复合函数求导法则及其应用

习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用

⒈ 求下列函数的导数：

⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x =

+1

13

； ⑷ y x

x

=

ln ； ⑸ y x =sin 3；

⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()；

⑻ y x =-arcsin (e )2

；

⑼

⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=221ln x x y ； ⑽ y x x =+1

222(sin )；

⑾ y x

x x =

+-1122

ln ； ⑿ y x

x

=

+12

csc ； ⒀ y x x =

-++2213

31

23

34； ⒁ y x =-e sin 2

； ⒂ y x a x x

a x

=-+-2

2

22.

解 （1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。 （2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。

（3）23

32323

3)1(2

3

)'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。

（4）2

12

'

2

1

ln 2ln 1ln ln 21'⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x

x x x x x y 。 （5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。 （6）x

x x x y 2sin )'(sin '-

=-=。

（7

）1'2y =

。

（8

）2

2

'x x y --=

=

1

22

2--x e

x 。

（9）44

2

4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422

(1)x x x +-。 （10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3

2)

sin 2()

cos 4(2x x x x ++-。 （11

）'y ==

2

322222)1()

21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x -

-+--。

（12

）2

'

'1csc x x y x =+

=

2222

322

1csc csc cot (1csc )

x x x x x ++=

+。

（13

）'y =+

452323

4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+

45

223

34827(21)(31)34

x x x x --=---+。 （14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2

sin sin 2x x e -=-⋅。

（15

）2

2

'y =

222

2

1

(1)()(2)

x a x x -+⋅-⋅-= 42242

3

222

23()

x a x a a a x -++=

-。

⒉ 求下列函数的导数：

⑴ y x =ln sin ； ⑵ )cot ln(csc x x y -=； ⑶ ⎪⎭

⎫

⎝⎛

+-=a x a x a x

y arcsin 21222；

⑷ y x x a =+

+ln()22；

⑸ y x x a a x x a =--+-12

22222(ln(). 解 （1）1

'(sin )'cot sin y x x x

=

=。 （2）(csc cot )''csc cot x x y x x

-==

-2cot csc (csc )

csc csc cot x x x x x x ---=-。 （3

）21'(arcsin )'2x y x x a a ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

2

111(22x a ⎛

⎫⎪=+ ⎝

20,0.a a >=⎨<⎪⎩

。 （4

）'y =

=

=

（5

）21'[2y x x a =-

212x a ⎡

⎛⎫=-⎢⎣⎦

=22a x -。

⒊ 设f x ()可导，求下列函数的导数：

⑴ f x ()23

；

⑵ ⎪⎭

⎫

⎝⎛x f ln 1； ⑶ f x ()； ⑷ )(tan arc x f ； ⑸ f f e x (())2

；

⑹ sin ((sin ))f x ；

⑺ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛)(1x f f ；

⑻ 1

f f x (()).

解 （1

）f f ==)('3

232

31

x f x -。

（2）111'ln ln ln f f x x x ''⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

=)ln 1('ln 12

x f x x -。 （3

）()]'f x =

=)

(2)

('x f x f 。 （4）21[arctan ()]'[()]'1[()]f x f x f x =

+=)

(1)

('2

x f x f +。 （5）2

2

2

[(())]''(())[()]'x x x f f e f f e f e =2

2

2

'(())'()()'x x x f f e f e e =

=))((')('22

2

2

x x x e f f e f xe 。

（6）[sin ((sin ))]'cos((sin ))((sin ))'f x f x f x =cos((sin ))'(sin )(sin )'f x f x x =

=x x f x f cos )(sin '))(sin cos(。

（7）111'()()()f f f x f x f x ''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-)(1')()('2

x f f x f x f 。 （8）21'(())

[()]'(())(())f f x f x f f x f f x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭

=()2

))(()('))(('x f f x f x f f -。 ⒋ 用对数求导法求下列函数的导数：

⑴ y x x

=；

⑵ ()x

x x y 1

3

sin +=；

⑶ y x x =cos ； ⑷ y x x =+ln ()21；