勾股定理的逆定理知识点总结,初二数学勾股定理逆定理典型例题及题型归纳
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b abc c b a E D C B A②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数）毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数）柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．题型一：直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例3.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长 21E DCBA例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m 。
勾股定理的逆定理知识点
要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；。
八年级勾股定理知识点必考题型
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
(2)结论：① 有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
② 有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③ 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
例题：例1:已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
(1) 在 Rt △ ABC 中，/ C=90°① 若 a=5, b=12，贝U c= ________ ;② 若 a : b=3 : 4, c=10 贝U Rt A ABC 的面积是= _______ 。
(2)如果直角三角形的两直角边长分别为n 2-1 , 2n勾股定理知识点及主要题型 【知识点归纳】1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理 2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立 勾股定理 勾股定理的逆定理勾股定理的应用 1、 勾股数的应用2、 判断三角形的形状3、 求最大、最小角的问题 I 1面积问题 2、 求长度问题 3、最短距离问题」4、航海问题 5、 网格问题 6、 图形问题 考点一：勾股定理(1 )对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a 、b ，斜边为c ,那么一定有a 2b 2(n>1),那么它的斜边长是(2 2 2C. c b = aD.以上都有可能(4)已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )A 、25B 、14C 、7D 、7 或 25例2:已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
(1) 直角三角形两直角边长分别为 __________ 5和12，则它斜边上的高为。
(2) 已知 Rt △ ABC 中，/ C=90 °，若 a+b=14cm , c=10cm ，贝U Rt △ ABC 的面积是( )A 、24 cm 2B 、36 cm 2c 、48 cm 2D 、60 cm 2(3)已知x 、y 为正数，且|X 2-4I + (y 2-3) 2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三 角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为()A 、 5B 、 25C 、 7D 、 15考点二：勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a,b,c 有关系，a 2 • b 2二c 2,那么这个三角 形是直角三角形。
勾股定理逆定理典型例题
勾股定理逆定理典型例题
勾股定理逆定理是指如果一个直角三角形的斜边长为 a，两条直角边长分别为 b 和 c，那么有:a2 = b2 + c2。
下面是一些勾股定理逆定理的典型例题:
1. 已知直角三角形 ABC 的斜边长为 a，求其他两条直角边的长度 b 和 c。
解：由勾股定理可得:a2 = b2 + c2。
代入已知条件 a = BC，则b2 = a2 - c2 = (BC)2 - c2，即 b2 = BC2 - c2。
同理可求出 c = (BC)2 - a2。
2. 已知直角三角形 ABC 的三条边长，求斜边长 a。
解：由勾股定理可得:a2 = b2 + c2。
代入已知条件，则 b2 + c2 = a2。
因此，a = b2 + c2 - 2bc = (b + c)2 - 2bc。
3. 已知直角三角形 ABC 的两条直角边长分别为 b 和 c，求斜边长 a。
解：由勾股定理可得:a2 = b2 + c2。
代入已知条件 a2 = (b + c)2 - 2bc = (2bc + b + c)2 - 2bc = 2(b2 + c2) - 2bc = 2b2 + 2c2 - 2bc。
因此，a = 2b2 + 2c2 - 2bc。
4. 已知直角三角形 ABC 的斜边长 a，求其他两条直角边的长度
b 和 c。
解：由勾股定理可得:a2 = b2 + c2。
代入已知条件 a = BC，则b2 = a2 - c2 = (BC)2 - c2，即 b2 = BC2 - c2。
同理可求出 c = (BC)2 - a2。
(完整版)八年级勾股定理题型总结
《勾股定理》典型例题解析一、知识重点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：假如直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理假如三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且知足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意办理好以下几个重点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②知足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③获得的结论：这个三角形是直角三角形，而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数知足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数一定是正整数，不可以是分数或小数。
②一组勾股数扩大同样的正整数倍后，还是勾股数。
常有勾股数有：（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 )( 7，24， 25 ) ( 8，15， 17 )(9 ， 12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依照是两点之间线段最短。
二、考点解析考点一：利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积：（1）暗影部分是正方形；（ 2）暗影部分是长方形；（ 3）暗影部分是半圆．2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，尝试究三个半圆的面积之间的关系．3、以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S 3S 1S 24、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
AB C a b c 弦股勾A BD 5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析
初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题及解析副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共73小题，共219.0分）1.如图所示，被纸板遮住的三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上三种情况都有可能【答案】D【解析】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角．故选D．三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，解题的关键是熟记三角形内角和定理．2.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（）A. π-6B. πC. π-3D. +π【答案】B【解析】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积=△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积-△ABC的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积==π，故选：B．根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．3.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键.移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解. 【解答】解：移项得，a2c2-b2c2-a4+b4=0，c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0，（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，所以，a2-b2=0或c2-a2-b2=0，即a=b或a2+b2=c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形.故选C.4.一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为( ).A. 10B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了三角形面积，直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理，解答此题的关键是根据三角形的三边的长，利用勾股定理逆定理求证该三角形为直角三角形．根据三角形的三边的长，利用勾股定理逆定理求证该三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式得出BD•AC=AB•BC，即可求得答案.【解答】解：已知三角形的三边分别是BC=15，AB=20，AC=25，BD是AC上的高，∵BC=15，AB=20，AC=25，∴AC2=AB2+BC2，∴三角形ABC为直角三角形，∵BD是AC上的高，∴BD•AC=AB•BC，∴BD=12．故选B.5.下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A. 2，3，4B. 3，4，5C. 6，8，12D.【答案】B【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；B、42+32=572，故是直角三角形，故此选项正确；初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误；D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项错误．故选：B．6.下列以a，b，c为边的三角形，不是直角三角形的是（）A. a＝1，b＝1，B. a＝1，，c＝2C. a＝3，b＝4，c＝5D. a＝2，b＝2，c＝3【答案】D【解析】解：A、∵12+12=（）2，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵12+（）2=22，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵32+42=52，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵22+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故此选项符合题意．故选：D．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．7.下列给定的三条线段中，不能组成直角三角形的是（）A. 9，12，15B. 0.5，1.2，1.3C. 7，8，9D. 7，24，25【答案】C【解析】解：A、92+122=152，故是直角三角形，故不符合题意；B、（0.5）2+（1.2）2=（1.3）2，故是直角三角形，故不符合题意；C、72+82≠92，故不是直角三角形，故符合题意；D、72+242=252，故是直角三角形，故不符合题意．故选：C．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8.如图△ABC，BC=6，AC=8，AB=10，则点B到AC的距离是（）A. 6B. 7C. 8D. 10【答案】A【解析】解：∵BC2+AC2=62+82=100，AB2=102=100，∴BC2+AC2=AB2，根据勾股定理逆定理得，△ABC是直角三角形，∠C=90°，所以，点B到AC的距离是6．故选：A．利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，∠C=90°，再根据点到直线的距离的定义解答．本题考查了勾股定理逆定理，点到直线的距离的定义，熟记定理并判断出三角形是直角三角形是解题的关键．9.如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形，则使△ABC为直角三角形的概率是：．故选：B．由取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．此题主要考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10.如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况．以AB为直角边有2个，以AB为斜边有2个，共4个．【解答】解：如图所示：以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C共有4个，故选B．11.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a-b）=c2，则（）A. ∠A为直角B. ∠C为直角C. ∠B为直角D. 不是直角三角形【答案】A【解析】解：∵（a+b）（a-b）=c2，∴a2-b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析∴∠A为直角．故选：A．先把等式化为a2-b2=c2的形式，再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状，进而可得出结论．本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．12.如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形ABC，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：A、三角形各边长为、、，（）2+（）2＜（）2，故该三角形不是直角三角形；B、由图可知该三角形为直角三角形；C、各边长、、，（）2+（）2=（）2，故该三角形为直角三角形；D、各边长、2、5，（）2+（2）2=（5）2，故该三角形为直角三角形．故选：A．由图可知B为直角三角形,分别求A、C、D三个选项中各边长，根据勾股定理的逆定理可以判定C、D中三角形为直角三角形，A不是直角三角形，即可解题．本题中考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求证B、C、D选项中三角形是直角三角形是解题的关键．13.下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠C=90°，③AC：BC：AB=3：4：5，④∠A：∠B：∠C=3：4：5．⑤a2=（b+c）（b-c）中，能确定△ABC是直角三角形的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】解：①∠A+∠B=∠C时，∠C=90°，是直角三角形；②∠C=90°，是直角三角形；③AC：BC：AB=3：4：5，∴32+42=52，是直角三角形；④∠A：∠B：∠C=3：4：5时，∠C=180°×＜90°，是锐角三角形；⑤a2=（b+c）（b-c），a2=b2-c2，是直角三角形．故能确定△ABC是直角三角形的有4个．故选：C．分别求出最大的角的度数，然后根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．本题考查了直角三角形的性质，关键是掌握勾股定理，以及三角形内角和定理．14.以下各组线段为边不能组成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. 6，8，10C. 5，12，13D. 8，15，20【答案】D【解析】解：A、∵32+42=52，∴能构成直角三角形，故本选项错误；B、∵62+82=102，∴能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵82+152≠202，∴不能构成直角三角形，故本选项正确．故选：D．根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．15.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A. b2=c2-a2B. a：b：c=3：4：5C. ∠C=∠A-∠BD. ∠A：∠B：∠C=3：4：5【答案】D【解析】解：A、b2=c2-a2，a2+b2=c2，故能组成直角三角形，不符合题意；B、32+42=52，故能组成直角三角形，不符合题意；C、∠C=∠A-∠B，∠A=∠B+∠C，故能组成直角三角形，不符合题意；D、∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠C=180°×=75°，故不能组成直角三角形，符合题意．故选：D．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．16.三角形的三边长a，b，c满足(a+b)2—c2 =2ab,则此三角形是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】A【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若是两边的平方和等于另一个边的平方，那么这个三角形是直角三角形．因为a、b、c，为三角形的三边长，可化简：（a+b）2-c2=2ab，得到结论．【解答】解：∵（a+b）2-c2=2ab，∴a2+2ab+b2-c2=2ab ,∴a2+b2=c2．所以为直角三角形.故选A.17.下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A-∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=5：12：13；④△ABC中，三边长分别为，其中，直角三角形的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：①△ABC中，∠C=∠A-∠B，即∠C+∠B=∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，故①正确；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，∵∠A+∠B+∠C=180°，初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故②正确；③∵△ABC中，a：b：c=5：12：13，∴a2+b2=c2，即△ABC是直角三角形，故③正确；④∵△ABC中，三边长分别为，∴（）2+（）2≠（）2，即△ABC不是直角三角形，故④错误；即正确的个数是3个，故选：C．根据三角形内角和定理即可判断②；根据勾股定理的逆定理即可判断③④．本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．18.如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．过C作CD⊥AB于D，依据AB=6，AC=8，可得CD≤8，进而得到当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC 的面积最大．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB=6，AC=8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC的面积最大，∴BC==10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，故选C．19.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中是直角三角形的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】解：∵四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，∴可以组成三角形的有：5cm、8cm、12cm；5cm、12cm、13cm；8cm、12cm、13cm．要组成直角三角形，根据勾股定理两边的平方和等于第三边的平方，则只有5cm、12cm、13cm的一组．∴有1个直角三角形．故选：A．要组成三角形，由三角形的边长关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据直角三角形的性质，两个直角边的平方和等于斜边的平方，从四个数中可以得出5cm、12cm、13cm可以满足要求，其中5cm、12cm为直角边，13cm为斜边．本题考查了勾股定理逆定理的运用以及三角形的三边关系，两边的平方和等于第三边的平方．属于比较简单的题目．20.下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（）A. 1，2，2B. 1，1，C. 4，5，6D. 1，，2【答案】D【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．解答此题根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可.【解答】解：A.∵12+22=5≠22，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；B.∵12+12=2≠（）2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；C.∵42+52=41≠62，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；D.∵12+（）2=4=22，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项正确．故选D.21.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则满足下列条件但不是直角三角形的是（）A. a2-c2=b2B. a=n2-1，b=2n，c=n2+1 （n＞1）C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5D. ∠A=∠B=∠C【答案】C【解析】解：A、a2-c2=b2，那么a2=b2+c2，故△ABC是直角三角形；故不符合题意；B、∵a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2=c2，故△ABC是直角三角形；故不符合题意；C、∠A：∠B：∠C=3：4：5，故△ABC不是直角三角形；故符合题意；D、∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠A+2∠A=180°，∴∠A=45°，初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析∴∠C=90°，故△ABC是直角三角形；故不符合题意；故选：C．运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或两边的平方和等于第三条边的平方，也可得出它是直角三角形．分别判定即可．此题主要考查了直角三角形的判定方法，勾股定理逆定理的实际运用，灵活的应用此定理是解决问题的关键．22.以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（）A. a=2，b=3，c=4B. a=1，b=，c=2C. a=4，b=5，c=6D. a=2，b=2，c=【答案】B【解析】解：A、32+22≠42，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；B、12+（）2=22，故是直角三角形，故本选项符合题意；C、42+52≠62，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；D、22+22≠（）2，故不是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查了勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．23.如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，连接AB，BC，CA，则∠ACB的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】B【解析】解：根据勾股定理可以得到：AC=AB=，BC=，∵，即AC2+AB2=BC2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ACB=45°．故选：B．分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC 的度数．本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．24.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解.【解答】解：A.∵a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理∠C=90°，是直角三角形，故本选项错误；B.∵（3k）2+（4k）2=25k2=（5k）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；C.∵∠C=∠A-∠B，∴∠C+∠B=∠A，∴∠A=90°，是直角三角形，故本选项错误；D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴最大的角∠C=180°×＜90°，是锐角三角形，故本选项正确.故选D.25.下列给定的三条线段中，不能组成直角三角形的是（）A. 9，12，15B. ，，C. 7，8，9D. 7，24，25【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.【解答】解：A.92+122=152，故是直角三角形，故不符合题意；B.（0.5）2+（1.2）2=（1.3）2，故是直角三角形，故不符合题意；C.72+82≠92，故不是直角三角形，故符合题意；D.72+242=252，故是直角三角形，故不符合题意.故选C.26.若△ABC的三边长a，b，c满足（a -b）（b-c）＝0 ，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰或等边三角形【答案】D【解析】【分析】此题主要考查等腰三角形的判断.根据（a-b）（b-c）=0，可知三边关系，即可判断结果. 【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，又∵（a-b）（b-c）=0，∴a=b或者b=c或者a=b=c，所以三角形是等腰三角形或等边三角形 .故选D.27.五根小木棒，其长度分别为，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.【解答】解：A：152+202≠242，72+242=252，故A错误；B：72+242=252，152+202≠242，故B错误；C：72+242=252，152+202=252，故C正确；D：72+202≠252，152+242≠252，故D错误.故选C.28.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【解答】解：A.由b2-a2=c2得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B.由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C.由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A-∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；D.由∠A：∠B：∠C=3：4：5，及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°，故不是直角三角形．故选D．29.如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为（）A. 6B. 8C. 12D. 14【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，∠C=90°，∴AB==10，由翻折的性质可知：AE=AC=6，CD=DE，∴BE=4，∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+E=BC+BE=8+4=12，故选：C．利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决问题．本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．30.下列各组数不能构成直角三角形的是A. 12，5，13B. 40，9，41C. 7，24，25D. 10，20，16【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的运用，判断三条线段能否构成直角三角形，只需看两条短边的平方和是否等于长边的平方，如果等就是直角三角形，不等就不是直角三角形，解答此题根据勾股定理的逆定理进行判断即可.【解答】解：A.∵52+122=132，∴能构成直角三角形；B.∵402+92=412，∴能构成直角三角形；C.∵72+242=252，∴能构成直角三角形；D.∵102+162≠202，∴不能构成直角三角形．故选D.31.以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（）A. 2，3，4B. 4，4，6C. 6，8，10D. 7，12，13【答案】C【解析】解：A、22+32=13≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误；B、42+42=32≠62，不能构成直角三角形，故本选项错误；C、62+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项正确；D、122+72=193≠132，不能构成直角三角形，故本选项错误；故选：C．只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．32.有四条线段，长度分别是4，6，8，10，从中任取三条能构成直角三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：所有的情况有：4，6，8；4，6，10；4，8，10；6，8，10，共4种，其中能构成三角形的有：4，6，8；6，8，10；4，8，10，共3种，所以从中任取三条能构成直角三角形的概率是；故选：D．找出四条线段任取三条的所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况，即可求出所初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析求的概率．此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．33.若△ABC三边分别是a，b，c，且满足(b－c)(a2＋b2)＝bc2－c3，则△ABC是( )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】略34.下列选项中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A. ∠A+∠B=∠CB. A：∠B：∠C=1：2：3C. ∠A=∠B=2∠CD. AB2+BC2=AC2【答案】C【解析】解：A、正确，因为∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故为直角三角形；B、因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，所以设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，故x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=30°×3=90°，故为直角三角形；C、因为∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠A=∠B=72°，∠C=36°，故此三角形是锐角三角形，错误；D、因为AB2+BC2=AC2，故为直角三角形；故选：C．A、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C的值；B、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；C、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠A、∠B、∠C的值；D、根据勾股定理的逆定理进行判定即可．此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．35.在下列条件中：，，，④,⑤中，能确定是直角三角形的条件有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出每种情况的最大角的度数是解此题的关键，题目比较好，难度适中．根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，再根据已知的条件逐个求出∠C的度数，即可得出答案．【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故①正确；②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=×180°=90°，∴△ABC是直角三角形，故②正确；③∵∠A=90°-∠B，∴∠A+∠B=90°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故③正确；④∵∠A=∠B=∠C，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，∴x+2x+3x=180°，∴x=30º，3x=90º，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故④正确，⑤∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴5∠C=180°∴∠C=36°∴∠A=∠B=72°∴△ABC不是直角三角形，∴⑤错误.综上所述①②③④4个全部符合题意．故选D．36.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=900－∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】略37.下列说法中：①如果∠A+∠B﹣∠C＝0，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C＝5：12：13，则△ABC是直角三角形；③如果三角形三边之比为，则△ABC为直角三角形；④如果三角形三边长分别是n2﹣4、4n、n2+4（n＞2），则△ABC是直角三角形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理.利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理逐项进行判断，从而得到答案．【解答】解：①符合题意，由三角形内角和定理可求出∠C为90度；初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析②不符合题意，根据三角形的内角和定理可以求出三角形的三个内角分别为30°，72°，78°，不是直角三角形；③符合题意，设三边分别为x，x，x，则有7x2+10x2=17x2，则△ABC为直角三角形；④符合题意，因为，则△ABC是直角三角形．所以正确的有①③④．故选C．38.如图，四边形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积为（）A. 6cm2B. 30cm2C. 24cm2D. 36cm2【答案】C【解析】解：连接AC，∵∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，∴AC=5cm，∵CD=12cm，DA=13cm，AC2+CD2=52+122=169=132=DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC=AC×CD-AB×BC=×5×12-×4×3=30-6=24（cm2）．故四边形ABCD的面积为24cm2．故选：C．连接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的长，运用勾股定理可求出AC的长，在△ADC 中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD 的面积为Rt△ACD与Rt△ABC的面积之差．本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出△ACD的形状是解答此题的关键．39.王老师给出了下列三条线段的长度，其中能首尾相接构成直角三角形的是（）A. 1，2，3B.C. 6，8，9D. 5，12，13【答案】D【解析】解：A、由22+12=5≠32，故本选项错误；B、由（）2+（）2=7≠（）2，故本选项错误；C、由62+82=100≠92，故本选项错误；D、由52+122=169=132，故本项正确．故选：D．根据三边的长，运用勾股定理的逆定理进行分析解答即可．本题主要考查勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．40.图中三角形的个数是( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形的定义,根据图形找出其中三角形即可得结果.【解答】解：图中三角形有ΔABF、ΔADF、ΔCDF、ΔAEC、ΔACD、ΔABD、ΔAED、ΔBDE，共8个.故选C.41.在下列几组数中，能作为直角三角形三边的是（）.A. 0.9，1.6，2.5B. ，，C. 32，42，52D. ，，【答案】D【解析】解：A、0.92+1.62≠2.52，不符合勾股定理的逆定理，故选项错误；B、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故选项错误；C、（32）2+（42）2≠（52）2，不符合勾股定理的逆定理，故选项错误；D、（）2+（）2=（）2，符合勾股定理的逆定理，故选项正确．故选D．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．42.给出下列四个说法：①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2=c2；④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④【答案】C【解析】【分析】此题考查了勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：①由于0.32+0.42=0.52，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故①说法错误；②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2=c2，故③说法正确；④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，故④说法正确．故选：C．43.已知△ABC，三边长AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，则最长边上的高是（）A. 48cmB. 4.8cmC. 0.48cmD. 5cm【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的面积，是基础知识要熟练掌握．勾股的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形. 首先根据勾股定理的逆定理得出斜边为AB，再利用“面积法”来求AB边上的高.【解答】解：∵Rt△ABC的三边AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，∴AB2=AC2+BC2，∠C=90°，，∴AB边上的高.故选B.44.线段BC上有3个点P1、P2、P3，线段BC外有一点A，把A和B、P1、P2、P3、C连接起来，可以得到的三角形个数为()A. 8个B. 10个C. 12个D. 20个【答案】B【解析】解：从5个点中，任意选2个点组合，显然有10种情况．故选B．45.将下列各组数据中的三个数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是( )。
八年级数学勾股定理经典题型
八年级数学勾股定理经典题型摘要：1.勾股定理的定义与应用2.直角三角形的判定与性质3.勾股定理的逆定理4.经典题型及解题方法正文：一、勾股定理的定义与应用勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边上的两个边（勾）的平方和等于斜边（股）的平方。
这个定理在我国古代称为“勾三股四弦五”，是数学中极为重要的基本定理之一。
在解决许多实际问题和几何题目时，勾股定理都发挥着关键性的作用。
二、直角三角形的判定与性质直角三角形是指其中一个角为90 度的三角形。
要判断一个三角形是否为直角三角形，可以利用勾股定理的逆定理。
逆定理指出：如果一个三角形的三边长a、b、c 满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形就是一个直角三角形。
直角三角形的性质包括：直角三角形的两条直角边的长度和等于斜边的长度；直角三角形的斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边的长度。
三、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是指：若一个三角形的三边长a、b、c 满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是一个直角三角形。
逆定理为我们判断一个三角形是否为直角三角形提供了简便方法，同时也让我们更加深入地理解了勾股定理的本质。
四、经典题型及解题方法在解决勾股定理相关的题目时，我们需要熟练掌握勾股定理及其逆定理，灵活运用直角三角形的性质。
以下是一些常见的经典题型及解题方法：1.已知直角三角形的两条直角边长分别为3 和4，求斜边长。
解：根据勾股定理，斜边长c = √(3^2 + 4^2) = 5。
2.已知直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边长。
解：根据勾股定理，另一条直角边长b = √(10^2 - 6^2) = 8。
3.已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，证明这个三角形是直角三角形。
解：根据勾股定理的逆定理，3^2 + 4^2 = 5^2，因此这个三角形是直角三角形。
通过以上例题，我们可以发现勾股定理在解决实际问题和几何题目中的重要性。
勾股定理及其逆定理小结
勾股定理及其逆定理小结一、知识要点回顾 1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形：a 2= c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2+ b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①、已知的条件：某三角形的三条边的长度.②、满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③、得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④、如果不满足条件（2），就说明这个三角形不是直角三角形。
二、考点剖析1、应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例1、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，则cm ．2， 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 例2、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．3，应用勾股定理解决勾股树问题例3，如图6所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是：A．13 B．26 C．47 D．944，应用勾股定理解决阴影面积问题例4，已知：如图7所示，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为．5，应用勾股定理解决数学风车问题例5、如图8中，图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。
在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。
勾股定理逆定理典型例题及知识点
y
A
P B
Dx
Q
C
解题思路:计算判断，是否为直角三角形； 动点：分类讨论，点 P 在 AB 上，点 Q 在 CD 上，Q 点在 BC 上，Q 点在 BD 上，分别
计算面积，面积的求法可以用割补法，面积与 t 函数图像如下图，函数图像 4 段，说明 有 4 个函数关系。
直角三角形的存在，题目中隐含 30°的三角形，可以用几何来计算。
思考方式三：在 BA 上截取 BG=PA，连接 CE，同样。
P2 C
A P1
D
G
Q
B
思维方式解决问题路径不同，勾股定理重要的章节，数学思维的培养： 1、 割补法在几何中的应用，割补法的本质就添加辅助线，利用已知条件，解决问题； 2、 旋转，也是解决问题的方法，旋转的本质是图形全等，利用旋转图形全等的性质； 3、 数形结合思维，勾股定理本身就是数形结合，抽象的转化成形象的图形。 4、 建立方程解决问题思维，解决数量关系，未知量和已经量的数量关系，建立方程；勾股
∴AB＝ AC2＋BC2＝ 2AC2＝ 2×（1＋ 3）2＝ 2＋ 6.
EA
A
EA
A
EA
A
EA
A
EA
∵PA＝ 2，
A
EA
∴PB＝ 6.∴AD＝CD＝ A
2
，
A
E
E
6－ 2
∴PD＝AD－PA＝ A
2
.
A
E
E
在 Rt△PCD 中，PC＝ PD2＋CD2＝
6－ 2
6＋ 2
（ 2 ）2＋（ 2 ）2＝2.
DAB 的度数。
D A
B
C
解题思路：勾股定理逆定理，比例方程，连接 AC，可求解。
八下数学勾股定理知识点及常考题型
八下数学勾股定理知识点及常考题型1、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
即：a²+b²＝c²要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一。
其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边；（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。
2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。
运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c²＝a²+b²，则△ABC 是以△C为直角的直角三角形（若c²>a²+b²，则△ABC是以△C为钝角的钝角三角形；若c²<a²+b²，则△ABC为锐角三角形）。
3、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常考题1、用对称法求平面中最短问题如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度．解：如图，连接BD交AC于O，连接ED与AC交于点P，连接已知BD△AC，且BO＝OD，△BP＝PD，则BP＋EP＝ED，此时最短．△AE＝3，AD＝1＋3＝4，由勾股定理得ED2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25＝52△ED＝BP＋EP＝5.2、用平移法求平面中最短问题如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬几厘米？将台阶面展开，连接AB，如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线．△BC＝30×3＋10×3＝120(cm)，AC＝50 cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16 900，△AB＝130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.3、利用勾股定理证明线段之间的平方关系如图，△C＝90°，AM＝CM，MP△AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.证明：如图，连接BM.△PM△AB，△△BMP和△AMP均为直角三角形．△BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得BC2＋CM2＝BM2.△BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又△CM＝AM，△CM2＝AM2＝AP2＋PM2.△BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.△BP2＝BC2＋AP2.。
初中数学知识点总结：勾股定理及其逆定理
知识点总结一、勾股定理：1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：(1)图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;(2)根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
4.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
二、勾股定理的逆定理1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形;(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边;(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。
三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足两个较小面积和等于较大面积。
五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
常见考法(1)直接考查勾股定理及其逆定理;(2)应用勾股定理建立方程;(3)实际问题中应用勾股定理及其逆定理。
勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题)
22+=b c三边长为a90 ADB=︒，AC分析：（1）根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．（2）本题应分两种情况进行讨论：①当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；②当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．解：（1）∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，CD=15，（2）分两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=9，在Rt△ACD中，CD=5，∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；②当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=9，在Rt△ACD中，CD=4，∴BC=9-5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32例6：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，求证：AF⊥EF．思路点拨：要证AF⊥EF，需证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF2+EF2=AF2就可以了．基础练习：若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．B A图33220BAA ．∠A ＝∠B －∠C B ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：2 C ．a ：b ：c ＝4：5：6D ．a 2－c 2＝b26、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c -+-+-=，则三角形的形状是（ ）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形二、填空题7．若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是 .8．若一三角形铁皮余料的三边长为12cm ，16cm ，20cm ，则这块三角形铁皮余料的面积为 cm 2.9.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）； 10.如图1，一根电线杆高8m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m 处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2m （不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）11．一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm ，杯深16cm.今有一根长为22cm 的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的长度为2cm ，则这玻璃杯的形状是 体.12.写出一组全是偶数的勾股数是 .13.如图3：是一个高12cm ，底面半径3cm 的圆柱，在圆柱下底的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 点相对的B 点处的食物，需要沿圆柱侧面爬行的最短路程是____________。
勾股定理知识点总结计划与题型归纳
勾股定理知识点1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 . 即 2 2 2a b c2. 勾股定理逆定理：假定三角形的三边长a,b, c 知足2 2 2a b c ，那么这个三角形是直角三角形 .3. 常有的勾股数： 3,4,5 ；5,12,13 ；7,24,25 ；8,15,17 ；9,12,15.注意：勾股数的随意倍仍是勾股数 .利用勾股定理求直角三角形斜边上的高1．直角三角形的两直角边分别为 5cm，12cm，其斜边上的高为 _ cm___．2．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，A C＝9，B C＝12，那么点 C到 AB的距离是 _ 365__ ．利用勾股定理解决折叠问题1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC＝5 cm，BC＝10 cm，将△ABC15折叠，使点 B与点 A重合，折痕为 DE，那么 CD的长为___4cm ____ ．2．如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，A C＝6，BC＝8，将它的锐角 A 翻折，使得点 A落在 BC边的中点 D处，折痕交 AC边于点 E，交 AB边于点 F，那么 DE的值13为__ __．33．以下列图，在△ ABC中，∠B＝90°，A B＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点 C 与点 A重合，折痕为 DE，那么△ABE的周长为___7____．4．如图，在长方形 ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B与点 D重合，折痕为 EF，那么△ABE的面积为___6cm2 ____．利用勾股定理解决最短路径问题1．如图，一圆柱体的底面周长为 24 cm，高 AB为 5 cm，B C是直径，一只蚂蚁从点 A出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C的最短行程是 ___13 cm ___.2．如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B离点 C的距离为 5，一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点 A爬到点 B，需要爬行的最短距离是 __25 ___. 3．如图，长方体的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm，高为 5 cm，假定一只蚂蚁从点P 开始经过 4 个侧面爬行一圈抵达点 Q，那么蚂蚁爬行的最短路径长为多少？13cm4．如图，圆柱形玻璃杯，高为 12 cm，底面周长为 18 cm，在杯内离杯底 3 cm的点 C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正幸亏杯外壁，离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的点 A处，那么蚂蚁抵达蜂蜜的最短距离的平方是多少？解：如图，将杯子侧面睁开，作 A对于 EF的对称点 A′，连结 A′C即为最短距离．A′C 2＝A′D2＋C D2＝92＋132＝250(cm2) ．1. 如图 5，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，A B＝BC＝C D＝1，OA＝2，那么2OD ＝__7__.2. 一个三角形的三边长之比为 5∶12∶13，它的周长为 60，那么它的面积是 __120_.。
勾股定理逆定理与勾股数(4种题型)
第02讲勾股定理逆定理与勾股数（4种题型）【知识梳理】一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.三、勾股数满足不定方程222x y z +=称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：13、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+（,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；【考点剖析】题型一、勾股定理的逆定理例1、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（2）a ＝43，b ＝1，c ＝34；（3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【变式】发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（）A.1组 B.2组 C.3组 D.4组题型二．勾股数例2．（2022春•铜梁区校级期中）下列四组数中，是勾股数的是（）A ．6，8，10B ．0.3，0.4，0.5C ．，，D ．32，42，52例3．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2﹣1，c ＝m 2+1，那么a ，b ，c 为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数．【变式1】观察下列勾股数3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…；a 、b 、c ．根据你发现的规律，回答下列问题：（1）a＝17时，求b、c的值；（2）a＝2n+1时，求b、c的值．【变式2】已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．题型三、勾股定理逆定理的应用例4．（2022春•汉阴县月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求证AC ⊥CD．例5．古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．（1）你能说说其中的道理吗？（2）仿照上面的方法，你能否只用绳子，设计一种不同于（1）的直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）【变式】如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AB=13，AC=12，点D为ABC外一点，连接BD，CD，测得CD=4，BD=3，求四边形ABDC的面积．例6.如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD ⊥CP，求∠BPC的度数．【变式1】如果△ABC 的三边长a 、b 、c 满足关系式()226018300a b b c +-+-+-=，则△ABC 的形状是．【变式2】如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA，PB，PC，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．题型四、勾股定理逆定理的实际应用例7．（2022春•蚌山区校级期中）龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？例8、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？例9.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm 的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？【过关检测】一．选择题1．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A ．三内角之比为3：4：5B ．三边长的平方之比为1：2：3C ．三边长之比为7：24：25D ．三内角之比为1：2：32．下列条件中，能判断ABC 是直角三角形的有（）①A B C ∠+∠=∠；②A B C ∠-∠=∠；③::2:5:3A B C ∠∠∠=；④23A B C ∠=∠=∠；⑤1123A B C ∠=∠=∠；⑥::3:4:5AB AC BC =．A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3.如图，根据下列条件，不能判断ABD △是直角三角形的是（）A ．20,70DB ∠=︒∠=︒B ．5,12,13AB AD BD ===C ．AC BC DC==D ．3,8B D BAD D ∠=∠∠=∠二．填空题4．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．5．勾股数为一组连续自然数的是．6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为cm 2．7．（2022春•泗水县期中）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为．8．已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是cm2．9．（2022春•孝南区月考）探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：．10．已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝时，∠C＝90°．三．解答题11．如图，在△ABC中，AB＝5，＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．12．已知△ABC中，AB＝AC，BC＝20，D是AB上一点，且CD＝16，BD＝12，（1）求证：CD⊥AB；（2）求三角形ABC的周长．13．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4．（1）∠ADC是直角吗？请说明理由．（2）求DF的长．14．如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，点A，B，C都在格点上，∠BAC是直角吗？请说明理由．。
(完整版)勾股定理及其逆定理复习典型例题
勾股定理及其逆定理复习典型例题1.勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2=c 2） 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
3.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如：C ，但不要认为最大边一定是C ）（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。
（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2<a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为锐角三角形）二、例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，根据题意得： （3x ）2+（4x ）2=202 化简得x 2=16； ∴直角三角形的面积=21×3x ×4x =6x 2=96注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。
例2、等边三角形的边长为2，求它的面积。
解：如图，等边△ABC ，作AD ⊥BC 于D 则：BD=21BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等） ∴BD=1在直角三角形ABD 中AB 2=AD 2+BD 2，即：AD 2=AB 2－BD 2=4－1=3 ∴AD=3 S △ABC =21BC·AD=3 ABCD注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a ，则其面积为43a 例3、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。
第02讲 勾股定理逆定理(3个知识点+5类热点题型+习题巩固)(解析版)
第02讲勾股定理逆定理课程标准学习目标①勾股定理逆定理②勾股数③勾股定理的应用1.掌握勾股定理的逆定理内容，并能够熟练的运用它来判断直角三角形。
2.掌握勾股数并能够判断勾股数。
3.能够在各类实际问题中熟练应用勾股定理。
知识点01勾股定理逆定理1.勾股定理逆定理内容：在△ABC 中，如果三角形的三边分别是c b a ，，且满足222c b a =+，则该三角形一定是有一个直角三角形且∠C 是直角。
勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。
2.直角三角形的判定①勾股定理逆定理②三角形中有一个角是90°。
③三角形中有两个角之和为90°。
【即学即练1】1．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．1，，D．，3，5【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；D、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．【即学即练2】2．如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．（1）试说明△ABC为直角三角形．（2）求CE的长．【分析】（1）先计算AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，再利用勾股定理的逆定理可得结论；（2）设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．由DE垂直平分AB，可得AE＝BE＝8﹣x．再利用勾股定理建立方程即可．【解答】（1）证明：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形．（2）解：设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝8﹣x．在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解得，所以CE的长为．知识点02勾股数1.勾股数的定义：满足勾股定理：即222cba=+的三个正整数称为勾股数。