2019-2020学年江西省九江一中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年江西省九江一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,4，5}，B ={0,1，2}，U ={0,1，2，3，4，5}，则(∁U A)∩B =( )A. {1,2}B. {3}C. {0}D. {0,1，2，3}2. 下列函数中，既是奇函数，又在区间(1,2)内是增函数的是( )A. y =cos2x ，x ∈RB. y =x 2+1，x ∈RC. y =e x −e −x2，x ∈RD. y =log 2|x|，x ∈R 且x ≠0 3. 函数y =a x−4+5(a >0,a ≠1)的图象必经过定点( )A. (0,5)B. (4,5)C. (3,4)D. (4,6)4. 集合A ={x|0⩽x ⩽4},B ={y|0⩽y ⩽2}下列表示从A 到B 的映射的是( )A. f:x →y =12x B. f:x →y =±√x C. f:x →y =23xD. f:x →y =x5. 函数的定义域为( )A. (−2,+∞)B. (1,+∞)C. (−2,1)D. [1,+∞) 6. 下列函数中，是对数函数的是( )A. y =log 2xB. y =x +1C. y =sinxD. y =x 2 7. 方程log 5x =|sinx|的解的个数为( )A. 1B. 3C. 4D. 5 8. 已知函数f(x)=3|x−a|+2，且满足f(5+x)=f(3−x)，则f(6)=( )A. 29B. 11C. 3D. 5 9. 若4x =8，则x =( )A. 2B. 4C. 12D. 3210. 已知a =215，，，则( )A. b <a <cB. c <a <bC. c <b <aD. b <c <a 11. 已知函数y =log a (x 2+2x −3)，当x =2,y >0，则此函数单调递减区间是( )A. (−∞,−1)B. (−1,+∞)C. (−∞,−3)D. (1,+∞)12. 已知f(x)={(a −3)x +5,x ≤12a x, x >1对任意x 1，x 2∈R ，(x 1−x 2)(f(x 1)−f(x 2))<0，则a 的取值范围是( )A. (0,3)B. (0,3]C. (0,2)D. (0,2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x +1)为奇函数，函数f(x −1)为偶函数，且f(0)=2,则f(2014)=________ 14. 已知函数则f(1)=________．15. 若关于 x 的不等式lg (10x +10)−1>a 的解集为R ，则实数a 的取值范围为________。

16. 已知函数f(x)=x 2+2x ，x ∈[−2,1]时的值域为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知集合A ={x|x 2+x −12≤0},B ={x|m +1≤x ≤3m −1}．(1)求集合A;(2)当A ∩B =B 时，求实数m 的取值范围．18. 已知函数f(x)=bx−a ax(a >0,x >0)的图象过点(a,0)．(1)判断函数f(x)在(0.+∞)上的单调并用函数单调性定义加以证明； (2)若a >15函数f(x)在[15a ,5a]上的值域是[15a ,5a]，求实数a 的值．19. 设函数f(x)=ax 2−x −2a ，g(x)=ax +b ，其中a ，b ∈Ra >0.已知f(1)+g(1)+3=0．(1)求b 的值；(2)设集合A ={y|y =f(x),x ∈[−2,0]}，B ={y|y =g(x),x ∈[−2,0]}且A ∩B ≠ϕ试求a 的取值范围(3)是否存在实数a ，使得对于任意的正数x ，都有f(x)⋅g(x)≥0？若存在，请求出a 的值，若不存在，请说明理由．20.(1)已知f(x)=lg1−x，判断f(x)的奇偶性1+x(2)已知奇函数f(x)的定义域为R，x∈(−∞,0)时，f(x)=−x2−x−1，求f(x)解析式．.21.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)=x+3x(2)f(x)=x2+2x+4.(3)f(x)=2x−3.(4)f(x)=1−log3x.22.证明f(x)=2x当x∈(0,1)时单调递减．4x+1(x2+2x−3)的递增区间．23.求函数f(x)=log12-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．根据补集与交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={0,4，5}，B={0,1，2}，全集U={0,1，2，3，4，5}，则∁U A={1,2，3}，所以(∁U A)∩B={1,2}．故选A．2.答案：C解析：【分析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题．对选项一一加以判断，选出既是奇函数，又在区间(1,2)内是增函数的函数．【解答】解：对于A，y=cos2x，定义域为R，为偶函数，且在(1,π2)上是减函数，故A不符合题意；对于B，y=x2+1，定义域为R，为偶函数，且在(1,2)上单调递增，故B不符合题意；对于C，定义域为R，令f(x)=e x−e−x2，f(−x)=e−x−e x2=−f(x)，是奇函数，且y=e x单调递增，y=e−x单调递减，故函数y=e x−e−x2在(1,2)上单调递增，故C符合题意；对于D，定义域关于原点对称，显然y=log2|x|为偶函数，故D不符合题意．故选C．3.答案：D解析：【分析】本题考查指数函数的性质，当x−4=0，即x=4时，y=a0+5=6，进而即可得到结果．解：当x −4=0，即x =4时，y =a 0+5=6， 因此函数y =a x−4+5的图象必经过定点(4,6)． 故选D ．4.答案：A解析： 【分析】本题考查映射的定义，对于前一个集合中的任何一个元素在后一个集合中都有唯一确定的元素和它对应，这样的对应才是映射．对于A 集合中的任何一个元素在后B 集合中都有唯一确定的元素和它对应，这样的对应才是映射． 据此对选项一一验证即得． 【解答】解：∵0≤x ≤4而y =12x ∈B ，集合A 中的元素在集合B 中都有像，故选项A 是映射． 对于选项B ，集合A 中的所有元素在集合B 中没有负数和它对应，故选项B 不是映射． 对于选项C ，集合A 中的元素4在集合B 中没有像和它对应，故选项C 不是映射． 对于选项D ，集合A 中的元素4在集合B 中没有像和它对应，故选项D 不是映射． 故选A ．5.答案：B解析： 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解． 【解答】解：由{x +2>0x −1>0，解得：x >1．∴函数f(x)=√x−1的定义域为(1,+∞)．故选B ．6.答案：A【分析】本题考查对数函数的定义，根据题意，结合对数函数的定义分析，即可得答案．【解答】解：由对数函数的定义可知是对数函数，故选A．7.答案：B解析：解：∵log5x=|sinx|，∴设函数y=log5x和y=|sinx|，在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：∵当log5x=|sinx|=1，∴x=5，∴由图象可知两个函数的交点个数为3个．故方程根的个数为3．故选：B．设函数y=log5x和y=|sinx|，在坐标系中分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数确定方程根的个数．本题主要考查方程根的个数的判断，利用方程和函数之间的关系，利用数形结合是解决此类问题的关键．8.答案：B解析：【分析】本题考查函数对称性，求函数的解析式，函数求值，属基础题．根据题意得到f(x)关于x=4对称，求出a，再代入x=6，求出即可【解答】解：因为f(5+x)=f(3−x)，所以f(x)的图象关于x=4对称，所以x=4时，3|4−a|=1，a=4，f(6)=3|6−4|+2=9+2=11，故选：B．9.答案：D解析：解：由4x=8，得x=log48=lg8lg4=3lg22lg2=32．故选：D．把已知等式两边取以4为底数的对数，再由对数的换底公式求解．本题考查指数式化对数式，考查对数的运算性质，是基础题．10.答案：C解析：解：a=215>1，0<b=log352<log33=1，，∴a>b>c．故选：C．利用指数函数性质和对数函数性质，判断三个数的范围，即可判断三个数的大小．本题主要考查利用指数函数性质和对数函数性质比较大小，是基础题．11.答案：C解析：因为函数，当log a5>0，则a>1，定义域为x>1,x<−3，利用复合函数单调性可知递减区间为(−∞,−3)，选C．12.答案：D解析：解：对任意x1，x2∈R，(x1−x2)(f(x1)−f(x2))<0，∴f(x)在R上是减函数，∴{a−3<0a−3+5≥2a2a>0，解得：0<a≤2，故选：D．先求出函数是减函数，得到不等式组，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查了分段函数问题，是一道基础题．13.答案：2解析：【分析】本题目主要考查函数的奇偶性，属于一般题．解析：解：∵函数f(x+1)为奇函数∴f(x+1)=−f(−x+1)，即f(x)=−f(2−x)，∵函数f(x−1)是偶函数，∴f(x−1)=f(−x−1)，即f(x)=f(−x−2)，∴f(−x−2)=−f(−x+2)，令−x−2=m，则f(m)=−f(m+4)∴f(m+8)=f(m)，即函数是以8为周期的函数．所以f(2014)=f(−2)．由f(x)=f(−x−2)，f(0)=2，所以f(−2)=2，所以f(2014)=2．故答案为2．14.答案：4解析：【分析】本题考查分段函数的求值，解题的时候注意分段函数各段划分的定义区间，指数与对数的运算．【解答】解：由．故答案为4．15.答案：(−∞,0]解析：【分析】本题考查根据lg(10x+10)−1>a的解集为R，求参数的范围，令f(x)=lg(10x+10)−1，则问题转化为a小于函数f(x)的最小值，再由函数f(x)的值域，可求出a的范围，属中档题．【解答】解：令f(x)=lg(10x+10)−1，因为10x+10>10，所以lg(10x+10)−1>1−1=0，所以a≤0，故答案为(−∞,0]．16.答案：[−1,3]解析：解：f(x)=x2+2x=(x+1)2−1，对称轴x=−1，故函数在[−2,−1)递减，在(−1,1]递增，故f(x)min=f(−1)=−1，f(x)max=f(1)=3，故函数的值域是[−1,3]，故答案为：[−1,3]．求出函数f(x)的对称轴，得到函数f(x)的最大值和最小值，从而求出函数的值域即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道基础题．17.答案：解：(1)A={x|x2+x−12≤0}={x|−4≤x≤3};(2)∵A∩B=B，∴B⊆A，∴当B=⌀时，m+1>3m−1，即m<1满足题意；当B≠⌀时，{m+1≥−43m−1≤3m+1≤3m−1,解得1≤m≤43，综上所述，m的取值范围为(−∞,43]．解析：本题考查了集合关系中参数取值问题进而求交集，属于基础题．(1)易得A={x|x2+x−12≤0}={x|−4≤x≤3}；(2)由A∩B=B得B⊆A，分B=⌀和B≠⌀两种情况进行讨论，即可得出结果．18.答案：解：(1)函数f(x)=bx−aax(a>0,x>0)的图象过点(a,0)，则0=ab−aab ，则b=1，则f(x)=x−aax=1a−1x，f(x)在(0.+∞)上为增函数，理由如下：设0<m<n，则f(m)−f(n)=1a −1m−(1a−1n)=m−nmn，由于0<m<n，则m−n<0，mn>0，则f(m)−f(n)<0，则f(x)在(0.+∞)上为增函数；(2)由于f(x)在(0.+∞)上为增函数，则函数f(x)在[15a ,5a]上的值域是[f(15a),f(？5a)]，即有{1a −5a=15a1 a −15a=5a，解得，a=25．解析：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．(1)代入点的坐标，求得f(x)，再由单调性的定义，即可证得f(x)在(0.+∞)上为增函数；(2)由函数的单调性，即可得到最值，解方程，即可求得a．19.答案：解：(1)由题意，f(1)=−a−1，g(1)=a+b；故f(1)+g(1)+3=b−1+3=0；故b=−2；(2)∵a>0，函数f(x)=ax2−x−2a的图象开口向上，且对称轴为x=12a>0；∴函数f(x)=ax2−x−2a在[−2,0]上单调递减，且f(−2)=2a+2，f(0)=−2a；故集合A={y|y=f(x),x∈[−2,0]}=[−2a，2a+2]，同理，B={y|y=g(x),x∈[−2,0]}=[−2a−2.−2]；又∵A∩B≠ϕ，∴−2a≤−2；故a的取值范围为[1,+∞)．(3)设存在实数a，使得对于任意的正数x，都有f(x)⋅g(x)≥0；当g(x)=ax−2=0时，x=2a ，当g(x)>0时，x>2a；当g(x)<0时，0<x<2a；∵函数f(x)=ax2−x−2a的图象开口向上，且f(0)=−2a<0；∴函数f(x)=ax2−x−2a必有一正一负两零点，不妨设x1<0<x2；则易知只能有x2=2a；即f(2a)=0，解得，a=1；当a=1时，f(x)g(x)=(x−2)2(x+1)≥0；综上所述，存在唯一实数a=1，使得对于任意的正数x，都有f(x)⋅g(x)≥0．解析：(1)代入求得f(1)=−a−1，g(1)=a+b；从而得到f(1)+g(1)+3=b−1+3=0；从而解得．(2)化简集合A ={y|y =f(x),x ∈[−2,0]}=[−2a ，2a +2]，B ={y|y =g(x),x ∈[−2,0]}=[−2a −2.−2]；从而解得．(3)设存在实数a ，使得对于任意的正数x ，都有f(x)⋅g(x)≥0；讨论两个函数的正负值即可． 本题主要基于对集合的运算、函数的基本性质和函数的零点等基础知识的考查，综合考查了抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力及应用意识和创新意识，考查了函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想及分类与整合的思想．20.答案：解：(1)要使函数有意义，则1−x 1+x >0，即(1−x)(1+x)>0，∴(x −1)(1+x)<0，解得−1<x <1，即定义域为(−1,1)关于原点对称．∵f(−x)=lg 1+x 1−x =lg(1−x 1+x )−1=−lg 1−x 1+x =−f(x)，∴函数f(x)是奇函数．(2)∵f(x)是奇函数，∴f(0)=0，且f(−x)=−f(x)．当x >0时，−x <0，∴f(−x)=−x 2+x −1=−f(x)，∴f(x)=x 2−x +1，x >0．故f(x)={−x 2−x −1, x <00, x =0x 2−x +1 , x >0 ．解析：(1)先求函数的定义域，利用函数奇偶性的定义进行判断．(2)设x >0，利用函数的奇偶性求f(x)的表达式即可．本题主要考查函数奇偶性的判断和应用，注意判断函数的奇偶性必须要判断函数的定义域是否关于原点对称．21.答案：解：(1)令x+3x =0，解得x =−3，所以函数f (x )=x+3x 的零点是−3．(2)令x 2+2x +4=0，因为Δ=22−4×1×4=−12<0，所以方程x 2+2x +4=0无实数根，所以函数f(x)=x 2+2x +4不存在零点．(3)令2x −3=0，解得x =log 23，所以函数f(x)=2x −3的零点是log 23.(4)令1−log 3x =0，解得x =3，所以函数f(x)=1−log 3x 的零点是3．解析：函数f(x)的零点，即方程f(x)=0的根，解方程f(x)=0即可得出各函数的零点． 22.答案：证明：设0<m <n <1，则f(m)−f(n)=2m4m+1−2n4n+1=2m+2n+2m−22m+n−2n (4m+1)(4n+1)=(2n−2m)(2m+n−1)(4m+1)(4n+1)，由于0<m<n<1，则2m<2n, 2m+n>1即有2n−2m>0，2m+n−1>0∴f(m)−f(n)>0即f(m)>f(n)．∴f(x)=2x4x+1当(0,1)时单调递减．解析：本题函数单调性的证明以及指数函数的单调性，直接应用函数单调性的定义证明即可，注意取值、作差、变形、定号、下结论几个步骤．23.答案：解：对于函数f(x)=log12(x2+2x−3)，令t=x2+2x−3>0，求得，x>1或x<−3，故函数的定义域为{x|x>1或x<−3}，本题即求函数t在定义域内的减区间．而二次函数t=x2+2x−3在定义域内的减区间为(−∞,−3)，．所以函数f(x)的递增区间为(−∞,−3)．解析：令t=x2+2x−3>0，求得函数的定义域．根据复合函数的单调性，本题即求二次函数t= x2+2x−3在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．。