材力-10-弯曲变形

已知：L = 4 m，Fp= 7 kN，E=200 GPa，[ymax/L] = 0.0045，试确定工字钢的型号。
解：
ymax
FP L3 48EI z
Iz
FP L2 48E ymax
L
∴选定14# 。
ymax FP L2 ymax L 48EIz L
7 103 42 48 200 109 0.0045
yC yC1 yC2
q(2a)4 yC1 8EIZ ()
yC 2
yB2
B2a
7qa 4 24 EI Z
()
yB2
qa 4 8EIZ
()
B2
qa 3 6EIZ
(
)
yC yC1 yC2
2qa 4 7qa 4 41qa 4
()
EIZ 24EIZ 24EIZ
组合方法二：逐段刚化法
方法：
将杆件系统分解为n段，分n次变形。假设每 次只有一段变形，其它段均作为刚性处理（可以 使用刚性体的力学原理），然后进行叠加，求得 变形量。
以用端部的挠度fB表示
P a 3
fB
22
3EI
挠度
P a 2
2 2 3EI
转角 a 2
P 2
a 3
挠度
2
3 16
Pa3
3EI
96EI
11 Pa3 96EI
fC
fB
11 96EI
Pa3
§6-5 简单的静不定梁
与杆件静不定问题的解题方法类似，除了平衡方程 外 ， 还 需 要 建 立 变 形 协 调 方 程 （ compatibility equation）,并建立力与位移或变形之间的物理关系， 即物理方程或称本构方程（constitutive equations）。
刚度设计举例
对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根 据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或 者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足 弯曲刚度设计准则(criterion for stiffness design)：
ymax y
max
上述二式中w和分别称为许用挠度和许用转角，均
对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性 轴不对称的截面
二、采用变截面梁
P
最好是等强度梁，即
x
max(x)
M W
(x) (x)
[
]
若为等强度矩形截面，则高为：
h(x) 6M (x)
b[ ]
在工程应用中则广泛采用变截 面梁，如：在机械工厂中，行车 多采用鱼腹梁形状。
三、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小
B
=
Pa2 2EI
()
M
B
a
yB
=
Ma2 2EI
()
B
=
Ma EI
()
M=a*P/2
A P
A
=P
+A
2
2
P
a
a
a
a
2
a
a
组合方法五：利用对称性(仅适合求简支梁中点位移)
从数学知识，任何实矩阵都可以分解为对称矩阵和反对称
矩阵之和的形式: [ F ]= [ F ]symm + [ F ]antisymm, 对于轴对称的结 构,力也可以同样分解. 例如
XA=0 ,
YA =5ql /8 ,
YB =3ql /8 , MA= ql 2/8
§6-6 提高弯曲刚度的一些措施
刚度
f M (x) EI z
一、选择梁的合理截面
矩形木梁的合理高宽比
h 北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出:
R
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
b
英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义»一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为
的可能性却增大了，这点应引起注意。
五、选用高强度材料，提高许用应力值
同类材料，如钢材“E”值相差不多，“s”相差较大，故
换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。
不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa , 铜 E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性 的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的 改变！
例3 求图示悬臂梁的 yc
AB
q
a
aC
=
PB mB
AB
C
yB1
B1 yC1
aa
+
AB
aa
C
yC 2
先假设 BC 段刚性，只有 AB 段变形
yC1 yB1 B1a
yB1
PBa 3 3EIZ
mBa2 2EIZ
7qa 4 12 EI Z
()
B1
PBa 2 2EIZ
mBa2 EIZ
qa 3 EIZ
例如，在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的 挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支 架。
q L
q
L/5
L/5
q L/2 L/2
qL2 M
8
M
qL2 40
x
ym
a
x0.013
qL4 EI
x
qL2 50
ym
ax0.7875
10
3
qL4 EI
M
9qL2 /512
x
qL2 32
合理截面 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面
例如：以圆形截面为基准，在面积相等的情况下，比较其它截面
z
Wz1
D3
32
D
对于正方形 当 D2 a2时, a D
4
2
a
z
Wz 2
bh2 6
(
D )3
2 6
D3
48 =1.18Wz1
a
I
z
2
bh3 12
1.05
I
z1
圆环形截面 z
P
M
PL/4
+
L/2
L/2
x
PL3
ymax0.021 EI
P
M 3PL/16
L/4
3L/4
P=qL
x
ym
a
x0.014
PL3 EI
M
qL2/10
对称
L/5
4L/5
x
ym
ax0.0073
PL3 EI
调整跨长,改善结构形式，减少弯矩数值 因此,减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩I 外，
主要是减小梁的长度l。当梁的长度无法减小时，则可增加中间支 座。
ym
ax0.32610
3
qL4 EI
四、防止薄壁梁的侧向屈曲
1.矩形纯弯梁的临界载荷
M z
x
y
M
cr
b
GE L
IY IZ
2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷
h M
M
z x
y
c
r
L
E h
2L
2 ( IY IZ
) 2 EG
IY2
I
2 Z
IY IZ
由上可见，I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳
§6-4 用叠加法求弯曲变形
1、叠加法（superposition method）的基本概念
对于线性系统，各变量是关于系统的线性函数。 则其解可以线性叠加。
如果方程 y1 = f1 x 和 y2 = f2 x 均为线性
则： y f1 ( x ) f 2 ( x )
P1 P2
P1
P2
A
B= A
端铰支梁的弯曲刚
q
度为EI、长度为l。
A
B
l
求: 梁的约束力
解：1、平衡方程:
q
MA
XA=0
XA
A
l
B
YA
YA+YB - ql=0
YB
MA
+ YB
l
-
ql2 2
=
0
2、变形协调方程： MA
XA
yB=yB(q)+yB(FBy)=0
A YA
3、物理方程：
yB(q)=ql4/（8EI） yB(FBy)= - Ybl 3 /（3EI）
B +A
B
2、叠加法求弯曲变形
基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和 位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以 及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠 加法（superposition method）由现有的挠度表 可以得到在很多复杂情形下梁的位移。
当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以 将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表 查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠 加后，便得到几种载荷同时作用的结果。
(
)
+
P
A2
q( 2a )3 16 EI Z
qa 3 2EIZ
(
)
A
C
a
a
B
A
A1
A2
5qa 3 6EIZ
(
)
组合方法一：增减载荷法
例2 求图示悬臂梁的 yc
AB
q
a
aC
q
C
q
aa
（1）
a
q
aC
（2）
yB B
a q Ba C
q Al
B
y B B
yB
B
ql4 8EIZ
ql3 6EIZ
a
A
B
a
q