2020年高考全国卷Ⅱ理数试题+答案

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3,2,1,0,1,2{--=U ，},1,0,1{-=A },2,1{=B 则=)(B A C U （ ）A ．}3,2{-B ．}3,2,2{-C ．}3,0,1,2{--D ．}3,2,0,1,2{--2．若α为第四象限角，则A ．02cos >αB ．02cos <αC ．02sin >αD ．02sin <α3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天 积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名4．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块5．若过点)1,2(的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032=--y x 的距离为A ．55B ．552C ．553D ．554 6．数列}{n a 中，21=a ，n m n m a a a =+，若515102122-=++++++k k k a a a ，则=kA ．2B ．3C ．4D ．57．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H8．设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两条渐近线分别交于E D 、两ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．329设函数12ln 12ln )(--+=x x x f ，则)(x fA ．是偶函数，且在),21(+∞单调递增B ．是奇函数，且在)21,21(-单调递减C ．是偶函数，且在)21,(--∞单调递增D ．是奇函数，且在)21,(--∞单调递减10. 已知ABC △是面积为439的等边三角形，且其顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为π16，则球O 到平面ABC 的距离为（ ） A ．3B ．23 C ．1 D ．23 11. 若y x y x ---<-3322，则（ ） A. 0)1ln(>+-x yB ．0)1ln(<+-x yC ．0ln >-y xD ．0ln <-y x12．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列⋯⋯n a a a 21满足),2,1)(1,0(⋯=∈i a i ，且存在正整数m ，使得),2,1(⋯==+i a a i m i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足),2,1(⋯==+i a a i m i 的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列⋯⋯n a a a 21，∑=+-⋯==mi k i i m kaa mk C 1)1,,2,1(1)(是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足)4,3,2,1(51)(=≤k k C 的序列是A ．11010…B ．11011…C ．10001…D ．11001…二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．已知单位向量b a ,的夹角为45°，k b a -与a 垂直，则=k _______．14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15．设复数21,z z 满足i z z z z +=+==322121，，则=-21z z ______． 16．设有下列四个命题： 1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4P ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是________． ①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=．（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC △周长的最大值．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加． 为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()20,,2,1,⋯=i y x i i ，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑==20160i i x ，∑==2011200i i y ，()∑==-201280i i x x ，()∑==-20129000i iyy，()()080201∑==--i i iy y x x．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()()20,,2,1,⋯=i y x i i 的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数()()()()∑∑∑===----=ni ini i ni ii y y x x yyx x r 12121，414.12≈．19．（12分）已知椭圆1C :()012222>>=+b a by a x 的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与的2C 的顶点重合． 过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且AB CD 34=．（1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点，若5=MF ，求1C 与2C 的标准方程．如图，已知三棱柱111C B A ABC -的底面是正三角形，侧面C C BB 11是矩形，M ，N 分别为BC ，11C B 的中点，P 为AM 上一点，过11C B 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：MN AA ∥1，且平面F C EB AMN A 111平面⊥；（2）设O 为△111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．21．（12分）已知函数()2sin sin 2f x x x =．（1）讨论()f x 在区间()0,π的单调性； （2）证明：()33f x ≤； （3）设*n ∈N ，证明：22223sin sin 2sin 4sin 24nnn x x x x ≤．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C ，2C 的参数方程分别为1C ：224cos 4sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），2C ：11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）． （1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()221f x x a x a =-+-+． （1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围．参考答案1．A 2．D3．B4．C5．B6．C7．A8．B9．D10．C11．A12．C13．214．3615． 16．①③④17．解：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，② 由①，②得1cos 2A =-. 因为0πA <<，所以2π3A =. （2）由正弦定理及（1）得sin sin sin AC AB BCB C A===，从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=.故π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=+=++. 又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+18．解：（1）由已知得样本平均数20160120i iy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000． （2）样本(,)i i x y (1,2,,20)i =的相关系数20)()0.943(iix y y x r --===≈∑．（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样． 理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．19．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =. 由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.20．解：（1）因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以1MN CC ∥．又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N ．又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN ． 所以平面A 1AMN ⊥平面11EB C F ．（2）由已知得AM ⊥BC ．以M 为坐标原点，MA 的方向为x 轴正方向， MB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M -xyz ，则AB =2，AM连接NP ，则四边形AONP 为平行四边形，故1,0)3PM E ．由（1）知平面A 1AMN ⊥平面ABC ，作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC ．设(,0,0)Q a ，则1(NQ B a =，故21123223210(,,4()),||3333B E a a B E =-----=． 又(0,1,0)=-n 是平面A 1AMN 的法向量，故1111π10sin(,)cos ,2||B E B E B E B E ⋅-===⋅n n n |n |．所以直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值为10．21．解：（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+ 2sin sin3x x =．当(0,)(,)33x π2π∈π时，()0f x '>；当(,)33x π2π∈时，()0f x '<． 所以()f x 在区间(0,),(,)33π2ππ单调递增，在区间(,)33π2π单调递减．（2）因为(0)()0f f =π=，由（1）知，()f x 在区间[0,]π的最大值为33()3f π=，最小值为33()3f 2π=．而()f x 是周期为π的周期函数，故33|()|f x ≤． （3）由于32222(sin sin 2sin 2)nx xx333|sin sin 2sin 2|n x x x =23312|sin ||sin sin 2sin 2sin 2||sin 2|n n n x x x x x x -= 12|sin ||()(2)(2)||sin 2|n n x f x f x f x x -=1|()(2)(2)|n f x f x f x -≤，所以22223333sin sin 2sin 2()4n nnn x xx ≤=．22．解：（1）1C 的普通方程为4(04)x y x +=≤≤．由2C 的参数方程得22212x t t =++，22212y t t=+-，所以224x y -=． 故2C 的普通方程为224x y -=．（2）由224,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 的直角坐标为53(,)22． 设所求圆的圆心的直角坐标为0(,0)x ，由题意得220059()24x x =-+，解得01710x =． 因此，所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 23．解：（1）当2a =时，72,3,()1,34,27,4,x x f x x x x -≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩因此，不等式()4f x ≥的解集为311{|}22x x x ≤≥或．（2）因为222()|||21||21|(1)f x x a x a a a a =-+-+≥-+=-，故当2(1)4a -≥，即|1|2a -≥时，()4f x ≥．所以当a ≥3或a ≤-1时，()4f x ≥．当-1<a <3时，222()|21|(1)4f a a a a =-+=-<， 所以a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞．。