高考数学典型题归纳
数学高考大题题型归纳必考题型例题(最新整理)
数学高考大题题型归纳必考题型例题1数学高考大题题型有哪些必做题：1.三角函数或数列（必修4，必修5）2.立体几何（必修2）3.统计与概率（必修3和选修2-3）4.解析几何（选修2-1）5.函数与导数（必修1和选修2-2）选做题：1.平面几何证明（选修4-1）2.坐标系与参数方程（选修4-4）3.不等式（选修4-5）2数学高考大题题型归纳一、三角函数或数列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
二、立体几何高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。
选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。
随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着多一点思考，少一点计算的发展。
从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。
三、统计与概率1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
【高考数学】概率典型例题整合
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结十一、概率１．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0；2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=nm 。
理解这里m 、ｎ的意义。
如（1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______（答：38）；（2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。
（答：①215；②1021；③44125；④1021） 3、互斥事件：（A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生）。
计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )。
如（1）有A 、B 两个口袋，A 袋中有4个白球和2个黑球，B 袋中有3个白球和4个黑球，从A 、B 袋中各取两个球交换后，求A 袋中仍装有4个白球的概率。
（答：821）；（2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）______（答：0.51）；（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P （n ），且P （n ）与时刻t 无关，统计得到 ()()10,1520,6nP n P n n ⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P （0）的值是 （答：3263） 4、对立事件：（A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生）。
计算公式是：P （A ）+ P(B)＝１；P (A )=1－P (A )；5、独立事件：（事件A 、B 的发生相互独立，互不影响）P(A •B)＝P(A) • P(B) 。
新课标高考数学题型全归纳全册 部分
第十章 圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃161㊀㊃心得体会证:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),Q (x ,y ),由题意知P A ңA Q ң=P B ңQ Bң,设A 在P ,Q 之间,P A ң=λA Q ң(λ>0),又Q 在P ,B 之间,故P B ң=-λB Q ң,因为P B ң>B Q ң,所以0<λ<1,由P A ң=λA Q ң知(x 1-x 0,y 1-y 0)=λ(x -x 1,y -y1),解得x 1=x 0+λx 1+λy 1=y 0+λy1+λìîí,故点A 坐标为x 0+λx 1+λ,y 0+λy 1+λæèöø.同理,由P B ң=-λB Q ң知(x 2-x 0,y 2-y 0)=-λ(x -x 2,y -y 2),解得x 2=x 0-λx 1-λy 2=y 0-λy1-λìîí,故点B 坐标为x 0-λx 1-λ,y 0-λy 1-λæèöø.因为点A 在抛物线上,所以y 0+λy 1+λæèöø2=2p x 0+λx 1+λæèöø,(y 0+λy )2=2p (1+λ)(x 0+λx )①,同理(y 0-λy )2=2p (1-λ)(x 0-λx )②,由①-②得2y 0ˑ(2λy )=4p λ(x +x 0),则y 0y =p (x +x 0).所以点Q 在直线y 0y =p (x +x 0)上.三大圆锥曲线(椭圆㊁双曲线㊁抛物线)中,当定点P (x 0,y0)在曲线上时,相应的定直线x 0x a 2+y 0y b 2=1,x 0x a 2-y 0y b2=1,y y 0=p (x 0+x )均为在定点P (x 0,y 0)处的切线.ʌ例10.54ɔ㊀(2008·安徽理,22)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1),且左焦点为F 1(-2,0).(1)求椭圆C 的方程;(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ,B 时,在线段A B 上取点Q ,满足|A P ң||Q B ң|=|A Q ң||P B ң|.证明:点Q 总在某定直线上.ʌ分析ɔ㊀用待定系数法求解椭圆的方程,巧妙地利用定比分点解答点Q 的轨迹问题.ʌ解析ɔ㊀(1)由题意知c 2=22a 2+1b 2=1c 2=a 2-b2ìîí,解得a 2=4,b 2=2,所求椭圆方程为x 24+y 22=1.图㊀10-30(2)如图10-30所示,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),Q (x ,y ),由题意知P A ңA Q ң=P B ңQ B ң,不妨设A 在P ,Q 之间,P Aң=λA Q ң(λ>0),又Q 在P ,B 之间,故P B ң=-λB Q ң,因为P B ң>B Q ң,所以0<λ<1,由P A ң=λA Q ң得(x 1-4,y 1-1)=λ(x -x 1,y -y1),㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃162㊀㊃心得体会解得x 1=4+λx 1+λy 1=1+λy 1+λìîí;同理,由P B ң=-λB Q ң,得(x 2-4,y 2-1)=-λ(x -x 2,y -y 2),解得x 2=4-λx 1-λy 2=1-λy1-λìîí.因为点A 在椭圆上,所以4+λx 1+λæèöø24+1+λy 1+λæèöø22=1,即4+λx ()24+1+λy ()22=1+λ()2①.同理,由点B 在椭圆上,得4-λx ()24+1-λy ()22=1-λ()2②.由①-②得8ˑ2λx 4+2ˑ2λy 2=4λ,因为λʂ0,所以x +y 2=1.所以点Q 在定直线2x +y -2=0上.ʌ评注ɔ㊀由模型的结论不难知动点Q (x ,y )总在定直线x 0x a 2+y 0y b 2=1上,a 2=4,b 2=2,x 0=4,y 0=1,得4x 4+y 2=1,即2x +y -2=0.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈题型153㊀定值问题思路提示:求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理,计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.图㊀10-31㊀㊀㊀证:设椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0(),如图10-31所示,作辅助线,设A x 1,y 1(),B x 2,y2(),易知R t әF M R ʐR t әA H B ,所以F R A B =F MAH =A F -B F2x 1-x 2=A F -B F2x 1-x 2(∗)由定义知A F +A F ᶄ=2a ①,从而A F -A F ᶄ=A F 2-A F ᶄ22a =(x 1+c )2+y 21-(x 1-c )2+y 21[]2a=2e x 1②.①+②2得A F =a +e x 1③,同理B F =a +e x 2④.③-④得A F -B F =e x 1-x 2(),代入式(∗)得F R A B =e x 1-x 2()2x 1-x 2=e 2.类比椭圆,在双曲线中有F R A B =e 2.第十章 圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃163㊀㊃心得体会图㊀10-32在抛物线中,设抛物线方程为y 2=2px p >0(),如图10-32所示,作辅助线方法同椭圆中,得F R A B =A F -B F 2A H=A F -B F2A S -B T=A F -B F2A F -B F=12.即F R A B =12=e 2(抛物线离心率为1).ʌ例10.55ɔ㊀(2010㊃全国Ⅱ理,12)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0()的离心率为32,过右焦点F 且斜率为k k >0()的直线与C 相交于A ,B 两点,若A F ң=3F B ң,则k =(㊀㊀).A .1B .2C .3D .2图㊀10-33ʌ解析ɔ㊀如图10-33所示,不妨设A F ң=3,则F B ң=1,M F ң=1,R F ң=e 2A B =2e =3,在R t әF M R 中,k =t a n øR F M=R M F M =3-11=2.故选B .ʌ评注ɔ㊀若l A B 的倾斜角为θ,且A F ң=λF B ңλ>0(),则c o s θ=λ-1eλ+1().ʌ变式1ɔ㊀(2009㊃全国Ⅱ理,11)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0()的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A ,B 两点,若A F ң=4F B ң,则C 的离心率为(㊀㊀).A .65B .75C .85D .95图㊀10-34ʌ变式2ɔ㊀(2010㊃全国Ⅰ理,16)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段B F 的延长线交C 于点D ,且B F ң=2F D ң,则C 的离心率为㊀㊀㊀㊀.ʌ变式3ɔ㊀(2007㊃重庆文,21)如图10-34所示,倾斜角为α的直线经过抛物线y 2=8x 的焦点F ,且与抛物线交于A ,B 两点.(1)求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程;(2)若α为锐角,作线段A B 的垂直平分线m 交x 轴于点P :F P -F P c o s 2α为定值,并求此定值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈㊀㊀㊀证:设椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0(),如图10-35所示,过点F 作l ʅx 轴于点F ,过点A ,B 分别作AH 1,B H 2垂直于l 于点H 1,H 2,设A x 1,y 1(),B x 2,y2(),l A B 的倾斜角为α,不妨设x 2<-c <x 1,则AH 1=A F c o s α=x 1+c ,㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃164㊀㊃心得体会图㊀10-35又由模型一中A F =a +e x 1,所以e AH 1=e A F c o s α=e x 1+e c =A F -a +e c ,即A F 1-e c o s α()=a -e c ,得A F =a -e c 1-e c o s α.1A F =1-e c o s αa -e c =1-e c o s αb2a.同理,在R t әB H 2F 中,1B F =1+e c o s αb2a,所以1A F +1B F =1-e c o s αb 2a +1+e c o s αb 2a =2b 2a=2a b2,为定值.类比椭圆,在双曲线(同支)中,仍有1A F +1B F =2a b2为定值.对于抛物线y 2=2p x p >0(),如图10-36所示,过点A ,B 分别作垂线A S ,B T 垂直于准线l 于点S ,T ,过F 作垂直于x 轴的直线交A S 与B T 的延长线(或反向延长线)于点H 1,H 2,在R t әAH 1F 中,AH 1=A F c o s α①,图㊀10-36又AH 1=A S -S H 1=A F -p ②,将式②代入式①得A F -p =A F c o s α,得A F =p 1-c o s α,所以1A F =1-c o s αp③.同理,在R t әB H 2F 中,可得1B F =1+c o s αp④.由③+④得,1A F +1B F =2p,为定值.ʌ评注ɔ㊀本结论对于A B 为通径也成立,且上述结论可统一为1|A F |+1|B F |=4L(L 为通径长).ʌ例10.56ɔ㊀(1)(2010㊃重庆文,13)已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,A F =2,B F =㊀㊀㊀㊀.(2)(2010㊃重庆理,14)已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A ,B 满足A F ң=3F B ң,则弦A B 的中点到准线的距离为㊀㊀㊀㊀.ʌ解析ɔ㊀(1)由1A F +1B F =2p=1,得12+1B F =1,故B F =2.(2)如图10-37所示,因为A F ң=3F B ң,所以设F B ң=r ,则A F ң=3r ,由1A F +1B F =2p ,知13r +1r =22,即r =43.因为点M 为线段A B 的中点,所以MN =12A S +B T ()=12A F +B F ()=12r +3r ()=2r =2ˑ43=83.ʌ变式1ɔ㊀(2010㊃北京宣武二模理,8)如图10-38所示,抛物线C 1:y 2=2px 和圆C 2:第十章 圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃165㊀㊃心得体会x -p 2æèöø2+y 2=p 24,其中p >0,直线l 经过C 1的焦点,依次交C 1,C 2于A ,B ,C ,D 四点,则A B ң㊃C D ң的值为(㊀㊀).A .p24B .p 23C .p 22D .p2图图㊀㊀证:①对于椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0(),由题意可设θ1=øx +F P 1=α,则θi =øx +F P i =α+2i -1()πn i =1,2, ,n (),且由模型一知1F P i=1-e c o s θib 2ai =1,2, ,n (),所以ðni =11F P i=ðni =11-e c o s θib 2a=n a b 2-c b 2ðn i =1c o s θi (∗).因为θi =α+2i -1()πn ,所以单位向量F P iңF P i ң的终点均匀分布在以F 为圆心的单位圆上,所以ðni =1F P iңF P iң=0(∗∗).(证明:可把F P iңF P iң逆时针旋转2πn ,则式(∗∗)左边不变,其右边只能为0).所以ðn i =1c o s θi ,s i n θi ()=0,即有ðni =1c o s θi =0,代入式(∗)得ðni =11F P i=n a b 2-c b 2ˑ0=n ab 2为定值.②类比椭圆,在双曲线(同支)中,仍有ðni =11F P i=n ab 2.③对于抛物线y 2=2px p >0(),设θ1=øx +F P 1=α,则θi =øx +F P i =α+2i -1()πni =1,2, ,n (),㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃166㊀㊃心得体会由模型一中知1F P i =1-c o s θip,所以ðni =11F P i =ðn i =11-c o s θip =n p -1p ðn i =1c o s θi ,由①中证明知ðn i =1c o s θi =0,代入上式得ðni =11F P i =np为定值.ʌ评注ɔ㊀上述结论可统一为ðni =11|F P i|=2n L (L 为通径长).ʌ例10.57ɔ㊀(2007·重庆理,22)在椭圆x 236+y 227=1上任取三个不同的点P 1,P 2,P 3,使øP 1F P 2=øP 2F P 3=øP 3F P 1,其中F 为右焦点,求证:1F P 1+1F P 2+1F P 3为定值,并求此定值.ʌ解析ɔ㊀解法一:设椭圆的右顶点为A ,以F 为极点,A F 的延长线为极轴,建立极坐标系,并设øA F P i =θi i =1,2,3(),0ɤθi <2π3且θ2=θ1+2π3,θ3=θ1+4π3,又设点P i 在其右准线l :x =12上的射影为Q i ,因椭圆的离心率e =c a =12,从而有F P i =P i Q i ㊃e =a 2c -c -F P i c o s θi æèöø㊃e =129-F P i c o s θi ()i =1,2,3().解得1F P i=291+12c o s θi æèöøi =1,2,3().因此1F P 1+1F P 2+1F P 3=293+12c o s θ1+c o s 2π3+θ1æèöø+c o s 4π3+θ1æèöø[]{}.又c o s θ1+c o s 2π3+θ1æèöø+c o s 4π3+θ1æèöø=c o s θ1-12c o s θ1-32s i n θ1-12c o s θ1+32s i n θ1=0.故1F P 1+1F P 2+1F P 3=23为定值.解法二:如解法一建立极坐标系.由ρ=e p 1+e c o s θ,e =12,p =a 2c -c =9,则ρ=921+12c o s θ,故F 1P =921+12c o s θ1,F 2P =921+12c o s θ1+2π3æèöø,F 3P =921+12c o s θ1+4π3æèöø,因此第十章 圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃167㊀㊃心得体会1F P 1+1F P 2+1F P 3=291+12c o s θ1+1+12c o s θ1+2π3æèöø+[1+12c o s θ1+4π3æèöø]=23为定值.ʌ评注ɔ㊀对于与定点(焦点)距离有关的问题,利用极坐标可使问题得到简化.同时本题得到的结论1F P 1+1F P 2+1F P 3=23满足ðn i =11F P i=n ab 2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型三:三大圆锥曲线(椭圆㊁双曲线㊁抛物线)中,曲线上的一定点P 与曲线上的两动点A ,B 满足直线P A 与直线P B 的斜率互为相反数,则直线A B 的斜率为定值.㊀㊀㊀证明:①对于椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0().设P x 0,y 0(),A x 1,y 1(),B x 2,y 2().令x 0=a c o s θ,y 0=b s i n θ,A a c o s α,b s i n α(),B a c o s β,b s i n β().则k A B =b s i n α-b s i n βa c o s α-a c o s β=b a ㊃2c o s α+β2s i n α-β2-2s i n α+β2s i nα-β2=-b a c o t α+β2(∗).同理,k P A =-b a c o t α+θ2,k P B =-b a c o t θ+β2.而k P A +k P B =0,得-b a c o t α+θ2-b a c o t θ+β2=0,所以c o t α+θ2+c o t θ+β2=0,得1t a n α+θ2+1t a n θ+β2=0⇒t a n α+θ2+t a n θ+β2=0,即t a n α+β2+θæèöø=0⇒t a n α+β2+t a n θ=0⇒c o t α+β2+c o t θ=0,所以c o t α+β2=-c o t θ,代入式(∗)得k A B =-b a -c o t θ()=b a c o t θ=b 2x 0a 2y 0,为定值.由于x 0y0ʂ0,所以上述所有三角运算均有意义.②对于双曲线x 2a 2-y 2b2=1a ,b >0(),设P (x 0,y 0)为P a s e c θ,b t a n θ(),A a s e c α,b t a n α(),B a s e c β,b t a n β(),则k A B =b t a n α-b t a n βa s e c α-a s e c β=b a ㊃s i n αc o s β-s i n βc o s αc o s β-c o s α=b a ㊃s i n α-β()-2s i n α+β2s i n β-α2=b a ㊃c o s α-β2s i nα+β2(∗).同理,k P A =b a ㊃c o s θ-α2s i n θ+α2,k P B =b a ㊃c o s θ-β2s i n θ+β2,㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃168㊀㊃心得体会而k P A +k P B =0,即b a c o s θ-α2s i n θ+α2+c o s θ-β2s i n θ+β2æèöø=0,所以c o s θ-α2s i n θ+α2+c o s θ-β2s i n θ+β2=0,s i n θ+β2c o s θ-α2+s i n θ+α2c o s θ-β2=0.即12s i n θ+β+θ-α2æèöø+s i n θ+β-(θ-α)2æèöø[]+12s i n θ+α+θ-β2æèöø+s i n θ+α-θ-β()2æèöø[]=0⇒s i n θ+β-α2æèöø+s i n α+β2+s i n θ+α-β2æèöø+s i n α+β2=0⇒s i n θ-α-β2æèöø+s i n θ+α-β2æèöø+2s i n α+β2=0⇒2s i n θ-α-β2+θ+α-β22c o s θ-α-β2-θ+α-β2æèöø2+2s i n α+β2=0⇒s i n θc o s α-β2+s i n α+β2=0⇒c o s α-β2s i n α+β2=-1s i n θ,代入式(∗)得k A B =b a ㊃-1s i n θæèöø=-b a ㊃1s i n θ=-b 2x 0a 2y 0,为定值.由于y 0ʂ0,所以上述所以三角函数运算均成立.③对于抛物线y 2=2p x p >0(),设P x 0,y 0(),A y 212p ,y 1æèöø,B y 222p ,y2æèöø(y 0,y 1,y 2两两均不相等),则k A B =y 1-y 2y 212p -y222p=2p y 1+y 2(∗).同理,k P A =2p y 0+y 1,k P B =2p y 0+y2,又k P A +k P B =0,得2p y 0+y 1+2p y 0+y 2=0,即1y 0+y 1+1y 0+y2=0,故y 0+y 1+y 0+y 2=0,得y 1+y 2=-2y0,代入式(∗)得k A B =2p -2y 0=-py 0.ʌ例10.58ɔ㊀(2009·辽宁理,20)已知椭圆C :x 24+y 23=1,A 为椭圆C 上的点,其坐标为1,32æèöø,E ,F 是椭圆C 上的两动点,如果直线A E 的斜率与A F 的斜率互为相反数,证明:直线E F 的斜率为定值,并求出该定值.ʌ分析ɔ㊀要求直线E F 的斜率,必须知道E ,F 的坐标.ʌ解析ɔ㊀设直线A E 的方程为y =k x -1()+32,x 24+y23=1y =k x -1()+32ìîí,第十章 圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃169㊀㊃心得体会消y 得4k 2+3()x 2+12k -8k 2()x +432-k æèöø2-12=0,则x E =432-k æèöø2-124k 2+3()x A =3-2k ()2-124k 2+3①,又直线A F 的斜率与A F 的斜率互为相反数,故以上k 用-k 代替得x F =3+2k ()2-124k 2+3②,所以k E F =y F -yE xF -x E=-k x F -1()+32-k x E -1()+32[]x F -x E =-k x F +x E ()+2k x F -x E,把①,②两式代入上式,得k E F =12.ʌ变式1ɔ㊀已知A ,B ,C 是长轴为4,焦点在x 轴上的椭圆上的三点,点A 是长轴的一个顶点,B C 过椭圆的中心O ,且A C ң㊃B C ң=0,B C ң=2A C ң.(1)求椭圆的方程;(2)如果椭圆上的两点P ,Q ,使得øP C Q 的平分线垂直于O A ,问是否总存在实数λ,使得P Q ң=λA B ң?说明理由.ʌ变式2ɔ㊀已知椭圆x 26+y 22=1的内接әP A B 中,点P 坐标为3,1(),P A 与P B 的倾斜角互补,求证:直线A B 的斜率为定值,并求之.图㊀10-39ʌ变式3ɔ㊀已知双曲线x 2-y 23=1上点P 2,3(),过P 作两条直线P A ,P B ,满足直线P A 与P B 倾斜角互补,求直线A B 的斜率.ʌ变式4ɔ㊀(2004㊃北京理,17)如图10-39所示,过抛物线y 2=2px p >0()上一定点P x 0,y 0()y0ʂ0(),作两条直线分别交抛物线于A x 1,y 1(),B x 2,y2().(1)求该抛物线上纵坐标为p 2的点到焦点F 的距离;(2)当P A 与P B 的斜率存在且倾斜角互补时,求y 1+y 2y0的值,并证明直线A B 的斜率是非零常数.ʌ例10.59ɔ㊀如图10-40所示,已知圆O 的半径是a a >0(),圆中有两条互相垂直的直径A B 和C D ,P 是圆周上任意一点(不在A B ,C D 上),直线A P ,B P 分别交直线C D 于M ,N ,证明O M ңO N ң=a 2.ʌ解析ɔ㊀证:因为B P ңʅA P ң,所以B N ңʅA M ң,从而B N ң㊃A M ң=B O ң+O N ң()㊃A O ң+O M ң()=0,㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃170㊀㊃心得体会图㊀10-40即B O ң㊃A O ң+B O ң㊃O M ң+O N ң㊃A O ң+O M ң㊃O N ң=0,即-a 2+O M ң㊃O N ң=0.所以O M ң㊃O N ң=O M ңO N ңc o s 0=O M ңO N ң=a2,得证.ʌ例10.60ɔ㊀如图10-41所示,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0()的上㊁下顶点分别为A ,B ,点P 是椭圆上异于顶点的任意一点,直线A P ,B P 分别交x 轴于M ,N ,证明:图㊀10-41O M ңO N ң=a 2.ʌ解析ɔ㊀证:设P x 0,y 0(),则x 0y0ʂ0,M m ,0(),N n ,0(),则A P ңʊAM ң,即x 0,y0-b ()ʊm ,-b ().所以m y 0-b ()=-b x 0,得m =-b x 0y0-b .同理由B P ңʊB N ң,得n =b x 0y 0+b .所以O MңO N ң=m n =-b 2x 20y 20-b 2=x 201-y20b 2=x 20x 20a2=a 2.图㊀10-42ʌ变式1ɔ㊀如图10-42所示,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0()上㊁下顶点分别为A ,B ,点P 是椭圆上异于顶点的任意一点,直线A P ,B P 分别交x 轴于M ,N .证明:AM ң㊃B N ң为定值,并求之.ʌ例10.61ɔ㊀如图10-43所示,已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1a ,b >0()左㊁图㊀10-43右顶点分别为A ,B ,点P 是双曲线异于顶点的任意一点,直线A P ,B P 分别交y 轴于M ,N ,证明:O M ңO N ң=b 2.证:设P x 0,y 0(),y0ʂ0,M 0,m (),N 0,n (),A -a ,0(),B a ,0(),则A P ңʊAM ң,即x 0+a ,y0()ʊa ,m (),所以m x 0+a ()=a y0,即m =a y 0x 0+a .同理,由B P ңʊB N ң,得n =-a y 0x 0-a .所以,O MңO N ң=m n =a y 0x 0+a ㊃-a y 0x 0-a =a 2y 20x 20-a 2=y 20x 20a 2-1=y 20y20b2=b 2.ʌ变式1ɔ㊀(2009·江西理,21)已知双曲线x 22b 2-y 225b2=1b >0()的左㊁右顶点为B ,D ,在双曲线上任取一点Q x 0,y 0()y0ʂ0(),直线Q B ,Q D 分别交y 轴于M ,N 两点,求证:以MN 为直径的圆过两定点.第十章 圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃171㊀㊃心得体会图㊀10-44ʌ例10.62ɔ㊀如图10-44所示,已知抛物线y 2=2px p >0(),动直线l 过定点Q q ,0(),且l 与抛物线交于A ,B 两点,AM 垂直于x 轴于M ,B N 垂直于x 轴于N ,AM ᶄ垂直于y 轴于M ᶄ,B N ᶄ垂直于y 轴于N ᶄ,证明:O M ңO N ң=q 2,O M ᶄңO N ᶄң=2p |q|.ʌ解析ɔ㊀证:由题意知直线l 的斜率非零,故可设直线l :x =t y +qt ɪR (),A x 1,y 1(),B x 2,y 2().由y 2=2px x =t y +q{,得y 2-2p t y -2p q =0.所以O M ᶄңO N ᶄң=y 1y 2=2p |q|,O M ᶄңO N ᶄң=x 1x 2=y 212p ㊃y 222p =y 1y 2()24p 2=4p 2q 24p2=q 2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈题型154㊀最值问题思路提示:有两种求解方法:一是几何方法,即利用几何性质结合图形直观求解;二是建立目标函数,通过求函数的最值求解.ʌ例10.63ɔ㊀设椭圆x 225+y 216=1的左㊁右焦点分别为F 1,F 2,点M 是椭圆上任意一点,点A 的坐标为2,1(),求M F 1+MA 的最大值和最小值.ʌ分析ɔ㊀本题若设M x ,y (),建立目标函数MA +M F 1=f x ,y (),则会作茧自缚.但是注意到F 1为椭圆左焦点,联想到椭圆定义及三角形中边的关系不等式时,问题就容易获解.图㊀10-45ʌ解析ɔ㊀如图10-45所示,因为M 在椭圆上,所以有M F 1+M F 2=2a =10.令Z =M F 1+MA ,得Z =10+MA -M F 2.当M ,A ,F 2三点不共线时,有-A F 2<MA -M F 2<A F 2,当M 落在F 2A 的延长线时,MA -M F 2=-F 2A ,当M 落在A F 2的延长线时,MA -M F 2=F 2A .所以Z m a x =10+F 2A =10+2-3()2+1-0()2=10+2,Z m i n =10-F 2A =10-2.ʌ评注ɔ㊀这里利用椭圆定义㊁三角形两边之差小于或等于(注意等号成立的条件)第三边,使与曲线有关的最值转化为直线段间的最值.应明确这里不能用F 1M +AM ȡF 1A =26,求得F 1M +AM ȡF 1A 的最小值26,原因是取不到等号,如果要取到等号,那么M 必须在线段F 1A 上,但这是不可能的.ʌ变式1ɔ㊀如图10-46所示,已知点P 是抛物线y 2=4x 上的点,设点P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线l :x +2y -12=0的距离为d 2,求d 1+d 2的最小值.ʌ变式2ɔ㊀(2009·辽宁理,16)如图10-47所示,已知点F 是双曲线x 24-y 212=1的左焦点,点A 坐标为1,4(),P 是双曲线右支上的动点,则P F +P A 的最小值㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃172㊀㊃心得体会为㊀㊀㊀㊀.图㊀10-46图㊀10-47ʌ变式3ɔ㊀(2011㊃广东理,19(2))已知点P 为双曲线L :x 24-y 2=1上的动点,M 355,455æèöø,F 5,0().求MP -F P 的最大值及此时点P 的坐标.ʌ变式4ɔ㊀(2011㊃广东文,21(2))在平面直角坐标系x O y 中,已知E 的方程是y 2=4x +4或x <-1y=0{.已知T 1,-1(),设H 是E 上动点,求H O +HT 的最小值,并给出此时点H 的坐标.ʌ例10.64ɔ㊀(2009㊃重庆理,20)已知椭圆x 2+y 24=1,点M 是椭圆上的动点,若C ,D 的坐标分别是0,-3(),0,3(),求M C MD 的最大值.ʌ分析ɔ㊀求积的最大值,由 和为定值积有最大值 知,必须找出和为定值.ʌ解析ɔ㊀由题设知C ,D 是椭圆的上㊁下焦点,故由椭圆的定义知M C +MD =24=4.所以M CMD ɤM C +MD 2æèöø2=42æèöø2=4.当且仅当M C =MD 时取等号,即M 为左㊁右顶点时取等号.所以,当M 为左㊁右顶点时,M C ㊃MD 的最大值为4.ʌ评注ɔ㊀本题运用均值不等式求最值,但要注意使用均值不等式的条件:一正,二定,三相等,四同时.积为定值时,和最小a +b ȡ2a b a ,b >0();和为定值时,积最大a b ɤa +b 2æèöø2a ,b >0(),取等号的条件均为a =b .ʌ变式1ɔ㊀(2006㊃全国Ⅰ,理20)已知椭圆x 2+y 24=1在第一象限部分为曲线C ,动点P 在C 上,C 在点P 处的切线与x ,y 轴的交点分别为A ,B ,且向量O M ң=O A ң+O B ң,求O M ң的最小值.ʌ变式2ɔ㊀(2010㊃广东文,21)已知曲线C :y =n x 2,点P n x n ,y n ()x n >0,yn >0()是曲线C n 上的点n =1,2, ().(1)试写出曲线C n 在点P n 处的切线l n 的方程,并求出l n 与y 轴的交点Q n 的坐标;(2)若原点O 0,0()到l n 的距离与线段P n Q n 的长度之比取到最大值,试求点P n 的坐标x n ,yn ();(3)设m 与k 为两个给定的不同的正整数,x n 与y n 是满足(2)中条件的点P n第十章 圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃173㊀㊃心得体会的坐标.证明:ðs n =1m +1()x n2-k +1()y n <m s -k s s =1,2, ().ʌ变式3ɔ㊀(2011㊃山东理,22)已知动直线l 与椭圆C :x 23+y 22=1交于P (x 1,y 1),Q (x 2,y2)两个不同点,且әO P Q 的面积S әO P Q =62,其中O 为坐标原点.(1)证明:x 21+x 22和y 21+y 22均为定值;(2)设线段P Q 的中点为M ,求O M P Q 的最大值;(3)椭圆C 上是否存在三点D ,E ,G ,使得S әO D E =S әO D G =S әO E G=62?若存在,判断әD E G 的形状;若不存在,请说明理由.图㊀10-48ʌ例10.65ɔ㊀(2009㊃陕西理,21)已知双曲线y 24-x 2=1,如图10-48所示,P 是双曲线上一点,A ,B 两点在双曲线的两条渐近线上,且分别位于第一㊁二象限,若A P ң=λP B ң,λɪ13,2[],求әA O B 的面积的取值范围.ʌ分析ɔ㊀由图10-48可知,S әA O B =12O AO B s i n øA O B ,从而只要知道A ,B 两点的坐标即可.ʌ解析ɔ㊀设A m ,2m (),B -n ,2n ()m ,n >0(),P x ,y (),由A P ң=λP B ң知点P 坐标为m -λn 1+λ,2m +2λn 1+λæèöø,又P 在双曲线上,所以2m +2λn 1+λæèöø24-m -λn 1+λæèöø21=1⇒m n =1+λ()24λ=λ+1λ+24.设øA O B =2θ,因为t a n π2-θæèöø=2,所以t a n θ=12,s i n 2θ=2t a n θ1+t a n 2θ=11+14=45,所以S әA O B =12ˑ5m ˑ5n ˑ45=2m n =12λ+1λæèöø+1,又λɪ13,2[],当λ=1时,S әA O B 取最小值为2;当λ=13时,S әA O B 取最大值为83.所以S әA O B ɪ2,83[].ʌ评注ɔ㊀本题建立目标函数,即әA O B 的面积与λ的函数关系S λ()=12λ+1λæèöø+1,利㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃174㊀㊃心得体会用函数的单调性来求解.ʌ变式1ɔ㊀已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ,A ,B 是抛物线上的两动点,且A F ң=λF B ңλ>0(),过A ,B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M .(1)证明:F M ң㊃A B ң为定值;(2)求әA B M 的面积的最小值.ʌ例10.66ɔ㊀(2008㊃全国Ⅱ理,21)设椭圆中心在坐标原点,A 2,0(),B 0,1()是它的两个顶点,直线y =k x k >0()与椭圆交于E ,F 两点,求四边形A E B F 面积的最大值.ʌ分析ɔ㊀将四边形A E B F 分割为两个三角形来求面积.ʌ解析ɔ㊀设E x 0,y 0(),F -x 0,-y 0(),x 0,y 0>0,由题意知椭圆方程为x 24+y 2=1,如图10-49所示,S 四边形A E B F =S әA E F +S әB E F =12O A y 0--y 0()+图㊀10-4912O B x 0--x 0()=2y0+x 0,又x 204+y 20=1即x 20+4y 20=4,4=x 20+4y 20ȡ4x 0y0(当x 0=2y0时等号成立).所以S 2四边形A E B F =x 0+2y 0()2=x 20+4x 0y 0+4y20ɤ4+x 20+2y0()2=8,即S 四边形A E B F ɤ22,当且仅当x 0=2y 0时取等号.另解:设x 0=2c o s θ,y0=s i n θ,θɪ0,π2æèöø,则S 四边形A E B F =2c o s θ+s i n θ=22s i n θ+π4æèöøɤ22.故四边形A E B F 的面积的最大值为22.ʌ例10.67ɔ㊀(2009㊃全国Ⅰ理,21)如图10-50所示,已知抛物线E :y 2=x 与圆M :x -4()2+y2=r 2r >0()相交于A ,B ,C ,D 四点.图㊀10-50(1)求r 的取值范围;(2)当四边形A B C D 的面积最大时,求对角线A C ,B D的交点P 的坐标.ʌ解析ɔ㊀(1)将y 2=x 代入x -4()2+y 2=r 2并化简得x 2-7x +16-r 2=0①.因为E 与M 有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x 1,x 2,由此得Δ=-7()2-416-r 2()>0x 1+x 2=7>0x 1x 2=16-r 2>0ìîí,解得154<r 2<16.又r >0,所以r 的取值范围是152,4æèöø.(2)不妨设E 与M 的四个交点坐标分别为A x 1,x 1(),B x 1,-x 1(),第十章 圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃175㊀㊃心得体会C x 2,-x 2(),D x 2,x 2(),则直线A C ,B D 的方程分别为y -x1=-x 2-x 1x 2-x 1㊃x -x 1(),y +x1=x 2+x 1x 2-x 1㊃x -x 1().解得点P 的坐标为x 1x 2,0().设t =x 1x 2,由t =16-r 2及(1)知0<t <72.由于四边形A B C D 为等腰梯形,因而其面积S =122x 1+2x 2()㊃x 2-x 1.即S 2=x 1+x 2+2x 1x 2()㊃x 1+x 2()2-4x 1x 2[].将x 1+x 2=7,x 1x 2=t 代入上式,并令f (t )=S 2,得f (t )=7+2t ()2㊃7-2t ()0<t <72æèöø.求导数得f ᶄ(t )=-22t +7()6t -7().令f ᶄ(t )=0,解得t =76,t =-72(舍去).显然当0<t <76时,fᶄ(t )>0,当76<t <72时,f ᶄ(t )<0.故当且仅当t =76时,f (t )有最大值,即四边形A B C D 的面积最大.故所求的点P 的坐标为76,0æèöø.ʌ评注ɔ㊀本题主要有两个考查点:一个是考查将曲线与曲线的交点问题转化为二次方程的根的个数问题,是较基本的问题;另一个是考查四边形A B C D 的面积最大值问题,是本题的核心点.要注意本题中表面上求点的坐标,实质上是求四边形A B C D 面积的最大值,而且在求目标函数最值的过程中,利用导数判断函数单调性的方法,从而使本题的综合性大大提高.ʌ变式1ɔ㊀(2011·湖南文,21)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1,l 2,设l 1与轨迹C 相交于点A ,B ,l 2与轨迹C 相交于点D ,E ,求A D ң㊃E B ң的最小值.第十一章㊀算法初步考纲解读┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1.了解算法的含义和思想.2.理解程序框图的3种基本逻辑结构:顺序㊁条件分支㊁循环.3.理解几种基本算法语句输入㊁输出㊁赋值㊁条件和循环语句的含义.命题趋势探究┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈㊀㊀预测在2012年高考中,本章知识仍为考查的热点,内容以程序框图为主.从形式上看,以选择题和填空题为主,以实际问题为背景,侧重知识应用能力的考查,要求考生具备一定的逻辑推理能力.本专题主要考查算法的逻辑结构,要求能够写出程序的运行结果㊁指明算法的功能㊁补充程序框图㊁求输入参量,并常将算法与其他版块知识(尤其是与数列)进行综合考查.一般来说,有关算法的试题属容易题目,分值稳定在5分.知识点精讲一㊁算法与程序框图1.算法算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是确定的和能执行的,而且能够在有限步之内完成.2.程序框图(1)定义:程序框图又称流程图,是一种用程序框㊁流程线及文字说明来表示算法的图形.(2)说明:在程序框图中一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;带有方向的流程线将程序框连接起来,表示算法步骤的执行顺序.3.3种基本逻辑结构程序框图有3种基本的逻辑结构,如表11-1所示.第十一章 算法初步㊀㊀㊀㊃177㊀㊃心得体会表㊀11-1㊀㊀名称内容㊀㊀顺序结构条件结构循环结构定义顺序结构由若干个依次执行的步骤组成,是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向,条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤,反复执行的步骤称为循环体程序框图二㊁基本算法语句1.3种语句的一般格式和功能3种基本算法语句的一般格式和功能如表11-2所示.表㊀11-2语句一般格式功能输入语句I N P U T提示内容 ;变量输入信息输出语句P R I N T提示内容 ;表达式输出结果赋值语句变量=表达式将表达式的值赋给变量2.条件语句(1)算法中的条件结构由条件语句来表达.(2)条件语句的格式及框图如图11-1和图11-2所示.①I F T H E N 格式图㊀11-1②I F T H E N E L S E 格式图㊀11-2㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃178㊀㊃心得体会3.循环语句(1)算法中的循环结构由循环语句来实现.(2)循环语句的形式及框图如图11-3和图11-4所示.①U N T I L语句图㊀11-3②WH I L E语句图㊀11-4(3)WH I L E 语句与U N T I L 语句之间的区别与联系如表11-3所示.表㊀11-3WH I L E 语句U N T I L 语句区别执行循环体前测试条件,当条件为真时执行循环体,当条件为假时终止循环,可能不执行循环体执行循环体后测试语句条件,当条件为假时执行循环体,当条件为真时终止循环,最少执行一次循环体联系可以相互转换,L O O PU N T I L (条件)相当于WH I L E (反条件)三㊁算法案例1.辗转相除法辗转相除法又叫欧几里得算法,是一种求最大公约数的古老而有效的算法,其步骤如下:(1)用两数中较大的数除以较小的数,求商和余数;(2)以除数和余数中较大的数除以较小的数;(3)重复上述两步,直到余数为0;(4)则较小的数是两数的最大公约数.2.更相减损术更相减损术是我国古代数学专著‘九章算术“中介绍的一种求两数最大公约数的算法,其基本过程为:对于任意给定的两个正整数,以大数减小数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,继续该操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数.第十一章 算法初步㊀㊀㊀㊃179㊀㊃心得体会3.秦九韶算法秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作‘数书九章“中提出的一种用于计算一元n 次多项式的值的方法.4.进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统, 满k 进1 就是k 进制,k 进制的基数是k.题型归纳及思路提示┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈题型155㊀已知流程框图,求输出结果思路提示:分析条件结构,确定最后一步运算.ʌ例11.1ɔ㊀(2010㊃全国新课标理,7(文,8))如果执行如图11-5所示的框图,输入N =5,则输出的数等于(㊀㊀).图㊀11-5A .54㊀㊀㊀㊀B .45㊀㊀㊀㊀C .65㊀㊀㊀㊀D .56ʌ分析ɔ㊀解决这类算法问题时,一般有两种思路:一是把人看作计算机,程序执行哪一步,我们就计算哪一步,一直到程序终止,这类方法往往适用于步骤比较简单㊁循环次数不十分多的程序;另一种思路是分析程序的原理,了解程序实质要完成的目标,将其还原为数学模型,从而对数学模型进行求解.ʌ解析ɔ㊀解法一:S =0,k =1,S =0+11ˑ2=12,1<5,是ңk =2,S=12+12ˑ3=23,2<5,是ңk =3,S =23+13ˑ4=34,3<5,是ңk =4,S =34+14ˑ5=45,4<5,是ңk =5,S =45+15ˑ6=56,5<5,否,程序结束.解法二:本题实质上是求解ð5k =11k k +1(),故S =0+11ˑ2+12ˑ3+ +15ˑ6=1-12+12-13+ +15-16=56.故选D .ʌ变式1ɔ㊀(2010㊃沈阳监测理,2)执行如图11-6所示的程序框图,则输出的结果S 是㊀㊀㊀㊀.ʌ变式2ɔ㊀(2010㊃天津河西区调查)如图11-7所示,该程序框图的输出结果是㊀㊀㊀㊀.ʌ变式3ɔ㊀(2007㊃山东理,10)阅读如图11-8所示的流程框图,若输入的n 是100,则输出的变量S 和T 的值分别是(㊀㊀).A .2500,2500B .2550,2550C .2500,2550D .2550,2500ʌ变式4ɔ㊀(2011㊃课标全国理,3)执行如图11-9所示的程序框图,如果输入的N 是6,㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃180㊀㊃心得体会则输出的p 是(㊀㊀).A.120B .720C .1440D .5040ʌ变式5ɔ㊀(2011㊃浙江理,12)若某程序框图如图11-10所示,则该程序运行后输出的k 的值是㊀㊀㊀㊀.㊀㊀㊀图㊀11-6㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图㊀11-7㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图㊀11-8图㊀11-9图㊀11-10图㊀11-11ʌ例11.2ɔ㊀(2010㊃辽宁文,5)如果执行如图11-11所示的流程框图,输入n =6,m =4,那么输出的P 等于(㊀㊀)A .720B .360C .240D .120ʌ解析ɔ㊀k =1,P =1ˑ6-4+1()=3,1<4ңk =2,P =3ˑ6-4+2()=12,2<4ңk =3,P =12ˑ6-4+3()=60,3<4ңk =4,P =60ˑ6-4+4()=360,4=4程序结束ң输出P =360.故选B .ʌ变式1ɔ㊀(2010㊃辽宁理,4)如果执行如图11-11所示的程序框图,输入正整数n ,m ,㊃181㊀㊃心得体会满足n ȡm ,那么输出的P 等于(㊀㊀).A .C m -1nB .A m -1nC .C m nD .A mnʌ变式2ɔ㊀(2010㊃天津文,3)阅读图11-12所示的流程框图,则输出S 的值为(㊀㊀).A .-1B .0C .1D .3ʌ变式3ɔ㊀(2010㊃安徽文,13(理,14))如图11-13所示,流程框图(算法流程图)的输出值x =㊀㊀㊀㊀.图㊀11-12㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图11-13ʌ变式4ɔ㊀(2011㊃辽宁理,6)执行如图11-14所示的程序框图,如果输入的n 是4,则输出的p 是(㊀㊀).A .8B .5C .3D .2ʌ变式5ɔ㊀(2011㊃安徽理,11)如图11-15所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是㊀㊀㊀㊀.图㊀11-14图㊀11-15图㊀11-16㊃182㊀㊃心得体会ʌ变式6ɔ㊀(2011㊃湖南理,13)若执行如图11-16所示的框图,输入x 1=1,x 2=2,x 3=3,x =2,则输出的数等于㊀㊀㊀㊀.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈题型156㊀根据条件,填充不完整的流程图思路提示:程序框图缺失的不同,会导致不同的解决方法,如果缺少循环条件,那么程序主体是可以被理解的,因此转化为数学模型,然后根据初始值和输出值来计算循环了多少次从而得到循环条件;如果缺少循环主体中的一环,那么就要理解程序的目的是什么,然后补充起来.图㊀11-17ʌ例11.3ɔ㊀(2010㊃北京文,9)已知函数y =l o g 2x (x ȡ2)2-x (x <2){,如图11-17所示,表示的是给定x 的值,求其对应的函数值y 的程序框图.①处应填写㊀㊀㊀㊀;②处应填写㊀㊀㊀㊀.ʌ解析ɔ㊀依题意,①处应填写x <2?;②处应填写y =l o g 2x .ʌ变式1ɔ㊀(2010㊃陕西文,5)如图11-18所示是求x 1,x 2, ,x 10的乘积S 的程序框图,图中空白框中应填入的内容为(㊀㊀).A .S =S ∗n +1()B .S =S ∗x n +1C .S =S ∗nD .S =S ∗x n㊀㊀㊀图㊀11-18㊀㊀㊀㊀㊀图㊀11-19ʌ变式2ɔ㊀(2010㊃陕西理,6)如图11-19所示是求样本x 1,x 2, ,x 10平均数ʏx 的程序框图,图中空白框中应填入的内容为(㊀㊀).A .S =S +x nB .S =S +x nn C .S =S +n D .S =S +1nʌ例11.4ɔ㊀(2010㊃山东青岛质检,8)如图11-20所示的程序框图,输出的S 是126,则①应为㊀㊀㊀㊀.A .n ɤ5B .n ɤ6?C .n ɤ7?D .n ɤ8?㊃183㊀㊃心得体会图㊀11-20ʌ解析ɔ㊀S =0+21+22+ +2n=126⇒21-2n()1-2=126⇒n =6,所以根据流程图模拟分析,填入选择框的条件为n ɤ6.故选B .ʌ变式1ɔ㊀(2010㊃浙江嘉兴测试,2)一个算法的程序框图如图11-21所示,若该程序的输出结果为56,则判断框中应填入的条件是(㊀㊀).A .i <5B .i <6?C .i ȡ5D .i ȡ6?ʌ变式2ɔ㊀(2010㊃广州测试一,4)阅读如图11-22所示的程序框图,若输出的S 的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是(㊀㊀).A .i >5B .i >6?C .i >7?D .i >8?ʌ变式3ɔ㊀阅读如图11-22所示的程序框图,若在程序框图中的判断框内填写的条件是i >m ,试问正整数m 的最小值为何值时,输出的S 的值超过1000?㊀㊀㊀图㊀11-21㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图㊀11-22图㊀11-23ʌ例11.5ɔ㊀(2010㊃浙江理,2(文,4))某程序框图如图11-23所示,若输出S =57,则判断框内为(㊀㊀).A .k >4㊀㊀B .k >5?㊀㊀C .k >6?㊀㊀D .k >7?ʌ解析ɔ㊀如表11-4所示,根据模拟分析,判断框内的条件为k >4?.故选A .表㊀11-4k k =1()S S =1()条件第1次22ˑ1+2=4否第2次32ˑ4+3=11否第3次42ˑ11+4=26否第4次52ˑ26+5=57是㊃184㊀㊃心得体会ʌ变式1ɔ㊀某程序框图如图11-23所示,若判断框内填入k >m ?,试问正整数m 最小为何值时,程序输出的S 值超过1000ʌ变式2ɔ㊀(2010㊃天津理,4)阅读如图11-24所示的程序框图,若输出S 的值为-7,则判断框内应填写(㊀㊀).A .i <3B .i <4?C .i <5?D .i <6?ʌ变式3ɔ㊀阅读如图11-24所示的程序框图,若判断框内的条件为i <m ?,当正整数m 的最小值为何值时,输出S 的值小于-1000ʌ变式4ɔ㊀设:1+12+13+14+15+16+17=m n ,如图11-25所示是计算分数m n中分子m 和分母n 的程序流程,试填入流程框图中所缺部分.①㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀;②㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀.㊀图㊀11-24㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图㊀11-25┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈题型157㊀求输入参量ʌ例11.6ɔ㊀(1)执行如图11-26所示的程序框图,若输出的n 为4,则输入P 的取值范围为(㊀㊀).图㊀11-26A .0.75,0.875()B .0.75,0.875(]C .0.75,0.875[)D .0.75,0.875[](2)执行如图11-26所示的程序框图,若输出的n 为4,则输入P 可能为(㊀㊀).A .0.7㊀㊀B .0.75㊀㊀C .0.8㊀㊀D .0.9(3)(2008㊃山东理,13(文,14))执行如图11-26所示的程序框图,若P =0.8,则输出n =㊀㊀㊀㊀.ʌ解析ɔ㊀(1)产生 n =2 的条件为 P >0 ;产生 n =3的条件为 P >12 ;产生 n =4 的条件为 P >34;产生 n =5的条㊃185㊀㊃心得体会件为 P >78 .输出 n =4 的条件为产生 n =4 的条件,而不产生 n =5 ,即P >34且P ɤ78.故输入P 的取值范围为0.75,0.875(].故选B .(2)由(1)得,若输出n =4,则P ɪ0.75,0.875(],故选C .(3)依题意P =0.8,如表11-5所示,则输出n =4.表㊀11-5PS <P S S =0()n n =1()第1次0.8是122第2次0.8是12+122=343第3次0.8是34+123=784第4次0.8否ʌ变式1ɔ㊀(2010㊃丰台一模理,13)在如图11-27所示的程序框图中,若输出i 的值是4,则输入x 的取值范围是㊀㊀㊀㊀图㊀11-27图㊀11-28ʌ变式2ɔ㊀(2011㊃陕西理,8)如图11-28所示,x 1,x 2,x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,p 为该题的最终得分.当x 1=6,x 2=9,p =8.5时,x 3等于(㊀㊀).A .11B .10C .8D .7┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈题型158㊀算法综合思路提示:本题型是程序框图与其他知识的综合,它不仅要求学生能正确掌握程序框图,还要求学生对综合知识有较深的理解,是算法的难点.与程序框图进行综合的主要有函数㊁数列㊁三角㊁概率㊁统计㊁实际问题等,是高考命题的亮点.ʌ例11.7ɔ㊀(2009㊃广东)随机抽取某产品n 件,测得其长度分别为a 1,a 2, ,a n ,则如。
高考数学 真题分类汇编：专题(15)复数(理科)及答案
专题十五 复数1.【20xx 高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【20xx 高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【20xx 高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【20xx 高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【20xx 高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【20xx 高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【20xx 高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【20xx 高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9.【20xx 高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a +，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【20xx 高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【20xx 江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【20xx 高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【20xx 高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+⇒==⇒=+且 【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【20xx 高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版导数与三角函数的问题在近几年的高考数学试题中频繁出现，主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数围、隐零点问题及零点存在性赋值理论。
这些问题的形式逐渐多样化、综合化。
一、零点存在定理例1.【2019全国Ⅰ理20】函数$f(x)=\sin x-\ln(1+x)$，$f'(x)$为$f(x)$的导数。
证明：1）$f'(x)$在区间$(-1,)$存在唯一极大值点；2）$f(x)$有且仅有2个零点。
解析】（1）设$g(x)=f'(x)$，则$g(x)=\cos x-\frac{1}{1+x}$，$g'(x)=-\sin x+\frac{1}{(1+x)^2}$。
当$x\in(-1,\frac{\pi}{2})$时，$g'(x)$单调递减，而$g'(0)>0$，$g'(\frac{\pi}{2})<0$，可得$g'(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$有唯一零点，设为$\alpha$。
则当$x\in(-1,\alpha)$时，$g'(x)>0$；当$x\in(\alpha,\frac{\pi}{2})$时，$g'(x)<0$。
所以$g(x)$在$(-1,\alpha)$单调递增，在$(\alpha,\frac{\pi}{2})$单调递减，故$g(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$存在唯一极大值点，即$f'(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$存在唯一极大值点。
2）$f(x)$的定义域为$(-1,+\infty)$。
i) 由(1)知，$f'(x)$在$(-1,0)$单调递增，而$f'(0)=0$，所以当$x\in(-1,0)$时，$f'(x)<0$，故$f(x)$在$(-1,0)$单调递减，又$f(0)=0$，从而$x=0$是$f(x)$在$(-1,0]$的唯一零点。
2023年高考数学总复习历年真题题型归纳与模拟预测2-3函数与方程、不等式带讲解
☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第二章 函数2.3 函数与方程、不等式高考对函数应用的考查主要是函数零点个数的判断、零点所在的区间．近几年全国卷考查函数模型及其应用较少，但也要引起重视.题型一.函数零点的个数1．（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝lnxD ．y ＝x 2+1【解答】解：对于A ，定义域为R ，并且cos （﹣x ）＝cos x ，是偶函数并且有无数个零点；对于B ，sin （﹣x ）＝﹣sin x ，是奇函数，由无数个零点；对于C ，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D ，定义域为R ，为偶函数，都是没有零点；故选：A ．2．（2013•天津）函数f （x ）＝2x |log 0.5x |﹣1的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：函数f （x ）＝2x |log 0.5x |﹣1，令f （x ）＝0，在同一坐标系中作出y ＝（12）x ．与y ＝|log 0.5x |，如图，由图可得零点的个数为2．故选：B ．3．（2019•新课标Ⅲ）函数f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：函数 f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数，即方程2sin x ﹣sin2x ＝0 在区间[0，2π]的根个数，即2sin x ＝sin2x ＝2sin x cos x 在区间[0，2π]的根个数，即sin x ＝0 或 cos x ＝1 在区间[0，2π]的根个数，解得x ＝0或 x =π 或 x ＝2π．所以函数f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数为3个．故选：B ．4．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），若函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|与y ＝f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则∑ m i=1x i ＝（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【解答】解：∵函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），故函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象也关于直线x ＝1对称，故函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|与 y ＝f （x ） 图象的交点也关于直线x ＝1对称，不妨设x 1＜x 2＜…＜x m ，则点（x 1，y 1）与点（x m ，y m ），点（x 2，y 2）与点（x m ﹣1，y m ﹣1），…都关于直线x ＝1对称，所以x 1+x m ＝x 2+x m ﹣1＝…＝x m +x 1＝2，由倒序相加法可得∑ m i=1x i =12×2m ＝m ， 故选：B ．5．（2012•辽宁）设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （﹣x ）＝f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 3．又函数g （x ）＝|x cos （πx ）|，则函数h （x ）＝g （x ）﹣f （x ）在[−12，32]上的零点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【解答】解：因为当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 3．所以当x ∈[1，2]时2﹣x ∈[0，1]，f （x ）＝f （2﹣x ）＝（2﹣x ）3，当x ∈[0，12]时，g （x ）＝x cos （πx ），g ′（x ）＝cos （πx ）﹣πx sin （πx ）； 当x ∈[12，32]时，g （x ）＝﹣x cos πx ，g ′（x ）＝πx sin （πx ）﹣cos （πx ）． 注意到函数f （x ）、g （x ）都是偶函数，且f（0）＝g（0），f（1）＝g（1）＝1，f（−12）＝f（12）=18，f（32）＝（2−32）3=18，g（−12）＝g（12）＝g（32）＝0，g（1）＝1，g′（1）＝1＞0，根据上述特征作出函数f（x）、g（x）的草图，函数h（x）除了0、1这两个零点之外，分别在区间[−12，0]，[0，12]，[12，1]，[1，32]上各有一个零点．共有6个零点，故选：B．题型二.已知函数零点求参1．（2018•新课标Ⅲ）已知函数f（x）={e x，x≤0lnx，x＞0，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．2．（2019•天津）已知函数f （x ）={2√x ，0≤x ≤1，1x，x ＞1．若关于x 的方程f （x ）=−14x +a （a ∈R ）恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A ．[54，94]B ．（54，94]C ．（54，94]∪{1}D ．[54，94]∪{1} 【解答】解：作出函数f （x ）={2√x ，0≤x ≤1，1x，x ＞1．的图象，以及直线y =−14x 的图象，关于x 的方程f （x ）=−14x +a （a ∈R ）恰有两个互异的实数解，即为y ＝f （x ）和y =−14x +a 的图象有两个交点，平移直线y =−14x ，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a =94或a =54，考虑直线与y =1x 在x ＞1相切，可得ax −14x 2＝1，由△＝a 2﹣1＝0，解得a ＝1（﹣1舍去），综上可得a 的范围是[54，94]∪{1}． 故选：D ．3．（2016•天津）已知函数f （x ）={x 2+(4a −3)x +3a ，x ＜0log a (x +1)+1，x ≥0（a ＞0，且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f （x ）|＝2﹣x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，23]B ．[23，34]C ．[13，23]∪{34}D ．[13，23）∪{34} 【解答】解：y ＝log a （x +1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a ＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：{3−4a 2≥00＜a ＜102+(4a −3)⋅0+3a ≥log a (0+1)+1；解得，13≤a ≤34； 由图象可知，在[0，+∞）上，|f （x ）|＝2﹣x 有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f （x ）|＝2﹣x 同样有且仅有一个解，当3a ＞2即a ＞23时，联立|x 2+（4a ﹣3）x +3a |＝2﹣x ，则△＝（4a ﹣2）2﹣4（3a ﹣2）＝0，解得a =34或1（舍去），当1≤3a ≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为[13，23]∪{34}， 故选：C ．4．（2016•山东）已知函数f （x ）={|x|，x ≤m x 2−2mx +4m ，x ＞m，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 （3，+∞） ．【解答】当m ＞0时，函数f （x ）={|x|，x ≤mx 2−2mx +4m ，x ＞m的图象如下：∵x ＞m 时，f （x ）＝x 2﹣2mx +4m ＝（x ﹣m ）2+4m ﹣m 2＞4m ﹣m 2，∴y 要使得关于x 的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，必须4m ﹣m 2＜m （m ＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．5．（2021•濂溪区校级开学）已知f （x ）={−sin π2x ，−2≤x ≤0，|lnx|，x ＞0，若关于x 的方程f （x ）＝k 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4.（其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4）则x 1+x 2+x 3+2x 4的取值范围是（ ）A ．（0，2e +1e −2）B ．（0，e +1e −2）C ．（1，e +1e −2）D ．（1，2e +1e −2） 【解答】解：关于x 的方程f （x ）k 有四个实根，则y ＝f （x ）与y ＝k 有四个交点，横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4．则x 1+x 2＝﹣2，1e ＜x 3＜1＜x 4＜e ，且ln |x 3|＝ln |x 4|，即x 3x 4＝1， ∴x 1+x 2+x 3+2x 4=−2+x 3+2x 4=x 3+2x 3−2， 令g(x)=x +2x −2，x ∈(1e ，1)，则g′(x)=1−2x 2＜0，所以g （x ）在(1e ，1)上单调递减， ∴1＜g(x)＜2e +1e −2，即x 1+x 2+x 3+2x 4的取值范围为(1，2e +1e −2)．故选：D ．6．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +a （e x ﹣1+e ﹣x +1）有唯一零点，则a ＝（ ）A ．−12B ．13C ．12D ．1【解答】解：f （x ）＝x 2﹣2x +a （e x ﹣1+e﹣x +1）＝（x ﹣1）2+a （e x ﹣1+e ﹣x +1）﹣1， 令t ＝x ﹣1，则y ＝t 2+a （e t +e ﹣t ）﹣1为偶函数，图象关于t ＝0对称，若y ＝0有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当t ＝0时，y ＝﹣1+2a ＝0，所以a =12．故选：C ．题型三.函数与不等式1．（2014•新课标Ⅲ）设函数f （x ）={e x−1，x ＜1x 13，x ≥1，则使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是 x ≤8 ． 【解答】解：x ＜1时，e x ﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x ≥1时，x 13≤2，∴x ≤8，∴1≤x ≤8，综上，使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是x ≤8．故答案为：x ≤8．2．（2018•新课标Ⅲ）设函数f （x ）={2−x ，x ≤01，x ＞0，则满足f （x +1）＜f （2x ）的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，0） 【解答】解：函数f （x ）={2−x ，x ≤01，x ＞0，的图象如图： 满足f （x +1）＜f （2x ），可得：2x ＜0＜x +1或2x ＜x +1≤0，解得x ∈（﹣∞，0）．故选：D ．3．（2013•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）={−x 2+2x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，若|f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0] B ．（﹣∞，1] C ．[﹣2，1] D ．[﹣2，0]【解答】解：由题意可作出函数y ＝|f （x ）|的图象，和函数y ＝ax 的图象，由图象可知：函数y ＝ax 的图象为过原点的直线，当直线介于l 和x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y ＝|f （x ）|在第二象限的部分解析式为y ＝x 2﹣2x ，求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D ．4．（2014•辽宁）已知f （x ）为偶函数，当x ≥0时，f （x ）={cosπx ，x ∈[0，12]2x −1，x ∈(12，+∞)，则不等式f （x ﹣1）≤12的解集为（ ） A ．[14，23]∪[43，74]B ．[−34，−13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[−34，−13]∪[13，34]【解答】解：当x ∈[0，12]，由f （x ）=12，即cosπx =12， 则πx =π3，即x =13，当x ＞12时，由f （x ）=12，得2x ﹣1=12，解得x =34， 则当x ≥0时，不等式f （x ）≤12的解为13≤x ≤34，（如图）则由f （x ）为偶函数，∴当x ＜0时，不等式f （x ）≤12的解为−34≤x ≤−13， 即不等式f （x ）≤12的解为13≤x ≤34或−34≤x ≤−13，则由13≤x ﹣1≤34或−34≤x ﹣1≤−13，解得43≤x ≤74或14≤x ≤23，即不等式f （x ﹣1）≤12的解集为{x |14≤x ≤23或43≤x ≤74}，故选：A ．1．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：因为函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，且x ≤0时f （x ＝﹣2x （x +2）＝﹣2（x +1）2+2； 所以f （x ）的图象如图，由图可得：y ＝f （x ）与y ＝3只有两个交点； 即函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是2； 故选：B ．2．已知函数f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 的零点在区间（0，1]上，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪（0，+∞）D ．[﹣4，0）【解答】解：因为f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 在区间（0，1]上是单调递增， 函数f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 的零点在区间（0，1]上， 所以{f(0)＜0f(1)≥0，即{m ＜0log 22+3+m ≥0，解得﹣4≤m ＜0．故选：D ．3．设偶函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2．又函数g （x ）＝|cos （πx ）|，则函数h （x ）＝g （x ）﹣f （x ）在区间[−12，32]上的零点个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：∵f （x ）＝f （2﹣x ），故f （x ）的图象关于x ＝1对称， 又函数f （x ）是R 上的偶函数，∴f （x +2）＝f （﹣x ）＝f （x ），∴f（x）是周期函数，T＝2，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝f（﹣x）＝x2．令h（x）＝0，则f（x）＝g（x），在同一坐标系中作y＝f（x）和y＝g（x）在区间[−12，32]上的图象，由图象可得y＝f（x）和y＝g（x）有5个交点，故函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数为5．故选：A．4．已知函数f（x）={ax+1，x＜0lnx，x＞0若函数f（x）的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[−12，0]D．(12，1]【解答】解：函数f（x）={ax+1，x＜0lnx，x＞0若函数f（x）的图象上存在关于坐标原点对称的点，可得x＞0时，ax﹣1＝lnx，有解；可得a=lnx+1x，令g（x）=lnx+1x，g′（x）=−lnxx2，所以x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数是增函数，x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）是减函数，所以g（x）的最大值为：g（1）＝1，所以a≤1．故选：B．5．已知函数f(x)=lnxx，g（x）＝xe﹣x，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则x1x2的最小值为（）A．﹣1B．−2e C．−2e2D．−1e【解答】解：g（x）＝xe﹣x=xe x=lnexe x=f（e x），函数f（x）定义域{x|x＞0}，f′（x）=1−lnx x2，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＝1时，f（1）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，e）时，f（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，此时f（x）＞0，所以若存在x 1∈（0，+∞），x 2∈R ，使得f （x 1）＝g （x 2）＝k （k ＜0）成立， 则0＜x 1＜1且f （x 1）＝g （x 2）＝f （e x 2），所以x 1＝ex 2，即x 2＝lnx 1，所以x 1x 2＝x 1 lnx 1，x 1∈（0，1）， 令h （x ）＝xlnx ，x ∈（0，1）， h ′（x ）＝lnx +1，当x ∈（1e ，1）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，当x ∈（0，1e）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，所以当x =1e时，h （x ）min ＝h （1e）=1e ln 1e =−1e．故选：D ．6．（多选）已知函数f （x ）＝e x +x ﹣2的零点为a ，函数g （x ）＝lnx +x ﹣2的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．e a +lnb ＞2B ．e a +lnb ＜2C ．a 2+b 2＜3D ．ab ＜1【解答】解：由f （x ）＝0，g （x ）＝0得e x ＝2﹣x ，lnx ＝2﹣x ，函数y ＝e x 与y ＝lnx 互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数y ＝e x ，y ＝lnx ，y ＝2﹣x 的图象， 如图所示，则A （a ，e a ），B （b ，lnb ），由反函数性质知A ，B 关于（1，1）对称，则a +b ＝2，e a+lnb ＝2，ab ＜(a+b)24=1，∴A 、B 错误，D 正确．∵f '（x ）＝e x +1＞0．∴f （x ）在R 上单调递增，且f （0）＝﹣1＜0，f(12)=√e −32＞0， ∴0＜a ＜12．∵点A （a ，e a ）在直线y ＝2﹣x 上，即e a ＝2﹣a ＝b ， ∴a 2+b 2=a 2+e 2a ＜14+e ＜3．C 正确．故选：CD ．。
高中数学--历年高考真题精选7(附答案)
高中数学--历年高考真题精选题号 一 二 三 总分 得分一 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为A ．B ．C ．D ．3.在5(1)x +-6(1)x +的展开式中,含3x 的项的系数是(A) -5(B) 5(C) -10 (D) 104.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红橙黄绿蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同，记得这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。
在每一个闪烁中，那么需要的时间至少是 A ．1205秒B ．1200秒C ．1195秒D ．1190秒 5.由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．154B ．174 C ．1ln 22D ．2ln 26. ( 2x －3 )5的展开式中x 2项的系数为（A ）－2160（B ）－1080 （C ）1080（D ）21607.某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 】A ．14B ．16C ．20D ．488.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =9.i 是虚数单位，()=-+113i i i (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i10.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有A.6种B.12种C.24种D.30种二 、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.已知圆C 的圆心是直线1,(1x t y t=⎧⎨=+⎩为参数）与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切，则圆C 的方程为12.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 . 13.若函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .14.若变量x,y 满足约束条件 ,4,,y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且 2z x y =+的最小值为-6，则k =_______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 是BC=CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E 。
高考数学专题复习题：数学归纳法
高考数学专题复习题：数学归纳法一、单项选择题（共6小题）1．利用数学归纳法证明不等式1111()2321nf n ++++<- （2n ≥，且*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（）A ．12k -项B ．2k 项C ．1k -项D ．k 项2．用数学归纳法证明：()()()1221121n n n ++++=++ ，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是（）A ．1B ．13+C ．123++D ．1234+++3．用数学归纳法证明等式()()()3412332n n n +++++++= ()N,1n n ∈≥时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（）A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++4．用数学归纳法证明：11112321n n ++++<- ，()N,1n n ∈≥时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（）A ．2k B ．21k -C ．12k -D ．21k +5．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪-++⎝⎭时，若已假设n k =（2k ≥，k 为偶数）时命题为真，则还需要再证（）A ．1n k =+时等式成立B ．2n k =+时等式成立C ．22n k =+时等式成立D ．()22n k =+时等式成立6．现有命题()()()11*1112345611442n n n n n ++⎛⎫-+-+-++-=+-+∈ ⎪⎝⎭N ，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（）A ．不能用数学归纳法判断此命题的真假B ．此命题一定为真命题C ．此命题加上条件9n >后才是真命题，否则为假命题D ．存在一个无限大的常数m ，当n m >时，此命题为假命题二、多项选择题（共2小题）7．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++8．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++三、填空题（共2小题）9．在运用数学归纳法证明()121*(1)(2)n n x x n +-+++∈N 能被233x x ++整除时，则当1n k =+时，除了n k =时必须有归纳假设的代数式121(1)(2)k k x x +-+++相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为________．10．用数学归纳法证明：()()122342n n n -+++++= （n 为正整数，且2n ）时，第一步取n =________验证．四、解答题（共2小题）11．用数学归纳法证明：()*11111231n n n n +++>∈+++N ．12．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：①证明当0n n =（0n ∈N ）时命题成立；②假设n k =（k ∈N ，且0k n ≥）时命题成立，推导出在1n k =+时命题也成立．用模取余运算：mod a b c =表示“整数a 除以整数b ，所得余数为整数c ”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即a b r c =⨯+，整数r 是商．举一个例子7321=⨯+，则7mod31=；再举一个例子3703=⨯+，则3mod 73=．当mod 0a b =时，则称b 整除a ．从序号分别为0a ，1a ，2a ，3a ，…，na 的1n +个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m （2m ≥）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为()1,f n m +．如()1,0f m =表示当只有1个人时幸运者就是0a ；()6,24f =表示当有6个人而2m =时幸运者是4a ；()6,30f =表示当有6个人而3m =时幸运者是0a ．（1）求10mod3；（2）当1n ≥时，()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++，求()5,3f ；当n m ≥时，解释上述递推关系式的实际意义；（3）由（2）推测当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时，()1,2f n +的结果，并用数学归纳法证明．。
数学归纳法典型例题
数学归纳法典型例题【知识梳理】数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。
近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n 0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n = k（）时命题成立，证明当时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法。
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。
【要点解析】1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。
用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。
2、运用数学归纳法时易犯的错误（1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。
（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。
（3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。
近三年河北高考数学试题试题分单元归纳)
（1）2006（文）已知向量 ＝（4，2），向量 ＝（ ，3），且 // ,则 ＝( )
（A）9 (B)6 (C)5 (D)3
三．解答题
（17）2006（理）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．
（C） ＋ ＋ （D） ＝
（11）2006（理）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝
（A）（B）（C）（D）
（6）2006（文）已知等差数列 中， ，则前10项的和 ＝( )
（A）100 (B)210 (C)380 (D)400
三．解答题
（19）2004（理）(本小题满分12分)
数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝ Sn（n＝1，2，3，…）．证明：
（８）2005（理）已知点 ， ， ．设 的平分线 与 相交于 ，那么有 ，其中 等于
（A）２（B） （C）－３（D）－
（５）2005（文）抛物线 上一点 纵坐标为４，则点 与抛物线焦点的距离为
（A）２（B）３（C）４（D）５
（６）2005（文）双曲线 的渐近线方程是
（A） （B） （C） （D）
(5)2006（文理）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
（Ⅰ）若a⊥b，求θ；
（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．
第七单元解析几何
一．选择题
（4）2004（文理）已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为
（A）(x＋1)2＋y2＝1（B）x2＋y2＝1
（C）x2＋(y＋1)2＝1（D）x2＋(y－1)2＝1
2010-2019历年高考数学《等差数列》真题汇总
2010-2019历年高考数学《等差数列》真题汇总专题六 数列第十五讲 等差数列2019年1. （2019全国Ⅰ文18）记S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =－． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围．2. （2019全国Ⅲ文14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.3.（2019天津文18）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足21,,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶为数为数求()*112222n na c a c a c n N +++∈L .4.（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .2010-2018年一、选择题1．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．（2015新课标2）设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5SA ．5B ．7C ．9D ．13．（2015新课标1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = A ．172 B ．192C ．10D ．12 4．（2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >5．（2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =A ．8B ．10C ．12D ．14 6．（2014重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =A ．5B ．8C ．10D ．147．（2013新课标1）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝A ．3B ．4C ．5D ．68．（2013辽宁）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p 9．（2012福建）等差数列{}n a 中，1510a a +=,47a =，则数列{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．3D ．410．（2012辽宁）在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S A ．58 B ．88 C ．143 D ．17611．（2011江西）设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n s 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =A ．18B ．20C ．22D ．2412．（2011安徽）若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),nn a n a a a =--+++=L 则A ．15B ．12C ．-12D ．-1513．（2011天津）已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．11014．（2010安徽）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为A ．15B ．16C ．49D ．64 二、填空题15．（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_____．16．（2014北京）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =____时，{}n a 的前n 项和最大．17．（2014江西）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．18．（2013新课标2）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为____．19．（2013广东）在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____． 20．（2012北京）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ；n S = ．21．（2012江西）设数列{},{}n n a b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=____．22．（2012广东）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =____．23．（2011广东）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k =_________．三、解答题24．（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．25．（2018北京）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求12e e e n aa a +++L ．26．（2017天津）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ． 27．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 28．（2016年北京）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等差数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．29．（2016年山东）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T ． 30．（2015福建）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．31．（2015山东）已知数列}{n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为12+n n． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设(1)2n an n b a =+⋅，求数列}{n b 的前n 项和n T ． 32．（2015北京）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 33．（2014新课标1）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根．(Ⅰ)求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 34．(2014新课标1)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．35．（2014浙江）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅= （Ⅰ）求d 及n S ；（Ⅱ）求,m k （*,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++=L ． 36．（2013新课标1）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．37．（2013福建）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ．（Ⅰ）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （Ⅱ）若519S a a >，求1a 的取值范围．38．（2013新课标2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．39．（2013山东）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T ,且12n n na T λ++=（λ为常数），令2n n c b =（*n ∈N ）．求数列{}n c 的前n 项和n R ．40．（2011福建）已知等差数列{}n a 中，1a =1，33a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值．41．（2010浙江）设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56S S +15=0．（Ⅰ）若5S =5，求6S 及1a ； （Ⅱ）求d 的取值范围． 答案部分1.解析（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d=-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=.由10a >知0d <，故n n S a…等价于211100n n -+„，解得110n ≤≤．所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟． 2.解析 在等差数列{}n a 中，由35a =，713a =，得731352734a a d --===-，所以132541a a d =-=-=，则1010910121002S ⨯=⨯+⨯=．3.解析（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q 依题意，得23323154q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得33d q =⎧⎨=⎩，故33(1)3n a n n =+-=，1333n nn b -=⨯=.所以，{}n a 的通项公式为3n a n =()n *∈N ，{}n b 的通项公式 为3n n b =()n *∈N .（Ⅱ）112222n na c a c a c ++⋯+()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++⋯++++++L()123(1)3663123183...632n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯L1213233nn T n =⨯+⨯+⋯+⨯. ① 2331313233n T n +=⨯+⨯++⨯L ， ②②-①得，()12311313(21)3323333..3313.2n n n n n n n T n n +++--+=----+=-⨯=-+⨯-，故()121334n n n T +-+=.所以，()122112222213336332n n n n n a c a c a c n T n +-+++=+=+⨯L()22*(21)3692n n n n N +-++=∈.4.解析 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩．所以818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=.2010-2018年1．C 【解析】∵655465()()S S S S a a d---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．2．A 【解析】13533331a a a a a ++==⇒=，()15535552a a S a +===．故选A ．3．B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题设知1d =，844S S =，所以118284(46)a a +=+，解得112a =，所以10119922a =+=．4．C 【解析】∵数列1{2}na a 为递减数列，111111[(1)]()n a a a a n d a dn a a d =+-=+-，等式右边为关于n 的一次函数，∴10a d <．5．C 【解析】 设等差数列{}n a 的公差为d ，则3133S a d=+，所以12323d =⨯+，解得2d =，所以612a =．6．B 【解析】由等差数列的性质得1735a a a a +=+，因为12a =，3510a a +=，所以78a =，选B ．7．C 【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a +=1m S +-mS =3，∴公差d =1m a +-ma =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C ． 8．D 【解析】设1(1)n a a n d dn m=+-=+，所以1p 正确；如果312n a n =-则满足已知，但2312n na n n =-并非递增所以2p 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但11n a n n =+，是递减数列，所以3p 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4p 正确．9．B 【解析】由题意有153210a a a +==,35a =,又∵47a =，∴432a a -=，∴2d =．10．B 【解析】4866+=2=16=8a a a a ∴，而()11111611+==11=882a a S a ，故选B.11．B 【解析】由1011S S =，得1111100a S S =-=，111(111)0(10)(2)20a a d =+-=+-⨯-=．12．A 【解析】10121014710(1)(3102)a a a ++⋅⋅⋅+=-+-++⋅⋅⋅+-⋅⨯-910(14)(710)[(1)(392)(1)(3102)]15=-++-++⋅⋅⋅+-⋅⨯-+-⋅⨯-=．13．D 【解析】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =，又数列{}n a 的公差为-2，所以2111(12)(4)(16)a a a -=--，解得120a =，故20(1)(2)222n a n n=+-⨯-=-，所以1101010()5(202)1102a a S +==⨯+=．14．A 【解析】887644915a S S =-=-=．15．5【解析】设该数列的首项为1a ，由等差数列的性质知1201510102a +=，所以1202020155a =-=．16．8【解析】∵数列{}n a 是等差数列，且789830a a a a ++=>，80a >．又710890a a a a +=+<，∴90a <．当n =8时，其前n 项和最大．17．7(1,)8--【解析】由题意可知，当且仅当8=n 时n S 取最大值，可得8900d a a <⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得718d -<<-．18．－49【解析】设{}n a 的首项为1a ，公差d ，由100S =，1525S =，得112903215a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得123,3a d =-=，∴()321103n nS n n =-，设()()321103f n n n =-，()220,3f n n n '=- 当2003n <<时()0f n '<，当203n >，()0f n '>，由*n N ∈， 当6n =时，()()31661036483f =-⨯=- 当7n =时，()()3217107493f n =-⨯=-∴7n =时，nnS 取得最小值49-．19．20【解析】 依题意12910a d +=，所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=．或：()57383220a a a a +=+=20．1，(1)4n n +【解析】设公差为d ,则1122a d a d +=+,把112a =代入得12d =， ∴21a =，n S =1(1)4n n +21．35【解析】（解法一）因为数列{},{}n n a b 都是等差数列，所以数列{}n n a b +也是等差数列．故由等差中项的性质，得()()()5511332a b a b a b +++=+，即()557221a b ++=⨯，解得5535a b +=．（解法二）设数列{},{}n n a b 的公差分别为12,d d ,因为331112(2)(2)a b a d b d +=+++1112()2()a b d d =+++1272()21d d =++=所以127d d +=.所以553312()2()35a b a b d d +=+++=.22．21n a n =-【解析】221321,412(1)4a a a d d ==-⇔+=+-221n d a n ⇔=⇔=-．23．10【解析】设{}n a 的公差为d ，由94S S =及11a =，得9843914122d d ⨯⨯⨯+=⨯+，所以16d =-．又40k a a +=，所以11[1(1)()][1(41)()]066k +-⨯-++-⨯-=，即10k =． 24．【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =-得2=d ．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-． (2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--．所以当4=n 时，nS 取得最小值，最小值为−16．25．【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=， ∴1235ln 2a d +=，又1ln 2a =，∴ln 2d =．∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=．(2)由(1)知ln 2n a n =，∵ln 2ln 2e ee =2nn a n n ==， ∴{e }na 是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴212ln 2ln 2ln 2e e e e ee nn a a a +++=+++L L 2=222n +++L 1=22n +-．∴12e e ena a a+++L 1=22n +-．26．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =．所以，2n n b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①．由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =．（Ⅱ）解：设数列2{}n n a b 的前n 项和为nT ，由262n a n =-，有2342102162(62)2nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----．得2(34)216n n T n +=-+．所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+．27．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d--+++-122(1)2na n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n na a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n na a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n na a a a a a a ---++++++++=3211236.②由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n na a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a L是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列.28．【解析】（I ）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===，所以211bb q ==，4327b b q ==．设等差数列{}n a 的公差为d ．因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =．所以21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）．（II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=+=-+．从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213n n n +--=+-2312n n -=+．29．【解析】（Ⅰ）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ；设数列的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，解之得3,41==d b ，所以13+=n b n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知112)1(3)33()66(=-⋅+=++=n nn n n n n c ，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，即23413[223242(1)2]n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，所以]2)1(242322[322543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，以上两式两边相减得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯+++⋅⋅⋅+-+224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-=+-+=-⋅-．所以223+⋅=n n n T ．30．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n n b n=+，所以231012310(21)(22)(23)(210)b b b b ++++=+=+=++++…………2310(2222)=+++++......（1+2+3+ (10)102(12)(110)10122-+⨯=+-11(22)55=-+112532101=+=． 31．【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，令1n =，得12113a a =，所以123a a =．令2n =，得12231125a a a a +=，所以2315a a =．解得11,2a d ==，所以21n a n =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知24224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减，得121344......44n n n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯-- 所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=32．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =．所以42(1)22(1,2,)n a n n n =+-=+=L ．（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =．所以61642128b -=⨯=．由128=22n +得63n =．所以6b 与数列{}n a 的第63项相等．33．【解析】(Ⅰ)方程2560x x -+=的两根为2,3，由题意得242, 3.a a ==设数列{}n a 的公差为d ，则422,a a d -=故1,2d =从而13,2a = 所以{}n a 的通项公式为112n a n =+．（Ⅱ）设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，由（I ）知12,22n n n a n ++=则2313412...,2222n n n n n S +++=++++ 341213412....22222n n n n n S ++++=++++两式相减得31213112(...)24222n n n n S +++=+++-123112(1).4422n n n -++=+--所以1422n n n S ++=-．34．【解析】(Ⅰ)由题设，11211, 1.n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-两式相减得121().n n n a a a a λ+++-= 由于10n a +≠，所以2.n n a a λ+-=（Ⅱ）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得2 1.a λ=-由(Ⅰ)知，3 1.a λ=+令2132a a a =+，解得 4.λ= 故24n n a a +-=，由此可得{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143n a n -=-； {}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =-.所以21n a n =-，12n n a a --=.因此存在4λ=，使得数列{}n a 为等差数列．35．【解析】（Ⅰ）由题意，36)33)(2(11=++d a d a ， 将11=a 代入上式得2=d 或5-=d ，因为0>d ，所以2=d ，从而12-=n a n ，2n S n =（*∈N n ）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1)(12(1+-+=+⋅⋅⋅++++k k m a a a k n n n ，所以65)1)(12(=+-+k k m ，由*∈N ,k m 知，1)1)(12(>+-+k k m ，所以⎩⎨⎧=+=-+511312k k m ，所以⎩⎨⎧==45k m . 36．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则n S =1(1)2n n na d -+。
数学高考大题题型归纳必考题型例题
数学高考大题题型归纳必考题型例题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】数学高考大题题型归纳必考题型例题1数学高考大题题型有哪些必做题：1.三角函数或数列（必修4，必修5）2.立体几何（必修2）3.统计与概率（必修3和选修2-3）4.解析几何（选修2-1）5.函数与导数（必修1和选修2-2）选做题：1.平面几何证明（选修4-1）2.坐标系与参数方程（选修4-4）3.不等式（选修4-5）2数学高考大题题型归纳一、三角函数或数列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
二、立体几何高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。
选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。
随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着多一点思考，少一点计算的发展。
高考数学热点问题专题练习——指对数比较大小知识归纳及典型例题分析
指对数比较大小一、技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a aM M N N-=（3）()log log 0,1,0n a a N n N a a N =>≠> （4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a = （令c b =） log log m n a a nN N m=典型例题例1：设323log ,log log a b c π===则,,a b c 的大小关系是______________ 思路：可先进行0,1分堆，可判断出1,0b 1,0c 1a ><<<<，从而a 肯定最大，只需比较,b c 即可，观察到,b c 有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：223311log log 3,log log 222b c ====，从而可比较出32log 21log 3<<，所以c b < 答案：c b a <<例2：设123log 2,ln 2,5a b c -===，则,,a b c 的大小关系是___________ 思路：观察发现,,a b c 均在()0,1内，,a b 的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：a b <，在比较和c 的大小，由于c 是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计,,a b c值得大小：12152c -==<=，可考虑以12为中间量，则331log 2log 2a =>=，进而12a c >>，所以大小顺序为b ac >> 答案：b a c >>例3：设ln2ln3ln5,,,235a b c === 则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D.思路：观察到,,a b c 都是以e 为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。
历年高考数学真题汇编专题16 以基本不等式为背景的应用题(解析版)
历年高考数学真题汇编专题16 以基本不等式为背景的应用题1、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．2、【2010年高考江苏卷】某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．示意图如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1) 该小组已测得一组α，β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？规范解答 (1) 由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝Htan β， 解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此算出的电视塔的高度H 是124 m. (2) (1) 由题知d ＝AB ，则tan α＝H d.由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －hd，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝()h hH H d d-+，当且仅当d ＝555时取等号． 又0<α－β<π2，所以当d ＝555时，tan(α－β)的值最大．因为0<β<α<π2，所以当d ＝555时，α－β的值最大．3、【2013年高考江苏卷】如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km.某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．本小题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力．满分14分．规范解答 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10km.(2) 因为a >0，所以炮弹可击中目标等价于存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根， 所以判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0， 解得a ≤6，所以0<a ≤6.所以当a 不超过6km 时，炮弹可击中目标．一、解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.运用基本不等式解决应用题一定要注意满足三个条件：一、正；二、定；三、相等。
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第一章集合与常用逻辑用语第一节集合题型1-1集合的基本概念题型1-2集合间的基本关系题型1-3集合的运算第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型1-4四种命题及关系题型1-5充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型1-6求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题型1-7判断命题的真假题型1-8含有一个量词的命题的否疋题型1-9结合命题真假求参数的取值范围第二章函数第一节映射与函数题型2-1映射与函数的概念题型2-2同一函数的判断题型2-3函数解析式的求法第二节函数的定义域与值域（最值）题型2-4函数定义域的求解题型2-5函数定义域的应用题型2-6函数值域的求解第三节函数的性质一一奇偶性、单调性、周期性题型2-7函数奇偶性的判断题型2-8函数单调性（区间）的判断题型2-9函数周期性的判断题型2-10函数性质的综合应用第四节二次函数题型2-11二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系题型2-12二次方程的实根分布及条件题型2-13二次函数“动轴定区间”“定轴动区间”问题第五节指数与指数函数题型2-14指数运算及指数方程、指数不等式题型2-15指数函数的图象及性质题型2-16指数函数中恒成立问题第六节对数与对数函数题型2-17对数运算及对数方程、对数不等式题型2-18对数函数的图象与性质题型2-19对数函数中恒成立问题第七节幕函数题型2-20求幕函数的定义域题型2-21幕函数性质的综合应用第八节函数的图象题型2-22判断函数的图象题型2-23函数图象的应用第九节函数与方程题型2-24求函数的零点或零点所在区间题型2-25利用函数的零点确定参数的取值范围题型2-26方程根的个数与函数零点的存在性问题第十节函数综合题型2-27函数与数列的综合题型2-28函数与不等式的综合题型2-29函数中的信息题第三章导数与定积分第一节导数的概念与运算题型3-1导数的定义题型3-2求函数的导数第二节导数的应用题型3-3利用原函数与导函数的关系判断图像题型3-4利用导数求函数的单调性和单调区间题型3-5函数的极值与最值的求解题型3-6已知函数在区间上单调或不单调，求参数的取值范围题型3-7讨论含参函数的单调区间题型3-8利用导数研究函数图象的交点和函数零点个数问题题型3-9不等式恒成立与存在性问题题型3-10利用导数证明不等式题型3-11导数在实际问题中的应用第三节定积分和微积分基本定理题型3-12定积分的计算题型3-13求曲边梯形的面积第四章三角函数第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型4-1终边相同角的集合的表示与识别题型4-2 a是第几象限角2题型4-3弧长与扇形面积公式的计算题型4-4三角函数定义题型4-5三角函数线及其应用题型4-6象限符号与坐标轴角的三角函数值题型4-7同角求值----- 条件中出现的角和结论中出现的角是相同的题型4-8诱导求值与变形第二节三角函数的图象与性质题型4-9已知解析式确定函数性质题型4-10根据条件确定解析式题型4-11三角函数图象变换第三节三角恒等变换题型4-12两角和与差公式的证明题型4-13化简求值第四节解三角形题型4-14正弦定理的应用题型4-15余弦定理的应用题型4-16判断三角形的形状题型4-17正余弦定理与向量的综合题型4-18解三角形的实际应用第五章平面向量第一节向量的线性运算题型5-1平面向量的基本概念题型5-2共线向量基本定理及应用题型5-3平面向量的线性运算题型5-4平面向量基本定理及应用题型5-5向量与三角形的四心题型5-6利用向量法解平面几何问题第二节向量的坐标运算与数量积题型5-7向量的坐标运算题型5-8向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示题型5-9平面向量的数量积题型5-10平面向量的应用第六章数列第一节等差数列与等比数列题型6-1等差、等比数列的通项及基本量的求解题型6-2等差、等比数列的求和题型6-3等差、等比数列的性质应用题型6-4判断和证明数列是等差、等比数列题型6-5 等差数列与等比数列的综合第二节数列的通项公式与求和题型6-6数列的通项公式的求解题型6-7 数列的求和第三节数列的综合题型6-8 数列与函数的综合题型6-9 数列与不等式综合第七章不等式第一节不等式的概念和性质题型7-1 不等式的性质题型7-2 比较数（式）的大小与比较法证明不等式第二节均值不等式和不等式的应用题型7-3 均值不等式及其应用题型7-4 利用均值不等式求函数最值题型7-5 利用均值不等式证明不等式题型7-6 不等式的证明第三节不等式的解法题型7-7 有理不等式的解法题型7-8 绝对值不等式的解法第四节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题型7-9 二元一次不等式组表示的平面区域题型7-10 平面区域的面积题型7-11 求解目标函数中参数的取值范围题型7-12 简单线性规划问题的实际运用第五节不等式综合题型7-13 不等式恒成立问题中求参数的取值范围题型7-14 函数与不等式综合第八章立体几何第一节空间几何体的表面积与体积题型8-1 几何体的表面积与体积题型8-2 球的表面积、体积与球面距离题型8-3 几何体的外接球与内切球第二节空间几何体的直观图与三视图题型8-4 直观图与斜二测画法题型8-5 直观图、三视图题型8-6 三视图? 直观图——简单几何体基本量的计算题型8-7 三视图? 直观图——简单组合体基本量的计算题型8-8 部分三视图? 其余三视图第三节空间点、直线、平面之间的关系题型8-9 证明“线共面”“、点共面” 或“点共线”题型8-10 异面直线的判定第四节直线、平面平行的判定与性质题型8-11 证明空间中直线、平面的平行关系第五节直线、平面垂直的判定与性质题型8-12 证明空间中直线、平面的垂直关系第六节空间向量及其应用题型8-13 空间向量及其运算题型8-14 空间向量的立体几何中的应用第七节空间角与距离题型8-15 空间角的计算题型8-16 点到平面距离的计算第九章直线与圆的方程第一节直线的方程题型9-1 倾斜角与斜率的计算题型9-2 直线的方程第二节两条直线的位置关系题型9-3 两直线位置关系的判定题型9-4 有关距离的计算题型9-5 对称问题第三节圆的方程题型9-6 求圆的方程题型9-7 与圆有关的轨迹问题题型9-8 点与圆位置关系的判断题型9-9 圆的一般方程的充要条件题型9-10与圆有关的最值问题题型9-11 数形结合思想的应用第四节直线与圆、圆与圆的位置关系题型9-12 直线与圆的位置关系的判断题型9-13 直线与圆的相交关系题型9-14 直线与圆的相切关系题型9-15 直线与圆的相离关系题型9-16 圆与圆的位置关系第十章圆锥曲线方程第一节椭圆题型10-1 椭圆的定义与标准方程题型10-2 离心率的值及取值范围题型10-3 焦点三角形第二节双曲线题型10-4 双曲线的标准方程题型10-5双曲线离心率的求解及其取值范围问题题型10-6 双曲线的渐近线题型10-7 焦点三角形第三节抛物线题型10-8 抛物线方程的求解题型10-9 与抛物线有关的距离和最值问题题型10-10 抛物线中三角形、四边形的面积问题第四节曲线与方程题型10-11 求动点的轨迹方程第五节直线与圆锥曲线位置关系题型10-12 直线与圆锥曲线的位置关系题型10-13 中点弦问题题型10-14 弦长问题第六节圆锥曲线综合题型10-15 平面向量在解析几何中的应用题型10-16 定点问题题型10-17 定值问题题型10-18 最值问题第十一章算法初步题型11-1 已知流程图，求输出结果题型11-2 根据条件，填充不完整的流程图题型11-3 求输入参数题型11-4 算法综合第十二章计数原理第一节计数原理与简单排列组合问题题型12-1 分类计数原理与分步计数原理题型12-2 排列数与组合数的推导、化简和计算题型12-3 基本计数原理和简单排列组合问题的结合第二节排列问题题型12-4 特殊元素或特殊位置的排列问题题型12-5 元素相邻排列问题题型12-6 元素不相邻排列问题题型12-7 元素定序问题题型12-8 其他排列：双排列、同元素的排列第三节组合问题题型12-9 单纯组合应用问题题型12-10 分选问题和选排问题题型12-11 平均分组问题和分配问题第四节二项式定理题型12-12 证明二项式定理题型12-13 ????+1的系数与??幂指数的确定题型12-14 二项式定理中的系数和题型12-15 二项式展开式的二项式系数与系数的最值题型12-16 二项式定理的综合应用第十三章排列与统计第一节概率及其计算题型13-1 古典概型题型13-2 几何概型的计算第二节概率与概率分布题型13-3 概率的计算题型13-4 离散型随机变量的数学期望与方差题型13-5 正态分布第三节统计与统计案例题型13-6 抽样方法题型13-7 样本分布题型13-8 频率分布直方图的解读题型13-9 线性回归方程题型13-10 独立性检验第十四章推理与证明第一节合情推理与演绎推理题型14-1 归纳猜想题型14-2 类比推理第二节直接证明和间接证明题型14-3 综合法与分析法证明第三节数学归纳法题型14-4 数学归纳法的完善题型14-5 证明恒等式题型14-6 整除问题题型14-7 不等式证明题型14-8 递推公式导出{???} 通项公式的猜证及有关问题的证明第十五章复数题型15-1 复数的概念、代数运算和两个复数相等的条件题型15-2 复数的几何意义第十六章选讲内容第一节几何证明选讲（选修4-1）题型16-1 圆和直角三角形中长度和角的计算题型16-2 证明题题型16-3 空间图形问题转化为平面问题第二节坐标系与参数方程（选修4-4）题型16-4 参数方程化为普通方程题型16-5 普通方程化为参数方程题型16-6 极坐标方程化为直角坐标方程第三节不等式选讲（选修4-5）题型16-7 含绝对值的不等式题型16-8 不等式的证明题型16-9 一般综合法和分析法（含比较法）题型16-10 数学归纳法。
高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。
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高考数学典型题归纳本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，M ＝{1，4}，N ＝{2，3}，则集合等于A ．{2，3}B ．{2，3，5，6}C ．{1，4}D ．{1，4，5，6} 2．设复数满足，则z 的共轭复数z = A ．B ．C ．D ．3. “x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．抛物线()240y ax a =≠的焦点坐标是A. ()0,aB. (),0aC. 10,16a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,016a ⎛⎫⎪⎝⎭ 5. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n = A. 5B. 6C. 7D. 86. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是 A. 433cm B. 833cm C.33cm D.43cm7. 已知实数满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则的最大为 A . B.C. D. 8. 若执行如图所示的程序框图，则输出的值是,x y 2z x y =+33232-3-k ()N MA ．4 B. 5 C. 6 D. 79.已知函数 ，若 ，则 A.23B.23- C.43D. 43- 10. 在△ABC 中，若,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==为BC边的三等分点，则AE AF ⋅=A ．89 B. 109C ．259D ．26911. 函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的橫坐标之和等于A.2B.4C.6D. 812. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞第Ⅱ卷 (共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13. 若双曲线E 的标准方程是2214x y -=，则双曲线E 的渐近线的方程是.14. 数列{}n a 是等比数列，若22a =，514a =，则12231n n a a a a a a ++++= . 15. 若直线:l 1(0,0)x ya b a b+=>>经过点()1,2，则直线l 在x 轴和y 轴的截距之和的最小值是.16. 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若BC ⊥AC ，∠A =3π，AC =4，M 为1AA 中点，点P 为BM 中点，Q 在线段1CA 上，且13AQ QC =，则PQ 的长度为.三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题11)(22+++=x x x x f 32)(=a f =-)(a f1B纸的对应位置.）17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x +. (I)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间; (II)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.18. （本小题满分12分）某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表1所示表1(I)如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？(II)运用独立检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由。
()21122122121212n n n n n n n n n χ++++-=19．（本小题满分12分）如图，设四棱锥E ABCD -的底面为菱形，且O 60,2ABC AB EC ∠===，AE BE == （I ）证明：平面EAB ⊥平面ABCD ； （II ）求四棱锥E ABCD -的体积.20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，12e =，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A 、B ，点A ，B 的中点横坐标为14，且AF FB λ= （其中1λ>）.（I ）求椭圆C 的标准方程； （II ）求实数λ的值.21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x a x =(0a >)，e 为自然对数的底数. (I)若过点()()2,2A f 的切线斜率为2，求实数a 的值； (II)当0x >时，求证：1()(1)f x a x ≥-； (III)在区间(1,)e 上()11f x x >-恒成立，求实数a 的取值范围.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的两个点，于，交于，交于，．（I ）求证：C 是劣弧BD 的中点；（II ）求证：.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 经过点P （1，2），倾斜角6πα=. （I ）写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程；（II ）设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求||||PA PB ⋅的值.24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式f (x )>0；（II ）若f (x )+43-x >m 对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围.AB CE AB ⊥E BD AC G CE F CF FG =BF FG =2015年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.12y x =±14.32(14)3n --15.3+三、解答题：本大题共70分. 17.解：（I）1()sin 22f x x =…………2分sin(2)32x π=-+. …………4分函数()f x 的最小正周期为T =π. …………6分因为222,232k x k πππππ-+≤-≤+解得51212k x k ππππ-+≤≤+，Z ∈k ， 所以函数()f x 的单调递增区间是5[,],1212k k k ππππ-++∈Z . …………8分2()0,,2II ,,sin(2)233332x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈-∈--∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………10分所以函数()f x 的值域为()0,1f x ⎡∈+⎢⎣⎦.…………12分 18.（I ）随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是22115025=；……3分 抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是202505=.……6分(II)因为22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=250(172058)11.68825252228⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， ………10分所以有99.9﹪的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动的态度有关系.12分19.（I ）证明：取AB 的中点O ，连结EO 、CO .由2AE BE AB ===，知△AEB 为等腰直角三角形.故,1EO AB EO ⊥=，又O,60A B B C A B C =∠=，则△ABC是等边三角形，从而CO =又因为2EC =，所以222EC EO CO =+，所以EO CO ⊥. 又EO AB ⊥，CO AB O ⋂=，因此EO ⊥平面ABCD .又EO ⊂平面EAB ，故平面EAB ⊥平面ABCD . ………8分(II)o 1122sin 601333E ABCD ABCD V S EO -=∙=⨯⨯⨯⨯= .………12分20.解：（I ）由条件可知，1,2c a ==，故2223b a c =-=， 椭圆的标准方程是22143x y +=. ………4分 (Ⅱ)由AF FB λ= ，可知A ，B ，F 三点共线，设1122(,),(,)A x y B x y 点点若直线AB x ⊥轴，则121x x ==，不合意题意.当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设方程为(1)y k x =-.由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=.①由①的判别式4222644(43)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>.因为2122212284341243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ………6分 所以212281432k x x k +==+，所以214k =.………8分 将214k =代入方程①，得242110,x x x --==解得………10分 又因为1122(1,),(1,)AF x y FB x y =--=-，AF FB λ= ，121,2x x λλ-==-所以.………12分 21.解答：（I ）()af x x'=，(2)22a f '==，4a =.………2分(Ⅱ)令2111()(ln 1),()()g x a x g x a x x x'=-+=-.………4分令()0g x '>，即211()0a x x ->，解得1x >，所以()g x 在(0，1)上递减，在(1,)+∞上递增.所以()g x 最小值为(1)0g =，所以1()(1)f x a x≥-. (6)分(Ⅲ)令()ln 1h x a x x =+-，则()1ah x x'=-，令()0h x '>，解得x a <.…8分 当a e >时，()h x 在(1,)e 是增函数，所以()(1)0h x h >=.………9分 当1a e <≤时，()h x 在(1,)a 上递增，(,)a e 上递减， 所以只需()0h e ≥，即1a e ≥-.………10分 当1a ≤时，()h x 在(1,)e 上递减，则需()0h e ≥， 因为()h e a e =+-<不合题意. ………11分综上，1a e ≥-.………12分22.解：（I ） CF =FG ，FCG CGF ∠=∠∴.圆O 的直径，2π=∠=∠∴ADB ACB .，2π=∠∴CEA .CAB ACE CAB CBA ∠-=∠∠-=∠2,2ππ，ACE CBA ∠=∠∴.DGA CGF ∠=∠ ，DGA ABC ∴∠=∠，22DGA ABC ππ∴-∠=-∠.DAC CAB ∠=∠∴，C ∴为劣弧BD 的中点 . (5)分(Ⅱ) GCF FCB CGB GBC ∠-=∠∠-=∠2,2ππ，FCB GBC ∠=∠∴，FB CF =∴,.FG BF = (10)分23．解：（I ）圆的标准方程为2216x y +=. …………2分直线l 的参数方程为1cos 62sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） …………5分（Ⅱ）把直线的方程1122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2216x y +=，得221(1)(2)162t ++=，22)110t t +-=，……………8分 所以1211t t =-，即=11P A P B⋅．…………10分24.解：（I ）当x 4≥ 时，f (x )=2x +1-(x -4)=x +5>0，得x >-5，所以x 4≥成立.AB CE AB ⊥当421<≤-x 时，f (x )=2x +1+x -4=3x -3>0，得x >1，所以1<x <4成立. 当21-<x 时，f (x )=-x -5>0，得x <-5，所以x <-5成立.综上，原不等式的解集为{x |x >1或x <-5}. …………5分 (II)f (x )+43-x =|2x +1|+2|x -4|9|)82(12|=--+≥x x .当时等号成立或214-≤≥x x ，所以m <9. (10)分河北省景县梁集中学2015届高三数学1月月考试题文一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. (i 是虚数单位，a 、b R ∈)，则B.1a =-，1b =- C.1a =-，1b =D.1a =，1b =-2. 函数是奇函数的充要条件是（ ）A.B.C.D3. 某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，则该几何体的俯视图可以是（ ）4．已知实数4，，9构成一个等比数列，则圆锥曲线122=+y mx 的离心率为5．设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数my x z +=的最大值小于2，则m的取值范围为A .. ()3,1D . ()+∞,36．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为a ,b ,c ,则=∠C A . 30B . 135C . 45或 135D . 45 7．若正四面体ABCD 的顶点C B A ,,分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误．．的为 A ．OC OB OA ==； B ．直线OB ∥平面ACD ；C ．直线AD 与OB 所成的角是 45； D ．二面角A OB D --为 45 8、对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是)(A 若αα⊂⊂⊥⊥n m n a m a ,,,,则α⊥a )(B 若//,a b b α⊂,则//a α)(C 若//,,,a b αβαγβγ==I I 则//a b )(D 若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα9、在等差数列中，，则数列的前11项和S 11等于 )(A132)(B66 )(C 48)(D 2410的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图像交于B ，C 两点，则(OB ＋OC )·OA ＝)(A 16)(B 16- )(C 32 )(D 32-11. 对于函数x e x f ax ln )(-=，(a 是实常数),下列结论正确的一个是（ ）A. 1=a 时, )(x f 有极大值，且极大值点B.2=a 时, )(x f 有极小值，且极小值点时, )(x f 有极小值，且极小值点)2,1(0∈xD.0<a 时, )(x f 有极大值，且极大值点)0,(0-∞∈x12，若方程0)(=+-k kx x f 有两个实数根，则k 的取值范围是高三文数 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．当点(x ,y )在直线32x y +=上移动时,3273x y z =++的最小值是. 14、已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦k=__________.15．设()()13,1a m i j b i m j →→→→→→=+-=+-，其中,i j →→为互相垂直的单位向量，又a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数m = 16．在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且现给出三个条件：①2a =； ②45B =︒；③试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，并以此为依据求ABC ∆的面积.(只需写出一个选定方案即可)你选择的条件是;(用序号填写)由此得到的ABC ∆的面积为.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，4b =，（1）求cos B 的值； （2）求sin 2sin A C +的值． 18．（本小题满分12分）已知首项都是1的数列{},{}n n a b （*0,n b n N ≠∈）满足（1，求数列{}n c 的通项公式；（2）若数列{}n b 为各项均为正数的等比数列，且23264b b b =⋅，求数列{}n a 的前n 项和n S ．19.（本题满分12分）已知集合{}4,2,0,1,3,5A =--，在平面直角坐标系中，点(),M x y 的坐标x ∈A ，y ∈A 。