直线及方程知识点总结

直线与方程知识点总结

一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角

① 关于倾斜角的概念要抓住三点：

ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的围000180α≤<.

④ 0,900≥︒≤︒k α； 0,18090 k ︒︒α （2）直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。 ②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1

21

2x x y y k --=（21x x ≠） ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行

对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直

如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-

注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。

二、直线的方程 1、直线方程的几种形式

注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；

（2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）（3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 2、线段的中点坐标公式

若两点),(),,(2

22111y x P y x P ，且线段21,P P 的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

+=+=222121y y y x x x 3. 过定点的直线系

①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-；

②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）

，其中直线l 2不在直线系中. 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点

设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标

就是方程组⎩⎨⎧=++=++00

222

111C y B x A C y B x A 的解，

若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离

平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式2

1221221)()(y y x x P P -+-=

特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP += （2）点到直线的距离

点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2

2

00B

A C By Ax d +++=

（3）两条平行线间的距离

两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2

2

12B

A C C d +-=

（注意：

① 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

② 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）

补充：

1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角

（2）．已知斜率k 的围，求倾斜角α的围时，若k 为正数，则α的围为(0,)2

π

的子集，

且k=tan α为增函数；若k 为负数，则α的围为(,)2π

π的子集，且k=tan α为增函数。若

k 的围有正有负，则可所围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角围。

2、利用斜率证明三点共线的方法：

已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 3. 两条直线位置关系的判定：

已知 0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l ，则：

（1）0212121=+⇔⊥B B A A l l

（2）;0,0-//1221122121≠-=⇔C A C A B A B A l l （3）;0,0-1221122121=-=⇔C A C A B A B A l l 重合与

（4）1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A

如果2220A B C ≠时，则：

(1)1221121-=•⇔⊥B A

B A l l

(2)⇔21//l l ）不为0,,(2222

12121C B A C C

B B A A ≠=；

(3)1l 与2l 重合⇔）不为0,,(222212121C B A C C

B B A A ==

(4)1l 与2l 相交⇔）不为0,(222

121B A B B

A A ≠

4. 有关对称问题