计量经济学-第11章 异方差性

White的一般异方差性检验
基本思想：
对于 Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ui
(11.5.20)
看uˆi2与X
2i
,
X
3i
,
X
2 2i
,
X
2 3i
,
X
2i
X
3i
是否存在
回归关系.
对于 Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ui
(11.5.20)
(11.2.2) 返回 (11.2.3) 返回
在经典模型的各种假定，包括同方差性假定在 内，全部成立的情形下，OLS估计量是BLUE
其他假定不变，同方差性假定不成立时，OLS 估计量不再是BLUE
OLS估计量仍然是线性的和无偏的，但是，不
再是“最优的”或“有效的”，即2 ，3

，， n
E (u i2
)


2 i
见P388 Fig. 11.2
(11.1.2)
异方差的理由
按照边错边改学习模型（error—learning models)， 人们的行为误差随时间而减少。见Fig. 11.3
随着收入的增长，人们在支出和储蓄中有更大的灵
活性。在做储蓄对收入的回归中，
2 i
与收入俱增
其中vi是变换后的干扰项，vi

ui Xi
。可以证明：
2
E(vi2 )

E

ui Xi


1
X
2 i
E(ui2 )
2 利用(11.6.5)
假定2.：
误差方差正比于X
：
i
E(ui2 ) 2 X i
平方根变换：
(11.6.7)
其中vi 可证：
Yi Xi
1
Xi
（11.2.3）所给出的 高估 的真实的 2方差
是va有r(偏2的) ，可能低估或
ˆ 2 uˆi2 /(n 2)不是 2的无偏估计
置信区间，t检验和F检验也将不准确
异方差性的判断
非正式方法
问题的性质
在涉及不均匀（heterogeneous）单元（国家、省 份、企业、家庭）的横截面数据中，异方差性可 能是一种常规，而不是例外
步骤1. 步骤2.
估计（11.5.20）,获得残差ˆ uˆi 做辅助回归：
uˆi2
1
2 X 2i
3 X 3i


4
X
2 2i


5
X
2 3i
6 X 2i X 3i vi
(11.5.21）
还可以引入回归元的更高次方。求出R2
步骤3.
设置虚拟假设H
：无异方差性。可证：
0
n

R2
(11.6.9)
Yi E(Yi )

1
E(Yi )

2
Xi E(Yi )

ui E(Yi )


1

E
1 (Yi
)


2
Xi E(Yi )

vi
(11.6.10)
E(Yi )不可知，利用E(Yi )的一致性估计值Yˆi：
Yi Yˆi


1
1 Yˆi



2

在小样本情形下， Glejser检验只能作为一种摸 索异方差性的定性的技巧
Spearman的等级相关检验
Spearman等级相关系数为：
rs

1

6

n(n
d
2 i
2 1)

(11.5.5)
其中 d i 表示第 i 单元或现象的两种不同特性所处的
等级之差，而 n 表示带有级别的单元或现象的个数 侦察异方差性：
第11章 异方差性
异方差的性质
经典线形回归模型的一个重要假定是同方差性：
PRF的干扰项 u i 是同方差的（homoscedastic）
即： E（ui2） 2
i 1,2,, n (11.1.1)
异方差性是指，u i 的条件方差（= Yi 的条件方差）
随着X的变化而变化，用符号表示为：
或：
ln

2 i

ln
2


ln
Xi

vi
其中vi是随机干扰项
由于 i2未知，用uˆi2代替，回归变为：
ln
uˆ
2 i

ln
2


ln
Xi
vi
ln X i vi
(11.5.1) (11.5.2)
如果 显著，则有异方差性；如果它不显著，则接
受同方差性假设
见 P404例子
Xi Yˆi
vi
(11.6.11)
其中vi

ui YˆI
。变换后的（11.6.11）一般具有良好的性质
假定4. : 回归模型：
Yi 1 2 X i ui
通过对数变换，变为：
ln Yi 1 2 ln X i ui
通常能降低异方差性
(11.6.12)
2的OLS 估计量

2
xi yi n X iYi X i Yi
xi2
n
X
2 i

(
Xi )2
异方差假定下，它的方 差为：

var( 2 ) (
xi2
2 i
xi2 ) 2
而同方差假定下，它的方差为：

var( 2 )
2
xi2
(11.2.1)
Glejser检验
Glejser建议，从OLS回归得到残差 uˆ i 之后，用
uˆ
i
的绝对值对被认为与

2 i
密切相关的X变量做回归：

ui 1 2 X i vi

ui 1 2 X i vi

ui
1 2
1 Xi
vi

ui恒有X 0i 1。用 i去除(11.3.2)得：
Yi
i

1
X 0i
i



2

Xi
i



ui
i

进一步，可以写作：
(11.3.3)
Yi

1
X
0i


* 2
X
i

u
i
(11.3.4)
其中
，
1，
表示转换模型的参数。经转
讨论: “小悦悦”事件 2011年10月13日下午，2岁女童悦悦在佛山广佛
五金城连遭两车碾轧，直到被陈贤妹救起，悦悦熬 过了387秒。在这段时间里，18名路人经过，但没人 伸出援手。
本章结束，谢谢！
图解法
在缺乏先验信息或经验的情况下，可对
uˆ
2 i
做检
验，看看是否存在系统模式
见P402的Fig11.8 P403的Fig11.9
Eviews提供了查看残差判断是否存在异方差性 的功能
正式方法
Park检验
Park提出

2 i
是解释变量
Xi
的函数，从而，将图解
法形式化：

2 i


2
X
i
evi
见11.3节，可得到BLUE
Yi
i

ˆ1
(1
i
)

ˆ2
(
Xi
i
)

( uˆi
i
)
当
2为未知
i
假定1.：
误差
方差
正比
于X
2 i
E
(u
2 i
)


2
X
2 i
用X
去除原模型
i
，得
：
Yi Xi

1
Xi
2

ui Xi

1
1 Xi
2
vi
(11.6.1)
(11.6.5) (11.6.6)
2
换有
：
var(ui )

E(ui )2

E
u

i i
2

1

2 i
E(ui2 )
s
in
ce
2 i
is
know

1

2 i
(
2 i
)
sin
ceE(ui2
)


2 i
1
(11.3.5)
即，转换后模型的干扰项满足同方差性假定，再 用OLS方法，就可以得到BLUE估计量
——这就是GLS方法，得到的是GLS估计量
wi )( wi X iYi ) ( wi X i )( wiYi )
(
wi )(
wi
X
2 i
)

(
wi X i ) 2
(11.3.8)
它的方差为:

var( 2 ) (
wi )(
wi
wi
X
2 i
)

(
wi X i )2
其中，wi

1

2 i
(11.3.9)
OLS和GLS的区别
因为：

var(
* 2
)

var(
2