山东省枣庄市台儿庄区马兰屯镇第二中学2017届高三理科数学考前练习卷(四)
【试题】山东省2017届高三第三次模拟考试数学理试题Word版含答案
【关键字】试题山东省师大附中2017届高三第三次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，为虚数单位，则（）A．B．C．D．2.已知集合，，则（）A．B．C．D．3.直线与曲线围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．4.已知函数的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C. 关于点对称D．关于直线对称5.下列说法错误的是（）A．对于命题，则B．“”是“”的充分不必要条件C.若命题为假命题，则都是假命题D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”6.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是（）A．B． C. D．7.点与圆上任一点连线段的中点的轨迹方程是（）A．B．C. D．8.等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（）A．29 B．31 C. 33 D．369.已知双曲线：的左、右焦点分别为，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点，，且，则双曲线的离心率为（）A．B． C. D．10.已知函数满足，且当时，，若当时，函数与轴有交点，则实数的取值范围是（）A．B． C. D．第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知实数满足，则的最小值为．12.若经过抛物线焦点的直线与圆相切，则直线的斜率为．13.已知，则．14.函数，则．15.在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. 的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长．17. 如图，在三棱柱中，底面，，为线段的中点．（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积．18. 已知正项数列满足，且．（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点，，，．（1）求证：平面平面；（2）若二面角大小为，求线段的长．20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2-在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB =-恒成立，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数2()2ln f x m x x =-，()2ln xg x e m x =-，()m R ∈，ln 20.693=． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在最大值M ，()g x 存在最小值N ，且M N ≥，求证：2e m >．试卷答案一、选择题1-5: DCCDC 6-10: AABBD二、填空题11. 13- 12. 5±13. 79 14. 12-15．3三、解答题16.（1）2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理得：2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=2cos sin()sin C A B C +=∵A B C π++=，,,(0,)a b c π∈，∴sin()sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C =∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-221722a b ab =+-2()37a b ab +-= 1333sin 242S ab C ab ===，∴6ab = ∴2()187a b +-=，5a b += ∴ABC ∆周长为57a b c ++=+.17.（1）连接1B C 交1BC 于点M ，连接DM ， 在1ACB ∆中，D 为AC 中点，M 为1BC 中点， 所以1//DM AB ，又因为1AB ⊄平面1BC D ，DM ⊂平面1BC D所以1//AB 平面1BC D（2）因为1CC ⊥底面ABC ，所以1CC 为三棱锥1C DBC -的高， 所以11113D C CB C BCD BCD V V S CC --∆==⨯11822343323=⨯⨯⨯=18.（1）∵121n n n a a a +=+，∴1112n n a a +=+，∴1112n na a +-= 又111a =，∴数列1{}na 是以1为首项，2为公差的等差数列∴121n n a =-，∴*1()21n a n N n =∈- （2）由（1）知，111(1)(1)()(21)(21)42121nn n n b n n n n =-=⨯-⨯+-+-+∴123n n T b b b b =++++111111111[()()()(1)()]41335572121n n n =-+++-+++-+-+ 11[1(1)]421n n =-+-+ 19.（1）∵//AD BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴//CD BQ 又∵90ADC ∠=，∴90AQB ∠=，即QB AD ⊥. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =∴BQ ⊥平面PAD ，∵BQ ⊂平面PQB ， ∴平面PQB ⊥平面PAD .（2）∵PA PD =，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥ ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD = ∴PQ ⊥平面ABCD如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，平面BQC 的法向量为(0,0,1)n = 又3PQ =(3,3)PM PC λλ==-，[0,1]λ∈(,)()QM QP PM λλ=+=+-=-又(0,QB =，设平面MBQ 的法向量为(,,)m x y z =)0x y z λ=-+=⎪⎩取(3,0,)1m λλ=- ∵二面角M BQ C --为30，∴33cos30||24||||m n m n λ==⇒=∴3(4QM =-，∴线段QM 20.（1）由题意，1c=∵点(1,2-在椭圆C 上，∴根据椭圆的定义可得：22a ==a ⇒=2221b ac =-= ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）假设x轴上存在点(,0)Qm ，使得716QA QB =-恒成立. ①当直线l 的斜率为0时，(A B ，则7,0)(2,0)16m m --=-∴22516m =，∴54m =± ②当直线l的斜率不存在时，(1,(1,22A B -，则7(1(1,2216m m ---=- 215(1)164m m -=⇒=或34由①②可得：54m =下面证明54m =时，716QA QB =-恒成立.当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y 直线方程代入椭圆方程，整理可得：22(2)210t y ty ++-=∴12222t y y t +=+，12212y y t =+， ∴112212125511(,)(,)()()4444QA QB x y x y ty ty y y =--=--+2121211(1)()416t y y t y y =+-++22222172(2)1616t t t --+=+=-+综上可知，x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB =-恒成立. 21.（1）由题意知，0x >，2'22()m x f x x-=，0m ≤时，'()0f x <，()f x 在(0,)+∞递减，0m >时，令'()0f x >0x m ⇒<<，令'()0f x <x m ⇒>，∴()f x 在(0,)m 递增，在(,)m +∞递减.（2）证明：'2()x xe mg x x-=，0m ≤时，'()0g x >恒成立，()g x 在(0,)+∞递增，无最小值，由（1）知，此时()f x 无最大值，故0m >. 令()2xu x xe m =-，则'()0xxu x e xe =+>， ∵(0)20u m =-<，2(2)2(1)0mu m m e=->，故存在唯一0(0,2)x m ∈，使得0()0u x =，即002x x e m =，列表如下：由（1）得：ln M f m m m ==-，000()2ln x N g x e m x ==-，由题意M N ≥，即00ln 2ln x n m m e m x -≥-，将002x x e m =代入上式有：0000000000ln 2ln 2222x x x x x x e x e x e x e e x -≥- 化简得：200003ln (ln 21)10222x x x x +-+-≥（*） 构造函数23()ln (ln 21)1222x x h x x x =+-+-，'31()(ln 1)(ln 21)22h x x x =++-+， 显然'()h x 单调递增，且'1(1)(4ln 2)02h =->，'19()5ln 2088h =-<， 则存在唯一(0,1)t ∈，使得'()0h t =.且(0,)x t ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减；(,)x t ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增. 又1(1)ln 2102h =--<，故()0h x ≥只会在(,)t +∞有解， 而(2)3ln 22(ln 21)2ln 20h =+-+=>故（*）的解是01x >，则0022x x e em =>.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
【山东省枣庄】2017学年高考二模数学年(理科)试题
山东省枣庄市2017年高考二模数学（理科）试卷答 案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1~5．CBBDA 6~10．DAACB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．2312．1[1,]5- 13．24 14．1 15．4三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：函数()2sin sin )f x x x x =-．化简可得：2π()cos 2sin 2cos212sin(2)16f x x x x x x x =-+-=+-=（1）ππ(,)63x ∈-上时，可得：ππ5π2(,)666x +∈-．1πsin(2)126x ∴-<+≤故得函数()f x 在ππ(,)63-上的值域为(2,1]-．（2）π()2sin(2)16f x x =+-，()0f C =，即π1sin(2)62C +=． 0πC <<，π5π266C ∴+=． 得：π3C =．sin sin sin B A C =， 可得sin()sin sin A C A C +=，ππsin()sin sin 33A A ∴+=．得：1)sin A A =．那么：tan A ==17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，11a =，且1a ，2a ，42a +成等比数列．2214•(2)a a a ∴=+，即2(1)1(=132)d d +⨯++，解得2d =或1-．其中1d =-时，20a =，舍去．=2d ∴，可得12(12=)1n a n n +-=-．2(121)2n n n S n +-==．（2）n(1)(1)(21)22.nna n nb ---==∴当n 为偶数时，232212162n n n n b b ++-==．当n 为奇数时，(2n 3)2(21)21216n n n b b -++--==． ∴数列{}n b 的奇数项是以12为首项，116为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列．∴数列{}n b 的前2n 项和22113242...(11[1()]8(161)216()...)=1161116n n n n n T b b b b b b -⨯-⨯-=++++++++--8(1616)18n n =⨯-． 18．解：（1）延长CO 交CB 于点H ． A BC ∥，2BC AD =，O 为BD 的中点1DA DOBH OB∴==，DA BH CH ∴==， ∴四边形DCHA 为平行四边形，即DC AO ∴∥，且AO ⊂平面POA ，CD ⊄平面POA ，CD ∴∥平面POA ； （2）如图，CD PB ⊥，由（1）得DC AO ∥，DA BH CH ==，AO OB ∴⊥，四边形ABHD 为菱形AO ∴⊥面POD ，过O 作OM PD ⊥于H ，连接AH ，则AHO ∠就是二面角A PD B --的平面角．2AD PO ==，2BC ∴=，1OH =，1OB =在Rt CDB △中，2CD AB ==，4CB =，则DB =在Rt PDO △中，则有••PO OD PD OM =，解得OM =，在Rt AOM △中，OM AM ANO AM ==∠==∴二面角A PD B --19．解：（1）记事件A “该公司在星期一至少有2辆车出车”，则3213213321111112()1()()C ()()()2323233P A C =--- 1341727272=---89=； （2）根据题意，X 的可能取值为0，1，2，3，4，5；则23111(X 0)()()3272P ===，1321323211117(1)C ()()()3323272P X C ==+=， 23113223233212111119(2)()()+C ()+()()323323272P XC C ===， 21312323323222111125(3)()()()()()333323272P X C C C ==++=， 22313322121116(4)()()()3233272P XC C ==+=， 23214(5)()()3272P X===；∴随机变量X 的分布列为：数学期望为17192516417()0123457272727272726E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．20．解：（1）过A 作AM x ⊥轴，垂足为M ，设抛物线的准线方程为：2py =-， 2p AF AM ∴=+，122pp ∴==，即． ∴抛物线C 的方程为：24x y =．（2）（ⅰ）设211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，(0,1)A B F ，，三点共线，221212144=x x x x -∴，124x x ∴=-，由24x y =得2y 4x =， ∴切线AP 的方程为：2111()42x x y x x -=-，切线BP 的方程为：2222()42x xy x x -=-，联立方程组可得112(,1)2x P x --， 21112=(+,1)24x x PA x ∴+，121124=(,1)2x PB x x ∴-+-，21112111224=(+)()(1)(1)0224x x x PA PB x x x ∴--+++=，90BPA ∴∠=︒．22111,(0,+)44x x FD FA D ==+∴2，设233(,)4xE x ，由A ，D ，E 三点共线得：2222311113224444x x x x x x ----=， 1138x x x ∴=--， N 是AE 的靠近A 的四等分点，21121124(,1)24x x N x x ∴-+++，121124(,1)2x NA x x ∴=+--，21112(,1)24x x NB x ∴=----．21112111224()()(1)(1)0224x x x NA NB x x x ∴=+--+----=，90BNA ∴∠=︒，A ∴，B ，P ，N 四点共圆， P ∴在ABN △的外接圆上．（ⅱ）由（ⅰ）可知AB ||为ABN △的外接圆直径．222121121142||222||||244442x x x x AB x x =++=++≥+=．当且仅当112||||2x x =即11x =±时，取等号． ∴当11x =或1-时，ABN △的外接圆周长最小，最小周长为4π．21．解：（1）()e xf x a '=-，∵函数()e x f x ax =-有极值1，∴存在0x ，使得00)(e 0xf x a '=--=，000(e 1)x f x ax =--=，解得00x =，1a =．()e 1x f x ∴'=-，可知：0是极小值点，因此1是极小值．（2）当[0,)x ∈+∞时，()ln(1)1f x mx x ≥++恒成立⇔e 1ln(1)0xx mx x -+--≥恒成立．令(()e 1)xg x x -=+，0x ≥，(0)0g =．则()e 10xg x -'=≥，0x ∴≥时，函数()g x 单调递增，因此()(0)0g x g ≥=，因此e 1x x ≥+．①若ln(1)11mx x x x +++≤+，则e 1ln(1)0xx mx x -+--≥恒成立．则ln(1)0mx x +≤，可得：0m ≤．0m ∴≤时，0x ≥时，()ln(1)1f x mx x ≥++恒成立．②0m ＞时，0x ≥时，ln(1)1e x mx x x +++≤． 令()ln(1)1e xF x mx x x =+++-，(0)x ≥，00F =（）．由()0F x ≤，可得：ln(1)e 1xmx x x +≤--，0x =时，化为00≤，恒成立，m ∈R ．0x >时，化为：1e ln(1)x x m x x --≤+．下面证明：1e 12ln(1)x x x x --≤+．令()2e 22ln(1)x h x x x x =--+-，(0)0h =．()2e 2ln(1)1x xh x x x '=-+-+-．(0)0h '=． 2111(1)2e 00x x x h x h "--'=+=≥+'（）（）， ()0h x ∴'≥．∴函数()h x 在[0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ∴≥=．因此：1e 12ln(1)x x x x --≤+成立，并且12是其最小值．12m ∴≤． 综上可得：实数m 的取值范围是1(,]2-∞．山东省枣庄市2017年高考二模数学（理科）试卷解 析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解． 【解答】解：由i (i)(12i)2(12)i12i (12i)(12i)5a a a a ++-++-==++-为纯虚数， 得20120a a +=⎧⎨-≠⎩，解得2a =-．故选：C ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．【分析】先将A ，U 化简，再求U C A ．【解答】解：全集2|log 1)(1){(}U x y x ==-=+∞，， 集合2112113(1,3{|||}{|}{|})A x x x x x x =-=<-<=<<=-＜， 则[3,)UA =+∞，故选：B【点评】本题考查集合的基本运算，属于基础题．3．【分析】写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，再判断真假性．【解答】解：原命题“若1x ＞，23x x ＜”， 则它的逆命题：若23x x ＜，则1x ＞，为假命题； 否命题：若1x ≤，则23x x ≥，为假命题； 逆否命题：若23x x ≥，则1x ≤，为真命题． 其中真命题的个数是：1． 故选：B ．【点评】本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，是基础题．4．【分析】利用辅助角公式化简，由()2f α=，()2f β=，且||αβ-的最小值是π2，可知函数(x)f 的最小值周π2T =，可得ω的值．【解答】解：函数π()sin 2sin()3f x x x x ωωω==+．由2f α=（），2f β=（），且||αβ-的最小值是π2， ∴函数(x)f 的最小值周π2T =．2π 4.π2ω∴== 故选：D ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 5．【分析】分别求出向量AB 、CD 的坐标和数量积，以及模，再由向量AB 在向量CD 方向上的投影为||AB CDCD ，计算即可得到所求值．【解答】解：由(1,2)A ，(3,4)B ，(2,2)C -，(3,5)D -， 可得(2,2)AB =，CD (1,3)=-，2(1)234AB CD =⨯+⨯=-，|1CD =+|，则向量AB 在CD 向量方向上的投影为：10AB CD CD ==故选：A ．【点评】本题考查向量的投影的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示和模的求法，考查化简整理的运算能力，属于基础题．6．【分析】由茎叶图，知甲的成绩是75，83，85，85，92，乙的成绩是74，84，84，85，98，由此能够求出结果．【解答】解：由茎叶图，知甲的成绩是75，83，85，85，92， 乙的成绩是74，84，84，85，98， 故185x =，284x =，故12x x >，而甲的平均数是1(7583858592)845++++=， 乙的平均数是1(7484848598)855++++=，故11811116429.65y =++++=（）， 2158.45y ==， 故12y y <， 故选：D ．【点评】本题考查茎叶图的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意中位数和方差的运算． 7．【分析】由题意画出图形，可得当圆与直线210mx y m --+=切于P （2，1）时，圆的半径最大，求出圆的半径可得半径最大的圆的标准方程．【解答】解：直线210mx y m --+=过定点(2,1)P ，如图，∴当圆与直线210mx y m --+=切于P此时圆的标准方程为225x y +=． 故选：A ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 8．【分析】根据四棱台的三视图，得出该四棱台的结构特征是什么，由此计算它的体积即可． 【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是上下底面都是正方形的棱台如图：根据图中数据得到棱台的体积为22221(2112)373⨯++⨯⨯=；故选A ．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，棱台体积公式的应用，考查计算能力与空间想象能力．9．【分析】根据条件求出函数的周期是4，结合函数奇偶性和周期性的性质求出函数在一个周期内的值内(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，然后进行整体计算即可．【解答】解：由(2)(2)f x f x +=-得(4)()f x f x +=，则函数是周期为4的周期函数，(x)f 是定义在R 上的奇函数， ∴当01x ≤≤时，f x =（），则00f =（），11f =（）， 当0x =时，00f =（），11f =（），(3)(34)(1)(1)1f f f f =-=-=-=-，(4)(0)0f f ==， 则在一个周期内(1)(2)(3)(4)10100f f f f +++=+-+=，则(1)(2)(3)(4)(5)11f f f f f f ++++==（）， 故选：C ．【点评】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键． 10．【分析】令()()0f x f x +-=，根据图象判断方程的根的个数，得出结论．【解答】解：若(x)f =33,0ln ,01ln ,1x x x x x x x ⎧-≤⎪-<<⎨⎪≥⎩，令()()0f x f x +-=，若01x <<，则3ln 30x x x --+=，即3ln 3x x x =-+，作出ln y x =与33y x x =-+的函数图象，由图象可知两函数在(0,1)上无交点，若1x ≥，则3ln 30x x x -+=，即3ln 3x x x -=，作出ln y x =与33y x x =-的函数图象，由图象可知两函数在(1,)+∞上有1个交点，所以，(x)f 只有1对“和谐点对”． 故选B ．【点评】本题考查了方程根与函数图象的关系，属于中档题． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．【分析】求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求|P B A （），由条件概率公式求解即可．【解答】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}． 已知这个家庭有一个是女孩的有：{男，女），（女，男），（女，女）}， 另一个小孩是男孩的有{（男，女），（女，男）．故已知这个家庭有一个是女孩，问另一个小孩是男孩的概率是23． 故答案为：23． 【点评】本题主要考查条件概率的计算公式，等可能事件的概率的求解公式，属于基础题．12．【分析】由题意，做出不等式组对应的可行域，由于函数2y k x =+（）的图象是过点(2,0)P ，且斜率为k的直线l ，故由图即可得出其范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，因为函数2y k x =+（）的图像是过点(20)P -，，且斜率为k 的直线l ，由图知，当直线l 过点1122B （，）时， k 取最大值112=15+22，当直线l 过点(1,1)C --时，k 取最小值1112-=--+，故实数k 的取值范围是[]1,15-． 故答案为：[]1,15-【点评】本题考查简单线性规划，利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最大值与最小值．这是一道灵活的线性规划问题，还考查了数形结合的思想，属中档题．13．【分析】根据题意，分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，由排列数公式可得其排法数目，②、两个小孩一定要排在一起，用捆绑法将其看成一个元素，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，由排列数公式可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：分3步进行分析，② 、先分派两位爸爸，必须一首一尾，有222A =种排法，②、两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有222A =种排法，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有336A =种排法，则共有2×2×6=24种排法， 故答案为：24．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意此类问题中特殊元素应该优先分析．14．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到228BF AF AB +=-，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB 垂直于x 轴时||AB 最小，222||bAB b a==，228BF AF AB +=-，由22BF AF +的最大值等于7列式求b 的值．【解答】解：由椭圆长轴长为4，则2a =，则02b ＜＜， 过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，22112248BF AF BF AF a a a ∴+++=+==228BF AF AB ∴+=-．当AB 垂直x 轴时||AB 最小，22BF AF +值最大，此时222||bAB b a==，278b ∴=-，解得1b =．故答案为：1．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆焦点的弦中通径的长最短，属于中档题．15．【分析】根据对称关系得出t=1，根据命题为真求出m 的范围，根据f （x ）的函数图象判断出零点个数． 【解答】解：(x)f 的图像关于12x =-对称，且00f =（），(1)0f ∴-=，即||10t -+=，解得1t =．()f x ∴=1|1|,21||,2x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩，对[1,)x ∀∈+∞，e 2e xm x ＞是真命题，e2e x m x∴<恒成立，,)[1x ∈+∞．令e ()2e xh x x =，则12222e 2e e 2e 2e (1)()04e 4e x x x x x h x x x +--'=≥=，()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，1)(12()min h x h ∴==，102m ∴<<．作出(x)f 的函数图像如图所示：由图像可知()y f x y m ==与有4个交点，()()g x f x m ∴=-有4个零点．故答案为：4．【点评】本题考查了函数恒成立问题与函数最值计算，函数零点个数与函数图象的关系，属于中档题． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．【分析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为sin()y A x ωϕ=+的形式，ππ()63x ∈-,上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得到(x)f 的值域．（2）根据()0f C =求出角C ，sin sin sin sin()B A C A C ==+利用和与差公式，即可求tan A 的值． 【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．17．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由11a =，且1a ，2a ，42a +成等比数列．可得：2214 a (2)a a ∙=+，即211132d d +=⨯++（）（），解得d ．经过验证可得d ，再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． （2）n (1)(1)(21)22.n na n nb ---==．∴当n 为偶数时，232212162n n n n b b ++-==．当n 为奇数时，(2n 3)2(21)21.216n n n b b -++--==可得数列{}n b 的奇数项是以12为首项，116为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列．利用求和公式即可得出．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式及其性质、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【分析】（1）延长CO 交CB 于点H ，可得1DA DOBH OB∴==，DA BH CH ==，即四边形DCHA 为平行四边形，DC CO ∥，C ∥平面POA ；（2）由（1）得D AO ∥，DA BH CH ==，AO OB ∴⊥，四边形ABHD 为菱形，即AO ⊥面POD ，过O 作OM PD ⊥于H ，链接AH ，则AHO ∠就是二面角A PD B --的平面角，求解AOM ∆即可 【点评】本题考查了空间线面平行的判定，面面角的计算，考查了计算能力，属于中档题．19．【分析】（1）记事件A “该公司在星期一至少有2辆车出车”，利用独立重复试验的概率乘法公式，求解即可；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，求出对应的概率，写出分布列，计算数学期望值．【点评】本题考查了独立重复试验的概率求法问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．20．【分析】（1）利用抛物线的性质可知12p∴=，从而得出抛物线方程； （2）（i ）设211A(,)4x x ，222,)4x x B(，233()4x E x ，，由三点共线可得2x ，3x 与1x 的关系，求出P ，N 的坐标，利用向量证明AP BP ⊥，AN BN ⊥，从而可得A ，B ，P ，N 四点共圆；（ii ）利用基本不等式求出外接圆的直径AB 的最小值即可得出周长的最小值． 【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．21．【分析】解：（1）()e x f x a '=-，∵函数()e x f x ax =-有极值1，可得存在0x ，使得00)(e 0x f x a '=--=，000(e 1)x f x ax =--=，解得0x ，a ．即可判断出结论．（2）当[0,)x ∈+∞时，()ln(1)1f x mx x ≥++恒成立⇔e 1ln(1)0xx mx x -+--≥恒成立．令(()e 1)xg x x -=+，0x ≥，(0)0g =．利用导数研究其单调性可得：e 1x x ≥+．① 若ln(1)11mx x x x +++≤+，则e 1ln(1)0xx mx x -+--≥恒成立．则ln(1)0mx x +≤，可得：0m ≤．② 0m ＞时，0x ≥时，ln(1)1e xmx x x +++≤．令()ln(1)1e x F x mx x x =+++-，(0)x ≥，00F =（）．由()0F x ≤，可得：ln(1)e 1xmx x x +≤--，0x ＞时，化为：1e ln(1)x x m x x --≤+．下面证明：1e12ln(1)x xx x--≤+．利用导数研究其单调性即可得出．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2017年高考理数真题试题(山东卷)(Word版+答案+解析)
2017年高考理数真题试卷（山东卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1.设函数y= √4−x2的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A. （1，2）B. （1，2]C. （﹣2，1）D. [﹣2，1）2.已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+ √3i，z• z̅=4，则a=（）A. 1或﹣1B. √7或﹣√7C. ﹣√3D. √33.已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. p∧￢qC. ￢p∧qD. ￢p∧￢q4.已知x，y满足约束条件{x−y+3≤03x+y+5≤0x+3≥0，则z=x+2y的最大值是（）A. 0B. 2C. 5D. 65.为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ŷ= b̂x+ â，已知∑10i=1x i=225，∑10i=1y i=1600，b̂=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A. 160B. 163C. 166D. 1706.执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A. 0，0B. 1，1C. 0，1D. 1，0 7.若a ＞b ＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）A. a+ 1b ＜b 2a＜log 2（a+b ）） B. b 2a ＜log 2（a+b ）＜a+ 1bC. a+ 1b ＜log 2（a+b ）＜ b 2aD. log 2（a+b ））＜a+ 1b ＜b 2a8.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）A. 518 B. 49 C. 59 D. 799.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC ）=2sinAcosC+cosAsinC ，则下列等式成立的是（ ）A. a=2bB. b=2aC. A=2BD. B=2A10.已知当x ∈[0，1]时，函数y=（mx ﹣1）2 的图象与y= √x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）A. （0，1]∪[2 √3 ，+∞）B. （0，1]∪[3，+∞）C. （0， √2 ）∪[2 √3 ，+∞）D. （0， √2 ]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.已知（1+3x ）n 的展开式中含有x 2的系数是54，则n=________．12.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是互相垂直的单位向量，若√3e1⃗⃗⃗ ﹣e2⃗⃗⃗ 与e1⃗⃗⃗ +λ e2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．13.由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．14.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．15.若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．三、解答题（共6小题，满分75分）16.设函数f（x）=sin（ωx﹣π6）+sin（ωx﹣π2），其中0＜ω＜3，已知f（π6）=0．（12分）（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣π4，3π4]上的最小值．17.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF̂的中点．（12分）（Ⅰ）设P是CÊ上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．19.已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12分）（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n+1，n+1）得到折线P1 P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n．20.已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分）（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，焦距为2．（14分）（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣√3交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，2，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M 且看k1k2=√24的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．答案解析部分一、<b >选择题：本大题共<b >10小题，每小题<b >5分，共<b >50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1.【答案】D【考点】交集及其运算，函数的定义域及其求法，一元二次不等式的解法【解析】【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y= √4−x2的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选D．【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．2.【答案】A【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：由z=a+ √3i，则z的共轭复数z̅=a﹣√3i，由z• z̅=（a+ √3i）（a﹣√3i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选A．【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值．3.【答案】B【考点】复合命题的真假，对数函数的单调性与特殊点，不等式比较大小【解析】【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，由不等式的性质可知，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．4.【答案】C【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：画出约束条件{x−y+3≤03x+y+5≤0x+3≥0表示的平面区域，如图所示；由{x+3=03x+y+5=0解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣12x+ 12z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是由{x+3=03x+y+5=0解得的点A的坐标，代入目标函数求出最大值．5.【答案】C【考点】线性回归方程【解析】【解答】解：由线性回归方程为ŷ=4x+ â，则x̅= 110∑10i=1x i=22.5，y̅= 110∑10i=1y i=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线经过样本中心点，则â= ŷ﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为ŷ=4x+70，当x=24时，ŷ=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得â，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高．6.【答案】D【考点】选择结构，循环结构，程序框图【解析】【解答】解：当输入的x值为7时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；当输入的x值为9时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，不满足b2＞x，但满足x能被b整数，故输出a=0故选：D【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．7.【答案】B【考点】不等式比较大小【解析】【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b= 12．则a+1b = 4 ，b2a=1222= 18，log2（a+b）= log2(2+12)= log252∈（1，2），∴b2a ＜log2（a+b）＜a+ 1b．故选：B．【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b= 12．代入计算即可得出大小关系．8.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有C92=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有C51C41=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P= 2036= 59，故选：C．【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．9.【答案】A【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．10.【答案】B【考点】函数的值域，函数单调性的性质，函数的图象【解析】【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，1m）为减函数，（1m，+∞）为增函数，函数y= √x+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有1m≥1，在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y= √x+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有1m＜1，y=（mx﹣1）2在区间（0，1m ）为减函数，（1m，1）为增函数，函数y= √x+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故选：B．【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，1m）为减函数，（1m ，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有1m≥1，②、当m＞1时，有1m＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．二、<b >填空题：本大题共<b >5小题，每小题<b >5分，共<b >25分11.【答案】4【考点】组合及组合数公式，二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：T r+1= ∁n r（3x）r=3r∁n r x r．∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴32∁n2=54，可得∁n2=6，∴n(n−1)2=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出．12.【答案】√33【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是互相垂直的单位向量，∴| e1⃗⃗⃗ |=| e2⃗⃗⃗ |=1，且e1⃗⃗⃗ • e2⃗⃗⃗ =0；又√3e1⃗⃗⃗ ﹣e2⃗⃗⃗ 与e1⃗⃗⃗ +λ e2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，∴（√3e1⃗⃗⃗ ﹣e2⃗⃗⃗ ）•（e1⃗⃗⃗ +λ e2⃗⃗⃗ ）=| √3e1⃗⃗⃗ ﹣e2⃗⃗⃗ |×| e1⃗⃗⃗ +λ e2⃗⃗⃗ |×cos60°，即√3e1⃗⃗⃗ 2+（√3λ﹣1）e1⃗⃗⃗ • e2⃗⃗⃗ ﹣λ e2⃗⃗⃗ 2= √3e1⃗⃗⃗ 2−2√3e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 2× √e1⃗⃗⃗ 2+2λe1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +λ2e2⃗⃗⃗ 2× 12，化简得√3﹣λ= √3+1× √1+λ2× 12，即√3﹣λ= √1+λ2，解得λ= √33．故答案为：√33．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．13.【答案】2+ π2【考点】由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= 14×π×12×1= π4，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ π2，故答案为：2+ π2．【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的14，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．14.【答案】y=± √22x【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B= 2pb2a2，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2× p2=4× p2，∴2pb2a2=p，∴ba = √22．∴该双曲线的渐近线方程为：y=± √22x．故答案为：y=± √22x．【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．15.【答案】①④【考点】函数单调性的性质，指数函数的图象与性质，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=e x f（x）= e x⋅2−x=(e2)x为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=e x f（x）= e x⋅3−x=(e3)x为实数集上的减函数；对于③，f（x）=x3，则g（x）=e x f（x）=e x•x3，g′（x）=e x•x3+3e x•x2=e x（x3+3x2）=e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上先减后增；对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=e x f（x）=e x（x2+2），g′（x）=e x（x2+2）+2xe x=e x（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．故答案为：①④．【分析】把①②代入e x f（x），变形为指数函数判断；把③④代入e x f（x），求导数判断．三、<b >解答题（共<b >6小题，满分<b >75分）16.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣π6）+sin（ωx﹣π2）=sinωxcos π6﹣cosωxsin π6﹣sin（π2﹣ωx）= √32sinωx﹣32cosωx= √3sin（ωx﹣π3），又f（π6）= √3sin（π6ω﹣π3）=0，∴π6ω﹣π3=kπ，k∈Z，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= √3sin（2x﹣π3），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y= √3sin（x﹣π3）的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y= √3sin（x+ π4﹣π3）的图象，∴函数y=g（x）= √3sin（x﹣π12）；当x∈[﹣π4，3π4]时，x﹣π12∈[﹣π3，2π3]，∴sin（x﹣π12）∈[﹣√32，1]，∴当x=﹣π4时，g（x）取得最小值是﹣√32× √3=﹣32．【考点】两角和与差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，运用诱导公式化简求值【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（π6）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣π4，3π4]时g（x）的最小值．17.【答案】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取EĈ的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BEGH为菱形，∴AE=GE=AC=GC= √32+22=√13．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，又AM=1，∴EM=CM= √13−1=2√3 ． 在△BEC 中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC 2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12， ∴ EC =2√3 ，因此△EMC 为等边三角形， 故所求的角为60°．解法二、以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由题意得：A （0，0，3），E （2，0，0），G （1， √3 ，3），C （﹣1， √3 ，0）， 故 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，−3) ， AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，√3，0) ， CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，3) ． 设 m ⃗⃗ =(x 1，y 1，z 1) 为平面AEG 的一个法向量，由 {m ⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，得 {2x 1−3z 1=0x 1+√3y 1=0 ，取z 1=2，得 m ⃗⃗ =(3，−√3，2) ；设 n ⃗ =(x 2，y 2，z 2) 为平面ACG 的一个法向量， 由 {n ⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，可得 {x 2+√3y 2=02x 2+3z 2=0 ，取z 2=﹣2，得 n ⃗ =(3，−√3，−2) ．∴cos ＜ m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞= m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=12 ． ∴二面角E ﹣AG ﹣C 的大小为60°．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE ⊥平面ABP ，得到BE ⊥BP ，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取 EC ̂ 的中点H ，连接EH ，GH ，CH ，可得四边形BEGH 为菱形，取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ，得到EM ⊥AG ，CM ⊥AG ，说明∠EMC 为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E ﹣AG ﹣C 的大小．法二、以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．求出A ，E ，G ，C 的坐标，进一步求出平面AEG 与平面ACG 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E ﹣AG ﹣C 的大小．18.【答案】 解：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，4（II ）X 的可能取值为：0，1，2，3，4， ∴P （X=0）= C 65C 105 = 142 ，P （X=1）= C 64C 41C 105 =521 ，P （X=2）= C 63C 42C 105 = 1021 ， P （X=3）= C 62C 43C 105 =521 ，P （X=4）=C 61C 44C 105 = 142 ．∴X 的分布列为X 的数学期望EX=0× 142 +1× 521+2× 1021 +3×521+4× 142 =2．【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，组合及组合数公式【解析】【分析】（Ⅰ）利用组合数公式计算概率；（Ⅱ）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望． 19.【答案】 解：（I ）设数列{x n }的公比为q ，则q ＞0，由题意得 {x 1+x 1q =3x 1q 2−x 1q =2， 两式相比得： 1+qq 2−q =32 ，解得q=2或q=﹣ 13 （舍）， ∴x 1=1， ∴x n =2n ﹣1 ．（II ）过P 1 ， P 2 ， P 3 ， …，P n 向x 轴作垂线，垂足为Q 1 ， Q 2 ， Q 3 ， …，Q n ， 即梯形P n P n+1Q n+1Q n 的面积为b n ， 则b n =n+n+12×2n−1 =（2n+1）×2n ﹣2 ，∴T n =3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n ﹣2 ， ① ∴2T n =3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n ﹣1 ， ② ①﹣②得：﹣T n = 32 +（2+22+…+2n ﹣1）﹣（2n+1）×2n ﹣1 = 32 + 2(1−2n−1)1−2﹣（2n+1）×2n ﹣1=﹣ 12 +（1﹣2n ）×2n ﹣1 ． ∴T n = (2n−1)×2n +12．【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．20.【答案】解：（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（i）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（ii）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．【考点】导数的加法与减法法则，导数的乘法与除法法则，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）f （π）=π2﹣2．f′（x ）=2x ﹣2sinx ，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．（Ⅱ）h （x ）=g （x ）﹣a f （x ）=e x （cosx ﹣sinx+2x ﹣2）﹣a （x 2+2cosx ），可得h′（x ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣a ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣e lna ）．令u （x ）=x ﹣sinx ，则u′（x ）=1﹣cosx≥0，可得函数u （x ）在R 上单调递增．由u （0）=0，可得x ＞0时，u （x ）＞0；x ＜0时，u （x ）＜0．对a 分类讨论：a≤0时，0＜a ＜1时，当a=1时，a ＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．21.【答案】 解：（Ⅰ）由题意知， {ca=√222c =2a 2=b 2+c 2，解得a= √2 ，b=1．∴椭圆E 的方程为x 22+y 2=1 ；（Ⅱ）设A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），联立 {x 22+y 2=1y =k 1x −√32 ，得 (4k 12+2)x 2−4√3k 1x −1=0 ．由题意得△= 64k 12+8 ＞0．x 1+x 2=2√3k 12k 12+1， x 1x 2=−12(2k12+1)．∴|AB|= √1+k 12|x 1−x 2|=√2⋅√1+k 12√1+8k121+2k 12 ．由题意可知圆M 的半径r 为 r= 23|AB|=2√23√1+k 12√1+8k 121+2k 12．由题意设知， k 1k 2=√24，∴ k 2=√24k 1．因此直线OC 的方程为 y =√24k 1x ．联立 {x 22+y 2=1y =√24k 1x ，得 x 2=8k 121+4k 12，y 2=11+4k12．因此，|OC|= √x 2+y 2=√1+8k121+4k1．由题意可知，sin∠SOT 2= rr+|OC|=11+|OC|r．而|OC|r=√1+8k 12122√23√1+k 1√1+8k 11+2k 12 = √24121212．1因此，|OC|r=2√2t2+t−1=2√2+t−t2= 2√−(1t−12)+94≥1．当且仅当1t =12，即t=2时等式成立，此时k1=±√22．∴sin∠SOT2≤12，因此∠SOT2≤π6．∴∠SOT的最大值为π3．综上所述：∠SOT的最大值为π3，取得最大值时直线l的斜率为k1=±√22．【考点】函数的值域，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r= 23|AB|=2√2 3√1+k12√1+8k121+2k12．由题意设知k2=√24k1．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin ∠SOT2=rr+|OC|=11+|OC|r．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为π3，取得最大值时直线l的斜率为k1=±√22．。
2017年山东省枣庄市高考数学一模试卷(理科) 有答案
2017年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足（1+i）z=2﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．2．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≥0}，B={x|log3（2﹣x）≤1}，则A∩（∁R B）=（）A．∅B．{x|x≤﹣1，x＞2}C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1，x≥2}3．函数y=1﹣2sin2（x﹣）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数4．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为（）A．2 B．﹣1 C．D．5．若正数x，y满足，则3x+4y的最小值是（）A．24 B．28 C．25 D．266．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为x1，x2，x3，则它们的大小关系为（）A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s2＞s1D．s3＞s1＞s27．在△ABC中，的值为（）A．B．C．D．8．不等式组表示的点集M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为（）A．B．C．D．9．已知a∈R，则“a＜0”是“函数f（x）=|x（ax+1）|在（﹣∞，0）上是减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要10．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈．已知直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，AB=3，，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在的展开式中，x的系数为．（用数字作答）12．已知双曲线C的中心为坐标原点，它的焦点F（2，0）到它的一条渐近线的距离为，则C的离心率为．13．若“∃x0∈R，|x0+1|+|x0﹣1|≤m”是真命题，则实数m的最小值是．14．某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，则它的表面积是．15．已知函数f（x）=|x•e x|，g（x）=f2（x）+λf（x），若方程g（x）=﹣1有且仅有4个不同的实数解，则实数λ的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）将函数的图象上每点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=f（x）的图象．（1）求函数f（x）的解析式及其图象的对称轴方程；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，求sinB 的值．17．（12分）在队内羽毛球选拔赛中，选手M与B1，B2，B3三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．（1）若M至少获胜两场的概率大于，则M入选下一轮，否则不予入选，问M是否会入选下一轮？（2）求M获胜场数X的分布列和数学期望．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a6=0，S4=14．（1）求a n；（2）将a2，a3，a4，a5去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{b n}的前三项，求数列{a n b n}的前n项和T n．19．（12分）在四边形ABCD中（如图①），AB∥CD，AB⊥BC，G为AD上一点，且AB=AG=1，GD=CD=2，M为GC的中点，点P为边BC上的点，且满足BP=2PC．现沿GC折叠使平面GCD ⊥平面ABCG（如图②）．（1）求证：平面BGD⊥平面GCD：（2）求直线PM与平面BGD所成角的正弦值．20．（13分）已知函数f（x）=x•e x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为x轴，求a的值：（2）在（1）的条件下，求f（x）的单调区间；（3）若∀x＞0，f（x）≥f（m）恒成立，且f（m）≥0，求证：f（m）≥2（m2﹣m3）．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：x2=4y的焦点F是椭圆（a ＞b＞0）的一个顶点．过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于另一点D，交抛物线E 于A、B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C于P、Q两点，记直线OM的斜率为k'，满足．（1）求椭圆C的方程；（2）记△PDF的面积为S1，△QAB的面积为S2，设，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．2017年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足（1+i）z=2﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由（1+i）z=2﹣i，得．∴|z|=．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≥0}，B={x|log3（2﹣x）≤1}，则A∩（∁R B）=（）A．∅B．{x|x≤﹣1，x＞2}C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1，x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A和B，再求出∁R B，由此能求出A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）≥0}={x|x≥2或x≤﹣1}，B={x|log3（2﹣x）≤1}={x|﹣1≤x＜2}，∁R B={x|x≥2，或x＜﹣1}，则A∩（∁R B）={x|x≥2，或x＜﹣1}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．3．函数y=1﹣2sin2（x﹣）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式为y=﹣sin2x，从而得出结论．【解答】解：=cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=﹣sin2x，故函数y是最小正周期为π的奇函数，故选：A．【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，正弦函数的周期性和奇偶性，属于中档题．4．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为（）A．2 B．﹣1 C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能计算即可．【解答】解：S=2，k=1＜5，则S=1﹣=，k=2＜5，则S=1﹣2=﹣1，k=3＜5，则S=1﹣（﹣1）=2，k=4＜5则S=1﹣=，k=5，不小于5，输出S=，故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图得程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．5．若正数x，y满足，则3x+4y的最小值是（）A．24 B．28 C．25 D．26【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数x，y满足，则3x+4y=（3x+4y）=13+≥13+3×=25，当且仅当x=2y=5时取等号．∴3x+4y的最小值是25．故选：C．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为x1，x2，x3，则它们的大小关系为（）A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s2＞s1D．s3＞s1＞s2【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分析3个频率分布直方图：第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字数据较分散，各个段内分布均匀，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端最分散，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，是集中，由此得到结果．【解答】解：根据三个频率分步直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差、标准差最大；第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差、标准差小，而第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差、标准差最小，总上可知s1＞s3＞s2，故选：B．【点评】本题考查频率直方图的应用，涉及标准差的意义，需要从频率直方图分析波动的大小．7．在△ABC中，的值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意画出图形，结合平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出运算结果．【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=3，AC=2，=，∴D为BC的中点，∴=（+）；又==（﹣），∴•=（+）•（﹣）=（﹣）=×（32﹣22）=．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题目．8．不等式组表示的点集M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出面积，利用几何概型的公式解答．【解答】解：不等式组表示的点集M，对应的区域面积为2×2=4，N对应的区域面积为（x+1﹣2x2）dx=（x2+x﹣x3）|=，由几何概型公式得，在M中任取一点P，则P∈N的概率为．故选：B．【点评】本题考查了几何概型的公式的运用，关键是求出区域面积，利用几何概型公式求值．9．已知a∈R，则“a＜0”是“函数f（x）=|x（ax+1）|在（﹣∞，0）上是减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对a分类讨论，利用二次函数的单调性、绝对值函数的意义即可得出．【解答】解：a=0时，函数f（x）=|x（ax+1）|=|x|在（﹣∞，0）上是减函数．a≠0时，f（x）=|a﹣|，若函数f（x）=|x（ax+1）|在（﹣∞，0）上是减函数，则﹣≥0，解得a＜0．因此“a＜0”是“函数f（x）=|x（ax+1）|在（﹣∞，0）上是减函数”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、二次函数的单调性、绝对值函数的意义、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈．已知直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，AB=3，，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为（）A．B．C． D．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别求出鳖膈的体积与其外接球的体积，即可得出结论．【解答】解：由题意，鳖膈的体积==10，其外接球的半径为=5，体积为=，∴鳖膈的体积与其外接球的体积之比为10：=3：50π，故选C．【点评】本题考查鳖膈的体积与其外接球的体积，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在的展开式中，x的系数为24．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中x的指数为1，即可求出x的系数．【解答】解：在的展开式中，=•x4﹣r•=••2r，通项公式为T r+1令4﹣r=1，解得r=2；∴展开式中x的系数为：22×=24．故答案为：24．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，着重考查了二项展开式的通项公式，是基础题．12．已知双曲线C的中心为坐标原点，它的焦点F（2，0）到它的一条渐近线的距离为，则C的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用点到直线的距离，结合已知条件列式，利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵焦点F（2，0）到它的一条渐近线的距离为，∴=，∴b=c，∴a=c，∴e==2．故答案为2．【点评】本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与焦距的关系，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．13．若“∃x0∈R，|x0+1|+|x0﹣1|≤m”是真命题，则实数m的最小值是2．【考点】特称命题．【分析】写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m的取值范围，即可得出结论．【解答】解：若“∃x0∈R，|x0+1|+|x0﹣1|≤m”是真命题，它的否定命题是“∀x∈R，有|x+1|+|x﹣1|＞m”，是假命题，∵|x+1|+|x﹣1|≥2恒成立，∴m的最小值是2．故答案为：2．【点评】本题考查了函数的最值以及命题的真假的应用问题，是基础题．14．某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，则它的表面积是2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出该几何体是正方体的内接正三棱锥，画出图形求出三棱锥的棱长，利用面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：如图所示，该几何体是正方体的内接正三棱锥；设正方体的棱长为a，则几何体的体积是V=a3﹣4××a2•a=a3=，∴a=1，∴三棱锥的棱长为，因此该三棱锥的表面积为S=4××=2．故答案为：2．【点评】本题考查了正方体的内接正三棱锥表面积的计算问题，关键是根据三视图得出几何体的结构特征．15．已知函数f（x）=|x•e x|，g（x）=f2（x）+λf（x），若方程g（x）=﹣1有且仅有4个不同的实数解，则实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设f（x）=t，研究f（x）的单调性和极值，得出f（x）=t的解的情况，从而确定关于t的方程t2+λt+1=0的解的分布情况，利用二次函数的性质得出λ的范围．【解答】解：f（x）=，当x≥0时，f′（x）=e x+xe x=（1+x）e x＞0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=（﹣1﹣x）e x，∴当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数．当x=﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）=．令f（x）=t，又f（x）≥0，f（0）=0，则当t＜0时，方程f（x）=t无解；当t=0或t＞时，方程f（x）=t有一解；当t=时，方程f（x）=t有两解；当0时，方程f（x）=t有三解．∵g（x）=f2（x）+λf（x）=﹣1有四个不同的实数解，∴关于t的方程t2+λt+1=0在（0，）和（，+∞）上各有一解，∴，解得：λ＜﹣e﹣．故答案为（﹣∞，﹣e﹣）．【点评】本题考查了函数的零点个数与单调性和极值的关系，二次函数的性质，换元法解题思想，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2017•枣庄一模）将函数的图象上每点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=f（x）的图象．（1）求函数f（x）的解析式及其图象的对称轴方程；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，求sinB 的值．【考点】三角形中的几何计算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由题意和图象平移变换法则求出f（x）的解析式，由整体思想和正弦函数的对称轴方程求出其图象的对称轴方程；（2）由（1）化简，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A，由条件和正弦定理求出sinB的值．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=，令得，，所以f（x）的图象的对称轴方程是；（2）由（1）得，，因0＜A＜π，所以，则或=，解得A=或A=，当A=时，因为，所以由正弦定理得，则==；当A=时，因为，所以由正弦定理得，则==．【点评】本题考查正弦定理，三角函数图象平移变换法则，以及正弦函数的对称轴方程的应用，考查整体思想，化简、计算能力．17．（12分）（2017•枣庄一模）在队内羽毛球选拔赛中，选手M与B1，B2，B3三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．（1）若M至少获胜两场的概率大于，则M入选下一轮，否则不予入选，问M是否会入选下一轮？（2）求M获胜场数X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．（2）利用相互独立事件与互斥事件的概率计算公式及其分布列与数学期望计算公式即可得出【解答】解：（1）M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则P（A）=，P（B）=，P（C）=由于事件A，B，C相互独立，所以P（D）=P（ABC）+P++P（）=××+（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，由于=，所以M会入选下一轮．（2）M获胜场数X的可能取值为0，1，2，3，则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=，P（X=1）=（1﹣）×（1﹣）×+（1﹣）××（1﹣）+×（1﹣）×（1﹣）=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=．数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•枣庄一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a6=0，S4=14．（1）求a n；（2）将a2，a3，a4，a5去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{b n}的前三项，求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式结合已知列式求得首项和公差，则a n可求；（2）由（1）知数列{a n}的前5项为5，4，3，2，1，可知：等比数列{b n}的前3项为4，2，1．首项为4，公比为，可得b n．利用“错位相减法”可得T n ．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a6=0，S4=14，得，解得a1=5，d=﹣1．∴a n=5﹣（n﹣1）=6﹣n；（2）由（1）知数列{a n}的前5项为5，4，3，2，1，∴等比数列{b n}的前3项为4，2，1，首项为4，公比为．∴，∴，数列{a n b n}的前n项和T n，则（6﹣n）•，=5+4+…+（7﹣n）•+（6﹣n）•，∴=5﹣[]﹣（6﹣n）•=5﹣=4+（n﹣4）．∴．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•枣庄一模）在四边形ABCD中（如图①），AB∥CD，AB⊥BC，G为AD上一点，且AB=AG=1，GD=CD=2，M为GC的中点，点P为边BC上的点，且满足BP=2PC．现沿GC折叠使平面GCD⊥平面ABCG（如图②）．（1）求证：平面BGD⊥平面GCD：（2）求直线PM与平面BGD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）利用勾股定理，证明BG⊥GC，根据平面与平面垂直的性质，证明BG⊥平面GCD，即可证明平面BGD⊥平面GCD：（2）取BP的中点H，连接GH，则GH∥MP，作HQ⊥平面BGD，连接GQ，则∠HGQ为直线GH与平面BGD所成的角，即直线PM与平面BGD所成角．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，AB=AG=1，GD=CD=2，BC=2，cosD=，∴GC==，BG=，∴BG2+GC2=BC2，∴BG⊥GC，∵平面GCD⊥平面ABCG，平面GCD∩平面ABCG=GC，∴BG⊥平面GCD，∵BG⊂平面GCD，∴平面BGD⊥平面GCD：（2）解：取BP的中点H，连接GH，则GH∥MP，作HQ⊥平面BGD，连接GQ，则∠HGQ 为直线GH与平面BGD所成的角，即直线PM与平面BGD所成角．由（1），作CN⊥GD，则CN⊥平面BGD，∵HQ⊥平面BGD，∴HQ∥GN，∴==，∴HQ=CN．△DGC中，GC=，DM=，由GD•CN=GC•DM，得CN=，∴HQ=，∵直角梯形ABCD中，GH=，∴sin∠HGQ==，∴直线PM与平面BGD所成角的正弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）（2017•枣庄一模）已知函数f（x）=x•e x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为x轴，求a的值：（2）在（1）的条件下，求f（x）的单调区间；（3）若∀x＞0，f（x）≥f（m）恒成立，且f（m）≥0，求证：f（m）≥2（m2﹣m3）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数f（x）的对数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而证明不等式即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=e x﹣1+x•e x﹣1﹣a（1+），故f（1）=1﹣a，f′（1）=2﹣2a，故切线方程是：y﹣（1﹣a）=（2﹣2a）（x﹣1），即y=（2﹣2a）x+a﹣1；由2﹣2a=0，且a﹣1=0，解得：a=1；（2）由（1）得a=1，f′（x）=（x+1）（e x﹣1﹣），令g（x）=e x﹣1﹣，x∈（0，+∞），∵g′（x）=e x﹣1+＞0，故g（x）在（0，+∞）递增，又g（1）=0，x∈（0，1）时，g（x）＜g（1）=0，此时f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=0，此时f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（3）f′（x）=（x+1）（e x﹣1﹣），令h（x）=e x﹣1﹣，x∈（0，+∞），①a≤0时，h（x）＞0，此时f′（x）＞0，f（x）递增，无最小值，故a≤0不合题意；②a＞0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，取实数b，满足0＜b＜min{， }，则e b﹣1＜=，﹣＜﹣2，故h（b）=e b﹣1﹣＜﹣2＜0，又h（a+1）=e a﹣＞1﹣=＞0，∴存在唯一的x0∈（b，a+1），使得h（x0）=0，即a=x0，x∈（0，x0）时，h（x）＜h（x0）=0，此时f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞h（x0）=0，此时f′（x）＞0，f（x）递增，故x=x0时，f（x）取最小值，由题设，x0=m，故a=m•e m﹣1，lna=lnm+m﹣1，f（m）=me m﹣1（1﹣m﹣lnm），由f（m）≥0，得1﹣m﹣lnm≥0，令ω（m）=1﹣m﹣lnm，显然ω（x）在（0，+∞）递减，∵ω（1）=0，∴，1﹣m﹣lnm≥0，故0＜m≤1，下面证明e m﹣1≥m，令n（x）=e m﹣1﹣m，则n′（m）=e m﹣1﹣1，m∈（0，1）时，n′（x）＜0，n（x）在（0，1）递减，故m∈（0，1]时，n（m）≥n（1）=0，即e m﹣1≥m，两边取对数，得lne m﹣1≥lnm，即m﹣1≥lnm，﹣lnm≥1﹣m，故1﹣m﹣lnm≥2（1﹣m）≥0，∵e m﹣1≥m＞0，∴f（m）=m•e m﹣1（1﹣m﹣lnm）≥m2，2（1﹣m）=2（m2﹣m3），综上，f（m）≥2（m2﹣m3）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题．21．（14分）（2017•枣庄一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：x2=4y的焦点F是椭圆（a＞b＞0）的一个顶点．过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于另一点D，交抛物线E于A、B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C于P、Q两点，记直线OM的斜率为k'，满足．（1）求椭圆C的方程；（2）记△PDF的面积为S1，△QAB的面积为S2，设，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意设出直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，求出D的坐标，利用中点坐标公式求得M的坐标，得到OM的斜率结合已知求得a值，则椭圆方程可求；（2）由（1），知点D的坐标为（），又F（0，1），可得|DF|．由，利用弦长公式求得|AB|．求出直线OM的方程为y=﹣．由，求得P、Q的坐标，由点到直线的距离公式求得点P到直线kx﹣y+1=0的距离，点Q到直线kx﹣y+1=0的距离．代入三角形面积公式，整理后利用基本不等式求得实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可设直线l的方程为y=kx+1，联立，得（1+a2k2）x2+2a2kx=0．解得：，．∴M（，），则k′=，由，得．∴a2=4．则椭圆C的方程为；（2）由（1），知点D的坐标为（），又F（0，1），∴|DF|=．由，得x2﹣4kx﹣4=0．△=16k2+16＞0恒成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4．因此=．由题意，直线OM的方程为y=﹣．由，得（1+4k2）x2﹣16k2=0．显然，△=﹣4（1+4k2）（﹣16k2）＞0恒成立，且x=．不妨设，则．∴点P的坐标为（），而点Q的坐标为（）．点P到直线kx﹣y+1=0的距离，点Q到直线kx﹣y+1=0的距离．∴=．==．∴S1S2==．∵，∴==．当且仅当3k2=k2+1，即k=时，等号成立．∴实数λ的最大值为，λ取最大值时的直线方程为．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆、抛物线位置关系的应用，考查逻辑推理能力与运算能力，属压轴题．。
山东省枣庄市2017届高三数学4月阶段性自测试题
山东省枣庄市2017届高三数学4月阶段性自测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.已知集合=,集合==,则集为A. B. C. D.2. “a≤2”是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或34.若执行如图所示的程序框图,输出的值为4,则判断框中应填入的条件是A. B. C. D.5.中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（）A．3795000立方尺B．2024000立方尺C．632500立方尺D．1897500立方尺6.已知已知f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），则f（）=（ ） A ．log 27﹣log 23 B ．log 23﹣log 27C ．log 23﹣2D ．2﹣log 237.数列是以为首项，为公比的等比数列，数列满足，数列满足，若为等比数列，则A. B. C. D.8.为了得到函数y=sin2x 的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 9.如果实数,x y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．-2D ．-3 10.已知双曲线C：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于另一点M ，N ，|PF 1|=2|PF 2|，且∠MF 2N=60°，则双曲线C 的离心率为（ ） A．B ．C ．D．, 二、填空题11.已知函数f （x ）=x 2﹣2x ，g （x ）=ax+2（a ＞0）对任意的x 1∈[﹣1，2]都存在x 0∈[﹣1，2]，使得g （x 1）=f （x 0）则实数a 的取值范围是 ．12.设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ，若A ，B ，C 依次成等差数列且a 2+c 2=kb 2，则实数k 的取值范围是 ．13.点P 是圆（x+3）2+（y ﹣1）2=2上的动点，点Q （2，2），O 为坐标原点，则△OPQ 面积的最小值是 ．14.已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，点F 关于直线12y x =的对称点 在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为 .15.对于三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d （a ≠0），给出定义：设f′（x ）是函数y=f （x ）的导数，f′′（x ）是f′（x ）的导数，若方程f′′（x ）有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y=f （x ）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f （x ）=x 3﹣x 2+3x ﹣，请你根据这一发现，计算f （）+f （）+f （）+…+f （）= ．, 三、解答题16.已知函数f （x ）=x 2﹣1，g （x ）=a|x ﹣1|．（1）若关于x 的方程|f （x ）|=g （x ）只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若当x ∈R 时，不等式f （x ）≥g（x ）恒成立，求实数a 的取值范围．17.如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为主题游乐区，四边形区域为BCDE 为休闲游乐区，AB 、BC ，CD ，DE ，EA ，BE 为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=3km ． （I ）求道路BE 的长度；（Ⅱ）求道路AB ，AE 长度之和的最大值．18.已知数列{a n }是公差大于零的等差数列，数列{b n }为等比数列，且a 1=1，b 1=2，b 2﹣a 2=1，a 3+b 3=13（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式 （Ⅱ）设c n =a n b n ，求数列{c n }前n 项和T n ．19.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC=EB ，AB=4，tan ∠EAB=． （1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当三棱锥C ﹣ADE 体积最大时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值．20.已知椭圆C ：1b y a x 2222=+（a ＞0，b ＞0）的离心率为22，右焦点为F ，上顶点为A ，且△AOF 的面积为21（O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点M 在以椭圆C 的短轴为直径的圆上，且M 在第一象限，过M 作此圆的切线交椭圆于P ，Q 两点．试问△PFQ 的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由． 21.已知a ∈R ，函数f （x ）=2x 3﹣3（a+1）x 2+6ax ．（I ）若函数f （x ）在x=3处取得极值，求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）若a ＞21，函数y=f （x ）在[0，2a]上的最小值是﹣a 2，求a 的值．11.（0，]12.（1，2]13.214.22551 94x y+=15.201416.解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，∴a＜0．…（2）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…17.（I）如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理可得：BD2=BD2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD=1+1﹣2×1×1×（﹣）=3，∴BD=，∵BC=CD，∴∠C DB=∠CBD==30°，又∵∠CDE=120°，∴∠BDE=90°，∴在Rt△BDE中，BE===2．…5分（Ⅱ）设∠ABE=α，∵∠BAE=60°，∴∠AEB=120°﹣α，在△ABE中，由正弦定理，可得：，∵=4，∴AB=4sin（120°﹣α），AE=4sinα，∴AB+AE=4sin（120°﹣α）+4sinα=4（）+4sinα=2cosα+6sinα=4sin（α+30°），∵0°＜α＜120°，∴30°＜α+30°＜150°，∴当α+30°=90°，即α=60°时，AB+AE取得最大值4km，即道路AB，AE长度之和的最大值为4km．…13分18.解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d＞0），数列{b n}的公比为q，由已知得：，解得：，∵d＞0，∴d=2，q=2，∴，即；（Ⅱ）∵c n=a n b n=（2n﹣1）2n，∴①，②，②﹣①得：=﹣2﹣23﹣24﹣…﹣2n+1+（2n﹣1）×2n+1==6+（2n﹣3）×2n+1．19.（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…，∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依题意，…，由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立…如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…设面DAE的法向量为，，即，∴，…设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…20.解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点）．∴，解得a=，b=1，∴椭圆C的方程为．（2）设点P在第一象限，设P（x1，y1），Q（x2，y2），，∴|PF|=====，连结OM，OP，则|PM|====，∴|PF|+|PM|=，同理，|QF|+|QM|=，∴|PF|+|QF|+|PQ|=|PF|+|QF|+|PM|+|QM|=2，∴△PFQ的周长为定值2．21.解：（Ⅰ）∵f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax，∴f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a，∵3是函数y=f（x）的极值点，∴f′（3）=0，即6×32﹣6（a+1）×3+6a=0，解得：a=3，∴f（x）=2x3﹣12x2+18x，f′（x）=6x2﹣24x+18，则f（0）=0，f′（0）=18，∴y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程是：y=18x；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a，∴f′（x）=6（x﹣1）（x﹣a），①a=1时，f′（x）=6（x﹣1）2≥0，∴f（x）min=f（0）=0≠﹣a2，故a=1不合题意；②a＞1时，令f′（x）＞0，则x＞a或x＜1，令f′（x）＜0，则1＜x＜a，∴f（x）在[0，1]递增，在[1，a]递减，在[a，2a]递增，∴f（x）在[0，2a]上的最小值是f（0）或f（a），∵f（0）=0≠﹣a2，由f（a）=2a3﹣3（a+1）a2+6a2=﹣a2，解得：a=4；③＜a＜1时，令f′（x）＞0，则有x＞1或x＜a，令f′（x）＜0，则a＜x＜1，∴f（x）在[0，a]递增，在[a，1]递减，在[1，2a]递增，∴f（x）min=f（1）=2﹣3（a+1）+6a=﹣a2，解得：a=与＜a＜1矛盾，综上，符合题意的a的值是4．。
2017届高三第二次模拟考试 数学理 (含答案)word版
2017年高考考前适应性训练数学（理工农医类）本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数ii ++113的虚部是A.i -B.1-C.iD.12.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=143422y x x A ，{}2x y y B ==，则B A ⋂=A.[]2,2-B.[]2,0C.0.4D.0.83.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()(σσ2,1N ＞)0，若ξ在（0.2）内取值的概率为0.8，则ξ在()1,0内取值的概率为 A.0.1B.0.2C.0.4D.0.84. 已知两条直线 a ，b 与两个平面α、αβ⊥b ,，则下列命题中正确的是 ①若,//αa 则b a ⊥；②若b a ⊥，则a//α；③若β⊥b ，则βα// ； ④若βα⊥，则b//β. A. ①③B.②④C.①④D.②③5.已知点P 在圆522=+y x 上，点Q （0，—1），则线段PQ 的中点的轨迹方程是 A.022=-+x y xB.0122=-++y y x C.0222=--+y y xD.022=+-+y x y x6.已知a x x p ≥-+-910:的解集为R ，aq 1:＜1，则⌝p 是q 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表： 附：参考公式及数据： （1）卡方统计量()()()()()22122111222112112211222112n n n n n n n n n n n n n x ++++-=(其中)22211211n n n n n +++=；（2）独立性检验的临界值表：则下列说法正确的是A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关8.函数()(()⎩⎨⎧≤++-=0142ln 2x x x x x x x f 的零点个数为A.0B.1C.2D.39.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为 A.π416+ B.π412+ C.π816+ D.π812+10.已知函数()x f 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，()()[]()1212x x x f x f --＜0恒成立，设()()3,2,21f c f b f a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，则a 、b 、c 的大小关系为 A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c11.已知双曲线154:22=-y x C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且212F F PF =，则21PF ⋅等于A.24B.48C.50D.5612.对于定义域为D 的函数()x f ，若存在区间[](a D b a M ⊆=,＜)b ，使得(){}M M x x f y y =∈=,，则称区间M 为函数()x f 的“等值区间”.给出下列四个函数：①();2xx f =②();3x x f =③();sin x x f =④().1log 2+=x x f则存在“等值区间”的函数的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个＞)0第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑字签字笔答在答题纸的相应位置上。
2017届山东省枣庄市高三上学期期末质量检测数学(理)试题
2017届山东省枣庄市高三上学期期末质量检测数学（理）试题数学（理）试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22|22,|log A x Z x B x y x =∈-<<==，则A B = （ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}0,12. 已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则p ⌝为（ ）A ．,sin 1x R x ∃∈≤B ．,sin 1x R x ∀∈>C ．,sin 1x R x ∀∈≥D ．,sin 1x R x ∃∈>3. 已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =+-的定义域为（ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,34. 下列命题中的假命题是（ ）A ．,30x x R ∀∈>B ．00,lg 0x R x ∃∈= C.0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭D ．000,sin cos 3x R x x ∃∈+= 5. 已知函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为（ ）A ．3B ．6 C. 9 D ．126.已知()33,,tan 224ππααπ⎛⎫∈-=-⎪⎝⎭，则sin cos αα+的值是（ ）A ．15± B ．15 C. 15- D ． 75- 7. 设,a b R ∈，函数()()01f x ax b x =+≤≤，则()0f x >恒成立是20a b +>成立的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件8.过抛物线()240y ax a =>的焦点F 作斜率为1-的直线,l l 与离心率为e 的双曲线()222210x y b a b -=>的两条渐近线的交点分别为,B C .若,,B C F x x x 分别表示,,B C F 的横坐标，且2F B C x x x =- ，则e =（ ）A ．6B ．6 C.3 D ．39.《 九章九术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的体积为（ ）A ．83B ．2 C.2 D ．22 10.定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知等比数列{}n a 中，141,8a a ==，则其前6项之和为 ．12.已知实数,x y 满足103020x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则24y x --的最大值为 ． 13. 函数()2sin cos cos f x x x x =+的减区间是 ． 14. 如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ．15.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，13b =.（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值；（2）求a c +的最大值.17. （本小题满分12分）已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,()210,2,326n n n a a a S ∈++=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11nn n b a a +，数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对,4n n N t T *∀∈≤恒成立，求实数t 的最大值. 18. （本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，32BA BC = .（1）若BA 与BC 的夹角为30 ，求ABC ∆的面积ABC S ∆；（2）若4,AC O = 为AC 的中点，G 为ABC ∆的重心（三条中线的交点），且OG 与OD互为相反向量求AD CD的值.19. （本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面,ABC ABC ∆与ACD ∆是边长为2的等边三角形，2,BE BE =和平面ABC 所成的角为60 ，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上.（1）求证:DE 平面ABC ；（2）求二面角E BC A --的余弦值.20. （本小题满分13分）已知函数()()()()22ln 1,2x x a f x x x g x a R x ++=+-=∈+. （1）求函数()f x 的单调区间及最值；（2）若对()()0,1x f x g x ∀>+>恒成立，求a 的取值范围；（3）求证:()()1111...ln 135721n n N n *++++<+∈+. 21. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，过点2,12Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭作圆221x y +=的切线，切点分别为,S T .直线ST 恰好经过Ω的右顶点和上顶点.（1）求椭圆Ω的方程；（2）如图，过椭圆Ω的右焦点F 作两条互相垂直的弦,AB CD .① 设,AB CD 的中点分别为,M N ，证明: 直线MN 必过定点，并求此定点坐标；②若直线,AB CD 的斜率均存在时，求由,,,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围.山东省枣庄市2017届高三上学期期末质量检测数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: ADADB 6-10: CADCC二、填空题11.63 12.67 13. 5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 14.10 15.25三、解答题16. 解：(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+.又,3A B C B ππ++=∴=.()()213213213sin sin sin sin sin sin 3333a c A C A A B A A π⎡⎤⎛⎫∴+=+=++=++⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 21333sin sin cos 213sin 2263A A A π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由203A π<<，得5666A πππ<+<. 所以当62A ππ+=，即3A π=时，()max 213a c +=.17. 解：(1)当1n =时，由2326n n n a a S ++=，得2111326a a a ++=，即211320a a -+=.又()10,2a ∈，解得11a =.由2326n n n a a S ++=，可知2111326n n n a a S +++++=. 两式相减，得()2211136n n n n n a a a a a +++-+-=，即()()1130n n n n a a a a +++--=.由于0n a >，可得130n n a a +--=，即13n n a a +-=，所以{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列.所以()13132n a n n =+-=-.(2)由32n a n =- ，可得()()12111111,...323133231n n n n n b T b b b a a n n n n +⎛⎫===-=+++ ⎪-+-+⎝⎭ 1111111 (3447323131)n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为()()()1110311313134n n n n T T n n n n ++-=-=>+++++，所以1n n T T +>，所以数列{}n T 是递增数列. 所以1141444n n t t t T T T t ≤⇔≤⇔≤=⇔≤，所以实数t 的最大值是1. 18. 解：(1)3264332,cos3032,cos303BA BC BA BC BA BC =∴=∴== ， 116431163sin 3022323ABC S BA BC ∆∴==⨯⨯=.(2) 以O 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则()()2,0,2,0A C -，设(),D x y ，则(),OD x y = ，因为OG 与OD 互为相反向量，所以(),OG x y =-- .因为G 为ABC ∆的重心，所以()33,3OB OG x y ==-- ，即()()()3,3,32,3,32,3B x y BA x y BC x y --∴=-=+ ,因此22949BA BC x y =-+ .由题意，2294932x y -+=,即224x y +=.()()222,2,40AD CD x y x y x y ∴=+-=+-= . 19. 解：(1) 由题意知，,ABC ACD ∆∆都是边长为2 的等边三角形，取AC 中点O ，连接,BO DO ，则,BO AC DO AC ⊥⊥.又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面,ABC AC DO =⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC .作EF ⊥平面ABC 于F .由题意，点F 落在BO 上，且60EBF ∠= .在Rt BEF ∆中，3sin 232EF BE EBF =∠=⨯= .在Rt DOC ∆中，3sin 232DO DC DCO =∠=⨯= .因为DO ⊥平面,ABC EF ⊥平面ABC ，所以DO EF ，又DO EF =，所以四边形DEFO 是平行四边形.所以DE OF .又DE ⊄平面,ABC OF ⊂平面ABC ，所以DE 平面ABC .(2) 作FG BC ⊥，垂足为G ，连接EG ,EF ⊥ 平面,ABC EF BC ∴⊥.又,,EF FG F FG BC BC =⊥∴⊥ 平面EFG .所以BC EG ⊥.所以EGF ∠就是二面角E BC A --的一个平面角.在Rt BGF ∆中，1sin 1sin 302FG FB FBG =∠=⨯= .在Rt EFB ∆中，sin 2sin 603EF EB EBF =∠=⨯=.在Rt EFG ∆中，22113132.cos 213132FG EG EF FG EGF EG =+=∠===,即二面角E BC A --的余弦值为1313. 20. 解：(1)()f x 的定义域为()()()()11,,'1.'010;'0011x f x f x x f x x x x-+∞=-=->⇔-<<<⇔>++,所以函数()f x 的增区间为()1,0-,减区间为()0,+∞.()()max 00f x f ==,无最小值.(2) ()()()220,10,ln 112x x a x f x g x x x x x ++∀>+>⇔∀>+-+>+ ()()()0,ln 110,21ln 12a x x x a x x x ⇔∀>++>⇔∀>>+-+⎡⎤⎣⎦+,令()()()21ln 1h x x x =+-+⎡⎤⎣⎦.则()()()21'1ln 1ln 111x h x x x x x +=-+-=-+-++.当0x >时，显然()()1'ln 101h x x x =-+-<+，所以()h x 在()0,+∞上是减函数.所以当0x >时，()()02h x h <=.所以，a 的取值范围为[)2,+∞.（3）又（2）知，当2,0a x =>时，()2ln 112x x ++>+，即()()ln 12x x x +>*+. 在()*式中，令()1x k N k *=∈，得11ln 12k k k k+>+，即11ln 21k k k +>+，依次令1,2,3,...k n =，得21314111ln ,ln ,ln ,...,ln 13253721n n n +>>>>+.将这n 个式子左右两边分别相加，得()1111ln 1...35721n n +>+++++. 21.解：(1)过2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭作圆221x y +=的切线，一条切线为直线1y =，切点()0,1S .设另一条切线为212y k x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，即22220kx y k -+-=.因为直线与圆221x y +=相切，则222144kk -=+.解得22k =-.所以切线方程为223y x =-+.由222231y x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，解得221,33T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线ST 的方程为 ()113102203y x --=--,即212y x =-.令0x =，则1y =所以上顶点的坐标为()0,1，所以1b =；令0y =，则2x =，所以右顶点的坐标为()2,0，所以2a =，所以椭圆Ω的方程为2212x y +=.(2) ①若直线 ,AB CD 斜率均存在，设直线()()()1122:1,,,,AB y k x A x y B x y =-, 则中点 1212,122x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 先考虑0k ≠ 的情形.由()221220y k x x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩得()2222124220k x k x k +-+-=.由直线AB 过点()1,0F ，可知判别式0∆>恒成立. 由韦达定理，得2122412k x x k +=+，故2222,1212k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，将上式中的k 换成1k -，则同理可得222,22k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.若22222122k k k =++，得1k =±，则直线 MN 斜率不存在. 此时直线MN 过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.下证动直线MN 过定点2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ② 当直线,AB CD 的斜率均存在且不为0时， 由①可知，将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得 ()2222124220k x k x k +-+-=,所以()22222212121222422114141212k k AB k x x k x x x x k k k ⎛⎫-=+-=++-=+-⨯ ⎪++⎝⎭ ()2222222122111212k k k k k ++=+=++ .同理，()22221221221221k k CD k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++， ()()22222242221411122122122225k k k S AB CD k k k k +++===++++ 四边形222222114422211252121k k k k k k k kk k ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2211212219k k k k ⎛⎫⎛⎫++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1k =±时取等号，所以22221620,2299112121k k k k <≤≤-<⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1629S ≤<四边形. 所以，由,,,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围为16,29⎡⎫⎪⎢⎣⎭.。
2017年高三数学模拟卷 理科数学(含答案解析)
理科数学2017年高三2017年全国甲卷理科数学考试时间：____分钟单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。
）1．( )A.B.C.D.2．设集合，．若，则( )A.B.C.D.3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A. 1盏B. 3盏D. 9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.5．设，满足约束条件，则的最小值是( )A.B.C.D.6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )B. 18种C. 24种D. 36种7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A. 乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩8．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的( )A. 2B. 3C. 4D. 59．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为( )A. 2B.C.D.10．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.11．若是函数的极值点，则的极小值为( )A.B.C.D. 112．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小是( )A.B.C.D.填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。
）13．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________．14．函数的最大值是____________．15．等差数列的前项和为，，，则____________．16．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．简答题（综合题）（本大题共7小题，每小题____分，共____分。
山东省枣庄市2017届高三下学期第一次模拟考试数学理试
二O 一七届高三模拟考试数学(理科)2017．3本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第I 卷(选择题 共50分)注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上．3．考试结束后，监考人员将答题卡和第Ⅱ卷的答题纸一并收回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(1+i)z=2－i(i 为虚数单位)，则=zA ．21 B ．210 C ．2 D ．223 2．已知集合()(){}(){}12log ,0213≤-=≥-+=x x B x x x A ，则()=⋂B C A R A ．∅B ．{}2,1＞x x x -≤C ．{}1-＜x xD ．{}2,1≥-≤x x x3．函数⎪⎭⎫⎝⎛--=4sin 212πx y 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数4．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为 A ．2B ．1-C ．21 D ．21- 5．若正数x,y 满足131=+xy ，则3x+4y 的最小值是 A ．24B ．28C ．25D.266．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为321,,x x x ，则它们的大小关系为A ．321s s s ＞＞B ．231s s s ＞＞C ．123s s s ＞＞D ．213s s s ＞＞7．在ABC ∆中，DB AD BC BD AC AB ⋅===，则21,2,3的值为 A ．25 B ．25- C ．45 D ．45-8.不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤-2011y x 表示的点集M ，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-2201x y y x 表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则N P ∈的概率为 A ．325 B ．329 C ．169D ．1659．已知R a ∈，则“0＜a ”是“函数()()()01，在∞-+=ax x x f 上是减函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要10．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈．已知直三棱柱3,111=⊥-AB BC AB ABCC B A 中，，3541==AA BC ，，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为 A ．π15:3 B ．π5:33 C ．π52:33D ．π50:33第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项：第II 卷所有题目的答案须用0.5mm 黑色签字笔答在“答题纸”的指定位置上 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在42⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的系数为 ．(用数字作答)12．已知双曲线C 的中心为坐标原点，它的焦点F(2，0)到它的一条渐近线的距离为3，则C 的离心率为___________．13．若“m x x R x ≤-++∈∃11,000”是真命题，则实数m 的最小值是___________．14．某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是31，则它的表面积是___________． 15．已知函数()()()()2xf x x eg x fx f x λ=⋅=+，，若方程()1g x =-有且仅有4个不同的实数解，则实数λ的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)将函数sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上每点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y f x =的图象．(1)求函数()f x 的解析式及其图象的对称轴方程；(2)在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ．若()2,f A a b ===，求sinB 的值．17．(本题满分12分)在队内羽毛球选拔赛中，选手M 与123,,B B B 三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M 获胜的概率分别为421,,532，且各场比赛互不影响． (1)若M 至少获胜两场的概率大于710，则M 入选下一轮，否则不予入选，问M 是否会入选下一轮?(2)求M 获胜场数X 的分布列和数学期望．18．(本题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且640,14a S ==． (1)求n a ；(2)将2345,,,a a a a 去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．19．(本题满分12分)在四边形ABCD 中(如图①)，AB//CD ， AB ⊥BC ，G 为AD 上一点，且AB=AG=1，GD=CD=2，M 为GC 的中点，点P 为边BC 上的点，且满足BP=2PC ．现沿GC 折叠使平面GCD ⊥平面ABCG(如图②)．(1)求证：平面BGD ⊥平面GCD ： (2)求直线PM 与平面BGD 所成角的正弦值．20．(本题满分13分)已知函数()()1ln ,x f x x e a x x a R -=⋅-+∈．(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为x 轴，求a 的值： (2)在(1)的条件下，求()f x 的单调区间；(3)若()()0,x f x f m ∀>≥恒成立，且()0f m ≥，求证：()()232f m m m ≥-．21．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4E x y =的焦点F 是椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的一个顶点．过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆C 于另一点D ，交抛物线E 于A 、B 两点，线段DF 的中点为M ，直线OM 交椭圆C 于P 、Q 两点，记直线OM 的斜率为k '，满足14k k '⋅=-． (1)求椭圆C 的方程；(2)记PDF ∆的面积为1,S QAB ∆的面积为S 2，设212S S k λ⋅=，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l 的方程．。
山东省枣庄市2017-2018学年高三下学期开学数学试卷(理科)Word版含答案
山东省枣庄市2017-2018学年高三下学期开学试卷（理科数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知不等式|x﹣2|＜3的解集为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x∈R|﹣1＜x＜1} B．{x∈R|1≤x＜5} C．{x∈R|1＜x＜5} D．{x∈R|x≥1}2．已知a∈R，i是虚数单位，命题p：在复平面内，复数z1=a+对应的点位于第二象限；命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，若p∧q是真命题，则实数a的值等于（）A．﹣1或1 B．或C．D．3．已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a4．已知θ为锐角，且cos（θ+）=，则cos（﹣θ）=（）A．B．C．D．﹣5．如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（）A．，1，B．，1，1 C．2，1，D．2，1，16．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示：在降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（）A．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.57．设实数x，y满足约束条件，若对于任意b∈，不等式ax﹣by＞b恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（，4）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（4，+∞）8．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．B．C．D．29．已知点F1是抛物线C：x2=4y的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．﹣1 C． +1 D．10．函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x）．对任意的x∈R，总有f（﹣x）+f（x）=，b=1；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜．若f（4﹣m）﹣f（m）≥4﹣2m，则实数m的取值范围是（）A． C．（﹣∞，2] D．（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，若T n≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；（Ⅲ）在数列{a n}中是否存在这样一些项：a，a，a，…，a这些项都能够构成以a1为首项，q（0＜q＜5）为公比的等比数列{a}？若存在，写出n k关于f（x）的表达式；若不存在，说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）极值；（Ⅱ）若直线y=ax+b是函数f（x）的切线，求a﹣b的最大值；（Ⅲ）若方程f（x）=m存在两个实数根x1，x2，且x1+x2=2x0．①求证：0＜m＜1；②问：函数f（x）图象上在点（x0，f（x0））处的切线是否能平行x轴？若存在，求出该切线；若不存在说明理由．山东省枣庄市2017-2018学年高三下学期开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知不等式|x﹣2|＜3的解集为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x∈R|﹣1＜x＜1} B．{x∈R|1≤x＜5} C．{x∈R|1＜x＜5} D．{x∈R|x≥1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B），然后利用集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x||x﹣2|＜3}={x|﹣1＜x＜5}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则∁U B={x|x≥1}，由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁U B），∴A∩（∁U B）={x|1≤x＜5}，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用韦恩图确定集合关系，然后利用数轴求基本运算是解决此类问题的基本方法．2．已知a∈R，i是虚数单位，命题p：在复平面内，复数z1=a+对应的点位于第二象限；命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，若p∧q是真命题，则实数a的值等于（）A．﹣1或1 B．或C．D．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：利用复数的运算法则、几何意义可得a+1＜0．命题q：利用模的计算公式可得：=2，解得a．若p∧q是真命题，则p与q都为真命题，即可得出．【解答】解：命题p：在复平面内，复数z1=a+=a+=a+1+i对应的点位于第二象限，∴a+1＜0，解得a＜﹣1．命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，∴ =2，解得a=±．若p∧q是真命题，∴，解得a=﹣．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、模的计算公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数、指数函数的性质、运算法则求解．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x|，∴a=f（log0.53）==3，b=f（log25）==5，c=f（0）=20=1，∴a，b，c的大小关系为c＜a＜b．故选：B．【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数性质的合理运用．4．已知θ为锐角，且cos（θ+）=，则cos（﹣θ）=（）A．B．C．D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得cos（﹣θ）的值．【解答】解：∵θ为锐角，且cos（θ+）=，则cos（﹣θ）=cos[﹣（θ+）]=sin（θ+）==，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．5．如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（）A．，1，B．，1，1 C．2，1，D．2，1，1【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据题意，结合三视图的特征，得出x是等边△PAB边AB上的高，y是边AB的一半，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，分别求出它们的大小即可．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2；∴x是等边△PAB边AB上的高，x=2sin60°=，y是边AB的一半，y=AB=1，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，z=AB=1；∴x，y，z分别是，1，1．故选：B．【点评】本题考查了几何体的三视图与直观图的关系与应用问题，也考查了计算能力与空间想象能力，是基础题．6．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示：在降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（）A．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出两个事件发生的概率，利用条件概率公式求得答案．【解答】解：降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率P，设：降水量X至少是100为事件A，工期延误不超过15天的事件B，P（A）=0.6，P（AB）=0.3，P=P（B丨A）==0.5，故答案选：D．【点评】本题考查条件概率，要求熟练掌握条件概率公式，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，若对于任意b∈，不等式ax﹣by＞b恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（，4）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（4，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识以及分类讨论进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：b=0时，ax＞0，∴a＞0；b≠0时，y＜x﹣1．a＜0时，不成立；a＞0时，B（1，3）在y=x﹣1的下方即可，即3＜﹣1，解得a＞4b，∵0＜b≤1，∴a＞4．综上所述，a＞4．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件对于b∈时，不等式ax﹣by＞b恒成立，得到C（3，1）在y=x﹣1的上方或在直线上是解决本题的关键．8．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．B．C．D．2【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．【解答】解：，，；∴===；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故选B．【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．9．已知点F1是抛物线C：x2=4y的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．﹣1 C． +1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用直线F2A与抛物线相切，求出A的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：设直线F2A的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴A（2，1），∴双曲线的实轴长为AF2﹣AF1=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是求出A的坐标，属中档题．10．函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x）．对任意的x∈R，总有f（﹣x）+f（x）=，b=1；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜．若f（4﹣m）﹣f（m）≥4﹣2m，则实数m的取值范围是（）A． C．（﹣∞，2] D．．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由圆切线的性质，即与圆心切点连线垂直设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出•，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最小值，由P为左顶点，可得最大值，进而得到所求范围．【解答】解：设PA与PB的夹角为2α，则|PA|=PB|=，∴y=•=|PA||PB|cos2α=•cos2α=•cos2α．记cos2α=u，则y==﹣3+（1﹣u）+≥2﹣3=2﹣3，∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，∴•的最大值为•=，∴•的范围为．故答案为：．【点评】本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（12分）（2017•潍城区校级二模）已知=（2λsinx，sinx+cosx），=（cosx，λ（sinx﹣cosx））（λ＞0），函数f（x）=•的最大值为2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，若f（A）﹣m＞0恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求函数f（x）的单调递减区间．（Ⅱ）利用余弦定理求得cosC的值，可得C的值，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（A）的最小值，可得m的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数=λsin2x﹣λcos2x=2λ（sin2x﹣cos2x）=2λsin（2x﹣），因为f（x）的最大值为2，所以解得λ=1，则．由，可得：，，所以函数f（x）的单调减区间为，k∈Z．（Ⅱ）由．可得2b2﹣ab=b2+c2﹣a2，即b2+a2﹣c2=ab，解得，即．因为，∴，．因为恒成立，则恒成立，即m≤﹣1．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性，余弦定理，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．17．（12分）（2017春•桓台县校级月考）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=AC=1，BC=2，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）求锐二面角M﹣AC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明PC⊥平面ABC，然后证明平面PAC⊥平面ABC．（Ⅱ）建立空间直角坐标系C﹣xyz，求出相关点的坐标，设P（0，0，z0）（z0＞0），则M（0，1，z0），直线AM与直线PC所成的解为60°，解得z0=1．求出平面MAC的一个法向量，平面ABC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角M﹣AC﹣B的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B；所以PC⊥平面ABC．…（2分）又因为PC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面ABC…（4分）（Ⅱ）在平面ABC内，过C作Cx⊥CB，建立空间直角坐标系C﹣xyz（如图）…由题意有C（0，0，0），A（，﹣，0），设P（0，0，z0）（z0＞0），则M（0，1，z0），，=（0，0，z0）．…（7分）由直线AM与直线PC所成的解为60°得=||||cos60°，z02=，解得z0=1．…（9分）所以，设平面MAC的一个法向量为，则，即．取x1=1，得．…（10分）平面ABC的法向量取为…（11分）设与所成的角为θ，则因为二面角M﹣AC﹣B的平面角为锐角，故二面角M﹣AC﹣B的平面角的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．18．（12分）（2017•潍城区校级二模）某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从 T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题 T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题 T2，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．（I）求丙、丁未签约的概率；（II）记签约人数为 X，求 X的分布列和数学期望EX．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（I）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为 A，B，C，D．由题意知 A，B，C，D相互独立，且，．记事件“丙、丁未签约”为F，由事件的独立性和互斥性得能求出丙、丁未签约的概率．（II） X的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（I）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为 A，B，C，D．由题意知 A，B，C，D相互独立，且，．记事件“丙、丁未签约”为F，由事件的独立性和互斥性得：P（F）=1﹣P（CD）…（3分）=…（4分）（II） X的所有可能取值为0，1，2，3，4．…，，，，．所以，X的分布列是：…（12分）X的数学期望…（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．19．（12分）（2017春•桓台县校级月考）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知A，B为椭圆的左右两个顶点，T为椭圆上在第一象限内的一点，l为过点B且垂直x轴的直线，点S为直线AT与直线l的交点，点M以SB为直径的圆与直线TB的另一个交点，求证：O，M，S三点共线．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由a及椭圆的离心率公式求得c值，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线AT的方程，代入椭圆方程，由韦达定理求得T点坐标，由BT⊥SM，则=（﹣，﹣2k），则•==0，BT⊥SO，即可O，M，S三点共线．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：a=，e==，则c=1，又b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的方程为：；…（4分）（Ⅱ）设直线AT方程为：y=k（x+），（k＞0），设点T坐标为（x1，y1），，则（1+2k2）x2+4k2x+4k2﹣1=0，…由韦达定理x1x2=，又A点坐标为（﹣，0），得x1=，y1=，…（7分）又B点坐标为（，0），则=（﹣，），…（8分）由圆的性质得：BT⊥SM，所以，要证明O，M，S三点共，只要证明BT⊥SO即可，…（9分）又S点横坐标为，则S点坐标为（，2k），=（﹣，﹣2k），•==0，…（11分）即BT⊥SO，又BT⊥SM，∴O，M，S三点共线．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．20．（13分）（2017春•桓台县校级月考）已知二次函数f（x）=x2+x．数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在二次函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n a n+1cos（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，若T n≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；（Ⅲ）在数列{a n}中是否存在这样一些项：a，a，a，…，a这些项都能够构成以a1为首项，q（0＜q＜5）为公比的等比数列{a}？若存在，写出n k关于f（x）的表达式；若不存在，说明理由．【考点】数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）由题意可知，，（n∈N*）．由a n=S n﹣S n﹣1求出n≥2时的通项公式，已知n=1成立得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由b n=a n a n+1cos=（﹣1）n﹣1a n a n+1，得T n=b1+b2+…+b n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．结合（Ⅰ）分n=2m（m∈N*）和n=2m﹣1（m∈N*）求出数列{b n}的前n项和为T n，由T n≥tn2对n∈N*恒成立，分离参数t可得实数t的取值范围；（Ⅲ）由知数列{a n}中每一项都不可能是偶数．如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列（k∈N*），此时{a}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{a}；当q=1时，显然不存在这样的数列{a}；当q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{a}（k∈N*），则（n1=1），由此可得，，即存在满足条件的数列{a}，且（k∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，（n∈N*）．当n≥2时，=；当n=1时，a1=S1=1适合上式．数列{a n}的通项公式为（n∈N*）；（Ⅱ）∵b n=a n a n+1cos=（﹣1）n﹣1a n a n+1，∴T n=b1+b2+…+b n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．由（Ⅰ）可知，数列{a n}是以1为首项，公差为的等差数列．①当n=2m（m∈N*）时，=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）==；②当n=2m﹣1（m∈N*）时，==．∴．要使T n≥tn2对n∈N*恒成立，只要使（n为正偶数）恒成立，即使对n为正偶数恒成立，∴t．故实数t的取值范围是；（Ⅲ）由知数列{a n}中每一项都不可能是偶数．①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列（k∈N*），此时{a}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{a}；②当q=1时，显然不存在这样的数列{a}；当q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{a}（k∈N*），则（n1=1），，，即存在满足条件的数列{a}，且（k∈N*）．【点评】本题主要考查数列和函数的应用，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．考查数列的分类求和，考查逻辑思维能力与推理运算能力，综合性较强，难度较大．21．（14分）（2017春•桓台县校级月考）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）极值；（Ⅱ）若直线y=ax+b是函数f（x）的切线，求a﹣b的最大值；（Ⅲ）若方程f（x）=m存在两个实数根x1，x2，且x1+x2=2x0．①求证：0＜m＜1；②问：函数f（x）图象上在点（x0，f（x0））处的切线是否能平行x轴？若存在，求出该切线；若不存在说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）设出函数的切点，求出a﹣b，设函数，根据函数的单调性求出F（﹣1）的值，从而求出a﹣b的最大值即可；（Ⅲ）①求出x1＜1＜x2，得到0=f（0）＜f（x1）=f（x2）=m＜f（1）=1即可；②由于0＜x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1，设函数G（x）=f（2﹣x）﹣f（x）=﹣，0＜x ＜1，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为：；…（1分）当f'（x）=0时，得x=1；当f'（x）＞0时，得x＜1，故函数f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增；当f'（x）＜0时，得x＞1，故函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；所以函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）=1．…（3分）（Ⅱ）设函数f（x）的切点为，t∈R．显然该点处的切线为：，即为；…（4分）可得：，则；设函数；…其导函数为，显然函数当F'（t）＞0时，得t＜﹣1或t＞2，故函数F（t）在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增；当F'（t）＜0时，得﹣1＜t＜2，故函数F（t）在区间（﹣1，2）上单调递减；函数的F（t）的极大值为F（﹣1）=e2＞0，F（t）的极小值为．…（7分）显然当t∈（﹣∞，2）时，F（t）≤F（﹣1）恒成立；而当t∈（2，+∞）时，，其中e t＞0，，得F（t）＜0；…（8分）综上所述，函数的F（t）的极大值为F（﹣1）=e2即为a﹣b的最大值．…（9分）（Ⅲ）①由于函数f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减；所以x1＜1＜x2，…（10分）显然当x＜0时，f（x）＜0；当0＜x＜1和x＞1时，f（x）＞0；得0＜x1＜1＜x2，0=f（0）＜f（x1）=f（x2）=m＜f（1）=1．…（11分）②由于0＜x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1，设函数G（x）=f（2﹣x）﹣f（x）=﹣，0＜x＜1；…（12分）其导函数为G′（x）=＜0；故函数在区间（0，1）上单调递减，且G（1）=0，0＜x1＜1；所以G（x1）=f（2﹣x1）﹣f（x1）＞0，即f（2﹣x1）＞f（x1）；同时f（x1）=f（x2）=m，从而f（2﹣x1）＞f（x2）；由于2﹣x1＞1，x2＞1，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，得2﹣x1＜x2，即x1+x2＞2．…（13分）所以x0＞1，f′（x0）=＜0，函数f（x）图象上在点（x0，f（x0））处的切线斜率恒小于0，在点（x0，f（x0））处不存在切线平行x 轴．…（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．。
山东高三模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析
山东高三模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}2324x A x -=> {}5B x x =≤，则A B =（ ）．A ．752x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．552x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．52x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．{}5x x ≤2．当a<0时，则关于x 的不等式22430x ax a -+<的解集是()12,x x ，则1212ab x x x x =++取得最值的充分条件是（ ）A ．有最大值 1b ≤-B ．有最小值b ≥-C ．有最大值 5b ≤-D ．有最小值b ≤3．已知扇形的半径为2 圆心角为45，则扇形的弧长是（ ） A ．45B ．π4C ．2π D ．904．在极坐标中点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭到圆4cos ρθ=的圆心的距离为（ ）A ．3πBC ．2D5．设0.33a = 30.3b = 0.3log 3c =，则a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．设2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++ 若78a a =，则n =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．117．已知直线y =双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于不同的两点A 和B F 为双曲线C 的左焦点且满足AF BF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2 C1 D8．已知函数||||12e sin 432e 2x x x f x ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．404 B ．4044 C ．2022D ．2024二、多选题9．已知复数0z 、z 其中02i 3z =-，则下列结论正确的是（ ） A ．0z 的虚部为2iB ．0z 的共轭复数02i 3z =--C ．0z 是关于x 的方程26130x x ++=的一个根D ．若03z z -=，则z 在复平面内对应的点的集合是以()3,2-为圆心 3为半径的圆 10．已知函数31()423f x x x =-+ 下列说法中正确的有（ ） A ．函数()f x 的极大值为223 极小值为103- B ．当[]3,4x ∈时，则函数()f x 的最大值为223 最小值为103- C ．函数()f x 的单调减区间为[]22-,D ．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为42y x =-+11．已知线段BC 的长度为4 线段AB 的长度为m 点D ,G 满足AD DC = 0DG AC ⋅= 且G 点在直线AB 上 若以BC 所在直线为x 轴 BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则（ ） A ．当4m =时，则点G 的轨迹为圆B ．当68m ≤≤时，则点G 的轨迹为椭圆 且椭圆的离心率取值范围为12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．当2m =时，则点G 的轨迹为双曲线 且该双曲线的渐近线方程为y =D ．当5m =时，则BCG 面积的最大值为312．我国有着丰富悠久的“印章文化” 古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成 本是官员或私人签署文件时代表身份的信物 后因其独特的文化内涵 也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件 除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2 已知正四棱柱和正四棱锥的高相等 且底面边长均为2 若该几何体的所有顶点都在球O 的表面上，则（ ）A ．正四棱柱和正四棱锥的高均为12B ．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为12+C ．球O 的表面积为9πD ．正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角分别为α、π2βα⎛⎫< ⎪⎝⎭，则αβ<三、填空题 13．若tan 2α=，则2sin cos cos sin cos ααααα++-=__________.14．设{}n a 是等差数列 且13a = 2414a a += 若37m a =，则m =___________.15．一批电池(一节)用于无线麦克风时，则其寿命服从均值为34.3小时，则标准差为4.3小时的正态分布 随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30小时的概率为______.(参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+= ()220.9545P X μσμσ-<≤+=)16．已知函数()()e 1xf x x =+ ()()1lng x x x =+ 若()()()121f x g x m m ==>，则112ln x x x m+的最小值为______．四、解答题17．如图 在ABC 中2BC = AC =π4A = 点M ､N 是边AB 上的两点 π6MCN ∠=.(1)求ABC 的面积；(2)当BN =求MN 的长.18．已知正项等比数列{}n a 前n 项和为12,n S a = 且324,2,a S a 成等差数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log n n b a = 其前n 项和为n T 求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H ．19．盲盒 是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子 具有随机性．因其独有的新鲜性 刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱．已知M 系列盲盒共有12个款式 为调查M 系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱 向00前、00后人群各随机发放了50份问卷 并全部收回．经统计 有45%的人未购买该系列育盒 在这些未购买者当中00后占23．(1)请根据以上信息填表 并分析是否有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？(2)一批盲盒中每个盲盒随机装有一个款式 甲同学已经买到3个不同款 乙、丙同学分别已经买到m 个不同款 已知三个同学各自新购买一个盲盒 且相互之间无影响 他们同时买到各自的不同款的概率为13．①求m ；②设X 表示三个同学中各买到自己不同款的总人数 求X 的分布列和数学期望．20．已知直线,a b 平面,αβ 且a α⊂ b β⊂ //αβ．判断直线,a b 的位置关系 并说明理由． 21．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边 222cos cos 1cos A C B +=+且1b = (1)求B ； (2)若12AB AC ⋅<求11a c +的取值范围.22．已知函数32()1f x x ax bx =+++在点(1,(1))P f 处的切线方程为420x y --=． (1)求函数()f x 的单调区间(2)若函数()()g x f x m =-有三个零点 求实数m 的取值范围．参考答案与解析1．B【分析】解指数不等式求得集合A 根据集合的交集运算可得答案. 【详解】解不等式2324x -> 即232522232,2,x x x ->->∴>∴ 故{}235242x A x x x -⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭ 故552A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭故选：B 2．C【解析】计算得到124x x a += 2123x x a =计算b ≤根据充分条件的定义得到答案.【详解】不等式22430x ax a -+<的解集是()12,x x 故124x x a += 2123x x a =.1212114433a b x x a a x x a a ⎛⎫=++=+=--+≤-= ⎪-⎝⎭当143a a -=-即a =时等号成立 根据充分条件的定义知C 满足. 故选：C .【点睛】本题考查了充分条件 不等式的解 均值不等式 意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．C【分析】由弧长公式求解即可.【详解】因为圆心角的弧度数为π4 所以扇形的弧长是ππ242⨯=.故选：C 4．C【分析】先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程 再求点到圆心的距离得解.【详解】由题得ππ2cos 1,2sin 33x y =⨯==⨯=所以点的坐标为因为4cos ρθ= 所以24cos ρρθ= 所以2240x y x +-= 即22(2)4x y -+= 所以圆心的坐标为(2,0)2=故选：C. 5．C【分析】根据对数函数、指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为0.30331>= 300.3100.3<=< 0.30.3log 3log 10<= 所以c b a << 故选：C 6．D【分析】根据二项展开式分别求出78,a a 的表达式 解方程即可求得结果.【详解】由题可知 ()77777777C 122C n n n a x x x -=⨯⨯= 所以7772C n a =； 同理可得8882C n a =；由78a a =可得77882C 2C n n = 即78C 2C n n =所以(1)(2)(6)(1)(2)(7)212371238n n n n n n n n --⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 即7218n -⨯= 解得11n =. 故选：D 7．C【分析】由题意设A B 的坐标 代入直线和双曲线的方程可得A B 的坐标 再由AF BF ⊥ 可得数量积0FA FB →→⋅= 可得a c 的关系 进而求出离心率. 【详解】设()()0000,,,,(,0)A x y B x y F c ---则2200221x y a b-=① 因为AF BF ⊥ 所以0FA FB →→⋅=即()()0000,,0x c y x c y +⋅-+-=可得22200c x y -=②因为AB 在直线y 上 所以0y x = 由①②③得42840e e -+=解得24e =+所以1e 故选：C【点睛】本题考查双曲线的性质 及直线的垂直用数量积为0表示 属于中档题. 8．B【分析】利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】||||||12e sin 4sin 322e 2e 2x x x x x f x ++⎛⎫+==+ ⎪++⎝⎭ ()||||sin 1sin 3222e 2e 2x x x x f x --⎛⎫-+=+=- ⎪++⎝⎭所以1133422f x f x ⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以12x -替换3x 得()()1111142222f x fx f x f x ⎛⎫⎛⎫-++-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令122022202320232023f f f S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=则202220211202320232023f f S f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=两式相加得220224,4044S S =⨯=. 故选：B 9．BCD【分析】利用复数的概念可判断A 选项的正误；利用共轭复数的定义可判断B 选项的正误；解方程26130x x ++=可判断C 选项的正误；利用复数的几何意义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项 复数0z 的虚部为2- A 错； 对于B 选项 02i 3z =-- B 对；对于C 选项 解方程26130x x ++= 即()()22342i x +=-=± 可得32i x +=± 解得32i x =-± C 对；对于D 选项 设()i ,z x y x y R =+∈，则()()032i z z x y -=++-所以 03z z -== 即()()22329x y ++-=故z 在复平面内对应的点的集合是以()3,2-为圆心 3为半径的圆 D 对. 故选：BCD. 10．ACD【分析】利用导数研究函数()f x 的极值、最值、单调性 利用导数的几何意义可求得曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程 根据计算结果可得答案. 【详解】因为31()423f x x x =-+ 所以2()4f x x =-'由()0f x '> 得<2x -或2x > 由()0f x '< 得22x -<<所以函数()f x 在(,2)-∞-上递增 在[]22-,上递减 在(2,)+∞上递增 故选项C 正确 所以当2x =-时，则()f x 取得极大值3122(2)(2)4(2)233f -=⨯--⨯-+=在2x =时，则()f x 取得极小值3110(2)242233f =⨯-⨯+=- 故选项A 正确当[]3,4x ∈时，则()f x 为单调递增函数 所以当3x =时，则()f x 取得最小值31(3)343213f =⨯-⨯+=-当4x =时，则()f x 取得最大值3122(4)444233f =⨯-⨯+= 故选项B 不正确因为(0)4f '=- 所以曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为24(0)y x -=-- 即42y x =-+ 故选项D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间 考查了导数的几何意义 属于基础题.11．BCD【分析】根据题意可知：点A 的轨迹为以B 为圆心 半径为m 的圆B 点D 为线段AB 的中点 点G 为线段AC 的中垂线与直线AB 的交点，则GA GC = 利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．【详解】根据题意可知：点A 的轨迹为以B 为圆心 半径为m 的圆B 点D 为线段AB 的中点 点G 为线段AC 的中垂线与直线AB 的交点，则GA GC =当4m =时，则线段AC 为圆B 的弦，则AC 的中垂线过圆心B 点G 即点B A 错误； 当68m ≤≤时，则如图1 点G 在线段AB 上 连接GC 则GC GB GA GB AB m +=+==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的椭圆 即,22m a c则椭圆的离心率412,23c eamB 正确； 当G 为椭圆短轴顶点时，则BCG 面积的最大 若5m =时，则则2253,2,22ac b a c 最大面积为3bc = D 正确； 当2m =时，则过点C 作圆B 的切线 切点为,M N若点A 在劣弧MN （不包括端点,M N ）上 如图2 点G 在BA 的延长线上 连接GC 则2GB GC GB GA AB -=-==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的双曲线的左半支若点A 在优弧MN （不包括端点,M N ）上 如图3 点G 在AB 的延长线上 连接GC 则2GC GB GA GB AB -=-==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的双曲线的右半支 则点G 的轨迹为双曲线∴1,2,a c b ===渐近线方程为by x a=±= C 正确； 故选：BCD ．12．BC【分析】根据正四棱柱和正四棱锥的几何的性质结合球的对称性、球的表面积公式、线面角、二面角的定义逐一判断即可.【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高为h球O的半径为r根据正四棱柱和球的对称性可知：该几何体的外接球的球心为正四棱柱的中心球的直径2r 即为正四棱柱的体对角线 且正四棱柱的体心到正四棱锥的顶点的距离32h r = 根据正四棱柱的体对角线公式得2222224348(22292)r h r r r ⇒=+⇒+==+ 因此1h = 所求球的表面积为294π4π9π4r =⋅= 故选项A 不正确 C 正确； 在直角三角形EFG中EG ==所以正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为：14222421122⨯⨯⨯+⨯⨯=+所以选项B 正确 如图所示：1tan tan 11EGFα1tan tan 12FHE β=∠==显然有tan tan αβαβ>⇒>所以选项D 不正确 故选：BC13．【详解】222221tan 2,sin 2cos ,sin 4cos 1cos 4cos cos 5αααααααα=∴=∴=⇒-=⇒= 2sin cos 116cos 3sin cos 55ααααα++=+=- 14．18【分析】根据等差数列的通项公式 结合代入法进行求解即可.【详解】设该等差数列的公差为d 因为13a =所以由2414333142a a d d d +=⇒+++=⇒=由373(1)23718m a m m =⇒+-⋅=⇒=故答案为：1815．0.84135【分析】由题知()2~34.3,4.3X N 故()()30P X P X μσ≥=≥- 再结合正态分布3σ原则求解即可得答案.【详解】解：由题意知 ()2~34.3,4.3X N所以()()()3034.3 4.3P X P X P X μσ≥=≥-=≥-故()()1110.68270.841352P X μσ≥-=--=. 所以这节电池可持续使用不少于30小时的概率为0.84135.故答案为：0.8413516．e【分析】利用函数同构及函数单调性得到12ln x x = 问题转化为求()ln x h x x =（1x >）的最小值 利用导函数 研究其单调性 求出最小值.【详解】()()()()ln 1ln e 1ln ln x g x x x x f x =+=+=，则 ()()()12ln 1f x f x m m ==> 因为()()111e 11x f x x =+> 故1>0x 又当0x >时，则()()1e 10x f x x '=++>恒成立 即()()e 1x f x x =+单调递增 所以12ln x x =，则112l l n n x x x m m m=+ 令()ln x h x x =（1x >） ()()2ln 1ln x h x x -'= 当()1,e x ∈时，则()0h x '< 当()e,+x ∈∞时，则()0h x '> 所以()h x 在e x =处取得最小值 ()e e e ln e h == 112ln x x x m +的最小值为e .故答案为：e17．【分析】（1）利用正弦定理sin sin BC AC A B = 可求得1π6B = 根据()sin sinC A B =+结合面积公式求解；（2）在BCN △中利用余弦定理求1CN = 在直角CMN 中根据tan MN MCN CN=∠求解．【详解】（1）在ABC 中BC AC >，则A B >由正弦定理得：sin sin BC AC A B = 2sin 4π=，则1sin 2B = 因为(0,π)B ∈，则1π6B =或5π6B =（不合题意 舍去）则()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=ABC 的面积为1sin 2ABC S CB CA C =⋅⋅⋅=△（2）在BCN △中2BC = BN =π6B =由余弦定理可得1CN == 则有222BC BN CN =+ 所以CN AB ⊥在直角CMN 中1CN = π6MCN ∠=πtan 6MN CN ==MN =18．(1)2n n a =； (2)21n n +.【分析】（1）设{}n a 的公比为q 列方程求得q 后可得通项公式；（2）由题可得n b n T 然后利用裂项相消法即得．【详解】（1）设{}n a 的公比为q (0q >)因为12a = 且324,2,a S a 成等差数列所以()3421244a a S a a +==+所以23224(22)q q q +=+ 即()214(1)q q q +=+ 又0q > 所以2q所以2n n a =；（2）由题可知2log n n b a n ==所以n T ()1122n n n +=+++=()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n 所以11111122121223111n n H n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 19．(1)有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关(2)① 4；②见解析【分析】（1）列出列联表 计算出2K 然后判断.（2）①利用概率的乘法公式计算；②分析X 的取值后 由概率的加法公式和乘法公式计算 得到分布列 然后计算期望.【详解】（1）由题意可得则()22100353015201009.091 6.6355050455511K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关. （2）①由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为9121211212123m m 解得20m =或4 因为012m <≤ 所以4m =.②由题X 的所有可能取值为0 1 2 33441012121236P X； 94438471212121212121236P X； 9843884221212121212129P X ； ()133P X == 其分布列为所以数学期望()174125012336369312E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．它们是平行直线或异面直线；答案见解析．【分析】利用反证法 根据两条直线交点的个数 可判断其位置关系；【详解】直线,a b 的位置关系是平行直线或异面直线；理由如下：由//αβ 直线,a b 分别在平面α β内可知直线,a b 没有公共点．因为若,a b 有公共点 那么这个点也是平面α β的公共点这与是平面α β平行矛盾．因此直线,a b 不相交 它们是平行直线或异面直线．21．(1)π2(2)()+∞【分析】（1）利用三角函数的基本关系式与正弦定理可得；（2）由12AB AC ⋅<推得0c << 再由221a c +=设πsin ,cos ,0,4c a θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭ 将11a c +转化为sin cossin cos θθθθ+ 再引入(sin cos ,t t θθ=+∈ 得(2112,1t t a c t +=∈- 最后利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为222cos cos 1cos A C B +=+，则2221sin 1sin 11sin A C B -+-=+-所以222sin sin sin A C B +=，则222a c b += 所以ABC 为直角三角形所以π2B =（2）221cos 2AB AC AB AC A AB c ⋅=⋅⋅==< 所以0c < 而221a c += 所以设πsin ,cos ,0,4c a θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭所以1111sin cos sin cos sin cos a c θθθθθθ++=+=令(πsin cos ,4t t θθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭又因为22(sin cos )12sin cos t θθθθ=+=+ 所以21sin cos 2t θθ-=所以(2112,1t t a c t +=∈-令(222,11t y t t t t ==∈-- 因为1t t -在(t ∈上单调递增 所以21y t t =-在(t ∈上单调递减所以21y >=所以11a c +的取值范围为()+∞. 22．(1)单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (2)22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意 列出方程组求得()321f x x x x =+-+ 得到()2321f x x x '=+- 进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到()321g x x x x m =+-+- 结合条件列出不等式组 即得.（1）由题可得2()32f x x ax b '=++由题意得(1)22(1)324f a b f a b =++=⎧⎨=++='⎩ 解得1,1a b ==-所以322()1,()321f x x x x f x x x =+-+=+-'由()0f x '>得1x <-或13x > 由()0f x '<得113x -<< 所以()f x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； （2）因为322()()1,()()321g x f x m x x x m g x f x x x =-=+-+='-=+-'由（1）可知 ()g x 在=1x -处取得极大值 在13x =处取得极小值()g x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 依题意 要使()g x 有三个零点，则(1)0103g g ->⎧⎪⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩ 即()1201220327g m g m ⎧-=->⎪⎨⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得22227m << 经检验 (2)10,(2)110g m g m -=-<=+> 根据零点存在定理 可以确定函数有三个零点所以m 的取值范围为22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
新课标高考理科数学模拟试题含答案
新课标高考理科数学模拟试题含答案The following text is amended on 12 November 2020.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（一）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题:p x ∀∈R ，sin x ≤1，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R ，sin x ≥1B ．:p x ⌝∀∈R ，sin x ≥1C ．:p x ⌝∃∈R ，sin x >1 不能D ．:p x ⌝∀∈R ，sin x >12．已知平面向量a =（1，1），b （1，－1），则向量1322-=a b （ ）A ．（－2，－1）B ．（－2，1）C ．（－1，0）D ．（－1，2）3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知{a n }是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d =（ ）A ．23-B ．13-C ．13D ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）A ．2450B ．2500 y x11-2π-3π-O6ππyx11-2π-3π-O 6ππy x11-2π-3πO 6π-πy xπ2π-6π-1O1-3π A．B．C ．D ．6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3， 则有（ ）A ．123FP FP FP +=B ．222123FP FP FP += C ．2132FP FP FP =+ D ．2213FPFP FP =· 7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．2000cm 3D ．4000cm 3 9．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） A ．7．12- C ．12D 7 10．曲线12e x y =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2年B ．4e 2, C ．2e 2 D ．e 2s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）甲的成绩 环数7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数7 8 9 1频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数7 8 9 1频数4 6 6 412．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。
山东省2017届高三第二次诊断性考试数学理试题Word版含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合4{0log 1}A x x =<<，{2}B x x =≤，则A B =（ ）A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2] 2.命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ） A ．对任意x R ∈，都有20x < B ．不存在x R ∈，使得20x <C ．存在0x R ∈，使得200x ≥ D ．存在0x R ∈，使得200x <3.函数)y x x =-的定义域为（ ）A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[]0,14.已知α是第二象限角，5sin 13α=，则cos α=（ ） A ．1213- B ．513- C ．513 D ．12135.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．26.已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） A ．0x R ∃∈，0()0f x =B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则'0()0f x =7.“ϕπ=”是“曲线sin(2)y x ϕ=+过坐标原点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.函数()2ln f x x =的图象与函数2()45g x x x =-+的图象的交点个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．09.已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若()f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-10.设,S T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足： （i ）{()}T f x x S =∈；（ii ）对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ） A ．*,A N B N ==B ．{13}A x x =-≤≤，{8010}B x x x ==-<≤或C ．{01}A x x =<<，B R =D ．,A Z B Q ==第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()xxf e x e =+，则'(1)f =__________.12.函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）的部分图象如图所示，则(0)f 的值是__________.13.设0a >，若曲线y x =,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ，则a =__________.14.函数cos(2)y x ϕ=+（πϕπ-≤<）的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=__________.15.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1]-上，1,10()2,011ax x f x bx x x +-≤<⎧⎪=+⎨≤≤⎪+⎩，其中,a b R ∈，若13()()22f f =，则3a b +的值为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 3a B b =. （1）求角A 的大小；（2）若6,8a b c =+=，求ABC ∆的面积. 17.（本小题满分12分） 已知函数3()16f x x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标. 18.（本小题满分12分） 已知函数()4cos sin()4f x x πωω=+（0ω>）的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）讨论()f x 在区间[0,]2π上的单调性.19.（本小题满分12分） 已知函数()2)12f x x π=-，x R ∈.（1）求()6f π-的值；（2）若3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求(2)3f πθ+ 20.（本小题满分12分）设3211()232f x x x ax =-++. （1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（2）当02a <<时，()f x 在[1,4]上的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值.21.（本小题满分14分）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点，已知,a b 是实数，1和-1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数'()()2g x f x =+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[2,2]c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.山东省实验中学2017届高三第二次诊断性考试理科数学试题参考答案2016．10说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第*页，第Ⅱ卷为第*页至第*页。
山东省枣庄市2017届高三数学4月份阶段性自测试题
山东省枣庄市2017届高三数学4月份阶段性自测试题一、选择题1.设集合A={x ∈N|，0≤x ≤2}，B={x ∈N|1≤x ≤3}，则A ∪B=（ ） A ．{1，2}B ．{0，1，2，3}C ．{x|1≤x ≤2}D ．{x|0≤x ≤3}2.已知a 、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by ﹣1=0平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3.已知复数z=（2i 1 ）2（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．﹣iC ．﹣1D ．i4.我国南宋时期的《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行下列算法的程序框图时，若输入的n=4，x=2，则输出V 的值为（ ）A ．15B ．31C ．63D ．1275.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有刍童，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问：积几何？其意思是说：“今有底面为矩形的屋脊状楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈．问它的体积是多少？”已知一丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如右图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．5000立方尺B ．5500立方尺C ．6000立方尺D ．6500立方尺6.函数的图象大致是A. B.C. D.7.等差数列{a n}中，a1=2，a5=a4+2，则a3=（）A．4 B．10 C．8 D．68.已知函数f（x）=sin2ωx﹣（ω＞0）的周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（）A．B．C．D．9.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．1710.定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（）A．8＜＜16 B．4＜＜8 C．3＜＜4 D．2＜＜3二、填空题11.已知奇函数f（x）=，则f（﹣2）的值为．12.等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=b（﹣2）n﹣1﹣a，则ba= ．13.已知△ABC中，若AB=3，AC=4，6=⋅，则BC= ．14.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则离心率e= ．15.设221(32)=⎰-a x x dx,则二项式261()-axx展开式中的第4项为___________.,三、解答题16.已知函数f（x）=x（m∈Z）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）g（x）=log2[3﹣2x﹣f（x）]，求g（x）的定义域和值域．17.数列{a n}各项均为正数，a1=，且对任意的n∈N*，都有a n+1=a n+λa n2（λ＞0）．（1）取λ=，求证：数列是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．18.已知函数f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a 的取值范围．19.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．20.已知椭圆M：的左右顶点分别为A，B，一个焦点为F(－1，0)，点F 到相应准线的距离为3．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（1）求椭圆M的方程；（2）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．21.设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线L的方程，并证明：除点A外，曲线y=f（x）都在直线L的下方；（2）若函数h（x）=e x+f（x）在区间（1，3）上有零点，求a的取值范围．试卷答案1.B2.C3.B4.B5.A6.A7.D8.D9.B 10.B 11.﹣812.﹣13.14.15.31280 x 16.【解答】解：（1）∵f（x ）在（0，+∞）单调递增，由幂函数的性质得﹣2m 2+m+3＞0，解得，∵m∈Z ，∴m=0或m=1．当m=0时，f （x ）=x 3不是偶函数，舍去； 当m=1时，f （x ）=x 2是偶函数， ∴m=1，f （x ）=x 2；（2）由（1）知，由﹣x 2﹣2x+3＞0得﹣3＜x ＜1，∴g（x ）的定义域为（﹣3，1）．设t=﹣x 2﹣2x+3，x ∈（﹣3，1），则t ∈（0，4]， 此时g （x ）的值域，就是函数y=log 2t ，t ∈（0，4]的值域．y=log2t在区间（0，4]上是增函数，∴y∈（﹣∞，2]；∴函数g（x）的值域为（﹣∞，2]．17.【解答】证明：（1）∵，∴，∴，∵a n＞0，∴（为常数），∴数列是公比为的等比数列．∵，∴．…（2）解：∵a n+1=a n+ca n2，c=，∴a n+1＞a n＞0．∴，即，∴++…+=（）+（﹣）+…+（﹣）=2﹣．∴2﹣＜++…+=．当n=2016时，2﹣＜1，得a2017＜1．当n=2017时，2﹣＞++…+=1，得a2018＞1．因此存在n∈N*，使得a n＞1．…18.【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得函数f（x）的单调增区间[kπ﹣，kπ+]（k ∈Z），函数f（x）的最大值为2．当且仅当sin（2x+）=1，即2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时取到．所以函数最大值为2时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．…（2）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简得sin（2A+）=．∵A∈（0，π），∴2A+=，∴A=．在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc．由b+c=2，知bc≤1，即a2≥1．∴当b=c=1时，取等号．又由b+c＞a得a＜2．所以a的取值范围是[1，2 ）．…19.【解答】证明：（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，∵ACC1A1是正方形，∴O为A1C的中点，又E为CB的中点，∴EO∥A1B，∵EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，∴A1B∥平面AEC1．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E （1，1，0），设M（0，0，m），（0≤m≤2），则=（﹣2，0，m﹣2），=（1，﹣1，﹣2），∵B1M⊥C1E，∴=﹣2﹣2（m﹣2）=0，解得m=1，∴M（0，0，1），=（1，1，﹣1），=（0，2，1），设平面MEC1的法向量=（x，y，z），则，取y=﹣1，得=（3，﹣1，2），∵AC⊥平面ABB1A1，∴取平面ABB1A1的法向量为=（0，2，0），∴cos＜＞==﹣，∴平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．20.21.【【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a，∵f（1）=﹣a，∴L的方程是：y+a=（1﹣a）（x﹣1），即y=（1﹣a）x﹣1，设p（x）=f（x）﹣（1﹣a）x+1=lnx﹣x+1，则p′（x）=，若x＞1，p′（x）＜0，若0＜x＜1，p′（x）＞0，故p（x）max=p（1）=0，p（x）≤0，∴f（x）≤（1﹣a）x﹣1，当且仅当x=1时“=”成立，故除点A外，切线y=f（x）都在直线L的下方；（2）h（x）=e x+f（x）在区间（1，3）上有零点，即a=在x∈（1，3）上有实数根，设F（x）=，则F′（x）=，设g（x）=e x（x﹣1）+1﹣lnx，则g′（x）=x（e x﹣），而y=e x﹣（x＞0）的零点在（0，1）上，且y＞0在（1，3）恒成立，∴g′（x）＞0，即g（x）在（1，3）上都在，∴g（x）＞g（1）=1，则F′（x）＞0在（1，3）上恒成立，∴F（x）在（1，3）上递增，故F（x）min=F（1）=e，F（x）max=F（3）=，∴F（x）∈（e，），故a∈（e，）．。
山东省枣庄市2017届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题答案
a1 + 5d = 0, 由题意，得 ··········································································· 2 分 4×3 4a1 + d = 14. 2
解得 a1 = 5 ， d = −1. ··························································································· 4 分 所以 an = 5 + ( n − 1) ⋅ ( −1) = 6 − n. ·········································································· 6 分 （2）数列 {an } 的第 2 项到第 5 项依次为 4,3, 2,1. 所以等比数列 {bn } 的前三项依次为 4, 2,1.
0
1 7 30
2 7 15
3
1 30
4 15
E( X ) = 0 ×
1 7 7 4 59 + 1 × + 2 × + 3 × = . ················································ 12 分 30 30 15 15 30
18.解： （1）设等差数列 {an } 的公差为 d ．
P 2 6 4 3 （2）解法一：在直角梯形 ABCD 中，可求得 BC = 2 2, BG = , GC = . 3 3 z 在 △GCD 中， GD = CD = 2 ， M 为 GC 的中点， D 所以 DM ⊥ GC ． 又平面 GCD ⊥ 平面 ABCG ， 平面 GCD I 平面 ABCG = GC ，