根与系数的关系
根与系数的关系公式8个
根与系数的关系公式8个1、一次方程的根：如果ax+b=0，则一次方程的根为x=-b/a；2、二次方程的根：如果ax²+bx+c=0，则二次方程的根为x=(-b±√(b²-4ac))/2a；3、三次方程的根：如果ax³+bx²+cx+d=0，则三次方程的根为x=[-b±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d)]/6a；4、四次方程的根：如果ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0，则四次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)]/12a；5、五次方程的根：如果ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=0，则五次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+½a(3b²-8ac)fa³]/20a；6、六次方程的根：如果ax⁶+bx⁵+cx⁴+dx³+ex²+fx+g=0，则六次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+²a(3b²-8ac)faja²]/30a；7、七次方程的根：如果ax⁷+bx⁶+cx⁵+dx⁴+ex³+fx²+gx+h=0，则七次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+²a(3b²-8ac)faja²+³a(b³-2b²c+bac²-4a²d)h]/42a；8、八次方程的根：如果ax⁸+bx⁷+cx⁶+dx⁵+ex⁴+fx³+gx²+hx+i=0，则八次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+²a(3b²-8ac)faja²+³a(b³-2b²c+bac²-4a²d)h+⁴a(b⁴-3bc²a²+6b²d-8acd)i]/56a。
韦达定理根与系数的关系
韦达定理根与系数的关系韦达定理（Vieta's theorem）是数学中的一个重要定理，它描述了多项式根与系数之间的关系。
这个定理以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名，他在16世纪首次提出了这个定理。
韦达定理的表述非常简洁，它指出：对于一个n次多项式，其根的乘积等于(-1)^n乘以常数项与最高次项系数的商。
换句话说，如果一个多项式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中a_i为多项式的系数，那么它的根r_1、r_2、...、r_n满足以下关系：r_1 * r_2 * ... * r_n = (-1)^n * a_0 / a_n这个定理的证明可以通过多项式展开和对称多项式的性质来完成，但在这篇文章中，我们将重点讨论韦达定理的应用。
我们可以利用韦达定理来求解多项式的根。
对于一个已知的多项式，我们可以通过观察常数项和最高次项系数的关系，来推测根的乘积。
然后，我们可以根据多项式的次数和已知的根之间的关系，来求解其他缺失的根。
通过这种方法，我们可以快速而准确地求解多项式的根。
韦达定理还可以用于多项式的因式分解。
根据韦达定理，如果我们已知一个多项式的根r_1、r_2、...、r_n，那么我们可以将这个多项式表示为以下形式的乘积：P(x) = (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)这个形式的多项式就是多项式的因式分解形式。
通过将多项式因式分解，我们可以更好地理解多项式的性质，并且更方便地进行计算和求解。
韦达定理还可以用于多项式系数的求解。
对于一个已知的多项式，如果我们已知其中n-1个根，以及一个系数，那么根据韦达定理，我们可以求解出剩下的一个系数。
这种方法在实际问题中非常有用，可以帮助我们建立和求解多项式方程。
除了以上应用之外，韦达定理还有很多其他的应用。
关于根与系数关系的题及答案
一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。
二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。
所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。
三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。
一元二次方程根与系数的关系公式
一元二次方程根与系数的关系公式
一元二次方程根与系数的关系公式：ax²+bx+c=(a≠0)，当判别式＝b²-4ac>=0时。
设两根为x₁，x₂，则根与系数的关系（韦达定理）：x₁＋x₂＝－b/a；x₁x₂＝c/a。
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数。
③未知数项的最高次数是2。
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）将方程右边化为0。
（2）将方程左边分解为两个一次式的积。
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程。
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
一元二次方程的根与系数关系
知识创造未来一元二次方程的根与系数关系一元二次方程是数学中经常接触的基础知识，它的形式为ax²+bx+c=0，a、b、c代表三个系数，x代表未知数。
其中a不为0，因为当a为0时，方程就变成了一元一次方程。
对于一元二次方程，我们可以通过求解它的根来得出x的值。
那么，一元二次方程的根与系数关系是什么呢？首先，我们可以利用求根公式得出一元二次方程的两个根：x1=(-b+√(b²-4ac))/2a和x2=(-b-√(b²-4ac))/2a。
在这个公式中，我们可以看到a、b、c三个系数的重要性。
其次，我们来探讨一下一元二次方程的根与系数的关系。
当a>0时，若b²-4ac>0，方程有两个不相等的实根；若b²-4ac=0，方程有两个相等的实根；若b²-4ac<0，方程无实根，有两个共轭虚根。
而当a<0时，若b²-4ac>0，方程有两个不相等的实根；若b²-4ac=0，方程有两个相等的实根；若b²-4ac<0，方程无实根，有两个共轭虚根。
最后，我们来总结一下一元二次方程的根与系数的关系。
在一元二次方程中，若a>0，则与b²-4ac的大小有关，若b²-4ac>0，则方程有两个不相等的实根；若b²-4ac=0，则方程有两个相等的实根；若b²-4ac<0，则方程无实根，有两个共轭虚根。
而当a<0时，情况与a>0时类似，只是有些细节上的差异。
掌握这些规律，可以更好地求解一元二次方程，提高数学学习的效率。
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一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的解也是数学中的基础知识之一。
在本文中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
一元二次方程的一般形式为： ax^2 + bx + c = 0 （其中，a、b、c为实数且a ≠ 0）这个方程中的根可以通过求解方程来得到。
一元二次方程的解可以分为三种情况，具体取决于判别式的值（Δ=b^2 - 4ac）。
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
这是最常见的情况，我们可以通过求解公式 x = (-b ± √Δ) / (2a) 来找到这两个根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
这被称为方程的重根，解可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
3. 当Δ < 0时，方程没有实根。
在这种情况下，方程的解为复数根，我们可以用公式 x = (-b ± i√|Δ|) / (2a) 求得复数根，其中i是虚数单位。
根据以上三种情况，我们可以看出方程的根与系数之间的关系：1. 根与系数的和：根与系数的和是一个常数，可以通过视方程的一元一次项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的和可以表示为 -b / a。
这是因为根的和可以通过展开方程 (x-α)(x-β) =0 和整理可得的公式(α + β) = -b / a 来求得。
2. 根与系数的积：根与系数的积也是一个常数，可以通过方程的常数项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的积可以表示为 c / a。
这是因为根的积可以通过展开方程 (x-α)(x-β) = 0 和整理可得的公式(αβ) = c / a 来求得。
3. 系数的平方与根的乘积：系数的平方与根的乘积也是一个常数，它等于方程的常数项除以方程的二次项系数的平方。
即(α + β)(αβ) = c / a^2。
通过以上的分析，我们可以得出一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用这些关系来推断方程的性质和求解方程。
根与系数的关系知识点总结
根与系数的关系知识点总结
嘿，宝子们！今天咱就来唠唠根与系数的关系这个超重要的知识点！
咱先说一元二次方程，就好比ax²+bx+c=0 这样的式子。
那根与系数
有啥关系呢？哎呀呀，就像是一个神秘的纽带！比如说方程x²-5x+6=0，
它的两根是 2 和 3，你看呀，这两根之和 2+3 就等于一次项系数 -5 的相反数 5，两根之积2×3 就等于常数项 6 呢！神奇不？
再举个例子，方程2x²+3x-2=0，它的根是 -2 和 1/2，那 -2+1/2 就等于-3/2，这不正是一次项系数 3 的相反数除以二次项系数 2 嘛！然后 -
2×(1/2) 不就是 -1，正好是常数项 -2 除以二次项系数 2 呀！
咱就说，这根与系数的关系，是不是像个隐藏的宝藏，等你去发现呀！小李之前就老弄不明白这个，还觉得很难，我就跟他讲，“你看呀，这多简单呀，就像找宝藏一样，找到了就开心啦！”他一听，恍然大悟！
其实呀，理解了这个知识点，好多数学问题都能迎刃而解呢！想想看，如果题目里给了方程的系数，那我们不就能很快算出根的一些特征啦！这多厉害呀！
根与系数的关系就是这么酷，它就像一把万能钥匙，能打开好多数学难题的大门！宝子们，一定要好好掌握哦！。
多项式的根与系数之间的关系
多项式的根与系数之间的关系多项式在数学领域中有着广泛的应用，从简单的代数运算到微积分、差分方程等复杂的数学问题都需要用到多项式。
其中，多项式的根与系数之间的关系是一个重要而又复杂的问题。
一、多项式根的定义一个n次多项式f(x)的根是指满足f(x)=0的x值。
例如，二次多项式f(x)=3x^2-2x+1的根可以通过求解方程3x^2-2x+1=0得到，其解为x=1/3和x=1。
二、多项式根与系数之间的关系在一定的条件下，多项式的根与系数之间有确定的关系。
这个关系被称为Vieta定理。
设f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0是一个n次多项式，其根为x_1,x_2,...,x_n，则有以下公式成立：1. 一个多项式的常数项a_0等于其根的乘积的相反数，即a_0=(-1)^n a_n x_1 x_2 ... x_n。
2. 一个多项式的一次项系数a_1等于其根的和的相反数，即a_1=(-1)^{n-1} a_n (x_1+x_2+...+x_n)。
3. 对于一个偶次多项式（即n为偶数），其二次项系数a_2等于其根的两两乘积的和的相反数，即a_2=(-1)^n-2 a_n(x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n)。
4. 对于一个奇次多项式（即n为奇数），它的二次项系数为0。
例如，对于一个三次多项式f(x)=x^3-3x^2+2x+4，根可以通过解方程x^3-3x^2+2x+4=0得到。
通过Vieta定理，可以得出a_0=4、a_1=2和a_2=-3。
Vieta定理为研究多项式根的性质和多项式系数的关系提供了一个有力的工具。
三、多项式根的性质多项式根的性质在代数学中有着重要的地位。
以下是一些常见的多项式根的性质：1. 多项式的根具有互异性。
也就是说，一个多项式的根必须是不同的。
如果存在重复的根，则这些根都必须是代数上不同的。
2. 多项式的根必须在复数域上。
韦达定理根与系数的关系
韦达定理根与系数的关系韦达定理是数学中一个重要的定理，它揭示了多项式方程根与系数之间的关系。
韦达定理在代数学和数学分析中有着广泛的应用，对于理解多项式方程的根的性质和特征具有重要意义。
韦达定理的正式表述如下：对于一个n次多项式方程，其一般形式为：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$其中$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$是多项式的系数，$n$是方程的次数，$x$是未知数。
韦达定理指出，如果多项式方程有一个根为$x=k$，那么可以将方程表示为以下形式：$(x-k)(a_nx^{n-1} + b_{n-1}x^{n-2} + ... + b_1x + b_0) = 0$其中$a_n, b_{n-1}, ..., b_1, b_0$是新的系数，$x-k$是一次因式。
通过展开上述等式，我们可以得到：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$这说明多项式方程的一个根$k$对应着方程的一个一次因式$x-k$。
这意味着，如果我们能够找到多项式方程的所有根，那么我们就能够将方程完全分解成一次因式的乘积，从而得到多项式的因式分解式。
韦达定理还告诉我们，根与系数之间存在着一种重要的关系。
设多项式方程的根为$x_1, x_2, ..., x_n$，那么我们可以得到以下关系：$x_1 + x_2 + ... + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$...$x_1x_2...x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}$这些关系告诉我们，多项式方程的根的各种组合方式与系数之间有着密切的联系。
通过这些关系，我们可以在已知多项式方程的系数的情况下，计算出方程的根的和、乘积以及根的各种组合之和。
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
方程的根是使方程成立的x值。
在这篇文章中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
首先，我们来看一元二次方程的根的求解公式，x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。
这个公式告诉我们，方程的根取决于方程的系数a、b和c。
1. 系数a的影响：
当a>0时，抛物线开口向上，方程有两个实根或没有实根。
当a<0时，抛物线开口向下，方程有两个实根。
2. 系数b的影响：
系数b影响方程的根的位置，它决定了根的和与积的关系。
当b>0时，两个根的和为负值，两个根的积为正值。
当b<0时，两个根的和为正值，两个根的积为正值。
3. 系数c的影响：
系数c决定了方程的常数项，它影响方程的根的大小。
当c>0时，两个根都是负数。
当c<0时，两个根一个是正数，一个是负数。
通过分析上述关系，我们可以看出，方程的根与系数之间存在着一定的关联。
系数a决定了抛物线的开口方向，系数b决定了根的和与积的关系，系数c决定了根的大小。
因此，我们可以通过观察方程的系数来初步判断方程的根的性质。
总之，一元二次方程的根与系数之间存在着密切的关系，通过对系数的分析，我们可以初步了解方程根的性质。
这种关系不仅有助于我们更好地理解方程的性质，也为我们解决实际问题中的应用提供了一定的指导。
根与系数的关系与应用
应用场景：利用根与 系数的关系，可以解 决多种方程组问题， 特别是当方程组中存 在二次方程时。
解决步骤：首先找到 二次方程的根，然后 利用韦达定理确定其 他方程的系数，从而 解出整个方程组。
优势与它不适用于所有类 型的方程组问题。
根与系数在不等式中的应用
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根的判别式
定义：根的判别式是用来判断一元二次方程实数根的个数和类型的公式。 公式：根的判别式Δ=b²-4ac。 应用：通过根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，进而解决实际问题。 重要性：根的判别式是数学中一元二次方程求解的重要工具，也是解决实际问题的基础。
根与系数在代数中的应用
根与系数在三 角函数中可以 用来求解三角 函数的值
根与系数在三 角函数中可以 用来判断三角 函数的单调性
根与系数在三 角函数中可以 用来研究三角 函数的周期性 和对称性
根与系数在三 角函数中可以 用来解决一些 实际问题
0
0
0
0
1
2
3
4
根与系数在实际问题中的应用
根与系数在经济问题中的应用
根与系数在金融领域的应用： 用于评估金融产品的风险和回 报，例如股票、债券等。
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根与系数的扩展应用
根与系数的复数应用
扩展定义：根与系数的关系可以扩展到复数领域 应用场景：解决复数方程的根的问题 计算方法：利用根与系数的关系，通过代数运算求出复数方程的根 实例分析：通过具体实例展示复数应用中根与系数的关系及其求解过程
根与系数的矩阵应用
定义：根与系 数的关系在矩 阵中的表现
理解遗传规律。
生态学中的应用： 根与系数可以用于 描述种群数量变化 的关系，预测种群
二元一次方程组根与系数的关系
二元一次方程组根与系数的关系
二元一次方程组的一般形式为：
ax + by = c
dx + ey = f
其中，a、b、c、d、e、f为已知系数，x、y为未知数。
二元一次方程组的求解过程中，根与系数之间有以下关系：
1. 若方程组有唯一解，则系数a、b、c、d、e、f的取值与方程组的解有关。
具体关系公式为：
x = (ce - bf) / (ae - bd)
y = (cd - af) / (ae - bd)
2. 若方程组无解，则系数a、b、c、d、e、f的取值与方程组的解无关。
此时，方程组中的两个方程之间存在线性相关性。
3. 若方程组有无穷多解，则系数a、b、c、d、e、f的取值与方程组的解有关，但无法用简单的公式表示。
此时，方程组中的两个方程之间不存在线性相关性，但它们表示的直线重合或平行。
需要注意的是，以上关系只适用于二元一次方程组，不适用于其他类型的方程组。
在具体求解过程中，可以根据方程组的特点选择合适的方法，如代入法、消元法、Cramer法等。
一元二次根和系数的关系
一元二次根和系数的关系一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
一元二次方程的解即为方程的根，而根和方程的系数之间存在着一定的关系。
我们来看一元二次方程的求根公式。
根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式得到：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个相反的解，√表示平方根。
这个公式被称为二次方程的根公式，它将方程的系数a、b、c与方程的根x联系起来。
从这个公式中可以看出，根和系数之间的关系主要体现在根的计算中。
根的个数与判别式有关。
判别式的计算公式为D = b^2-4ac，它可以判断一元二次方程的根的情况。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
因此，根的个数与方程的系数a、b、c之间是有一定关系的。
根的大小与系数之间也存在一定的关系。
当方程的系数a>0时，根的大小与系数b、c的正负性有关。
当方程的系数b>0时，根的大小与系数c的正负性有关。
具体而言，当系数b>0时，根的大小随着系数c的增大而增大；当系数b<0时，根的大小随着系数c的减小而增大。
当方程的系数a<0时，根的大小与系数b、c的正负性相反。
当系数b>0时，根的大小随着系数c的减小而增大；当系数b<0时，根的大小随着系数c的增大而增大。
可以看出，方程的系数对根的大小有一定的影响。
根的符号与系数之间也存在一定的关系。
当方程的系数a、b、c都为正数时，根为正数；当系数a、b、c都为负数时，根为负数；当系数a、b、c中有奇数个负数时，根为负数；当系数a、b、c中有偶数个负数时，根为正数。
这个关系可以通过根的计算公式得到。
一元二次方程的根和系数之间存在着一定的关系。
根的个数与判别式有关，根的大小与系数之间也存在一定关系，根的符号与系数之间也有一定的关系。
二次方程根与系数之间的关系
二次方程根与系数之间的关系二次方程是一种含有二次项的代数方程，其一般形式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
二次方程的解被称为方程的根。
本文将探讨二次方程的根与系数之间的关系。
一、二次方程的求根公式已知二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，根据求根公式，可以得到方程的根。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个不同的解，√表示平方根运算。
二、判别式的作用在求解二次方程的根时，判别式起到了重要的作用。
判别式的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。
根据判别式的值可以判断二次方程的根的情况：1. 当Δ > 0时，方程有两个不同的实数根。
该情况下，可以进一步使用求根公式计算出具体的根的数值。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。
此时，可以通过求根公式计算得到相同的根的值。
3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是两个共轭复数根。
复数根一般表示为x = α ± βi，其中α和β均为实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
三、根与系数之间的关系1. 根与二次方程的系数a、b、c之间的关系如下：- 根的和等于-b/a；- 根的积等于c/a。
2. 具体而言，设方程ax^2 + bx + c = 0的根为x1和x2，根据根与系数之间的关系，可以得到以下两个等式：- x1 + x2 = -b/a- x1 * x2 = c/a这两个等式可以通过求根公式推导得出。
通过这两个等式，我们可以通过系数来推测方程的根的性质。
三、例题分析接下来，我们通过几个例题来具体说明根与系数之间的关系。
例题一：已知二次方程3x^2 - 5x + 2 = 0，求方程的根。
解：根据求根公式，代入a = 3，b = -5，c = 2，可得：x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*3*2)) / (2*3)简化后可得：x = (5 ± √(25 - 24)) / 6x = (5 ± √1) / 6x1 = (5 + 1) / 6 = 1x2 = (5 - 1) / 6 = 2/3因此，该二次方程的根为x1 = 1，x2 = 2/3。
方程的根与系数之间的关系
方程的根与系数之间的关系1. 引言方程的根与系数之间存在着一定的关系，通过研究这种关系，可以帮助我们更好地理解和解决各类方程。
在本文中，我们将深入探讨方程的根与系数之间的关系，并通过具体的例子和推导，解释其中的数学原理。
2. 一元二次方程的根与系数之间的关系一元二次方程是形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b和c是方程的系数，x是方程的未知数。
我们来讨论一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.1 根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0的根可以通过判别式D=b2−4ac来确定。
根据判别式的值，我们可以得到以下结论： - 当D>0时，方程有两个不相等的实根； - 当D=0时，方程有两个相等的实根； - 当D<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
2.2 根与系数之间的关系一元二次方程的根与系数之间存在着以下关系： 1. 根与系数之间的和：设方程的。
2. 根与系数之间的乘积：设方程的两个根分别为x1和x2，则x1+x2=−ba。
两个根分别为x1和x2，则x1⋅x2=ca由以上关系可以看出，当我们知道方程的系数时，就可以通过这些关系推导出方程的根的和与积，从而进一步研究方程的性质和解法。
3. 三元一次方程的根与系数之间的关系三元一次方程是形如ax+by+cz=d的方程，其中a、b、c和d是方程的系数，x、y和z是方程的未知数。
接下来，我们探讨三元一次方程的根与系数之间的关系。
3.1 方程的解三元一次方程的解是以有序数组的形式表示的，例如(x0,y0,z0)。
解的存在唯一性要求方程的系数满足一定的条件，即系数的行列式不为零。
具体而言，当abc−ac2−b2d=0时，方程无解；当abc−ac2−b2d≠0时，方程有唯一解。
3.2 根与系数之间的关系三元一次方程的根与系数之间的关系可以通过高斯-若尔当消元法进行求解。
解方程组的过程中，我们可以得到以下结论： 1. 根与系数之间的关系是复杂的，且很难直接表达； 2. 方程的解与系数的变化密切相关，系数的微小变化可能导致解的大幅度变化； 3. 方程的解可以通过变量的代换和消元的方法求得，求解过程中可以使用线性代数的相关理论和方法。
根及系数的关系
一元二次方程根与系数对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。
解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
专业整理分享二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
根与系数的关系
根与系数的关系
根与系数的关系一般指的是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根x1、x2与系数的关系。
即x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a，这个公式通常称为韦达定理。
根与系数的关系简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数,其一般用字母r表示。
其是用来度量定量变量间的线性相关关系。
复相关系数：又叫多重相关系数复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。
例如某种商品的需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关系。
根与系数的关系，又称韦达定理。
所谓的韦达定理是指一元二次方程根和系数之间的关系。
一个一元二次方程的根可由求根公式求出，公式是含各项系数的代数式。
因此一元二次方程的的根与各项系数之间一定存在着某种数量上的关系。
根和系数的关系指的是一个一元二次方程的根可由求根公式求出，而公式是含各项系数的代数式，因此一元二次方程的的根与各项系数之间一定存在着某种数量上的关系。
根与系数的关系，分为偏相关系数，典型相关系数，具体又称韦达定理，另外根与系数的关系简单相关系数一般用字母r表示，是用来度量定量变量间的线性相关关系。
一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系
一元二次方程中根与系数的关系：
ax²+bx+c=(a≠0)，当判别式＝b²-4ac>=0时。
设两根为x₁，x₂，则根与系数的关系（韦达定理）：
1、x₁＋x₂＝－b/a；
2、x₁x₂＝c/a。
一元二次方程有且仅有两个根（重根按重数计算），根的情况由判别式决定。
一元二次方程解法
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
1、接开平方法
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如（x-m)²=n (n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m。
2、公式法
把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△＝b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。
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21.2.4 一元二次方程根与系数的关系(第二课时)导学探究1．一元二次方程的一般形式是_______________.2. 一元二次方程的求根公式是______________________.3. 判别式与一元二次方程根的情况：4. 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2与系数a,b,c 的关系是什么？ 典例探究1．已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围 总结：已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件.练1．已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0的两个实数根，且x1，x2满足x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0，求k 的取值范围.【例2】（2015•丹江口市一模）已知关于x 的方程x 2﹣2（m+1）x+m 2﹣3=0 （1）当m 取何值时，方程有两个实数根？（2）设x 1、x 2是方程的两根，且（x 1﹣x 2）2﹣x 1x 2=26，求m 的值． 总结：1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的情况与判别式△的关系如下：24b ac -是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，设2=4b ac ∆-，则（1）当0∆＞时，__________________________________； （2）当=0∆时，___________________________________ （3）当0∆＜时，原方程____________________________.【例1】已知关于x 的方程2120,3x kx --=设方程的两个根为x 1,x 2，若12122()x x ,x x +>求k 的取值范围. 如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根，则有1212,b cx x x x a a+=-⋅=．这是著名的韦达定理.（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．练2（2015•广水市模拟）已知x 1、x 2是一元二次方程2x 2﹣2x+m+1=0的两个实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）如果x 1、x 2满足不等式7+4x 1x 2＞x 12+x 22，且m 为负整数，求出m 的值，并解出方程的根．3．根据一元二次方程求含两根的代数式的值总结：在应用一元二次方程的根与系数的关系解题时，先要把一元二次方程化为它的一般形式，以便确定各项的系数和常数的值. 如果待求式中没有出现两根之和或两根之积的形式，注意适当变形.常见变形如下：2. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）两实数根x 1，x 2又有如下关系：1212,b cx x x x a a+=-⋅=，所以已知关于x1，x2的关系等式可以求原方程中的字母参数. 3. 注意使用1212,b cx x x x a a+=-⋅=的前提是原方程有根，所以必须保证判别式△≥0. 【例3】（2015•大庆）已知实数a ，b 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两根，求+的值． 注意1212,b cx x x x a a+=-⋅=中两根之和、两根之积的符号，即和是﹣，积是，不要记混.练3（2015•合肥校级自主招生）已知：关于x 的方程x 2+2x ﹣k=0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；夯实基础 一、选择题1.（2011江苏南通，7，3分）已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是 －2B. 2C. 5D. 6A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2A ．5B ．－5C ．1D ．－1 二、填空题4．（2015•泸州）设x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，则x 12+x 22的值为________． 5．（2013贵州省黔西南州）已知x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根，则代数式a 2+b 2+2ab（1）222121212(x x )2x x x x +=+- （2）22121212()(x x )4x x x x -=+- （3）12121211x x x x x x ++= （4）22221121212121212(x x )2x x x x x x x x x x x x ++-+== （5）1(x 1)+21212（x +1）=x x +(x +x )+1 （6）2212121212(x x )(x x )4x x x x -=-=+-（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求的值.2. （2011湖北荆州，9，3分）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是3.（2013四川泸州）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ）的值是 ．6.（2015•日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，那么代数式2n 2﹣mn+2m+2015=___________． 三、解答题7．（2015•梅州）已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．9．（2015•南充）已知关于x 的一元二次方程（x ﹣1）（x ﹣4）=p 2，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）10．（2015•华师一附中自主招生）已知m ，n 是方程x 2+3x+1=0的两根11．（2015•孝感校级模拟）已知x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，是否存在实数a ，使﹣x 1+x 1x 2=4+x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由．12．（2014•广东模拟）已知关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x+k 2=0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（3）求（x 1﹣1）•（x 2﹣1）的最小值．8. 已知，关于x 的方程x m mx x 2222+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，求实数m 的值.（1）求（m+5﹣）﹣的值（2）求+的值．（2）求证：x 1+x 2=2（k ﹣1），；13.（2010•黄州区校级自主招生）已知方程x2﹣2x+m+2=0的两实根x1，x2满足|x1|+|x2|≤3，试求m 的取值范围．求：（1）m 的值；（2）△ABC 的面积．典例探究答案：所以k 为任意实数，方程都有两个不相等的实数根. 综上，k 的取值范围是 k>-1.点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.注意：对于含参数的一元二次方程，已知两根关系求参数的范围时，除了用到韦达定理之外，还要考虑根的判别式.练1．【解析】根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2k+1，x 1•x 2=k 2+2k ，变形后代入即可得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2， ∴x 1+x 2=2k+1，x 1•x 2=k 2+2k ， ∵x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立，∴x 1•x 2﹣（x 12+x 22）≥0，即x 1•x 2﹣[（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2]≥0， ∴k 2+2k ﹣[（2k+1）2﹣2（2k+1）]≥0，14.（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC 的三边a 、b 、c 满足，m 2+a 2m ﹣8a=0，m 2+b 2m ﹣8b=0．【例1】分析：先考虑判别式>0，根据题意得2803k ∆=+>，这说明k 取任意实数，方程都有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得x 1+x 2=3k ，x 1x 2=-6，代入12122()x x x x +>即可求得k 的取值范围.解：根据题意，得22184(2)033k k ∆=-⨯⨯-=+>， ∵x 1+x 2=3k ，x 1x 2=-6，且12122()x x x x +>， ∴236k ⨯>-，解得k>-1.点评：本题考查了根与系数的关系的应用，解此题的关键是能得出关于k 的不等式．【例2】【解析】（1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到4（m+1）2﹣4（m 2﹣3）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得x 1+x 2=2（m+1），x 1x 2=m 2﹣3，代入（x 1﹣x 2）2﹣x 1x 2=26，计算即可求解．解：（1）根据题意，得△=4（m+1）2﹣4（m 2﹣3）≥0， 解得m ≥﹣2；（2）当m ≥﹣2时，x 1+x 2=2（m+1），x 1x 2=m 2﹣3．则（x 1﹣x 2）2﹣x 1x 2=（x 1+x 2）2﹣5x 1x 2=[2（m+1）]2﹣5（m 2﹣3）=26， 即m 2﹣8m+7=0，解得m 1=1＞﹣2，m 2=7＞﹣2， 所以m 1=1，m 2=7．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． 练2．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4×2×（m ﹣1）≥0，然后解不等式；解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4×2×（m ﹣1）≥0， ∵7+4x 1x 2＞x 12+x 22， ∴7+6x 1•x 2＞（x 1+x 2）2， ∴k ≤﹣或k ≥1. （2）先根据根与系数的关系得x 1+x 2=1，x 1•x 2=，把7+4x 1x 2＞x 12+x 22变形得7+6x 1•x 2＞（x 1+x 2）2，所以7+6×＞1，解得m ＞﹣3，于是得到m 的取值范围﹣3＜m ≤﹣，由于m 为负整数，所以m=﹣2或m=﹣1，然后把m 的值分别代入原方程，再解方程． 解得m ≤﹣；（2）根据题意得x 1+x 2=1，x 1•x 2=，∴7+6×＞1，解得m ＞﹣3，∴﹣3＜m ≤﹣，∵m为负整数，∴m=﹣2或m=﹣1，当m=﹣2时，方程变形为2x2﹣2x﹣1=0，解得x1=，x2=；当m=﹣1时，方程变形为x2﹣x=0，解得x1=1，x2=0．点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．【例3】【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，再利用完全平方公式变形得到+==，然后利用整体代入的方法进行计算．解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，∴a+b=1，ab=﹣1，∴+===﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．练3．【解析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k，点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 夯实基础答案： 一、选择题 1. B 2. B3.【解析】由已知得x 1+x 2＝－3，x 1×x 2＝－3，则 故选B ．点评：本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法． 二、填空题4．【解析】首先根据根与系数的关系求出x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣1，然后把x 12+x 22转化为x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2，最后整体代值计算．解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根， ∴x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=25+2=27， 故答案为：27．点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．5. 【解析】将x=1代入到x 2+ax+b=0中求得a+b 的值，然后求代数式的值即可． 解：∵x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根， ∴12+a+b=0， ∴a+b=﹣1，∴a 2+b 2+2ab=（a+b ）2=（﹣1）2=1． 故答案为：1．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到∴=，原式＝21212212)(x x x x x x -+＝3)3(2)3(2--⨯--＝－5．待定系数的方程即可求得代数式的值．6.【解析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x ﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，则2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021=2×1﹣（﹣3）+2021=2+3+2021=2026．故答案为：2026．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．三、解答题7．【解析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac ＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．8.【解析】：先把原方程变形，得到一个一元二次方程的形式，利用已知条件，两根或是相等，或是互为相反的数，从而找到关于m 的方程，从而得到m 的值，但前提条件是方程得有实数根.点评：本题是考查一元二次方程有根的情况求字母的值.首先在保证方程有实数的前提下，再利用两根之间的关系找到含有字母的方程，从而得到字母的值.9．【解析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可； （2）要是方程有整数解，那么x 1•x 2=4﹣p 2为整数即可，于是求得当p=0，±1时，方程有整数解．解；（1）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p 2）=4p 2+9＞0，∴不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）∵方程有整数解，，解得：，解：原方程可变形为：0)1(222=++-m x m x . ∵1x 、2x 是方程的两个根，∴△≥0,即：4（m +1）2-4m 2≥0, ∴ 8m+4≥0, m ≥21-. 又1x 、2x 满足12x x =,∴1x =2x 或1x =-2x , 即△=0或1x +2x =0, 由△=0,即8m+4=0,得m=21-. 由1x +2x =0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意，舍去) 所以,当12x x =时，m 的值为21-.∴x 1•x 2=4﹣p 2为整数即可，∴当p=0，±1时，方程有整数解．点评：本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．10．【解析】（1）首先求出m 和n 的值，进而判断出m 和n 均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；解：（1）∵m ，n 是方程x 2+3x+1=0的两根，∴m ＜n ＜0， ∵m ，n 是方程x 2+3x+1=0的两根，∴m 2+3m+1=0，∴原式=0；（2）∵m ＜0，n ＜0，∵m+n=﹣3，mn=1，∴原式=9﹣2=7．点评：本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的（2）根据m 和n 小于0化简+为（），然后根据m+n=﹣3，mn=1整体代值计算．∴m=，n=， 原式=•﹣ =﹣=﹣6﹣2m ﹣ = ∴+=﹣m ﹣n =+=（），关键是能求出m 和n 的判断出m 和n 均小于0，此题难度一般．解：存在．∵x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，∴a ＞0，∵﹣x 1+x 1x 2=4+x 2，∴x 1x 2=4+x 2+x 1，解得：a=24． 12．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=[﹣2（k ﹣1）]2﹣4×1×k 2≥0，然后解不等式即可；（3）利用（2）中的结论得到（x 1﹣1）•（x 2﹣1）=x 1•x 2﹣（x 1+x 2）+1=k 2﹣2（k ﹣1）+1，然后利用配方法确定代数式的最小值．（1）解：依题意得△=[﹣2（k ﹣1）]2﹣4×1×k 2≥0，（2）证明：∵△=4﹣8k ，11．【解析】由x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，可得x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=，△=（2a ）2﹣4a （a ﹣6）=24a ＞0，又由﹣x 1+x 1x 2=4+x 2，即可求得a 的值． ∴x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=，△=（2a ）2﹣4a （a ﹣6）=24a ＞0， 即=4﹣， 点评：此题考查了根与系数的关系以及根的判别式．此题难度适中，注意掌握若二次项系数不为1，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=，x 1x 2=． （2）利用求根公式得到x 1=k ﹣1+，x 2=k ﹣1﹣，然后分别计算x 1+x 2，x 1x 2的值即可；解得k ≤； ∴x=， ∴x 1=k ﹣1+，x 2=k ﹣1﹣ ∴x 1+x 2=k ﹣1++k ﹣1﹣=2（k ﹣1）； x 1•x 2=（k ﹣1+）（k ﹣1﹣）=（k ﹣1）2﹣（）2=k 2；（3）解：（x 1﹣1）•（x 2﹣1）=x 1•x 2﹣（x 1+x 2）+1=k 2﹣2（k ﹣1）+1=（k ﹣1）2+2， ∵（k ﹣1）2≥0，∴（k ﹣1）2+2≥2，∴（x 1﹣1）•（x 2﹣1）的最小值为2．13.【解析】由于方程x 2﹣2x+m+2=0的有实根，由此利用判别式可以得到m 的一个取值范围，然后利用根与系数的关系讨论|x 1|+|x 2|≤3就又可以得到m 的取值范围，最后取它们的公共部分即可求出m 的取值范围．解：根据题意可得△=b 2﹣4ac=4﹣4×1×（m+2）≥0，解得m ≤﹣1，而x 1+x 2=2，x 1x 2=m+2，①当m ≤﹣2时，x 1、x 2异号，设x 1为正，x 2为负时，x 1x 2=m+2≤0，②当﹣2＜m ≤﹣1时，x 1、x 2同号，而x 1+x 2=2，∴x 1、x 2都为正，那么|x 1|+|x 2|=x 1+x 2=2＜3，符合题意，m 的取值范围为﹣2＜m ≤﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．同时也利用分类讨论的思想方法．14.【解析】（1）本题可先求出方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m 的值．点评：本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=，x 1x 2=．也考查了根的判别式．|x 1|+|x 2|=x 1﹣x 2==≤3， ∴m ≥﹣，而m ≤﹣2， ∴﹣≤m ≤﹣2；故m 的取值范围为：﹣≤m ≤﹣1．（2）由（1）得出的m 的值，然后将m 2+a 2m ﹣8a=0，m 2+b 2m ﹣8b=0．进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，进而得出三角形的面积． 解：（1）∵关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）． ∵a=m 2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b 2﹣4ac=（9m ﹣3）2﹣72（m 2﹣1）=9（m ﹣3）2≥0，设x 1，x 2是此方程的两个根，又m 为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a 2﹣4a+2=0，b 2﹣4b+2=0当a ≠b 时，a 、b 是方程x 2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a ＞0、b ＞0．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a ，b 的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．∴x 1•x 2==， ∴也是正整数，即m 2﹣1=1或2或3或6或9或18，当a=b 时，①a ≠b ，时，由于a 2+b 2=（a+b ）2﹣2ab=16﹣4=12=c 2故△ABC 为直角三角形，且∠C=90°，S △ABC =．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形． S △ABC =×（2）×= 综上，△ABC 的面积为1或．。