第一节 有理数及相关概念-学而思培优

第一节 有理数及相关概念

一、课标导航

注：负倒数课标不作要求，

二、核心纲要

1.有理数：整数与分数统称有理数

2．有理数的分类

注：①小学学过的π不是有理数．

②“四非”：非负数，非负整数，非正数，非正整数．（不要丢掉“O”）

③“0”既不是正数也不是负数．

3．数轴：规定了原点、正方向和单l 立长度的直线叫 做数轴．

4．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．特别地，0 的相反数是0 ．

5．绝对值

(1)绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离．数a 的绝对值记 作.||a

(2)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值 是0．

6.(1)倒数：若a 与b 的乘积是1，则称a 与b 互为倒数；反之，若a 与b 互为倒数，则.1=ab 注：① O 没有倒数；

②求带分数的倒数时要先将其变成假分数，然后再求倒数．

(2)负倒数：若a 与b 的乘积是-1，则称a 与b 互为负倒数；反之，若a 与b 互为负倒数，则 .1-=ab

7．比较有理数大小的常用方法

①代数法：正数大于非正数，零大于一切负数．

②数轴法：数轴右边的数比左边的数大，

③绝对值法：对于两个负数，绝对值大的反而小．

④特殊值法：给题目中的字母一个特定的值，然后代入求值，进而比较大小．

8．数学思想方法

(1)初步理解分类讨论的思想，

分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对 每一类分别研究得出每一类的结果，最后综合各类结果得到整个问题的解答，实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．

(2)体会数形结合思想．

数形结合思想是一种重要的数学方法，数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，本章中的“数”就是有理数，“形”就是数轴，由于任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，就把数和形巧妙的结合起来了，数轴是数形结合常用的工具，运用数形结合思想可解决与数轴有关的各种问题，

本节重点讲解：一个方法 （比较太小)两个思想（分类讨论.数形结合）六个概念（有理数、数轴、

相反数、绝对值、倒数和负倒数）

三、全能突破

基 础 演 练

1．(1)下列说法中，正确的是( )

A ．正数和负数统称为有理数

B ．任何有理数均有倒数

C.绝对值相等的两个数相等 D ．任何有理数的绝对值一定是非负数

(2)下列语句正确的是( )

A ．数轴上的点只表示整数

B ．不同的有理数可能用数轴上的同一点表示

C.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示 D .有些分数；在数轴上不能表示

2．下列各对数中，不是相反数的是( )

)]3([)3(.----+与A |1|)]1([.--++与B

|8|)8(.----与C )]2.5([2.5.-+--与D

3．(1)有下列四个命题：①最大的负整数是-1；②最小的整数是1；③最小的负整数是-1;④最小的正

整数是1．其中正确的说法有 ．

(2)下列数中：,|,05.0|,420.0%,23,3

22,8.3,5,722,

83,15π------负有理数有 ，分数有

4．-a 的相反数是2，则=a ；若3m+7与-10互为相反数，则=m 1;+-m 的相反数是 .

5．数轴上，若点M 、N 表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6，则这两点所表示的数为 ．

6．绝对值小于|5.4|-的整数有 ，和为 .

7．已知,2||,3||==y x 且,y x >求y x +的值．

8．比较大小：⋅--

4

352)1(与 |14.3|)722()2(--+-与 9．若m 、n 互为相反数，p 、q 互为倒数，且a 为最大的负整数，求

a pq n m +++20122012的值， 能 力 提 升

10.下列说法正确的是( )

A ．-个数的负倒数等于它本身的数是土1

B ．一个数的倒数等于它本身的数是O ，±1

C ．-个数的绝对值等于它本身的数是O

D ．-个数的相反数等于它本身的数是O

11．若,0,0,0=-=+=+q m P n n m 且则( )

A.p 与q 相等 B ．m 与p 互为相反数 C ．m 与n 相等 D ．n 与q 相等

12.对于任意有理数a ，下列式子中取值不可能为O 的是( )

|1|.+a A a B +-|1|. 1||.+a C ||1.a D -

13.下列说法正确的个数是( )

(1) ︱a ︱ 一定大于0；(2) -a 一定是负数；(3)︱-m ︱的倒数一定是;1m

1||)4(--a 一定是负数；(5) 若,0=ab 则a ，b 均为O ；(6)若|,|||y x =则x 与y 相等或互为相反数；(7)若,0||||=+y x 则x ，y 中至少有一个为0．

0.A 1.B 2.C 3.D

14．如果,||||n m n m +=+则下列说法正确的是( )

A ．m 、n 同号 B. m 、n 异号

C ．m 、n 为任意有理数

D ．m 、n 同号或m 、n 中至少一个为零

15.数轴上的点A 、B 、C 分别对应的数为O 、-1、x ，点C 与点A 的距离大于点C 与点B 的距离，则( )

0.>x A 1.->x B 2

1.-

16.有理数a 、b 满足|,|||,0,0b a b a <<>则下列结论正确的是( )

a b b a A <-<<-. b a a b B -<<-<. a b b a C <<-<-. a b a b D <-<-<.

17．(1)数轴上的点A 、B 分别表示的数为-3和4，点C 是AB 的中点，则点C 所表示的数是 .

(2)已知数轴上A 、B 两点之间的距离为5，且点A 到原点的距离为2，那么点B 所对应的数为 .

18．已知,10<

x x 12、、的大小关系是 .

19．当43<