计量经济学期末公式及证明
计量经济学公式推导
一、最小二乘估计式推导过程：由方程组0ˆ)(112=∂∂∑=βnt t e (1)0ˆ)(212=∂∂∑=βnt t e …………………(2) ，得（注意：根据导数运算法则，若)(x f 和)(x g ）在一个共同的区间),(b a 上有定义，并且在每一点),(b a x ∈都可导，则有)()(])()([x g x f x g x f '±'='±；)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '*+*'='*；对于常数c ，则)(])([x f c x cf '='；当0)(≠x g 时，2)]([)()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f '-'='）因此，由（1）式得，0ˆ)(ˆ)(112112=∂∂=∂∂∑∑==nt t nt t e e ββ (3)由（2）式得，0ˆ)(ˆ)(122212=∂∂=∂∂∑∑==nt t nt t e e ββ (4)根据复合函数微商定理：若对于)(y g z =，)(x f y =，若)(x f y =在一点0x 可导，且)(y g z =在相应的点)(00x f y =处可导，则复合函数))((x f g 在0x 可导，且有公式)()())((000x f y g dx x f dg x x ''==因此，依复合函数微商定理，由（3）式得，0)ˆ)()()((ˆ)(112112=∂∂*∂∂=∂∂∑∑==n t t t t nt t e e e e ββ…………(5)又依据微商运算公式：1)(-='m m mxx ，又tt t t t t t t X Y e e X e Y Y 2121ˆˆˆˆˆββββ--=⇒++=+= 可得，0ˆ)1(2)ˆ)()()((ˆ)(1)11(1)12(112112=⇒-*=∂∂*∂∂=∂∂∑∑∑∑=--==t nt t n t t t t nt t e e e e e e βββ………(7) 同理根据复合函数微商定理，由（4）式得，0))ˆ()()()((ˆ)(122122=∂∂*∂∂=∂∂∑∑==n t t t t nt t e e e e ββ……………(6) 同理又依据1)(-='m m mxx ，及tt t t t t t t X Y e e X e Y Y 2121ˆˆˆˆˆββββ--=⇒++=+= 可得，0)ˆ1)(2())ˆ()()()((ˆ)(11)11(2)12(122122=⇒⋅⋅-*⋅=∂∂*∂∂=∂∂∑∑∑∑==--==n t t t n t t t n t t tt nt t X e X e e e e e βββ……(8) 同样根据：tt t t t t t t X Y e e X e Y Y 2121ˆˆˆˆˆββββ--=⇒++=+=， 可以得到方程组： 0)ˆˆ(1211=--=∑∑==nt ttn t t X Ye ββ……………………(9) 0)ˆˆ(1211=--=∑∑==nt tt tnt ttX X YX e ββ………………(10) 方程（9）、（10）称为正规方程，合起来组成的方程组称为正规方程组。
计量经济学常用公式___概述说明以及解释
计量经济学常用公式概述说明以及解释1. 引言1.1 概述计量经济学是经济学领域中的一门重要分支，通过运用统计方法和数学模型来研究经济现象，并进行数据分析和预测。
在计量经济学中，常常使用一系列公式来描述经济现象和建立经济模型，以便深入理解和解释实际问题。
本文旨在对计量经济学常用公式进行概述说明和解释。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分进行论述，各部分内容如下：（1）引言：介绍文章的背景和目的；（2）常用公式概述：简要介绍什么是计量经济学常用公式以及其重要性和应用领域；（3）具体公式解释与应用：详细阐述几种常见的计量经济学公式类型及其解释与使用方法；（4）公式的限制和注意事项：探讨一些常见的限制条件以及处理方法，如多重共线性、异方差和遗漏变量问题；（5）结论：总结全文内容并展望进一步研究该主题的可能发展方向。
1.3 目的本文旨在对计量经济学中常用公式进行系统的概述和解释，以帮助读者更好地理解这些公式的应用和限制条件。
通过深入了解这些公式，读者可以更准确地分析经济数据、构建经济模型，并能够对实际问题进行预测和政策制定。
此外，本文还将对计量经济学常用公式的重要性进行总结并展望未来研究的方向，以期为相关领域的研究提供一定参考。
2. 常用公式概述：2.1 什么是计量经济学常用公式计量经济学常用公式是在计量经济学领域内被广泛使用的数学表达式，用于描述和分析经济现象中的关系和变动。
这些公式基于统计理论和经济学原理，通过对数据进行建模和分析，帮助研究者从观察到的现象中提取经济规律和洞察。
计量经济学常用公式通常涉及到回归模型、工具变量法、时间序列模型等。
2.2 公式的重要性和应用领域计量经济学常用公式在实证经济学研究中具有重要意义。
首先，通过建立数学模型，并运用相应的计量经验方法，可以从大规模的现实数据中揭示出变量之间相互影响的本质规律。
其次，这些公式可以作为检验理论假设合理性和预测现象发展趋势的有效工具。
最后，在政策评估与决策制定过程中，利用这些公式可以为决策者提供参考依据。
计量经济学期末复习总结
第一章导论1．计量经济学是一门什么样的学科？答：“经济计量学”不仅要研究经济问题的计量方法，还要研究经济问题发展变化的数量规律。
可以认为，计量经济学是以经济理论为指导，以经济数据为依据，以数学、统计方法为手段，通过建立、估计、检验经济模型，揭示客观经济活动中存在的随机因果关系的一门应用经济学的分支学科。
2．计量经济学与经济理论、数学、统计学的联系和区别是什么？答：计量经济学是经济理论、数学、统计学的结合，是经济学、数学、统计学的交叉学科（或边缘学科）。
6．计量经济学模型的检验包括哪几个方面？为什么要进行模型的检验？答：对模型的检验通常包括经济意义经验、统计推断检验、计量经济检验、模型预测检验四个方面。
8．计量经济学模型中的被解释变量和解释变量、内生变量和外生变量是如何划分的？答：在联立方程计量经济学模型中，按是否由模型系统决定，将变量分为内生变量（endogenous variables）和外生变量（exogenous variables）两大类。
内生变量是由模型系统决定同时可能也对模型系统产生影响的变量，是具有某种概率分布的随机变量，外生变量是不由模型系统决定但对模型系统产生影响的变量，是确定性的变量。
9．计量经济学模型中包含的变量之间的关系主要有哪些？答：计量经济学模型中变量之间的关系主要是解释变量与被解释变量之间的因果关系，包括单向因果关系、相互影响关系、恒等关系。
12．计量经济学中常用的数据类型有哪些？答：根据生成过程和结构方面的差异，计量经济学中应用的数据可分为时间序列数据（time series data）、截面数据（cross sectional data）、面板数据（panal data）和虚拟变量数据（dummy variables data）。
13．什么是数据的完整性、准确性、可比性、一致性？答：1）完整性，指模型中所有变量在每个样本点上都必须有观察数据，所有变量的样本观察数据都一样多。
计量经济学公式概念
计量经济学概念公式第1章一、数据类型：截面、时间序列、面板1. 横截面数据（cross-sectional data set）定义：对给定的某个时间点的个人、家庭、企业、城市、洲、国家或者一系列其他单位采集的样本所构成的数据集。
常被用于劳动经济学、健康经济学和农村经济学中。
重要特征：数据假定是从总体中通过随机抽样而得到。
2. 时间序列数据（time series data）定义：在不同时间点上收集到的数据，这类数据反映了某一事物、现象等随时间的变化状态或程度。
如我国国内生产总值从1949到2015的变化就是时间序列数据。
3. 面板或纵列数据（panel data）定义：由数据集中每个横截面单位的一个时间序列组成与混合横截面数据区别：面板数据的同一横截面数据单位都被跟踪了一段特定的时期。
面板数据前后年份的样本是相同的，具有可比性。
但是混合横截面数据前后年份的样本很可能大部分不相同，不具有可比性。
面板数据的优点：对同一单位的多次观测，使我们能控制观测单位的某些观测不到的特征使我们能研究决策行为或结果中滞后的重要性。
四、用数据度量因果效应，其他条件不变的概念1. 因果效应经济学家的目标就是要推定一个变量对另一个变量具有因果关系我们希望去解释：什么导致一些事情发生？是这个因素还是那个因素？假设在现实世界中，X（自变量，一个可能的原因）确实是Y（因变量，被解释的变量），那我们就能预见数据分析支持以下假设：如果X的数值增加，Y的数值也增加。
但由于存在误差或数据不足，统计检验可能出错或被错误地解释。
2. 其他条件不变（ceteris paribus）意味着“其他（相关）因素保持不变”。
在因果关系中，其他条件不变是具有重要作用的。
多元回归中，所得到的“其他因素不变的效应”，并非是通过在实际抽样中，固定其他因素不变。
多元回归分析的优势，在于它使我们能在非实验环境中去做自然科学家在受控实验中所能做的事情：保持其它因素不变。
计量经济学主要公式
序公式名称计算公式号y t = β0 + β1 x t + u t1真实的回归模型2估计的回归模型y t =+x t +3真实的回归函E(y t) = β0 + β1 x t数4估计的回归函数=+x t5最小二乘估计公式6和的方差7σ2的无偏估计量= s2 =8和估计的方差9总平方和∑(y t -) 210回归平方和∑(-) 211误差平方和∑(y t -)2 = ∑()2 12可决系数（确定系数）13检验β0，β1 是否为零的t统计量14β1的置信区间-tα(T-2) ≤β1≤+tα(T-2)15单个y T+1的点预测=+x T+116E(y T+1)的区间预测17单个y T+1的区间预测18样本相关系数表3.4 多元线性回归模型的主要计算公式序号公式名称计算公式1 真实的回归模型Y= X β+ u2 估计的回归模型Y = X+3 真实的回归函数E(Y) = X β4 估计的回归函数= X5 最小二乘估计公式= (X 'X)-1X 'Y6 回归系数的方差Var() = σ2(X 'X)-17 σ2的无偏估计量= s2 ='/ (T - k)8 回归系数估计的方差() =(X 'X)-19 回归平方和SSR = = '- T10 总平方和SST = Y 'Y - T11 残差平方和SSE = '12 可决系数13 调整的可决系数14 F统计量15 t统计量16 点预测公式C = (1 x T+1 1 x T+1 2… x T+1 k-1 )= C = 0 +1 x T+1 1 + … + k-1 x T+1 k-117 E(y T+1) 的置信区间预测C±tα/2 (1, T-k)s18 单个y T+1的置信区间预测C±tα/2 (T-k)s19 预测误差e t = - y t, t= 1, 2, …, T20 相对误差PE = , t= 1, 2, …, T21 误差均方根22 绝对误差平均23 相对误差绝对值平均24 Theil系数25 偏相关系数是控制zt不变条件下的x t, y t的简单相关系数。
计量经济学公式范文
计量经济学公式范文1.OLS估计公式最常见和基础的计量经济学公式是普通最小二乘法（OLS）估计公式，用于估计线性回归模型。
OLS估计公式如下：\[Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_kX_k + \epsilon\]其中，\(Y\)是因变量，\(X_1, X_2, ..., X_k\)是自变量，\(\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_k\)是回归系数，\(\epsilon\)是误差项。
2.弹性公式弹性是指一个变量对另一个变量的变化的敏感程度。
在计量经济学中，常用两个变量之间的弹性来衡量它们之间的关系。
例如，价格弹性用来衡量需求量对价格的变化的敏感程度。
其中，\(E\)是弹性，\(\Delta Q\)是需求量的变化，\(\Delta P\)是价格的变化，\(P\)是价格，\(Q\)是需求量。
3.布朗运动公式布朗运动是一种随机过程，常用于模拟金融市场中的股票价格的变化。
布朗运动的基本公式如下：\[dS(t) = \mu S(t)dt + \sigma S(t)dW(t)\]其中，\(dS(t)\)是股票价格的微小变化，\(\mu\)是股票价格的平均增长率，\(dt\)是时间的微小变化，\(\sigma\)是股票价格的波动率，\(dW(t)\)是布朗运动的微小变化。
4.回归残差公式回归残差是指观测值与回归线之间的差异，用于衡量回归模型的拟合度。
回归残差的计算公式如下：\[e_i = Y_i - \hat{Y_i}\]其中，\(e_i\)是第\(i\)个观测值的回归残差，\(Y_i\)是观测值，\(\hat{Y_i}\)是对应的估计值。
5.误差项性质公式OLS模型中的误差项要符合一些假设，其中最基本的是误差项的期望为零和方差为常数。
这些性质可以用以下公式表示：\[\mathbb{E}(\epsilon_i) = 0\]\[\text{Var}(\epsilon_i) = \sigma^2\]\[\text{Cov}(\epsilon_i, \epsilon_j) = 0\]其中，\(\mathbb{E}(\epsilon_i)\)表示误差项的期望，\(\text{Var}(\epsilon_i)\)表示误差项的方差，\(\text{Cov}(\epsilon_i, \epsilon_j)\)表示误差项之间的协方差。
期末：计量经济学公式
序号 公式名 称 计 算 公式1 真实的回归模型 y t = β0 + β1 x t + u t2 估计的回归模型 y t =+x t +3 真实的回归函数 E(y t ) = β0 + β1 x t4 估计的回归函数 =+x t5最小二乘估计公式()()()∑∑∑∑∑∑--=---==-=2222221X n X Y X n Y X X X Y Y X X x y x b X b Y b ii i iiiii i6和的方差7 σ 2 的无偏估计量= s 2=8和估计的方差9总平方和TSS∑ (y t -) 210 回归平方和RSS ∑ (-) 211 误差平方和ESS ∑ (y t -)2 = ∑ ()212 可决系数（确定系数）=RSS/TSS13 检验β0，β1 是否为零的t 统计量14 β1的置信区间-t α (T -2) ≤β1 ≤+t α (T -2)15单个y T+1的点预测=+x T+116E(yT+1)的区间预测17单个yT+1的区间预测18样本相关系数表3.4 多元线性回归模型的主要计算公式+= X= (X 'X)-1X 'YVar(= s2 ='/ (T - k)() =(X 'X)-1= '= '= +… +C s==是控制z t不变条件下的x t, y t的简单相关系数。
是y t与的简单相关系数。
其中是y t对x t1,x t2,…x tk–12：随机误差项的性质（1）误差项代表了未纳入模型变量的影响；（2）即使模型中包括了决定数学分数的所有变量，其内在随机性也不可避免，这是做任何努力都无法解释的；（3）u代表了度量误差；（4）“奥卡姆剃刀原则”，即描述应该尽可能简单，只要不遗漏重要的信息。
3：解释回归结果的步骤（1）看整个模型的显著性，看F统计量的值；（2）看单个参数的显著性；（3）解释斜率的经济含义；（4）解释R²。
计量经济学主要公式一览表
数系关相复 与 ty 是 的 1–ktx,…,2tx,1tx 与 ty 数系关相偏
x…,2tx,1tx 对 ty 是
中其。数系关相单简的
62 52
。数系关相单简的 ty ,tx 的下件条变不 tz 制控是
数系 liehT
42
均平值对绝差误对相
32
均平差误对绝
22
根方均差误
12 02 91 81 71
+
X = Y
u + � X = Y
式 公 算 计
式公算计要主的型模归回性线元多 4.3 表
数系关相本样
81
测预间 区的 1+Ty 个单 71
测预 间区的)1+Ty(E
1+T
61
x
+
=
测预 点的 1+Ty 个单 51
)2-T(
�t
+
� 1�� )2-T( �t
间区信置的 1�
41
合拟的归回
1– kt
1
+
0
C =
式公测预点
61
)
1 -k 1+T
x …
2 1 +TFra bibliotekx1 1+T
x 1( = C
量计统 t
51
量计统 F
41
t
x 1� + 0� = )ty(E
+ tx + = ty
t
u + tx 1� + 0� = ty
式公 算 计
称 名式公
序
数系决可的整调
31
数系决可 ' = ESS 和方平差残 和方平总 = RSS = )
计量经济学期末复习总结
计量经济学期末复习总结第一章导论1．计量经济学是一门什么样的学科？答：“经济计量学”不仅要研究经济问题的计量方法，还要研究经济问题发展变化的数量规律。
可以认为，计量经济学是以经济理论为指导，以经济数据为依据，以数学、统计方法为手段，通过建立、估计、检验经济模型，揭示客观经济活动中存在的随机因果关系的一门应用经济学的分支学科。
2．计量经济学与经济理论、数学、统计学的联系和区别是什么？答：计量经济学是经济理论、数学、统计学的结合，是经济学、数学、统计学的交叉学科（或边缘学科）。
6．计量经济学模型的检验包括哪几个方面？为什么要进行模型的检验？答：对模型的检验通常包括经济意义经验、统计推断检验、计量经济检验、模型预测检验四个方面。
8．计量经济学模型中的被解释变量和解释变量、内生变量和外生变量是如何划分的？答：在联立方程计量经济学模型中，按是否由模型系统决定，将变量分为内生变量（endogenous variables）和外生变量（exogenous variables）两大类。
内生变量是由模型系统决定同时可能也对模型系统产生影响的变量，是具有某种概率分布的随机变量，外生变量是不由模型系统决定但对模型系统产生影响的变量，是确定性的变量。
9．计量经济学模型中包含的变量之间的关系主要有哪些？答：计量经济学模型中变量之间的关系主要是解释变量与被解释变量之间的因果关系，包括单向因果关系、相互影响关系、恒等关系。
12．计量经济学中常用的数据类型有哪些？答：根据生成过程和结构方面的差异，计量经济学中应用的数据可分为时间序列数据（time series data）、截面数据（crosssectional data）、面板数据（panal data）和虚拟变量数据（dummy variables data）。
13．什么是数据的完整性、准确性、可比性、一致性？答：1）完整性，指模型中所有变量在每个样本点上都必须有观察数据，所有变量的样本观察数据都一样多。
(完整word版)计量经济学主要公式
序公式名称计算公式号y t = β0 + β1 x t + u t1真实的回归模型2估计的回归模型y t =+x t +E(y t) = β0 + β1 x t3真实的回归函数4估计的回归函数=+x t5最小二乘估计公式6和的方差7σ2的无偏估计量= s2 =8和估计的方差9总平方和∑(y t -) 210回归平方和∑(-) 211误差平方和∑(y t -)2 = ∑()212可决系数（确定系数）13检验β0，β1 是否为零的t统计量14β1的置信区间-tα(T-2) ≤β1≤+tα(T-2)15单个y T+1的点预测=+x T+116E(yT+1)的区间预测17单个yT+1的区间预测18样本相关系数表3.4 多元线性回归模型的主要计算公式+= X= (X 'X)-1X 'YVar(= s2 ='/ (T - k)() =(X 'X)-1= '= '= +… +C s==是控制z t不变条件下的x t, y t的简单相关系数。
是y t与的简单相关系数。
其中是y t对x t1,x t2,…x tk–12：随机误差项的性质（1）误差项代表了未纳入模型变量的影响；（2）即使模型中包括了决定数学分数的所有变量，其内在随机性也不可避免，这是做任何努力都无法解释的；（3）u代表了度量误差；（4）“奥卡姆剃刀原则”，即描述应该尽可能简单，只要不遗漏重要的信息。
3：解释回归结果的步骤（1）看整个模型的显著性，看F统计量的值；（2）看单个参数的显著性；（3）解释斜率的经济含义；（4）解释R²。
4：古典线性回归模型的基本假定（同多元线性回归模型的基本假定相同）（1）所有自变量是确定性变量； （2）（3）自变量之间不存在完全多重共线性。
12：样本回归方程，i e 为残差项，i i i e X b b Y ++=21总体回归方程，i u 为随机误差项i i i u X B B Y ++=215：样本回归函数：随机样本回归函数：总体回归函数：随机总体回归方程：观察值可表示为： 6：普通最小二乘法就是要选择参数1b 、2b ，使得参差平方和最小。
计量经济学主要公式
9 总平方和' (P t-〕)2回归平方10 和1 误差平方'(P tJ)2「(Q21 和1 可决系数S2 （确定系数）1检验9, 肓―3 J是否为零的t统计量1 M的置信n ；* * ；*⑴t ：(T-2W 一+ ⑴t ：.(T-2)4 区间1单个P T+1 l 二=二 + £ i G T+1 5 的点预测1E(P T+1)的6 区间预测1 单个P T+1「+宀如…f左‘ 丫応-壬）27 的区间预测1样本相关8 系数表3.4多元线性回归模型的主要计算公式2 :随机误差项的性质（1）误差项代表了未纳入模型变量的影响；（2 ）即使模型中包括了决定数学分数的所有变量，其内在随机性也不可避免，这是做任何努力都无法解释的；（3）u代表了度量误差；（4）“奥卡姆剃刀原则”，即描述应该尽可能简单，只要不遗漏重要的信息。
3 :解释回归结果的步骤（1）看整个模型的显著性，看F统计量的值；（2 ）看单个参数的显著性；（3）解释斜率的经济含义；（4）解释R2。
4 :古典线性回归模型的基本假定（同多元线性回归模型的基本假定相同）（1）所有自变量是确定性变量；（2）（3）自变量之间不存在完全多重共线性。
12 :样本回归方程，e为残差项，Y -b1 b2X i e总体回归方程，U i为随机误差项ESS/k-1 RSS/n — kY = B 1B 2X iuE(Y| X i)= B i+ B 2X i总体回归函数：Y = B i + B 2X i + U i随机总体回归方程： 观察值可表示为:d：j 普通最小二乘法就是要选择参数XQ i、u i，使得参差平方和最小。
TSS:总离差平方和ESS:回归平方和 RSS:残差平方和 TSS^ESS RSS(1),ESS RSSTSS TSS(2)R2_ ESS TSS(3) 牛:FE 检Sbf方差来来源Sd.平方和自由度d.f. MSS 竺◎ '力乂玄 b/ y t xG 2 d f---- =—2 〜F(2, n_3) 来自回归 、ESS n —3)k —1 ESS/k -1来自残差判定系RSS R2之间的重要关系RSS/ n-k 总离差 T SSn -1F = R (k -1)(1 _R 2) (n_k)当R2 = 0, F = 0，当R2= 1 , F 值为无穷大 10 :校正的判定系数R222n -1 R =1 - 1 - Rn 「k11 :普通最小二乘估计量的一些重要性质：样本回归函数：Y 二 b 2X ie i5:b i b 2X i随机样本回归函数： b 2 7: Z xy i 送(X i —X jY —Y ) 送 X i Y — nXYY =b i b2X o =送e / n = o '、eXi =0:不同函数形式的总结。
《计量经济学》期末重点知识归纳整理
计量经济学期末重点知识归纳1.普通最小二乘法：已知一组样本观测值{}n i Y X i i ,2,1:),(⋯=，普通最小二乘法要求样本回归函数尽可以好地拟合这组值，即样本回归线上的点∧i Y 与真实观测点Yt 的“总体误差”尽可能地小。
普通最小二乘法给出的判断标准是：被解释变量的估计值与实际观测值之差的平方和最小。
2.广义最小二乘法GLS ：加权最小二乘法具有比普通最小二乘法更普遍的意义，或者说普通最小二乘法只是加权最小二乘法中权恒取1时的一种特殊情况。
从此意义看，加权最小二乘法也称为广义最小二乘法。
3.加权最小二乘法WLS ：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。
4.工具变量法IV ：工具变量法是克服解释变量与随机干扰项相关影响的一种参数估计方法。
5.两阶段最小二乘法2SLS, Two Stage Least Squares ：两阶段最小二乘法是一种既适用于恰好识别的结构方程，以适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。
6.间接最小二乘法ILS ：间接最小二乘法是先对关于内生解释变量的简化式方程采用普通小最二乘法估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后过通参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量的一种方法。
7.异方差性Heteroskedasticity ：对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，则认为出现了异方差性。
8.序列相关性Serial Correlation ：多元线性回归模型的基本假设之一是模型的随机干扰项相互独立或不相关。
如果模型的随机干扰项违背了相互独立的基本假设，称为存在序列相关性。
9.多重共线性Multicollinearity ：对于模型i k i i X X X Y μββββ++⋯+++=i k 22110i ，其基本假设之一是解释变量X 1,X 2,…,Xk 是相互独立的。
如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性，则称为存在多重共线性。
经济计量学公式推导
x
2
2
t
13
有效性证明
b2 是用其他计量经济方法得到的任一组线性无偏 假定 b1 、 估计量，下面证明最小二乘估计量满足
Var (b1 ) Var (b1 ) Var (b2 ) Var (b2 )
(1)关于b2 由于 b2 是一元线性回归模型的线性无偏估计量，令
b2 tYt
注意：本证明针对的是一元线性回归模型 假如有如下一元线性回归模型的确定性样本回归方程：
ˆ b b X Y t 1 2 t
Y b1 b2 X
（1）式减去（2）式得：
（1） （2）
由于样本回归函数经过样本的均值点( X , Y ) ，所以有：
ˆ Y ) b x (Y t 2 t
上式左右两边同时平方，然后求和得到：
其中，根据关于残差的一些结论可知：
(Yˆ Y )(Y Yˆ ) (Yˆ Y )e (b b X Y )e b e b X e Y e
t t t t 1 2 t t 1 t 2 t t t
t
000 0
21
(五）关于相关系数和判定系数之间的关系
所以，b1也是Yt的线性函数。
7
续上： 又由于，
b1 DtYt
Dt ( B1 B2 X t ut )
Dt B1 Dt B2 X t Dt ut
所以，b1也是ut的线性函数。
8
2.无偏性
(1)关于b2。
E (b2 ) E (ct ( B1 B2 X t ut )) E ( B1ct B2ct X t ct ut ) B1 ct B2 ct X t 0 B2
计量经济学公式推导
计量经济学公式推导⼀、最⼩⼆乘估计式推导过程：由⽅程组0?)(112=??∑=βnt t e (1)0?)(212=??∑=βnt t e …………………(2) ，得（注意：根据导数运算法则，若)(x f 和)(x g ）在⼀个共同的区间),(b a 上有定义，并且在每⼀点),(b a x ∈都可导，则有)()(])()([x g x f x g x f '±'='±；)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '*+*'='*；对于常数c ，则)(])([x f c x cf '='；当0)(≠x g 时，2)]([)()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f '-'='）因此，由（1）式得，0?)(?)(1122=??=??∑∑==nt t nt t e e ββ (3)由（2）式得，0?)(?)(122212=??=??∑∑==nt t nt t e e ββ (4)根据复合函数微商定理：若对于)(y g z =，)(x f y =，若)(x f y =在⼀点0x 可导，且)(y g z =在相应的点)(00x f y =处可导，则复合函数))((x f g 在0x 可导，且有公式)()())((000x f y g dx x f dg x x ''==因此，依复合函数微商定理，由（3）式得，0)?)()()((?)(112112=??*??=??∑∑==n t t t t nt t e e e e ββ…………(5)⼜依据微商运算公式：1)(-='m m mxx ，⼜t)12(112112=?-*=??*??=??∑∑∑∑=--==t nt t n t t t t nt t e e e e e e βββ………(7) 同理根据复合函数微商定理，由（4）式得，0))?()()()((?)(122122=??*??=??∑∑==n t t t t nt t e e e e ββ……………(6) 同理⼜依据1)(-='m m mxx ，及tt t t t t t t X Y e e X e Y Y 2121ββββ--=?++=+= 可得，0)?1)(2())?()()()((?)(11)11(2)12(12 2122=-*?=??*??=??∑∑∑∑==--==n t t t n t t t n t t tt nt t X e X e e e e e βββ……(8) 同样根据：tt t t t t t t X Y e e X e Y Y 2121ββββ--=?++=+=，可以得到⽅程组： 0)??(1211=--=∑∑==nt ttn t t X Ye ββ……………………(9) 0)??(1211=--=∑∑==nt tt ttX X YX e ββ………………(10) ⽅程（9）、（10）称为正规⽅程，合起来组成的⽅程组称为正规⽅程组。
计 量 经 济 学
计 量 经 济 学期望与方差补充知识设ij z 是一组随机变量，其中n j m i ,,1;,,1 ==，记)(ij z Z =，即将ij z 排列得到的n m ⨯矩阵。
记ij z 的数学期望为)(ij z E 。
定义Z 的数学期望为))(()(ij z E Z E =即),(j i 元为)(ij z E 的矩阵。
下面若干定理是计量经济学中要用到的。
定理一：对于数量矩阵)(),(),(ij p l ij p n ij m l c C b B a A ===⨯⨯⨯有C B Z AE C AZB E +=+)()(即数学期望运算具有线性性质。
证明：记C AZB W +=，则因为AZ 为n l ⨯矩阵，B AZ )(为p l ⨯阵，可见矩阵加法有定义，注意到W 阵为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑==+====ij n r m k rj kr ik ij n r m k rj kr ik ij c b z a c b z a w C AZB 1111)()( 故与上式最右端比较知CB Z AE c b z E a w E W E ij n r mk rj kr ik ij +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑====)()())(()(11 □推论：若Z 为1⨯m 向量，则有)()(Z AE AZ E =。
证明：只要在定理中取B 为单位阵，C 为零矩阵即得。
□定理二：对数量阵n m n m B A ⨯⨯,及随机向量11,⨯⨯n n Y X 有)()()(Y BE X AE BY AX E +=+推论：)()()(Y bE X aE bY aX E +=+证明：取bI B aI A ==,再利用定理即可，其中I 为单位阵。
□对1⨯m X 与1⨯n Y ，定义协方差阵为()),(),(j i Y X Cov Y X Cov =即矩阵的第),(j i 元为随机变量i X 与j Y 的协方差),(j i Y X Cov 。
计量经济学主要公式一览表
k-1 T+1 k-1
C t s � �/2 (1, T-k)
C t s � �/2 (T-k) et = - yt, t = 1, 2, …, T
PE =
, t = 1, 2, …, T
24
Theil 系数
25
偏相关系数
yt 与 xt1,xt2,…,xtk–1 的
26 复相关系数
是控制 zt 不变条件下的 xt, yt 的简单相关系数。
14
F 统计量
15
t 统计量
16
点预测公式
E(yT+1) 的置信区间预
17
测
单个 yT+1 的置信区间预
18
测
19
预测误差
20
相对误差
21
误差均方根
22 绝对误差平均
23 相对误差绝对值平均
C = (1 xT+1 1
x … x ) T+1 2
T+1 k-1
C x x =
=
0 + 1 + T+1 1 … +
序 公式名 称
计 算 公式
号
1 真实的回归模 yt = �0 + �1 xt + ut 型
2 估计的回归模
型
yt = + xt +
3 真实的回归函 E(yt) = �0 + �1 xt 数
4 估计的回归函 数
= + xt
5 最小二乘估计 公式
6 和 的方
差
7 � � 的无偏估 计量
计量经济学期末复习总结
第一章导论1．计量经济学是一门什么样的学科？答：“经济计量学”不仅要研究经济问题的计量方法，还要研究经济问题发展变化的数量规律。
可以认为，计量经济学是以经济理论为指导，以经济数据为依据，以数学、统计方法为手段，通过建立、估计、检验经济模型，揭示客观经济活动中存在的随机因果关系的一门应用经济学的分支学科。
2．计量经济学与经济理论、数学、统计学的联系和区别是什么？答：计量经济学是经济理论、数学、统计学的结合，是经济学、数学、统计学的交叉学科（或边缘学科）。
6．计量经济学模型的检验包括哪几个方面？为什么要进行模型的检验？答：对模型的检验通常包括经济意义经验、统计推断检验、计量经济检验、模型预测检验四个方面。
8．计量经济学模型中的被解释变量和解释变量、内生变量和外生变量是如何划分的？答：在联立方程计量经济学模型中，按是否由模型系统决定，将变量分为内生变量（endogenous variables）和外生变量（exogenous variables）两大类。
内生变量是由模型系统决定同时可能也对模型系统产生影响的变量，是具有某种概率分布的随机变量，外生变量是不由模型系统决定但对模型系统产生影响的变量，是确定性的变量。
9．计量经济学模型中包含的变量之间的关系主要有哪些？答：计量经济学模型中变量之间的关系主要是解释变量与被解释变量之间的因果关系，包括单向因果关系、相互影响关系、恒等关系。
12．计量经济学中常用的数据类型有哪些？答：根据生成过程和结构方面的差异，计量经济学中应用的数据可分为时间序列数据（time series data）、截面数据（cross sectional data）、面板数据（panal data）和虚拟变量数据（dummy variables data）。
13．什么是数据的完整性、准确性、可比性、一致性？答：1）完整性，指模型中所有变量在每个样本点上都必须有观察数据，所有变量的样本观察数据都一样多。
计量经济学中相关证明
计量经济学中相关证明课本中相关章节的证明过程第2章有关的证明过程2.1 一元线性回归模型有一元线性回归模型为：y t = ?0 + ?1 x t + u t上式表示变量y t 和x t之间的真实关系。
其中y t 称被解释变量（因变量），x t称解释变量（自变量），u t称随机误差项，?0称常数项，?1称回归系数（通常未知）。
上模型可以分为两部分。
（1）回归函数部分，E(y t) = ?0 + ?1 x t,（2）随机部分，u t。
图2.8 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，收入与支出的关系；如脉搏与血压的关系；商品价格与供给量的关系；文件容量与保存时间的关系；林区木材采伐量与木材剩余物的关系；身高与体重的关系等。
以收入与支出的关系为例。
假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。
但实际上数据来自各个家庭，来自各个不同收入水平，使其他条件不变成为不可能，所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。
随机误差项u t中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。
所以，在经济问题上“控制其他因素不变”实际是不可能的。
回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容，（1）非重要解释变量的省略，（2）人的随机行为，（3）数学模型形式欠妥，（4）归并误差（粮食的归并）（5）测量误差等。
回归模型存在两个特点。
（1）建立在某些假定条件不变前提下抽象出来的回归函数不能百分之百地再现所研究的经济过程。
（2）也正是由于这些假定与抽象，才使我们能够透过复杂的经济现象，深刻认识到该经济过程的本质。
通常，线性回归函数E(y t) = ?0 + ?1 x t是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t) = ?0 + ?1 x t 的估计，即对?0和?1的估计。
在对回归函数进行估计之前应该对随机误差项u t做出如下假定。
计量经济学 终稿
一、考虑储蓄函数sav=β0+β1inc+u, u=√inc e. 其中,.是一个随机变量,且具有E(.)=0和Var(.)=σ2., 假设.独立于inc(1)证明:若E(u丨inc)=0, 则满足零条件均值的关键假设(2)证明:若Var(u丨inc)=σe2inc, 则不满足同方差假定SLR.5.(3)讨论支持储蓄方差随着家庭收入递增的证据.答案(1)∵.独立于inc则E(.丨inc)=E(.)=0∴E(u丨inc)=E(√inc e.丨inc)=√inc E(.丨inc)=0即满足零条件均值的假设(2)Var(u丨inc)=var(√inc e.丨inc)=(√inc)2evar(.丨inc)=incevar(.丨inc)∵e独立于inc, var(e丨inc)=var(e)=∴var(u丨inc)=σ2e*inc(3)一个低收入家庭会把大部分收入用在食物衣服等生活必需品上,可能有一部分储蓄, 随着收入的增加, 他们的额消费范围会扩大,也就是说储蓄方差会变大二、用WAGE2 RAW中有关男工人的数据估计了如下方程(1)Sibs是否具有预期的影响?(2)讨论对m.duc的系数的解释(3)假设一个男工人A没有兄弟姐妹答案:(1)有预期的影响,因为sibs前系数为-0 094,即代表兄弟姐妹每增加1个,预期受教育年数少0 094年Δsibs=1/0.094=10.64,即为使预测受教育程度较少一年需增加sibs10.64个(2)M.duc系数为0 131,代表母亲受教育年数每增加一年男工人预期受教育年数增加0 131年̂A)=10 36-0+0 131e12+0 21e12=14 425(3)E(eduĉB)=10 36-0+0 131e16+0 21e16=15 816E(eduĉ)=1 364∆E(educ三、刚从法学院毕业的学生的起薪中位数由下式决定(1)解释为什么我们预期(2)你预计其他斜率参数的符号如何?(3)使用LAWSCH85 RAW中的数据(4)解释变量log(libvol)的系数(5)你是否认为应该进入一个排名更高的法学院?答案:(1)因为β5是rank的系数, 而rank越小代表法学院越好,即毕业生的工资越高所以rank值应和工资相关, 所以β5≤0(2)预计β≥1, β4均大于0 因为图书馆书量越多,学费越高代表教学条件越高,学生所获取只是越多,应与工资正相关=77.01%(100∗0.248)=24.8%(3)1.7701−11(4)log libvol的系数为0 095表示图书馆藏书量增加1%工资增加0 095%(5)应当进入排名更高的法学院当∆rank=20时, ∆lang=1 1641即排名相差20位, 工资起薪相差16 41%四、在一项调查大学GPA与每种活动中所耗时间之关系的研究(1)在模型中保持sl..p和l.isur.不变而改变study有意义?(2)解释为什么这个模型违背了假定MLR 3(3)你如何才能将这个模型重新表述?答案:(1)无意义,时间之和为参值(2)四活动之和为168,即四者中人任意者均可由其他三者线性表示, 与MLR 3不存在完全共线性矛盾(3)讲study变成168-work-sl..p-l.isur.GPA=β0+168β1+(β2-β1)work+(β3-β1)sl..p+(β4-β1)l.isur.+μ五、假定一名大学生正在修读三门课,一门两学分一门三学分和一门四学分答案:三门课在总学分中所占权重分别为22+3+4=2932+3+4=1342+3+4=49E(GPA)=3 5e2/9 +3e1/3 +3e4/9 = 10/3六、令X为美国大学教授以千美元计的年薪, 假定平均年薪52 3 答案:设一下美元计的年薪为YY=1000X∵E(X)=52.3 sd(X)=14.6∴E(Y)=E(1000X)=52300(美元)Sd(Y)=sd(1000X)=14600所以以美元计的年薪均值和标准值分别为52300和14600七、假定在一所大型的大学里,大学平均成绩GPA和SAT分数的关系由条件期望(1)求当SAT=800时的期望GPA, 求并评论(2)若该大学的平均SAT为1100, 则平均GPA是多少?(3)若一个学生的SAT是1100, 这是否意味着答案:(1)∵E(GPA丨SAT)=0 70+0 002SAT∴ SAT=800时E(GPA)=E(GPA丨SAT)=2.30E(GPA丨SAT =1400)=3.50由于给定的SAT成绩不同,所以GPA不同(2)E(GPA)=0.70+0.002*100=2.90(3)总体均值为2.90, 不一定个体均值也是。