图-连通的概念
三、连通性
3.1 连通性和Whitmey定理
定义V真包含于V(G), G[V(G)-V'不连通，而G是连通图，则称V是G的顶剖分集。最小顶剖分集中顶的个数，记成K (G)叫做G的连通度；规定
K (Kv)=-U; K不连通图)=平凡图)=0。由一个顶组成的顶剖分集叫割顶。没有割顶的图叫做块，G中的成块的极大子图叫做G的块。
定义E包含于E(G)，G为连通图，而G-E'从G中删除E'中的边)不连通，则称E'为G的边剖分集，若G中已无边剖分集E〃，使得|E 〃|v|E则称|E '为G的边连通度，记成K' (G归’|=时，E'中的边叫做桥。规定K不连通图)=0，K' (Kv)= u1。
定义K (G)>=k时，G叫做k连通图；K' (G)>=k，G称为k边连通图。
k连通图，当k>1时，也是k-1连通图。
k边连通图，当k>1时，也是k-1边连通图。
上面就是顶连通与边连通的概念，好象不指明的就是指顶连通了。
定理1 K (G)=< K' 2)=可以复习一下第一章的1.2：S =min{d(v)})
证：设d(v)=，则删除与v边关联的S条边后，G变不连通图，所以这S 条边形成一个边剖分集，故最小边剖分集边数不超过即K' (G)= 分情形讨论之。 若G中无桥，则有K' >条边，移去它们之后，G变成不连通图。于是删除这K条中的K'条后，G变成有桥的图。设此桥为e=uv，我们对于上述K'条删去的每条边上，选取一个端点，删除这些(不超过K'个)端点，若G变得不边能，则K = 这个定理很好理解，图论中的一些定理常以这种友好”的面目出现。 F面就是Whitmey定理 定理2(Whitney,1932) u >的图是2连通图的充要条件是任二顶共圈(在一 个圈上)。 证：若任二顶共圈，任删除一个顶w后，得图G-w。任取两顶u,v € V(G-w), u,v在G中共存于圈C 上,若w不在C上，则G-w中仍有圈C,即u与v在G-w 中仍连通；若w 在G 中时在 C 上，在G-w 中u 与v 在轨C-w 上，故u 与v 仍连通。由u与v之任意性，G-w是连通图，故K (G)>=2即G是2连通图。 反之，若G是2连通图，u >=3任取u,v€ V(G)，用对d(u,v)的归纳法证明u 与v 之间有两条无公共内顶的轨 当d(u,v)=1是时，因K = 假设d(u,v) x=u)。不妨设x € V(P)，则G有两个u,v之间无公共内顶的轨：一个是P上从u到x段并在P'上从x到v段；一个是Q+wv。证毕。 图论的定理证明，没有其他数学的那么多推导，那么多的公式，符号也是有限的几个，看多了就明白了。概念清晰还是很重要，很多东西是概念性的。还有就是构造了，照题能构造出的相应的图有时就迎而解了。 就是打字时中英文切换麻烦。 3.2 割顶、桥、块 割顶、桥、块都是一个图的关键部位了。本节给出三个定理来阐述这三个概念，好象少了点，不 过这本书的东西有些地方很语焉不详的，而且有些东西到处穿插，并且有很强的理论性，很少涉及实践中的问题。看起来比较的累人。 定理 3 v 是连通图的一个顶点，则下可述命题等价： (1) v 是割顶 (2) 存在与v不同的两个顶u,w，使得v在每一条 由u到w的轨上 (3) 存在V-{v}的一个划分V-{v}=U U W, U A W环，使得对任意的u € U,w € W,v在 每一条由u到w的轨上。 定理4 x是G的一边，G是连通图，则下述命题等价： (1) x 是G 的桥。 (2) x 不在G 的任一圈上。 (3) 存在顶u,v € V(G),使得x在每一个从u到v 的轨上。 (4) 存在V(G)的划分U与W，使得任二顶u,w, u€ U,w€ W 时，x 在每条从u 到v 的轨 上。 上面的都没什么可证的，就是轨、连通片、割顶、桥等概念翻来覆去的用就是了 定理5 G连通，u >=3则下列命题等价: (1) G 是块。 (2) G 的任二顶共圈。 (3) G 的任一顶与任一边共圈 (4) G 的任二边共圈 (5) 任给G 的二顶及一边，存在连接此二顶含此 边之轨 (6) 对G 的三个不同的顶，存在一轨，连接其中 两个顶，含第三个顶 (7) 对G 的三个不同的顶，存在一轨，连接其中 两个顶，不含第三个顶。 (本也没什么可证的了，但就这样结束了也太快了，这个证一下) 证: (1)>>(2)，(2)>>(1) 见定理 2 (2) >>(3)只考虑u为G的任给一个顶，vu是G中任给定的一条边，且 u<>v,u<>w的情形。设C是含u与v的圈，若w在C上，则C上含u的轨P(v,w) 与边vw形成一个圈，它含u及边vw。若w不在C上，因v不是割顶，由定理3，存在不含v的轨P(w,u)。令u'是P(w,u)与C从w沿P(w,u)看来的第一个公共顶，贝U由边vw,P(w,u)上w到u'段，以及C上含u的轨P' (u '并成一个圈，此圈满足(3)的要求。 (3) >>(4)与(2)>>(3)类似证明。 (4) >>(5)已知任二边共圈，设u,v是G上任给定的两个顶，x是任给定的一条边，只考虑x与u,v皆不相关联的情形。由任二边共圈显然有任二顶共圈，于是由于(2)>>(3)知u与x共圈，设此圈C1;同理v与x共圈，设此圈是C2;若v € C1 或u€ C2,则⑸成立；若u不属于C2,且v不属于C1,则如下构作含x之轨P(u,v): 从u出发沿C1到达C1与C2上第一个公共顶w,再从w出发沿C2含x的部分到达v。 (5) >>(6)设u,v,w是G的三个顶，且与w相关联的一条边是x,由⑸存在轨 P(u,v)，x 在P(u,v)上，于是w 在P(u,v)上。 (6) >>(7) u,v,w € V(G),由(6),存在轨P(u,w), P(u,w)含顶v,则P(u,w)的从u 到v的一段不含w。 (7) >>(1)由(7),对任给定的二顶u与v,不存在这样的顶，它在从u到v的每一轨 上,由定理3, G 无割顶,故G 是块。证毕。 讲了这么多,下节才涉及到实践中的问题。下节讲可靠通讯网的构作。不过下节又是本章的最后一节了。 3.3 可靠通讯网的构作 我们要构作一个有线通讯网, 使得敌人炸坏我几通讯站后, 其余的通讯站仍然可彼此通话。显然, 有两个要求是必要的：一是不怕被敌人炸坏站的数目要多, 一是整个造价要小。这个实际问题的数学艺术模型如下：G是加权连通图，k是给定的自然数，求G的有最小权的k连通生成子图。 当k=1 时,它就是用Kruskal 算法求得的生成树；当k>1 时,是尚未解决的难解问题之一。哦，原来k>1 时是没解决的难题，自己以前也想过这方面的东西，只是想了半天也想不出个所以然，原来是个大难题呀。 当G=K u每边权皆为1时，Harary于1962年解决了这一问题。下面介绍Harary的工作。 令f(m,n)表示n个顶的m连通图当中边数的最小值，m K =< K' =< S f(m,n)>={mn/2} Harary 实际上构作出一个n 顶的m 连通图，它的边数恰为{mn/2} 条，且 f(m,n)={mn/2} 。此图记成H(m,n) 。 ⑴m是偶数，m=2r。H(2r,n)以 {0,1,2,…询为顶集合。当i-r=vj= 在顶点i 与j 之间连一边，这里的加法 在mod n意义下进行。 (2) m 是奇数，m=2r+1,n 是奇数。先构作 H(2r,n),然后对1= i+n/2 间加上一条边得H(2r+1,n)。 (3) m 是奇数，m=2r+1,n 是奇数。先构作 H(2r,n),然后在顶点0与(n-1)/2,0与 (n+1)/2之间加上边，在顶i与i+(n+1)/2 间加上边，其中仁 H(2r+1,n)。 无法把图画上来，H(6,8)、H(5,8)、H(5,9)看一下图就明白这个构作的方法了。 下面证上面的构作出来的东西是符合要求的。定 理6 H(m,n)是m连通图，且边数最少证：m=2r时，我们来证明H(2r,n)，设有少于2r个顶组成的顶剖分集。若 V'是一个顶剖分集，且|V'|<2r，又设i与j两个顶分别属于H(2r,n)-V'的不同连通片，令S={i,i+1,...,j-1,j},T={j,j+1,...,i-1,i}, 其中加法在mod n下执行。因为|V'|<2r，不失一般性，设|V' n S| 相似地可以证明m=2叶1时，H(2叶1,n)是2r+1连通的。由于 f(m,n)>={mn/2}, ￡ (H(m,n))={mn/2}, 而H(m,n)是n顶m连通图，故有 f(m,n)=<{mn/2}, 从而得 ￡ (H(m,n))=f(m,n)={mn/2}。 证毕 由于K = 中最少边数，则对1 就这样第三章也结束了，理论讲了一大堆 一、通论 1. 1图论的内容与历史回顾 一上来总要先回顾一下历史，让人了解一下这个学科的来龙去脉，见怪不怪了。柯尼斯堡七桥问题这个实在是太有名了，图论从这开始的，从很久以前 就知道了。欧拉这个人真的是厉害，在数学的各个领域都留有他的足迹。噢，从欧拉之后停滞了好长一段时间(再次可见欧拉的水平，对他是佩服得五体投地呀，不服不行)，直到二百年后，1936年匈牙利的Konig(书上的名字打不上来呀，字母怪怪的，随便用其他字母替了)发表了《有限图与无限图理论》这第一本图论的专著，图论才获得了长足的发展，成长了数学中的一门独立的学科。下面讲了图论的各种应用，在各个学科中的作用，不一而足呀。 又提到了四色定理，这么有名的东东，当年也是三大猜想呀。这个还是靠机器证出来的。后面出了个以前没听到过的名词----妖怪图(Snark graph),看它的定义有点晕乎乎的先记在这，后面还要讲到：何为妖怪，指这种性质的图很难设计出来，它是无桥三次正则图，每个顶点处关联了三条边；它的围长不小于5, 它的边色数是4,删除三条边不会使它破裂成两个有边图。(书上说是封面上那幅漂亮的图，可我下载的电子书没有封面呀，不知这个妖怪迷到何程度呀)。MD， 第一课就讲了好多难题，差点不想往下看了，什么Ulam猜想，货郞问题，Ramsey 问题，真有点让人望而却步。 最后摘段书上的话，“从许多实例中，我们发现图论最吸引人的特色是它蕴含着大量强有力的思想、漂亮的图形和巧妙的论证、即使是非常困难的尚未解决的问题也易于表达。现实生活中也处处潜藏有图论的难题，图论是最接近群众生活，最容易向科学水准很低的人阐述的一门学科。问题外表的简单朴素和本质上的难以解决，使每个搞图论的人在图论面前必须谨慎严肃地思考问题。常常是 貌似简单的问题，即使幸运地得出证明，证明中包含的细节也十分之繁琐，并且往往运用了极艰苦的计算。”后面越往后看，越觉得上述的话说的有理，十分之有理(无理的话书上也不会堂而皇之的放那么久)。 回顾结束，下次正式进入正题。 1.2 图的定义 这节没什么好说的，学过图论的人应该都知道这些东西吧。只是有些符号要注意一下，这好象是约定成俗的，不注意的话下面的一些东西会看不顺溜。图G,顶点集合V(G)，边集合E(G),顶点一般就用u v 了，边一般用e,顶点数|V(G)|= u，边的数目 |E(G)|= ￡。 本书只讨论有限图，无限图应该是很不同的东东了，咱以前学初等数学不太考虑无限的时候是一番天地，到后来一考虑无限，多了个无穷这个符号(就是8 横过来的那个符号)又是另一番一天地了。看来这无限图也不是很好惹的。书上说不讲了，那我