浙江省七彩阳光联盟2020届高三上学期期初考试数学试题
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期返校联考数学试题 含答案
A． −3
B． −2
C． −1
D．1
4．若双曲线 C :
y2 a2
−
x2 b2
= 1(a
0,b 0) 的一条渐近线为
y
=
3x ，则双曲线 C 的离心率为（
）
A． 2 3 3
B． 3
C．2
D．3
5．已知空间中的三条不同直线 l ， m ， n ．则“ l ， m ， n 两两垂直”是“ l ， m ， n 不共面”的（ ）
________．
15．已知点 A( 3,1) ，直线 l 与圆 x2 + y2 = 4 交于 M ， N 两点，若△AMN 的垂心恰为原点 O ，则直线l
的方程是________． 16．盒中有 4 个质地，形状完全相同的小球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球；现从盒中随机取球，每
次取 1 个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中黄球在第 次被首次取到（ = 0 表示黄球未被取
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．设集合 S ，T 中至少有两个元素，且 S ，T 满足：①对任意 x, y S ，若 x y ，则 x + y T ②对任
2
意 x, y T ，若 x y ，则 x − y S ，下列说法正确的是（ ） A．若 S 有 2 个元素，则 S T 有 4 个元素 B．若 S 有 2 个元素，则 S T 有 3 个元素 C．存在 3 个元素的集合 S ，满足 S T 有 5 个元素 D．存在 3 个元素的集合 S ，满足 S T 有 4 个元素
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知 a 0 ， b 0 ， a + b = 1 ，则（ ）
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期返校联考数学参考答案及解析
2024学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考高三数学参考答案及解析一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.)1.【答案】A【解析】因为A={-2,T,0,1,2},其中-2EB,-1EB,所以AC\B=—2,—1,故选 A.2.【答案】D【解析】由题，2=号,故团=舄=樽=籍所以z3=|z|2=§故选D.3.【答案】C【解析】((Q+b)・b=x+l+%(%+1)=必+2*+1=0,解得x=-1,故选 C.4.【答案】C【解析】由题，g(x)=sin(2x+2x%-^)=sin2的所以g(制)=sin：=§故选C.5.【答案】A【解析】设A,B,C三人的体质指数分别为a,b,c,则a+b+c=3X20=60,故5人体质指数的平均值M j(6。
+18+22)=20,又：[(a—20)2+(b—20)2+(b—20)2]=3,所以(q—20)2+(b—20)2+0—20)2=9,所以5人的体质指数的方差为?[(Q—20)2+(b—20)2+0—20)2+(18 -20)2+(22-20)2]=p故选 A.6.【答案】B【解析】设人31，无)伊3叩2),焦点F(0,1),则y Q=么号，由\AF\=无+1,\BF\=y2+l f则\AF \+\BF\^y1+y2+2>\AB\^6,所以=峥N2,当A,F,B三点共线时，yflZ得最小值2.微信公众号：浙江省高中数学故选B.7.【答案】C【解析】当有1个红球时，有侃=8种；当有2个红球时，有能=21种；当有3个红球时，有«=20种；当有4个红球时，有建=5种；当有5个及以上个红球时，不合题意，所以满足条件的不同排列方法的总数之和为54.故选C.8.【答案】B【解析】由V%球l,f(2—二)=—f(x)得f(—x+1)=—f(x+1),所以f(x+1)为奇函数，令g(x)= /'3+1)=[?弋2：)：2二F2，次当x>0时,-%<0,^(-%)=aZn(2x)-bx+b+c=-g(aln(-2x)+bx+b+c,x<0,(%)=—2ln(2x)—2x—2,所以a——2,b—2,b+c——2…即c=-4,所以abc=16,故选 B.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.)9.【答案】ABD【解析】12。
2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三联考(四)数学试卷
2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三联考（四）数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合M ＝{x |1≤x ≤3}，N ＝{x |x >2}，则集合M ∩(∁R N )等于( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1≤x <2} D ．{x |2<x ≤3}答案 A解析 ∵N ＝{x |x >2}， ∴∁R N ＝{x |x ≤2}，∴集合M ∩(∁R N )＝{x |1≤x ≤2}．2．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为( )A.35B.45C.54D.53 答案 C解析 因为双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，所以2c ＝10，c ＝5，所以a 2＝c 2－9＝16，所以a ＝4.所以离心率e ＝54.3．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，则一定有( )A ．log a x >log b yB ．sin a x >sin b yC ．ay >bxD ．a x >b y答案 D解析 当x >y >0，a >b >1时，由指数函数和幂的性质易得a x >a y >b y .4．将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 答案 B解析 设y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π3个单位长度得到的函数为g (x )，则g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ，因为g (x )为奇函数，且在原点有定义，所以－2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋7π6(k ∈Z )，故当k ＝－1时，|φ|min ＝π6.5．函数f (x )＝e |x －1|－2cos(x －1)的部分图象可能是( )答案 A解析 因为f (1)＝－1，所以排除B ；因为f (0)＝e －2cos 1>0，所以排除D ；因为当x >2时，f (x )＝e x －1－2cos (x －1)，∴f ′(x )＝e x －1＋2sin(x －1)>e －2>0，即x >2时，f (x )具有单调性，排除C.6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D (ξ)的最大值为( ) A.23 B.59 C.29 D.34答案 A解析 由分布列得a ＋b ＋c ＝1，又因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，则a ＋c ＝23，所以E (ξ)＝c －a ，D (ξ)＝a (c －a ＋1)2＋b (c －a )2＋c (c －a －1)2＝a (c －a )2＋b (c －a )2＋c (c －a )2＋2a (c －a )＋a －2c (c －a )＋c ＝－(c －a )2＋23，则当a ＝c 时，D (ξ)取得最大值23.7．已知单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则|a |的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤2－32，2＋32 B.⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12 C.⎝⎛⎦⎤0，2＋12 D.⎝⎛⎦⎤0，2＋32 答案 B解析 因为向量e 1，e 2为单位向量， 且e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 〈e 1，e 2〉＝－12，所以|e 1＋e 2|＝1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫－12＝1. 因为(a －e 1)·(a －e 2)＝54，所以a 2－a ·(e 1＋e 2)＋e 1·e 2＝54，所以|a |2－a ·(e 1＋e 2)＝74，所以|a |2－|a |·cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝74，所以cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝|a |2－74|a |，又因为－1≤cos 〈a ，e 1＋e 2〉≤1， 所以|a |的取值范围为⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12. 8.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿直线BD 翻折成△A ′BD ，如图，则直线BA ′与CD 所成角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，π2B.⎣⎡⎦⎤π6，π3C.⎣⎡⎦⎤π6，π2D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 A解析 在等腰梯形ABCD 中，易知∠ABC ＝π3，∠ABD ＝∠CBD ＝π6，则∠A ′BD ＝π6，为定值，所以BA ′的轨迹可看作是以BD 为轴，B 为顶点，母线与轴的夹角为π6的圆锥的侧面，故点A ′的轨迹如图中AF 所示，其中F 为BC 的中点．过点B 作CD 的平行线，过点C 作BD 的平行线，两平行线交于点E ，则直线BA ′与BE 所成的角即直线BA ′与CD 所成的角．又易知CD ⊥BD ，所以直线A ′B 与CD 所成角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π2，故选A.9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －x 2，0≤x <2，2f (x －2)，x ≥2，g (x )＝kx ＋2，若函数F (x )＝f (x )－g (x )在[0，＋∞)上只有两个零点，则实数k 的值不可能为( ) A ．－23 B ．－12 C ．－34 D ．－1答案 A解析 函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点，在同一直角坐标系下作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，如图所示，当函数y ＝g (x )的图象经过点(2,0)时满足条件，此时k ＝2－00－2＝－1 ，当函数y ＝g (x )的图象经过点(4,0)时满足条件，此时k ＝2－00－4＝－12 ，当函数y ＝g (x )的图象与(x －1)2＋y 2＝1(x >0，y >0)相切时也满足题意，此时|k ＋2|1＋k 2＝1 ，解得k ＝－34， 故选A.10．已知数列满足，a 1＝1，a 2＝12，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *，记T 2n为数列{a n }的前2n 项和，数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1成立的最小整数n 为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 答案 C解析 因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *，∴当n 为偶数时，可得(3＋1)a n＋2－2a n ＋2(1－1)＝0，n ∈N *，即a n ＋2a n ＝12，∴a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列；当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，n ∈N *，即a n ＋2－a n ＝2，∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以2为公差的等差数列，T 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝n 2＋1－12n ，∵数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，b n ＝2×2n －1＝2n ，则⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1等价为⎝⎛⎭⎫n 2＋1－12n ＋12n ·12n <1，即(n 2＋1)·12n <1，即n 2＋1<2n ，分析函数y ＝n 2＋1与y ＝2n ，则当n ＝1时，2＝2，当n ＝2时，5<4不成立，当n ＝3时，10<8不成立，当n ＝4时，17<16不成立，当n ＝5时，26<32成立，当n ≥5时，n 2＋1<2n 恒成立，故使不等式⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1成立的最小整数n 为5. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n ＝________；该展开式中的常数项是____________． 答案 3 －27解析 所求系数的绝对值之和相当于⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 中所有项的系数之和，则在⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 中令x ＝1，得(3＋1)n ＝64，所以n ＝3；⎝⎛⎭⎫3x －1x 3的通项为T k ＋1＝C k 3(3x )3－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝C k 3·33－k · (－1)k 332kx-，令3－3k 2＝0，则k ＝1，常数项为C 13×32×(－1)1＝－27. 12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y ≤m ，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的取值范围为_______，如果目标函数z ＝2x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________. 答案 (2，＋∞) 4解析 要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y ≤m 所表示的平面区域形状为三角形，直线x ＝1与直线x－2y ＋1＝0的交点(1,1)必在直线的左下方，所以m >2，画出该区域如图阴影部分所示(含边界)，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过点A (1，m －1)时在y 轴上的截距最大，z 最小，所以，－1＝2×1－(m －1)，解得m ＝4.13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是23，则a ＝________，该几何体的表面积为________．答案 1 3＋ 5解析 如图所示，此几何体是四棱锥，底面是边长为a 的正方形，平面SAB ⊥平面ABCD ，并且∠SAB ＝90°，SA ＝2，所以体积是V ＝13×a 2×2＝23，解得a ＝1，四个侧面都是直角三角形，所以计算出表面积是S ＝12＋12×1×2＋12×1×5＋12×1×2＋12×1×5＝3＋ 5.14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 若a ＝7，c ＝3，A ＝60°，则b ＝________，△ABC 的面积S ＝________. 答案 1或2334或332解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即7＝b 2＋9－2b ×3cos 60°，即b 2－3b ＋2＝0，解得b ＝1或2, 当b ＝1时， S ＝12bc sin A ＝12×1×3×sin 60°＝334，同理当b ＝2时， S ＝332.15.如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有____个．答案 312解析 根据题意，分3种情况讨论：①取出的3个点都在圆内，C 34＝4，即有4种取法；②在圆内取2点，圆外12点中有10个点可供选择，从中取1点，C 24C 110＝60，即有60种取法；③在圆内取1点，圆外12点中取2点，C 14()C 212－4＝248，即有248种取法．则至少有一个顶点在圆内的三角形有 4＋60＋248＝312(个)．16．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时，△PF 1F 2的内心I 的轨迹方程为____________________________． 答案 x 2＋3y 2＝1(y ≠0)解析 由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设点P (x ，y )，I (m ，n )，－2<x <2，y ≠0，则|PF 1|＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋3－3x 24＝⎪⎪⎪⎪x 2＋2＝2＋x 2，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－⎝⎛⎭⎫2＋x 2＝2－x 2，|F 1F 2|＝2c ＝2，|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6，则由点I 为△PF 1F 2的内心结合图形(图略)得⎩⎨⎧2＋x 2＝m ＋1＋2－x2－(1－m )，12×|n |×6＝12×2×|y |，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ，y ＝3n ，代入椭圆C 的方程得三角形的内心I 的轨迹方程为m 2＋3n 2＝1(n ≠0)，即x 2＋3y 2＝1(y ≠0)．17．设点P 是△ABC 所在平面内一动点，满足CP →＝λCA →＋μCB →，3λ＋4μ＝2(λ，μ∈R )，|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.若|A B →|＝3，则△ABC 面积的最大值是________． 答案 9解析 由3λ＋4μ＝2，得32λ＋2μ＝1，所以CP →＝λCA →＋μCB →＝32λ·23CA →＋2μ·12CB →.设23CA →＝CM →，12CB →＝CN →， 则由平面向量基本定理知点P ，M ，N 在同一直线上， 又|P A →|＝|PB →|＝|PC →|，所以P 为△ABC 的外心，且∠ACB 为锐角，PN ⊥BC ，由此可作图，如图所示，设∠ACB ＝θ，CN ＝x ，则BC ＝2x ， CM ＝x cos θ，CA ＝3x2cos θ，所以S △ABC ＝12AC ·BC sin θ＝12·3x 2cos θ·2x ·sin θ＝3tan θ2x 2， 在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos θ， 即4x 2＋9x 24cos 2θ－2·2x ·3x 2cos θ·cos θ＝9， 所以x 2＝36cos 2θ9－8cos 2θ，所以S △ABC ＝3tan θ2·36cos 2θ9－8cos 2θ＝54sin θcos θ9sin 2θ＋cos 2θ＝54tan θ9tan 2θ＋1＝549tan θ＋1tan θ≤9. 当且仅当9tan θ＝1tan θ，即tan θ＝13时等号成立，所以△ABC 面积的最大值是9.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π3上的值域．解 (1)f (x )＝4sin x ·⎝⎛⎭⎫cos x cos π3＋sin x sin π3－ 3 ＝4sin x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3·()1－cos 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12()k ∈Z . (2)由π4≤x ≤π3，得π6≤2x －π3≤π3，故而2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[1，3]， 即f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π3上的值域为[1，3]．19．(15分)如图，已知四边形ABCD 是正方形，AE ⊥平面ABCD ，PD ∥AE ，PD ＝AD ＝2EA ＝2，G ，F ，H 分别为BE ，BP ，PC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面GHF ；(2)求直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值．解 (1)因为AE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥BC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以AB ⊥BC ，又BA ∩AE ＝A ，BA ，AE ⊂平面ABE ，所以BC ⊥平面AEB ， 因为F ，H 分别为BP ，PC 的中点，所以FH 为△PBC 的中位线， 所以FH ∥BC ， 所以FH ⊥平面ABE ，又FH ⊂平面GHF ，所以平面ABE ⊥平面GHF .(2)解 方法一 因为AE ⊥平面ABCD ，PD ∥AE ，所以PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥BC ， 又PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCD . 连接DH ，则DH ⊥PC ，因为平面PBC ∩平面PCD ＝PC ，所以DH ⊥平面PBC ，所以∠DHG 为直线GH 与平面PBC 所成角的余角，即θ＝π2－∠DHG .在等腰直角三角形PDC 中，因为PD ＝DC ＝2，所以PC ＝22， 所以DH ＝PD ·DCPC ＝ 2.连接DG ，易知DG ＝22＋12＋⎝⎛⎭⎫122＝212，GH ＝22＋⎝⎛⎭⎫122＝172， 所以在△DHG 中，cos ∠DHG ＝DH 2＋HG 2－DG 22DH ·GH ＝3434，所以sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－∠DHG ＝cos ∠DHG ＝3434， 即直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值为3434. 方法二 易知DA ，DC ，DP 两两垂直，所以以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由PD ＝AD ＝2EA ＝2，易得B (2,2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，H (0,1,1)，G ⎝⎛⎭⎫2，1，12，则CP →＝(0，－2,2)，CB →＝(2,0,0)，HG→＝⎝⎛⎭⎫2，0，－12.设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝(x ，y ，z )·(2，0，0)＝0，n ·CP →＝(x ，y ，z )·(0，－2，2)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝0，－2y ＋2z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝z .令y ＝1，则z ＝1，所以n ＝(0,1,1)为平面PBC 的一个法向量， 所以sin θ＝|cos 〈n ，HG →〉|＝|n ·HG →|02＋12＋12×22＋02＋⎝⎛⎭⎫－122＝122×172＝3434， 故直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值为3434.20．(15分)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝1e n a －(n ∈N *)．(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…)(1)证明：a n ＋1>a n (n ∈N *)；(2)设b n ＝1－a n ，是否存在实数M >0，使得b 1＋b 2＋…＋b n ≤M 对任意n ∈N *成立？若存在，求出M 的一个值；若不存在，请说明理由．(1)证明 设f (x )＝e x －x －1，令f ′(x )＝e x －1＝0，得到x ＝0.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故f (x )≥f (0)＝0，即e x ≥x ＋1(当且仅当x ＝0时取等号)．故a n ＋1＝1e n a －≥a n ，且取不到等号，所以a n ＋1>a n .(2)解 先用数学归纳法证明a n ≤1－1n ＋1. ①当n ＝1时，a 1≤1－12成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k ≤1－1k ＋1成立，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1e k a －≤11e k -+＝111e k +≤11＋1k ＋1＝k ＋1k ＋2 ＝1－1k ＋2，即a k ＋1≤1－1k ＋2也成立．故对n ∈N *都有a n ≤1－1n ＋1. 所以b n ＝1－a n ≥1n ＋1. 取n ＝2t －1(t ∈N *)，b 1＋b 2＋…＋b n ≥12＋13＋…＋1n ＋1 ＝12＋⎝⎛⎭⎫13＋14＋… ＋⎝⎛⎭⎫12t －1＋1＋12t －1＋2＋…＋12t . 即b 1＋b 2＋…＋b n ≥12＋12＋…＋12＝t 2. 其中t ＝log 2n ＋1，t ∈N *，当n →＋∞时，t →＋∞，t 2→＋∞， 所以不存在满足条件的实数M ，使得b 1＋b 2＋…＋b n ≤M 对任意n ∈N *成立．21．(15分)抛物线C ：y ＝x 2，直线l 的斜率为2.(1)若l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程；(2)若l 与抛物线C 相交于A ，B ，线段AB 的中垂线交C 于P ，Q ，求|PQ ||AB |的取值范围．解 (1)设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，联立直线l 与抛物线C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，Δ＝4＋4b ＝0，所以b ＝－1，因此，直线l 的方程为y ＝2x －1.(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，设点A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，P ()x 3，y 3，Q ()x 4，y 4，联立直线l 与抛物线C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y ＝x 2， 得x 2－2x －b ＝0，Δ＝4＋4b >0，所以b >－1.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－b .所以|AB |＝5|x 1－x 2|＝25(b ＋1)，且y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)＋2b ＝4＋2b ，所以线段AB 的中点为(1,2＋b )，所以直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋52＋b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12x ＋52＋b ，y ＝x 2，得2x 2＋x －5－2b ＝0， 由根与系数的关系得x 3＋x 4＝－12，x 3x 4＝－52－b ， 所以|PQ |＝52|x 3－x 4|＝5441＋16b ， 所以|PQ ||AB |＝1841＋16b 1＋b ＝1816＋25b ＋1>12， 所以|PQ ||AB |的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 22．(15分)已知函数f (x )＝e x －e x sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2(e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的值域；(2)若不等式f (x )≥k (x －1)(1－sin x )对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2恒成立，求实数k 的取值范围； (3)证明：e x －1＞－12(x －32)2＋1. (1)解 因为f (x )＝e x －e x sin x ，所以f ′(x )＝e x －e x (sin x ＋cos x )＝e x (1－sin x －cos x )＝e x ⎣⎡⎦⎤1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥22，所以f ′(x )≤0， 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，函数f (x )的最大值为f (0)＝1－0＝1； f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝2πe －2πe sin π2＝0， 所以函数f (x )的值域为[0,1]．(2)解 原不等式可化为e x (1－sin x )≥k (x －1)(1－sin x )，(*)因为1－sin x ≥0恒成立，故(*)式可化为e x ≥k (x －1)．令g (x )＝e x －kx ＋k ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则g ′(x )＝e x －k ， 当k ≤0时，g ′(x )＝e x －k >0，所以函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，故g (x )≥g (0)＝1＋k ≥0，所以－1≤k ≤0；当k >0时，令g ′(x )＝e x －k ＝0，得x ＝ln k ，所以当x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＝e x －k <0；当x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＝e x －k >0.所以当ln k ＜π2，即0<k <2πe 时，函数g (x )min ＝g (ln k )＝2k －k ln k >0成立； 当ln k ≥π2，即k ≥2πe 时，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫π2＝2πe －k ·π2＋k ≥0，解得2πe ≤k ≤2πe π12-， 综上，－1≤k ≤2πe π12-. (3)证明 令h (x )＝e x －1＋12⎝⎛⎭⎫x －322－1， 则h ′(x )＝e x －1＋x －32. 令t (x )＝h ′(x )＝e x －1＋x －32， 则t ′(x )＝e x －1＋1>0， 所以h ′(x )在R 上单调递增，由h ′⎝⎛⎭⎫12＝12e -－1＜0，h ′⎝⎛⎭⎫34＝14e -－34＞0， 故存在x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，使得h ′()x 0＝0， 即01e x －＝32－x 0. 所以当x ∈(－∞，x 0)时，h ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0. 故当x ＝x 0时，函数h (x )有极小值，且是唯一的极小值， 故函数h (x )min ＝h (x 0)＝01e x －＋12⎝⎛⎭⎫x 0－322－1 ＝－⎝⎛⎭⎫x 0－32＋12⎝⎛⎭⎫x 0－322－1 ＝12×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 0－32－12－32＝12⎝⎛⎭⎫x 0－522－32， 因为x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，所以12⎝⎛⎭⎫x 0－522－32> 12×⎝⎛⎭⎫34－522－32＝132>0， 故h (x )＝e x －1＋12⎝⎛⎭⎫x －322－1>0， 即e x －1>－12⎝⎛⎭⎫x －322＋1.。
浙江省七彩阳光联盟2020届高三上学期期初联考
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________第I 卷（选择题）一、选择题1．(12分)低碳经济是指在可持续发展理念指导下，尽可能地减少煤炭、石油等高碳能源消耗，减少温室气体排放，达到经济社会发展与生态环境保护双赢的一种经济发展形态。
下列是有关碳元素的相关转化，回答下列问题：(1)已知甲醇是一种清洁燃料，制备甲醇是煤液化的重要方向。
若已知H 2(g)、CO(g)、CH 3OH(l)的燃烧热分别为∆H ＝－285.8kJ/mol 、△H ＝－283.0kJ/mol 、△H ＝－726.5kJ/mol ，CO(g)＋2H 2(g)CH 3OH(l) △H ＝ kJ/mol 。
(2)一定温度下，一定可以提高甲醇合成速率的措施有( )A.增大起始通入2()()n CO n H 值 B.恒温恒容，再通入氦气C.使用新型的高效正催化剂D.将产生的甲醇及时移走E.压缩体积，増大压强(3)在恒温恒容条件下，下列说法可以判定反应CO(g)＋2H 2(g)CH 3OH(g)已经达到平衡状态的是( )A.体系中碳氢单键数目不再改变B.体系中n(CO)：n(H 2)不再改变C.体系中压强或者平均摩尔质量不再改变D.单位时间内消耗氢气和CH 3OH 的物质的量相等(4)在恒压的容器中，曲线X、Y、Z分别表示在T1°C、T2°C和T3°C三种温度下合成甲醇气体的过程。
控制不同的原料投料比，CO 的平衝转化率如下图所示：①温度T1°C、T2°C和T3°C由高到低的順序为：；②若温度为T3°C时，体系压强保持50aMPa，起始反应物投料比n(H2)/n(CO)＝1.5，则平衡时CO和CH3OH的分压之比为，该反应的压强平衡常数K p的计算式为。
(K p生成物分压幂的乘积与反应物分压幂的乘积的比值，某物质的分压等于总压强×该物质的物质的量分数)。
2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三联考(十一)数学试卷
2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三联考（十一）数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x y ，则A∩B ＝ A.{－1，1} B.{0} C.{－1，0，1} D.{－1，0，1，2}2.已知i 为虚数单位，设21iz i+=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）A.22144x y -= B.22188x y -=C.22148x y -=D.22184x y -=4. 已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他罚球2次的得分η的数学期望为（ ） A 、1.3 B 、1.5 C 、1.4 D 、1.66.若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（ ） （A ）−7 （B ）1（C ）5（D ）77.函数sin ln()sin x xy x x-=+的图象大致是（ ）8．已知函数)1,0(3)1(log ≠>+-=a a x y a 所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{n a }的第二项与第三项，若11n n n b a a +=，数列{}n b 的前项和为n T ，则10T = （ ） A ．911B ．1011C ．1D ．11129.在平面上，1e ，2e 是方向相反的单位向量，|a |＝2 ，(b -1e ) •(b -2e ) ＝0 ，则|a -b |的最大值为（ ） A. 1B. 2C. 2D. 310. 设R x ∈，函数)(x f 单调递增，且对任意实数x ，有[]1)(+=-e e x f f x，（其中e 为自然对数），求)2(ln f = （ ）A ．1+eB ．1C ．3+eD ．3非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题有7小题，多空题每小题6分，单空题4分，共36分。
2019-2020学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.(文)已知复数z=6+8i，则−|z|=()A. −5B. −10C. 149D. −1692.双曲线x24−y29=1焦点坐标是()A. (±√13,0)B. (±√5,0)C. (±2,0)D. (±3,0)3.设实数x，y满足约束条件{3x+y≥5x−4y≥−7x≤2，则z=x+4y的最大值为()A. −2B. 9C. 11D. 4144.已知命题p：x2+2x−3>0；命题q：x−ax−a−1>0，且¬q的一个必要不充分条件是¬p，则a的取值范围是()A. [−3,0]B. (−∞,−3]∪[0,+∞)C. (−3,0)D. (−∞,−3)∪(0,+∞)5.已知a∈R，函数f(x)=sin x−|a|(x∈R)为奇函数，则a等于()A. 0B. 1C. −1D. ±16.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于()A. 32cm3 B. 2cm3 C. 3cm3 D. 9cm37.已知甲盒子中有m个红球，n个蓝球，乙盒子中有m−1个红球，n+1个蓝球(m≥3,n≥3)，同时从甲乙两个盒子中取出i(i=1,2)个球进行交换，(a)交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为p i(i=1,2).(b)交换后，乙盒子中含有红球的个数记为ξi(i=1,2).则()A. p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2)B. p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2)C. p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)D. p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2)8.已知函数f(x)=log2x+3,x∈[1,4]，则函数g(x)=f(x2)−[f(x)]2的最小值为()A. −11B. −18C. −38D. −69.如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD).若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是()A. 与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B. 过E作EG//BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG为定值C. 一定存在某个位置，使DE⊥MOD. 三棱锥A1−ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值10.已知函数f(x)=x2+2ax在x∈[−2,1]上有最小值−1，则a的值为()A. −1或1B. 54C. 54或−1 D. 54或1或−1二、填空题（本大题共7小题，共34.0分）11.已知集合A={x|−1<x<3}，B={1,2，3，4，5}，则(∁R A)⋂B=________．12.已知(x−ax)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是______．13.已知直线ax+y−2=0与圆心为C的圆(x−1)2+(y−a)2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=________．14.在等差数列{a n}中，a5+a6=35，则S10=______ ．15.已知a⃗=(3,−4)，b⃗ =(2,3)，则2|a⃗|−3a⃗⋅b⃗ =______ ．16.四女生与两男生排成一队，女生甲与两男生至少一个相邻的排法种数为______ ．17.已知正数a，b满足3a+2b=1，则2a +3b的最小值为_________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.设函数f(x)=√3sinxcosx+sin2x.(1)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最大值；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，f(C2)=1，且C为锐角，c=√3，求a−b的取值范围．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，∠ABC=90°，△ADP是边长为2的等边三角形，且AD=AB，BP=3，AD⊥PB，E为AD的中点．(Ⅰ)求证：AD⊥平面PBE；(Ⅱ)求直线BC与平面ADP所成角的正弦值．20.设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=4，且8S1，5S2，2S3成等差数列，b n=log2a n．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)c n=2b n，求数列{c n}的前n和T n．(2b n−1)(2b n+1−1)21.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|．(1)求p的值；(2)已知点T(t,−2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为−8，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标．3+e ax−1(e为自然对数的底数)．22.已知a∈R，函数f(x)=−lnxx(Ⅰ)若a=1，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)的最小值为a，求a的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．直接利用复数的求模公式求解即可．【解答】解：复数z =6+8i ，则−|z|=−√62+82=−10．故选B ．2.答案：A解析：解：双曲线x 24−y 29=1，可得a =2，b =3，c =√4+9=√13，双曲线的焦点坐标是(±√13,0)．故选：A ．利用双曲线方程，转化求解焦点坐标即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.答案：C解析：【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合即可求解．本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是中档题．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数z =x +4y 为y =−x 4+z4，联立{x =2x −4y =−7，解得A(2,94)， 由图可知，当直线z =x +4y 过点(2,94)时，z 取得最大值11．故选C ．4.答案：A解析：解：p ：x 2+2x −3>0；解得：x >1或x <−3，故￢p ：−3≤x ≤1，命题q ：x−a x−a−1>0，解得：x >a +1或x <a ，故￢q ：a ≤x ≤a +1，若¬q 的一个必要不充分条件是¬p ，则[a,a +1]⊊[−3,1]，故{a +1≤1a ≥−3，解得：a ∈[−3,0]， 故选：A ．分别求出关于p ，q 的不等式，得到￢p ，￢q ，根据集合的包含关系得到关于a 的不等式组，解出即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．5.答案：A解析：【分析】本题考查由奇偶性求参数，属于基础题．利用奇函数定义中的特殊值f(−x)=−f(x)即可解决．【解答】解：因为f(x)定义域为R ，且为奇函数，∴f(−x)=sin(−x)−|a|=−f(x)=−sin x +|a|．∴|a|=0，∴a =0．6.答案：A解析：解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直， ∴V =13×12×3×1×3=32． 故选：A ．该三棱锥高为3，底面为直角三角形．本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，是基础题．7.答案：A解析：解：根据题意有如果交换一球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的是乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的是乙盒的红球，红球的个数就会出现m ，m −1，m +1三种情况，如果交换的是两个球，有红球换红球，蓝球换蓝球，一蓝一红换一蓝一红，红换蓝，蓝换红，一蓝一红换两红，一蓝一红换两蓝，对应的红球个数是m −2，m −2，m ，m +1，m +2五种情况，∴p 1>p 2，E(ξ1)<E(ξ2).故选：A ．首先需要分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪能些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望．该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会求，以及变量的可能取值会分析是多和，利用期望公式能求出结果． 8.答案：A解析：【分析】本题考查了复合函数的不等式的求解和对数函数的应用，以及用换元法求复合函数的值域，考查了运算求解能力，属于中档题．先解g(x)的定义域，然后利用换元法求所求函数的值域即可．【解答】解：由f(x)=log 2x +3 , x ∈[1 , 4]，则{1≤x ≤41≤x 2≤4得1≤x ≤2，所以g(x)的定义域为[1,2]， 令log 2x =t ，故t ∈[0,1]，∴g(x)=f(x 2)−f 2(x)=log 2x 2+3−(log 2x +3)2=−(log 2x)2−4log 2x −6，即y =−t 2−4t −6=−(t +2)2−2，t ∈[0,1]，当t =1时，y 的最小值为−11∴函数g(x)=f(x 2)−[f(x)]2的最小值为−11，故选A ．9.答案：C解析：解：对于A ，延长CB ，DE 交于H ，连接A 1H ，由E 为AB 的中点，可得B 为CH 的中点，又M 为A 1C 的中点，可得BM//A 1H ，BM ⊄平面A 1DE ，A 1H ⊂平面A 1DE ，则BM//平面A 1DE ，故与平面A 1DE 垂直的直线必与直线BM 垂直，则A 正确；对于B ，设AB =2AD =2a ，过E 作EG//BM ，G ∈平面A 1DC ，则∠A 1EG =∠EA 1H ，在△EA 1H 中，EA 1=a ，EH =DE =√2a ，A 1H =√a 2+2a 2−2⋅a ⋅√2a ⋅(−√22) =√5a ，则∠EA 1H 为定值，即∠A 1EG 为定值，则B 正确；对于C ，连接A 1O ，可得DE ⊥A 1O ，若DE ⊥MO ，即有DE ⊥平面A 1MO ，即有DE ⊥A 1C ，由A 1C 在平面ABCD 中的射影为AC ，可得AC 与DE 垂直，但AC 与DE 不垂直．则不存在某个位置，使DE ⊥MO ，则C 不正确；对于D ，连接OA ，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得三棱锥A 1−ADE 外接球球心为O ，半径为√22a ， 即有三棱锥A 1−ADE 外接球半径与棱AD 的长之比为定值．则D 正确．故选：C ．对于A ，延长CB ，DE 交于H ，连接A 1H ，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM//平面A1DE，即可判断A；对于B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B；对于C，连接A1O，运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得AC与DE垂直，即可判断C；对于D，由直角三角形的性质，可得三棱锥A1−ADE外接球球心为O，即可判断D．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，难度中档．10.答案：A解析：解：函数的对称轴是x=−a，−a≤−2，即a≥2时，f(x)在[−2,1]递增，f(x)min=f(−2)=4−4a=−1，解得：a=5，舍，4−2<−a<1即−1<a<2时，f(x)在[−2,−a)递减，在(−a,1]递增，故f(x)min=f(−a)=−a2=−1，解得：a=1，−a≥1即a≤−1时，f(x)在[−2,1]递减，故f(x)min=f(1)=1+2a=−1，解得：a=−1，综上，a=1或−1，故选：A．根据二次函数的性质，通过讨论a的范围求出函数的最小值，得到关于a的方程，解出即可．本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道常规题．11.答案：{3,4，5}解析：【分析】本题考查集合的交、补运算，考查考生对基础知识的掌握情况．【解答】解：因为A={x|−1<x<3}，所以∁R A=(−∞,−1]⋃[3,+∞)，所以(∁R A)⋂B={3,4,5}．故答案为{3,4，5}．12.答案：1或6561解析：解：T r+1=C8r⋅x8−r⋅(−ax−1)r=(−a)r C8r⋅x8−2r．令8−2r=0，∴r=4．∴(−a)4C84=1120，∴a=±2．当a=2时，令x=1，则展开式系数和为(1−2)8=1．当a=−2时，令x=1，则展开式系数和为(1+2)8=38=6561．故答案为1或6561．利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项列出方程求出a，给二项式中的x赋值求出展开式中各项系数的和．本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具；赋值法是求展开式的系数和的重要方法．13.答案：4±√15解析：【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系的判定以及圆与弦的综合问题，属于一般题．首先根据△ABC为等边三角形，得到圆到直线的距离为√3，再用点到直线的距离公式，求得实数a 的值．解析：解：圆(x−1)2+(y−a)2=4的圆心为(1,a)，半径为2，∵直线与圆相交，∴△ABC为等边三角形，∴圆到直线的距离为Rsin60°=√3，=√3，故d=√a2+1平方得a2−8a+1=0，得a=4±√15．故答案为4±√15．14.答案：175解析：解：根据等差数列的性质得：a5+a6=a1+a10=35，=5×35=175，∴S10=10(a1+a10)2故答案为：175．根据等差数列的性质得：a5+a6=a1+a10=35，再由等差数列的前n项和公式求出S10的值．本题考查等差数列的性质、前n项和公式的合理运用，是基础题．15.答案：28解析：解：∵a⃗=(3,−4)∴|a⃗|=√32+(−4)2=5a⃗⋅b⃗ =3×2−4×3=−6∴2|a⃗|−3a⃗⋅b⃗ =28故答案为28．利用向量模的坐标公式求出|a⃗|，利用向量的数量积公式求出向量的数量积，代入求出值．本题考查向量模的坐标形式的公式、向量的数量积公式．16.答案：432解析：解：四女生与两男生排成一队，排法有A66=720(种)，女生甲与两男生都不相邻的排法种数有2类，2男生一起和不在一起即A32A33C41+A33C41C31A22=288(种)，所以女生甲与两男生至少一个相邻的排法种数为：720−288=432(种)．故答案为：432．首先求出六人一共有多少种排法，然后求出女生甲与两男生都不相邻的排法种数，前者减去后者，即可求出女生甲与两男生至少一个相邻的排法种数．本题主要考查排列组合的应用，属于中档题，解答此题的关键是求出女生甲与两男生都不相邻的排法种数．17.答案：24解析：【分析】根据题意2a +3b=(2a+3b)(3a+2b)=6+6+4ba+9ab，由基本不等式分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式应用的条件．【解答】解：正数a，b满足3a+2b=1，则2a +3b=(2a+3b)(3a+2b)=6+6+4ba+9ab≥12+2√4ba⋅9ab=12+12=24，当且仅当4ba =9ab，即a=16，b=14时，等号成立．故2a +3b的最小值为24，故选：24．18.答案：解：(1)f(x)=√32sin2x+1−cos2x2=√32sin2x−12cos2x+12=sin(2x−π6)+12，∵x∈[0,π2]，∴2x−π6∈[−π6,5π6]，∴当2x−π6=π2时，f(x)max=32．(2)f(C2)=sin(C−π6)+12=1，∴sin(C−π6)=12，又∵C为锐角，∴C=π3．∵c=√3，∴asinA =bsinB=√3sinπ3=2，∴a=2sinA，b=2sinB，又A+B=2π3，∴B=2π3−A,A∈(0,2π3)，∴a−b=2sinA−2sinB=2sinA−2sin(2π3−A)=sinA−√3cosA=2sin(A−π3)，又∵A∈(0,2π3)，∴A−π3∈(−π3,π3)，∴2sin(A−π3)∈(−√3,√3)，即a−b∈(−√3,√3)．解析：(1)由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x−π6)+12，由已知可求范围2x−π6∈[−π6,5π6]，利用正弦函数的性质可求最大值．(2)由已知可求sin(C−π6)=12，结合C为锐角，可求C，利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，利用三角函数恒等变换的应用可求a−b=2sin(A−π3)，结合范围A∈(0,2π3)，可求A−π3∈(−π3,π3)，利用正弦函数的性质可求其范围．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力，转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：∵AP=AD=DP，E为AD的中点，∴PE⊥AD，∵AD⊥PB，PE∩PB=P，PE，PB⊂平面PBE，∴AD⊥平面PBE；(Ⅱ)解：如图，连接DB，作BG⊥PE，垂足为G，延长AD，BC交于点H，连接GH，∵由(Ⅰ)得AD⊥平面PBE，BE⊂平面PBE，∴BE⊥AD，又AD=AB，E为AD的中点，∴△ABD为等边三角形，，∵AB//CD，∠ABC=90°，，且BD=AD=2，∴BC=√3，又由(Ⅰ)得AD⊥平面PBE，AD⊂平面PAD，∴平面PBE⊥平面ADP，又平面PBE∩平面ADP=PE，∴BG⊥平面ADP，∴∠BHG为直线BC与平面ADP所成角，∵BE=PE=√3,BP=3，∴cos∠BEP=BE2+PE2−BP2 2BE·PE=2×√3×√3=−12，又∠BEP是三角形内角，所以∠BEP=120°，，又∵CD=1，AB=2，AB//CD，∴CDAB =HCBH=12，又BC=√3，∴BH=2√3，∴sin∠BHG=BGBH =√34．即直线BC与平面ADP所成角的正弦值为√34．解析：本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)证明PE⊥AD，结合AD⊥PB，即可得证．(Ⅱ)连接DB，作BG⊥PE，垂足为G.说明∠BHG为直线BC与平面ADP所成角，通过求解三角形推出结果即可．20.答案：解：(1)由题意得10S2=8S1+2S3，即10(a1+a2)=8a1+2(a1+a2+a3)，化简得4a2=a3，即q=a3a2=4，所以an=4n，b n=log2a n=log24n=2n(n∈N∗).(2)由(1)可得，c n=2b n(2b n−1)(2b n+1−1)=22n(22n−1)(22n+2−1)=4n(4n−1)(4n+1−1)=13(14n−1−14n+1−1)∴T n=c1+c2+⋯+c n=13[(14−1−142−1)+(142−1−143−1)+⋯+(14n−1−14n+1−1)]T n=19−13(4n+1−1)解析：本题考查等比数列与等差数列的综合，难度适中.(1)等差与等比的综合.(2)裂项相消求和．21.答案：解：(1)设Q(x0,4)，由抛物线定义，|QF|=x0+p2，又|QF|=2|PQ|，即2x0=x0+p2，解得x0=p2，将点Q(p2,4)代入抛物线方程，解得p=4．(2)证明：由(1)知C的方程为y2=8x，所以点T坐标为(12,−2)，由题意得直线MN斜率不为0，设直线MN的方程为x=my+n，点M(y 128,y 1),N(y 228,y 2)，由{x =my +n y 2=8x 得y 2−8my −8n =0， 则y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−8n ， 所以k MT +k NT =y 1+2y 128−12+y 2+2y 228−12=8y 1−2+8y 2−2 =8(y 1+y 2)−32y 1y 2−2(y 1+y 2)+4=64m−32−8n−16m+4=−83，解得n =m −1，所以直线MN 方程为x +1=m(y +1)， 恒过点(−1,−1)．解析：本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用抛物线的定义，列出关系式，转化求解p 的值；(2)求出点T 坐标为(12,−2)，设直线MN 的方程为x =my +n ，点M(y 128,y 1),N(y 228,y 2)，由{x =my +n y 2=8x ，通过韦达定理以及斜率关系，求出直线MN 方程为x +1=m(y +1)，得到恒过定点．22.答案：解：(Ⅰ)a =1时，f(x)=−lnx x+e x−1，f′(x)=−1−lnx x 2+e x−1，当x >1时，f′(x)>−1−lnx x 2+1=x 2−1+lnxx 2>0，当0<x <1时，f′(x)<−1−lnxx 2+1=x 2−1+lnxx 2<0，所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)． (Ⅱ)由题意可知：−lnx x+e ax−1≥a 恒成立，且等号可取．即xe ax−1−ax −lnx ≥0恒成立，且等号可取．令g(x)=xe ax−1−ax −lnx 则g′(x)=(ax +1)(e ax−1−1x ) 由e ax−1−1x =0，得到a =1−lnx x ，设p(x)=1−lnx x，p′(x)=lnx−2x 2当x >e 2时，p′(x)>0；当0<x <e 2时，p′(x)<0．p(x)在(0,e 2)上递减，(e 2,+∞)上递增．所以p(x)min =p(e 2)=−1e 2 当a ≤−1e 2时，a ≤1−lnx x，即e ax−1−1x ≤0，在(0,−1a )上，ax +1>0，g′(x)≤0，g(x)递减；在(−1a,+∞)上，ax+1<0，g′(x)≥0，g(x)递增．所以g(x)min=g(−1a)设t=−1a ∈(0,e2]，g(−1a)=ℎ(t)=te2−lnt+1，ℎ′(t)=1e2−1t≤0，ℎ(t)在(0,e2]上递减，所以ℎ(t)≥ℎ(e2)=0故方程g(x)min=g(−1a )=0有唯一解−1a=e2，即a=−1e2．综上所述，当a≤−1e2时，仅有a=−1e2．满足f(x)的最小值为a，故a的最小值为−1e2．解析：(Ⅰ)a=1时，f(x)=−lnxx +e x−1，f′(x)=−1−lnxx2+e x−1，分别由f′(x)>0，f′(x)<0，进而求出函数f(x)的单调区间．(Ⅱ)由题意可知：−lnxx+e ax−1≥a恒成立，且等号可取．令g(x)=xe ax−1−ax−lnx转化为方程g(x)min=g(−1a)=0求解．本题考查利用导数的方法研究函数的单调性、极值、最值和分类讨论的思想方法，注意函数的定义域；属难题．。
2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三联考(一)数学试卷
2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三联考（一）数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：每小题4分，共40分1. 复数()()1i 2i z =+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．2B ．1CD2. 双曲线2222x y -=的焦点坐标为（ ）A ．()1,0± B．()C ．()0,1±D．(0,3. 若变量,x y 满足约束条件3,30,10,x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则2x y -的最小值是（ ）A ．3-B ．5-C ．3D ．54. 设,a b ∈R ，命题:p a b >，命题:q a a b b >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知函数()2x x f x e e e =-+，()3sin 2g x x =，下列描述正确的是（ ）A ．()f g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数B ．()f g x ⎡⎤⎣⎦是偶函数C ．()f g x ⎡⎤⎣⎦既是奇函数又是偶函数D ．()f g x ⎡⎤⎣⎦既不是奇函数也不是偶函数6. 某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．17. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出()*16,n n n N ≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着()*16,n n n N ≤≤∈的增加，下列说法正确的是（ ） A ．E ξ增加，D ξ增加 B ．E ξ增加，D ξ减小C ．E ξ减小，D ξ增加D ．E ξ减小，D ξ减小俯视图侧视图正视图8.已知函数()()2lg 1f x x x =-+，若函数()f x 在开区间()(),1t t t R +∈上恒有最小值，则实数t 的取值范围为（ ）A ．3111,,2222⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦9. 如图1，ABC △是以B 为直角顶点的等腰Rt △，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE △与BCF △分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE △与BCF △分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ） （1）直线AE ⊥直线BC （2）直线FC ⊥直线AE （3）平面EAB ∥平面FGT （4）直线BC ∥直线AEA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图2图1C10. 已知二次函数()22019f x x x =++图象上有三点()()1,1A m f m --，()(),B m f m ，()()1,1C m f m ++（m ∈R ），则当m 在实数范围内逐渐增加时，ABC △面积的变化情况是（ ） A ．逐渐增加B ．先减小后增加C ．先增加后减小D ．保持不变二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 设集合{}02A x x =∈<<R ，{}1B x x =∈<R ，则A B = ，()A B =Rð ．12. 已知()5121ax x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（0a ≠），若展开式中各项的系数和为81，则a = ，展开式中常数项为 ．13. 已知直线l 的方程为30x y λλ+-=（λ∈R ），则直线l 恒过定点 ，若直线l 与圆22:20C x y x +-=相交于A ，B 两点，且满足ABC △为等边三角形，则λ= ．14. 已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +-=（*n ∈N ），则n a = ，471034n a a a a +++++= ．15. 已知单位向量e ，平面向量,a b 满足2⋅=a e ，3⋅=b e ，0⋅=a b ，则-a b 的最小值为 ．16. 高三年级有3名男生和3名女生共六名学生排成一排照像，要求男生互不相邻，女生也互不相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同排法有 种（用数字作答）．17. 已知正实数,a b 满足212100a b a b+++-=，则2a b +的最大值为 ．三、解答题：5小题，共74分18.已知函数()cos f x x x =-．（1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域；（2）在ABC △中，内角A ,B ,C 的对应边分别是a ，b ，c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围．19. 如图，在三棱锥S ABC -中，SAC △为等边三角形，4AC =，BC =BC AC ⊥，cos SCB ∠=，D 为AB 的中点． （1）求证：AC SD ⊥；（2）求直线SD 与平面SAC 所成角的大小．SDCBA20. 已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=， 24612a a a ++=，等比数列{}n b 的公比1q >，且2420b b a +=，38b a =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足4n n n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <．21. 已知抛物线C ：24x y =，A ，B ，P 为抛物线上不同的三点．（1）当点P 的坐标为()2,1时，若直线AB 过抛物线焦点F 且斜率为1，求直线AP ，BP 的斜率之积；（2）若ABP △为以P 为顶点的等腰直角三角形，求ABP △面积的最小值．22. 已知函数()2x f x e e x=-⋅（其中e 为自然对数的底数）． （1）求()f x 的单调区间； （2）已知关于x 的方程()2x mf x e x⋅=有三个实根，求实数m 的取值范围．高三数学参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.D2.B3.B4.C5.B6.A7.C8.A9.C 10.D二、填空题：（本大题共7小题，双空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）11. {}10<<x x ，{}21≥<x x x 或 12. 32-,10 13. )0,3(，1339± 14. 23-n ，()2209)1(++n n 15. 5 16. 40 17. 9三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18.解：()1由题意得()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，------------------------3分5366x πππ≤-≤，所以()[]1,2f x ∈. ------------------------6分()2由78,663fA fB ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得4sin sin 3A B +=， ------------------------.8分4sin sin 3sinB sin Ba Ab B -==413sin B =-,而1sin 13B ≤≤, ...............12分所以1,33a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.------------------------14分19. ()1证明：分别取线段AC 、AB 的中点记为O 、D ，连接SO 、OD ，因为 SAC ∆为等边三角形，则AC SO ⊥， 又OD //BC ，则AC OD ⊥，O OD SO = ， 则AC 平面SOD ⊥，所以AC SD ⊥.------------------------6分()2延长SO ，过D 做SO 延长线的垂线，垂足记为H ，易知DH ⊥平面SAC ， 所以DSH ∠为直线SD 与平面SAC 所成角.------------------------10分在SBC ∆中，因为cos SDA+cos SDB=0∠∠，求得=6SD ， ------------------------12分又1OD=2DSH=6π∠， 故直线SD 与平面SAC 所成的角为6π. .------------------------15分 20.解：（1）na d a a a a a a a a n =∴=∴==∴=++=++14,312,943642531------2分208,20311342=+∴==+q b q b b b b ① 821=q b ②由①②得2=q 或21=q (舍）21=b n n b 2=∴------------------------5分 （2）n n n c 24-=3224341+-⨯=∴+n n n B---------------------9分)121121(23)12)(12(32211---=--=∴++n n n n n n n B b -----------------13分23)1211(231<--=∴+n n T ----------------------------------15分21.解（1）直线AB 方程：1+=x y ，设),(),,2211y x B y x A （联立方程⎩⎨⎧=+=yx x y 4120442=--⇒x x4,42121-==+x x x x . .....................2分⋅--=⋅∴2111x y K K BP AP ⋅--2122x y =424221+⋅+x x =164)(22121+++x x x x2116484=++-= ....................5分（2）设),(),,2211y x B y x A （),22t t P （，，设直线BP 斜率为K设直线BP 方程)2(-2t x k t y -= 不妨)0(>k联立方程⎩⎨⎧==y x 42t)-k(x t -y 22048422=-+-⇒t kt kx x 211482,42t kt t x k t x -=⋅=+ ....................7分 =-+=∴t x k BP 2112t k k -+214 同理可得t kk AP ++=∴11142 ....................9分 由BP AP =得kk k t +-=231 ....................11分 故：222)1(821t k k BP AP S ABP -+==∆16)1(2)1()2(8)1()1()1(8222222222=++≥+++=k k k k k k k k 当且仅当1=k 时取等号，所以ABP ∆面积最小值为16.....................15分22.解：（1）22)(ex e x f x+= 0222>+=ex e ex x ......................3分 又 0≠x)(x f ∴增区间为()0-，∞，()∞+，0......................5分 （2）由题得2)2(xm e ex e x x =⋅-有三个实根所以m e exe x x x =⋅-)2(2有三个非零实根 即m exe xe x x =-)2(有三个非零实根......................7分 令)0)(≠⋅==x e x x g t x （)01)('≠⋅+=x e x x g x （）（ )(x g ∴在()1--，∞单调递减，），（∞+1-单调递增......................9分022=--∴m t e t 一个根在⎪⎭⎫ ⎝⎛0,e 1-，另一个根在()∞+，0；或者一个根等于e 1-，另一个根在⎪⎭⎫ ⎝⎛0,e 1-内（舍） ......................12分令=)(t h m t et --22 由⎪⎩⎪⎨⎧<=>-0)0()2(0)1(h eh e h 230e m <<⇔ ......................15分。
浙江省七彩阳光联盟2023-2024学年高三上学期开学数学试题及答案
2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟返校考高三数学学科试题1.若,M N 是I 的非空子集，M N M ⋃=，则考生须知：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（）A.M N⊆ B.N M⊆ C.I N M⊆ð D.I M N⊆ð2.若()1i 1z -=+（i 是复数单位），则z =（）A.1D.23.6611x x x x ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为（）A.-30B.0C.15D.304.设,a b 为正实数，则“a b >”是“22log ab >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从()2105,15X N ~，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（）A.23B.46C.159D.317附：若()2,N ξμσ~，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=.6.已知,a b 是异面直线，P 是空间任意一点，存在过P 的平面（）A.与,a b 都相交B.与,a b 都平行C.与,a b 都垂直D.与a 平行，与b 垂直7.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 作不与x 轴垂直的直线l 交C 于,A B 两点，设OAB 的外心和重心的纵坐标分别为,m n （O 是坐标原点），则mn的值为（）A.1B.34C.12D.388.已知数列{}n a 的前n 项和为()2*1221,1,2,Nn n n n S a a a a a n n ++===+∈，则下列结论不正确的是（）A.1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列B.{}221n n a a +-是递增数列C.101023S < D.13n na a +<二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()()1,1,2,0a b ==-，则下列结论正确的是（）A.||||a b =B.a与b的夹角为3π4C.()a b a+⊥ D.b在a上的投影向量是()1,1--10.已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期3πB.π12f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.()f x 的图象关于直线πx =对称D.()f x 的图象向左平移π4个单位长度后关于y 轴对称11.已知函数()(),f x g x 定义域为R ，且()()()()()()()()()(),f x g y f y g x f x y g x g y f x f y g x y -=--=-，()00g ≠，则下列结论正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()g x 为偶函数C.若()()111f g +=，则()()1001001f g -=D.若()()111f g -=，则()()1001001f g +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，则不同去法的种数为__________.（用数字作答）13.函数()()π2cos sin2R 4f x x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭的值域为__________.14.已知正四面体ABCD 的边长为1,P 是空间一点，若222253PA PB PC PD +++=，则PA 的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，15932,5a a a a =+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1211,Nn n n n b a b a b n ++==∈，求{}nb 的通项公式及其前n 项和nS .16.（15分）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面,ABCD PAC 为等边三角形，AD ∥BC ，,22,BC CD BC CD AD M ⊥==是棱PA 的中点.（1）证明：PB MC ⊥；（2）求平面PAB 与平面PCD 所成角的余弦值.17.（15分）许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为13，每次套娃娃费用是10元.（1）记随机变量X 为小朋友套娃娃的次数，求X 的分布列和数学期望；（2）假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望.18.（17分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，双曲线222:1(0).2x C y x P -=>是1C 的右顶点，过P 作直线1l 分别交1C 和2C 于点,A C ，过P 作直线2l 分别交1C 和2C 于点,B D ，设12,l l 的斜率分别为12,k k .（1）若直线AB 过椭圆1C 的右焦点，求12k k ⋅的值；（2）若121k k ⋅=-，求四边形ABCD 面积的最小值.19.（17分）设实数0a >，已知函数()()2ln xf x e ax a ax =-+.（1）当1a =时，求函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()0f x ≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，求a 的取值范围.2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟返校考高三数学参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.8.提示：由题意易得0n a >，由221n n n a a an ++=+得21121112n n n n n n n n a a a a na a a a a a +++++=+>≥=，所以A 正确；且1121212n n n n n n a a a a a a a ----=⋅> ，所以91010122211023S >+++=-= ，故C 错误；由上面知{}n a 也是递增数列，所以2222122n n n n n a a a n a a +++++=<，即22222221112n n n n n n a a a a n a a ++++->-+>-，所以B 正确；由上得211112111222n n n n n n n n n n n n n a a a a n n na a a a a a ++++--++=+<+=+⋅，累加得()1235231123122222n n n a a n n a a +--<+++++≥ ，用错位相减法可求得()352323123183122222992n n n n n ---+++++=-≥⋅ ，所以12383123992n n n a n a +-+=+-<⋅，故D 正确.二､多项选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.11.提示：由()()()()()f x g y f y g x f x y -=-得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，所以()()f y x f x y -=--，故()f x 是奇函数，所以A 正确；由()()()()()g x g y f x f y g x y -=-得()()()()()g y g x f y f x g y x -=-，所以()()g y x g x y -=-，故()g x 是偶函数，所以B 正确；由题意得()()()()()()()()()()f x yg x y f x g y f y g x g x g y f x f y ---=--+()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+⋅-⎣⎦⎣⎦，令1y =得()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦由()f x 是奇函数得()00f =，且()()()()220]0]0,00g f g g ⎡⎡-=≠⎣⎣，解得()01g =当()()111f g +=时，()()()()100100001f g f g ⎡⎤-=-=-⎣⎦，所以C 错误.由题意得()()()()()()()()()()f x yg x y f x g y f y g x g x g y f x f y -+-=-+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-⋅+⎣⎦⎣⎦，令1y =得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦当()()111f g -=时，()()()()100100100(1)001f g f g ⎡⎤+=-+=⎣⎦，所以D 正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.32；13.3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；14.66；15.提示：设O 是正四面体ABCD 内切球的球心，由体积法可求正四面体ABCD的内切球半径为12，正四面体ABCD的外接球半径为4，则22222222PA PB PC PD PA PB PC PD+++=+++ 2222()()()()PO OA PO OB PO OC PO OD =+++++++ ()22424PO PO OA OB OC OD OA=+++++222354044423PO PO ⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭，即612PO =，所以P 是正四面体ABCD 内切球上一点，故PA的最小值为4126OA PA -=-=.四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得，()1121252a d a d +=+，所以，3d =故，{}n a 的通项公式为()1131n a a n d n =+-=-.（2）由21n n n n a b a b ++=得，123135n n n n b a n b a n ++-==+，所以()()11221112113103231n n n n n n n n n b b b a a b a b b b b a a a n n -----+=⋅=⋅=+- ，所以()()103231n b n n =+-.由()()101011323133132n b n n n n ⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭得1011111110115325583132323232n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=--= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ .16.【解折】（1）在梯形ABCD 中，由AD ∥,,22BC BC CD BC CD AD ⊥==，得AB AC ⊥.又平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD ⋂平面,PAC AC AB =⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC 又等边,PAC M 是棱PA 的中点，所以MC PA ⊥，所以MC ⊥平面PAB ，故PB MC ⊥.（2）方法一：取AC 中点O ，易知OP AC ⊥，所以OP ⊥平面ABCD，建立如图空间直角坐标系O xyz -，设4BC =，则()C ()(()0,,0,0,,0,,,22A P M D ⎛-- ⎝⎭，由（1）知平面PAB的一个法向量是0,,22CM ⎛=- ⎝⎭ ，又)(,0,DC CP ==设(),,n x y z =是平面PCD 的法向量，则0000n DC n CP ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，令1z =，可得()n =，所以cos ,7n CM n CM n CM⋅===-，故，平面PAB 与平面PCD 所成角的余弦值为7.方法二：延长BA 和CD 交于E 点，连接PE ，则平面PAB ⋂平面PCD PE=因为由（1）MC ⊥平面PAB 所以过M 作MF PE ⊥于F 点，连接FC ，又因为CM PE ⊥，PE CM ⊥所以PE ⊥面MCF ，所以PE CF ⊥则MFC ∠为平面PAB 与平面PCD 所成角的平面角.又因为设4BC =则4,1,PB MF MC ===CF =，所以cos 7MFC ∠=故平面PAB 与平面PCD 所成角的余弦值为77.17.【解析】（1）由题意知，随机变量X 的取值为1,2,3,4，则()()()()231212214281,2,3,433393327327P X P X P X P X ⎛⎫⎛⎫====⨯===⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即X 的分布列为X 1234P1329427827所以()124865123439272727E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）易知小朋友套娃娃未成功的概率为4216381⎛⎫=⎪⎝⎭.，则小朋友套娃娃成功的概率为166518181-=.记摊主每天利润为Y 元，则Y 的期望为()()65656526003010183010188127819E Y E X ⎡⎤⎡⎤=⨯⨯-⨯=⨯⨯-⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故摊主每天利润的期望为26009元.18.【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 方程为1x my =+，与椭圆方程联立，得()22121222212210,,,22m my my y y y y m m --++-=+==++()()()212121212224222,1122m x x m y y x x my my m m -++=++==++=++，所以1232k k +⋅===-.（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，直线,AC BD方程分别为12121x n y x n y n n =+==-，联立1x n y =+2212x y +=得1121222n y n -=+，同理2222222n y n -=+，联立1x n y =+2212x y -=得13212y n -=-，同理24222y n -=-，所以四边形ABCD面积为12412S AC BD y y y =⋅=--=令2212t n n =+，易知221202,02n n <<<<，且121n n =-，则52,,2t S ⎡⎫∈=⎪⎢⎣⎭因为S 关于t 单调递增，所以min 64212825169S ⨯==-，当S 取最小值1289时，122,1,1t n n ===-，经检验满足题意.19.【解析】（1）当1a =时，()()12ln ,2xxf x e x x f x e x=-+-+'=()()12,11f e f e =-=-'所以所求切线方程为()()()112y e x e =--+-，即()11y e x =--.（2）由()0f x ≥得，()ln xe ax ax a ax -≥-（*）令()()ln ,x ag x x a x g x x'-=-=，易知()g x 在()0,a 上单调递减，(),a ∞+上单调递增当(]0,a e ∈时，因为[)1,x ∞∈+，所以,x e e a ax a ≥≥≥，所以不等式（*）等价于()()xg eg ax ≥，也等价于xe ax ≥，即x e a x≤，又()'210x x e x e x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，所以x e x 在[)1,x ∞∈+上单调递增，x e e x ≥，故(]0,a e ∈满足题意.当(),a e ∞∈+时，由xex在[)1,∞+上单调递增知，x e ax =在[)1,∞+上有唯一实数解，设为0x ，且()()000001,,,ln x x e ax ax x ∞∈+==.所以()00002ln 0xf x e ax a ax =-+=，所以要使()0f x ≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，则()00f x '=，另一方面，()()020000001220x a x a a f x e a ax a x x x '-=-+=-+=>，矛盾.故(),a e ∞∈+不满足题意，综合得，a 的取值范围为0a e <≤.（2）解法二：先证明()10f ≥对任意0a >恒成立，设()()()12ln (0),ln 1g a f e a a a a g a a ==-+>'=-，当()0,a e ∈时，()()0,g a g a '<在()0,e 上单调递减，(),a e ∞∈+时，()()0,g a g a '>在(),e ∞+上单调递增，所以()()0g a g e ≥=，即()10f ≥对任意0a >恒成立.又()2xa f x e a x =-+'，设()2x a h x e a x =-+，则()2xa h x e x=-'，易知()h x '单调递增，所以()()1h x h '≥'.当(]0,a e ∈时，()()10,0h e a h x =-≥'≥'，所以()h x 单调递增，()()()()10,f x h x h e a f x =≥=-≥'单调递增，所以()()10f x f ≥≥，符合题意.当(),a e ∞∈+时，同解法一.。
2020-2021学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三(上)返校联考数学试卷 (含答案解析)
2020-2021学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三(上)返校联考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x<2}，B={x≥1}，则A∪B=()A. {x|x<2}B. {x|1≤x<2}C. {x|x≥1}D. R2.若复数z=(a−√2)+3i为纯虚数，则log2a的值为()A. iB. 1C. 12D. −i3.已知等比数列{a n}中，a5=4，a7=6，则a9等于()A. 7B. 8C. 9D. 104.双曲线x29−y2b2=1(b>0)的一条渐近线方程为y=23x，则双曲线的离心率等于()A. √53B. 53C. 43D. √1335.“m>3”是“曲线mx2−(m−2)y2=1为双曲线”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知−1<a<4，1<b<2，则a−b的取值范围是()A. (−2,3)B. (−2,2)C. (−3,2)D. (−3,3)7.已知圆C1：(x+1)2+(y+1)2=1，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=9，A、B分别是圆C1和圆C2上的动点，则|AB|的最大值为()A. √41+4B. √41−4C. √13+4D. √13−48.已知(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯a8x8，则a1+2a2+3a3+⋯8a8=()A. −8B. 8C. −16D. 169.已知函数f(x)=ae x+bx2(a,b∈R)的图像如图，则()A. a <0,b >0B. a >0,b <0C. a >0,b >0D. a <0,b <010. 已知集合S ={x|3x +a =0}，如果1∈S ，那么a 的值为( )A. −3B. −1C. 1D. 3二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知|a −8b |+(4b −1)2=0，则log 2a b =__________． 12. 若sin 2θ+2cosθ=−2，则cosθ=______．13. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱为______．14. 设x ，y 满足约束条件{x −y ≥1x +y ≥12x −y ≤4，则z =x 2+(y +2)2的最小值为_______．15. 已知直线l 与圆M ：x 2+y 2=4交于A ，B 两点．若线段AB 的中点为P(1,1)，则直线l 的方程是______，直线l 被圆M 所截得的弦长等于______．16. 口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最小号码，则Eξ=________．17. 边长为2的等边△ABC 中，点M 为BC 边上的一个动点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知在锐角△ABC中，∠A=45°，a=2，c=√6，求B和边b．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∠CAA1=∠BAA1=60°，点D是AA1的中点．(1)求证：BD⊥平面AA1C1C；(2)求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．20.已知等比数列{a n}的公比为q>1，a1+a3+a5=42，a3+9是a1,a5的等差中项.数列{b n}的通项公式为b n=n√a−1+√a−1，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明：b1+b2+...+b n<√2n+1−1,n∈N∗．21.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(√3,12)，离心率e=√32(1)求椭圆的方程：(2)若直线y=kx+2与椭圆有两个交点，求出k的取值范围．22.已知函数．(Ⅰ)当a=3时，求函数f(x)在[12,2]上的最大值和最小值；(Ⅱ)函数f(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={x|x<2}，B={x≥1}，∴A∪B=R．故选：D．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：【试题解析】本题考查复数的概念，对数的运算，属于基础题．由复数z=(a−√2)+3i为纯虚数，求出a的值，然后再由对数运算进行求解即可．解：复数z=(a−√2)+3i为纯虚数，所以a−√2=0，解得a=√2，所以log2a=log2√2=12，故选C．3.答案：C解析：本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．设等比数列{a n}的公比为q，由题意可求得q2，a9=a7q2，代入求解即可．解：设等比数列{a n}的公比为q，则q2=a7a5=64=32，∴a9=a7q2=6×32=9．故选C．4.答案：D解析：解：根据题意，得a=3，ba =23，∴b=2，∴c=√a2+b2=√13，∴e=ca =√133．故选：D．首先，根据双曲线的焦点在x轴上，且渐近线方程已知，得到b的取值，然后，求解离心率即可．本题重点考查了双曲线的几何性质，理解双曲线的渐近线方程和离心率是解题关键，属于中档题．5.答案：A解析：当m>3时，m−2>0，mx2−(m−2)y2=1⇒x 21 m −y21m−2=1，原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有m>0,m−2>0⇒m>2；由以上说明可知m>3是“曲线mx2−(m−2)y2= 1是双曲线”充分而非必要条件．故本题正确选项为A．6.答案：D解析：本题考查了不等式的性质，是一道基础题．由1<b<2，得出−b的范围，然后利用不等式的基本性质求解即可．解：−1<a<4，①，∵1<b<2，∴−2<−b<−1，②，①+②得：−3<a−b<3，故选：D．7.答案：A解析：本题考查了圆与圆的位置关系应用问题，是基础题．求出两圆的圆心距d，再求圆C1、C2上的两点间的距离最大值．解：圆C1：(x+1)2+(y+1)2=1的圆心为(−1,−1)，半径为1，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=9的圆心为(3,4)，半径为3，则圆心距为d=√(−1−3)2+(−1−4)2=√41>1+3，两圆外离，∴圆C1和圆C2上的两点|AB|的最大值为d+r1+r2=√41+4．故选：A．8.答案：D解析：解：∵(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，∴两端求导得：8(1−2x)7×(−2)=a1+2a2x+3a3x2+⋯+8a8x7，令x=1得：a1+2a2+3a3+⋯8a8=8×(−1)×(−2)=16．故选：D．利用导数法与赋值法可求得a1+2a2+3a3+⋯8a8的值．本题考查导数与二项式定理的应用，对(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8两端求导是关键，也是难点，属于中档题．9.答案：B解析：本题考查了函数图象和利用导数研究函数的极值，属于基础题．由图象可得f(0)=a>0，故排除A，D，又由图象可得f(x)有极大值极小值，所以f′(x)=ae x+2bx= 0有两解，可得b<0，即可得出结论．解：由图象可得f(0)=a>0，故排除A，D，又由图象可得f(x)有增有减，有极大值和极小值，所以f′(x)=ae x+2bx=0有两不等的解，所以ae x=−2bx有两不等的解，即y=ae x与y=−2bx有两个不同的交点，所以−2b>0，即b<0，故排除C，选项B符合题意，故选B．10.答案：A解析：解：∵S ={x|3x +a =0}，且1∈S ， ∴3×1+a =0， 解得：a =−3． 故选：A ．根据集合S ={x|3x +a =0}，且1∈S ，知道1满足等式，解此方程即可求得实数a 的值． 此题考查元素与集合之间的关系，以及分式不等式的求解，对题意的正确理解和转化是解决此题的关键，属基础题．11.答案：14解析：本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果．解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14， 所以log 2a b =log 2214=14．故答案为14．12.答案：−1解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．利用同角三角函数的基本关系可得(cosθ−3)(cosθ+1)=0，由此解得cosθ的值． 解：∵sin 2θ+2cosθ=−2，∴1−cos 2θ+2cosθ=−2，(cosθ−3)(cosθ+1)=0， 解得cosθ=−1，或cosθ=3(舍去)， 故答案为：−1．13.答案：3解析：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．难度不大，属于基础题．由已知画出几何体，分别求出各棱长，得到最大值．解：由三视图得到几何体如图，CD=1，BC=√5，BE=√5，CE=2√2，DE=3；所以最大值为3，故最长边为DE=3．故答案为3．14.答案：92解析：本题主要考查线性规划的应用，属于中档题．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求解最小值．解：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为区域内的点到定点C(0,−2)的距离的平方，则由图象可知，当z=x2+(y+2)2所表示的圆与直线x+y−1=0相切时，距离最小，即C(0,−2)到直线x+y−1=0的距离d=√2=√2，所以z=d2=92，故答案为92．15.答案：x+y−2=02√2解析：解：∵P(1,1)为线段AB的中点，∴OP⊥AB，∵k OP=1，∴k AB=−1，则A，B所在直线l的方程为y−1=−1×(x−1)，即x+y−2=0；∵|OP|=√2，圆M：x2+y2=4的半径为2，∴直线l被圆M所截得的弦长等于2√22−(√2)2=2√2．故答案为：x+y−2=0，2√2．由已知求得OP的斜率，得到AB所在直线当斜率，由直线方程的点斜式可得直线l的方程，再由垂径定理求直线l被圆M所截得的弦长．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．16.答案：0.5解析：【试题解析】本题考查离散型随机变量的期望的计算，属基础题．首先确定ξ的可能取值，再分别求出相应的概率，则数学期望Eξ可求．解：ξ的可能取值为0，1，2，则P(ξ=0)=C42C53=35，P(ξ=1)=C32C53=310，P(ξ=2)=1C53=110，∴Eξ=0×35+1×310+2×110=0.5．故答案为0.5．17.答案：6解析：解：设BC 中点为D ，则AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =22+2×2×cos60°+BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =4+2+2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6．故答案为：6．设BC 中点为D ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此能求出结果．本题考查与向量的数量积的求法，考查向量加法定理、向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.答案：解：在锐角△ABC 中，由正弦定理得：a sinA =c sinC ，即√22=√6sinC ，解得sinC =√32，∴C =60°，∴B =180°−A −C =75°． ∴b =asinA sinB =2√22×√6+√24=√3+1．解析：在锐角△ABC 中，由正弦定理求得sinC =√32，可得C =60°，再由三角形内角和公式求得B ，利用正弦定理求得b 的值．本题主要考查正弦定理、根据三角函数的值求角，属于基础题． 19.答案：(1)证明：连接A 1B ，∵AB =A 1A ，∠BAA 1=60°，∴△BAA 1为正三角形;∵D 是AA 1的中点，∴BD ⊥AA 1，又∵平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ，平面AA 1C 1C ∩平面AA 1B 1B =AA 1，BD ⊂平面AA 1B 1B ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C .(2)解：连接DC1，由(1)知BD⊥平面AA1C1C，又DC1⊂平面AA1C1C，∴∠BC1D为直线BC1与平面AA1C1C所成的角，BD⊥DC1．设AB=2a，则正三角形△BAA1中，BD=√3a，△A1DC1中，A1D=a，A1C1=2a，∠DA1C1=120°，∴DC12=a2+(2a)2−2×a×2a×cos120°=7a2．故DC1=√7a，在Rt△BDC1中，BC1=√3a2+7a2=√10a，则sin∠BC1D=BDBC1=√3a10a=√3010，即直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值为√3010．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属于中档题．(1)连接A1B，推导出BD⊥AA1，由此能证明BD⊥平面AA1C1C.(2)连接DC1，则∠BC1D为直线BC1与平面AA1C1C所成的角，由此能求出直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．20.答案：解：(I)由a3+9是a1，a5的等差中项得a1+a5=2a3+18，所以a1+a3+a5=3a3+18=42，解得a3=8，由a1+a5=34，得8q2+8q2=34，解得q2=4或q2=14，因为q>1，所以q=2，所以a n=2n；(II)证明：由(I)可得b n=n√2n−1+√2n+1−1n∈N∗，∴b n=2n(√2n−1−√2n+1−1)(√2n−1+√2n+1−1)(√2n−1−√2n+1−1)=2n(√2n−1−√2n+1−1)−2n=√2n+1−1−√2n −1，∴b 1+b 2+⋯…+b n=(√22−1−√21−1)+(√23−1−√22−1)+⋯…+(√2n+1−1−√2n −1)=√2n+1−1−1<√2n+1−1．解析：(Ⅰ)由等差中项的性质可求得a 3=8，进而得到a 1+a 5=34，进一步求得公比q ，由此即可得解；(Ⅱ)化简b n ，由此即可得证．本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查化简运算能力及逻辑推理能力，属于中档题． 21.答案：解：(1)把点(√3,12)代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1，得3a 2+14b 2=1，由c a =√32及c 2=a 2−b 2， 可得a 2=4，b 2=1．则椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，化简得，(4k 2+1)x 2+16kx +12=0根据题意，得△=(16k)2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0，解得k >√32或k <−√32， 则k 的取值范围是(−∞,−√32)∪(√32,+∞)．解析：(1)代入点得到关于a ，b 的方程，由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解出a ，b ，得到椭圆方程；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，消去y ，得到关于x 的方程，由判别式大于0，即可得到k 的范围．本题考查椭圆的方程和性质，考查联立椭圆方程和直线方程，消去一个未知数，运用判别式大于0，属于基础题． 22.答案：解：(Ⅰ)a =3时，f′(x)=−2x +3−1x =−2x 2−3x+1x =−(2x−1)(x−1)x ，令f ′(x)>0，得12<x <1，令f ′(x)<0，得x >1 或 0<x <12，由于x ∈[12,2]，故此时x ∈(1,2], 故函数f(x)在区间(12,2)仅有极大值点x =1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在[12,2]最大值是f(1)=2，又f(2)−f(12)=(2−ln2)−(54+ln2)=34−2ln2<0，故f(2)<f(12)，故函数在[12,2]上的最小值为f(2)=2−ln2；(Ⅱ)若f(x)既有极大值又有极小值，则必须f′(x)=0有两个不同正根x 1，x 2，即2x 2−ax +1=0有两个不同正根．故a 应满足{Δ>0a 2>0⇒{a 2−8>0a >0⇒a >2√2, ∴函数f(x)既有极大值又有极小值，实数a 的取值范围是a >2√2．解析：本题主要考查学生会利用导数求闭区间上函数的最值，会利用导数研究函数的单调性，会求函数在某点取极值的条件．(Ⅰ)把a =3代入到f(x)中，求出导函数=0时x 的值为1得到函数的最大值为f(1)，然后判断f(12)和f(2)即可；(Ⅱ)若f(x)既有极大值又有极小值，首先必须f′(x)=0有两个不同正根，即2x 2−ax +1=0有两个不同正根，即可得到根的判别式大于0且两根之和大于0，求出a 的范围得到必要性；然后证明充分性：由a 的范围得到f′(x)=0有两个不等的正根，讨论导函数的正负即可得到函数既有极大值又有极小值．所以得到函数既有极大值又有极小值的a 的范围．。
2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三联考(十)数学试卷
2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三联考（十）数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
1. 已知集合{}41|<<-=x x P {}2|<=x x Q ，那么)(Q C P R =（ A ）A. )4,2[B. ),1(+∞-C. ),2[+∞D. ]2,1(-2、已知1F 和2F 是双曲线223x y -＝1的两个焦点，||21F F =（ ） A 、2 B 、 2 C 、22 D 、 43. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-+22042y y x y x ，则y x +3的最大值等于（ B ）A. 7B. 6C. 5D. 44．已知直线042:1=++y ax l ，02)1(:2=+-+y a x l ，则“1-=a ”是“21//l l ”的（C ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数||ln )1()(x xx x f -=的图像大致是（ D ）6.设20<<a ，随机变量X 的分布列是 则当a 增大时（ ） A. )(X D 增大 B.)(X D 减小 C.)(X D 先增大再减小 D. )(X D 先减小再增大7.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A.[1,2]- B [1,0]- C. D.[0,2]8.在边长为4的菱形ABCD 中，3=，9=⋅，则⋅=（ A）A. 8B. 7C.6D. 99.三位女生坐到二排四列的8个位子中，要求同列中最多只有一个女生，同排中任两个女生不相邻，则不同的排法数为（ A ）.A. 72B. 36C. 48D. 9610.若不等式0)6sin()|(|≤+--ππx b a x 对]1,1[-∈x 恒成立，则a b +的值是（ B ） A.32 B.65C.1D.2 [1,2]11.设复数52z i=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ，模为 ．12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm )，则该几何体最长的一条棱的长度是__________cm ；体积为__________3cm . 13.已知6622106...)1(x a x a x a a x ++++=-，则=2a ，=+-+-+-6543210a a a a a a a14.在ABC ∆中，︒=45C ，6=AB ，D 为BC 边上的点，且3,5==BD AD ，则=B cos ，=AC ． 15设{}n a 是公差不为0的等差数列，27262524a a a a +=+，则{}n a 的前10项和10S 为0 .16.已知F 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点，直线x ab y =交椭圆B A ,于两点，若31cos =∠AFB ，则椭圆C 的离心率是_____．17.如图，在ABC ∆中，3,10,7===BC AC AB ，过AC 的中点M 的动直线l 与线段AB交于点N ，将AM N ∆沿直线l 向上翻折至MN A 1∆，使得点1A 在面BCMN 上的射影H 落在线段BC 上，则直线M A 1与面BCMN 所成角的正弦值的取值范围为18.已知函数22()sin cos (cos sin )f x a x x b x x =--（x R ∈，a ，b 为常数），且()2f π=，1()124f π=-. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）当[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值. 18.解：（1）由题得：1()sin 2cos 22f x a x b x =-，由()2f π=，1()124f π=-，得11,44b a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩故1,2a b ==，∴11()sin 22sin(2)423f x x x x π=-=-， 当222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈时，()f x 的单调递增， 可得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， ∴()f x 的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈； （2）由（1）得1()sin(2)23f x x π=-， 由44x ππ-≤≤得：52636x πππ-≤-≤.∴11sin(2)32x π-≤-≤， 故()f x 在[,]44ππ-上的最大值为14，最小值为12-. 19.如图，在三棱锥A BCD -中，60BAC BAD DAC ∠=∠=∠=︒，2AC AD ==，3AB =.（1）证明：AB CD ⊥；（2）求二面角D AB C --的余弦值.19.解：（Ⅰ）∵60BAC CAD DAB ∠=∠=∠=︒，3AB =，2AC AD ==，∴ABC ABD ∆∆≌，BC BD =.取CD 的中点M ，连接,AM BM ，则CD AM ⊥，CD BM ⊥，又AM BM M ⋂=，∴CD ⊥平面ABM ，∴AB CD ⊥.（Ⅱ）在ABD ∆中，根据余弦定理，得2222cos607BD AB AD AB AD =+-⋅︒=，所以BD =1DE =，所以BE =AE =所以222AB BE AE =+，即AE BE ⊥.方法一：设CD 到平面ABD 的距离为h ，CD 与平面ABD 所成的角为α，因为A BCD C ABD V V --=，即1133ABE ABD CD S h S ∆∆⋅=⋅，所以122132sin 602ABEABD CD S h S ∆∆⋅⋅===⋅⋅⋅︒所以sin h CD α== 所以CD 与平面ABD. 方法二：则以AE 为z 轴，BE 为x 轴，CE 为y 轴，建立坐标系，则(0,1,0)A ，,(0,1,0)B -，C，D .所以(0,2,0)CD =-，(6,0,AB =，(0,1,AD =-.设平面ABD 的法向量为(,,)m x y z ，则00y -=--=⎪⎩，取m=， 则cos ,CDm ==， 即CD 与平面ABD.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足122+-=n a S n n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<..解:(1)在2*2n n T S n n N =-∈，中，令11111121211n T S a a a =⇒=-⇒=-⇔=。
2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三联考(十三)数学试卷
2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三联考（十三）数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U =R ，集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>则下列关系中正确的是（ ） A.P M = B.M P M = C.MP M = D.()U C M P =∅2.设纯虚数z 满足 11iai z-=+（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ） A.1B.－1C.2D.－23.若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A.[]6,0B.[]0,4C.[)6,+∞D.[)4,+∞4.已知,a b R ∈，下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是（ ）A.1a b >-B.1a b >+C.a b >D.22a b > 5.函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A B C D6.已知函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则（ ）A.(())1D D x =,0是()D x 的一个周期B.(())1D D x =,1是()D x 的一个周期C.(())0D D x =,1是()D x 的一个周期D.(())0D D x =,()D x 最小正周期不存在7.若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ）A.1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.(],0-∞C.(],1-∞D.(],5-∞ 8．若O 是ABC ∆垂心，6A π∠=且sin cos sin cos 2sin sin B C AB C BAC m B C AO +=，则m =（ ）A.129.已知二次函数2()(2)f x ax bx b a =+≤，定义{}1()max ()11f x f t t x =-≤≤≤，{}2()min ()11f x f t t x =-≤≤≤，其中{}max ,a b 表示,a b 中的较大者，{}min ,a b表示b a ,中的较小者，下列命题正确的是（ ）A.若11(1)(1)f f -=，则(1)>(1)f f -B.若22(1)(1)f f -=，则(1)(1)f f ->C.若21(1)(1)f f =-，则11(1)(1)f f -<D.若21(1)(1)f f =-，则22(1)(1)f f ->10.已知数列{}n a 满足2111,312n n n a a a a +=-=++，若12n nb a =+，设数列{}n b 的前项和为n S ，则使得2019S k -最小的整数k 的值为（ ）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 11. ()512x -展开式中3x 的系数为 ，所有项的系数和为 ． 12.等比数列{}n a中，12a a ==2201382019a a a a +=+ ，1234a a a a = ．13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知sin cos c A C =，则C =，若c =，ABC ∆，则a b += ． 14.已知函数222,0()2(1),0x x x f x f x x -⎧+-≥=⎨+<⎩，则3()2f -= ，若函数()()g x f x k =-有无穷多个零点，则k 的取值范围是 ．15.已知,x y R ∈且221x y xy ++=，则x y xy ++的最小值为 ． 16.已知平面向量,,a b c 满足,,015a b c a c b c ⋅==-=-=，则a b -的最大值 为 ．17.当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则7a b +的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18.(本题满分14分)已知函数()2sin cos()32f x x x π=++（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及最小值.19.(本题满分15分)已知在ABC ∆中，1AB =，2AC =．（Ⅰ）若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，求()2AD AB AC ⋅-uuu r uu u r uuu r；（Ⅱ）若点E 为BC 的中点，求2211AE BC+uu u r uu u r 的最小值．20.(本题满分15分)已知正项等差数列{}n a 满足：233312n n S a a a =+++，其中nS 是数列{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令()()()1412121n n n n nb a a -=--+，证明：122221n n b b b n ++++≤+.21.(本题满分15分)设函数(),x f x e ax a a R =-+∈，其图象与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，且12.x x <（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：0f '<.22.(本题满分15分)已知函数2()ln 2,.f x x ax bx a R =---∈ （Ⅰ）当2b =时，试讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若对任意的3(,)b e∈-∞-，方程()0f x =恒有2个不等的实根，求a 的取值范围.高三数学答案一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,11. -80 ， -1 12.98 ， 2913.3π， 7 14. ， 0≥k15. 45-16. 8 17. []8,4- 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（Ⅰ）3()sin(2),2223232f x x k x k ππππππ=+∴+≤+≤+所以单调减区间为32,2,;22k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭（Ⅱ）42max 1,min 333x f f πππ≤+≤∴== 19.（1）()()21220;33AD AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⋅-=+⋅-= ⎪⎝⎭uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r（2）()22224210AE BC AB AC+=+=Q()22222211111941010AE BC AE BC AE BC ⎛⎫∴+= +⎪+≥ ⎪⎝⎭20.（Ⅰ）2311123322121;2n a S a a n a S a a =⎧=⎧∴∴=⎨⎨==+⎩⎩ （Ⅱ）()()()()()1141111*********n n nn n b n n n n --=-=----+-+ ()121122111.212121nn n b b b n n n +∴+++=--≤+=+++L 21.22.（Ⅰ）2122(),0x ax f x x x--'=>()2210,()0,,+;44在递增递减a f x a a ⎛⎛⎫--+>∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()112=0,()0,,,+;22在递增递减a f x ⎛⎫⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()130,(),,2在递增递减a f x ⎛-<< ⎝⎭⎝⎭2;4递增a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()()14,()0,;2在递增a f x ≤-+∞（2）问题等价于ln 2x ax b x-=+有两解 令ln 2(),0x g x x x -=>有23ln (),0xg x x x-'=> ()()233()0;()0,,,;0,();,()0;在递增递减g e g x e e x g x x g x ∴=+∞→→-∞→+∞→ 30,0,,有图象知过作切线时斜率最大a a e ⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭()00000020003ln 2ln 52ln 53,设切点为有x x x x y y x x e x x x e---=+∴=-∴= 22220.此时斜率取到最大a a e e ∴<≤。
2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三上学期期中联考数学试题(解析版)
【详解】
（1）翻折时，若平面 平面 ，由于 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，
则 ，又 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，此时 ；
（2）设 ，则 ，且有 ，
翻折时，若点 、 重合，则 ， ，此时， ，
即 ；
（3）如下图所示：
翻折时，若平面 和平面 同时与平面 垂直，
取 的中点 ，连接 、 、 、 .
是等边三角形，且 为 的中点， .
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 .
平面 ，同理可证 平面 ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
、 分别为 、 的中点， ，
7．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有 个红球，乙盒子里有 个红球和 个黑球，现从乙盒子里随机取出 个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为 个，则随着 的增加，下列说法正确的是（）
A． 增加， 增加B． 增加， 减小
C． 减小， 增加D． 减小， 减小
【答案】C
【解析】由题意可知，从乙盒子里随机取出 个球，含有红球个数 服从超几何分布，即 ，可得出 ，再从甲盒子里随机取一球，则 服从两点分布，所以 ， ，从而可判断出 和 的增减性.
由题意可知 或 ，即 或 ，
解得 或 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用对数型复合函数的最值求参数，在解题时充分利用复合函数的单调性进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9．如图 ， 是以 为直角顶点的等腰直角三角形， 为线段 的中点， 是 的中点， 与 分别是以 、 为底边的等边三角形，现将 与 分别沿 与 向上折起（如图 ），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（）
浙江省“七彩阳光”联盟2020届高三期初联考数学试题Word版含解析
浙江省“七彩阳光”联盟2020届高三期初联考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.1.已知全集，则（）A. B. C. D.2.2.双曲线的一条渐近线方程为，则正实数的值为（）A. 9B. 3C.D.3.3.已知i是虚数单位，复数满足，则为（）A. B. C. D.4.4.已知函数，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5.5.“直线与直线平行”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.6.函数的图象大致是（）A. B. C. D.7.7.已知函数在上有两个不同的零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.8.设为正数，，若在区间不大于0，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.9.均为单位向量，且它们的夹角为，设满足，则的最小值为（）A. B. C. D.10.10.设实数成等差数列，且它们的和为9，如果实数成等比数列，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.11.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中，则满足的点的轨迹的圆心为____________，面积为____________.12.12.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为___________，表面积为____________.13.13.展开式中所有项的系数和为_________，其中项的系数为_____________.14.14.已知为实数，不等式对一切实数都成立，则_________.15.15.已知函数，则函数的最小的极值点为___________；若将的极值点从小到大排列形成的数列记为，则数列的通项公式为______.16.16.甲、乙、丙3人同时参加5个不同的游戏活动，每个游戏最多有2人可以参与（如果有2人参与同一个游戏，不区分2人在其中的角色），则甲、乙、丙3人参与游戏的不同方式总数是______________. 17.17.直线与椭圆相交于两点，与轴、轴分别相交于两点.如果是线段的两个三等分点，则直线的斜率为_____________.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.18.在中，角所对的边分别为，已知且（1）判断的形状；（2）若，求的面积.19.19.如图，已知四棱锥，底面为矩形，且侧面平面，侧面平面，为正三角形，（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.20.数列满足.（1）求的值；（2）如果数列满足，求数列的通项公式.21.21.已知抛物线的方程为，其焦点为，为过焦点的抛物线的弦，过分别作抛物线的切线，设相交于点.（1）求的值；（2）如果圆的方程为，且点在圆内部，设直线与相交于两点，求的最小值.22.22.已知函数（1）判断的单调性；（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.浙江省“七彩阳光”联盟2020届高三期初联考数学试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.1.已知全集，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求出，再求即可【详解】，则故选【点睛】本题主要考查了交集，补集的混合运算，属于基础题。
2020年七彩阳光联盟高三上学期期初联考数学试题及答案
【详解】
（1）取 的中点 ，连接 、 ， .在菱形 中，
∵ ，∴ 是正三角形，∴ ，
同理在菱形 ，可证 ，∴ 平面 ，∴ ，
又∵ ，∴ .
即 对任意实数 恒成立，根据图像知： ，或 ， ，
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图像是解题的关键.
10．已知数列 满足 ，前 项和为 ，且 ，下列说法中错误的（）
A． 为定值B． 为定值C． 为定值D． 有最大值
【答案】A
【解析】当 时， ，计算 ， ， 得到答案.
由抛物线的第二定义得
，
.
因此， .
（2）由 ， ， ，知
又 ，则
类似地，
故
.
结合 ，得
22．已知函数 .
（Ⅰ） 时，求 的单调区间；
（Ⅱ）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）求导得到 ，得到单调区间.
（Ⅱ） ，求导根据单调性得到 ，讨论 和 两种情况，分别计算函数的最值得到答案.
【答案】D
【解析】利用双曲线方程得出离心率，渐近线方程，实轴长，焦点坐标即可判断.
【详解】
由双曲线的方程 得，离心率为 ，渐近线方程为 ，实轴长为 ，焦点为
由双曲线的方程 得，离心率为 ，渐近线方程为 ，实轴长为 ，焦点为 ．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了双曲线的基本性质，属于基础题.
2020届浙江省七彩阳光联盟高三上学期期初联考数学试题（解析版）
2020届浙江省七彩阳光联盟高三上学期期初联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{B x y ==，则A B =（ ）A ．{}1,1-B ．{}0C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,2【答案】C【解析】计算{|B x x =≤，再计算交集得到答案.【详解】{{}{2||20|B x y x x x x ===-≥=≤，所以{}1,0,1A B =-.故选：C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.2．双曲线2213x y -=与双曲线2213y x -=有相同的（ ）． A ．离心率 B ．渐近线C ．实轴长D ．焦点【答案】D【解析】利用双曲线方程得出离心率，渐近线方程，实轴长，焦点坐标即可判断. 【详解】由双曲线的方程2213x y -=得，离心率为e ==，渐近线方程为y x =±，实轴长为()()2,0,2,0-由双曲线的方程2213y x -=得，离心率为221e ==，渐近线方程为y =，实轴长为2，焦点为()()2,0,2,0-． 故选：D 【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质，属于基础题.3．设变量x y ，满足约束条件30,20,20.x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．6B ．5C ．72D ．0【答案】B【解析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】作出满足约束条件的平面区域，如图所示，目标函数即2y x z =-+，z 表示直线与y 轴的截距，根据图像知：当21x y ==，时2z x y =+有最大值为5.故选：B.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.4．某几何体的三视图所示(单位:cm )，则该几何体的体积(单位:3cm )是( )A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】D【解析】由三视图还原出原几何体，确定几何体的结构后求体积． 【详解】由三视图知，原几何体是一个正方体在旁边挖去一个三棱柱，尺寸见三视图， 其体积为31221262V =-⨯⨯⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查三视图，考查柱体的体积．解题关键是由三视图还原出原几何体． 5．若0a b +>，则（ ） A ．ln ln 0a b +> B ．330a b +>C ． tan tan 0a b +>D ．a b >【答案】B【解析】由a b >-得()333a b b >-=-，所以330a b +>，其他选项用特殊值法排除，得到答案. 【详解】由a b >-得()333a b b >-=-，所以330a b +>.对于A ，取1a b ==，不成立；对于C 取a b π==，不成立；对于D 取1a b ==，不成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式的性质，取特殊值排除可以快速得到答案，是解题的关键. 6．“点(),a b 在圆221x y +=内”是“直线10ax by ++=与圆221x y +=相离”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据点与圆，直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】若点(),a b 在圆221x y +=内，则221a b +<则圆心O 到直线10ax by ++=的距离1d =>则直线10ax by ++=与圆221x y +=相离 反之直线10ax by ++=与圆221x y +=相离，则圆心O 到直线10ax by ++=的距离2211d a b=>+，即221a b +<，则点(),a b 在圆221x y +=内所以“点(),a b 在圆221x y +=内”是“直线10ax by ++=与圆221x y +=相离”的充分必要条件 故选：C 【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断，涉及点与圆，直线与圆的位置关系，属于基础题. 7．函数()2cos x x f x x+=，[)(],00,x ππ∈-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据定义域排除C D 、，()210f πππ-=>，排除B ，得到答案. 【详解】根据定义域排除C D 、，()210f πππ-=>，排除B . 故选：A. 【点睛】本题考查了图像的识别，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键.8．如图，四棱锥S ABCD -中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直线SA 与直线AD 所成角为α，直线SA 与平面ABCD 所成角为β，二面角S AB C --的平面角为γ，则（ ）A ．αβγ>>B ．γαβ>>C ．αγβ>>D ．γβα>>【答案】C【解析】过S 作SO ⊥平面ABCD ，过O 分别作OE BC OF CD ⊥⊥，于E F 、，连接OC SE SF ，，，则SCE SCO SFO αβγ∠=∠=∠=，，，比较大小得到答案.【详解】如图，过S 作SO ⊥平面ABCD ，过O 分别作OE BC OF CD ⊥⊥，于E F 、， 连接OC SE SF ，，，则SCE SCO SFO αβγ∠=∠=∠=，，，因为sin sin SE SO SC SCαβ=>=，所以αβ>， 又因为tan tan SO SE OF CE γα=<=，所以γα<，而tan tan SO SOOF OCγβ=>=，所以γβ>， 综上可得，αγβ>>， 故选：C.【点睛】本题考查了直线夹角，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．设()xf x e bx c =++，若方程()f x x =无实根，则（ ）A ．1,1b c ><B ．1,1b c >>-C ．1,1b c ≤<D ．1,1b c ≤>-【答案】D【解析】()f x x =无实根，当x →+∞时，()f x →+∞，故()f x x >恒成立，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】()f x x =无实根，当x →+∞时，()f x →+∞，故()f x x >恒成立，即()1xe b x c >--对任意实数x 恒成立，根据图像知：101b c ->-<，，或1b =，0c -≤，故选：D.【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图像是解题的关键.10．已知数列{}n a 满足()()1211n n n n a a n +++=-，前n 项和为n S ，且20191009m S +=-，下列说法中错误．．的（ ） A ．m 为定值 B ．1m a +为定值 C ．20191S a -为定值 D ．1ma 有最大值【答案】A【解析】当2n k =时，()()2122121k k k k a a k +++=-，计算11m a +=，201911010S a ，114ma ≤得到答案. 【详解】当2n k =时，由已知得()()2122121k k k k a a k +++=-，所以()()()201912320191234520182019S a a a a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+=+++++⋅⋅⋅++1112468102018100820181010a a a =-+-+-+⋅⋅⋅-=+-=-，故2019111010,10101009S a m a -=-+-=-，故11m a +=，所以211124m a ma +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 112m a ==时等号成立. 故选：A. 【点睛】本题考查了数列的求和，确定()()2122121k k k k a a k +++=-是解题的关键，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题11．设()2lg xf x x =+，则()1f =____________，()()25f f += ____________.【答案】2 37【解析】直接代入数据计算得到答案. 【详解】()()()2512,252lg 22lg537f f f =+=+++=.故答案为：2；37. 【点睛】本题考查了函数值的计算，属于简单题.12．已知两条平行直线1:10l ax y ++=与2:30l x y -+=的距离为d ，则a =____________，d = _________.【答案】-1【解析】根据直线平行和平行直线距离公式得到答案. 【详解】因为12l l ，所以1a =-，两直线的距离为d ==故答案为：-1；【点睛】本题考查了根据平行求参数，平行直线的距离，意在考查学生的计算能力. 13．已知正项等比数列{}n a 满足11a =，26719116a a a a a =，则n a = _______，数列{}2log n a 的前n 项和为______.【答案】12n -+ ()12n n --【解析】直接利用等比数列公式计算得到12n n a -+=，再计算等差数列和得到答案.【详解】由11a =，26719116a a a a a =得451116a a q ==，12q =，11122n n n a --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而2log 1n a n =-+，所以{}2log n a 的前n 项和为()12n n --.故答案为：12n -+；()12n n --.【点睛】本题考查了等比数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.14．在ABC 中，312120a b c B =+==︒，，，则b c -=____________，()sin B C += ____________.【答案】214【解析】根据余弦定理计算得到75b c ==，，再利用正弦定理计算得到答案. 【详解】由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-，2293b c c =++，即()()93b c b c c +-=+， 453b c -=，所以75b c ==，，2b c -=，而7sin sin a A B =，故3sin A =()sin sin A B C =+.故答案为：2 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.15．已知F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，P 为C 上一点O 为坐标原点，若POF 为等边三角形，则C 的离心率为____________.1【解析】设F 为椭圆C 的右焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的点，由题意可知2c P ⎛ ⎝⎭，代入计算得到答案. 【详解】设F 为椭圆C 的右焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的点，由题意可知2c P ⎛ ⎝⎭，代入椭圆方程得22223144c c a b +=，即222341e e e+=-，解得1e =.1.【点睛】本题考查了椭圆离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.16．已知函数()1f x，若存在121,,,116n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+=，则正整数n 的最大值为____________. 【答案】4【解析】根据单调性得到()11,34f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，要使正整数n 尽可能大，则可以是5111344++=，得到答案.【详解】当1,116x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()1f x =-单调递减，故()11,34f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 要使正整数n 尽可能大，则可以是5111344++=，故n 的最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了函数的单调性，值域，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.17．已知向量a ，b 满足，4a =，() R b ta t -∈的最小值为1，当()b a b ⋅-最大时，2a b -= ________.【答案】2【解析】设OA a =，OB b =，由题意知4OA =，B 点到直线OA 的距离为1，计算()243b a b BC ⋅-=-≤，故22a b BC -=，得到答案.【详解】设OA a =，OB b =，由题意知4OA =，B 点到直线OA 的距离为1，设OA 的中点为C ，2BA BO BC +=，2BA BO CA -=，故22BO BA BC CA ⋅=-.则()()()2224413b a b OB OA OB BO BA BC CABC ⋅-=⋅-=-⋅=--=-≤-=，当且仅当1BC =时，等号成立，此时，2222a b OA OB BC -=-==. 故答案为：2.【点睛】本题考查了向量的数量积，向量的模，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题18．已知函数()()2cos cos 3sin 1,R f x x x x x =-∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和对称轴； （Ⅱ）求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值及相应的x 值. 【答案】（Ⅰ）周期为π，对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈；（Ⅱ）当6x π=时，()f x 有最大值2；当2x π=时，()f x 有最小值1-【解析】（Ⅰ）化简得到()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得到周期和对称轴.（Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，得到值域. 【详解】（Ⅰ）()()2cos cos 3sin 1cos23sin 2f x x x x x x =+-=2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 函数()f x 的对称轴方程满足2,62x k k Z πππ+=+∈，即,26k x k Z ππ=+∈.（Ⅱ）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 因此当6x π=时，()f x 有最大值2；当2x π=时，()f x 有最小值1-.【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图，ABCDFE 是由两个全等的菱形ABEF 和CDFE 组成的空间图形，2AB =，∠BAF ＝∠ECD ＝60°.（1）求证：BD DC ⊥；（2）如果二面角B －EF －D 的平面角为60°，求直线BD 与平面BCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（227 【解析】（1）取EF 的中点G ，连接BG 、DG ，,BF DE .利用菱形的性质、等边三角形的性质分别证得EF BG ⊥，EF DG ⊥，由此证得EF ⊥平面BDG ，进而求得EF BD ⊥，根据空间角的概念，证得BD DC ⊥.（2）根据（1）得到BGD ∠就是二面角B EF D --的平面角，即60BGD ∠=︒，由此求得BD 的长.利用等体积法计算出D 到平面BCE 的距离h ，根据线面角的正弦值的计算公式，计算出直线BD 与平面BCE 所成角的正弦值. 【详解】（1）取EF 的中点G ，连接BG 、DG ，,BF DE .在菱形ABEF 中， ∵60BAF ∠=，∴BEF ∆是正三角形，∴EF BG ⊥，同理在菱形CDEF ，可证EF DG ⊥，∴EF ⊥平面BDG ，∴EF BD ⊥， 又∵//CD EF ，∴CD BD ⊥.（2）由（1）知，BGD ∠就是二面角B EF D --的平面角，即60BGD ∠=︒， 又3BG GD ==，所以BDG ∆是正三角形，故有3BD =，如图，取DG 的中点O ，连接BO ，则BO DG ⊥，又由（1）得EF BO ⊥， 所以，BO ⊥平面CDFE ，且32BO =，又BD CD ⊥，在直角BDC ∆中，7BC =，所以17377424BCE S ∆=⋅⋅-=，设D 到平面BCE 的距离为h ，则 113334332B DCE DCE V BO S -∆=⋅=⨯⨯⨯=， 1137333D BCE BCE V h S h -∆=⋅⋅=⨯⨯=，所以2217h =， 故直线BD 与平面BCE 所成角正弦值为27h BD =.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对一切*n N ∈，有333212n n a a a S ++⋅⋅⋅+=. 求证：（Ⅰ）对一切n ∈N ，有2112n n n a a S ++-=；（Ⅱ）数列{}n a 是等差数列； （Ⅲ）对一切*n N ∈，21231233nna ++⋅⋅⋅+<.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）333212n n a a a S ++⋅⋅⋅+=，333321211n n n a a a a S ++++⋅⋅⋅++=，相减化简得到答案.（Ⅱ）2112n n n a a S ++-=，2122()nn n a a S n --=≥，相减得到11(2)n n a a n +-=≥，得到证明.（Ⅲ）n a n =n<，代入计算得到答案.【详解】（Ⅰ）由333212n n a a a S ++⋅⋅⋅+=，得333321211n n n a a a a S ++++⋅⋅⋅++=，两式相减得()3221111n n n n n n a S S a S S ++++=-=+，因为n a >0，所以21112n n n n n a S S S a +++=+=+，所以，对一切*n N ∈，有2112n n n a a S ++-=. （Ⅱ）2112n n n a a S ++-=可得2122()nn n a a S n --=≥， 两式相减得，221122()n n n n n a a a a a n ++--+=≥，即()22112n n n n a a a a n ++-=+≥， 由于0n a >，所以11(2)n n a a n +-=≥，又1n =时，解得11a =；2n =时，()223211a a +=+，解得22a =，满足11n n a a +-=，因此对一切*n N ∈，都有11n n a a +-=，即{}n a 是等差数列. （Ⅲ）由（Ⅱ）知n a n =，而当2n ≥时，()31n=<===-<所以当2n ≥时，21231111n a ++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+-23=<，又当1n =时，212313na ⋅⋅⋅<显然成立， 所以对一切*n N ∈，212313na +++⋅⋅⋅+<. 【点睛】本题考查了等差数列的证明，证明数列不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．过抛物线()220y px p =>外一点P 向抛物线作两条切线，切点为M 、N ，F 为抛物线的焦点.证明： （1）2PFMF NF =；（2）PMF FPN ∠=∠.【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】【详解】设P ()00,x y ，M ()11,x y ，N ()22,x y .易求得切线PM ：()11y y p x x =+， 切线PN ：()22y y p x x =+. 因为点P 在两条切线上，所以，()()10012002y y p x x y y p x x =+=+，.故点M 、N 均在直线()00y y p x x =+上. 于是，()00:MN l y y p x x =+.联立()0022y y p x x y px ⎧=+⎨=⎩， ()()22002p x x pxy ⇒+= 22200020y x x x x p ⎛⎫⇒+-+= ⎪⎝⎭.由韦达定理知2201201202y x x x x x x p ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，.（1）易知，F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭.由抛物线的第二定义得12p MF x =+，22p NF x =+ 1222p p MF NF x x ⎛⎫⎛⎫⇒=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2121224p p x x x x =+++222004p x y px =+-+ 222002p x y PF ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.因此，2PFMF NF =. （2）由00,2p FP x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，11,2p FM x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22,2p FN x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，知 ()00112010101,,2224p p FP FM x y x y p px x x x y y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+++()()()20101012010101242422p p x x x x p x x p p x x x x p p x x =-++++=+++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 又12pMN x =+，则 01012222FP FM cos PFM FP MFp p p x x x p FP FP x ⋅∠=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 类似地，02cos px PFM FP+∠=故cos cos PFM PFN ∠=∠PFM PFN ⇒∠=∠.结合2PFMF NF =，得MFP PFN PMF FPN ∆∆⇒∠=∠∽22．已知函数()xf x e mx =-.（Ⅰ）2m =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0x >时，不等式()()2220x f x mx -++>恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为()ln 2,+∞，单调递减区间为(,ln 2)-∞；（Ⅱ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）求导得到()2x f x e '=-，得到单调区间.（Ⅱ）()()222xg x x e mx =-++，求导根据单调性得到12m >-，讨论1122m -<<和12m ≥两种情况，分别计算函数的最值得到答案. 【详解】（Ⅰ）当2m =时，()2xf x e x =-，则()2xf x e '=-，当ln 2x >时，()0ln 2f x x '><；时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞，单调递减区间为(,ln 2)-∞.（Ⅱ）设()()()()()()222222222x xg x x f x mx x e mx mx x e mx =-++=--++=-++，而()()12x g x x e m '=-+，令()()12x h x x e m =-+，则()xh x xe '=.于是当x>0时，()()0h x h x '>，为增函数，又由()2420g m =+>，知12m >-. （1）若1122m -<<，则()0120g m '=-+<，()2220g e m '=+>. 此时()g x '在区间()0,2上有唯一零点，设为0x ，则00x x <<时，()0g x '<. 故()g x 在区间[]00,x 上为减函数，()()000g x g <=，因此，1122m -<<不符合要求. （2）若12m ≥，则0x >时，()()0120g x g m ''>=-+≥， 此时()g x 在区间[0,)+∞上为增函数. 故0x >时，()()00g x g >=，因此12m ≥符合要求，综上，m的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了函数的单调区间，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期返校联考数学试题含答案
2024学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考高三数学试题（答案在最后）考生须知：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知集合{}{}22,1,0,1,2,21A B x x x =--=->∣，则A B = （）A.{}2,1-- B.{}2,1,0-- C.{}2,1,2-- D.{}2,2-【答案】A 【解析】【分析】先化简集合B ,再求交集.【详解】解一元二次不等式221x x ->,得1x <或1x >所以{|1B x x =<-或1x >+.因为{}2,1,0,1,2A =--,所以{}2,1A B ⋂=--.故选：A.2.已知复数z 满足()1i 2i z +=-，则z z ⋅=（）A.254B.2516 C.54D.52【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据复数的性质结合模长公式求解.【详解】由()1i 2i z +=-可得()()()()2i 1i 2i 13i1+i 1+i 1i 2z ----===-，所以222135222z z z ⎛⎫⎛⎫⋅==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D3.已知向量()(),1,1,a x b x ==，若()a b b +⊥ ，则x =（）A.1B.2C.1- D.2-【答案】C 【解析】【分析】利用向量数量积的坐标表示解方程即可得出结果.【详解】易知()1,1a b x x +=++，由()a b b +⊥ 可得()()()1110a b b x x x +⋅=⨯+++=，即2210x x ++=，解得1x =-故选：C4.将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移π12个单位长度，再把所有点的纵坐标变为原来的12后，得到函数()g x 的图象.则π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.B.2C.12D.1【答案】C 【解析】【分析】结合三角函数图象变换结论求()g x 的解析式，再求π12g ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移π12个单位长度，可得函数ππ2sin 22sin 266y x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图象，将函数2sin 2y x =图象上所有点的纵坐标变为原来的12，横坐标不变，可得函数sin 2y x =的图象，所以()sin 2g x x =，故ππ1sin 1262g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：C.5.身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.该指标是通过体重（kg ）除以身高（m ）的平方计算得来.这个公式所得比值在一定程度可以反映人体密度.一般情况下，我国成年人的身体质量指数在18.523.9~内属正常范围.已知,,A B C 三人的体质指数的平均值为20，方差为3.,D E 两人的体质指数分别为18和22.则这5人的体质指数的方差为（）A.175B.145C.173 D.143【答案】A 【解析】【分析】根据方差的计算公式即可求解.【详解】由于,,A B C 三人的体质指数的平均值为20，方差为3，故()()()22220202033A B C -+-+-=,则()()()2222020209A B C -+-+-=，由于182********2055A B C ++++⨯++==,故5个人的体质指数的平均数为20，故()()()()()222222020201820222094417555A B C -+-+-+-+-++==，故方差为175故选：A6.已知,A B 为抛物线24x y =上的动点，()00,P x y 为AB 中点，若6AB =，则0y 的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合三点共线，即可求解.【详解】如图，F 为抛物线焦点，作AC m ⊥，PN m ⊥，BD m ⊥，连接AF ，BF ，其中m 为准线，由抛物线定义知，26PN AC BD AF BF AB =+=+≥=，所以||3PN ≥，当且仅当F 在AB 上时，等号成立，则点P 到x 轴的最小距离是2，故0y 的最小值为2，故选：B7.将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（）A.20 B.36 C.54 D.108【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知最多有4个红球，因此根据红球个数进行讨论即可，不相邻问题用“插空法”.【详解】8个除颜色外完全相同的球，要使红球互不相邻，则最多有4个红球，根据红球个数分类讨论:1个红球7个黑球：先排7个黑球共有1中排法，从8个空里面选出1个空让红球插入，有18C 8=种选法;2个红球6个黑球：先排6个黑球共有1中排法，从7个空里面选出2个空让红球插入，有27C 21=种选法;3个红球5个黑球：先排5个黑球共有1中排法，从6个空里面选出3个空让红球插入，有36C 20=种选法;4个红球4个黑球：先排4个黑球共有1中排法，从5个空里面选出4个空让红球插入，有45C 5=种选法;所以满足条件的不同排列方法的总数之和为82120554+++=.故选：C.8.已知函数()()()2ln 222,1,ln 22,1x x x f x a x bx c x ⎧-+>⎪=⎨-+++<⎪⎩，若对()()1,2x f x f x ∀≠-=-恒成立，则abc =（）A.16- B.16C.4- D.4【答案】B 【解析】【分析】()()1,2x f x f x ∀≠-=-分别代入解析式，求出,,a b c 即可.【详解】当1,21x x >-<，则()(2ln(22)2)2ln(22)2f x x x x x -=--+=---，(2)ln(2()2)(2)ln(22)2f x a x x b x c a x b bx c -=--++-+=-++-+，由于()()1,2x f x f x ∀≠-=-，则2,2,20a b b c =-=+=，则4c =-；经检验适合题意.故16abc =.故选：B二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差15180,224d a a ≠+=.则以下结论正确的是（）A.168a =B.若910S S =，则43d =C.若2d =-，则n S 的最大值为21SD.若151618,,a a a 成等比数列，则4d =【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可结合选项逐一求解.【详解】由1518224a a +=可得()112141724a d a d +++=，故1158a d +=，所以168a =，故A 正确，由910S S =可得101606a a d ==-，故43d =，故B 正确，若2d =-，则201640a a d =+=，且单调递减，故n S 的最大值为20S 或19S ，故C 错误，若151618,,a a a 成等比数列，则16161518a a a a ⋅=，即()()64882d d =-+，解得4d =或0d =（舍去），D 正确，故选：ABD10.已知0a >，函数()1ln 1x f x ax x -+=++，()()211ag x a x x =--+.则以下结论正确的是（）A.()f x 为偶函数B.()g x 的图象关于点()1,2a --对称C.当02a <<时，()f x 在其定义域上单调递增D.当1e>a 时，方程()()f x g x =无实根【答案】BD 【解析】【分析】根据奇函数，偶函数的定义判断A ，证明函数()12g x a -+为奇函数，结合函数图象变换结论判断B ，计算可得()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭排除C ，化简方程()()f x g x =可得()11ln 11a x x x x --=++，令11x t x -=+，可得ln t a t =，利用导数判断()ln th t t=的单调性求其最值，判断D.【详解】函数()1ln 1x f x ax x -+=++的定义域为−1,1，故函数()f x 的定义域关于原点对称，又()()1ln 1x f x a x x +-=-+-+，所以()()11lnln 011x x f x f x x x -+++-=+=+-+，即−=−，所以函数()f x 为奇函数，不是偶函数，A 错误；因为()()211ag x a x x =--+，函数()g x 的定义域为{}1x x ≠-，所以()()221222a a g x a a x a ax x x-+=--+=+，函数()12g x a -+的定义域为{}0x x ≠，所以函数()12g x a -+的定义域关于原点对称，且()212ag x a ax x--+=--，所以()()12120g x a g x a -++--+=，故函数()12g x a -+为奇函数，即函数()12g x a -+的图象关于原点对称，所以函数()g x 的图象关于点()1,2a --对称，B 正确；因为()00ln10f =+=，11ln ln 32232aa f ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，又02a <<，01ln 32a<<<，故102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 在其定义域上不可能为单调递增函数，C 错误；方程()()f x g x =，可化为()12ln 111x aax a x x x -++=--++，且11x -<<，所以()11ln11a x x x x --=++，且11x -<<，令11x t x -=+，则0t >，则ln t at =，所以ln ta t=，令()ln t h t t =，则()21ln th t t -'=，所以t e >时，()0h t '<，函数()h t 在区间()e,+∞上单调递减，当0e t <<时，()0h t '>，函数()h t 在区间()0,e 上单调递增，所以当e t =时，函数()h t 取最大值，最大值为1e，所以当1e>a 时，方程ln ta t =无解，故当1e>a 时，方程()()f x g x =无实根，D 正确.故选：BD .11.已知双曲线22:14x C y -=的左､右焦点分别为12,F F ，过坐标原点O 的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于,A B 两点，P 为C 的右支上一点（异于点B ），12PF F 的内切圆圆心为N .则以下结论正确的是（）A.直线PA 与PB 的斜率之积为4B.若124PF PF ⋅=，则12π3F PF ∠=C.以1PF 为直径的圆与圆224x y +=相切D.若120PF PF ⋅=，则点N 坐标为(【答案】BCD 【解析】【分析】由题意设点1(A x ,1)y ，1(B x -,1)y -，0(P x ,0)y ，把点A ，B 坐标代入双曲线的方程，两式相减得PA PB k k ⋅，即可判断A ；利用余弦定理，结合；记2||PF t =，则双曲线定义即可判断B ，由于12PF PF ⊥，利用勾股定理以及双曲线定义，结合等面积法进而可求内切圆半径，利用切线长的性质即可求解C ；画出图形，利用M 是线段1PF 的中点，结合双曲线的性质以及定义，转化推出以1PF 为直径的圆与圆224x y +=的位置关系即可判断D ．【详解】设点1(A x ,1)y ，1(B x -,1)y -，0(P x ,00)()y x a ≥，则221114x y -=且220014x y -=，两式相减得222201014x x y y -=-，∴2201220114y y x x -=-，220101012201010114PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==-+-，故A 错误，由于12|||4PF PF -=，124PF PF ⋅=，若12π3F PF ∠=，由余弦定理可得()2222212121212121212(2)2cos (2)22cos c PF PF PF PF F PF c PF PF PFPF PF PF F PF =+-⨯∠⇒=-+⨯-⨯∠，解得121cos 2F PF ∠=，由于()120,πF PF ∠∈，故12π3F PF ∠=，故B 正确，P 在双曲线右支上，12||||24PF PF a ∴-==，M 是线段1PF 的中点，111||||||2MF PM PF ∴==，O 是线段12F F 的中点，21||||2MO PF ∴=，∴1211|||222PF PF a -==，1||||2MF OM ∴-=，1||||2OM MF ∴=-，即圆心距等于两圆的半径之差，∴以线段1PF 为直径的圆与圆224x y +=的位置关系是内切，故C正确．记2||PF t =，则1||4PF t =+，12PF PF ⊥ ，222(4)44(41)20t t c ∴++==+=，解得2t =或2t =-（舍去），1||2PF ∴=+12PF F的面积为1211||||2)122PF PF =-+=，设三角12PF F 的内切圆半径为r，则1(2212⨯+-+=，所以r =-，设圆N 与12PF F 三边相切于,,M Q T ，则1122,,,FT F M F T F Q PM PQ ===设1,FT x =则1122,2,FT F M x F T F Q c x ====-故()222PM x PQ c x =+==--，解得2x c =+，所以2OT =,故(N -,D 正确，故选：BCD．非选择题部分三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在72x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为__________.【答案】84【解析】【分析】利用二项展开式的通项令72r 3-=即可求得3x 的系数.【详解】设展开式的第1r -项772772C 2C rrrr r rx xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭含有3x 项，令72r 3-=，解得2r =，所以223372C 84x x =，即3x 的系数为84.故答案为：8413.若曲线e x a y +=过坐标原点的切线与圆22(1)(1)2x y -++=相切，则实数a =__________.【答案】1-【解析】【分析】首先,我们需要求出曲线e x a y +=过坐标原点的切线方程。
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浙江省“七彩阳光”联盟2020届高三上期初联考数学考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高台体的体积公式其中R 表示球的半径柱体的体积公式 其中Sa,Sb 分别表示台体的上、下底面积 V ＝Sh h 表示台体的高 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分（共40分）一、选择题：大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、 已知集合A ＝｛－1，0，1，2｝，B ＝｛22x y x =-｝，则A ∩B ＝（ ）A 、｛－1， 1｝B 、｛0｝C 、｛－1，0，1｝D 、｛－1，0，1，2｝2、双曲线2213x y =－与2213y x =－有相同的（ ）A 、离心率B 、渐近线C 、实轴长D 、焦点3、设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为（ ）A 、6B 、5C 、72D 、0 4、某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：3cm ）是（ ）A 、6B 、2C 、3D 、15、若a ＋b ＞0，则（ ）6、“点(),a b 在圆221x y +=内”是“直线10ax by ++=与圆221x y +=相离”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件7、函数的图象大致为（ ）8、如图，四棱柱S ABCD -中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直线SA 与直线AD 所成角为α，直线SA 与平面ABCD 所成角为β，二面角S AB C --的平面角为γ，则（ ）A 、αβγ>>B 、γαβ>>C 、αγβ>>D 、γβα>>9、设()xf x e bx c =++，若方程f （x ）＝x 无实根，则（ ）A 、b ＞1，c ＜1B 、b ＞1，c ＞－1C 、b ≤1，c ＜1D 、b ≤1，c ＞－1 10、已知数列{}n a 满足()()1211n n n n a a n +++-＝，前n 项和为n S ，且20191009m S +-＝，下列说法中错误的（ ）A 、m 为定值B 、1m a +为定值C 、20191S a -为定值D 、1ma 有最大值非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 11、设()2lg xf x x =+，则()1f = ，()()25f f += ．12、已知两条平行直线l 1：a x ＋y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0的距离为d ，则a ＝ ，d = ． 13、已知正项等比数列{}n a 满足，则n a = ，数列{}2log n a 的前n 项和为 ．14、在ABC △中，a ＝3，b ＋c ＝12，B ＝120°，则b －c ＝ ，sin （B ＋C ）＝ ．15、已知F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点，若POF △为等边三角形，则C 的离心率为 ． 16、已知函数，若存在，使得，则正整数n 的最大值为 ．17、已知向量a ，b 满足｜a ｜＝4，()t t-∈R b a 的最小值为1，当()⋅-b a b 最大时，｜a －2b ｜＝ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18、（14分）已知函数()()2cos cos 3sin 1f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期和对称轴；（2）求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值及相应的x 的值．19、（15分）如图，ABCDEF 是由两个全等的菱形ABEF 和CDFE 组成的空间图形，AB ＝2， ∠BAF ＝∠ECD ＝60°．（1）求证：BD DC ⊥；（2）如果二面角B EF D --的平面角为60︒，求直线BD 与平面BCE 所成角的正弦值．20、（15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S ，且对一切n *∈Ν，有333212n n a a a S +++=．求证：（1）对一切n *∈Ν，有2112n n n a a S ++-=；（2）数列{}n a 是等差数列； （3）对一切n *∈Ν，22221231233n n a a a a ++++<．21、（15分）过抛物线()220x py p =>外一点P 作抛物线的两条切线，切点为M ，N ，F 为抛物线的焦点，证明：（1）｜PF ｜2＝｜MF ｜·｜NF ｜； （2）∠PMF ＝∠FPN ．22、（15分）已知函数()e x f x mx =-． （1）2m =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x >时，不等式()()2220x f x mx -++>恒成立，求实数m 的取值范围．2019-2020学年第一学期浙江“七彩阳光”联盟期初联考高三数学 参考答案1-5：CDBAB6-10：CACDA11.2，37 12.－1，22.13. 11511,()2162n n n a a --+===，前n 项和为(1)2n n --. 14.2，15、16. 4.17.解析：设OA =a ，OB =b ，由题意知||4OA =，B 点到直线OA 的距离为1，设OA 的中点为C ， 则()⋅-b a b =222()()4413OB OA OB BO BA BC CA BC ⋅-=-⋅=--=-≤-=， 当且仅当||1BC =时，等号成立，此时，|2-a b ||2|2||2OA OB BC =-==18.解析：（Ⅰ）()2cos (cos 3)1cos 232f x x x x x x =-=………………2分2sin(2)6x π=+，………………4分故函数()f x 的最小正周期为π，………………6分 函数()f x 的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈. ………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）()2sin(2)6f x x π=+，当[0,]2x π∈时，72[,]666x πππ+∈，………………10分 因此，当6x π=时，()f x 有最大值2；………………12分当2x π=时，()f x 有最小值1-.………………14分（直接求出最值及相应的x 的值也给满分）19.解析：（Ⅰ）如图，取EF 的中点G ，连接BG 、DG 在菱形ABEF 中，第19题图E FDCBAG∵60BAF ∠=，∴ BEF ∆是正三角形，∴ EF BG ⊥， ………………2分 同理在菱形CDEF ，可证EF DG ⊥， ………………4分 ∴ EF ⊥平面BDG ， ∴ EF BD ⊥………………6分 又∵ //CD EF ，∴ CD BD ⊥. ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BGD ∠就是二面角B EF D --的平面角， 即60BGD ∠=，又BG GD ==所以BDG ∆是正三角形，故有BD =如图，取DG 的中点O ，连接BO ，则BO DG ⊥， 又由（Ⅰ）得EF BO ⊥， 所以，BO ⊥平面CDFE ，且32BO =， 又BD CD ⊥，在直角BDC ∆中，BC =所以12BCE S ∆== 设D 到平面BCE 的距离为h ，则113433242B DCE DCE V BO S -∆=⋅⋅=⨯⨯=，113342D BCE BCE V h S h -∆=⋅⋅=⨯⨯=，所以7h =， 故直线BD 与平面BCE所成角正弦值为h BD =. （建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分）OE FDCBAG20.解析：（Ⅰ）由333212+n n a a a S ++=，得333321211+n n n a a a a S +++++=，两式相减得3221111()n n n n n n a S S a S S ++++=-=+………………2分 因为，0n a >，所以21112n n n n n a S S S a +++=+=+，所以，对一切*n N ∈，有2112n n n a a S ++-=. ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）2112n n n a a S ++-=可得，212(2)n n n a a S n --=≥， 两式相减得，22112(2)n n n n n a a a a a n ++--+=≥， 即2211(2)n n n n a a a a n ++-=+≥，………………6分由于0n a >，所以11(2)n n a a n +-=≥，………………7分又1n =时，解得11a =；2n =时，32221(1)a a +=+，解得22a =，满足11n n a a +-=， 因此，对对一切*n N ∈，都有11n n a a +-=，即{}n a 是等差数列. ………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，n a n =，而当2n ≥时，2na =<=2=⋅=<，………………12分 所以，当2n ≥时，2222123111132411n na a aa n n ++++<+-+-++--+232=+<，………………14分 又当1n =时，222212313nn a a a a++++<显然成立，所以，对一切*n N ∈，2212313nna a ++++<.………………15分另法： 因为2n n n =+>所以12n <=⇒<=, 从而311212231n n n⎛+<+-+-++- ⎪-⎝⎭33=<. 21. 证明：（Ⅰ）设001122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，易求得切线11:()PM x x p y y =+，切线22:()PN x x p y y =+，………………2分 因为点P 在两条切线上，所以10012002(),()x x p y y x x p y y =+=+.故点M 、N 均在直线00()xx p y y =+上，于是00:()MN l xx p y y =+，………………3分联立200220002()2()02xx p y y x y y y y p x py=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 由韦达定理得，2201201202(),x y y y y y y p+=-=，………………5分而12||,||,22p p MF y NF y =+=+ 所以，22221212000||||()244p p p MF NF y y y y y x py ⋅=+++=+-+2220()||2p x y PF =+-=. ………………8分（Ⅱ）由001122(,),(,),(,),222p p pFP x y FM x y FN x y =-=-=-知2010*******()()()2224p p p p FP FM x x y y x x y y y y ⋅=+--=+-++2010101()()()2422p p p py y y y y y =+++=++………………10分所以，02cos ||||||py FP FM PFM FP FP FM +⋅∠==⋅，………………12分 同理，02cos ||py PFN FP +∠=，………………13分 故cos cos PFM PFN ∠=∠， 所以，PFM PFN ∠=∠， 由（Ⅰ）知2||||||PF MF NF =⋅， 所以，PFM ∆∽PFN ∆所以，PMF FPN ∠=∠.………………15分 另法：（Ⅰ) 由已知抛物线方程即为22x y p =,x y p '=.设221212,,,22x x M x N x p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则切线PM 与PN 的方程分别为:221122,22x x x x y x y x p p p p=-=-.由21122222x x y x p p x x y x p p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可解得1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 于是22222222121212122||222444x x x x x x x x p p PF p p ⎛⎫++⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22222221212122||||2222444x x x x x x p p p MF NF p p p⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.从而2||||||PFMF NF =.(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 22222221122()()||||24x p x p x x PM NF p p ++-=⋅,22222212122()()||||24x p xp x x PN MF p p ++-=⋅.所以22||||||||||||||||PN PF PM NF PN MF PM MF =⇔===.又由(Ⅰ)知||||||||PF NF MF PF =,于是||||||||||||PN PF NF PM MF PF ==,故PMF ∆∽NPF ∆,从而 PMF FPN ∠=∠.22.解析：（Ⅰ）当2m =时，()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-，………………2分所以，当ln 2x >时，()0f x '>；ln 2x <时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(ln 2,)+∞，单调递减区间为(,ln 2)-∞. ………………4分 （Ⅱ）设22()(2)()2(2)()2(2)22x x g x x f x mx x e mx mx x e mx =-++=--++=-++， 而()(1)2x g x x e m '=-+，令()(1)2x h x x e m =-+，则()x h x xe '=.于是，当0x >时，()0h x '>，()h x 为增函数，………………6分又由(2)420g m =+>，知12m >-. ………………8分 (1)若1122m -<<，则2(0)120,(2)20g m g e m ''=-+<=+>， 此时，()g x '在区间(0,2)上有唯一零点，设为0x . ………………10分 则00x x <<时，()0g x '<.故()g x 在区间0[0,]x 上为减函数，0()(0)0g x g <=. 因此，1122m -<<不符合要求. ………………12分 (2)若12m ≥，则0x >时，()(0)120g x g m ''>=-+≥. 此时，()g x 在区间[0,)+∞上为增函数.故0x >时，()(0)0g x g >=. 因此，12m ≥符合要求. 综上，m 的取值范围是1[,)2+∞. ……………15分。