备战中考数学易错题精选-圆的综合练习题附详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，AB 为O 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠． ()1DE 是O 的切线吗？请说明理由；

()2求证：2AC CD BE =⋅．

【答案】（1）结论：DE 是O 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】 （1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；

（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE ∽即可解决问题.

【详解】

()1解：结论：DE 是O 的切线．

理由：连接OD ．

CDB ADE ∠=∠，

ADC EDB ∴∠=∠，

//CD AB ，

CDA DAB ∴∠=∠，

OA OD =，

OAD ODA ∴∠=∠，

ADO EDB ∴∠=∠， AB 是直径，

90ADB ∴∠=，

90ADB ODE ∴∠=∠=，

DE OD ∴⊥，

DE ∴是O 的切线．

()2//CD AB ，

ADC DAB ∴∠=∠，CDB DBE ∠=∠，

AC BD ∴=，

AC BD ∴=，

DCB DAB ∠=∠，EDB DAB ∠=∠，

EDB DCB ∴∠=∠，

CDB ∴∽DBE ， CD DB BD BE

∴=， 2BD CD BE ∴=⋅，

2AC CD BE ∴=⋅．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

2．如图，在ABC 中，90ACB ∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O ．

()1求证：BC 是O 的切线；

()2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值．

【答案】（1）见解析；（2）1tan 2

EDB ∠=

． 【解析】

【分析】 ()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线的判定定理得到结论；

()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设

O 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-，再证明BDO ∽

BCA ，利用相似比得到r ：()35r =-：5，解得15r 8=，接着利用勾股定理计算5BD 2=，则3CD 2=，利用正切定理得1tan 12

∠=，然后证明

1EDB ∠∠=，从而得到tan EDB ∠的值．

【详解】

()1证明：连接OD ，如图，

AD 平分BAC ∠，

12∴∠=∠，

OA OD =，

23∴∠=∠，

13∴∠=∠，

//OD AC ∴，

AC BC ⊥，

OD BC ∴⊥，

BC ∴是O 的切线；

()2解：在Rt ACB 中，22345AB =+=， 设O 的半径为r ，则OA OD r ==，5OB r =-，

//OD AC ， BDO ∴∽BCA ，

OD ∴：AC BO =：BA ，

即r ：()35r =-：5，解得158

r =， 158OD ∴=，258

OB =， 在Rt ODB 中，2252

BD OB OD =-=， 32

CD BC BD ∴=-=， 在Rt ACD 中，3

12tan 132

CD AC ∠===， AE 为直径，

90ADE ∴∠=，

90EDB ADC ∴∠+∠=，

190ADC ∠+∠=，

1EDB ∴∠=∠， 1tan 2EDB ∴∠=． 【点睛】

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．

3．在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1≠y 2，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．

（1）已知点A （2，0），B （0，23），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为 ；

（2）若点C （1，2），点D 在直线y=5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；

（3）⊙O 的半径为2，点P 的坐标为（3，m ）．若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．

【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1

【解析】

分析：（1）根据定义建立以AB 为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB =4，可得30度角，从而得最小内角为60°；

（2）先确定直线CD 与直线y =5的夹角是45°，得D （4，5）或（﹣2，5），易得直线CD 的表达式为：y =x +1或y =﹣x +3；

（3）分两种情况：

①先作直线y =x ，再作圆的两条切线，且平行于直线y =x ，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P 'B =BD =1，PB =5，写出对应P 的坐标；

②先作直线y =﹣x ，再作圆的两条切线，且平行于直线y =﹣x ，如图4，同理可得结论． 详解：（1）∵点A （2，0），B （0，3∴OA =2，OB 3．在Rt △AOB 中，由勾