材料力学--弯曲变形分析
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弯曲变形实验报告
弯曲变形实验报告弯曲变形实验报告引言：弯曲变形是材料力学中的重要研究内容之一，它涉及到材料的强度、刚度和韧性等性能参数。
本实验旨在通过对不同材料进行弯曲变形实验，探究材料在受力情况下的变形特性，并对实验结果进行分析和总结。
实验装置与方法：本次实验使用了一台弯曲试验机，试验样品选取了铝合金、钢材和塑料等不同材料的试样。
首先，将试样固定在试验机上，调整试验机的参数，如加载速度和加载方式等。
然后，通过试验机施加不同的弯曲载荷，记录下试样在不同载荷下的变形情况。
实验结果与分析：实验结果显示，不同材料在受力下表现出不同的变形特性。
首先，铝合金试样在受力后出现较为明显的塑性变形，这是由于铝合金具有较高的韧性和良好的可塑性。
其次，钢材试样在受力后呈现出较小的变形，这是由于钢材具有较高的强度和刚性。
最后，塑料试样在受力后出现较大的变形，并且不能恢复原状，这是由于塑料具有较低的强度和刚性，易于发生永久性变形。
进一步分析发现，不同材料的变形特性与其微观结构密切相关。
铝合金由于晶粒细小且均匀，因此在受力时更容易发生塑性变形；而钢材由于晶粒较大且排列有序，因此在受力时更难发生塑性变形。
塑料由于分子链之间的相对滑动性较高，因此在受力时更容易发生形变。
实验结果的应用：弯曲变形实验结果对工程领域具有重要的应用价值。
例如，在建筑设计中，通过对不同材料的弯曲变形特性进行研究，可以选择合适的材料用于不同的结构部件。
对于需要承受较大变形的结构，可以选择具有较高韧性的材料，如铝合金；对于需要承受较大载荷的结构，可以选择具有较高强度和刚性的材料，如钢材。
此外，弯曲变形实验结果还可以用于材料性能的评估和质量控制。
通过对材料在受力下的变形情况进行观察和分析，可以判断材料的强度、刚度和韧性等性能是否符合设计要求，从而确保产品的质量。
结论：通过弯曲变形实验，我们对不同材料在受力下的变形特性进行了研究和分析。
实验结果表明，不同材料在受力下表现出不同的变形特性，这与其微观结构密切相关。
材料力学-弯曲变形
(向下)
qB
qmax
w(l)
Pl 2 2EI
(顺时针)
例题2
图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度为
EI，在右端受有集中力偶M0的作用，求梁任
一截面的转角和挠度。
y
解:
由整体平衡得 FAx=0， FAy= FBy= M0/l 从而，截面的弯矩为
M(x)= xFAy= xM0/l
FAx A x o
FAy
横截面变形：
线位移：长度变化
水平方向—小变形假定，挠曲轴平坦，忽略不计 垂直方向—挠度 w= w(x)
转角：角度变化
横截面相对于原位置转过的夹角，
一般用q (x)表示截面转角，并且以逆时针为正
q'
对于细长梁，略去剪力对变形影响 平截面假设成立: 变形的横截面与挠曲轴垂直
q q tan q dw
(l 2
a2)
y
例题3
P x
A
C
于是，梁的挠曲线方程为 FAx
l
w
w1 w2
(x) (x)
0 xa a xb
FAy
a
b
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x3 (b2 l2 )x (l x)3 (a2 l2
)(l
x)
0 xa a xl
转角方程为
q w ww12((xx))
0 xa a xb
Pb 2EIl
x2
C1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
Pb 6EIl
x3
C1x
D1
同理，对CB段
w2
w2dx C2
Pa EIl
(l
x)dx
C2
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
弯曲变形知识点总结
弯曲变形知识点总结一、弯曲变形的原理1.1 弯曲应力和弯曲应变在外力作用下，梁或梁状结构会发生弯曲变形。
在梁上的任意一点，都会受到弯曲应力的作用。
弯曲应力是指由于梁在受力下产生的内部应力，它的大小和方向取决于梁的截面形状、受力方向和大小等因素。
弯曲应力与梁的截面形状呈二次关系，通常情况下，弯曲应力最大值出现在梁的截面中性轴附近。
随着梁的弯曲，材料内部会产生弯曲应变。
弯曲应变也是和梁的截面形状有关的，并且与弯曲应力呈线性关系。
弯曲应变可以用来描述梁在受力下的变形情况，对于计算梁的弯曲变形非常重要。
1.2 理想弹性梁的弯曲变形对于理想弹性梁而言，其弯曲变形可以通过弯曲方程来描述。
弯曲方程可以根据梁的几何形状和外力作用来得到，通过求解弯曲方程可以得到梁的变形情况。
理想弹性梁的弯曲变形遵循胡克定律，即弯曲应力和弯曲应变成正比。
1.3 破坏弯曲当外力作用到一定程度时，梁会发生破坏弯曲。
在破坏弯曲阶段，梁的抵抗力不足以克服外力作用，导致梁发生不可逆的变形。
在此阶段，梁的弯曲应力和弯曲应变将迅速增大，直至梁失去稳定性。
二、弯曲变形的计算方法2.1 弯曲方程弯曲方程是描述梁弯曲变形的重要工具，可以根据弯曲方程来求解梁的弯曲应力和弯曲应变。
通常情况下，弯曲方程是一种二阶微分方程，需要求解出合适的边界条件，才能得到梁的变形情况。
弯曲方程的求解与梁的截面形状直接相关，对于不同形状的梁，需要采用不同的弯曲方程。
2.2 梁的截面性质对于计算梁的弯曲变形而言，了解梁的截面性质非常重要。
梁的截面性质包括截面面积、截面惯性矩等参数，这些参数会直接影响弯曲方程的求解。
在实际工程中，可以通过截面性质来选择合适的梁截面形状，以满足结构设计的需求。
2.3 数值计算方法为了解决复杂梁的弯曲变形问题，通常需要采用数值计算方法。
数值计算方法可以通过数学模型来描述梁的变形行为，然后通过计算机仿真来得到梁的变形情况。
在工程实践中，有限元方法是一种常用的数值计算方法，可以对复杂结构的弯曲变形问题进行有效求解。
材料力学弯曲变形
13
压杆稳定计算 1）根据压杆的约束条件确定长度系数 ）根据压杆的约束条件确定长度系数µ 2）计算杆件自身的柔度 ）计算杆件自身的柔度λ(10.7)，判断发生弯曲的平面 ， 也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） （也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） 3）通过比较 的大小，判断计算临界压力的公式 的大小， ）通过比较λ的大小
1. λ1与材料的性能有关，材料不同，λ1的数 与材料的性能有关，材料不同， 值也就不同； 越大，杆件越容易弯曲。 值也就不同；λ越大，杆件越容易弯曲。 2. 满足 1条件的杆件称为细长杆或大柔度杆； 满足λ≥λ 条件的杆件称为细长杆 大柔度杆； 细长杆或 也叫大柔度杆的分界条件。 也叫大柔度杆的分界条件。其临界应力可用欧 拉公式计算。 拉公式计算。 3. λ越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲 解题步骤： 解题步骤： 1）由截面形状确定最大、最小刚度平面 ）由截面形状确定最大、 2）计算柔度，判断欧拉公式是否适用 ）计算柔度， 3）计算临界压力和临界应力 ）
σ =
P ≤ [σ ] st A
14
图示结构中， 为圆截面杆 直径d=80 mm，A端固 为圆截面杆， 例10.4 图示结构中，AB为圆截面杆，直径 ， 端固 端铰支； 是正方形截面杆 边长a=70 mm，C端也为 是正方形截面杆， 定，B端铰支；BC是正方形截面杆，边长 端铰支 ， 端也为 铰支； 和 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响； 铰支；AB和BC杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆 的材料是A3钢 的材料是 钢，其λp=104 ，l=3 m，稳定安全系数 st=2.5 ； ，稳定安全系数n 求结构的许可载荷P。 求结构的许可载荷 。
π 2E Pcr = σ cr A = 2 ⋅ A = 269kN λ
压杆稳定计算 1）根据压杆的约束条件确定长度系数 ）根据压杆的约束条件确定长度系数µ 2）计算杆件自身的柔度 ）计算杆件自身的柔度λ(10.7)，判断发生弯曲的平面 ， 也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） （也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） 3）通过比较 的大小，判断计算临界压力的公式 的大小， ）通过比较λ的大小
1. λ1与材料的性能有关，材料不同，λ1的数 与材料的性能有关，材料不同， 值也就不同； 越大，杆件越容易弯曲。 值也就不同；λ越大，杆件越容易弯曲。 2. 满足 1条件的杆件称为细长杆或大柔度杆； 满足λ≥λ 条件的杆件称为细长杆 大柔度杆； 细长杆或 也叫大柔度杆的分界条件。 也叫大柔度杆的分界条件。其临界应力可用欧 拉公式计算。 拉公式计算。 3. λ越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲 解题步骤： 解题步骤： 1）由截面形状确定最大、最小刚度平面 ）由截面形状确定最大、 2）计算柔度，判断欧拉公式是否适用 ）计算柔度， 3）计算临界压力和临界应力 ）
σ =
P ≤ [σ ] st A
14
图示结构中， 为圆截面杆 直径d=80 mm，A端固 为圆截面杆， 例10.4 图示结构中，AB为圆截面杆，直径 ， 端固 端铰支； 是正方形截面杆 边长a=70 mm，C端也为 是正方形截面杆， 定，B端铰支；BC是正方形截面杆，边长 端铰支 ， 端也为 铰支； 和 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响； 铰支；AB和BC杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆 的材料是A3钢 的材料是 钢，其λp=104 ，l=3 m，稳定安全系数 st=2.5 ； ，稳定安全系数n 求结构的许可载荷P。 求结构的许可载荷 。
π 2E Pcr = σ cr A = 2 ⋅ A = 269kN λ
材料力学第八章-弯曲变形
q0 B x 等价 MA A EI f q0 B
L
A
L
解：建立静定基 确定超静定次数 用反力代替多余约束 得新结构 —— 静定基
或
q0
A
B L RB
32
q0 A L B RB
几何方程——变形协调方程
f B f Bq f BRB 0
物理方程
=
A B RB q0 A B
qL RB L f Bq ; f BRB 8EI 3EI
A A 铰连接
P
C D
C
D
B
A点：f A 0, A 0
B点： f B左 f B右
C点： f C左 f C右 C左 C右
D点：f D 0
21
边界条件、连续条件应用举例
P
弯矩图分二段，
共积分常数 需4个边界条件 和连续条件
A B
C
(+)
A点： A 0 B点： f B左 f B右 , C点：f C 0
解：载荷分解如图
=
P A B
查梁的简单载荷变形表，
得到变形
Pa PA 4 EI
q B
2
Pa f PC 6 EI
3
+
A
qa qA 3EI
3
5qL f qC 24 EI24
4
P
A
C a a
q B
Pa PA 4 EI
qa 3 qA 3EI
2
Pa 3 f PC 6 EI
Differential Equation of beam deformation 1 M ( x) 已知曲率为 EI z x
M>0
L
A
L
解：建立静定基 确定超静定次数 用反力代替多余约束 得新结构 —— 静定基
或
q0
A
B L RB
32
q0 A L B RB
几何方程——变形协调方程
f B f Bq f BRB 0
物理方程
=
A B RB q0 A B
qL RB L f Bq ; f BRB 8EI 3EI
A A 铰连接
P
C D
C
D
B
A点：f A 0, A 0
B点： f B左 f B右
C点： f C左 f C右 C左 C右
D点：f D 0
21
边界条件、连续条件应用举例
P
弯矩图分二段，
共积分常数 需4个边界条件 和连续条件
A B
C
(+)
A点： A 0 B点： f B左 f B右 , C点：f C 0
解：载荷分解如图
=
P A B
查梁的简单载荷变形表，
得到变形
Pa PA 4 EI
q B
2
Pa f PC 6 EI
3
+
A
qa qA 3EI
3
5qL f qC 24 EI24
4
P
A
C a a
q B
Pa PA 4 EI
qa 3 qA 3EI
2
Pa 3 f PC 6 EI
Differential Equation of beam deformation 1 M ( x) 已知曲率为 EI z x
M>0
材料力学-弯曲变形
二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：
材料力学教程-7.弯曲变形
数据处理
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
材料力学弯曲变形
材料力学弯曲变形
材料力学中的弯曲变形是指物体在受到外力作用下发生的一种变形形式。
当材料受到垂直于其长度方向的外力时，会产生弯矩，使得物体产生弯曲变形。
弯曲变形的原理可以通过材料力学中的悬臂梁模型进行解释。
在悬臂梁中，一个固定的端点支撑着一根梁，梁的另一端受到外力作用，使得梁产生弯曲。
在悬臂梁的弯曲变形中，梁上部的纤维受到拉力，而下部的纤维受到压力。
由于力的作用，纤维之间会相互滑动，从而产生弯曲变形。
弯曲变形可以通过材料的弹性性质进行描述。
弯曲变形的程度取决于材料的弯曲刚度，即弹性模量，以及外力的大小和作用点的位置。
与拉伸变形不同，弯曲变形的应变分布不是均匀的，而是随着离中轴线的距离而变化。
中轴线上的纤维经历的应变为零，而离中轴线较远的纤维经历的应变较大。
弯曲变形是材料工程中常见的一种变形形式，它在很多结构中都会发挥作用。
例如，在桥梁和楼板等结构中，弯曲变形可以帮助承受外部荷载并保持结构的稳定性。
在材料设计和工程应用中，科学家和工程师常常要考虑材料的弯曲性能，以确保结构的强度和稳定性。
材料力学 第七章 弯曲变形
，
FA
3FP 4
(↑)
3FP
FP
FC
FP 4
(↑)
4
4
明德行远 交通天下
材料力学
（2）分段列梁的弯矩方程
AB段：
M1(x)
3 4
FP x
0x l 4
3
l
BC段：
M 2 ( x)
4
FP x
-
FP (x
-
) 4
l xl 4
（3）积分法求梁的挠曲线
挠曲线近似微分方程
EI
d 2w1 dx2
=
-
M1(x)
-
wC- wC
P
A （b）
图（b）： wA 0 A 0
或写成w C
左
wC右
光滑条件
C- C
或写成 C 左 C 右
明德行远 交通天下
材料力学
讨论： ①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可求解各种载荷作用下等截面或变截面梁上任意位置处的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、光滑连续条件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
（2）
EIzw=EIz = -
q(x)dx3
1 2
C1x2
C2
x
C3
（3）
明德行远 交通天下
材料力学
例题7-1如图所示，受集中荷载的简支梁AC。已知EI、l、FP。试写出梁的挠 度方程和转角方程，并求截面A和C处的转角及B截面处的挠度。
明德行远 交通天下
y
FP
A
B
θA wB
l 4
EI
3l 4
C
θC
材料力学 弯曲变形
d4y EI z 4 q 0 dx
经典梁理论的平衡微分方程
材料力学
§7.2 挠曲线的近似微分方程
七. 弯曲变形
符号规定：
M 0
y
2
y
M 0
d2y 0 2 dx
d y 0 2 dx
M
M
因此
d 2 y M ( x) 2 dx EI z
（挠曲线的近似微分方程）
材料力学
七. 弯曲变形
A 1 x 0
Fb( L2 b 2 ) 6 LEI
y A a
L
F B C x b
x L 代入得：
B 2 xL
Fab( L a) 6 LEI
材料力学
§7. 3 用积分法求梁的变形
y A a
七. 弯曲变形
F
B C
L
5、求 y max 。
x b
dy 由 0 求得 y max 的位置值 x。 dx
七. 弯曲变形
BC段 (a x L) Fb 2 F EIy2 EI 2 x ( x a ) 2 C2 , 2L 2 Fb 3 F EIy2 x ( x a)3 C2 x D2 , 6L 6
（1）
（2）
F
x a时，y1 y2
D1 D2
A
在梁的两个位移挠度w与截面角位移 中，只有挠度w 是独立的
t
材料力学
§7.1 变形的基本概念
七. 弯曲变形
边界（约束）条件对位移的影响
没有约束无法确定位移
铰支座对位移的限制:支座处的挠度为零。
材料力学
§7.1 变形的基本概念
七. 弯曲变形
边界（约束）条件对位移的影响
经典梁理论的平衡微分方程
材料力学
§7.2 挠曲线的近似微分方程
七. 弯曲变形
符号规定：
M 0
y
2
y
M 0
d2y 0 2 dx
d y 0 2 dx
M
M
因此
d 2 y M ( x) 2 dx EI z
（挠曲线的近似微分方程）
材料力学
七. 弯曲变形
A 1 x 0
Fb( L2 b 2 ) 6 LEI
y A a
L
F B C x b
x L 代入得：
B 2 xL
Fab( L a) 6 LEI
材料力学
§7. 3 用积分法求梁的变形
y A a
七. 弯曲变形
F
B C
L
5、求 y max 。
x b
dy 由 0 求得 y max 的位置值 x。 dx
七. 弯曲变形
BC段 (a x L) Fb 2 F EIy2 EI 2 x ( x a ) 2 C2 , 2L 2 Fb 3 F EIy2 x ( x a)3 C2 x D2 , 6L 6
（1）
（2）
F
x a时，y1 y2
D1 D2
A
在梁的两个位移挠度w与截面角位移 中，只有挠度w 是独立的
t
材料力学
§7.1 变形的基本概念
七. 弯曲变形
边界（约束）条件对位移的影响
没有约束无法确定位移
铰支座对位移的限制:支座处的挠度为零。
材料力学
§7.1 变形的基本概念
七. 弯曲变形
边界（约束）条件对位移的影响
材料力学第四章弯曲变形
习题： 182页，5-11、13、15
第4章
弯曲变形
叠加法
§4-4 梁的刚度校核提高梁的刚度 的措施
1、梁的刚度校核
保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生 的变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：
wmax w l l
w 其中， 与 l
qmax q
第4章
弯曲变形
叠加法
2、提高刚度措施
除外加载荷外，梁的位移w、q还与梁的弯曲刚 度EI成反比，与跨长l的n次方成正比，因此，提高 刚度的措施有：
1）升高EI。 各种钢材E相差不大，主要提高I，在截面面积 A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。 如工字形、箱形等截面。
2）减少梁的跨度或增加支承。 如下图所示结构：
从以上两例题知: 转角及挠度方程中的积分常数C,D的几何意义为: C EIw ' x 0 EIq 0
D EIw0
θ0和w0分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。 梁的刚度条件
wmax w
q max q
其中[q]称为许用转角；[w]称为许用挠度。
习题： 180页，5-2、3、5
Fl q B1 q C1 2 EI
2
（顺时针）
第4章
弯曲变形
叠加法
对图b，可得D截面的挠度和转角为：
F
·
(b)
wD2
直线
wD 2
wD2
F 2l 3EI
F 2l 2 EI
3
qD2
qD2 BD qB 2
wB2
2
qD2
同理可得此时B截面的挠度和转角为：
wB 2
8Fl3 4 Fl 2 14Fl3 wD 2 q D 2 BD l （向下） 3EI 2 EI 3EI
3.3梁的弯曲变形分析
单位为M Pa
MM-和y截面上的弯矩 均以绝对值代入，至于弯曲 (N.mm) 正应力是拉应力还是压应力，则 y--计算点到中性轴距离(mm) 由欲求应力的点处于受拉侧还是 4 受压侧来判断。受拉侧的弯曲正 Iz--横截面对中性轴惯性矩 mm 应力为正，受压侧的为负。
推导过程
1）沿y轴线性分布，同 一坐标y处，正应力相 等。中性轴上正应力为 零。
梁发生平面弯曲时，横截面上一般产生两种 内力，即剪力和弯矩。
d A dA
dA
dA FS dA M M FS
dA M dA FS
在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能合成
弯矩M，只有切向内力元素d FS =τdA才能合成剪力 FS
• 在横截面上，只有弯矩M，没有剪 力Fs，这种弯曲称为纯弯曲； • 横截面上同时有弯矩M和剪力Fs， 这种弯曲称为横力弯曲。
0.2L
M
qL2 8
x
M
qL2 40 qL2 50
+
x
+
qL2 50
合理布置载荷
F=qL q
L
L
M
qL2 4
x +
M
qL2 8
x +
合理布置载荷
F=qL F=qL
对称
L/5 4L/5
M
qL2 4
M x +
qL2/10
x
合理布置载荷
2. 合理选择梁的截面，用最小的截面面积得 到大的抗弯截面模量。
推论：
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短， 下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维 既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵 向纤维层称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性轴
《材料力学》课件5-6梁内的弯曲应变能
弯曲应变能对应力分布的影响
弯曲应变能对梁内应力分布的影响
在梁弯曲过程中，由于弯曲应变能的存在，梁内的应力分布会发生变化。在靠近梁的自由端区域，弯 曲应变能较低，因此应力水平较低；而在靠近固定端区域，弯曲应变能较高，因此应力水平也相应较 高。
弯曲应变能对梁的承载能力的影响
弯曲应变能的大小直接影响到梁的承载能力。随着弯曲应变能的增加，梁的承载能力会逐渐降低。因 此，在设计梁时，应充分考虑弯曲应变能的影响，以确保梁的承载能力满足使用要求。
应变能与外力势能的关系
01
应变能是外力势能的一部分，当外力对物体做功时，应变能逐 渐增加。
02
当外力去除后，应变能逐渐释放，使物体恢复原状。
应变能的大小取决于材料的弹性模量、应变程度以及外力的大
03
小和作用方式。
弯曲应变能的计算方法
弯曲应变能计算公式： $U = int_{L} frac{1}{2}EI left( frac{dtheta}{dx} right)^2 dx$
弯曲应变能对应力平衡的影响
弯曲应变能对梁内应力平 衡的影响
在梁弯曲过程中，由于弯曲应变能的释放或 吸收，会对梁内的应力平衡状态产生影响。 当梁受到外力作用时，弯曲应变能的变化会 引起梁内应力的的影响
在分析梁的稳定性时，需要考虑弯曲应变能 的作用。通过引入弯曲应变能的相关因素， 可以更准确地预测梁在受到外力作用时的稳 定性状态，从而为梁的设计和优化提供依据
梁的弯曲应变能与截面尺寸的关系
截面尺寸对弯曲应变能的影响
梁的截面尺寸对弯曲应变能有一定影响。一般来说，随着截面尺寸的增大，梁的弯曲应 变能也会相应增大。这是因为较大的截面尺寸意味着更多的材料参与弯曲变形，导致应
变能的增加。
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dw
dx
2020/10/17
6
§6-2 挠曲线的微分方程
力学中的曲率公式
1M
EI
数学中的曲率公式
d2w
1
dx 2
3
1
dw dx
2
2
2020/10/17
7
小挠度情形下
dw
2
1
dx
d2w
1
dx 2
3
1
dw
2
2
dx
d2w M
dx2 EI
弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号 与 w 坐标的取向有关。
横截面形心处的铅垂位移，称为挠度(deflection)，用w 表示； 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的 角度，称为转角（slope） ，用 表示；
横截面形心沿水平方向 y
的位移，称为轴向位移或
水平位移。通常不予考虑。 O
x
w
2020/10/17
4
y
挠曲线方程：
w = w（x）
转角方程：
方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积 分常数的挠度方程与转角方程：
(
x)
dw dx
M EI
dx
C
——转角方程
w(x)
(M EI
dx)dx
Cx
D
——挠度方程
其中C、D为积分常数。
2020/10/17
10
积分常数C、D由边界条件和梁段间光滑连续条件或
中间绞链连续条件确定。
~~ ~
~~ ~
第六章 弯曲变形
基本要求
1．明确挠曲线、挠度和转角的概念，深刻理解 梁挠曲线近似微分方程的建立。
2．掌握计算梁变形的积分法和叠加法。 3．了解梁的刚度条件。
2020/10/17
1
§6-1 引 言
一．工程实际中的弯曲变形
2020/10/17
2
二．基本概念
1．挠曲线：梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹
= （x）
规定：向上的挠度为正，向下的挠度为负。 逆时针转角为正，顺时针转角为负。
挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、
弯曲刚度之间存在下列关系：
1＝M
EI
2020/10/17
5
在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：
dw tan
dx
y
在小变形条件下，挠曲
线较为平坦，即很小，因而 上式中tan。于是有
~
~ ~
~ ~
~
~ ~~
~
~ ~ ~~
位移边界条件
AA
A
A
AA
A
A
A
A AA
wA 0
wA 0
A 0
光滑连续条件
A
A A AA
A
A AA A
A AA A
wA
－弹簧变形
wAL wAR
AL AR
wAL wAR
2020/10/17
11
积分法求解步骤
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段点：集中力、集中力偶、分布载荷起止点、EI不同 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续光滑条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
CB段
2
Fb 6lEI
[(l 2
b2
3x22 )
3l b
( x2
a)2 ]
性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲
线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线（elastic curve），
或挠度曲线（deflection curve），简称弹性线或挠曲线。
y
F
O
x
2020/10/17
3
2．挠度与转角
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位 置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：
w2
Fb 6lEI
[(l 2
b2
x22 )x2
l b
( x2
a)3 ]
最大转角：
A
Fab 6lEI
(l
b)
B
Fab 6lEI
(l
a)
当a>b时，B为最大转角。
2020/10/17
19
AC段
1
Fb 6lEI
(l 2
b2
3x12 )
w1
Fbx1 6lEI
(l
2
b2
x12
)
y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
2020/10/17
12
例6-1 已知：悬臂梁受力如图示，F、l、EI均为
已知。求：梁的挠曲线、转角方程及最大挠度和转角
y
A x l
F Bx
2020/10/17
13
y 解：
M (x) F(l x) A
x
EIw Fx Fl
l
EIw F x2 Flx C 2
EIw F x3 Fl x2 Cx D 62
2020/10/17
8
w
d2w M dx 2 EI
M O
M x
d2w M dx2 EI
由于规定挠度向上为正，有
d 2w dx 2
M EI
——挠曲线微分方程
仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。
2020/10/17
9
§6-3 用积分法求弯曲变形
d 2w dx2
M (x) EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩
得：
D1 D2 0
C1
C2
Байду номын сангаас
Fb 6l
(l 2
b2)
2020/10/17
18
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
AC段
1
Fb 6lEI
(l 2
b2
3x12 )
w1
Fbx1 6lEI
(l
2
b2
x12
)
y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
CB段
2
Fb 6lEI
[(l 2
b2
3x22 )
3l b
( x2
a)2 ]
EIw2
Fb l
x2
C1
a
Fb
C1x1 D1FRA l
Fb l
x2
F
(
x2
a)
F (x2 a)
F
C
x2
B
b
l
FRB
Fa l
x
EIw2
Fb l
x22 2
F
( x2
a)2 2
C2
EIw2
2020/10/17
Fb l
x23 6
F
( x2
6
a)3
C2 x2
D2
17
EIw1
Fb l
x12 2
C1
由边界条件： x 0时，w 0, w 0
得： C D 0
2020/10/17
F Bx
14
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
F x (x 2l)
2EI w F x2 (x 3l)
6EI
y
A x l
最大转角和最大挠度分别为：
max
B
Fl2 2EI
Fl 3
wmax
vB
3EI
2020/10/17
EIw1
Fb l
x13 6
C1x1
D1
y
F
A
C
x1 x2
a
b
EIw2
Fb l
x22 2
F
( x2
a)2 2
C2
l
EIw2
Fb l
x23 6
F
( x2
6
a)3
C2 x2
D2
由连续和光滑条件： x1 x2 a时，w1 w2 ,
Bx
w1 w2
得：
C1 C2, D1 D2
由边界条件： x1 0时，w1 0 x2 l时，w2 0
F Bx
15
例6-2 已知：简支梁受力如图示。F、EI、l、a、
b均为已知。试：讨论这一梁的弯曲变形。
y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
2020/10/17
16
解：
AC段：M (x1)
EIw1
Fb l
x1
Fb l
x1
y A
x1
EIw1
Fb l
x12 2
EIw1
Fb l
x13 6
CB段：M (x2 )
dx
2020/10/17
6
§6-2 挠曲线的微分方程
力学中的曲率公式
1M
EI
数学中的曲率公式
d2w
1
dx 2
3
1
dw dx
2
2
2020/10/17
7
小挠度情形下
dw
2
1
dx
d2w
1
dx 2
3
1
dw
2
2
dx
d2w M
dx2 EI
弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号 与 w 坐标的取向有关。
横截面形心处的铅垂位移，称为挠度(deflection)，用w 表示； 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的 角度，称为转角（slope） ，用 表示；
横截面形心沿水平方向 y
的位移，称为轴向位移或
水平位移。通常不予考虑。 O
x
w
2020/10/17
4
y
挠曲线方程：
w = w（x）
转角方程：
方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积 分常数的挠度方程与转角方程：
(
x)
dw dx
M EI
dx
C
——转角方程
w(x)
(M EI
dx)dx
Cx
D
——挠度方程
其中C、D为积分常数。
2020/10/17
10
积分常数C、D由边界条件和梁段间光滑连续条件或
中间绞链连续条件确定。
~~ ~
~~ ~
第六章 弯曲变形
基本要求
1．明确挠曲线、挠度和转角的概念，深刻理解 梁挠曲线近似微分方程的建立。
2．掌握计算梁变形的积分法和叠加法。 3．了解梁的刚度条件。
2020/10/17
1
§6-1 引 言
一．工程实际中的弯曲变形
2020/10/17
2
二．基本概念
1．挠曲线：梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹
= （x）
规定：向上的挠度为正，向下的挠度为负。 逆时针转角为正，顺时针转角为负。
挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、
弯曲刚度之间存在下列关系：
1＝M
EI
2020/10/17
5
在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：
dw tan
dx
y
在小变形条件下，挠曲
线较为平坦，即很小，因而 上式中tan。于是有
~
~ ~
~ ~
~
~ ~~
~
~ ~ ~~
位移边界条件
AA
A
A
AA
A
A
A
A AA
wA 0
wA 0
A 0
光滑连续条件
A
A A AA
A
A AA A
A AA A
wA
－弹簧变形
wAL wAR
AL AR
wAL wAR
2020/10/17
11
积分法求解步骤
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段点：集中力、集中力偶、分布载荷起止点、EI不同 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续光滑条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
CB段
2
Fb 6lEI
[(l 2
b2
3x22 )
3l b
( x2
a)2 ]
性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲
线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线（elastic curve），
或挠度曲线（deflection curve），简称弹性线或挠曲线。
y
F
O
x
2020/10/17
3
2．挠度与转角
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位 置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：
w2
Fb 6lEI
[(l 2
b2
x22 )x2
l b
( x2
a)3 ]
最大转角：
A
Fab 6lEI
(l
b)
B
Fab 6lEI
(l
a)
当a>b时，B为最大转角。
2020/10/17
19
AC段
1
Fb 6lEI
(l 2
b2
3x12 )
w1
Fbx1 6lEI
(l
2
b2
x12
)
y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
2020/10/17
12
例6-1 已知：悬臂梁受力如图示，F、l、EI均为
已知。求：梁的挠曲线、转角方程及最大挠度和转角
y
A x l
F Bx
2020/10/17
13
y 解：
M (x) F(l x) A
x
EIw Fx Fl
l
EIw F x2 Flx C 2
EIw F x3 Fl x2 Cx D 62
2020/10/17
8
w
d2w M dx 2 EI
M O
M x
d2w M dx2 EI
由于规定挠度向上为正，有
d 2w dx 2
M EI
——挠曲线微分方程
仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。
2020/10/17
9
§6-3 用积分法求弯曲变形
d 2w dx2
M (x) EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩
得：
D1 D2 0
C1
C2
Байду номын сангаас
Fb 6l
(l 2
b2)
2020/10/17
18
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
AC段
1
Fb 6lEI
(l 2
b2
3x12 )
w1
Fbx1 6lEI
(l
2
b2
x12
)
y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
CB段
2
Fb 6lEI
[(l 2
b2
3x22 )
3l b
( x2
a)2 ]
EIw2
Fb l
x2
C1
a
Fb
C1x1 D1FRA l
Fb l
x2
F
(
x2
a)
F (x2 a)
F
C
x2
B
b
l
FRB
Fa l
x
EIw2
Fb l
x22 2
F
( x2
a)2 2
C2
EIw2
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Fb l
x23 6
F
( x2
6
a)3
C2 x2
D2
17
EIw1
Fb l
x12 2
C1
由边界条件： x 0时，w 0, w 0
得： C D 0
2020/10/17
F Bx
14
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
F x (x 2l)
2EI w F x2 (x 3l)
6EI
y
A x l
最大转角和最大挠度分别为：
max
B
Fl2 2EI
Fl 3
wmax
vB
3EI
2020/10/17
EIw1
Fb l
x13 6
C1x1
D1
y
F
A
C
x1 x2
a
b
EIw2
Fb l
x22 2
F
( x2
a)2 2
C2
l
EIw2
Fb l
x23 6
F
( x2
6
a)3
C2 x2
D2
由连续和光滑条件： x1 x2 a时，w1 w2 ,
Bx
w1 w2
得：
C1 C2, D1 D2
由边界条件： x1 0时，w1 0 x2 l时，w2 0
F Bx
15
例6-2 已知：简支梁受力如图示。F、EI、l、a、
b均为已知。试：讨论这一梁的弯曲变形。
y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
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16
解：
AC段：M (x1)
EIw1
Fb l
x1
Fb l
x1
y A
x1
EIw1
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CB段：M (x2 )