对称模型的最值问题-含答案

对称模型的最值问题

【母题示例】

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一个动点，连接PE，PB，求PE＋PB的最小值．

【命题形式】

以特殊三角形、特殊平行四边形或坐标系为背景，利用对称性求与两线段和或差的最值相关的问题．

【母题剖析】

要求PE＋PB的最小值，只需将点B和点E转化为直线AC两侧的点，由正方形的对称性可得解．

【母题解读】

(1)对称模型的最值问题的背景来源主要有：角、等腰(边)三角形、菱形、正方形以及圆等．从内容上看，还会引申到“两线段差最大”问题、三角形(四边形)的周长最小问题、面积最大问题等．除此之外，解决对称模型的最值问题常常借助极端点．

(2)一般地，解决线段和差最值问题的目标是“化曲为直”，手段通常是遇“和”转化为“异侧”，遇“差”转化为“同侧”，依据是轴对称和全等三角形，常用方法是利用轴对称图形中的“已知”的对称点．涉及的知识点有“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”

等．

模型一同侧和的最小值模型

【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的同侧，求直线(l)上一动点(P)到两定点距离和(PA＋PB)的最小值．常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′)，再连接另一定点和该点(如连接A′B)，其与直线(l)的交点即为所求点(如点P)．

【基本图形】

基本

图形

说明

作A、A′关于直线l对称，PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当

点P在线段A′B上时取最小值

基本

图形

说明过A作AA′∥MN且AA′＝MN，再作A′关于l的对称点A ″，连接A″B，则AM＋MN＋NB＝A″N＋BN＋MN≥A″B＋MN，当且仅当点N在A″B上时取等号

【模型突破】

1.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.在直线a上取一点M，在直线b上取一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的值最短，则此时AM＋NB＝( )

A．6 B．8 C．10 D．12

2．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD.

(1)求证：△ADE≌△CDB；

(2)若BC＝3，在AC边上找一点H，使得BH＋EH的值最小，并求出这个最小值．

模型二异侧差的最大值模型

【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的两侧，求直线(l)上一动点(P)到两定点距离差(|PA－PB|)的最大值．常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′)，再作过另一定点与该点的直线(如直线A′B)，其与直线(l)的交点即为所求点(如点P)．

【基本图形】

基本 图形

说明

作A 、A ′关于直线l 对称，则|PA －PB|＝PA ′－PB ≤A ′

B ，当点P 在直线A ′B 上时取最大值

【模型突破】

1．如图，等腰Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，点D 是AB 上一点，且∠BCD ＝15°，动点P 在射线CD 上，则|PA －PB|的最大值为________．

2．如图，抛物线y ＝－1

2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B(4，0)两点，与y 轴交于点

C(0，2)．

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)点P 是抛物线对称轴上一点，连接PB ，PC ，若|PB －PC|取得最大值，求点P 的坐标．