数理逻辑考试题及答案

“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案

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一、命题逻辑基本知识（5分）

1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分）

（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。

解：—p ∧q ,其中，P :小刘怕吃苦；q :小刘爱钻研。

（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。

解：q→-p ,其中，P :怕敌人；q :战胜敌人。

（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。

解：—r→（P→P）,其中，P:别人有困难；q :老张帮助别人；r:困难解决了。

（3）小王与小张是亲戚。

解：p，其中，P:小王与小张是亲戚。

2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分）

（0）A ：（-（p^q）_；（（P -q）（.p^q））） r

（1）B : （P 一9一；P））（r q）

（2）C: （P -r）＞（q r）

（3）E : p-;（P q r）

（4）F ：—（q-；r） r------------------------------------------------------------------------ 解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。

3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取.2的余，完成1题。共2分）

（0）设y=2∣x∣，X为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。

解：设y=2|x|，X为实数。令P: y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，P为假，q为真。本题推理符号化为：（p—；q） q—；P。由P、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。

（1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。

解：令P:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，S:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，S=O。本题推理符号化为：（（P q）→ S） P q）→ （r S）。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。

二、命题逻辑等值演算(5分)

1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式(总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完

成1题。共2分)

(0)求公式p→ ((q ∧r) ∧(P ∨(―q ∧-r)))的主析取范式。

解：p→((q ∧r) ∧(P ∨(—q ∧-「)))：= 一p∨(q ∧r∧P) ∨(q ∧r ∧一q ∧—r)二一P ∨(q ∧r∧P) ∨0 二(P ∧q∧r) ∨= (一p∧1 ∧1) ∨(q ∧r∧P)

二(—p ∧(q ∨-q) ∧(r ∨-r)) ∨(q ∧r∧P) U (~p ∧(q ∨-q) ∧(r ∨一r)) ∨m7

二(一P ∧—q ∧ F ∨ (一P ∧—q ∧r) ∨ (一P ∧q ∧_r) ∨ (一P ∧q ∧r) ∨m7 m0 ∨m1 ∨m2 ∨m3 ∨m7.

(1)求公式一(一(P → q)) ∨(—q → 一P)的主合取范式。

解：一(一(P → q)) (—q →-p)二(P → q) (P →q) U (P → q)

U —P0q U M2.

(2)求公式(P→(P ∨q)) ∨r的主析取范式。

解：(p→ (P q)) r -P (P q) r 二(—p P q r)二1

U m0 ∨ml ∨m2 ∨m3 ∨m4 ∨m5 ∨m6 ∨m7.

2、应用分析(总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共3分)

(0)某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：

甲预言：赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。

乙预言：孙竹湾为村长，赵炼玉为村支书。

丙预言：钱谷王为村长，赵炼玉为村妇女主任。

村委分工公布后发现，甲乙丙三人各预测正确一半。赵炼玉、钱谷王、孙竹湾各担任什么职务？解：设P1 :赵炼玉为村长，p2 :钱谷王为村长，p3 :孙竹湾为村长，

q1 :赵炼玉为村支书，q2:钱谷王为村支书，r1 :赵炼玉为村妇女主任。

判断公式F=( (p1 -q2) (一p1 q2)) ( (p3 — q1) (—p3 q1)) ( (p2 —「1) (一p2 r1)) U — p1 q2 p3 一q1 — q2 r1=1=q2 p3 r1，

由此，钱谷王为村支书，孙竹湾为村长，赵炼玉为村妇女主任。

说明：p1、p2、p3有且仅有一个为真，q1、q2有且仅有一个为真。一个人不能担任两职，一个职务不可由两人同时担任。

(1)某公司派赵、钱、孙、李、周五人出国学习。选派条件是：

①若赵去，钱也去。②李、周两人必有一人去。

③ 钱、孙两人去且仅去一人。④孙、李两人同去或同不去。

⑤ 如周去，则赵、钱也同去。如何选派他们出国？

解：①设P:派赵去，q :派钱去，r:派孙去，s:派李去，u派周去。

②⑴(P >q) ⑵(S U) (3) ((q F (-q r))

(4) ((r S) (■唇S)) (5) ( u-;(P q))

③⑴~⑸构成的合取式为：

A= (p—；q) (S U) ((q F (一q r)) ((r S) (一r -S)) (U r(P q))

=(―p _q r S -U) (P q _r -S U)

由此可知，A的成真赋值为00110与11001，

因而派孙、李去(赵、钱、周不去) ，或派赵、钱、周去(孙、李不去) 。

三、命题逻辑推理(5分)

在自然推理系统中，构造下列推理过程(总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共5 分)

(0)如果张老师出国，则若李老师出国，王老师出国。现在的情况是张老师与李老师都要出国。所以，王老师不出国，则孙老师出国。解：形式化：

P :张老师出国；q :李老师出国；r:王老师出国；S :孙老师出国。

前提:pτ(qτr)，PM

结论:-I IS

证明：①pτ(qτr)【前提引入】

②^ψ V (^Vr) U PAL r【①置换】

③PAq【前提引入】

④r【②③假言推理】

⑤r VS【④附加规则】

⑥m^r∨S【⑤置换】

⑦-rτs【⑥置换】证毕。