导数文科大题含详细标准答案

导数文科大题含详细答案
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导数文科大题
1.知函数，. （1）求函数的单调区间；
（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围. 答案
解析
2.已知, (1)若,求函数在点处的切线方程; (2)若函数在上是增函数,求实数a 的取值范围; (3)令, 是自然对数的底数);求当实数a等于多少时,可以使函数取得最小值为
3.
解:(1)时,,
′(x),
′(1)=3,,
数在点处的切线方程为,
(2)函数在上是增函数,
′(x),在上恒成立,
即,在上恒成立,
令,当且仅当时,取等号, ,
的取值范围为
(3),
′(x),
①当时,在上单调递减,,计算得出(舍去);
②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增,
,计算得出,满足条件;
③当,且时,即,在上单调递
减,,计算得出(舍去);
综上,存在实数,使得当时,有最小值3.
解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程.
(2)函数在上是增函数,得到f′(x),在上恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案,
(3),求出函数的导数,讨论,,的情况,从而得出答案
3.已知函数,
(1)分别求函数与在区间上的极值;
(2)求证:对任意,
解:(1),
令,计算得出:,,计算得出:或,
故在和上单调递减,
在上递增,
在上有极小值,无极大值;
,,则,
故在上递增,在上递减,
在上有极大值,,无极小值;
(2)由(1)知,当时,,,
故;
当时,,
令,则,
故在上递增,在上递减,
,;
综上,对任意,
解析(1)求导,利用导数与函数的单调性及极值关系,即可求得及
单调区间及极值;
4.已知函数,其中,为自然数的底数.(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)当时,求证:对任意的,.
解:(1)当时,,
则,
,
故则在R上单调递减.
(2)当时,,要证明对任意的,.
则只需要证明对任意的,.
设,
看作以a为变量的一次函数,要使,
则,即,
恒成立,①恒成立,
对于②,令,则,
设时,,即.
,,
在上,,单调递增,在上,,
单调递减,
则当时,函数取得最大值
,
故④式成立,综上对任意的,.
解析:(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可.
(2)对任意的,转化为证明对任意的
,,即可,构造函数,求函数的导数,利用导数进行研究即可.
5.已知函数
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)求在区间上的最小值.
解:(1)设切线的斜率为k.
因为,所以,
所以,
所以所求的切线方程为,即
(2)根据题意得, 令,可得
①若,则,
当时,,则在上单调递增.
所以
②若,则, 当时,,则在上单调递减. 所以
③若,则,
所以,随x的变化情况如下表:
x 1 2
0 - 0 + 0
-e Φ极小值Γ0
所以的单调递减区间为,单调递增区间为
所以在上的最小值为
综上所述:当时,;
当时,;
当时,
解析(1)设切线的斜率为k.利用导数求出斜率,切点坐标,然后求出切线方程.
(2)通过,可得.通过①,②,③
,判断函数的单调性求出函数的最值.
6.已知函数。

（I）求f(x)的单调区间；（II）若对任意x∈［1，e］，使得g(x)≥－x2＋（a＋2）x恒成立，求实数
a的取值范围；（III）设F（x）＝，曲线y＝F（x）上是否总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为钝角柄点的钝角三角开，且最长边的中点在y轴上？请说明理由。

解：（Ⅰ）∵
∴当、时，在区间、上单调递减.
当时，在区间上单调递增. ………3分（Ⅱ）由，得．
∵，且等号不能同时取得，∴，
∵对任意，使得恒成立，
∴对恒成立，即．( )
令，求导得，，………5分∵，
∴在上为增函数，，．………7分
（Ⅲ）由条件，，
假设曲线上总存在两点满足：是以为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在轴上，则只能在轴两侧.
不妨设，则．
∴，…（※），
是否存在两点满足条件就等价于不等式（※）在时是否有解．………9分
①若时，，化简得，
对此不等式恒成立，故总存在符合要求的两点P、
Q；………11分
②若时，（※）不等式化为，若,此不等式显然对恒成立，故总存在符合要求的两点P、Q；
若a>0时，有…（），
设，则，
显然，当时，，即在上为增函数，
的值域为，即，
当时，不等式（）总有解．故对总存在符合要求的两点P、Q. ……13分
综上所述，曲线上总存在两点，使得是以为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在轴上. ………14分
7.已知函数为常数).(Ⅰ)若a=-2,求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若当时,恒成立,求实数a的取值范围.
解：(Ⅰ)a=-2时,
；
时,
时,f'(x)>0,
函数f(x)的单调递减区间是(0,1],单调递增区间为
(Ⅱ)由已知条件得：
；
且等号不能同时取；
令
；
在[1,e]上为增函数；
在[1,e]上的最大值为：；
的取值范围为：
8.已知函数(1)若,试判断在定义域内的单调性;
(2)若在上恒成立,求a的取值范围.
解:(1)函数,
函数的定义域为,函数的导数,
当,,此时函数单调递增.
(2)若在上恒成立,即在上恒成立, 即,令,只要求得的最大值即可,
,,
,,
,即在上单调递减,
9. 已知函数
(1)若,试判断在定义域内的单调性;
(2)若在上恒成立,求a的取值范围.
答案详解
解:(1)函数,
函数的定义域为,
函数的导数,
当,,此时函数单调递增.
(2)若在上恒成立,
即在上恒成立,
即,
令,只要求得的最大值即可,
,,
,,
,
即在上单调递减,
10. 设函数
(Ⅰ)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.
答案
解:(Ⅰ)的导数为,
函数在上单调递增,
即有在上恒成立,
则在上恒成立.
因为,
则,计算得出;
(Ⅱ),
,
当时,,,;
,,;
,,
令,
,
,,,,
,
即,
,
单调递减,单调递增,
,
,,
当时,
,
函数在上的最大值为. 解析
(Ⅰ)求出函数的导数,根据题意可得在上恒成立,则在上恒成立.运用指数函数的单调性,即可得到a的取值范围;
(Ⅱ)求出导函数,判断出在单调递减,单调递增,判断求出最值.
11.本小题满分12分）已知函数。

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求的取值范围。

答案详解（1）当时，，则，即切点为，因为，则，故曲线在处的切线方程为：，即。

......4分
（2），求导得：， ......5分
令，（）；
①当，即时，，所以在上为增函数，所以在上满足，故当时符合题意； ......8分
②当，即时，令，得，
当时，，即，所以在为减函数，所以，与题意条件矛盾，故舍去。

......11分
综上，的取值范围是。

......12分
解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）将代入，求出得到切点坐标，求出得切线斜率，即可得切线方程；
（2）根据题意对的取值范围进行分讨论，利用导数来研究函数的单调性，进而判断与的关系，便可得出的取值范围。

12.已知函数，是的导函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）解关于的不等式：；
（Ⅱ）若有两个极值点，求实数的取值范围。

答案（Ⅰ），。

当时，无解；当时，解集为；
当时，解集为。

（Ⅱ）若有两个极值点，则是方程的两个根。

，显然，得：。

令，。

若时，单调递减且；
若时，当时，,在上递减；
当时，，在上递增。

要使有两个极值点，需满足在上有两个不同解，得，即。

解析本题主要考查利用导函数求解函数问题。

(Ⅰ）原不等式等价于，分，，和讨论可得；（Ⅱ）设，则是方程的两个根，求导数可得，若
时，不合题意，若时，求导数可得单调区间，进而可得最大值，可得关于的不等式，解之可得。

13.已知函数,.
(Ⅰ)如果函数在上是单调增函数,求a的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)当时,在上是单调增函数,符合题意.
当时,的对称轴方程为,
因为在上是单调增函数,
所以,计算得出或,所以.
当时,不符合题意.综上,a的取值范围是.
(Ⅱ)把方程整理为
,即为方程.
设,
原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根,
即为函数在区间内有且只有两个零点
令,因为,计算得出或(舍)
当时,,是减函数;
当时,,是增函数.
在内有且只有两个不相等的零点,
只需即
计算得出,
所以a的取值范围是.
解析:(1)因为函数的解析式中含有参数a,故我们要对a进行分类讨论,注意到a出现在二次项系数的位置,故可以分,,三种情况,最后将三种情况得到的结论综合即可得到答案.
(2)方程整理为构造函数
,则原方程在区间内有且只有两个
不相等的实数根即为函数在区间内有且只有两个零点,根据函数零点存在定理,结合函数的单调性,构造不等式组,解不等式组即可得到结论.
14.设函数(1)若,求函数的单调区间. (2)若曲线在点处与直线相切,求a,b的值. 解:(1)当时,,,
令,则或;
,则
函数的单调递增区间为和,递减区间为
(2),
曲线在点处与直线相切,
, 即解之,得,.
解析
(1)当时,求出的导函数,令,得出函数的单调增区间,反之得出单调减区间;
(2)求出函数的导函数,得出,求出a和b.
15.
16.已知函数，且.
（1）若在处取得极小值，求函数的单调区间；
（2）令，若的解集为，且满足，
求的取值范围。

答案：，F'(-1)=0 则a-2b+c=0;
（1）若F(x)在x=1处取得最小值-2，则F'(1)=0，a+2b+c=0，则b=0,c=-a。

F(1)=-2，，则a=3,c=-3。

，x∈（-∞，-1）时，F'(x)>0，函数F(x)单调递增；
x∈（-1，1）时，F'(x)<0，函数F(x)单调递减;
x∈（1，∞）时，F'(x)>0，函数F(x)单调递增。

（2）令，，
，则，即，得即
17.
18.设直线是曲线的一条切线，
．
（1）求切点坐标及的值；
（2）当时，存在，求实数的取值范围．
答案
（1）解：设直线与曲线相切于点，
,
, 解得或,
当时，，在曲线上，∴,
当时，，在曲线上，∴,
切点，，
切点，．
(2)解法一：∵，∴，设，若存在，则只要，
，(ⅰ)若即，令，得，，∴在上是增函数，令，解得，在上是减函数，
，,解得，
(ⅱ)若即，令，解得，，∴在上是增函数，，不等式无解，不存在，综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数的取值范围为．
解法二：由得, (ⅰ)当时，，设若存在，则只要， (8)
分，令解得在上是增函数，
令，解得在上是减函数，，，
（ⅱ）当时，不等式不成立，∴不存在，
综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数的取值范围为．
19.已知函数在点处的切线与直线平行. （1）求的值；（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；（3）求证：对任意时，
恒成立.
答案
20.已知函数,
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若方程有唯一解,试求实数a的取值范围.
答案
解:(Ⅰ),又, 可得切线的斜率,
切线方程为,即;
(Ⅱ)方程有唯一解有唯一解,
设,
根据题意可得,当时,函数与的图象有唯一的交点.
,
令,得,或,在上为增函数,
在、上为减函数,
故,,
如图可得,或
解析(Ⅰ)求得函数的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程,可得所求切线的方程;
(Ⅱ)方程有唯一解有唯一解,设
,求得导数和单调区间、极值,作出图象,求出直线和的图象的一个交点的情况,即可得到所求a的范围. 21.已知函数(Ⅰ)讨论的单调性
(Ⅱ)若时,都成立,求a的取值范围.
解:(Ⅰ)函数的定义域为,函数的的导数,
当时,,此时函数单调递增,
当时,,
由,计算得出,由,计算得出, 函数在上增函数,则是减函数.
(Ⅱ)令,
,
当,即时,
x
+ 0 -
↗极大值↘
,计算得出
;
(2)当即时,在上无最大值,故不可能恒小于0,故不成立.
综上所述a的取值范围为.
解析(Ⅰ)求函数的导数,即可讨论函数的单调性;
(Ⅱ)令,利用导数求得函数的最大值为,只要有即可求得结论.
22.已知函数
(1)若曲线在点处的切线斜率为,求函数的单调区间; (2)若关于x的不等式有且仅有两个整数解,求实数m的取值范围.
解:(1)函数的导数为:
f′(x),
可得在点处的切线斜率为f′(1), 计算得出,即有的导数为f′(x),
由f′(x)可得或;由f′(x)可得
可得的单调增区间,;单调减区间为; (2)关于x的不等式即为,①
对于,当时,,
当时,,
①即为,令,
g′(x),令,h′(x),
又,,在R上递增,
可得,使得,
则在递增,在递减,
在处取得极大值,又,
则关于x的不等式有且仅有两个整数解,
只需有且仅有两个整数解,
则,计算得出
解析(1)求出的导数,可得切线的斜率,解方程可得,进而由导数大于0,得增区间;导数小于0,得减区间;
(2)根据题意可得即为,讨论x的符号,确定,即有
,令,求出导数,再令令
,求得导数,判断单调性和极值点,求得的单调区间,可得极值,结合条件可得不等式组,解不等式可得m的范围.
23.知函数
(1)若,则当时,讨论单调性;
(2)若, ,且当时,不等式在区间上有解,求实数a的取值范围.
解:(1),,
,
令,得,
当时,,函数在定义域内单调递减
当时,在区间, 在区间上单调递增,
当时,在区间上,单调递减, 在区间上,单调递增;
(2)根据题意知,当时,在上的最大值,
当时,,
则
①当时,,
故在上单调递增,
②当时时,设的两根分别为:,
则故在上单调递增,, 综上,当时,在上单调递增,
,
所以实数a的取值范围是
解析(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可; (2)求出的导数,通过讨论a的范围求出的最大值是,求出a 的范围即可.。