复合函数求导法则及其应用
复合函数的求导法则的合理证明及典型应用
复合函数的求导法则的合理证明及典型应用
复合函数求导，也被称为链式法则、联立法则，是指从给定的函数派生另一个函数的一种方法。
它有助于解决数学问题以及求解复杂函数，同时也是现代微积分领域中最重要的概念之一。
复合函数求导法则与一般求导法则有着类似的公理：如果y=f(u)，u=g(x)，则dy/dx=dy/du×du/dx。
以此推导，根据链式法则，它可以被看作两个相互独立的函数求导的结果的乘乘积，也就是f'(u)*g'(x)的结果。
进而可以证明，无论函数如何复杂、多层复合，一直到最底层元素，复合函数求导法则所得出的结果一致。
综上，复合函数求导法则可以明显地提升复杂函数求导的效率，无论函数有多少层，只要把一层一层的求解下去，总能得出正确的结果。
这也正是复合函数求导的一个相当重要的应用。
典型的应用可以比如，求解复杂的曲线上某一点的斜率，例如y=sin(x)^2,则dy/dx=2sin(x)cos(x)，显然，可以先解sinx的导数，再使用复合函数求导法则，先求出sinx的导数×cosx的导数，从而求出结果。
因此，复合函数求导法则具有广泛的应用，被用来求解数学问题以及复合函数求导。
只要严格遵守上述原理，利用它应用至多层复合函数，也可以将复杂的结果简单化。
高中数学复合函数的求导规则及应用实例
高中数学复合函数的求导规则及应用实例一、引言在高中数学中，复合函数是一个重要的概念。
它是由两个或多个函数组合而成的函数，通过对复合函数的求导，可以帮助我们解决一些实际问题。
本文将介绍复合函数的求导规则，并通过实例来说明其应用。
二、复合函数的求导规则1. 链式法则复合函数的求导可以使用链式法则进行计算。
链式法则可以表示为：设函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为dy/dx=f'(u)g'(x)。
其中，f'(u)表示函数f(u)对u的导数，g'(x)表示函数g(x)对x的导数。
2. 基本导数公式在使用链式法则求导之前，我们需要掌握一些基本的导数公式。
例如，常数函数的导数为0，幂函数的导数为n*x^(n-1)，指数函数的导数为a^x*ln(a)。
三、应用实例1. 实例一：求复合函数的导数考虑函数y=(2x+1)^3，我们需要求其导数。
首先，我们可以将函数表示为y=u^3，其中u=2x+1。
然后，对u求导得到u的导数为du/dx=2。
接下来，对y求导，根据链式法则，dy/dx=3u^2*du/dx=3(2x+1)^2*2=6(2x+1)^2。
2. 实例二：求复合函数的导数考虑函数y=sin(3x)，我们需要求其导数。
首先，我们可以将函数表示为y=f(u)，其中u=3x，f(u)=sin(u)。
然后，对u求导得到u的导数为du/dx=3。
接下来，对y求导，根据链式法则，dy/dx=f'(u)g'(x)=cos(u)*3=3cos(3x)。
四、总结通过本文的介绍，我们了解了复合函数的求导规则及其应用实例。
在求解复合函数的导数时，我们可以使用链式法则来简化计算过程。
通过掌握基本的导数公式，我们可以更加灵活地应用链式法则。
在实际问题中，复合函数的求导可以帮助我们解决一些复杂的数学问题，提高问题的解决效率。
五、应用建议对于高中学生和他们的父母来说，掌握复合函数的求导规则及其应用是非常重要的。
2_1_3 复合函数的导数 高等数学 微积分 考研数学
th x sh x ch x
a x ex ln a
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例2. 设 y ln cos(ex ) , 求 dy . dx
解:
dy dx
1 cos(ex
)
(sin(ex )) ex
ex tan(ex )
思考: 若 f (u) 存在 , 如何求 f (ln cos(ex )) 的导数?
u0 u
y f (u)u u （当 u 0 时 0 )
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f (u)
dy dx
lim y x0 x
lxim0
f
(u) u x
பைடு நூலகம்
u x
f
(u ) g ( x)
Page 2
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如, y f (u) , u (v) , v (x)
d f f ( ln cos(ex ) ) (ln cos(ex )) dx
这两个记号含义不同
f (u) uln cos(ex )
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例3. 设 y cot x tan 2 , 求 y.
2
x
解： y csc2 x 1 1 sec2 2 2( 1 1 )
2 22 x
x
2 x3
1 csc2 x 1 sec2 2
4x
2
x3
x
2 . 设 y f ( f ( f (x))), 其中 f (x) 可导, 求 y.
解: y f ( f ( f (x))) f ( f (x) ) f (x)
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§2.1.3 复合函数的求导法则
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
复合函数求导公式复合函数综合应用
复合函数求导公式复合函数综合应用假设有函数y=f(u)和u=g(x)，其中y是一个关于u的函数，u是一个关于x的函数。
我们希望求得y关于x的导数dy/dx。
首先，我们需要求得函数y关于u的导数dy/du。
这可以通过对函数f(u)求导得到。
假设f(u)的导数为df/du，则dy/du=df/du。
接下来，我们需要求得函数u关于x的导数du/dx。
这可以通过对函数g(x)求导得到。
假设g(x)的导数为dg/dx，则du/dx=dg/dx。
最后，我们可以通过链式法则来求得y关于x的导数dy/dx。
链式法则指出，如果z是一个关于u的函数，u是一个关于x的函数，则z关于x的导数dz/dx可以表示为dz/du乘以du/dx，即dz/dx=dz/du * du/dx。
将这个原理应用到我们的问题中，可以得到dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
代入我们之前求得的dy/du和du/dx，可以得到dy/dx=(df/du)*(dg/dx)。
这就是复合函数求导公式。
根据这个公式，我们可以求得复合函数关于自变量的导数。
下面，我们来看一个关于复合函数的综合应用问题。
假设有一个函数y=f(u)和u=g(x)，其中f(u)和g(x)分别为：f(u)=2u^2+ug(x)=3x-1我们希望求得函数y关于x的导数dy/dx。
首先，我们可以求得函数y关于u的导数dy/du。
由于f(u) = 2u^2+ u，我们可以对f(u)求导，得到df/du = 4u + 1接下来，我们求得函数u关于x的导数du/dx。
由于g(x) = 3x - 1，我们可以对g(x)求导，得到dg/dx = 3最后，我们根据复合函数求导公式，可以得到dy/dx = (df/du) * (dg/dx) = (4u + 1) * 3这样，我们就求得了函数y关于x的导数dy/dx，即dy/dx = (4u + 1) * 3需要注意的是，我们还没求得u关于x的表达式。
反函数复合函数求导法则和基本求导公式
反函数复合函数求导法则和基本求导公式一、反函数求导法则：设函数y=f(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)≠0，设F(x)是f(x)在[a,b]上的反函数，则F'(x)=1/f'(F(x))。
证明：对于函数y=f(x)在区间[a,b]上的其中一点x，设其反函数为y=F(x)。
则根据反函数的定义可知：f(F(x))=x两边同时对x求导，则有：f'(F(x))*F'(x)=1由此可得：F'(x)=1/f'(F(x))这即为反函数求导法则。
二、复合函数求导法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由函数u=g(x)和函数y=f(u)复合而成的复合函数，则其导函数为：dy/dx = f'(u) * g'(x)证明：根据链式法则，设y=f(u)，u=g(x)，则由复合函数求导法则可知：dy/du = f'(u)du/dx = g'(x)将以上两个导数代入复合函数的导数公式中，则有：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)这即为复合函数求导法则。
三、基本求导公式：1.常数函数的导数：(c)'=0，其中c为常数。
证明：设y=c，其中c为常数，则有：Δy/Δx=0当Δx趋近于0时，上式可进一步得到：dy/dx = 0因此，常数函数的导数为0。
2.变量的幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中n为常数。
证明：设y=x^n，其中n为常数，则有：Δy/Δx=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx根据二项式定理展开(x+Δx)^n，这里不再赘述，从展开后的表达式中可以看出，除了形如x^n的一项，其他各项都含有Δx。
因此当Δx趋近于0时，可以将这些含有Δx的项直接忽略，只剩下一项：dy/dx = n*x^(n-1)这就是变量的幂函数的导数公式。
3.e^x的导数：(e^x)'=e^x。
学案解复合函数的求导法则与应用
学案解复合函数的求导法则与应用一、引言复合函数是高等数学中的重要概念之一，求导法则是求解复合函数导数的基本工具。
在本学案中，将详细介绍复合函数的求导法则以及其应用，以帮助学生理解并掌握这一知识点。
二、复合函数的求导法则复合函数的求导法则可以简单总结为链式法则。
设函数y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))也是可导函数，其导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数f(u)关于u的导数，du/dx表示函数g(x)关于x 的导数。
三、复合函数求导法则的具体应用1. 基本类型在讲解复合函数求导法则的具体应用之前，首先介绍几个基本类型的复合函数求导。
（1）对常数函数与自身的复合设u=g(x)为可导函数，且c为常数，则复合函数y=f(c)的导数为0。
（2）对幂函数与自身的复合设u=g(x)为可导函数，且n为常数，则复合函数y=f(u^n)的导数为dy/du * du/dx = n*u^(n-1) * g'(x)。
（3）对指数函数与自身的复合设u=g(x)为可导函数，则复合函数y=f(a^u)的导数为dy/du * du/dx = ln(a)*a^u * g'(x)。
（4）对对数函数与自身的复合设u=g(x)为可导函数，则复合函数y=f(log_a(u))的导数为dy/du * du/dx = 1/(u*ln(a)) * g'(x)。
2. 特殊类型（1）复合函数中含有三角函数的情况设u=g(x)为可导函数，且y=f(u)=sin(u)，则复合函数y=sin(g(x))的导数为dy/du * du/dx = cos(u) * g'(x)。
（2）复合函数中含有反三角函数的情况设u=g(x)为可导函数，且y=f(u)=arcsin(u)，则复合函数y=arcsin(g(x))的导数为dy/du * du/dx = 1/sqrt(1-u^2) * g'(x)。
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
复合函数求导公式_复合函数综合应用
导数的运算法则及基本公式应用一、常用的求导公式2 经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x+y =0 B x －y =0或25x+y =0 C x +y =0或25x－y =0D x －y =0或25x－y =04 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程 (2)y =31xx-例2 已知曲线C y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标解 由l 过原点，知k =x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴x y =x 02－3x 0+2 y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2 又k =x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a-========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x==则2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83) 1.函数y =2)13(1-x 的导数是 A.3)13(6-x B.2)13(6-x C.－3)13(6-x D.－2)13(6-x 2.已知y =21sin2x +sin x ,那么y ′是 A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 3.函数y =sin 3(3x +4π)的导数为 A.3sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) B.9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π)C.9sin 2(3x +4π)D.－9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π)5.函数y =cos2x +sin x 的导数为A.－2sin2x +xx2cos B.2sin2x +xx 2cosC.－2sin2x +xx 2sin D.2sin2x －xx 2cos。
复合函数的导数及导数的运算法则
复合函数的导数及导数的运算法则复合函数是指由两个或多个函数组成的函数。
在求复合函数的导数时，需要使用链式法则，即将函数的导数作为求导的一部分。
设有两个函数f(x)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
我们的目标是求解复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx。
根据链式法则，dy/dx可以表示为：dy/dx = df(g(x))/dx根据上述公式，我们可以按照以下步骤求导：Step 1: 首先对f(g(x))进行求导，即求df(g)/dg。
Step 2: 然后对g(x)进行求导，即求dg(x)/dx。
Step 3: 最后将求导得到的结果相乘，即df(g)/dg * dg(x)/dx =dy/dx。
下面我们讨论一些常见的复合函数和它们的导数运算法则。
1. 复合函数的链式法则（Chain Rule）设有函数f(u)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(u)和g'(x)分别表示f(u)和g(x)的导数。
例如，如果y=(2x+1)^3，则可以将它表示为y=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则：dy/dx = 3u^2 * du/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^22.复合函数中的乘法法则如果复合函数中有乘法运算，则可以使用乘法法则来求导。
例如，如果y=x^2*e^x，则可以使用乘法法则来求导：dy/dx = (d/dx)(x^2) * e^x + x^2 * (d/dx)(e^x)对于每一项使用基本求导法则：dy/dx = 2x * e^x + x^2 * e^x3.复合函数中的除法法则如果复合函数中有除法运算，则可以使用除法法则来求导。
例如，如果y=(x^2+1)/(x-1)，则可以使用除法法则来求导：dy/dx = [(d/dx)(x^2 + 1)(x - 1) - (d/dx)(x - 1)(x^2 + 1)]/(x - 1)^2再对每一项使用基本求导法则：dy/dx = [(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)]/(x - 1)^24.复合函数中的三角函数法则如果复合函数中包含三角函数，则可以使用三角函数法则来求导。
导数的复合求导法则
导数的复合求导法则导数的复合求导法则是微积分中的重要内容，它可以帮助我们计算含有复合函数的导数。
在复合函数中，一个函数嵌套在另一个函数内部，我们需要利用复合求导法则来计算这个复合函数的导数。
复合求导法则有两个部分：链式法则和指数法则。
一、链式法则：链式法则是计算复合函数导数的一种方法，它适用于函数嵌套的情况。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)其中，(dy/du)表示外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数，(du/dx)表示内函数u=g(x)对自变量x的导数。
链式法则的推导过程如下：1.设复合函数为y=f(g(x))，其中u=g(x)。
2. 通过求导的定义，可以计算出dy/du，即外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数。
3. 通过求导的定义，可以计算出du/dx，即内函数u=g(x)对自变量x的导数。
4. 接着，将dy/du和du/dx相乘即可得到复合函数y=f(g(x))的导数：dy/dx = dy/du * du/dx。
链式法则的一个重要应用是计算嵌套函数的高阶导数。
利用链式法则，我们可以推导出计算嵌套函数高阶导数的公式。
例如，对于二阶导数，我们可以将链式法则应用两次来计算。
二、指数法则：指数法则是计算含有指数函数的复合函数导数的一种方法。
指数函数是指以常数e为底的自然指数函数，例如f(x) = e^x。
对于指数函数e^x，其导数等于其本身。
即d(e^x)/dx = e^x。
当复合函数中出现指数函数时，我们可以利用指数法则来计算其导数。
指数法则有两种形式：1. 对于一般形式的复合函数：y = e^(g(x))，其中u = g(x)。
则该复合函数的导数为dy/dx = (e^(g(x))) * g'(x)。
2. 对于特殊情况：y = a^(g(x))，其中a为常数。
则该复合函数的导数为dy/dx = (a^(g(x))) * ln(a) * g'(x)。
复合函数求导
复合函数的求导法则可以写成: 复合函数的求导法则可以写成
dy dy du = dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求 即因变量对自变量求导， 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为: 复合函数的微分公式为
n n1 (sin x n ) ′(sin x n ) cos x n nx n1
= n 3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
n1 (sin x n ) f ′[ n (sin x n )] ′(sin x n ).
三、一阶微分的形式不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x )
第四节
复合函数求导 法则及其应用
一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数 五、对数求导法 六、参数形式的函数的求导公式
一、复合函数求导法则
定理4.4.1 (复合函数求导法则 ) 设函数 u = g( x ) 在 x0可导， 可导， 定理 复合函数求导法则 处可导， 而函数 y = f (u) 在 u0 = g( x0 ) 处可导，则复合函数 y = f [ g( x )] 在 x0 可导，且有 可导，且有:
d[ f ( g( x))] = f ′(u) g′( x)dx
推广
设 y = f ( u), u = (v ), v = ψ ( x ),
则复合函数
y = f { [ψ ( x )]}的导数为 :
dy dy du dv = dx du dv dx
例4.4.1 解: 求函数 y = ln sin x 的导数 .
复合导数求导法则
复合导数求导法则复合导数求导法则，是微积分课程中的一个重要内容，是在求一个函数的导数时，将该函数看作由两个或多个内部函数组合而成，通过对其内部函数求导计算得出该函数的导数。
本文将介绍复合导数的概念、计算方法和一些应用。
一、复合函数的概念复合函数是由两个或多个函数所组成的函数，其中一个函数的值域是另一个函数的定义域。
一般地，设函数y=f(u)在点u=g(x)处有定义，则符合函数h(x)=f[g(x)]在点x处有定义。
其中，g(x)为内函数，f(u)为外函数。
二、复合导数的定义复合函数的导数，又称链式法则，是指如果y=f[u(x)]是由一个内函数u(x)组成的外函数f(u)，则y'(x)是给定函数在u(x)处的导数u'(x)和给定函数f(u)在u=u(x)处的导数f'(u(x))积的结果。
即，y'(x) = f'[u(x)] * u'(x)其中，u(x)是内函数，f(u)是外函数，f'(u(x))和u'(x)分别表示f(u)和u(x)在u=u(x)处的导数。
三、复合导数的求法的求解方法分为一元函数和多元函数两类。
(1) 一元函数的求法对于一元函数f(u)，设其内函数为u=g(x)，则复合函数h(x)=f[g(x)]，其中，g(x)是内函数，f(g)=y是外函数。
则有：y' = f'(g)g'(x)其中，f’(g)是f(g)在g处的导数，g’(x)是g(x)在x处的导数。
(2) 多元函数的求法对于多元函数f(x,y)，设其内函数为y=g(x)，则复合函数h(x)=f[x,g(x)]，其中，g(x)是内函数，f[x,g(x)]是外函数。
则有：h'(x) = fx(x,g(x))*1 + fy(x,g(x))*g'(x)其中，fx是f(x,y)对x的偏导数，fy是f(x,y)对y 的偏导数，g'(x)是g(x)对x的导数。
导数复合函数求导法则非常实用
导数复合函数求导法则非常实用在我们学习数学的过程中，导数是一个非常重要的概念，而复合函数的求导法则更是解决许多导数问题的有力工具。
它不仅在理论上有着重要的地位，在实际应用中也发挥着巨大的作用。
首先，让我们来明确一下什么是复合函数。
简单来说，如果一个函数的自变量是另一个函数的输出值，那么这就构成了一个复合函数。
比如说，我们有函数 f(x) ＝ x^2 和 g(x) ＝ 2x ＋ 1，那么 f(g(x)）就是一个复合函数，即（2x ＋ 1)＾2。
那么，为什么我们需要专门的法则来求复合函数的导数呢？这是因为复合函数的结构相对复杂，如果我们只是简单地按照常规的求导方法去做，往往会陷入困境。
而复合函数求导法则就像是一把专门为打开这个难题之锁而打造的钥匙。
复合函数求导法则的核心公式是：若 y ＝ F(G(x)），则 y' ＝ F'（G(x)） G'（x)。
这个公式看起来可能有些抽象，但其实理解起来并不难。
我们可以把它想象成一个链条的传动过程。
G(x)是内部的环节，F(G(x)）是外部的环节。
当内部的环节 G(x)发生微小的变化时，会引起外部环节 F(G(x)）的变化。
而 G'（x)表示内部环节的变化率，F'（G(x)）表示外部环节对于内部环节变化的敏感程度。
两者相乘，就得到了整个复合函数的变化率，也就是导数。
为了更好地理解这个法则，我们来看几个具体的例子。
比如，函数y ＝ sin(2x)，这就是一个复合函数，令 u ＝ 2x，则 y ＝ sin u。
先对 sin u 关于 u 求导，得到 cos u；再对 u ＝ 2x 求导，得到 2。
根据复合函数求导法则，y' ＝ cos(2x) 2 ＝ 2cos(2x)。
再比如，y ＝ e^（3x ＋ 1)。
令 u ＝ 3x ＋ 1，则 y ＝ e^u。
对 e^u 求导得到 e^u，对 u ＝ 3x ＋ 1 求导得到 3。
复合函数的求导法则及其应用
复合函数求导法则及其应用阿文摘 要：主要叙述证明了复合函数求导法则的概念定理，运算法则，性质等，以及在数学分析中的应用。
关键词：复合；函数；求导法则引 言由基本初等函数经过有限次四则运算和复合的函数，可以由下面的复合函数求导法则求出它们的导数。
1复合函数求导法则定理：（复合函数求导法则） 设函数()x g u =x 0=可导，而函数()u f y =在)()(00x u g u ==处可导，则复合函数())(x g f y =在x x 0=可导，且有()()[]()()()()()x x x u g g f g f x g f x x 00000''=''='= .证明：因为()u f y =在u 0处可导，所以可微。
由可微的定义，对任意一个充分小的0≠∆u ，都有()()()u u f f u f u u u ∆+∆'='-∆+α000 ，其中0lim 0=→∆α 。
因为当0=∆u 时0=∆y ，不妨规定当0=∆u 时0=α，因此上式对0=∆u 也成立。
设()()()00≠∆-∆+=∆x g x gu x x ，在上式两边同时乘以x ∆，则有()()()()()xux u f xg f x g f u x x ∆∆+∆∆'=∆-∆+α000 ， 由函数()x g u =在x x 0=可导，既有()x g xux 00lim '=∆∆→∆ ，且此式也蕴含了0lim 0=∆→∆u x 。
注意到在0→∆x 的过程中，或者0=∆u 有，这时有0=α；或者有0≠∆u ，但u ∆趋于0 ，因此由0lim 0=→∆αu ，可知0lim 0=→∆αu 。
于0→∆x ，得到()()()()xg f x g f dx dyx x x ∆-∆+=→∆000lim=()xu x u f x x x u ∆∆+∆∆'→∆→∆→∆0000lim lim lim α =()()x u g f 00'' .证毕复合函数求导规则可以写成dxdudu dy dx dy ∙= . 我们一般称它为 链式法则 。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式1.链式法则：链式法则是用于求解复合函数导数的基本法则。
设y=f(u)，u=g(x)为两个可导函数，且y=f(u)和u=g(x)均是一对一函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则求得。
链式法则的公式为：dy/dx=dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。
例如，设y=sin(x^2)，我们需要求解dy/dx。
首先，令u=x^2，y=sin(u)，则dy/du=cos(u)=cos(x^2)。
其次，求解du/dx=2x。
最后，根据链式法则，dy/dx=dy/du * du/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)。
2.乘积法则：乘积法则用于求解两个函数乘积的导数。
设y=u*v为两个可导函数的乘积，则乘积函数y=u*v的导数可以通过乘积法则求得。
乘积法则的公式为：dy/dx = u * dv/dx + v * du/dx例如，设y=x*sin(x)，我们需要求解dy/dx。
根据乘积法则，将u=x，v=sin(x)代入上述公式，dy/dx = x * cos(x) + sin(x)。
3.商规则：商规则用于求解两个函数的商的导数。
设y=u/v为两个可导函数的商，则商函数y=u/v的导数可以通过商规则求得。
商规则的公式为：dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2例如，设y=(x^2+1) / x，我们需要求解dy/dx。
根据商规则，将u=x^2+1，v=x代入上述公式，dy/dx = ((x) * (2x) - (x^2+1) * (1)) / (x^2)^2 = (x^2 - 1) / x^4小结：复合函数求导法则包括链式法则、乘积法则和商规则。
链式法则适用于求解复合函数的导数，乘积法则适用于求解两个函数乘积的导数，商规则适用于求解两个函数的商的导数。
复合函数求导法则
复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数构成的函数，形式为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(u)是一个与u相关的函数。
在求复合函数的导数时，我们可以使用复合函数求导法则，该法则有三个部分：链式法则，反链式法则和迭代法则。
1.链式法则：链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个内层函数，f(u)是一个外层函数。
链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)例如，我们考虑函数f(u) = sin(u^2)，其中g(x) = x^2、我们先计算g'(x)，然后计算f'(u)，最后使用链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x)=2x接下来，计算f'(u)如下：f'(u) = cos(u^2) * 2u最后，使用链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)= cos((x^2)^2) * 2(x^2)= cos(x^4) * 2x^2所以，f(g(x)) = sin(x^4) 的导数为 cos(x^4) * 2x^22.反链式法则：反链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个外层函数，f(u)是一个内层函数。
反链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'例如，我们考虑函数f(u) = u^3，其中g(x) = sin(x)。
我们可以直接计算出g'(x)和f'(u)，然后使用反链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x) = cos(x)接下来，计算f'(u)如下：f'(u)=3u^2最后，使用反链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'= 3(sin(x))^2 * cos(x)= 3sin^2(x) * cos(x)所以，f(g(x)) = sin^3(x) 的导数为 3sin^2(x) * cos(x)。
第三讲 复合函数的求导法则及应用
(2) y f (u) 在点 u ( x) 可导;
则复合函数 y f [ ( x)] 在点 x 可导, 且
其导数为
dy f (u) ( x)
dx
化繁为简,各个击破。
证明
因为 lim y f (u),
u0 u
dy f (u) (v) ( x) 或 dy dy du dv
dx
dx du dv dx
二、应用
例１ 求函数 y ln sin x 的导数.
解 令 u sin x, y ln u .
dy dy du dx du dx
1 u
cos x cos x cot x
2
3
所以
y
1 2
x
1 2
1
2x
1 3( x
2)
x x2
1
1 3( x
2)
注：求导数之前，先观察一下，函数能否化 简。若能，先化简再求导。
(1 2
ln( x2
1))
1 2
1
1 x
2
2x
(1 ln( x 2)) 1
3
3( x 2)
三、小结
复合函数的求导关键：搞清复合关系， 从外层到里层一层一层求，不要漏层。
(1 x2ຫໍສະໝຸດ )1 x2
sin
1
cos 1
ex
x
cos 1
cos 1
(e x ) e x
(cos 1 ) sin 1
x
x
(
一句话总结复合函数求导法
一句话总结复合函数求导法
复合函数求导法是微积分中的重要概念，它描述了两个函数复合后求导的方法。
下面列举了十个关于复合函数求导法的总结：
1. 复合函数的求导法则：对于复合函数f(g(x))，其导数等于外层函数f'(g(x))乘以内层函数g'(x)。
2. 复合函数求导的链式法则：对于复合函数f(g(x))，其导数等于
f'(g(x))乘以g'(x)。
3. 复合函数求导的应用：复合函数求导法可以用于求解复杂函数的导数，如指数函数、对数函数等。
4. 复合函数求导的基本思想：将复合函数视为两个函数的组合，先求内层函数的导数，再求外层函数的导数。
5. 复合函数求导的步骤：首先求内层函数的导数，然后求外层函数的导数，最后将两个导数相乘。
6. 复合函数求导的注意事项：在求导过程中，需要注意函数的定义域和导数的存在性。
7. 复合函数求导的例子：例如，对于复合函数f(g(x))=sin(x^2)，其导数等于2x*cos(x^2)。
8. 复合函数求导的推广：复合函数求导法可推广到多个函数的复合，依然使用链式法则进行求导。
9. 复合函数求导与反函数求导的关系：复合函数求导与反函数求导是相互关联的，可以通过链式法则进行推导。
10. 复合函数求导与高阶导数的关系：复合函数求导法可以推广到
高阶导数的计算，依然使用链式法则进行推导。
通过上述总结，可以清晰地了解复合函数求导法的基本原理和应用方法。
掌握这一知识点对于解决复杂函数求导问题非常重要，有助于进一步理解微积分的概念和方法。
希望上述内容能对你有所帮助！。
复合函数求导
复合函数求导复合函数的求导是微积分中的重要内容，它利用链式法则来处理多个函数相互嵌套的情况。
链式法则是求导的一种规则，用于计算复合函数的导数。
下面我们将详细介绍链式法则及其应用。
1.链式法则的基本思想链式法则是基于导数的定义推导出来的一种计算方法。
对于两个函数f(x)和g(x)，若它们都可导，则复合函数h(x)=f(g(x))也可导，并且有如下公式：h'(x)=f'(g(x))*g'(x)其中f'(g(x))表示函数f(x)在g(x)处的导数，g'(x)表示函数g(x)的导数。
简单来说，链式法则认为复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
2.链式法则的推导过程为了更好地理解链式法则，我们以一个具体的例子来推导。
设有函数 y = f(u) 和 u = g(x)，其中 y 是因变量，u 是中间变量，x 是自变量。
我们的目标是求解复合函数 y = f(g(x)) 的导数 dy/dx。
根据导数的定义，dy/dx 表示当 x 发生微小变化 dx 时，y 发生的对应变化 dy。
我们可以通过函数之间的关系进行推导。
将u=g(x)代入f(u)中，得到y=f(g(x))，这里的y是u和x的函数，即y=f(u(x))。
我们可以写成链式形式：根据导数的定义，上式中的 dy/du 表示当 u 发生微小变化 du 时，y 对应的变化 dy，即 f(u+du) - f(u)。
同样地，du/dx 表示当 x 发生微小变化 dx 时，u 对应的变化 du，即 g(x+dx) - g(x)。
将上述两个变化代入原式中，得到：dy/dx = (f(u+du) - f(u)) / (g(x+dx) - g(x))若 dx 趋近于 0，du 也趋近于 0，则上式可以表示成：dy/dx = lim(du -> 0, dx -> 0) [(f(u+du) - f(u)) / (g(x+dx) - g(x))]利用极限的性质，我们可以将上式进一步化简为：dy/dx = (df/du) * (dg/dx)其中 df/du 表示函数 f(u) 在 u 处的导数，dg/dx 表示函数 g(x) 在 x 处的导数。
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习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用⒈ 求下列函数的导数：⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x =+113； ⑷ y xx=ln ； ⑸ y x =sin 3；⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()；⑻ y x =-arcsin (e )2；⑼⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221ln x x y ； ⑽ y x x =+1222(sin )；⑾ y xx x =+-1122ln ； ⑿ y xx=+12csc ； ⒀ y x x =-++2213312334； ⒁ y x =-e sin 2； ⒂ y x a x xa x=-+-2222.解 （1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。
（2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。
（3）23323233)1(23)'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。
（4）212'21ln 2ln 1ln ln 21'⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x xx x x x x y 。
（5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。
（6）xx x x y 2sin )'(sin '-=-=。
（7）1'2y =。
（8）22'x x y --==1222--x ex 。
（9）4424(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422(1)x x x +-。
（10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=32)sin 2()cos 4(2x x x x ++-。
（11）'y ==2322222)1()21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x --+--。
（12）2''1csc x x y x =+=22223221csc csc cot (1csc )x x x x x ++=+。
（13）'y =+4523234112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+4522334827(21)(31)34x x x x --=---+。
（14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2sin sin 2x x e -=-⋅。
（15）22'y =22221(1)()(2)x a x x -+⋅-⋅-= 42242322223()x a x a a a x -++=-。
⒉ 求下列函数的导数：⑴ y x =ln sin ； ⑵ )cot ln(csc x x y -=； ⑶ ⎪⎭⎫⎝⎛+-=a x a x a xy arcsin 21222；⑷ y x x a =++ln()22；⑸ y x x a a x x a =--+-1222222(ln(). 解 （1）1'(sin )'cot sin y x x x==。
（2）(csc cot )''csc cot x x y x x-==-2cot csc (csc )csc csc cot x x x x x x ---=-。
（3）21'(arcsin )'2x y x x a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2111(22x a ⎛⎫⎪=+ ⎝20,0.a a >=⎨<⎪⎩。
（4）'y ===（5）21'[2y x x a =-212x a ⎡⎛⎫=-⎢⎣⎦=22a x -。
⒊ 设f x ()可导，求下列函数的导数：⑴ f x ()23；⑵ ⎪⎭⎫⎝⎛x f ln 1； ⑶ f x ()； ⑷ )(tan arc x f ； ⑸ f f e x (())2；⑹ sin ((sin ))f x ；⑺ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)(1x f f ；⑻ 1f f x (()).解 （1）f f ==)('323231x f x -。
（2）111'ln ln ln f f x x x ''⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=)ln 1('ln 12x f x x -。
（3）()]'f x ==)(2)('x f x f 。
（4）21[arctan ()]'[()]'1[()]f x f x f x =+=)(1)('2x f x f +。
（5）222[(())]''(())[()]'x x x f f e f f e f e =222'(())'()()'x x x f f e f e e ==))((')('2222x x x e f f e f xe 。
（6）[sin ((sin ))]'cos((sin ))((sin ))'f x f x f x =cos((sin ))'(sin )(sin )'f x f x x ==x x f x f cos )(sin '))(sin cos(。
（7）111'()()()f f f x f x f x ''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-)(1')()('2x f f x f x f 。
（8）21'(())[()]'(())(())f f x f x f f x f f x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭=()2))(()('))(('x f f x f x f f -。
⒋ 用对数求导法求下列函数的导数：⑴ y x x=；⑵ ()xx x y 13sin +=；⑶ y x x =cos ； ⑷ y x x =+ln ()21；⑸ y xx x =-+1123； ⑹ y x x i i n=-=∏()1；⑺ y x x =sin .解 由于'(ln )'y y y=，所以'(ln )'y y y =。
（1）ln ln y x x =,'(ln )'['ln (ln )'](1ln )x y y y y x x x x x x ==+=+。
（2）()31ln ln sin y x x x=+，()()3311'(ln )'ln sin ln sin 'y y y y x x x x x x ⎡⎤'⎛⎫⎛⎫⎢⎥==+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++233213)sin ln()sin (cos 3)sin(x x x x x x x x x x x。
（3）ln ln cos y x x =，'(ln cos )'['ln cos (ln cos )']y y x x y x x x x ==+=()x x x x x cos tan cos ln -。
（4）ln ln ln(21)y x x =+，'['ln ln(21)(ln ln(21))']y y x x x x =+++=)12(ln )12ln()12(2)12ln(ln +⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++x x x xx x 。
（5）2311ln ln ln(1)ln(1)22y x x x =+--+，2311'[(ln )'(ln(1))'(ln(1))']22y y x x x =+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-)1(23111132232x x xx x x x x 。
（6）1ln ln()ni i y x x ==-∑，1'[ln'()]n i i y y x x ==-∑=∏∑==-⋅-ni ni ii x x x x 111)(。
（7）令ln u u x =，则')']u u x x u u ===，于是， '(sin )'()'y u u ==xxxx xxcos 2ln 2+。
⒌ 对下列隐函数求dydx： ⑴ y x y tan arc +=； ⑵ y x y +=e 1； ⑶ x y y x -=-cos sin ； ⑷ xy y -+=ln()10； ⑸ e xy x y 220+-=；⑹ 0)tan(=-+xy y x ； ⑺ 20y x x y sin ln +=；⑻ x y axy 3330+-=.解 （1）在等式两边对x 求导，得到2'''(arctan )'11y y x y y=+=++， 解得'y =221yy +。
（2）在等式两边对x 求导，得到''''(1)0y y y y y x e xe y y xe e ++=++=，解得'y =yyxee +-1。
（3）等式两边平方，再对x 求导，得到1sin ()'2(sin )(cos ()'1)y y y x y y +⋅=-⋅-，解得'y =yy x y x y sin cos )(sin 2)(sin 21---+。
（4）在等式两边对x 求导，得到1''[ln(1)]'''01x y xy y y xy y y+-+=+-=+， 解得'y =xyx yy --+12。
（5）在等式两边对x 求导，得到22222()'()'(2')(2')0xyx y e x y xy e x y y xyy +++-=+-+=，解得2222'2x yx yxe y y exy++-=--。
（6）在等式两边对x 求导，得到22sec ()()'()'sec ()(1')(')0x y x y xy x y y y xy ++-=++-+=，解得22sec ()'sec ()x y y y x x y +-=-+。
（7）在等式两边对x 求导，得到'2'sin 2(sin )'(ln )'2'sin 2cos ln 0y y x y x x y y x y x y x y++=+++⋅=， 解得22cos ln '2sin y x y y y x y x+=-+。