二次函数最值问题与解题技巧(个人整理)

一、二次函数线段最值问题

1、平行于x轴的线段最值问题

1）首先表示出线段两个端点的坐标

2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标

3）得到一个线段长关于自变量的二次函数

4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值

2、平行于y轴的线段最值问题

1）首先表示出线段两个端点的坐标

2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标

3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式

4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值

3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题

1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于

x轴、y轴

2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标

3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长

4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）

5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数

6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值

7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可

二、二次函数周长最值问题

1、矩形周长最值问题

1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长

最值

2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长

3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值

2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值

1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量

2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值

3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长

三、二次函数面积最值问题

1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）

1）首先表示出所需的边长及高

2）利用求面积公式表示出面积

3）得到一个面积关于自变量的二次函数

4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值

2、不规则图形面积最值问题

1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形

2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和

3）得到一个面积关于自变量的二次函数

4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值

或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的

面积来得到

2）得到一个面积关于自变量的二次函数

3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值