ACM基础算法入门教程

模型匹配法 三要素法 先确定阶段（数塔问题） 先确定状态（一般题目都是） 先确定决策（背包问题）
贪心的三种区间问题

选择不相交区间
区间选点 区间覆盖


选择不相交区间


数轴上有n个开区间（ai,bi），选择尽量多个区间， 使得这些区间两两没有公共点。
百度文库
【分析】 首先明确一个问题：假设有两个区间x,y,区间x完全 包含y。那么，选x是不划算的，因为x和y最多只能选一个， 选x不如选y，这样不仅区间数目不会减少，而且给其他区 间留出了更多的位置。接下来，按照bi从小到大的顺序对 所有区间排序。
解题思路

根据刚才的讨论，所有需要考虑的区间的a也是递增的， 我们把它画成上图的形式。如果第一个区间不选最后一个点， 而是去中间的，如灰色点，那么把它移动到最后一个点后， 被满足的区间增加了，而且原先被满足的区间现在一定被满 足。这样才能保证选取的点最少。
区间覆盖问题

数轴上有n个闭区间[ai, bi]，选择尽量少的区间覆盖 一条指定线段[s, t]。
例题

给定整数 a1,a2,a3,......,an, 判断是否可以从中选出若干个数，使 他们的和恰好为k。 限制条件： 1<=n<20 -10^8<=ai<=10^8 -10^8<=k<=10^8
输入： 4 1,2,4,7 13 输出： Yes 输入： 4 1,2,4,7 15 输出： No
如：1 9 10 5 11 2 13的最长单调递增子 序列是1 9 10 11 13，长度为5。

解题思路
定义状态 dp【i】以i为结束节点最长单调子序列长度 阶段 每一个点选择过程即阶段 转移方程： Dp【i】= max（dp【1~（i-1）】） + 1 想想有没有更好的方法？？？

dp总结

解题过程
i=0 sum=0
+1
i=1 sum=0 i=1 sum=1
+2
i=2 sum=0 i=2 sum=2
+4
i=3 sum=2 i=3 sum=6
从a1开始按 顺序决定每 个数加或不 加，在全部 n个数决定 后在判断他 们的和是不 是k即可。
宽度优先搜索



宽度优先搜索（BFS，Breadth-First Search）也是搜索的手段之一。与深 度优先搜索类似，从某个状态出发探索所有可以到达的状态。 与深度优先搜索的不同在于搜索的顺序，宽度优先搜索总是先搜索距离 初始状态近的状态，也就是说它是按照开始状态--->只需1次转移就可到 达的所有状态--->只需2次转移就可到达的状态--->......，这样的顺序进 行搜索。对于同一状态，宽度优先搜索只经过一次，因此复杂度为O （状态数*转移的方式）。 根据宽度优先搜索的特点，采用队列进行实现。
把各区间按照a从小到大顺序。如果区间1的起点不是s， 则无解，即[s,t]无法被完全覆盖（因为其他区间的起点更大， 不可能覆盖到s点），否则选择起点在s的最长区间。选择此 区间[ai,bi]后，新的起点应该被设置为bi,并且忽略所有区间在 bi之前的部分，就像预处理一样。虽然贪心策略比上面的题 复杂，但是仍然只需要一次扫描。如下图5所示。s为当前有 效起点（此前部分已被覆盖），则应该选择区间2。

V [ i-1 ] [ j ] += V [ I ] [ j ] > v [ I ] [ j + 1 ] ? V [ I ] [ j ] : v [ I ] [ j + 1 ];
单调递增非降子序列

给定一整型数列{a1,a2...,an} （0<n<=100000），找出单调递增最长 子序列，并求出其长度。



输入： 4,11 输出： 3001
解题过程

这个问题用数学语言表述就是：“求整数 x 和 y 使得 ax + by =1”。 可以发现如果gcd(a,b)!=1,无解。反之，则可以通过扩展辗转相除法来求 解。 设 a>b。 1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0； 2，ab!=0 时 设 ax1+by1=gcd(a,b); bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b); 根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b); 则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2; 即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2; 根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2; 这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2. 上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
埃氏筛法


给定整数n，请问n以内多少个素数 n<=10^6 输入 25 输出 9
解题思路




要枚举n以内素数，可以用埃氏筛法 列出2以后的所有序列： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 标出序列中的第一个素数，也就是2，序列变成： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 将剩下序列中，划摽2的倍数，序列变成： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 （划出的数） 如果现在这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是 素数，否则回到第二步。 本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步： 剩下的序列中第一个素数是3，将主序列中3的倍数划出，主序列变成： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 （划出的数） 我们得到的素数有：2，3 25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步： 现在序列中第一个素数是5，同样将序列中5的倍数划出，主序列成了： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25 （划出的数） 我们得到的素数有：2 3 5 。 因为25等于5的平方，跳出循环. 结论：去掉数字，2到25之间的素数是：2 3 5 7 11 13 17 19 23。
【分析】 本题的突破口仍然是区间包含和排序扫描，不过要先 进行一次预处理。每个区间在[s,t]外的部分都应该预先被切 掉，因为它们的存在是毫无意义的。例如要覆盖线段[3,5]， 闭区间[0,1]的存在无意义。在预处理后，在相互包含的情况 下，小区间显然不应该被考虑。
解题思路


辗转相除法


扩展欧几里得
双六 一个双六上面有向前向后无限延续的格子，每个格子都写有整数。其中0号格子 是起点，1号格子是终点。而骰子上只有 a , b , -a , -b 四个整数，所以根据 a 和 b 的值的不同，有可能无法到达终点。 格子如下： …… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …… 掷出四个整数各多少次可以到达终点？输出任意一组解。 1<= a , b <=10^9
s
基础的“穷竭搜索”
概念： 穷竭搜索是指将所有的可能性罗列出来， 在其中寻找答案的方法。
这里，我们主要介绍： 深度优先搜索 宽度优先搜索
深度优先搜索


深度优先搜索（DFS，Depth-First Search）是搜索的手段之一。 它从某个状态开始，不断地转移状态直到无法转移，然后回退到前一步 的状态，继续转移到其他状态，如此不断重复，直至找到最终的解。 根据深度优先搜索的特点，采用递归函数实现比较简单。

0 1 0 0 1
解题过程

本题是简单的搜索问题，采用深度优先 遍历可以解决，根据题目要求，假设从 任意一点值为'1'的出发，将这点的坐标 上下左右全部用'0'替换，1次DFS后与初 始动这个'1'连接的'1'全部被替换成'0'， 因此，直到图中不再存在'1'为至，总共 进行的DFS的次数就是最后的结果咯！那 么，根据题目要求，有4个方向，时间复 杂度为O(4*n*m)。

数轴上有n个闭区间[ai, bi]。取尽量少的点，使得每个 区间内都至少有一个点（不同区间内含的点可以是同一个）。
【分析】 如果区间i内已经有一个点被取到，我们称此区间已经被 满足。受上一题的启发，我们先讨论区间包含的情况。由于 小区间被满足时大区间一定也被满足。所以在区间包含的情 况下，大区间不需要考虑。 因此，我们把所有区间按b从小到大排序（b相同时a从 大到小排序），则如果出现区间包含的情况，小区间一定排 在前面。第一个区间应该选取哪一个点呢？正确的贪心策略 是：取最后一个点。如下图。
ACM基础算法入门
.基础动态规划 .基础的“穷竭搜索” .贪心的三种区间问题 .数论那些事 .二分的另类法
引言

算法简单但思想及其重要 介绍的算法都堪称为经典中的经典
基础动态规划
多阶段决策过程最优化的数学方法 三要素： -阶段 -决策 -状态

动态规划的适用范围
最优子结构（最优化原理） 当前状态依赖于前面的状态得到，是前面 状态的完美总结
数论那些事

数学，特别是数论与计算机科学有着密 切的联系，所以也常被选作题材。虽然 数学问题大多需要使用特定方法求解， 但其中有几个基础算法扮演着重要的角 色。
数论基础

辗转相除法
1、求最大公约数 2、扩展欧几里得 3、ax+by=gcd(a,b) 1、埃氏筛法 2、区间筛法

有关素数的基础算法 快速幂
总结

算法竞赛是展示大学生创新能力、团队 精神和在压力下编写程序、分析和解决 问题能力的竞赛。
在此送上楼教主一句名言： 虽然我不会这道题，但是AC还是没有问 题的~！


谢谢
会场安排问题

先对n个区间按照bi从小到大的顺序排序，如果 bi相同，则ai按照从大到小的顺序排序。然后从前往后 扫描每个区间，找出所有的符合条件的区间。



注意：排序后第一个区间一定会选，因为它的bi 最小， 它不影响后面区间的选取，而且如果不选此区间，最 终 求出的区间数目会变少。
区间选点问题
例题：

水池数目 南阳理工学院校园里有一些小河和一些湖泊，现在，我们把它们通一看成水池， 假设有一张我们学校的某处的地图，这个地图上仅标识了此处是否是水池，现在， 你的任务来了，请用计算机算出该地图中共有几个水池。 输入m行每行输入n个数，表示此处有水还是没水 （1表示此处是水池，0表示此处是地面） 0<m<100 0<n<100 输入： 34 1000 0011 1110 输出： 2 输入： 55 1111 0010 0000 1110 0011 输出： 3

无后效性（不成环）
经典模型



数塔模型 背包问题 区间最大和模型 最长非降子序列模型 最长公共子序列 数字归并（区间dp） 旅行商问题（状态压缩）

求解从顶到下经过节点的最大值是多少
解题思路
列状态 v [ I ] [ j ]表示走到第i层的第j个节点的最大值 分阶段 每一个层就是一个阶段 状态转移方程（决策）