第七章 应力应变关系

1、Levy-Mises理论
材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总 的应变增量
材料符合Mises屈服准则 e = s
每一加载瞬时，应力主轴与应变主轴重合
塑性变形时体积不变
y
dx d y dz d1 d2 d3 0
d ij

d
' ij
d ij

d
' ij
0
ε
应变增量与应力偏增量成正比 ：
dij ij'd
d
为瞬时的非负系数，加载时为变值， 卸载时为0
Levy-Mises方程
d x x'

d y

' y

d z z'

d xy x'

d yz x'

d zx x'
d
差比形式：
J E A Cσ b)
不同加载路线的应力与应变 a ) 应力—应变曲线
b ) 屈服轨迹
τ
初始屈服轨迹
D
F ( f , f )
B
I F'
后继屈服轨迹
J
O
E A Cσ
b)
τ
初始屈服轨迹
D
F ( f , f )
B
I F'
后继屈服轨迹
J
O
E A Cσ
b)
7.3 增量理论
又称为流动理论，是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或 应变速率之间关系的理论。


yz
2G
zx


zx
2G
剪切模量
m

1
2v E

m
x'


x
m

1
E
( x
m)

1 2G

x
'
y'


1 2G
y'
z'

1 2G

' z

' x


' y


' z
xy yz zx
1

' x

' y
全量应变：前面我们讨论过的应变，都是反映微元体在某一变形过程或 变形过程的某个阶段终了时的应变大小，所以可叫做“全量应变”。
应变增量：就是变形过程中某一短阶段中的应变。以物体在变形过程中 某瞬时的形状尺寸为原始状态，在此基础上发生的无限小应变就是应变
增量，记为： d x , d y , d z , d xy , d yz , d xz
虎克定律
E：弹性模量
v ：泊松比
E 2G
广义虎克定律
x


1 E
[
x
v( y
z )]
y


1 E
[
y
v( z
x )]
z

1 E
[
z

v( x
y )]
G E 2(1 v)

xy


xy
2G
yx

' z
xy
yz
zx
2G
比列及差比形式：
x y y z z x xy yz zx 1 x y y z z x xy yz zx 2G
广义虎克定律改写为：
结论：在弹性变形中包括改变体积的变形和改变形状的变形。前者与球应 力分量成正比，后者与偏差应力分量成正比，写成张量形式：
(dz dx )2 ( z x )2 d2
6d
2 xy

6 xy2d 2
6d
2 yz

6 yz2d2
6d zx2 6 zx2d 2
∵ de
2 3
(d x d y )2 (d y dz )2 (dz d x )2 6(d xy2 d yz2 dzx2 )2
∴ de2

2 9
[(d
x
d y )2

(d y

dz )2

(d z
dx )2

6(d
2 xy

d yz2

dzx2 )2 ]
∴9
2
d e 2

[(d x
d y )2

(d y

dz )2

(d z
dx )2

6(d
2 xy

d yz2

dzx2 )2 ]
dx - dy dy - dz dz - dx d x y y z z x
d x d( x m ) dx dy d( x m y m ) d( x y )
(dx dy)2 ( x y)2d2 (dy dz )2 ( y z )2d2
∵
e
1 2
( x
y)2

( y
z )2

( z
x
)2

6(
2 xy
yz2
zx2 )
∴
2
2 e
(x
y )2
(y
z )2
(z
x )2

6(
2 xy
yz2

2 zx
)
∴
9 2
d e 2

2 e2d 2
d 3 de 2 e

d x


x'd

( x
m )d

2 3
[
x

1 2
( y
z )]d

d e e
[ x

1 2
( y
z )]
d y


d e e
[
y

1 2
( z
x )]

d z


d e e
[ z

1为非线性关系
全量应变与应力主轴不一定重合
塑性变化不可逆——无单值一一对应 关系——与加载路径有关
对于应变硬化材料，卸载后的屈服应 力比初始屈服应力高
σ, τ
A σS τS B
C D
O εC εD a)
τ
初始屈服轨迹
D B
I
F ( f , f )
F'
后继屈服轨迹
ε, γ O
弹性变形时的应力应变关系的特点：
应力与应变完全成线性关系，即应 力主轴与全量应变主轴重合
弹性变形是可逆的，与应变历史 （加载过程无关），应力与应变之 间存在统一的单值关系
弹性变形时，应力张量使物体产生 体积变化，泊松比小于0.5
7.2 塑性变形时应力应变关系特点
体积不变，泊松比v=0.5
第七章 应力应变关系
塑性变形时应力与应变的关系称 为本构关系，其数学表达式称为 本构方程或物理方程。
主要内容：
7.1 弹性变形时的应力应变关系 7.2 塑性变形时应力应变关系特点 7.3 增量理论 7.4 全量理论 7.5 应力应变顺序对应规律
7.1 弹性变形时的应力应变关系

d

xy

3d e 2 e
xy
d yz

3d e 2 e