初二折叠问题

1、如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90º，沿着B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合。

当∠A 满足什么条件时，点D 恰好是AB 的中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 中点。

2、将长方形ABCD 的纸片，沿EF 折成如图所示，延长C`E 交AD 于H ，连结GH 。

求证：GEHF 是菱形
4、如图，AD 是❒ABC 的中线，∠ADC=45º，把❒ADC 沿AD 对折，点C 落在点C'的位置，求BC'与BC 之间的数量关系。

5、在梯形纸片
ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '． （1）求证：四边形CDC E '是菱形；
（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明．
A
B
C
E D
A
B
C
D
C'
B
A D F E
D'
C'
G H
6、如图，将一张对边平行的纸条先沿 折叠，点A 、B 分别落在 、 处，线段 与 交于点 ，再将纸条的另一部分 沿 折叠，点C 、D 分别落在 、 处，且使 经过点 ． （1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）当翻折角 度时，四边形是菱形．（将答案直接填写在横线上）∠EMF=90o
C'
B’
D‘
B M C
E
A F D
7、现有一张矩形纸片ABCD （如图），其中AB=4㎝，BC=6㎝，点E 是BC 的中点。

实施操作将直线AE 对折，使点B 落在梯形AECD 内，记为点B / （1）请用尺规，在图中作出 (保留作图痕迹)； （2）试求B / 、C 两点之间的距离。

在画出图形的基础上，根据轴对称变化的性质，可得3,4''====E B BE AB AB 。

根据等面积法，
通过求四边形
A AB
B '的面积，可求得=
'BB 5
12。

根据在三角形中,一边中线等于这条边的一半,则此三
角形是直角三角形，可得'
CBB ∆是直角三角形。

根据勾股定理，可得()2
5
122'
6-=C
B =
215
6
8、（如图1）将一张长方形纸对折可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续对折六次能得到几条折痕，n 次有几条折痕？
图1
分析：在这个折叠问题中对折方式不变，变化的是随着对折次数的增加折痕有规律的增加，情况如下表
对折次数 折痕 规律
n ... 2n -1
6 63 26-1 5 31 25-1 4 15 24-1 3
7 23-1 2 3 22-1 1 1 21-1
所以对折6次能得到63条折痕，对折n 次可得到( 2n -1 )条折痕。

9、将矩形纸片ABCD （如图7-1）对折，折痕为MN ，将AB 一边折起，使点A 落在MN 上点A ′处（如图7-2），求∠ABE 的度数？
A’
E
D M C
A N B
A N
B D M C
（ 图7-1） （ 图7-2）
分析：矩形ABCD 沿MN 对折，点A 落在MN 上点A ′处， 则 AB =A ′B
因为 点N 为的AB 的中点，即NB =1∕2AB NB =1∕2A ′B
在Rt △A ′NB 中，∠NA ′B =30o ∠NBA ′=60o 在折叠过程中 △EAB ≌△E A ′B 所以 ∠ABE=30o
10、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．
A 、3
B 、2
C 、3
D 、32 根据互余,图中三角形全部相似(包括全等)
11、如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E. （1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明.
（2）若AB=8，DE=3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ，试求PG+PH 的值，并说明理由.
12、将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．
如图①，将一组对边平行的纸条沿EF折叠，点A，B分别落在A′，B′处，线段FB′与AD交于点M．（1）试判断△MEF的形状，并证明你的结论；
（2）如图②，将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C，D分别落在C′，D′处，且使MD′经过点F，试判断四边形MNFE的形状，并证明你的结论；
（3）当∠BFE= 度时，四边形MNFE是菱形．
（1）由AD∥BC，得∠MEF=∠EFB．由折叠的性质知∠MFE=∠EFB，所以∠MEF=∠MFE?ME=MF，即△MEF为等腰三角形．
（2）由（1）知ME=MF，同理NF=MF，∴ME=NF．即ME与NF平行且相等，故四边形MNFE为平行四边形．
（3）若平行四边形MNFE是菱形，则等腰三角形△MEF应为等边三角形，故∠MEF=∠BFE=60度．（1）△MEF为等腰三角形．
证明：∵AD∥BC，∴∠MEF=∠EFB．
∵∠MFE=∠EFB，∴∠MEF=∠MFE．
∴ME=MF，即△MEF为等腰三角形．
（2）四边形MNFE为平行四边形．
证法一：∵ME=MF，同理NF=MF，∴ME=NF．
又∵ME∥NF，∴四边形MNFE为平行四边形．
证法二：∵AD∥BC，∴∠EMF=∠MFN．
又∵∠MEF=∠MFE，∠FMN=∠FNM，∴∠FMN=∠MFE，∴MN∥EF．
∴四边形MNFE为平行四边形．
注：其他正确证法同样得分．
（3）60．
一张长方形纸片宽AB=8cm，长BC=10cm，现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），求EC的长．
从点对折:
①利用勾股定理EF2=CF2+CE2,而CF=BC-BF,而BF2=AF2-AB2
②利用相似三角形△ABF∽△CEF
③④
如图，长方形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上．
（1）如图（1），当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时，求AF的长；
（2）如图（2），当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时，求AF的长．
邻边对折(1)利用勾股定理AF2+AE2=EF2(或BF2)
对边对折(2)利用菱形BGDF+勾股定理△ABF
如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落在C′处，折痕EF与BD交于点O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的长．
分析：连接BE，利用折叠的性质证明四边形BEDF为菱形，设DF=FB=x，在Rt△ABD中，由勾股定理求BD，在Rt△ADF中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求EF．也可勾股定理
已知：如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴，y轴上，点A坐标为(0,3)，∠OAB=60º，以AB为轴对折后，使C点落在D点处，求D点坐标。

设AD,OB交点为E,则△AOE≌△BDE,至于D的坐标利用直角边之积=斜边高之积。