古典概型与几何概型基础复习习题练习

课题：古典概型与几何概率

考纲要求：

① 理解古典概型及其概率计算公式；② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件 发生的概率；③了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；④了解几何概型的意义.

教材复习

1.古典概型：把同时具有：

“()1每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的，每次试验只出现其中一个结果；()2每一个结果出现的可能性相同”的两个特征的随机试验的数

学模型称为古典概型： 基本步骤：①计算一次试验中基本事件的总数n ；②事件A 包含的基本事件的个数m ；

③由公式n

m

A P =

)(计算. 注：必须在解题过程中指出等可能的..

2.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成事件的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

特性：每一次试验中所有可能出现的结果都是无限的，每一个结果出现的可能性都是相等的.

基本步骤：（1）构设变量（2）集合表示（3）作出区域（4）计算求解.

几何概型的计算：()P A = 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）

的区域长度（面积或体构成事件A

3.随机数：是在一定范围内随机产生的数，并且在这个范围内得到每一个数的机会相等.

随机数的一个重要应用就是用计算机产生随机数来模拟设计实验.

模拟是利用模型来研究某些现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力、物力.

典例分析：

考点一 古典概型的概念

问题1．判断下列命题正确与否：

()1 掷两枚硬币，可能出现“两个正面”

，“两个反面”，“一正一反”3种结果；()2某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能行相同；()3从4,3,2,1,0,1,2----中任取一数，取到的数小于0和不小于0的可能性相同； ()4分别从3名男同学，4名女同学中各选一名做代表，那么每个同学当选的可能性相同； ()55人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某中奖签的可能性肯定不同.

考点二古典概型的概率

问题2．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：()1基本事件总数；()2事件：“摸出2个黑球”包含的基本事件是多少个？()3“摸出2个黑球”的概率是多少？；

问题3．同时掷两个骰子，计算：()1一共有多少种不同的结果？()2其中向上的点数之和是5的结果又多少种？()3“向上的点数之和是5”的概率是多少？

问题4．将一个骰子先后抛掷三次，求向上点数之和不是6的倍数的概率.

问题5．（08山东文）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ,,通晓日语，

123B B B ,,通晓俄语，12C C ,通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．()1求1A 被选中的概率；()2求1B 和1C 不全被选中的概率．

考点三 与长度有关的几何概型

问题6．()1(2013福建) 利用计算机产生01之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为

()2在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 不大于AC 的概率.

A

B

C

M

考点四 与面积有关的几何概型

问题7.()1(2013陕西) 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源,

基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．

信号的概率是 .A 14

π- .

B 12

π

- .C 22

π

-

.

D 4

π

()2(2013四川)节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，

若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是

.

A 14 .

B 12 .

C 34 .

D 78

1

D

E

F

问题8.（08枣庄三中模拟）甲乙两人约定上午7:00到8:00之间到某个汽车站乘车，在

这段时间内有3班公共汽车，他们开车的时刻分别为7:20、7:40、8:00，如果他们约定，见车就乘，则甲乙两人同乘一班车的概率为 .

A 21 .

B 14 .

C 31 .

D 1

6

考点五 与体积有关的几何概型

问题9.已知正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，则在正方体ABCD -

1111A B C D 内任取一点M ，点M 在球O 内的概率是.

A 4π .

B 6π .

C 8

π

.D 12π

考点六 与角度有关的几何概型

问题10：()1(2011湖南文) 已知圆C ：2212x y +=,直线l :4325x y +=. ①圆C 的圆心到直线l 的距离为

②圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为

()2在Rt ABC △中，30A =?，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，

求使AM AC >的概率.

课后作业：

1.在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率.

2.（2013黄冈模拟）在区间[]0,1上任意取两个实数,a b ，则函数3

1()2

f x x ax b =

+- 在区间[]1,1-上有且仅有一个零点的概率为 .A 18 .B 14 .C 34 .D 7

8

走向高考：

C

A

B

M

1.（07广东文）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注

的 数字外完全相同。现从中随机地取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 .A

3

10

.

B 15 .

C 110

.

D 1

12

2.（09安徽文）从长度分别为2345,

,,的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是

3.（09江苏文）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，

若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为

4. (09山东文)在区间[,]22ππ

-

上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到2

1

之间的概率为 .A 31 .B π

2

.C 21 .D 32

5.（09辽宁文）ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为

.

A 4

π

.B 14π-

.C 8

π .D 18

π

-

6.（09福建文）点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为

7.（2012辽宁）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线

段,AC CB 的长，则该矩形面积小于2

32cm 的概率为 .

A 16 .

B 13 .

C 23 .

D 45

8.（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，

分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随 机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

.A 2

1π

-

.

B 112π- .

C 2π .

D 1

π

9.（07海南文）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.

()1若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，若b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；()2若a 是从区间[]0,3任取的一个数，若b 是从区间[]0,2三个

数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.