同济高等数学公式大全

x y
x y z
全微分的近似计算：z dz f x (x, y)x f y (x, y)y
多元复合函数的求导法 ：
z
f [u(t),v(t)] dz dt
z u
u t
z v
v t
z
f [u(x, y),v(x, y)] xz
z u
u x
z v v x
当u u(x, y)，v v(x, y)时，
2
2
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
n
(uv)(n)
C
k n
u
(nk
)
v
(
k
)
k 0
u (n)v nu (n1)v n(n 1) u (n2)v n(n 1)(n k 1) u v (nk ) (k ) uv(n)
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b) f (a) f ( )(b a) 柯西中值定理：f (b) f (a) f ( )
1 a
arctg
x a
C
dx
x2 a2
1 ln 2a
xa xa
C
dx
a2 x2
1 ln 2a
ax ax
C
dx arcsin x C
a2 x2
a
dx cos 2
x
sec2
xdx
tgx
C
dx sin 2
x
csc2
xdx
ctgx
C
sec x tgxdx sec x C
csc x ctgxdx csc x C
向量在轴上的投影：Pr ju AB AB cos,是 AB与u轴的夹角。
Pr a
bju(aa1
a2 ) Pr ja1 b cos ax
bx
Pr ja2 ayby
azbz
,是一个数量,
两向量之间的夹角：cos
axbx ayby azbz
ax 2 ay 2 az 2 bx 2 by 2 bz 2
若空间曲线方程为：GF ((xx,,
y, y,
z) z)
0
,则切向量T
0
{
Fy Gy
Fz , Fz G z Gz
Fx , Fx G x Gx
Fy } Gy
曲1、面过F此(x点, y的, z)法向0上量一：点n M {(Fxx0(,
y0 , x0 ,
z0 y0
)，则： , z0 ), Fy (
x0
,
c
a
b
i ax
j ay
k az
,
c
a
b
sin .例：线速度：v
w r.
bx by bz
向量的混合积：[abc]
(a
b)
c
ax bx
ay by
az bz
a
b
c
cos
,为锐角时，
cx cy cz
代表平行六面体的体积 。
平面的方程： 1、点法式：A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0，其中n {A, B,C}, M 0 (x0 , y0 , z0 ) 2、一般方程：Ax By Cz D 0
shx chx
ex ex
ex ex
arshx ln(x x2 1）
archx ln(x x2 1)
arthx
1 2
ln
1 1
x x
两个重要极限：
lim sin x 1 x0 x
lim(1 1)x e 2.718281828459045...
x
x
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同济版高等数学公式
三角函数公式： ·诱导公式：
3、截距世方程：x y z 1 abc
平面外任意一点到该平面的距离：d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2
空间直线的方程：x x0 m
y y0 n
z z0 p
t,其中s
{m,
n,
x p};参数方程： y
x0 y0
mt nt
z z0 pt
二次曲面：
1、椭球面：x a
隐函数方程组：G(
x,
y,
u,v)
J 0
(F,G) (u, v)
u G
v G
Fu Gu
Fv Gv
u v
u 1 (F,G) v 1 (F,G)
x J (x,v)
x J (u, x)
u 1 (F,G) v 1 (F,G)
y J ( y,v)
y J (u, y)
s0 s ds
(1 y2 )3
直线： K 0;
半径为 a的圆： K 1 . a
定积分的近似计算：
b
矩形法：
a
f
(x)
b
n
a
(
y0
y1
yn1 )
b
梯形法：
a
f
(x)
b
n
a
[1 2
(
y0
yn
)
y1
yn1 ]
b
抛物线法：
a
f
(x)
ba 3n
[(
y0
yn
)
2(
y2
y4
yn2
)
4(
y1
y3
yn1 )]
270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα
360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα
360°+α sinα cosα tgα ctgα
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tg (
)
tg 1 tg
(arctgx
)
1
1 x
2
(arcctgx
)
1
1 x
2
基本积分表：
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同济版高等数学公式
tgxdx ln cos x C
ctgxdx ln sin x C
sec xdx ln sec x tgx C
csc xdx ln csc x ctgx C
dx
a2 x2
a xdx a x C
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx ln(x x2 a2 ) C
x2 a2
In
2
sin n
0
xdx
2
0
cos n
xdx
n
n
1
I
n2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 ) C
2
2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln x x2 a2 C
1 cos
2
2
2
2
tg
2
1 cos 1 cos
1 cos sin
sin 1 cos
ctg
2
1 cos 1 cos
1 cos sin sin 1 cos
·正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
·余弦定理： c2 a2 b2 2ab cosC
·反三角函数性质： arcsin x arccos x arctgx arcctgx
du
u x
dx
u y
dy dv
v x
dx
v y
dy
隐函数的求导公式：
隐函数F (x,
y)
0， dy dx
Fx Fy
， d 2 y dx 2
x
(
Fx Fy
)＋ y
(
Fx Fy
)
dy dx
隐函数F (x, y, z) 0， z Fx ， z Fy
x Fz
y Fz
F F
F (x, y,u,v) 0
微分法在几何上的应用：
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同济版高等数学公式
x (t)
空间曲线 y z
(t)在点M (t)
(x0 ,
y0
,
z
0
)处的切线方程：x
x0 (t0 )
y Leabharlann Baidu
y0 (t0 )
z z0 (t0 )
在点M处的法平面方程： (t0 )(x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
柱面坐标和球面坐标：
cos 2 2 cos2 1 1 2 sin2 cos2 sin2
ctg 2
ctg 2 1 2ctg
tg 2
2tg 1 tg 2
sin 3 3sin 4sin3
cos3 4 cos3 3cos
tg3
3tg tg3 1 3tg 2
·半角公式：
sin
1 cos
cos
F (b) F (a) F ( ) 当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
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同济版高等数学公式
弧微分公式： ds 1 y2 dx,其中y tg
平均曲率：K
s
.
: 从M点到M点，切线斜率的倾角变
化量； s：MM 弧长。
M点的曲率： K lim d
y .
D
D
曲面z f (x, y)的面积A
D
1
z x
2
z y
2
dxdy
平面薄片的重心：x
Mx
x(x, y)d
D
, y
My
y(x, y)d
D
M (x, y)d
M (x, y)d
D
D
平面薄片的转动惯量：对于x轴I x y2 (x, y)d , 对于y轴I y x2 (x, y)d
方向导数与梯度：
函数z f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为：f f cos f sin
l x
y
其中为x轴到方向l的转角。
函数z
f (x, y)在一点p(x, y)的梯度：gradf (x, y)
f x
i
f y
j
它与方向导数的关系是 ：f
grad
f
(x,
y)
e，其中e
y0
,
z0
),
Fz
(
x0
,
y0
,
z
0
)}
2、过此点的切平面方程：Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
3、过此点的法线方程： x x0 y y0 z z0 Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
三角函数的有理式积分：
sinx
2u 1u2
， cosx
1u2 1u2
， u
tg
x， dx 2
2du 1u2
一些初等函数：
双曲正弦 : shx e x ex 2
双曲余弦 : chx e x ex 2
双曲正切 : thx
cos
i
sin
j，为l方向上的
l
单位向量。
f l
是gradf
(x,
y)在l上的投影。
多元函数的极值及其求法：
设 f x ( x0 , y 0 ) f y ( x0 , y 0 ) 0，令： f xx ( x0 , y 0 ) A, f xy ( x0 , y 0 ) B , f yy ( x0 , y 0 ) C
D
D
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M (0,0, a),(a 0)的引力：F {Fx , Fy , Fz}，其中：
Fx f
(x, y)xd 3， Fy f
(x, y) yd 3， Fz fa
(x, y)xd
3
D (x2 y2 a2)2
D (x2 y2 a2)2
D (x2 y2 a2)2
tg tg
ctg(
)
ctg ctg
ctg 1 ctg
·和差角公式：
sin
sin
2 sin
cos
2
2
sin
sin
2 cos
sin
2
2
cos
cos
2 cos
cos
2
2
cos
cos
2 sin
sin
2
2
·和差化积公式：
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同济版高等数学公式
·倍角公式：
sin 2 2sin cos
导数公式：
(tgx) sec2 x
(ctgx) csc2 x
(sec x) sec x tgx
(csc x) csc x ctgx
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln a
同济版高等数学公式 同济版高等数学公式
(arcsin x) 1 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
2 2
y2 b2
z2 c2
1
2、抛物面：x2 y2 z（, p, q同号） 2 p 2q
3、双曲面：
单叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
（1 马鞍面）
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同济版高等数学公式
多元函数微分法及应用
全微分：dz z dx z dy du u dx u dy u dz
则：
AC AC
B2 B2
0时，
A A
0, ( x0 0, ( x0
, ,
y0 y0
)为极大值 )为极小值
0时， 无极 值
AC
B2
0时 , 不确定
重积分及其应用：
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同济版高等数学公式
f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd
定积分应用相关公式：
功：W F s
水压力：F p A
引力：F
k
m1m2 r2
, k为引力系数
函数的平均值：y
1
b
f (x)dx
ba a
均方根： 1
b
f 2 (t)dt
ba a
空间解析几何和向量代数：
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同济版高等数学公式
空间2点的距离：d M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
函数
sin cos tg ctg 角A
-α
-sinα cosα -tgα -ctgα
90°-α
cosα sinα ctgα tgα
90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα
180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα
180°+α -sinα -cosα tgα ctgα
270°-α -cosα -sinα ctgα tgα