(完整版)初中常见定理证明

初中常见定理的证明
一、三角形
1、运用你所学过的三角形全等的知识去证明定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．（用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据）
2、证明定理：等腰三角形的两个底角相等．（画出图形、写出已知、求证并证明）
3、叙述并证明三角形内角和定理．要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程
4、我们知道，证明三角形内角和定理的一种思路是力求将三角形的三个内角转化到同一个顶点的三个相邻的角，从而利用平角定义来得到结论，你能想出多少种不同的方法呢？同学之间可相互交流．
5、三角形中位线定理，是我们非常熟悉的定理．
①请你在下面的横线上，完整地叙述出这个定理：
②根据这个定理画出图形，写出已知和求证，并对该定理给出证明．
是 ，这 个命题正确吗？
若正确， 请你证 明这个命题，若不正确请说明
理由．
7、用所学定理、定义证明命题证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
8、同学们，这学期我们学过不少定理，你还记得“在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，请你写出它的逆命题，并证明它的真假．
解：原命题的逆命题为：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°．
9、利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称
为，该定理的结论其数学表达式是．
10、利用图中图形的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，此证明方法就是美国第二十任总统伽菲尔德最先完成的，人们为了纪念他，把这一证法称为“总统”证法．这个定理称为，该定理的结论其数学表达式是．
11、［定理表述］
请你根据图1 中的直角三角形，写出勾股定理内容；
［尝试证明］
以图1 中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b 为高
定理表述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
证明 ： ∵S 四 边 形 ABCD =S △ ABE +S △ AED +S △ CDE= 2
2
12 、如图， △ ABC 中， ① AB=AC ， ② ∠ BAD=∠ CAD ， 你选择其中的两个作为条件，另两个作为结 论 线合一”性质定理．
13、课本指出：公认的 真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如 推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．
（1）叙述三角形全等 的判定方法中的推论 AAS ；
（ 2 ） 证 明 推 论 AAS ．
③ BD=C ，D ④ AD ⊥
BC ．请 证明等腰三角形 的
要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．14、在数学课外活动中，某学习小组在讨论“导学案”上的一个作业题：已知：如图，OA平分
∠BAC，∠1=∠2．
求证：AO⊥ BC．
同学甲说：要作辅助线；
同学乙说：要应用角平分线性质定理来解决：
同学丙说：要应用等腰三角形“三线合一”的性质定理来解决．如果你是这个学习小组的成员，请你结合同学们的讨论写出证明过程．
15、证明：勾股定理逆定理
已知：在Δ ABC中，AB=c,AC=b,BC=a ,若c2 =a2 + b2 求证：∠ C = 90 度
证明：作RTΔDEF，使∠ E=RT∠，DE=b ,EF=a
在RTΔ DEF中，DF2 = ED2 + EF2 = a 2 +b2 因为c2=a2+ b 2 所以DF =c
所以DF=AB，DE=AC，EF=BC 所以RTΔDFE≌Δ ABC (SSS) 所以∠ C=∠E = RT∠
二、四边形 (一)梯形
1、定理证明：“等腰梯形的两条对角线相等”．
2、用两种方法证明等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（要求：画出图形，写出已知、求证、证明）．
证法一：如图，分别过点Ar作AE丄DC于点E，BF丄DC于点F，VAE丄DC，BF 丄DC J
Λ 2AED=ZBFC = 90φ > AE^ EF^
V AB DC，
•・•四边形ABFE是柜形，
-AE=EF.
∙∙∙ 2D=ZC，
Λ∆ADE^∆BCF.
-AD=BC.
•・•棉形AECD是等If梯形•
证法二过点B作BE∕<AD>
V AB^DC »BE” AD，
・•・四边形ABED是平行四边形.
-'∙ AD=BE •
VBEZ/AD >
∙i∙ ND=ZEEC •
-.∙ ZD=^C ‘
.β. ZBEC=ZC •
∙∙∙ BE=BC.
∙∙∙ BC=AD.
・•・梯形ABCD是等Q要梯形•
3、在梯形ABCD中，如图所示，AD∥BC，点
E、F 分别是AB、CD的中点，连接EF，EF
叫做梯形的中位线．观察EF 的位置，联想三角形
的中位线定理，请你猜想：EF与AD、BC有怎样的
位置和数量关系并证明你的猜想．
4、采用如图所示的方法，可以把梯形ABCD折叠成一个矩形EFNM（图中EF，FN，EM为折痕），使得点A与B、C与D分别重合于一点．请问，线段EF的位置如何确定；通过这种图形变化，你能看出哪些定理或公
式（至少三个）？证明 你的所有结论．
解： 可以 看出 梯形 的 中位 线定 理、 面积 公 式、 平行 线的 性质 定 理等 ．
（二）平行四边形
1、定理证明：一组对
边平行且相等的四边形是平行四边形．
2、定理求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
3、我们在几何的学习中能发现，很多图形的性质定理与判定定理之间有着一定的联系．例如：菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直”和菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”就是这样．但是课本中对菱形的另外一个性质“菱形的对角线平分一组对角”却没有给出类似的判定定理，请你利用如图所示图形研究一下这个问题．要求：如果有类似的判定定理，请写出已知、求证并证明．如果没有，请举出反例．
（三）圆证明：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

这一定理叫做圆周角定理。

（圆周角与圆心角的关系）
已知在⊙O中，∠ BOC与圆周角∠ BAC同对弧BC，求证：∠ BOC=∠2 BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B 在同一直线上时：
图1∵OA、OC是半径
解：∴ OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠ BOC∠= BAC+∠ACO=∠2 B AC
情况2：
如图2, ，当圆心O在∠ BAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于
D 图2∵OA、OB、OC是半径
解：∴ OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△ AOB、△AOC的外角
∴∠ BOD∠= BAD+∠ABO=∠2 BAD（三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠COD∠= CAD+∠ACO=∠2 CAD（三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠ BOC∠= BOD∠+ COD=2∠（ BAD+∠CAD）=2∠BAC
情况3：
如图3，当圆心O在∠ BAC的外部时：
图3 连接AO，并延长AO交⊙O于D 连接OA,OB。

解：∵ OA、
OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO(等边对等角) , ∠CAD=∠ACO(OA=O)C
∵∠DOB、∠DOC分别是△ AOB、△AOC的外角
∴∠ DOB∠= BAD+∠ABO=∠2 BAD（三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠DOC∠= CAD+∠ACO=∠2 CAD（三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC∠= DOC- ∠DOB=2∠（ CAD- ∠BAD）=2∠BAC。