11、两个半径不同的同轴滑轮固定在一起，两滑轮的半径分别为r1
和r2，两个滑轮的转动惯量分别为J1和J2。绳子的两端分别悬挂着两
个质量分别为m1和m2的物体，设滑轮与轴之间的摩擦力忽略不计， 滑轮与绳子之间无相对滑动，绳子的质量也忽略不计，且绳子不可
伸长。试求两物体的加速度的大小和绳子中张力的大小。
a1 a2 T1 T2
m1r1 m2 r2 r1 g
J1 J 2 m1r12 m2 r22
m1r1 m2 r2 r2 g
2 J J m r 1 2 2 2 m2r1r2 m1g 2 J J m r 1 2 1 1 m1r1r2 m2 g
2 1
两式相加得； 4. 动能定理 两式相加得； f 12 f 21 B

t1



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只要两质点有相对位移，内力作功之和就不为零
dW f21 dr21
质点组的动能定理: 一切外力所作的功与一切内力所作 的功的代数和等于质点组动能的增量。 Mm
则W外力 W内力 Ek Ek 0
k=100N/m，子弹射入木块后，弹簧被压缩10cm，求子弹的速度 。
设木块与平面间的滑动摩擦系数为0.2。 解:碰撞瞬间系统满足动量守恒：
k
M
m
mv 0 ( M m)v v mv 0 Mm 碰撞后系统的动能: 1 ( M m )v 2 2 1 2 弹簧压缩后的弹性势能: kx 2
0 0
θ
1 mga sin θ ka 2θ 2 2
（2）用功能原理求解：

o
A
B
取物体、弹簧、地球所组成的质点组为研究对象，物体m所受 重力、弹力为系统内力，且为保守内力。物体m受外力为F和支持力N， N处处与运动方向垂直不作功。 我们选取B点为重力势能，弹性势能的势能零点，由功能定理得
WF EC EB ( mga sin θ
F dA Fdx
F ma
m
M
J
F dt
d A M d
M J
M dt
F dt P P
0
M dt L L
0
1 2 1 2 F d x 2 mv 2 mv0
1 2 1 2 M d J J 0 2 2
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典型题：
( Ek E p ) ( Ek 0 E p0 )
功能原理: 外力和非保守内力作功之和，等于系统 机械能的改变量
W ＋W
外
內非
=( Ek E p ) ( Ek 0 E p 0 ) E
6.机械能守恒定律
W ＋W
外
內非
0 Ek E p Ek 0 E p 0
2.刚体定轴转动定律 质点的角动量定理：
d ( r mv ) d L M rF dt dt
质点的角动量：L r mv
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刚体的角动量：
2 ( r m v ) ( r m r ω ) ( m r i i i i i i i )ω Jω i i i i
m2
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解：杆从水平位置摆到竖直位置， 应用机械能守恒； l，m1 杆自水平位置摆到铅直位置时， 设杆在铅直位置时角速度为ω， 并以地面为势能的零点，由机械 能守恒定律可以得到：
m2
1 1 2 J m1 g l m1 gl 2 2 1 2 J m1l 3
l，m1

分析：可以分成三个过程。
O
（1）杆从水平位置摆到竖直位置，只 有重力做功，所以机械能守恒； （2）杆与物体发生碰撞。把杆和物体 作为一个系统，没有受到外力矩的 作用，所以系统角动量守恒。系统 的动量不守恒。（杆受到轴力的外 力作用）； （3）物体和杆分别运动。物体滑动， 摩擦力做功，可以由功能原理求距 离，杆上升过程，机械能守恒。
v v0 ( t 0 ) adt
r r0 ( t 0 ) vdt
t0
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t
直角坐标分量
பைடு நூலகம்
自然坐标分量
v 2 Fn 法向加速度： an -- 速度方向的变化率 R m dv F 切向加速度： a -- 速度大小的变化率 dt m
由此二式可以得到：

3g l
18

杆与物体发生完全非弹性碰撞时，他们将拥有共同 的速度v，由于系统没有受到外力矩的作用，所以角 动量守恒，设碰撞后的角速度为ω’，有：
J J ' m2vl 而v 'l
解以上两式，并且代入ω的值，得到：
m1 J ' J m2l 2 1 m l 2 m l 2 m1 3m2 1 2 3 m1 3 gl v m1 3m2 1 2 m1l 3 3g l
i 1

i 1
1 1 2 2 f f W F d r E E mv mv 12 21 t AB k k0 0 A 2 2 t 2 2 dt ( m1 v1 m 2 v 20 ) ( m1 v10 m 2 v 20 ) t F1 F F2 dt ( m1 v1 m 2 v 20 ) ( m1 v10 m 2 v 20 ) 质点的动能定理 F1:合力对质点所做的功等于质点动能的改变量。
t2
低速宏观
dv d P F m dt dt

t t0
Fdt dP P P0
P0
P
合外力的冲量，等于物体动量的改变量。
m F1 f12 dtm m v m m1 v v10 1 : 1 1 m : F f dt v 1 1 1 1 10 t1 1 t1 12 3.动量守恒定律

合外力矩作的功
刚体转动动能
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质点的直线运动与刚体定轴转动规律对照
质点的直线运动 d v d2 x dx a 2 v dt dt dt 1 2 E mv P mv k 2 刚体的定轴转动 d d2 d 2 dt dt dt 1 L J Ek J 2 2
J1 J 2 m1r12 m2 r22
J1 J 2 m1r12 m2 r22
J1 J 2 m1r12 m2 r22
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例.长为l质量为m1的匀质细杆，可绕通过O点垂直于纸 面的轴转动，令杆自水平位置静止摆下，在铅直位置 处与质量为m2的物体发生完全非弹性碰撞，如图，碰 后物体沿摩擦系数为μ的水平面滑动，求此物体滑过的 距离以及杆上升的角度。
在只有保守内力作功情况下，质点系的总机械能保持不变。
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典型题：
2－18 如图所示，一弹簧劲度系数为k，一端固定在A点，另一端连 一质量为m的物体，靠在光滑的半径为a的圆柱体表面上，弹簧原长 为AB。在变力F 作用下，物体极缓慢地沿表面从位置B移到C，求力 F 所做的功。（1）用积分法作；（2）用功能原理作。 解： （1）用积分法求解： 取物体m为研究对象作受力分析如图a所示， 由于沿圆柱体表面的运动极其缓慢，可认为 任意时刻物体都受力平衡，即：
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4.角动量守恒定律
M 0 L r mv 恒矢量 M 合外 0 L Jω 恒量
d d d d M J J J J dt d dt d
5. 刚体定轴转动的动能定理
1 1 2 W Md J d J J 0 2 0 0 2 2
l，m1
m2
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设物体在地面上滑过的距离为s，由功能原理得到：
1 fs 0 m2 v 2 2 f N m2 g
由此可以得到：
3lm2 s 2 (m1 3m2 )2
设摆上升的角度为θ，由机械能守恒定律得到：
1 l 2 J ' m1 g (1 cos ) 2 2
运动的角量描述：
d 角位置： ( t )； 角速度： ; dt d d 2 角加速度： 2 dt dt
角量与线量的关系
v R , a R , an
v R
2
R
R
2
R 2
3
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二、质点（组）动力学 1.牛顿三定律 F ma 2.动量定理
vC v B
1 2 2 1 1 2 2 ka θ mvc ) mv B 2 2 2 1 WF mga sin θ ka 2θ 2 2
，弹簧性力
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例： 如图所示，测子弹速度的一种方法是把子弹水平射入一个固定
在弹簧上的木块内，由弹簧压缩的距离就可以求出子弹的速度。已 知子弹质量m=0.02kg，木块质量M=8.98kg，弹簧的劲度系数