最新微分几何答案

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微分几何课后答案

r r r r r r r r r 量，且 r (t ) · n = 0 。两次求微商得 r ' · n = 0 ， r ' ' · n = 0 ，即向量 r ， r ' ， r ' ' r r r r 垂直于同一非零向量 n ，因而共面，即（ r r ' r ' ' ）=0 。 r r r r r r r r r r r r 反之, 若（ r r ' r ' ' ）=0，则有 r × r ' = 0 或 r × r ' ≠ 0 。若 r × r ' = 0 ，由上题
}
1．求圆柱螺线 x =a cos t ， y =a sin t ，
解 r ' ={
r
-a sin t ,a cos t ,b}, r ' ' ={-a cos t ,- a sin t ,0
y − a sin t a cos t − a sin t
r
所以曲线在任意点的密切平面的方程为
x − a cos t − a sin t − a cos t
r r r r | r '×r ' ' | 2a 2 cosh t 1 = r '×r ' ' = a{− sinh t , cosh t ,−1} ，所以 k = r 3 = 3 | r '| 2a cosh 2 t ( 2a cosh t )
29
微分几何主要习题解答
τ=
r r r (r ' , r ' ' , r ' ' ' ) a2 1 = = r r 2 4 2 (r '×r ' ' ) 2a cosh t 2a cosh 2 t

最新微分几何陈维桓习题答案3

微分几何陈维桓习题答案3习题答案3p. 148 习题4.11.求下列曲面的第二基本形式：(1)√旋转椭球面：«Skip Record If...»；(2) 旋转椭圆抛物面：«Skip Record If...»；(3) 双曲抛物面：«Skip Record If...»；(4)√一般柱面：«Skip Record If...»；(5)√劈锥曲面：«Skip Record If...».解. (1) «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...».又«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».(2) «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».(3) «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».不妨设«Skip Record If...».则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».(4) «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».(5) «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».□2.求下列曲面的第二基本形式：(3) «Skip Record If...»，«Skip Record If...»是常数.解.由条件知在曲面上«Skip Record If...»，并且«Skip Record If...»，即 «Skip Record If...». (1) 因此«Skip Record If...»是曲面的法向量. 不妨设«Skip Record If...». 则单位法向量«Skip Record If...».于是«Skip Record If...»由于«Skip Record If...»，故曲面的第二基本形式为«Skip Record If...».如果由(1)解出«Skip Record If...»，再代入上式可得«Skip Record If...»«Skip Record If...».□3. 求曲线«Skip Record If...»的切线曲面的第二基本形式，其中s是该曲线的弧长参数.解.设正则曲线«Skip Record If...»的曲率和挠率分别为«Skip Record If...»，Frenet 标架为«Skip Record If...»，它的切线曲面的参数方程为«Skip Record If...».则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».□6. 证明：如果在可展曲面«Skip Record If...»上存在两个不同的单参数直线族，则«Skip Record If...»是平面.证明. 设可展曲面«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...». 则沿着直母线«Skip Record If...»的单位法向量«Skip Record If...»是常向量，即«Skip Record If...». 所以第二类基本量中«Skip Record If...».剩下的只要证明«Skip Record If...»，从而由定理1.1，«Skip Record If...»是平面.为此，设在«Skip Record If...»上任一固定点«Skip Record If...»，异于直母线的另一族直线中过该点的直线«Skip Record If...»的弧长参数方程为«Skip Record If...»，并且«Skip Record If...». 则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的单位切向量是«Skip Record If...»，它不能与«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的直母线的切向量«Skip Record If...»平行，故«Skip Record If...».另一方面，因为«Skip Record If...»是直线，有«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».所以«Skip Record If...».于是在«Skip Record If...»点成立«Skip Record If...».因为«Skip Record If...»，可得«Skip Record If...». 由于点«Skip Record If...»是任意的，可知«Skip Record If...».□p. 157 习题4.21. 设悬链面的方程是«Skip Record If...»，求它的第一、第二基本形式，并求它在点«Skip Record If...»处沿切向量«Skip Record If...»的法曲率.解. 不妨设«Skip Record If...». 令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1) 悬链面的方程可化为«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...».«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».«Skip Record If...»«Skip Record If...».在点«Skip Record If...»处，切向量«Skip Record If...»中«Skip Record If...»，曲面的法曲率«Skip Record If...». □注. 参数«Skip Record If...»是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».4. 设曲面«Skip Record If...»和曲面«Skip Record If...»的交线为«Skip Record If...». 设p 为曲线«Skip Record If...»上一点，假定曲面«Skip Record If...»和曲面«Skip Record If...»在点p 处沿曲线«Skip Record If...»的切方向的法曲率分别«Skip Record If...»是和«Skip Record If...». 如果曲面«Skip Record If...»和曲面«Skip Record If...»在点p 处的法向量的夹角是«Skip Record If...»，求曲线«Skip Record If...»在点p 处的曲率«Skip Record If...».解. 设在p 点C 的Frenet 标架为«Skip Record If...»，曲率为«Skip Record If...»，曲面«Skip Record If...»的单位法向量分别为«Skip Record If...». 因为«Skip Record If...»均垂直于C 的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着«Skip Record If...»由«Skip Record If...»到«Skip Record If...»的有向角为«Skip Record If...»，到«Skip Record If...»的有向角为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 令«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 则«Skip Record If...»，«Skip Record If...».于是«Skip Record If...»，«Skip Record If...».当«Skip Record If...»时，只有种情况：(1)«Skip Record If...»，即«Skip Record If...». 此时«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...». 则 «Skip Record If...»βγ1n 2n ϕθβγ1n 2n ϕθ«Skip Record If...». (1)因此«Skip Record If...».化简得«Skip Record If...». 因此«Skip Record If...».(2)«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»或«Skip Record If...». 此时«Skip Record If...»，«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...». 则同理有«Skip Record If...»，(2)«Skip Record If...».当«Skip Record If...»(或«Skip Record If...»)时，有«Skip Record If...»(或«Skip Record If...»)，从而«Skip Record If...»(或«Skip Record If...»). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定«Skip Record If...». □7. 设«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»上的一条非直线的渐近线，其参数方程为«Skip Record If...»，其中s是弧长参数. 证明：«Skip Record If...»的挠率是«Skip Record If...».证明.设曲面«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...»，单位法向量为«Skip Record If...». 设C的弧长参数方程为«Skip Record If...»，Frenet 标架为«Skip Record If...»，曲率为«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上的渐近线，根据定理2.4，有«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 根据Frenet公式，«Skip Record If...».利用Lagrange恒等式，可得«Skip Record If...».将«Skip Record If...»，«Skip Record If...»代入上式，得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...». □p. 166 习题4.31. 求抛物面«Skip Record If...»在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»所以在原点处«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».不妨设«Skip Record If...». 因为在原点处«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率.□注.在原点«Skip Record If...»，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是«Skip Record If...».4.证明：曲面«Skip Record If...»上任意一点p的某个邻域内都有正交参数系«Skip Record If...»，使得参数曲线在点p处的切方向是曲面«Skip Record If...»在该点的两个彼此正交的主方向.证明.根据第三章定理4.2，在«Skip Record If...»上任意一点p的某个邻域内都有正交参数系.假设这个正交参数系是«Skip Record If...».如果p点是脐点，则任何方向都是主方向，从而这个正交参数系«Skip Record If...»的参数曲线在点p处的切方向是曲面«Skip Record If...»在该点的两个彼此正交的主方向.设p点不是脐点. 则在点p处有两个单位正交的主向量«Skip Record If...».设«Skip Record If...».作参数变换«Skip Record If...»，«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»，上述参数变换是可允许的. 在新参数下，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».特别在p点，有«Skip Record If...»，是曲面«Skip Record If...»在p点的两个彼此正交的单位主向量.由于«Skip Record If...»，参数系«Skip Record If...»不一定是正交参数，只知道在p点«Skip Record If...».因此还要作一次参数变换，取«Skip Record If...»-曲线及其正交轨线作为参数曲线. 考虑1次微分式«Skip Record If...». 根据常微分方程知识，存在积分因子«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»是一个全微分，即有函数«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».现在作参数变换«Skip Record If...»，«Skip Record If...».则«Skip Record If...»，参数变换是可允许的.在新参数下，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»这说明参数系«Skip Record If...»是正交的.因为在p点，«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»在p点的两个彼此正交的主方向.□5. 设在曲面S的一个固定点p的切方向与一个主方向的夹角为«Skip Record If...»，该切方向所对应的法曲率记为«Skip Record If...»，证明：«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».证明. 根据Euler公式，«Skip Record If...». 所以有«Skip Record If...»«Skip Record If...».□p. 175 习题4.42. 求旋转面«Skip Record If...»的高斯曲率«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为平面曲线«Skip Record If...»的弧长参数.解. «Skip Record If...»，«Skip Record If...»， (1)«Skip Record If...».因为曲面«Skip Record If...»是正则的，所以«Skip Record If...»，不妨设«Skip Record If...». 因为«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的弧长参数，所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»， (2) 其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的相对曲率. 因此曲面的单位法向量为«Skip Record If...».所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (3) 由(1)，(2)和(3)可知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».根据定理4.3，«Skip Record If...»的主曲率为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，Gauss曲率为«Skip Record If...». □4. 求双曲抛物面«Skip Record If...»的Gauss曲率«Skip Record If...»，平均曲率«Skip Record If...»，主曲率«Skip Record If...»和它们所对应的主方向.解.因为«Skip Record If...»， «Skip Record If...».所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».又«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...».于是«Skip Record If...»，«Skip Record If...».因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以主曲率«Skip Record If...»对应的主方向为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».所以«Skip Record If...».同理，另一个主曲率为«Skip Record If...»，对应的主方向为«Skip Record If...». □注.由«Skip Record If...»可知参数曲线网是渐近曲线网，而主方向是渐近方向的二等分角方向，所以主方向«Skip Record If...»和«Skip Record If...»是参数曲线的二等分角轨线方程«Skip Record If...»的两个根. 由此可得求解主曲率的另一方法：将«Skip Record If...»分别代入«Skip Record If...»，即 «Skip Record If...»，得到对应于主方向«Skip Record If...»的主曲率«Skip Record If...»，以及对应于主方向«Skip Record If...»的主曲率«Skip Record If...».6. 在曲面«Skip Record If...»上每一点沿法线截取长度为«Skip Record If...»(足够小的正数)的一段，它们的端点的轨迹构成一个曲面«Skip Record If...»，称为原曲面«Skip Record If...»的平行曲面，其方程是«Skip Record If...»，«Skip Record If...».从点«Skip Record If...»到«Skip Record If...»的对应记为«Skip Record If...».(1) 证明：曲面«Skip Record If...»和曲面«Skip Record If...»在对应点的切平面互相平行；(2) 证明：对应«Skip Record If...»把曲面«Skip Record If...»上的曲率线映为曲面«Skip Record If...»上的曲率线；(3) 证明：曲面«Skip Record If...»和曲面«Skip Record If...»在对应点的Gauss曲率和平均曲率有下列关系：«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明. (1) 因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»， (1) 所以«Skip Record If...».当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...». 因此对每一点«Skip Record If...»，存在该点的邻域«Skip Record If...»，使得当«Skip Record If...»足够小时，«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»是正则曲面.由(1)可见«Skip Record If...»，所以在对应点«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的切平面互相平行.(2)设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上的任意一条曲率线. 则由Rodriques定理，有«Skip Record If...»， (2) 其中«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的主曲率.对应«Skip Record If...»把«Skip Record If...»上的曲率线«Skip Record If...»映为曲面«Skip Record If...»上的曲线«Skip Record If...»，它的方程为«Skip Record If...».因此«Skip Record If...». (3) 上面已经证明了沿着«Skip Record If...»，«Skip Record If...»也是«Skip Record If...»的单位法向量. 结合(2)和(3)可得«Skip Record If...». (4) 根据Rodriques定理，«Skip Record If...»也是«Skip Record If...»上的曲率线.(3) 用«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别表示曲面«Skip Record If...»和«Skip Record If...»上的Weingarten变换. 设«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»在任意一点«Skip Record If...»的两个主曲率，对应于«Skip Record If...»的主方向是«Skip Record If...». 则沿着该切方向，有«Skip Record If...».另一方面，沿着该切方向，有«Skip Record If...».所以在曲面«Skip Record If...»上«Skip Record If...».这说明«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的主方向，对应的主曲率是«Skip Record If...».同理，曲面«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的另一个主曲率是«Skip Record If...».于是在对应点，曲面«Skip Record If...»的Gauss曲率和平均曲率分别为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». □注. 本题的结论是局部的：对每一点«Skip Record If...»，为了保证«Skip Record If...»是正则曲面，只能在该点的某个邻域«Skip Record If...»上，取«Skip Record If...»足够小，才有这些结论.p. 184 习题4.53. 研究习题4.4中第5题的管状曲面上各种类型点的分布情况.解. 管状曲面«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是一条弧长参数曲线，«Skip Record If...»是它的Frenet标架，«Skip Record If...»是一个常数. 设该参数曲线的曲率和挠率分别是«Skip Record If...»和«Skip Record If...».因为«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...».取«Skip Record If...»充分小，使得«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»是正则曲面，单位法向量为«Skip Record If...».于是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»，并且«Skip Record If...»，所以(1) 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，这些点是抛物点. 它们构成两条正则曲线：«Skip Record If...»和«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»，曲面上没有平点.(2) 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，这些点是椭圆点.(3) 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，这些点是双曲点. □p. 190 习题4.62.(1) 证明：«Skip Record If...»是极小曲面，其中«Skip Record If...»是常数. 该曲面称为Scherk曲面.(2) 证明：形如«Skip Record If...»的极小曲面必定是Scherk曲面.(1) 证明. Scherk曲面的参数方程为«Skip Record If...». 故«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».«Skip Record If...».因此«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，Scherk曲面是极小曲面.□(2) 证明.曲面的参数方程为«Skip Record If...».故«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».«Skip Record If...».因此«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».由«Skip Record If...»得到«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».上式可化为«Skip Record If...». (1)由于上式左边是«Skip Record If...»的函数，右边是«Skip Record If...»的函数，故只能是常数.设此常数为«Skip Record If...».当«Skip Record If...»时，由(1)可知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是常数.于是该极小曲面是平面«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...». (不是Scherk曲面)下面设«Skip Record If...».由(1)得«Skip Record If...». 令«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».则有«Skip Record If...».于是«Skip Record If...». 在«Skip Record If...»轴方向作一平移，可设«Skip Record If...». 从而«Skip Record If...»，积分得«Skip Record If...».同理，由«Skip Record If...»可得«Skip Record If...».于是«Skip Record If...».□4. (1) 证明：正螺面«Skip Record If...»是极小曲面.(2) 证明：形如«Skip Record If...»的极小曲面必定是正螺面.(1) 证明. 因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».又«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».因此«Skip Record If...»，正螺面是极小曲面.□(2) 证明.曲面的参数方程为«Skip Record If...».故«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».由«Skip Record If...»得到«Skip Record If...»，[化简：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，]即有«Skip Record If...».如果«Skip Record If...»，则«Skip Record If...». 它表示一个平面，不是正螺面.设«Skip Record If...». 则上式可化为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...». 所以«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是积分常数.再积分一次，得«Skip Record If...».通过在«Skip Record If...»轴方向作一平移，不妨设积分常数«Skip Record If...». 于是«Skip Record If...».在«Skip Record If...»平面上取极坐标：«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，即 «Skip Record If...».再次沿«Skip Record If...»轴方向作一平移，就得到曲面的参数方程«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...». 它是正螺面.□6. 推导极小曲面«Skip Record If...»所满足的微分方程«Skip Record If...».解. 曲面的参数方程为«Skip Record If...».故«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».由«Skip Record If...»得到«Skip Record If...». □。

自考微分几何试题及答案

自考微分几何试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在微分几何中，流形的概念是用来描述什么？A. 直线和平面B. 曲线和曲面C. 高维空间中的几何对象D. 抽象的几何结构答案：C2. 欧拉特征数是用来描述哪种几何对象的拓扑性质？A. 直线B. 平面图形C. 三维流形D. 任意维数的流形答案：C3. 下列哪一项不是微分流形的局部坐标图所必须满足的条件？A. 坐标图是同胚映射B. 坐标图的值域是欧几里得空间中的开集C. 坐标图的逆映射是连续的D. 坐标图的逆映射是光滑的答案：C4. 在黎曼几何中，度量张量是用来描述什么？A. 流形的长度和面积B. 流形的拓扑结构C. 流形的曲率D. 流形的向量场答案：C5. 斯托克斯定理在微分几何中是用来计算什么？A. 曲线的长度B. 曲面的面积C. 闭合曲线的线积分D. 闭合曲面的面积积分答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个光滑曲线在微分几何中的切向量场是________。

答案：切向量场7. 微分流形的切空间在每一点的维度等于流形的________。

答案：维度8. 黎曼曲率张量描述了黎曼流形上的________。

答案：曲率9. 一个曲面的高斯曲率是该曲面上的每一个点处的________。

答案：曲率10. 微分几何中的联络是定义在切向量场上的________。

答案：导数三、解答题（共75分）11. （15分）证明在任意维数的欧几里得空间中，任意两点都可以通过一条直线相连。

答案：略12. （20分）给定一个黎曼流形上的两个切向量场X和Y，证明黎曼曲率张量R满足以下对称性：R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0答案：略13. （20分）解释什么是测地线，并证明在黎曼流形上，测地线是使得两点之间的长度局部最短的曲线。

答案：略14. （20分）讨论并证明高斯绝妙定理，即在局部坐标系下，曲面的内蕴几何不依赖于它在欧几里得空间中的嵌入方式。

微分几何答案+(1)

第一章曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t )(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e的长度固定）。

证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t e ，所以 r ×'r = ' （e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e求微商得'r =' e + 'e ，于是r ×'r =2 （e ×'e ）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。

当)(t = 0时，)(t r=0 可与任意方向平行；当0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e= 0），所以'e =0 ，即e为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

证若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r·n = 0 。

微分几何第四版答案

微分几何第四版答案第一部分曲线与曲面的局部微分几何第一章欧氏空间1.1 向量空间1.2 欧氏空间第二章曲线的局部理论2.1 曲线的概念2.2 平面曲线2.3 E的曲线2.4 曲线论基本定理第三章曲面的局部理论3.1 曲面的概念3.2 曲面的第一基本形式3.3 曲面的第二基本形式3.4 法曲率与weingarten变换3.5 主曲率与Gauss曲率3.6 曲面的一些例子第四章标架与曲面论基本定理4.1 活动标架4.2 自然标架的运动方程4.3 曲面的结构方程4.4 曲面的存在惟一性定理4.5 正交活动标架4.6 曲面的结构方程（外微分法）第五章曲面的内蕴几何学5.1 曲面的等距变换5.2 曲面的协变微分5.3 测地曲率与测地线5.4 测地坐标系5.5 Gauss-Bonnet公式5.6 曲面的Laplace算子5.7 Riemann度量第二部分整体微分几何选讲第六章平面曲线的整体性质6.1 平面的闭曲线6.2 平面的凸曲线第七章曲面的若干整体性质7.1 曲面的整体描述7.2 整体的Gauss-Bonnet公式7.3 紧致曲面的Gauss映射7.4 凸曲面7.5 曲面的完备性第八章常Gauss曲率曲面8.1 常正Gauss曲率曲面8.2 常负Gauss曲率曲面与sine-Gordon方程8.3 Hilbert定理8.4 Backlund变换第九章常平均曲率曲面9.1 Hopf微分与Hopf定理9.2 Alexsandrov惟一性定理9.3 附录：常平均曲率环面第十章极小曲面10.1 极小图10.2 极小曲面的weierstrass表示10.3 极小曲面的Gauss映射10.4 面积的变分与稳定极小曲面索引。

微分几何期末复习题答案

微分几何期末复习题答案1. 曲面上的切向量和法向量的定义是什么？答：曲面上的切向量是与曲面在某点相切的向量，而法向量是垂直于该点切平面的向量。

2. 描述高斯曲率和平均曲率的计算方法。

答：高斯曲率是曲面上某点的主曲率的乘积，平均曲率是主曲率的平均值。

3. 什么是黎曼曲率张量？答：黎曼曲率张量是描述流形曲率的数学对象，它通过测量无穷小测地线之间的偏差来定义。

4. 请解释什么是测地线？答：测地线是在曲面或流形上两点间的最短路径，它是连接这两点的局部最小化曲线。

5. 什么是平行移动？答：平行移动是指在曲面或流形上沿着曲线移动一个向量，使得该向量在移动过程中保持不变。

6. 描述Christoffel符号的作用。

答：Christoffel符号用于描述在曲面或流形上如何沿着曲线平行移动向量，它们是黎曼几何中的基本组成部分。

7. 什么是度量张量？答：度量张量是一个对称张量，它定义了曲面或流形上两点间的距离和角度。

8. 请解释什么是联络形式？答：联络形式是描述在曲面或流形上如何平行移动向量的一种数学工具，它们与Christoffel符号紧密相关。

9. 什么是外微分？答：外微分是一种将微分几何中的函数或形式映射到更高阶形式的操作。

10. 描述Hodge星算子的作用。

答：Hodge星算子是一种将微分形式映射到其对偶形式的线性映射，它在微分几何和拓扑学中有着重要应用。

11. 什么是流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子？答：拉普拉斯-贝特拉米算子是定义在流形上的一个微分算子，它推广了欧几里得空间中的拉普拉斯算子。

12. 请解释什么是特征类？答：特征类是拓扑不变量，它们通过将流形上的向量丛与某些代数结构联系起来，提供了关于流形拓扑性质的信息。

13. 描述什么是测地线曲率？答：测地线曲率是描述测地线如何偏离直线的量度，它是衡量流形曲率的一种方式。

14. 什么是全纯曲线？答：全纯曲线是复流形上的一类特殊曲线，它们在复坐标系下保持全纯性。

最新微分几何-陈维桓-习题答案2

习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221vy u v =++，222211u v z u v +-=++，并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得(1)Op tOp t ON '=+-. (1) 由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-，又2()dt t udu vdv =-+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=--+ 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ⎛⎫--'=== ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=----+ 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. (5)因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v=+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=-=-=-<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=-，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫---= ⎪++++++⎝⎭则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v-=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v -++--++∂==>∂+，所以2S 是可定向的. □5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c +-=和双曲抛物面22222x y z a b=-作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++-=，v ∀∈R .由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =-±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =-得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+，(,)(0,2)u v π∈⨯R .(2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =-，则2z u v =. 曲面的参数方程为()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+- (,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+-=-+，2(,)u v ∈R .p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点.证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R -=，,u v D ∀∈. (1)微分可得()0u r r a -=，()0v r r a -=. (2)所以()//u v r a r r -⨯，从而u v r a r r λ-=⨯，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=-⨯. (3)这说明球心a 在它的所有法线上.“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成立，即有u v r a r r λ-=⨯. 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d r a -=，从而(1)式成立，其中0R >(否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “⇒”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=-，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==-⨯，所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行，则()//u v r r k ⨯，从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“⇐” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v ∂∂∂⎛⎫-⨯= ⎪∂∂∂⎝⎭，00(,)u v D ∀∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂，00(,)(,)(,)u v x z u v ∂∂不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ∂≠∂. 通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是(),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ⨯=--. 因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡⨯，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r v f v f v v θθθ=.这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z =绕z 轴旋转而得. □5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e==是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来；(2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角.(1) 解. C 的参数方程为()()),sin(2),),1t tt t r e e et e ==.C 的切向量为()()cos(),1),0(2,)(2,).t t tttu v r e t e e r t e '=+-=+(2) 证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =-=，在曲线C 上每一点t 处，()(2,)sin(2),cos(2),0t t u r t e e t t =-，()(2,)cos(2),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以2221cos (,)2t u u tur r e r r r e r '⋅'∠==='，(,)4u r r π'∠=； 21cos (,)222t v v t v r r e r r r e r '⋅'∠==='(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.3 2. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭. 求它的第一基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =-+，2u t ut =-，2v t vt =-， (,,)(1,0,0)u u r at u v a at =-+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =-+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++，222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =⋅=++++=， ()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++，从而2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交⇔函数,,P Q R 满足20ER FQ GP -+=，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dv B A =-，22::u v B A δδ=-. (4) 这两个切方向彼此正交⇔()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18))12121212()0E B B F B A A B G A A ⇔-++= (由(4)式) 20ER FQ GP ⇔-+=. (由(3)式) □ 8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v -=的交角；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三角形的面积.解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =-；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切方向,dr r δ满足22221cos (,)1dr ra dr r a dr r du δδδ⋅-∠===±+. 于是它们的交角为221arccos 1a a -+，或221arccos 1a a -+.(2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a -.因为是计算内角，在O 点20,0du avdv dv ==>. 同理，0,0u v =>，所以内角0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ⋅∠===. 在B 点220du avdv adv =-=->，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ⋅∠===所以0O ∠=，arccos 2/3A B ∠=∠=. 曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为12()()C L C a L C ===⎰⎰，3()2a C aL C du a -===⎰⎰.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =-，3:1C v =，故112712260()(2)()a C L C a v dv a L C ===+==⎰⎰⎰，/23/2()a C a L C du a -===⎰⎰.(3) 因为d σ=，所以曲边三角形的面积112avAOBA d σ∆-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(12200l n avu a a dv ⎡=+⎢⎣⎰(120l n a v d v⎡=+⎢⎣⎰(()(13/222213ln 1ln 1.a v v v a ⎡⎤⎡=+-+=++⎢⎥⎣⎣⎦ p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s =以弧长s 为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s 的Frenet 标架是{};,,r αβγ. 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s t s α=+.由s R t ακβ=+，t R α=可得它的第一基本形式2222I (1())2t s ds dsdt dt κ=+++. (1)直母线(即t -曲线)0s δ=的正交轨线的微分方程为0ds dt +=，即()0d s t +=. 为此，作参数变换u s =，v s t =+. 则逆变换为s u =，t v u =-，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u u α=+-.在新参数下，(,)()()()()()()()()u R u v u u v u u u v u u u αακβκβ=-+-=-，(,)()v R u v u α=. 第一基本形式化为2222I ()()v u u du dv κ=-+.所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将s u =，t v u =-直接代入(1)式得到上式：22222222I [1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dv κκ=+-+-+-=-+. 3. 求曲线(cos sin ,sin cos ,)r v u k u v u k u ku =-+的参数曲线的正交轨线，其中0k >是常数.解. (sin cos ,cos sin ,)u r v u k u v u k u k =---，(cos ,sin ,0)v r u u =. 第一基本形式为2222I (2)v k du kdudv dv =+-+.u -曲线0v δ=的正交轨线的微分方程为0Edu Fdv +=，即22(2)0v k du kdv +-=. 解这个微分方程：222kdv du d v k ===+，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =-+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =-+. p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈⨯R与正螺面(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈⨯R之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=-+++ 2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺面的第一基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =-++++=++2222()a v du ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 对正螺面作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ∂=-≠∂，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ===，正螺面的第一基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □ p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) ()2234233,2,v u v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =-++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+-； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线面. (2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+-，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲面.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =-.则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =-''.当0ab ≠时，它是马鞍面，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲面. 当0a =或0b =时，它是平面，所以是可展曲面. 当0a =且0b =时，它不是正则曲面.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v u l v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲面. □2. 考虑双参数直线族x uz v =+，33u y vz =+，其中,u v 是直线族的参数.(1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x v y u zL u v u v --==.设所求的函数关系为()v f u =. 则得到一个单参数直线族{}(,())u L L u f u =，它们构成的直纹面S 的方程为()()3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u =+.于是S 是可展曲面22220()1210f u u f u f u f u c u f f '''⇔=⇔=⇔=±⇔=±+'，其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22u v c =±+.(2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u =+，其中()()3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ==，2()(/2)f u u c =±+.由于()()()0,1,l u l u f uf f '''⨯=≠--，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u =使得()()()a u t u l u c +=，其中c 为常向量. 于是()20,,a t l tl f ut t u f t t f t '''=++='''''++++，从而0t '=，0t t =是常数. 由此得00u t ±+=，矛盾.因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ε=+，其中1ε=±. 则()2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u εεεε''===. 取新的准线23()()(),,26u u b u a u ul u c cu u εεεε⎛⎫=-=-+--- ⎪⎝⎭.则22()(),,,,122u u b u l u u c u c εεεεεε⎛⎫⎛⎫'==-=-----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是S 的参数方程为()()()()()()()()r b u u t l u b u u t b u b u t b u εεε''=++=-+=+，其中(,)(,)u t u u t ε=--是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ.它的主法线族生成的直纹面是1:()()S r a s t s β=+. 因为()()()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ταβκατγββ==≠-+，所以1S 不是可展曲面.同理，由()()()0(),(),()(),(),()()s a s s s s s s s τγγαγτβ==≠-可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S r a s t s γ=+不是可展曲面. □。

微分几何答案(第二章)

第二章曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

微分几何试题及答案

微分几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个概念不是微分几何中的概念？A. 流形B. 向量场C. 拓扑空间D. 黎曼曲率答案：C2. 在微分几何中，一个流形的局部坐标系是：A. 一组线性无关的向量B. 一组线性无关的函数C. 一组局部坐标函数D. 一组局部坐标点答案：C3. 微分几何中，一个向量场在点p的切空间中的表示为：A. 一个点B. 一个函数C. 一个向量D. 一个切平面答案：C4. 黎曼曲率张量R^i_jkl在微分几何中表示：A. 一个流形的局部性质B. 一个流形的全局性质C. 一个向量场的局部性质D. 一个向量场的全局性质答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个n维流形上的切向量空间的维数是______。

答案：n2. 微分几何中，联络（connection）是定义在切空间上的一个______。

答案：线性映射3. 黎曼度量g_ij定义了一个流形上的______。

答案：长度和角度4. 一个流形的测地线是该流形上使得______取极值的曲线。

答案：弧长三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述流形的概念。

答案：流形是一个拓扑空间，每一点都有一个邻域，这些邻域与欧几里得空间中的开集同胚。

2. 什么是联络形式？答案：联络形式是定义在切空间上的一组线性映射，它们满足特定的性质，如与坐标无关，并且可以用于描述流形上的平行性。

3. 黎曼曲率张量在广义相对论中有什么物理意义？答案：黎曼曲率张量在广义相对论中描述了时空的曲率，它与引力场的强度和方向有关。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个二维流形上的度量张量g_ij，其中g_11 = 1, g_22 = 1, g_12 = g_21 = 0，计算该流形上的Christoffel符号。

答案：Christoffel符号为Γ^1_11 = 0, Γ^1_12 = 0, Γ^1_21 = 0, Γ^1_22 = 0, Γ^2_11 = 0, Γ^2_12 = 0, Γ^2_21 = 0, Γ^2_22 = 0。

微分几何习题及答案解析 pdf

3．证明圆柱螺线 x =a cos t ， y =a sin t ， z = b t 的主法线和 z 轴垂直相交。
证
r ' ={
-a sin t ,a cos t ,b},
r'' ={-a cos t ,-
a sin t ,0
}
，由 r ' ⊥ r '' 知 r '' 为
主法线的方向向量，而 r ' ' ⋅ k = 0 所以主法线与 z 轴垂直；主法线方程是
微分几何主要习题解答
第一章曲线论
§2 向量函数
5.
向量函数
r (t
)
具有固定方向的充要条件是
r (t)
×
r'
(t
)
=
0。
分析：一个向量函数
r (t
)
一般可以写成
r (t)
=
λ (t )
e (t )
的形式，其中
e (t )
为单位向
量函数，λ
(t)
为数量函数，那么
r (t
)
具有固定方向的充要条件是
，cosα sint-
sinα cost
，tsinα
+
cosα }
对于新曲线 r ' ={-cos α sint+ sin α cost ， cos α cost+ sin α sint ，
sinα }={sin(α -t), cos(α -t), sinα } , r ' ' ={ -cos(α -t), sin(α -t),0} ,
。
8．已知曲线
r

微分几何(第三版)第二章课后题答案[1]

第二章曲面论§ 1曲面的概念1.求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解u-曲线为r ={u cos v0,u sin v0,bv 0}= {0,0 , bv0} + u { cos v0, sinv0,0}, 为曲线的直母线；v-曲线为r ={ u0cos v , u0 sin v ,bv }为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直母线。

证u-曲线为r ={ a (u+v。

), b (u-v。

)，2u v o}={ a v。

，b v。

，0}+ u{a,b,2 v。

} 表示过点{ a v。

，b v。

,。

}以{a,b,2 v。

}为方向向量的直线;v-曲线为「= {a ( u0 +v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0 v} = {a u。

，b u。

，。

} +v{a,-b,2 u。

} 表示过点(a u。

, b u。

，。

)以{a,-b,2 u。

}为方向向量的直线。

3.求球面r ={acos ；：sin「,a cos；： sin ;:, a si n二}上任意点的切平面和法线方程。

saa. n解r ={ -a sin 二cos「，-a sinsin ：:,acos「：} , r .匸{-a cossin ：:, a coscos 「,0}x - a cos、：cos「y - a cos 二sin「z - a sin 二任意点的切平面方程为- a sin 二cos ：：「：-a sinsin「 a cos=0「a cos、：sin「 a cos、：cos「0即xcos ：cos + ycos ：sin + zsin 二-a = 0 ；x a cos、：cos「y a cos、：sin「z a sin 二。

cos 二cos「cossin「sin 二2 24.求椭圆柱面令斗=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 a b 曲面只有一个切平面。

微分几何第四习题答案

微分几何第四习题答案问题1：曲线的曲率和挠率给定平面曲线 \( r(t) = (x(t), y(t)) \)，其中 \( x(t) \) 和\( y(t) \) 是 \( t \) 的可微函数。

求曲线在 \( t_0 \) 处的曲率\( k(t_0) \)。

解答：首先，计算曲线的导数：\[ r'(t) = (x'(t), y'(t)) \]\[ r''(t) = (x''(t), y''(t)) \]曲率 \( k(t) \) 定义为：\[ k(t) = \frac{||r'(t) \times r''(t)||}{||r'(t)||^3} \]在 \( t_0 \) 处代入上述公式，计算得到 \( k(t_0) \)。

问题2：曲面的第一基本形式考虑曲面 \( S \) 在点 \( p \) 的局部参数化 \( X(u, v) \)。

求\( S \) 在 \( p \) 处的第一基本形式。

解答：第一基本形式由度量张量给出，定义为：\[ g_{ij} = \langle X_u, X_v \rangle \]其中，\( X_u = \frac{\partial X}{\partial u} \) 和 \( X_v = \frac{\partial X}{\partial v} \) 是 \( X \) 相对于 \( u \) 和\( v \) 的偏导数。

计算 \( g_{ij} \) 的矩阵 \( [g_{ij}] \)，即为曲面 \( S \) 在点 \( p \) 处的第一基本形式。

问题3：高斯曲率的计算已知曲面 \( S \) 在点 \( p \) 的第一基本形式为 \( [g_{ij}] \) 和第二基本形式为 \( [h_{ij}] \)。

求 \( S \) 在 \( p \) 处的高斯曲率 \( K \)。

微分几何答案(第二章)

第二章曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u{0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）,b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ+ycos ϑsin ϕ+zsin ϑ-a=0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

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微分几何答案第二章曲面论§1曲面的概念1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线;v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a,b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。

3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。

解 = ，=任意点的切平面方程为即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ；法线方程为。

4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , , 。

所以切平面方程为：，即x bcos + y asin － a b = 0此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。

证，。

切平面方程为：。

与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。

于是，四面体的体积为：是常数。

§２曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.解,∴ I = 2。

２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。

解，，，，∴I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。

３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。

解由条件,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入得=，ds = coshvdv , 在曲线u = v上，从到的弧长为。

4．设曲面的第一基本形式为I = ，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u–v = 0的交角。

分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。

解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量，，，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为，，。

曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为，则有cos= 。

5．求曲面z = axy上坐标曲线x = x ,y =的交角.解曲面的向量表示为={x,y,axy}, 坐标曲线x = x的向量表示为={ x,y,axy } ，其切向量={0，1，ax}；坐标曲线y =的向量表示为={x , ,ax}，其切向量={1，0，a}，设两曲线x = x与y =的夹角为，则有cos =6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有Eduδu + F(duδv + dvδu)+ G d vδv = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为Eδu + Fδv = 0 .同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu + Gδv = 0 .7. 在曲面上一点,含du ,dv的二次方程P+ 2Q dudv + R＝０，确定两个切方向（du ：dv）和（δu ：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.证明因为du,dv不同时为零，假定dv0，则所给二次方程可写成为P+ 2Q+ R=0 ,设其二根,, 则=，+=……①又根据二方向垂直的条件知E + F(+)+ G = 0 ……②将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E=G.证用分别用δ、、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u－曲线δu０，δv＝０，沿v－曲线u＝０，v０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得，即。

展开并化简得E(EG-)=G(EG-),而EG->0，消去EG-得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E=G.9．设曲面的第一基本形式为I = ，求曲面上三条曲线u = v, v =1相交所成的三角形的面积。

解三曲线在平面上的图形（如图）所示。

曲线围城的三角形的面积是S==2=2== 。

10．求球面=的面积。

解 = ，=E ==,F== 0 , G = = .球面的面积为：S = .11.证明螺面={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面={tcos,tsin,}(t>1, 0<<2)之间可建立等距映射 =arctgu + v , t= .分析根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射 = arctgu + v ,t=,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.证明螺面的第一基本形式为I=2+2 dudv+(+1), 旋转曲面的第一基本形式为I= ,在旋转曲面上作一参数变换 =arctgu + v , t = , 则其第一基本形式为:==2+2 dudv+(+1)= I .所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 =arctgu + v , t = .§3曲面的第二基本形式1.计算悬链面={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.解 ={sinhucosv,sinhusinv,1},={-coshusinv,coshucosv,0}={coshucosv,coshusinv,0},={-sinhusinv,sinhucosv,0},={-coshucosv,-coshusinv,0},= coshu,=0,=coshu.所以I = coshu+ coshu .==,L=, M=0, N==1 .所以II = -+ 。

2.计算抛物面在原点的第一基本形式,第二基本形式.解曲面的向量表示为,,,,,, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,I=, II=.3.证明对于正螺面={u,u,bv},-∞<u,v<∞处处有EN-2FM+GL=0。

解，={0,0,0},={-uucosv,cosv,0},={-ucosv,-usinv,0},，，， L= 0, M = , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .4.求出抛物面在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.解 ,,,,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率.5.已知平面到单位球面(S)的中心距离为d(0<d<1),求与(S)交线的曲率与法曲率.解设平面与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为,即(C)的曲率为,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于,所以(C)的法曲率为=1 .6.利用法曲率公式,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。

证明因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。

即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv或-，所以，即第一、第二类基本量成比例。

7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。

证明对于正螺面={u,u,bv}，，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，L==0, N==0 .所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。

而u族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。

8. 求曲面的渐近线.解曲面的向量表示为,,..渐近线的微分方程为,即一族为dy=0, 即,为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.方法二：任取曲线，它的主法线曲面为，，，在曲线上，t = 0 , ,曲面的单位法向量，即，所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 10. 证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网.证曲面的向量表示为 ={x,y, f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。

,.因为,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭网。

11.确定螺旋面={u,u,bv}上的曲率线.解，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，={-sinv,cosv,0},，，， L=0, M= , N=0,曲率线的微分方程为:,即,积分得两族曲率线方程:.12.求双曲面z=axy上的曲率线.解 N=0 .由=0得,积分得两族曲率线为.13.求曲面上的曲率线的方程.解M=,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是::.14.给出曲面上一曲率线L,设 L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L是一平面曲线.证法一：因 L是曲率线,所以沿L有,又沿L 有?=常数,求微商得,所以,即-·=0,则有=0,或·=0 .若=0, 则L是平面曲线；若·=0 ，L又是曲面的渐近线，则沿L ，=0 ，这时d=，为常向量，而当L是渐近线时，=，所以为常向量，L是一平面曲线.证法二：若，则因‖，所以‖，所以d‖，由伏雷内公式知d‖（）而L是曲率线，所以沿L有d‖，所以有=0,从而曲线为平面曲线；若不垂直于，则有?=常数,求微商得因为L是曲率线，所以沿L有‖，所以，所以，即-·=0 ，若=0，则问题得证；否则·=0 ，则因，有‖，‖‖（-）‖，矛盾。

15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。

证曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。

16．求正螺面的主曲率。

解设正螺面的向量表示为={u,u,bv}.解，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，={-sinv,cosv,0},，，， L= 0, M = , N = 0,代入主曲率公式（EG-）-（LG-2FM+EN）+ LN-= 0 得=。

所以主曲率为。

17．确定抛物面z=a()在（0，0）点的主曲率.解曲面方程即，，，，。

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