对称模型的最值问题-含答案
几何最值问题 (讲义及答案)
几何最值问题（讲义）➢知识点睛1.解决几何最值问题的理论依据：①两点之间，线段最短（已知两个定点）②垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）④过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦2.几何最值问题的处理思路：①分析定点、动点，寻找不变特征；②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标．3.常用模型、结构示例：①轴对称最值模型lll求P A+PB的最小值，求|P A-PB|的最大值，定长线段MN在直线l上滑动，使点在线异侧使点在线同侧求AM+MN+BN 的最小值；1/ 72 / 7平移BN （或AM ）②利用图形性质进行转化（三角形三边关系示例）DCABONM求OD 的最大值 求AB 的最值➢ 精讲精练1. 如图，直线243y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC +PD 值最小时点P的坐标为（ ） A ．(-3，0)B ．(-6，0)C ．(32-，0)D ．(52-，0)y xPODCBA2. 已知：如图，∠ABC =30°，P 为∠ABC 内部一点，BP =4，如果点M ，N 分别为边AB ，BC 上的两个动点，则△PMN 周长的最小值是________．3 / 7 ED C B AAE PCBA3. 如图，在长方形ABCD 中，AB =4，BC =8，E 为CD 边的中点，若P ，Q 为BC 边上的两个动点，且PQ =2，则当BP =________时，四边形APQE 的周长最小．A B CD EP Q第3题图 第4题图4. 已知二次函数y =-x 2+2x +3与y 轴的交点为A ，顶点为B ，点P (t ，0)是x 轴上的动点．则|P A -PB |的最大值是________，此时点P 的坐标是__________．5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，D 是AB 边上 的动点，E 是BC 边上的动点，则AE +DE 的最小值为（ ） A ．3213 B ．10C ．245D ．4856. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，点D 在BC 边上，则以AC 为对角线的所有□ADCE 中，DE 长度的最小值为_____________．4 / 7OEDCBA第6题图 第7题图7. 如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是________．8. 如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，E 在AC 上且AE =23AC ，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，当点D运动时，则线段AF 的最小值是___________．ABCDEF9. 如图，已知AB =2，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为斜边，在AB 的同侧作等腰直角三角形ACD 和等腰直角三角形BCE ，则DE 长度的最小值为_____________．ED B CA5 / 710. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A′处，折痕为PQ ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A′在BC 边上可移动的最大距离为________________．QPA'D C B AD CBA11. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C ，则A′C 长度的最小值是_______．A'D CBNMAF DE AHGB C第11题图 第12题图12. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，连接DH ．若正方形的边长为2，则DH 长度的最小值是_______．13.已知抛物线3)(1)y x x =+-，与x 轴从左至右依次相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A的直线y b =+与抛物线的另一个交点为D ．设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒233个单位的速度运动到点D后停止，则当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？6/ 77 / 7➢ 参考答案1. C2. 43. 44.2；（-3，0）5. D6. 37.23 8. 231+ 9. 1 10. 211. 17- 12. 15-13. ()341-，。
与轴对称相关的线段之和最短问题
与轴对称相关的线段之和最短问题在中考复习课中，有一种题型我们不可避免地要帮学生复习，即求：某种情节下的最短距离、最短路线；以何种情况下由3点围成的三角形、由4点围成的四边形的周长最小，等等。
试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的。
当这类题目呈现在学生面前时，学生的感觉往往是一个字——难，不善于做这类题。
现以“用轴对称知识解决最值问题”的题组为例，通过几个强有力的数学模型，例说相关中考试题的解决方法，供老师们参考。
一、基本模型【数学模型1】：已知一条直线l与这条直线同侧的两点A、B，如图（1），在直线上找出一点P，使得这点与已知两点的距离和PA+PB最短。
作为题组的“基石”，中考复习时，我们重在让学生明白相关的解题策略。
如何解决线段的和的最短的问题？我们需要寻求和其中一条线段长度相等的线段，充分利用轴对称的有关性质，从而将线段的和最短转化为线段最短的问题。
让学生记住这个模型，并理解其中相关的数学原理，从而利用这个基本模型，轻松解决“最短”问题，这才是我们的最终目的。
二、变式模型通过基本问题结构的局部灵活重组，或者结论的拓展延伸，或者与其他问题的有机组合，加深学生对相关知识的理解，同时强化策略及思想等高层次的能力。
拓展延伸型问题也可以通过设问方式的改变，丰富问题设计的立意及内涵。
【数学模型2】：已知两条平行直线l1，l2及位于这两条直线上的两点A、B（线段AB与直线l1，l2不垂直），如图（3），分别在这两条直线上找出两点N、M，使得路径A-M-N-B最短。
解决方法：如图（3），分别作出A、B两点关于直线l2，l1的对称点A′、B′，连接 A′B′，分别交直线l2，l1于点M、N，有轴对称的有关性质，则路径A-M-N-B的长度就是线段A B′的长度，最短。
对比图（4），折线A-M-N-B的长度不是最短。
从一条定直线上的一个动点到分布在两条直线上的两个动点，孤立地看，变量增多（AM、MN、NB），问题较模型1复杂。
数学《最值问题》典型例题及答案
数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值二、典型题型1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．2．如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = ．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为 ．D PB′N BMA4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF 沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．数学《最值问题》典型例题答案一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值二、典型题型1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵PC关于OA对称，∴∠COP = 2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．则CD=2OC=2×32=6．【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a= ．【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出P A+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时P A+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=74，即P（74，0），a=74．故答案填：74．【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为 ．D PB′N BMA【分析】作点B 于直线l 的对称点B ′，则PB =PB ′因而|P A ﹣PB |=|P A ﹣PB ′|，则当A ，B ′、P 在一条直线上时，|P A ﹣PB |的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN 和PM 的值然后根据勾股定理求得P A 、PB ′的值，进而求得|P A ﹣PB |的最大值．【解答】解：作点B 于直线l 的对称点B ′，连AB ′并延长交直线l 于P ． ∴ B ′N =BN =1，过D 点作B ′D ⊥AM ， 利用勾股定理求出AB ′=5 ∴| P A ﹣PB |的最大值=5．【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA ′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA ′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA ′的最小值1．所以可求点A ′在BC 边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P 与B 重合时，BA ′取最大值是3， 当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A ′C =4，此时BA ′取最小值为1． 则点A ′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2． 故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ．【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PF AE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=45，∴PD=458 ．【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD，∴DE2，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为2+1．故答案为：2+1．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x，CD′=22（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22x，CD′=22（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为2×33，∴PK+QK3．故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤2，即可求得答案．【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP+S△A BP+S△ACP=1，∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2 AP，∵1≤AP≤2，∴当P与B重合时，有最大值2；当P与C重合时，有最小值2．∴2≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案为：2≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=2 AP．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。
对称模型的最值问题-含答案
对称模型的最值问题【母题示例】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一个动点，连接PE，PB，求PE＋PB的最小值．【命题形式】以特殊三角形、特殊平行四边形或坐标系为背景，利用对称性求与两线段和或差的最值相关的问题．【母题剖析】要求PE＋PB的最小值，只需将点B和点E转化为直线AC两侧的点，由正方形的对称性可得解．【母题解读】(1)对称模型的最值问题的背景来源主要有：角、等腰(边)三角形、菱形、正方形以及圆等．从内容上看，还会引申到“两线段差最大”问题、三角形(四边形)的周长最小问题、面积最大问题等．除此之外，解决对称模型的最值问题常常借助极端点．(2)一般地，解决线段和差最值问题的目标是“化曲为直”，手段通常是遇“和”转化为“异侧”，遇“差”转化为“同侧”，依据是轴对称和全等三角形，常用方法是利用轴对称图形中的“已知”的对称点．涉及的知识点有“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”等．模型一同侧和的最小值模型【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的同侧，求直线(l)上一动点(P)到两定点距离和(PA＋PB)的最小值．常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′)，再连接另一定点和该点(如连接A′B)，其与直线(l)的交点即为所求点(如点P)．【基本图形】基本图形说明作A、A′关于直线l对称，PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当点P在线段A′B上时取最小值基本图形说明过A作AA′∥MN且AA′＝MN，再作A′关于l的对称点A ″，连接A″B，则AM＋MN＋NB＝A″N＋BN＋MN≥A″B＋MN，当且仅当点N在A″B上时取等号【模型突破】1.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.在直线a上取一点M，在直线b上取一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的值最短，则此时AM＋NB＝( )A．6 B．8 C．10 D．122．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD.(1)求证：△ADE≌△CDB；(2)若BC＝3，在AC边上找一点H，使得BH＋EH的值最小，并求出这个最小值．模型二异侧差的最大值模型【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的两侧，求直线(l)上一动点(P)到两定点距离差(|PA－PB|)的最大值．常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′)，再作过另一定点与该点的直线(如直线A′B)，其与直线(l)的交点即为所求点(如点P)．【基本图形】基本 图形说明作A 、A ′关于直线l 对称，则|PA －PB|＝PA ′－PB ≤A ′B ，当点P 在直线A ′B 上时取最大值【模型突破】1．如图，等腰Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，点D 是AB 上一点，且∠BCD ＝15°，动点P 在射线CD 上，则|PA －PB|的最大值为________．2．如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B(4，0)两点，与y 轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P 是抛物线对称轴上一点，连接PB ，PC ，若|PB －PC|取得最大值，求点P 的坐标．模型三角内一定点模型【模型解读】已知一个角和角内一个定点，在角的两边上各取一点，使得这三点构成的三角形周长最小．只需过定点分别作其关于角的两边的对称点，两对称点之间的线段即为所求．【基本图形】基本图形说明点P′与点P关于OA对称，点P″与点P关于OB对称，连接P′P″与OA，OB分别交于点M，N，此时△PMN的周长最小，最小值为P′P″【模型突破】1．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN的周长的最小值是( )A.362B.332C．6 D．32．如图，已知二次函数y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.OC上点P的坐标为(0，1)，动点S，K分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PS，PK，SK，求△PSK的周长的最小值．参考答案【核心母题剖析】解：如解图，连接BD，PD.∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴AC垂直平分BD，∵点P在AC上，∴PB＝PD，∴PB＋PE＝PD＋PE，∴当点P为ED与AC的交点时，PE＋PB最小，最小值为DE. ∵四边形ABCD是正方形，且AD＝2，点E是AB的中点，∴AE＝1，∠EAD＝90°，∴由勾股定理得DE＝AE2＋AD2＝5，即PE＋PB的最小值为 5.【核心归纳突破】模型一、同侧和的最小值模型1．B 2.73．(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，∴BC＝EA ，∠ABC＝60°. ∵△DEB 是等边三角形，∴DB＝DE ，∠DEB＝∠DBE＝60°， ∴∠DEA＝∠DBC＝120°， ∴△ADE≌△CDB.(2)解：如解图，作点B 关于AC 的对称点B′，连接EB′交AC 于点H ，连接BH ，则点H 即为满足题意的点． 连接CE ，则△CBE 是等边三角形， ∴CE＝CB ＝CB′，∴∠BEB′＝90°， ∴BH ＋EH 的最小值＝EB′＝BB′2－BE 2＝3. 模型二、异侧差的最大值模型1．4 【解析】如图，作点B 关于CD 的对称点E ，连接AE 并延长交CD 的延长线于P ，连接CE ，BP ，则PE ＝PB ，PA －PB ＝PA －PE ＝AE ，即|PA －PB|的最大值为AE.∵∠BCP＝15°，点E 与点B 关于CP 对称，∴∠BCE＝2∠BCP＝30°，CE ＝BC.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝60°，∵AC＝BC ，∴AC＝CE ，∴△ACE 是等边三角形，∴AE＝4，即|PA －PB|的最大值为4.2．解：(1)将点B(4，0)，C(0，2)代入抛物线的函数解析式得 ⎩⎪⎨⎪⎧－12×16＋4b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32，c ＝2，∴抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2.(2)令y ＝－12x 2＋32x ＋2＝0，解得x 1＝4，x 2＝－1，∴点A 的坐标为(－1，0)，∵点C 的坐标为(0，2)， ∴直线AC 的函数解析式为y ＝2x ＋2. 如解图，连接AC ，易得抛物线对称轴为直线x ＝32，延长AC 交直线x ＝32于点P ，连接PB ，此时|PB －PC|＝PA －PC ＝AC 为|PB －PC|的最大值， ∴y P ＝2×32＋2＝5，∴点P 的坐标为(32，5)．模型三、角内一定点模型1．D 【解析】分别以OA ，OB 为对称轴作点P 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2，OP 1，OP 2，P 1P 2分别交射线OA ，OB 于点M ，N ，则此时△PMN 的周长有最小值，△PMN 的周长的最小值为P 1P 2的长，根据轴对称的性质可知，OP 1＝OP 2＝OP ＝3，∠P 1OP 2＝120°，∠OP 1M ＝30°，过点O 作MN 的垂线，垂足为Q ，在△OP 1Q 中，可知P 1Q ＝32，∴P 1P 2＝2P1Q＝3，故△PMN的周长的最小值为3.2．解：令－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，令x＝0，得y＝3，∴点C的坐标为(0，3)．∴OC＝OB＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，如解图，取点P关于x轴的对称点P′(0，－1)，点P关于直线BC的对称点P″，则P″的坐标为(2，3)，连接P′P″，分别交线段BC于S，交线段OB于K，此时△PSK的周长最小，即为线段P′P″的长．∴△PSK的周长的最小值为22＋（3＋1）2＝2 5.。
七年级最值问题——线段和最小值问题
• C'D = 2√2 求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2) • 所以，有0 = -k b 2 = k b • 解得 k = 1，b = 1，所以 y = x 1 当x = 0时，y =1，则P(0，1)
• 3、如下图，一次函数y=kx b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． • （1）求该函数的解析式；
• 4、作法：(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段) • 1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定
长P'Q'； • 2)作出点A关于直线L的对称点A'，连接A'B'，交直线L于P； • 3)在直线L上截取线段PQ=P'Q.. • 略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四
• 解析： 这是一个实际问题，需要把它转化为数学问题， 经过分析，知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB 相交，点P在∠AOB内部，通常我们会用轴对称模型，分 别做点P关于直线OA和OB的对称点P₁、P₂ ，连结P₁P₂分 别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程 最短的地点.
• 3、如下图，村庄A、B位于一条小河的两侧， 若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与 河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才 能使A村到B村的路程最近？
• 这一类问题也是当今中考的热点题型之一，通常会以角、 三角形、四边形、圆、坐标轴、抛物线为载体出题。
• 还有一种类型是固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM MN BN的最小值。这时需平移BN（或AM），转化为求解 决，如下图所示．
2020年中考专题复习 方法突破精讲练—对称问题求最值
【解析】如解图，作点A关于直线x＝3的对称点A′， 连接A′B交直线x＝3于点C，连接AC， ∵点A与点A′关于直线x＝3对称， ∴AC＝A′C，∴AC＋BC＝A′C＋BC. 当点B、C、A′在同一条直线上时，AC＋BC有最小值， 即△ABC的周长有最小值．∵点A与点A′关于直线x＝3对称， ∴点A′的坐标为(6，3)，设直线BA′的解析式为y＝kx＋b，
方法突破精讲练—对称问题求最值 模型 二 角与定点
类型1 一定点与两条直线上两动点问题
问题：点P在∠AOB的内部，在OB上找一点D，在OA上找一点C，使得 △PCD周长最小． 解决：要使△PCD周长最小，即PC＋PD＋CD值最小．根据两点之间线段 最短，将三条线段转化到同一直线上即可．分别作点P关于OA、OB的对称 点P′、P″，连接P′P″，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求， △PCD周长最小值即为线段P′P″的长．
第七单元 图形的变化
方法突破精讲练—对称问题 求最值
模型 一 定直线与两定点 类型1 异侧和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 解决：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长，连接AB 交直线l于点P，点P即为所求．
方法突破精讲练—对称问题求最值 类型2 同侧和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最 小． 解决：将两定点同侧转化为异侧问题，同类型1即可解决．作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′，交直线l于点P，点P即为所求；也可作点A关于直线l 的对称点A′，连接BA′.
方法突破精讲练—对称问题求最值 类型3 同侧差最小值问题
则此时AD＋DC＋BC的值最小，
核心母题二 对称模型的最值问题-2021年数学八年级第二学期期末调研模拟试题含解析
核心母题二 对称模型的最值问题-2021年数学八年级第二学期期末调研模拟试题 考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在▱ABCD 中，AB 5=，BAD ∠的平分线与DC 交于点E ，BF AE ⊥，BF 与AD 的延长线交于点F ，则BC 等于( )A ．2B ．2.5C ．3D ．3.52．已知数据123,,x x x 的平均数是10，方差是6，那么数据1233,3,3x x x +++的平均数和方差分别是（ ） A ．13，6 B ．13，9 C ．10，6 D ．10，93．如图，菱形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点O ， BD =8cm ，AC =6cm ，过点O 作OH ⊥CB 于点H ，则OH 的长为( )A ．5cmB ．52cm C ．125cm D ．245cm 4．下列说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．每一条边都相等且每一个角也都相等的四边形是正方形D ．平行四边形的对角线相等5．已知一次函数y ＝kx ＋b 随着x 的增大而减小，且kb ＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，把一个含45°角的直角三角尺BEF 和个正方形ABCD 摆放在起，使三角尺的直角顶点和正方形的顶点B 重合，连接DF ，DE ，M ，N 分别为DF ，EF 的中点，连接MA ，MN ，下列结论错误的是（ ）A ．∠ADF=∠CDEB ．△DEF 为等边三角形C ．AM=MND ．AM ⊥MN7．如图，菱形ABCD 的周长为28，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AD 的中点，则OE 的长等于（ ）A ．2B ．3.5C ．7D ．148．化简2b a b a a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的结果是( ) A ．a-b B ．a+b C ．1a b - D ．1a b+ 9．一个矩形的围栏，长是宽的2倍，面积是230m ，则它的宽为（ ）A 15mB ．215mC 30mD ．30m10．随着人民生活水平的提高，中国春节已经成为中国公民旅游黄金周．国家旅游局数据显示，2017年春节中国公民出境旅游约615万人次，2018，2019两年出境旅游人数持续增长，在2019年春节出境旅游达到700万人次，设2018年与2019年春节出境旅游总量较上一年春节的平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）．A ．615(1+x )=700B ．615(1+2x )=700C ．()26151700x +=D ．()()261516151700x x +++= 二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知一个钝角的度数为()535x -︒ ，则x 的取值范围是______12．如图，直线y ＝kx+6与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ．点E 的坐标为（﹣8，0），点A 的坐标为（﹣6，0）．若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点．当点P 运动到_____（填P 点的坐标）的位置时，△OPA 的面积为1．13．如图，1l 与2l 穿过正六边形ABCDEF ，且12l l ，则12∠-∠的度数为______.14．已知反比例函数6y x =，若36y -≤≤，且0y ≠，则x 的取值范围是_____． 15．如图，△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，△ACB 的顶点A 在△DCE的斜边DE 上，且AD ＝2，AE ＝32，则AC ＝_____．16．两条对角线______的四边形是平行四边形.17．如图，在平行四边形 ABCD 中， AD = 2 AB ；CF 平分 ∠BCD 交 AD 于 F ，作 CE ⊥ AB ， 垂足 E 在边 AB 上，连接 EF ．则下列结论：① F 是 AD 的中点； ② S △EBC = 2S △CEF ；③ EF = CF ； ④ ∠DFE = 3∠AEF ．其中一定成立的是_____．（把所有正确结论的序号都填在横线上）18．在一个不透明的布袋中，红色、黑色的玻璃球共有20个，这些球除颜色外其它完全相同．将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有60次摸到黑球，请你估计这个袋中红球约有_____个．三、解答题(共66分)19．（10分）武汉市某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的费用y （元）与印刷份数x （份）之间的关系如图所示(1) 求甲、乙两种收费方式的函数关系式；(2) 当印刷多少份学案时，两种印刷方式收费一样?20．（6分）在53⨯的方格纸中，四边形ABCD 的顶点都在格点上.（1）计算图中四边形ABCD 的面积；（2）利用格点画线段DE ，使点E 在格点上，且DE AC ⊥交AC 于点F ，计算DF 的长度.21．（6分）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为1S ，点E 在CD 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S .⑴求线段CE 的长；⑵若点H 为BC 边的中点，连结HD ，求证：HD HG .22．（8分）计算：（1）（3.14﹣π）0+（﹣12）﹣2﹣2×2﹣1（2）（2a2+ab﹣2b2）（﹣12 ab）23．（8分）（1）27÷3﹣215×10+8；(2) 3(23)24|63|----.24．（8分）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、两点，直线过原点且与直线相交于，点为轴上一动点.(1)求点的坐标；(2)求出的面积；(3)当的值最小时，求此时点的坐标；25．（10分）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）若点P在线段AB上．如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由.26．（10分）“五一”期间，小丽一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．现有甲、乙两家租车公司，租车费用如下：甲公司按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费；乙公司无固定租金，直接按租车时间计费，每小时租费是30元．（1）设租用时间为x 小时，租用甲公司的车所需费用为y 1元，租用乙公司的车所需费用为y 2元，其图象如图所示，分别求出y 1， y 2关于x 的函数解析式；（2）请你帮助小丽计算，租用哪家新能源汽车自驾出游更合算？参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】【分析】根据平行四边形性质证，△AEF ≌△AEB ，EF=EB ，AB=AF=1，再证△DEF ≌△CEB ，得BC=DF ，可得AF=AD+DF=AD+BC=2BC=1．【详解】解：因为，四边形ABCD 是平行四边形，所以，AD ∥BC,AD=BC ∠C=∠FDE,∠EBC=∠F因为，BAD ∠的平分线与DC 交于点E ，BF AE ⊥所以，∠FAE=∠BAE,∠AEB=∠AEF所以，△AEF ≌△AEB所以，EF=EB,AB=AF=1所以，△DEF ≌△CEB所以，BC=DF所以，AF=AD+DF=AD+BC=2BC=1所以，BC=2.1．故选B ．【点睛】本题考核知识点：平行四边形、全等三角形. 解题关键点：熟记平行四边形性质、全等三角形判定和性质． 2、A【解析】【分析】根据样本数据123,,x x x 的平均数与方差，可以推导出数据1233,3,3x x x +++的平均数与方差．【详解】 解：由题意得平均数()1231103x x x x +=+=，方差()()()2222321110101063s x x x ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦， ∴1233,3,3x x x +++的平均数()()()1233313133x x x x ⎡⎤=++⎣++=⎦+， 方差()()()2232221113131363333s x x x ⎡⎤=-+--++⎣+=⎦+，故选A. 【点睛】本题考查了样本数据的平均数与方差的应用问题，解题时可以推导出结论，也可以利用公式直接计算出结果，是基础题目．3、C【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB 、OC ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据△BOC 的面积列式计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，111163,842222OC AC OB BD ==⨯===⨯=在Rt △BOC 中，由勾股定理得，5BC =∵OH ⊥BC ，1122BOC S OC OB CB OH ∴=⋅=⋅ ∴1143522OH ⨯⨯=⨯ ∴125OH =【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC的面积列出方程．4、C【解析】【分析】根据矩形的判定、正方形的判定、和菱形的判定以及平行四边形的性质判断即可．【详解】解：A、对角线平分且相等的四边形是矩形，错误；B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；C、每一条边都相等且每一个角也都相等的四边形是正方形，正确；D、矩形的对角线相等，错误；故选：C．【点睛】此题考查正方形的判定，关键是根据矩形的判定、正方形的判定、和菱形的判定以及平行四边形的性质解答．5、A【解析】【分析】先根据函数图像得出其经过的象限，由一次函数图像与系数的关系即可得出结论.【详解】因为y随着x的增大而减小，可得：k<0，因为kb<0，可得：b>0，所以图像经过一、二、四象限.故选A.【点睛】本题考查的是一次函数的图像与系数的关系，即一次函数y＝kx＋b（k 0）中，当k<0，b>0时函数的图像经过一、二、四象限.6、B【分析】连接DE，先根据直角三角形的性质得出AM=12DF，再根据△BEF是等腰直角三角形得出AF=CE，由SAS定理得出△ADF≌△CDE，可得∠ADF=∠CDE ，DE=DF，再根据点M，N分别为DF，EF的中点，得出MN是△EFD的中位线，故MN=12DE，MN∥DE，可得AM=MN，由MN∥DE，可得∠FMN=∠FDE，根据三角形外角性质可得∠AMF=2∠ADM，由∠ADM+∠DEC+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，可得MA⊥MN，只能得到△DEF是等腰三角形，无法得出是等边三角形，据此即可得出结论.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠C=90°，∵点M是DF的中点，∴AM=12 DF，∵△BEF是等腰直角三角形，∴BF=BE，∴AF=CE，∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴∠ADF=∠CDE ，DE=DF，∵点M，N分别为DF，EF的中点，∴MN是△EFD的中位线，∴MN=12 DE，∴AM=MN；∵MN是△EFD的中位线，∴MN∥DE，∴∠FMN=∠FDE，∵AM=MD，∴∠MAD=∠ADM，∵∠AMF是△ADM外角，∴∠AMF=2∠ADM．又∵∠ADM=∠DEC，∴∠ADM+∠DEC+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，∴MA ⊥MN ，∵DE=DF ，∴△DEF 是等腰三角形，无法得出是等边三角形，综上，A 、C 、D 正确，B 错误，故选B.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，直角三角形斜边中线性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.7、B【解析】【分析】由菱形的周长可求得AB 的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0【详解】∵四边形ABCD 为菱形，∴AB 14=⨯28=7，且O 为BD 的中点． ∵E 为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE 12=AB =3.1． 故选B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，由条件确定出OE 为△ABD 的中位线是解题的关键．8、B【解析】【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．【详解】2b a b a a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭22a b a a a b -=⨯- ()()a b a b a a a b+-=⨯- a b =+．故选B ．【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．9、A【解析】【分析】设宽为xm ，则长为2xm ，根据矩形的面积公式列出方程即可.【详解】解：设宽为xm ，则长为2xm ，依题意得：230x x =∴x =∵0x >∴x =故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用矩形的面积公式列出方程是解决本题的关键.10、C【解析】【分析】设2018年与2019年春节出境旅游总量较上一年春节的平均增长率为x ,根据2017年及2019年出境旅游人数，即可得出关于x 的一元二次方程，即可得解；【详解】由题意可得：()26151+700x =故选：C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，充分理解题意是解决本题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、2543x <<【解析】【分析】【详解】由题意得53590535180x x ->⎧⎨-<⎩，解得2543x <<. 故答案为2543x <<【点睛】考点：不等式组的应用点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握钝角的范围和一元一次不等式组的解法，即可完成．12、（﹣4，3）．【解析】【分析】求出直线EF 的解析式，由三角形的面积公式构建方程即可解决问题.【详解】解：∵点E （﹣8，0）在直线y ＝kx+6上，∴﹣8k+6＝0，∴k ＝34， ∴y ＝34x+6， ∴P （x ，34x+6）， 由题意：12×6×（34x+6）＝1， ∴x ＝﹣4，∴P （﹣4，3），故答案为（﹣4，3）．【点睛】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．13、60︒【解析】【分析】利用三角形的外角计算出结果【详解】延长 EF 交直线 l 1于点 M ，如图所示∵ABCDEF 是正六边形∴∠AFE=∠A=120°∴∠MFA=60°∵11∥12∴∠1=∠3∵∠3=∠2+∠MFA∴∠1﹣∠2=∠MFA =60°故答案为：60°【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行、内错角相等，同旁内角互补．14、2x -或1x【解析】【分析】利用反比例函数增减性分析得出答案．【详解】解：36y -且0y ≠，3y ∴=-时，2x =-，∴在第三象限内，y 随x 的增大而减小，2x ∴-；当6y =时，1x =，在第一象限内，y 随x 的增大而减小，故x 的取值范围是：2x -或1x ．故答案为：2x -或1x ．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数增减性是解题关键．15、10 【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得AC=BC,DC=EC,∠DCE=∠ACB=90°,∠D=∠CED=45°,可证△ADC ≌△BEC,可得AD=BE=2,∠D=∠BEC=45°,由勾股定理可求AB=22，即可求AC 的长。
专题36 几何最值之将军饮马问题【热点专题】(含答案解析)
模型
作法
结论
△PCD 周
点P在 ∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D， OA 边上找点 C，使得△PCD 周长最 小.
分别作点 P 关 于 OA、OB 的对称点 P′、P″，连接
长的最小 值为 P′P″
P′P″，交 OA、OB 于点 C、D，点 C、
D 即为所求.
点P在 ∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D， OA 边上找点 C，使得 PD＋CD 最小.
【例 11】 11．村庄 A 和村庄 B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直 的桥，桥址应如何选择，才使 A 与 B 之间的距离最短？
试卷第 7页，共 11页
12．如图，在 Rt△ABC 中， ACB 90 ， AC 6 ， AB 12 ，AD 平分 CAB ，点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE EF 的最小值为（ ）
试卷第 10页，共 11页
试卷第 11页，共 11页
参考答案： 1． 3
4 【分析】作 A 关于 x 3的对称点 A ，连接 AB 交直线 x 3与点 C，先求得 BA 的解析式，然 后将 x 3代入直线 BA 的解析式，从而可求得 y 的值． 【详解】解：作 A 关于 x 3 的对称点 A ，连接 AB 交直线 x 3 与点 C．
【例 5】 5．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，且∠AOB＝40°，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和 射线 OB 上的动点，当△PMN 周长取最小值时，则∠MPN 的度数为（ ）
试卷第 4页，共 11页
A．140° 【例 6】
B．100°
C．50°
D．40°
6．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，连接 DF，过点 E
几何最值问题(习题及答案)
几何最值问题（习题）例题示范例 1：如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B 落在边AD 上，折痕EF 的两端分别在A B，BC 上（含端点）．若A B=6cm，BC=10cm，则AB' 的取值范围是．B F CEA B' D【思路分析】1.明确目标，分析定点、动点要求AB' 的取值范围，即求AB' 的最大值与最小值，定点是A，动点是B' ；2.分析动点的形成因素，寻找不变特征动点B' 是由点B 折叠得到的，所以B'E =BE，B'F =BF，因为AE+BE=6，CF+BF=10，所以AE +B'E =6，C F +B'F =10（不变特征）．先求AB' 的最大值：把AE，B'E ，AB' 放在一个三角形中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得：AB' < AE +B'E ，即AB' < 6 ，如果AB' 有最大值，则三角形三个顶点应该共线，即点E 与点A 重合，此时AB'=6 ，由此可得，AB' ≤6，即AB' 的最大值是 6．再求AB' 的最小值：转化为求B'D 的最大值，考虑把B'D 放入 Rt△B'DC 中，只需B'C 最大即可，把CF，B'F ，B'C 放在一个三角形中，根据三角形三边关系，类比上面求解AB' 最大值的方法得到B'C 的最大值为 10，由此得到B'D 的最大值是 8，即AB' 的最小值是 2．综上，AB' 的取值范围是：2cm≤AB' ≤6cm．3.作出图形，验证是否符合题意．B FC B C(F)EA(E)B' D A B' D图1图2巩固练习1.如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=4，点M，N 分别在边A B，AC 上，将△AMN 沿M N 翻折，点A的对应点为A' ，连接BA' ，则B A' 长度的最小值为．AM NA'B C2.如图，在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4．过点A 作直线l 平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B 落在直线l上的点P处，折痕为M N．当点P在直线l上移动时，折痕的端点M，N 也随之移动，若限定端点M，N 分别在AB，BC 边上（包括端点）移动，则线段A P 长度的最大值与最小值之差为．A P lB N C3.在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，将△ABC 绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．若E为线段A B 的中点，则在△ABC绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，线段EC1 长度的最大值是，最小值是．C1B C4.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13，P 为BC 边上任一点，PE⊥AB 于点E，PF⊥AC 于点F，M 为E F 中点，则线段P M 长度的最小值为．AB P C5.正方形ABCD 的边长为a，P 是BC 边上任意一点（可与B，C 重合），B，C，D 三点到射线A P 的距离分别是h1，h2，h3，设h1+h2+h3=y，则y的最大值是，最小值是D CA B6.如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD，则线段CD 长度的最小值为．CA P B7.如图，在R t△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，在△ABC 内部以A C 为斜边任意作R t△ACD，连接B D，则线段B D 长度的最小值为．BC A8.如图，正方形ABCD 的边长是2，以正方形ABCD 的边AB 为边，在正方形内作等边三角形A BE，P 为对角线A C 上的一动点，则P D+PE 的最小值为．A DB C9.如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，若P，Q，K 分别为线段BC，CD，BD 上的任一点，则PK+QK 的最小值为A DB P C思考小结1．几何最值问题的处理思路①分析定点、动点，寻找不变特征；②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题．2．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标．3．基本定理：两点之间，线段最短（已知两个定点）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）4．常用模型、结构示例：①轴对称最值模型AllB求P A+PB 的最小值，求|PA-PB|的最大值，对称至异侧对称至同侧B' BlM N固定长度线段MN 在直线l 上滑动，求AM+MN+BN 的最小值，需平移BN（或AM），转化为AM +MB'解决．②折叠求最值结构AM NA'B C求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC 的最小值（利用A′N+NC 为定值）．【参考答案】1．4 42． 1 3．7，34．30 135．2a，2a 6．57．28．29．。
初二轴对称图形难题总结
初二轴对称图形难题总结如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为_________．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．2．（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为_________．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP 的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为_________．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE周长的最小值：_________．4．（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE 的最小值为_________．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．5．几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是_________；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．6．如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=_________时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=_________时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=_________，n=_________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．7．需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．8．如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°，新开发区B到公路MN的距离BC=3千米．（1）新开发区A到公路MN的距离为_________；（2）现要在MN上某点P处向新开发区A，B修两条公路PA，PB，使点P到新开发区A，B的距离之和最短．此时PA+PB=_________（千米）．9.如图：（1）若把图中小人平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上点P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点P的位置．10．如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴．（1）请画出：点A、B关于原点O的对称点A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接A1A2、B1B2（其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A1A2、B1B2；（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣4，2），连接（1）中A2B2，试问在x轴上是否存在点C，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？若存在，求出点C的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．11．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）12．阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？_________（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为_________．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．13．如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；14．（2012•东城区二模）已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC上，且∠MON=60°．（1）如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．15．如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD的延长线于F，求证：DE=DF．16．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．17．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：BF=AC+AF．18．已知△ABC的角平分线AP与边BC的垂直平分线PM相交于点P，作PK⊥AB，PL⊥AC，垂足分别是K、L，求证：BK=CL．19．某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（要有作图痕迹）20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线MN交BC于M，交AB于N，求BM的长．21．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M，求证：BN=CM．22．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．（2013•日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为2．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．考点：轴对称-最短路线问题．3113559分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置．根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．解答：解：（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P此时PA+PB最小，且等于AE．作直径AC′，连接C′E．根据垂径定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，∴∠AOE=90°，∴∠C′AE=45°，又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，∴∠C′=∠C′AE=45°，∴C′E=AE=AC′=2，即AP+BP的最小值是2．故答案为：2；（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×=5，∴BE+EF的最小值为．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P 位置是解题关键．2．（2013•六盘水）（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP 的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．考点：圆的综合题；轴对称-最短路线问题．3113559专题：压轴题．分析：（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=；（2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；由于的度数为60°，点B是的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE为等腰直角三角形，则AE=OA=；（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于M、交BC于N．解答：解：（1）观察发现如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，∴CE=BE=；故答案为；（2）实践运用如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，∵的度数为60°，点B是的中点，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，∴∠EOC=30°，∴∠AOE=60°+30°=90°，∵OA=OE=1，∴AE=OA=，∵AE的长就是BP+AP的最小值．故答案为；（3）拓展延伸如图（4）．点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称﹣最短路径问题．3．（2012•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE周长的最小值：8．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：压轴题．分析：（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．解答：解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线，∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4，∴D′E===5，∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8，故答案为：8．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE周长的最小值，求出DP+PE的最小值即可是解题关键．4．（2010•淮安）（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．考点：轴对称-最短路线问题．3113559分析：（1）首先由等边三角形的性质知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的长度，从而得出结果；（2）要在直径CD上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．（3）画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P．则点P即为所求．解答：解：（1）BP+PE的最小值===．（2）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，连接OA′，AA′，OB．∵点A与A′关于CD对称，∠AOD的度数为60°，∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，∵点B是的中点，∴∠BOD=30°，∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，∵⊙O的直径CD为4，∴OA=OA′=2，∴A′B=2．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．（3）如图d：首先过点B作BB′⊥AC于O，且OB=OB′，连接DB′并延长交AC于P．（由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠APD）．点评：此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．5．（2009•漳州）几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：压轴题；动点型．分析：（1）由题意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理求得即可；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，求A′C的长，即是PA+PC的最小值；（3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB的交点Q、R，这时三角形PEF的周长=MN，只要求MN的长就行了．解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．点评：此题综合性较强，主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识．6．（2006•湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=，n=﹣（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．3113559专题：压轴题．分析：（1）根据题意，设出并找到B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），进而可得直线AB'的解析式，进而可得答案；（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．利用两点间的线段最短，可知四边形ABDC的周长最短等于A'F+CD+AB，从而确定C点的坐标值．（3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，当且仅当m=，n=﹣；时成立．解答：解：（1）设点B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），设直线AB'的解析式为y=kx+b，把A（2，﹣3），B'（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0得x=，即p=．（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．那么A'（2，3）．直线A'F的解析式为，即y=4x﹣5，∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，∴a=．（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直线A′B′的解析式为：y=x﹣，∴M（，0），N（0，﹣）．m=，n=﹣．点评：考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与坐标轴的交点等知识．7．（2007•庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：作图题．分析：利用轴对称图形的性质可作点A关于公路的对称点A′，连接A′B，与公路的交点就是点P的位置．解答：解：点P就是飞机场所在的位置．（5分）点评：本题主要是利用轴对称图形来求最短的距离．用到的知识：两点之间线段最短．8．（2006•贵港）如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°，新开发区B到公路MN的距离BC=3千米．（1）新开发区A到公路MN的距离为8；（2）现要在MN上某点P处向新开发区A，B修两条公路PA，PB，使点P到新开发区A，B的距离之和最短．此时PA+PB=14（千米）．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：计算题；压轴题．分析：（1）先求出OB的长，从而得出OA的长，再根据三角函数求得到公路的距离．（2）根据切线的性质得EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，再根据余弦概念求解．解答：解：（1）∵BC=3，∠AOC=30°，∴OB=6．过点A作AE⊥MN于点E，AO=AB+OB=16，∴AE=8．即新开发区A到公路的距离为8千米；（2）过D作DF⊥AE的延长线（点D是点B关于MN的对称点），垂足为F．则EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，过B作BG⊥AE于G，∴BG=DF，∵BG=AB•cos30°=5，∴，连接PB，则PB=PD，∴PA+PB=PA+PD=AD=14（千米）．点评：此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力．9．（2006•巴中）如图：（1）若把图中小人平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上点P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点P的位置．考点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换；作图-平移变换．3113559专题：作图题．分析：根据平移的规律找到点B，再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到点A的对称点，连接A1B与l相交于点P，即为所求．解答：解：点评：本题考查的是平移变换与最短线路问题．最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间线段最短可求出所求的点．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．10．（2003•泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴．（1）请画出：点A、B关于原点O的对称点A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接A1A2、B1B2（其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A1A2、B1B2；（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣4，2），连接（1）中A2B2，试问在x轴上是否存在点C，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？若存在，求出点C的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．考点：作图-轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题．3113559专题：作图题；证明题；压轴题；探究型．分析：（1）根据中心对称的方法，找点A2，B2，连接即可．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）依题意与（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2），得到A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2，所以x轴垂直平分线段A1A2、B1B2．（3）根据A1与A2，B1与B2均关于x轴对称，连接A2B1交x轴于C，点C为所求的点．根据题意得B1（4，2），A2（2，﹣4）设直线A2B1的解析式为y=kx+b则利用待定系数法．解得，所以可求直线A2B1的解析式为y=3x﹣10．令y=0，得x=，所以C的坐标为（，0）．即点C（，0）能使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小．解答：解：（1）如图，A2、B2为所求的点．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）依题意与（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2）∴A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2，∴x轴垂直平分线段A1A2、B1B2．（3）存在符合题意的C点．由（2）知A1与A2，B1与B2均关于x轴对称，∴连接A2B1交x轴于C，点C为所求的点．∵A（﹣2，4），B（﹣4，2）依题意及（1）得：B1（4，2），A2（2，﹣4）．设直线A2B1的解析式为y=kx+b则有解得∴直线A2B1的解析式为y=3x﹣10，令y=0，得x=，∴C的坐标为（，0）综上所述，点C（，0）能使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小．点评：主要考查了轴对称的作图和性质，以及垂直平分线的性质．要知道对称轴垂直平分对应点的连线．会根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键．11．（2001•宜昌）某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：作图题．分析：作A关于直线L的对称点E，连接BE交直线L于C，则C为所求．解答：答：如图：．点评：本题主要考查对轴对称﹣最短路线的问题的理解和掌握，根据题意正确画出图形是解此题的关键，12．（2012•淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？是（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．考点：翻折变换（折叠问题）．3113559专题：压轴题；规律型．分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．解答：解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知设∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．。
轴对称最值模型
轴对称最短路径问题模块⼀将军饮⻢类模型1.将军饮⻢直线l上有⼀动点P，令PA+PB最⼩模型特征：①线段和最⼩②两定⼀动辅助线：①异侧对称②三点共线最短距离：(PA+PB)min=2.两河饮⻢直线l1上有⼀动点P，l2上有⼀动点Q，令△APQ周⻓最⼩辅助线：①两次对称②三点共线最短距离：(C△APQ)min=直线l1上有⼀动点P，l2上有⼀动点Q，令四边形ABPQ周⻓最⼩辅助线：①两次对称②三点共线最短距离：(C四边形ABPQ)min=4.两河饮⻢3直线l2上有⼀动点P，l1上有⼀动点Q，令AP+PQ+BQ最⼩辅助线：①两次对称②三点共线最短距离：(AP+PQ+BQ)min=直线PQ为直线l上动点，且PQ⻓度为定值，令AP+PQ+BQ最⼩辅助线：①预先平移距离a②异侧对称③三点共线最短距离：(AP+PQ+BQ)min=6.造桥选址A、B是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d的河上垂直建⼀座桥，使得从A村庄经过桥到B村庄所⾛的路程最短(过河问题)辅助线：①预先平移距离d②三点共线最短距离：(AP+PQ+BQ)min=垂线段最短模型模块模块⼆⼆7.垂线段最短A 为定点，P 、Q 分别为l 1、l 2上的动点，令AP +PQ 最⼩模型特征：①线段和最⼩②两动⼀定辅助线：①对称定点②作垂线段最短距离：(AP +PQ )min =8.垂线段最短2A 为l 2上定点，P 、Q 分别为l 1、l 2上的动点，令AP +PQ 最⼩模型特征：①线段和最⼩②两动⼀定辅助线：①对称定点②作垂线段最短距离：(AP +PQ )min =线段差最值模型模块模块三三9.线段差最⼩P 为l 上的动点，令|PA −PB|最⼩模型特征：线段差最⼩辅助线：AB 的垂直平分线最短距离：|PA −PB|min =010.线段差最⼤P 为l 上的动点，令|PA −PB|最⼤模型特征：线段差最⼤辅助线：①同侧对称②三点共线最⼤距离：|PA −PB|max =。
中考数学常见几何模型最值模型-将军饮马
专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA +PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。
上图中A’是A 关于直线m 的对称点。
例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，点P 、Q 分别是BC 、BD 上的动点，CQ PQ +的最小值为______．【答案】2【分析】过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，在直角三角形BEC 中，勾股定理即可求解． mA B P m AB m A B PmABA'【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，菱形ABCD的边长为2，45ABC∠=︒，Rt BEC∴中，222EC BC==∴PQ+QC的最小值为2故答案为：2【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC 的中点，连接PE，PB，若4AB =，43BC=，则PE PB+的最小值为________．【答案】6【分析】作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B E'交AC于点P，则PE PB+的最小值为B E'的长度；然后求出B B'和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B E'交AC于点P，则PE PB+的最小值为B E'的长度；⊥AC是矩形的对角线，⊥AB=CD=4，⊥ABC=90°，在直角⊥ABC中，4AB =，43BC=，⊥43tan343ABACBBC∠===，⊥30ACB∠=︒，由对称的性质，得2B B BF '=，B B AC '⊥，⊥1232BF BC ==，⊥243B B BF '== ⊥23BE EF ==，60CBF ∠=︒，⊥⊥BEF 是等边三角形，⊥BE BF B F '==，⊥BEB '∆是直角三角形，⊥2222(43)(23)6B E BB BE ''=-=-=，⊥PE PB +的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】85【分析】过点M 作MF ⊥CD 于F ，推出MN +NP 的最小值为MF 的长，证明四边形DEMG 为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P 关于CE 的对称点P ′，由折叠的性质知CE 是⊥DCM 的平分线，⊥点P ′在CD 上，过点M 作MF ⊥CD 于F ，交CE 于点G ，⊥MN +NP =MN +NP ′≤MF ，⊥MN +NP 的最小值为MF 的长，连接DG ，DM ，由折叠的性质知CE 为线段 DM 的垂直平分线，⊥AD =CD =2，DE =1，⊥CE =2212+=5，⊥12CE ×DO =12CD ×DE ， ⊥DO =255，⊥EO =55， ⊥MF ⊥CD ，⊥EDC =90°，⊥DE ⊥MF ，⊥⊥EDO =⊥GMO ，⊥CE 为线段DM 的垂直平分线，⊥DO =OM ，⊥DOE =⊥MOG =90°，⊥⊥DOE ⊥⊥MOG ，⊥DE =GM ，⊥四边形DEMG 为平行四边形，⊥⊥MOG =90°，⊥四边形DEMG 为菱形，⊥EG =2OE =255，GM = DE =1，⊥CG =355， ⊥DE ⊥MF ，即DE ⊥GF ，⊥⊥CFG ⊥⊥CDE ，⊥FG CG DE CE =，即35515FG =， ⊥FG =35，⊥MF =1+35=85， ⊥MN +NP 的最小值为85．故答案为：85． 【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键． 例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连结AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连结'AP ，BP '，B P ''，⊥直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上，（1）⊥PB =__________，P B '=_________，⊥AP PB AP PB '+=+=____________．在AP B ''∆中，⊥AB AP P B ''''<+，⊥AP PB AP P B '''+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB '与l 的交点，即A ，P ，B '三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC 于点F ，则EF FB +的最小值就是线段ED 的长度，则EF FB +的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm ，底面周长为16cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm ．（4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '，则A C B C ''+的最小值为____________．【答案】（1）PB '，P B ''，AB '；（2）25；（3）17；（4）23【分析】（1）根据对称性即可求解；（2）根据正方形的对称性知B 关于AC 的对称点是D ，连接ED ，则ED 是EF FB +的最小值；（3）先将玻璃杯展开，再根据勾股定理求解即可；（4）分析知：当''A B 与'B C 垂直时，A C B C ''+值最小，再根据特殊角计算长度即可；【详解】解：（1）根据对称性知：'''''',,PB PB P B P B AP PB AP PB AB ==+=+=， 故答案为：PB '，P B ''，AB '；（2）根据正方形的对称性知B 关于AC 的对称点是D ，连接ED ⊥ED 是EF FB +的最小值 又⊥正方形的边长为4，E 是AB 中点⊥222425ED =+= ⊥EF FB +的最小值是25；（3）由图可知：蚂蚁到达蜂的最短路程为'AC的长度： ⊥'43,8,11AE A E cm BF cm BC cm EB cm =====， ⊥'15A B cm =⊥''222215817AC A B BC cm =+=+=（4）⊥在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆⊥'''2,30A B AB A BD ==∠=︒ 当''A B 与'B C 垂直时，A C B C ''+值最小⊥''''////,AB A B CD AB A B CD == ⊥四边形''A B CD 是矩形，''30B AC ∠=︒⊥''2343,33B C AC == ⊥''23AC B C += 【点睛】本题考查“将军饮马”知识迁移，掌握“将军饮马”所遵循的数学原理，判断出最小是解题关键．模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1 图2 图3【最值原理】两点之间线段最短。
专题13 轴对称之将军饮马模型全攻略(解析版)四川成都七年级数学下册-
专题13轴对称之将军饮马模型全攻略【模型说明】模型一、两定一动模型模型二、一定两动【答案】30°/30度【分析】连接BP，由等边三角形的性质可知为等边三角形，ABCAD为BC的垂直平分线，又∵点E为中点，AD为高，角平分线的交点，∴P点即为等边ABC∵点P 关于OA 的对称点为C ，关于∴PM CM OP OCCOA ==∠，，∵点P 关于OB 的对称点为D ∴PN DN OP OD DOB ==∠，，∴3cm OC OD OP ===，COD COA POA POB ∠=∠+∠+∠【答案】80∵∠BCD＝50°，∠B＝∠∴∠BAD＝360°﹣90°﹣∵点P关于OA的对称点为∴PM=CM，OP=OC，∠∵点P关于OB的对称点为∴PN=DN，OP=OD，∠【答案】5【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键．如图，在AB截取BN'，使得BN+=+'，可知当由CM MN CM MN∵BD 平分ABC ∠，∴N BM NBM '∠=∠，∵BN BN '=，N BM NBM '∠=∠∴()SAS N BM NBM ' ≌，∴MN MN '=，（1）如图1，若∠O =∠OMN ，过M 作射线MD //OB (如图)，点C 是射线MD 上一动点，∠MNC 的平分线NE 交射线OA 于E 点．试探究∠MEN 与∠MCN 的数量关系；（2）如图2，若P 是线段ON 上一动点，Q 是射线MA 上一动点．∠AOB =20︒，当MP +PQ +QN 取得最小值时，求∠OPM +∠OQN 的值．【答案】（1）∠MCN =2∠MEN ，理由见解析；（2）∠OPM +∠OQN 200=︒．【详解】解：（1）∠MCN =2∠MEN ，理由如下：如图，∵NE 是∠MNC 的平分线，MD //OB ，∠O =∠OMN ，∴∠1=∠2，∠MCN =∠CNB ，∠O =∠OMN =∠4，在△OMN 中，∠MNB =∠O +∠OMN ，∴∠1+∠2+∠MCN =2∠O ，即2∠2+∠MCN =2∠O ①，又∠3=∠2+∠MCN =∠4+∠MEN ，即∠2+∠MCN =∠O +∠MEN ②，由①②得：∠MCN =2∠MEN ；（2）如图，过作点M 关于OB 的对称点M 1，作点N 关于OA 的对称点N 1，连接M 1N 1交OA 于点Q ，交OB 于点P ，∴PM +PQ +NQ =PM 1+PQ +QN 1，由两点之间，线段最短，可得PM +PQ +NQ 的最小值为M 1N 1，由对称的性质，知：∠MPO =∠M 1PO ，∠NQA =∠N 1QA ，设∠OQP =β，∠ONQ =α，由对顶角的性质得∠MPO =∠M 1PO =∠QPN ，∠NQA =∠N 1QA =∠OQP =β，在△OQN 中，∠NQA =∠O +∠ONQ ，即20βα=︒+，在△OPQ 中，∠QPN =∠O +∠OQP ，即∠OPM 2040βα=︒+=︒+，∠OQN =180°-∠NQA =180°20α-︒-，∴∠OPM +∠OQN =40α︒++160°200α-=︒．。
中考数学必学几何模型：将军饮马模型(几何最值)含答案解析
2
A A
P
C
B
D
P
C
B
A'
解答：
如图所示，作点 A 关于 CD 的对称点 A′，连接 A′C，连接 A′B 并延长交 CD 于点 P，则点 P
就是 PA PB 的值最大时的点， PA PB ＝A′B．
∵△ABC 为等腰直角三角形，AC＝BC 等于 4，∴∠ACB＝90°． ∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°． ∵点 A、A′关于 CD 对称，∴AA′⊥CD，AC＝CA′， ∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．
A
P
O
B
解答
如图，作点 P 分别关于 OA 、 OB 的对称点 E 、 F ，连接 EF ，分别交 OA 、
5
OB 于点 Q 、 R ，连接 OE 、 OF 、 PE 、 PF . EQ OP ， FR RP ． △ PQR 的周长的最小值为 EF 的长. 由对称性可得∠EOQ=∠POQ，∠FOR=∠POR， ∠EOF=2∠AOB=60°． △ EOF 是正三角形． EF OE OP 10 ． 即△ PQR 周长最小值为 10.
结论
P
O
B
C P
O
D
△PCD 周长的最小值为 P′P″ B
点 P 在∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D，
P''
OA 边上找点 C，使得△PCD 周长最小． 分别作点 P 关于 OA、OB 的
4
对称点 P′、P″，连接 P′P″， 交 OA、OB 于点 C、D，点 C、D 即为所求．
A
A
C
P
P
O
D
B PD＋CD 的最小值为 P′C
轴对称中的最值模型问题(将军饮马)重难点题型专训(学生版)-初中数学
轴对称中的最值模型问题(将军饮马等)重难点题型专训题型一将军饮马之线段和最值题型二将军饮马之线段差最值题型三将军饮马之两定一动最值题型四三点共线最大值题型五双对称关系求周长最小值题型六两定两动型最值题型七两动一定最值题型八费马点最值问题将军饮马中最短路径问题四大模型一两定点在直线的异侧问题1作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A+PB 的和最小。
连接AB ，与直线l 的交点P 即为所求。
两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和最小。
二两定点在直线的同侧问题2：将军饮马作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A +PB 的和最小。
作B 关于直线l 的对称点C ，连AC ，与直线l 的交点P 即为所求。
化折为直；两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和AC 最小。
三两动点一定点问题问题3：两个动点作法图形原理作P 关于OA 的对称点P 1，作P 关于OB 的对称两点之间，线段最短，此时PC +PD +CD点P 在锐角∠AOB 的内部，在OA 边上找一点C ,在OB 边上找一点D ,,使得PC +PD +CD 的和最小。
点P 2，连接P 1P 2。
的和最小。
四造桥选址问题问题4：造桥选址作法图形原理直线m ∥n ，在m ，n 上分别求点M 、N ，使MN ⊥m ，MN ⊥n ，且AM +MN +BN 的和最小。
将点A 乡向下平移MN 的长度得A 1，连A 1B ，交n 于点N ，过N作NM ⊥m 于M 。
两点之间，线段最短，此时AM +MN +BN 的最小值为A 1B +MN 。
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练．勾股定理公式：a 2+b 2=c 2【经典例题一将军饮马之线段和最值】1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E 、F ，画直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点，若BC =5，△ABC 的面积为15，则BM +MD 的最小长度为()A.5B.6C.7D.82.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠BAC，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.1.2B.2.4C.4.8D.9.63.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．4.唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题．(1)如图2，作点B关于直线l的对称点B ，连接AB 与直线l交于点C，点C就是所求的位置．理由：如图3，在直线l上另取不同于点C的任一点C ，连接AC ，BC ，B C ，因为点B、B 关于直线l对称，点C、C 在直线l上，所以CB=，C B=，所以AC+CB=AC+CB =，在△AC B 中，依据，可得AB <AC +C B ，所以AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(2)迁移应用：如图4，△ABC是等边三角形，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，AD=6，M是AD上的一个动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是．【经典例题二将军饮马之线段差最值】5.如图，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延长线段BC至点D，使CD=BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当AM-DN的值最大时，∠ACE的度数为．6.如图，AB⎳DP，E为DP上一动点，AB=CB=CD，过A作AN⊥EC交直线EC于N，过D作DM ⊥EC交直线EC于点M，若∠B=114°，当AN-DM的值最大时，则∠ACE=．7.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知△ABC的顶点均在格点上．(1)画出格点三角形ABC关于直线DE对称的△A B C ；(2)△A B C 的面积是(3)在直线DE上找出点P，使P A-PC最大，并求出最大值为．(保留作图痕迹)8.如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．(1)画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线MN对称；(2)在直线MN上画出点D，使∠BDM=∠CDN．(3)在直线MN上画出点P，使P A-PC最大．【经典例题三将军饮马之两定一动最值】9.小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在( )．A. B.C. D.10.(2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习)如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是．12.(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，(1)求BC的长；(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出P A+PC的最小值为．【经典例题四三点共线最大值】13.如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A-PB的最大值为.14.如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=10，M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值为()A.12B.15C.18D.2015.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,M在△ABC的内部，∠ACM=4∠BCM，P为射线CM上一点，当|P A-PB|最大时，∠CBP的度数是．16.如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．(2)若以N点为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为0，5，则△ABC关于x轴对称△A2B2C2，写出点A2,C2的坐标．(3)在直线MN上找点P使PB-P A的最大值．最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出PB-P A【经典例题五双对称关系求周长最小值】17.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°18.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF=()A.110°B.112°C.114°D.116°19.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=9cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为．20.在草原上有两条交叉且笔直的公路OA、OB，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，∠AOB=30°，OP=6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．21.几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A ，连接A B，则A B与直线l的交点即为P，且P A+PB的最小值为线段A B的长．(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；(2)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点(不同于点O)，使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；②如图3，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．22.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM+MN+EN的最小值是．23.如图，在等边△ABC中，AC=12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为．【经典例题七两动一定最值】24.如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．25.如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是()A.BC边上高的长B.线段EF的长度C.BC边的长度D.以上都不对26.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP+PQ的最小值等于()A.4B.245C.5 D.48527.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是．【经典例题八费马点最值问题】28.【问题提出】(1)如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．【问题解决】(3)如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和(即AE+ BE+CE)最小时，平行四边形公园ABCD的面积．29.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点(Fermat po int)．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=()A.6B.32+6C.63D.930.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC=18，则这个等边三角形的高的长度为；(2)如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点；(3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求．31.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是高为3的等边△ABC的费马点，则OA+OB+OC=；(2)如图2，已知P是等边△ABD外一点，且∠APB=120°，请探究线段P A，PB，PD之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：①点P是△ABC的费马点；②P A+PB+PC=CD．32.若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，P A+PB+PC的值最小．(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP 处，连接PP ，此时△ACP ≌△ABP，这样就可以通过旋转变换，将三条线段P A，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=．(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠P AC，求证：BE=P A+PB+PC．(3)如图4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出P A+PB+PC的值．33.(2024八年级上·浙江·专题练习)如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接P A、PE，若P A+PE最小，则点P应该满足()A.P A=PCB.P A=PEC.∠APE=90°D.∠APC=∠DPE34.(24-25八年级上·全国·课后作业)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,CD⊥AD，P是CD边上的一动点，要使P A+PB的值最小，则点P应满足的条件是()A.P A=PBB.PC=PDC.∠APB=90°D.∠BPC=∠APD35.(23-24八年级下·四川巴中·期末)如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=5，△ABC 的面积为15，则BM+MD的最小长度为()A.5B.6C.7D.836.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.60°B.120°C.90°D.45°37.(23-24八年级上·湖南湘西·期末)在某草原上，有两条交叉且笔直的公路OA、OB，如图，∠AOB=30°，在两条公路之间的点P处有一个草场，OP=4．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是( )．A.4B.6C.8D.1238.(22-23八年级下·福建漳州·期中)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=18，D是BC中点，EF垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为()A.3B.6C.9D.1239.(23-24八年级上·福建福州·期中)在平面直角坐标系xOy中，A0,4，动点B在x轴上，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转60°至AC，连接OC，则线段OC长度最小为()A.0B.1C.2D.340.(22-23七年级下·山东济南·阶段练习)如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°41.(21-22八年级上·四川广元·期末)如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD，在AD上找一点P，使PC+PB的值最小；则PC+PB的最小值为()A.4B.3C.5D.642.(21-22八年级上·广东广州·期中)在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，点P 是边AC 上一定点，此时分别在边AB ，BC 上存在点M ，N 使得△PMN 周长最小且为等腰三角形，则此时AP PC 的值为()A.12B.1C.32D.243.(2024七年级下·全国·专题练习)如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =5，S △ABC =15，AD ⊥BC 于点D ，EF 垂直平分AB ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB +PD 最小，则这个最小值为．44.(23-24七年级下·陕西西安·阶段练习)如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使△AMN 周长最小，此时∠MAN =80°，则∠BAD 的度数为．45.(23-24七年级下·山东济南·期末)在草原上有两条交叉且笔直的公路OA 、OB ，在两条公路之间的点P 处有一个草场，如图，∠AOB =30°，OP =6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．46.(22-23七年级下·广东河源·期末)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF周长最小，此时∠EDF=．47.(22-23八年级上·广东东莞·期中)如图，点A-2，1，点P是在x轴上，且使P A+PB最小，写，B2，3出点P的坐标．48.(22-23八年级上·湖南岳阳·期中)如图，直线l垂直平分△ABC的AB边，在直线l上任取一动点O，连结OA、OB、OC．若OA=5，则OB=．若AC=9，BC=6，则△BOC的最小周长是．49.(22-23八年级上·四川绵阳·期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是0,2，点B在x轴的负半轴上且∠ABO=30°，点P与点O关于直线AB对称，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为．50.(22-23八年级上·海南海口·期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小．此时∠EDF的大小是．51.(22-23八年级上·湖北黄石·期末)如图，已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM=103cm，现要在OC,OA上分别找点Q，N，使QM+QN最小，则其最小值为cm．52.(21-22八年级上·福建厦门·期末)小河的两条河岸线a∥b，在河岸线a的同侧有A、B两个村庄，考虑到施工安全，供水部门计划在岸线b上寻找一处点Q建设一座水泵站，并铺设水管PQ，并经由P A、PB 跨河向两村供水，其中QP⊥a于点P.为了节约经费，聪明的建设者们已将水泵站Q点定好了如图位置(仅为示意图)，能使三条水管长PQ+P A+PB的和最小.已知P A=1.6km，PB=3.2km，PQ=0.1km，在A村看点P位置是南偏西30°，那么在A村看B村的位置是．53.(22-23八年级上·云南昆明·期末)如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A2,3．，B1,1，C5,3(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．(2)求△A1B1C1的面积；(3)在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请直接写出点P的坐标．54.(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，已知A-3,4，B-1,2，C1,3．(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，将△ABC平移得到△A B C ，已知A 1,-1，则C 坐标是．(2)求出△ABC的面积；(3)在x轴上有一点P，使得P A+PB的值最小，保留作图痕迹．55.(23-24八年级下·广东深圳·期末)【综合实践活动】【问题背景】如图1，A，B表示两个村庄，要在A，B一侧的河岸边建造一个抽水站P，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站P应该修建在什么位置？【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：如图2，A，B是直线l同侧的两个点，点P在直线l上．P在何处时，P A+PB的值最小．画图：如图3，作B关于直线l的对称点B ，连结AB 与直线l交于点P，点P的位置即为所求．证明：∵B和B 关于直线l对称∴直线l垂直平分BB∴PB=，∴P A+PB=P A+PB根据“”(填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．)可得P A+ PB 最小值为(填线段名称)，此时P点是线段AB 和直线l的交点．【问题拓展】如图4，村庄B的某物流公司在河的对岸有一个仓库C(河流两侧河岸平行，即GD∥EF)，为了方便渡河，需要在河上修建一座桥MN(桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直)，请问桥MN修建在何处才能使得B到C的路线最短？请你画出此时桥MN的位置(保留画图痕迹，否则不给分)．【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形AEDC为花海景区，∠CDE=∠E=90°，AE=80米，DE=50米，长方形CFGH为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线(折线AM-MN-BN)，A为起点，终点B在ED上，BD=30米，MN为湖边观景台，长度固定不变(MN =40米)，且需要修建在湖边所在直线CF上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．2156.(2023九年级·四川成都·专题练习)在△ABC 中，AC =BC ，点E 在是AB 边上一动点(不与A 、B 重合)，连接CE ，点P 是直线CE上一个动点．(1)如图1，∠ACB =120°，AB =16，E 是AB 中点，EM =2，N 是射线CB 上一个动点，若使得NP +MP 的值最小，应如何确定M 点和点N 的位置？请你在图2中画出点M 和点N 的位置，并简述画法；直接写出NP +MP 的最小值；(2)如图3，∠ACB =90°，连接BP ，∠BPC =75°且BC =BP ．求证：PC =P A ．57.(23-24七年级下·广东深圳·期末)【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A ，B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A ，B 到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作A 关于直线m 的对称点A ，连接A B 与直线m 交于点C ，点C 就是所求的位置．(1)请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：证明：如图3，在直线m 上另取任一点D ，连结AD ，A D ，BD ，∵直线m 是点A ，A 的对称轴，点C ，D 在m 上，22∴CA =，DA =，∴AC +CB =A C +CB =．在△A DB 中，∵A B <A D +DB ，∴A C +CB <A D +DB ．∴AC +CB <AD +DB ，即AC +CB 最小．(2)如图4，在等边△ABC 中，E 是AB 上的点，AD 是∠BAC 的平分线，P 是AD 上的点，若AD =5，则PE +PB 的最小值为．【拓展应用】(3)“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A 表示龙潭公园，点B 表示宝能广场，点C 表示万科里，点D 表示万科广场，点E 表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B 宝能广场和D 万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C 万科里、D 万科广场和E 龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A 与点C 关于BD 对称，请你用尺子在BD 上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G 表示)．58.(24-25八年级上·全国·假期作业)如图，B、C 两点关于y 轴对称，点A 的坐标是0,b ，点C 坐标为-a ,-a -b ．(1)直接写出点B 的坐标为；(2)用尺规作图，在x 轴上作出点P ，使得AP +PB 的值最小；(3)∠OAP =度．59.(21-22七年级上·陕西商洛·期末)点C 为∠AOB 内一点．23(1)在OA上求作点D,OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若∠AOB=30°，OC=10，求△CDE周长的最小值．60.(23-24八年级上·湖南长沙·期末)在四边形ABCD中，∠BAD=BCD=90°，∠ABC=135°，AB=32，BC=1，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，求△BEF周长的最小值．61.(2023八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，CD平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA-AD向终点D运动．(1)点P在CA上运动的过程中，当CP时，△CPD与△CBD的面积相等；(直接写出答案)(2)点P在折线CA-AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD度数；(3)若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度(直接写出答案)．。
初中数学几何模型与最值问题05专题-费马点中的对称模型与最值问题(含答案)
初中数学最值问题专题5 费马点中的对称模型与最值问题【专题说明】【例题】1、如图，在△ABC 中，△ACB =90°，AB =AC =1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．【分析】如图，以AD 为边构造等边△ACD ，连接BD ，BD 的长即为P A +PB +PC 的最小值．至于点P 的位置？这不重要！如何求BD ？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点D 作DH △BA 交BA 的延长线于H 点，根据勾股定理，222BD BH DH =+即可得出结果．C2、如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．3、如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN的周长的最小值为___________.4、如图，点都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．5、如图所示，30AOB ∠=，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．ABCDME6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接P C，P E．当△P CE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是C P上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、已知，如图，二次函数()2230y ax ax a a =+-≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点(B 点在A点右侧)，点H 、B 关于直线l ：y x =+对称.(1)求A 、B 两点的坐标，并证明点A 在直线l 上； (2)求二次函数解析式；(3)过点B 作直线//BK AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连结HN 、NM 、MK ，求HN +NM +MK 的最小值.专题5 费马点中的对称模型与最值问题 答案【专题说明】【例题】1、如图，在△ABC 中，△ACB =90°，AB =AC =1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．【分析】如图，以AD 为边构造等边△ACD ，连接BD ，BD 的长即为P A +PB +PC 的最小值．至于点P 的位置？这不重要！如何求BD ？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点D 作DH △BA 交BA 的延长线于H 点，根据勾股定理，222BD BH DH =+即可得出结果．C2、如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段． 分别以AD 、AM 为边构造等边△ADF 、等边△AMG ，连接FG ，易证△AMD △△AGF ，△MD =GF △ME +MA +MD =ME +EG +GF过F 作FH △BC 交BC 于H 点，线段FH 的长即为所求的最小值．ABCDMEHFGE MDCBA3、如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN 的周长的最小值为___________.【解析】如图，作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△P MN 的周长最短，最短的值是CD 的长．△点P 关于OA 的对称点为C ， △P M =CM ，O P=OC ，△COA =△P OA ； △点P 关于OB 的对称点为D ， △P N =DN ，O P=OD ，△DOB =△P OB ，△OC =OD =O P=3，△COD =△COA +△P OA +△P OB +△DOB =2△P OA +2△P OB =2△AOB =60°， △△COD 是等边三角形， △CD =OC =OD =3．△△P MN 的周长的最小值=P M +MN +P N =CM +MN +DN ≥CD =3．4、如图，点都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（）A．B．C．D．【解析】分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=得：a=1，b=3，则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，所以点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），连结P Q分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB=D P+DC+CQ+AB=P Q+AB==4+2=6，故选B．5、如图所示，30AOB ∠=，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．【解析】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP 、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN ∆周长最小，根据轴对称性质可知1PMPM =，2PN P N =，1212PMN PM MN P N PP ∴∆=++=，且1AOP AOP ∠=∠，2BOP BOP ∠=∠，12260POP AOB ∠=∠=︒，128OP OP OP ===，12PP O ∆为等边三角形，1218PP OP ==即PMN ∆周长的最小值为8.6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2﹣x ﹣与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上．（1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接P C ，P E ．当△P CE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K是线段CB的中点，点M是C P上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）△y=x2﹣x﹣，△y=（x+1）（x﹣3）．△A（﹣1，0），B（3，0）．当x=4时，y=．△E（4，）．设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=．△直线AE的解析式为y=x+．（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．△直线CE的解析式为y=x﹣．过点P作P F△y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则F P=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．△△E P C的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．△当x=2时，△E P C的面积最大．△P（2，﹣）．如图2所示：作点K关于CD和C P的对称点G、H，连接G、H交CD和C P与N、M．△K是CB的中点，△k（，﹣）．△点H与点K关于C P对称，△点H的坐标为（，﹣）．△点G与点K关于CD对称，△点G（0，0）．△KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．△GH==3．△KM+MN+NK的最小值为3．（3）如图3所示：△y ′经过点D ，y ′的顶点为点F ，△点F （3，﹣）．△点G 为CE 的中点，△G （2，）．△FG =．△当FG =FQ 时，点Q （3，），Q ′（3，）．当GF =GQ 时，点F 与点Q ″关于y =对称，△点Q ″（3，2）．当QG =QF 时，设点Q 1的坐标为（3，a ）．由两点间的距离公式可知：a +=，解得：a =﹣．△点Q 1的坐标为（3，﹣）．综上所述，点Q 的坐标为（3，），Q ′（3，）或（3，2）或（3，﹣）． 7、已知，如图，二次函数()2230y ax ax a a =+-≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点(B 点在A=+对称.点右侧)，点H、B关于直线l：y x(1)求A、B两点的坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数解析式；BK AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HN、NM、(3)过点B作直线//MK，求HN+NM+MK的最小值.【解析】(1)依题意,得ax2+2ax−3a=0(a≠0)，两边都除以a得x2+2x−3=0，解得x1=−3,x2=1，△B点在A点右侧，△A点坐标为(−3,0),B点坐标为(1,0)，答：A.B两点坐标分别是(−3,0),(1,0).证明：△直线l:y x+-=，△点A在直线l上．当x=−3时,y(3)0(2)△点H、B关于过A点的直线l:y x+对称，△AH=AB=4，过顶点H作HC△AB交AB于C点，则AC=12,2AB HC==△顶点H(1,-，代入二次函数解析式,解得a=，△二次函数解析式为2y x=，答：二次函数解析式为2y x=+.(3)直线AH的解析式为y=+，直线BK的解析式为y=-y xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得3xy=⎧⎪⎨=⎪⎩K)，则BK=4，△点H、B关于直线AK对称,K，△HN+MN的最小值是MB，过K作KD△x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，则QM=MK,QE=EKAE△QK，△根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，△BK△AH，△△BKQ=△HEQ=90△，由勾股定理得QB8==△HN+NM+MK的最小值为8，。
与对称有关的线段最值问题
第七单元 图形与变换
2．(2021聊城)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标 原点，顶点A，C分别在x轴、y轴上，B，D两点坐标分别为B(－4 ， 6)，D(0 ， 4)，线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的 周长最小时，点E的坐标为____－__25_，__0_ __．
A＂，连接BA＂交l于点N，作□AA′NM，则AM＝A′N＝A＂N
第七单元 图形与变换
模型3 两点同侧求线段差最大 问题：在l上找一点P，使|PA－PB|最大
作法：连接AB并延长，交l于P
第七单元 图形与变换
模型4 两点异侧求线段差最大 问题：在l上找一点P，使|PA－PB|最大(见第3题)
作法：作B关于l的对称点B′，连接AB′并延长交l于P
□AA′NM，则 AM＝A′N
第七单元 图形与变换
模型2 两点同侧求线段和最小 问题1：在l上找一点P，使PA＋PB最小(见第1题)
作法：作A关于l的对称点A′，连接A′B交l于P
第七单元 图形与变换
问题2：M，N在l上，且MN为定值，试确定M，N的位置，使AM＋ MN＋NB最小(见第2题)
作法：将A向右平移到A′，使得AA′＝MN，作A′关于l的对称点
与对称有关的线段最值问题
第七单元 图形与变换
模型1 两点异侧求线段和最小 问题1：在l上找一点P，使PA＋PB最小
作法：连接AB交l于P
第七单元 图形与变换
问题 2：l1∥l2，M，N 分别为 l1，l2 上一点，且 MN⊥l1，试确定 M，N 的位置，使 AM＋MN＋NB 最小
作法：将 A 向下平移到 A′，使 AA′＝MN，连接 BA′交 l2 于 N，作
第七单元 图形与变换
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对称模型的最值问题
【母题示例】
如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一个动点，连接PE，PB，求PE＋PB的最小值．
【命题形式】
以特殊三角形、特殊平行四边形或坐标系为背景，利用对称性求与两线段和或差的最值相关的问题．
【母题剖析】
要求PE＋PB的最小值，只需将点B和点E转化为直线AC两侧的点，由正方形的对称性可得解．
【母题解读】
(1)对称模型的最值问题的背景来源主要有：角、等腰(边)三角形、菱形、正方形以及圆等．从内容上看，还会引申到“两线段差最大”问题、三角形(四边形)的周长最小问题、面积最大问题等．除此之外，解决对称模型的最值问题常常借助极端点．
(2)一般地，解决线段和差最值问题的目标是“化曲为直”，手段通常是遇“和”转化为“异侧”，遇“差”转化为“同侧”，依据是轴对称和全等三角形，常用方法是利用轴对称图形中的“已知”的对称点．涉及的知识点有“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”
等．
模型一同侧和的最小值模型
【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的同侧，求直线(l)上一动点(P)到两定点距离和(PA＋PB)的最小值．常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′)，再连接另一定点和该点(如连接A′B)，其与直线(l)的交点即为所求点(如点P)．
【基本图形】
基本
图形
说明
作A、A′关于直线l对称，PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当
点P在线段A′B上时取最小值
基本
图形
说明过A作AA′∥MN且AA′＝MN，再作A′关于l的对称点A ″，连接A″B，则AM＋MN＋NB＝A″N＋BN＋MN≥A″B＋MN，当且仅当点N在A″B上时取等号
【模型突破】
1.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.在直线a上取一点M，在直线b上取一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的值最短，则此时AM＋NB＝( )
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD.
(1)求证：△ADE≌△CDB；
(2)若BC＝3，在AC边上找一点H，使得BH＋EH的值最小，并求出这个最小值．
模型二异侧差的最大值模型
【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的两侧，求直线(l)上一动点(P)到两定点距离差(|PA－PB|)的最大值．常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′)，再作过另一定点与该点的直线(如直线A′B)，其与直线(l)的交点即为所求点(如点P)．
【基本图形】
基本 图形
说明
作A 、A ′关于直线l 对称，则|PA －PB|＝PA ′－PB ≤A ′
B ，当点P 在直线A ′B 上时取最大值
【模型突破】
1．如图，等腰Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，点D 是AB 上一点，且∠BCD ＝15°，动点P 在射线CD 上，则|PA －PB|的最大值为________．
2．如图，抛物线y ＝－1
2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B(4，0)两点，与y 轴交于点
C(0，2)．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点P 是抛物线对称轴上一点，连接PB ，PC ，若|PB －PC|取得最大值，求点P 的坐标．。