理论力学(机械工业出版社)第五章点的运动学习题解答

习 题
5-1 如图5-13所示，偏心轮半径为R ，绕轴O 转动，转角t ωϕ=（ω为常量），偏心距e OC =，偏心轮带动顶杆AB 沿铅垂直线作往复运动。

试求顶杆的运动方程和速度。

图5-13
)(cos )sin(222t e R t e y ωω-+
=
)
(cos 2)2sin()[cos(2
2
2
t e R t e t e y
v ωωωω-+==
5-2 梯子的一端A 放在水平地面上，另一端B 靠在竖直的墙上，如图5-14所示。

梯子保持在竖直平面内沿墙滑下。

已知点A 的速度为常值v 0，M 为梯子上的一点，设MA = l ，
MB = h 。

试求当梯子与墙的夹角为θ时，试点M 速度和加速度
的大小。

图5-14
A M x h
l h
h x +=
=θsin θcos l y M = 0cos v h l h x h l h h x
A M +=+== θθ 得 θ
θ
cos )(0h l v +=
θθθθθt a n
)
(c o s )(s i n s i n 0
0h l lv h l v l l y
M +-=+⨯-=-= 0=M x
θ
θθθθ322
002
020cos )(cos )(sec )(sec )(h l lv h l v h l lv h l lv y M +-
=+⨯+-=+-=
θ
3220
cos )(h l lv a M
+=
5-3 已知杆OA 与铅直线夹角6/πt =ϕ（ 以 rad 计，
t 以s 计），小环M 套在杆OA 、CD 上，如图5-15所示。

铰O
至水平杆CD 的距离h =400 mm 。

试求t = 1 s 时，小环M 的速度和加速度。

图5-15
ϕtan h x M = ϕϕϕ
22sec 6
π
400sec ⨯== h x
M ϕϕϕϕϕϕϕs i n s e c 9
π200s i n s e c 6π3π400)s i n s e c 2(6π400323
3=⨯⨯=⨯⨯= M x
当s 1=t 时6
π=ϕ
mm/s 3.2799π
800346π400)6π(sec 6π4002==⨯==
M
v 223232mm/s 8.168327π80021)32(9π200)6πsin()6π(sec 9π200==⨯⨯=⨯⨯=M
a
5-4 点M 以匀速u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t ωϕ=规律绕O 转动，如图5-16所示。

当t = 0时，M 在点O 处，试求在任一瞬时点M 的速度和加速度的大小。

图5-16
)cos(t ut x ω= )sin(t ut y ω=
)sin()cos(t t u t u x
ωωω-= )cos()sin(t t u t u y ωωω+=
)cos()sin()sin(2t t u t u t u x
ωωωωωω---= )]cos()sin(2[t t t u ωωωω+-= )]sin()cos()[cos(t t t t u y ωωωωω-+= )]sin()cos(2[t t t u ωωωω-= 222)(1t u y x
v ω+=+= 222)(4t u y
x a ωω+=+=
5-5 点沿曲线AOB 运动，如图5-17所示。

曲线由AO 、
OB 两段圆弧组成，AO 段半径R 1= 18m ，OB 段半径R 2= 24m ，
取圆弧交接处O 为原点，规定正方向如图。

已知点的运动方程s =3 +4t – t 2
，t 以s 计，s 以m 计。

试求：(1) 点由
t = 0 到t = 5 s 所经过的路程；（2）t = 5 s 时点的加速
度。

图5-17
243t t s -+= t s
v 24-== 0=v 时s 2=t 3)0(=s 7)2(=s 2)5(-=s
由t = 0 到t = 5 s 所经过的路程 m 13|72|)37(=--+-=s
2τ-=a 2122n m/s 28
36
)104(==-==R R v a
2222
n 2τm/s 828.22222==+=
+=
a a a
5-6 图5-18所示的摇杆滑道机构中的滑块M 同时在固定的圆弧槽BC 和摇杆OA 的滑道中滑动。

如BC 的半径为R ，摇杆OA 的轴O 在弧BC 的圆周上。

摇杆绕轴O 以等角速度ω转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。

试分别用直角坐标法
和自然法给出点M 的运动方程，并求其速度和加速度。

图5-18
直角坐标法
)2cos 1(cos t R R R x ωθ+=+= t R R y ωθ2sin sin == t R x
ωω2sin 2-= t R y ωω2cos 2= t R x ωω2cos 42-= t R y
ωω2sin 42-= ωR y x
v 222=+=
2224ωR y
x a =+=
自然法
t R t R s ωω22=⨯=
ωR s
v 2== 0τ==s
a 22
n 4ωρ
R v a ==
5-7 小环M 在铅垂面内沿曲杆ABCE 从点A 由静止开始运动，如图5-19所示。

在直线段AB 上，小环的加速度为g ；在圆弧段BCE 上，小环的切向加速度ϕτ
cos g a =。

曲杆尺寸如图
所示，试求小环在C 、D 两处的速度和加速度。

图5-19
在直线段AB
R v R v B B g 2g 2022
==-
圆弧段BCE
ϕcos g τ=a
R
s
t v cos g d d =
R s t s s v cos g d d d d =⨯ R s s v v cos g d d = ⎰⎰=s v v s R
s v v B 0
d cos g d R
s R v v B sin g )(2122=- 在C 处 2
πsin g )(2
122R v v B C =-
R R v v B C g 4g 222=+=
R v C g 2= 0τ=C a g 42
n
==R
v a C C g 4g)4(0222
n 2τ=+=
+=C C C a a a 在D 处
4
π3sin
g )(212
2R v v B D =- R R v v B D g )22(2
2g 22
2+=⨯+=
R
R v D g 848.1g )22(=+=
g 2
2
4π3cos g τ-==D a g )22(2
n
+==R
v a D D g 487.3g 245.6g )22()2
2(22
2
n 2τ=+=++-=
+=D D D a a a
5-8 点M 沿给定的抛物线2
2.0x y = 运动（其中x 、y 均以m 计）。

在x = 5 m 处，m/s 4=v ，2m/s 3=τa 。

试求点在该位置时
的加速度。

22.0x y = x x y 4.0= )(4.02x
x x y +=
22y x
v +=
v
y y x x v y y x x v a +=
+==222τ 在x = 5 m 处，m/s 4=v ，2m/s 3=τa 。

即： 4)54.0(22=⨯⨯+x x
2.32=x 2.3=x
2.32=y
34
=+y
y x x 122.322.3=+y
x 2
.3122=+y
x (1)
由)(4.02x x x y
+= )52.3(4.0x y += x y
228.1+= (2) 联立(1)(2)求得
8296.05
)56.22
.312(=-=x
9392.2=y
222m/s 054.3=+=
y
x a
5-9 点沿空间曲线运动，如图5-20所示，在点M 处其速度为j i v 34+=，加速度a 与速度v 的夹角︒=30β，且a =10 m/s 2。

试计算轨迹在该点的曲率半径ρ和切向加速度τa 。

图5-20
2τm/s 66.83530cos 10cos ==︒⨯==βa a 2n m/s 530sin 10sin =︒⨯==βa a
ρ2
n v a = m 55
52
n 2===a v ρ
5-10 点沿螺旋线运动，其运动方程为：
)2/(,sin ,cos πωωωt h z t R y t R x ===，式中，R 、h 、ω均为常量。

设
t
=0时 s 0 = 0，试建立点沿轨迹运动的方程s = f (t )，并求点的速度、加速度的大小和曲率半径。

2
22)(d )(d )(d d z y x s ++=
t h t R t R d )π
2(
)cos ()sin (2
22ωωωωω++-= t h R d π
2π42
22ω
+=
2
22π4π
2h R t
s +=
ω 2
22π4π
2h R s
v +==ω
t R x a x ωωcos 2-== t R y
a y ωωsin 2-== 0==z a z 2ωR a =
0τ==v
a 2n ωR a a ==
R
h R a v 2
2
n 2π4+==ρ
5-11 点在平面上运动，其轨迹的参数方程为
)3/sin(π44),3/sin(π2t y t x +==，设
t =0时，s 0=0；s 的正方向相当
于x 增大方向。

试求轨迹的直角坐标方程)(x f y =
、
点沿轨迹运动的方程)(t s s =、点的速度和切向加速度与时间的函数关系。

轨迹的直角坐标方程 42+=x x 点沿轨迹运动的方程
t t
x y x s d 3
πcos 3π52d 5)(d )(d d 22=
=
+=
(m)3
πsin 472.43πsin 525t
t x s ===
s)(m/3πcos 683.43πcos 3π52t
t s
v === )(m/s 3
πsin 904.43πsin 9π5222τt t v a -=-==
5-12 已知动点的运动方程为：t y t t x 22=-=，。

试求其轨迹方程和速度、加速度。

并求当t =1s 时，点的切向加速度、法向加速度和曲率半径。

x 、y 的单位为m ，t 的单位为s 。

轨迹方程
2
)2(2y
y x -= 0422=--x y y 速度、加速度
12-==t x
v x 2==y v y 5442+-=t t v 2==x a x 0==y a y 2m/s 2=a v
t v t v a 2
4248τ
-=
-== 当t =1s 时 5=
v
52
5
24τ=
-=a 5
25
24τ=
-=
a
789.12.3)5
2(
2222
τ2n ==-=-=a a a
m 795.22
.35n
2==
=a v ρ
5-13 如图5-21所示，动点A 从点O 开始沿半径为R 的圆周作匀加速运动，初速度为零。

设点的加速度a 与切线间的夹角为θ，并以β表示点所走过的弧长s 对应的圆心角。

试
证：βθ2tan =。

图5-21
常量cos τ===θa v
a θcos at v = θcos 21
2at s = θsin 2
n a R
v a ==
βθθθθ22cos cos )cos (tan 22τn =====R
s
R at Ra at a a
5-14 已知点作平面曲线运动，其运动方程为：x = x (t )，
y = y (t )。

试证在任一瞬时动点的切向加速度、法向加速度
及轨迹曲线的曲率半径分别为：
x
y y x y x
y x
x y y x a y x
y y x x a n -+=
+-=
++=
2
3
2
22
2
2
2
)(ρτ
22y x v +=
22y
x a += 2222τ222y x
y
y x x y x y y x x v a ++=
++== 2
2
22
2
222τ2n ||)(y x
x y y x y x
y y x x y
x a a a +-=
++-+=
-=
x
y y x y x
a v -+=
=
2
3
2
2
n 2
)(ρ。