材料力学--弯曲变形分析

方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积 分常数的挠度方程与转角方程：
(
x)
dw dx
M EI
dx
C
——转角方程
w(x)
(M EI
dx)dx
Cx
D
——挠度方程
其中C、D为积分常数。
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积分常数C、D由边界条件和梁段间光滑连续条件或
中间绞链连续条件确定。
~~ ~
~~ ~
得：
D1 D2 0
C1
C2
Fb 6l
(l 2
b2)
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梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
AC段
1
Fb 6lEI
(l 2
b2
3x12 )
w1
Fbx1 6lEI
(l
2
b2
x12
)
y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
CB段
2
Fb 6lEI
[(l 2
b2
3x22 )
3l b
( x2
a)2 ]
EIw1
Fb l
x13 6
C1x1
D1
y
F
A
C
x1 x2
a
b
EIw2
Fb l
x22 2
F
( x2
a)2 2
C2
l
EIw2
Fb l
x23 6
F
( x2
6
a)3
C2 x2
D2
由连续和光滑条件： x1 x2 a时，w1 w2 ,
Bx
w1 w2
得：
C1 C2, D1 D2
由边界条件： x1 0时，w1 0 x2 l时，w2 0
横截面形心处的铅垂位移，称为挠度(deflection)，用w 表示； 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的 角度，称为转角（slope） ，用 表示；
横截面形心沿水平方向 y
的位移，称为轴向位移或
水平位移。通常不予考虑。 O
x
w
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y
挠曲线方程：
w = w（x）
转角方程：
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例6-1 已知：悬臂梁受力如图示，F、l、EI均为
已知。求：梁的挠曲线、转角方程及最大挠度和转角
y
A x l
F Bx
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y 解：
M (x) F(l x) A
x
EIw Fx Fl
l
EIw F x2 Flx C 2
EIw F x3 Fl x2 Cx D 62
F Bx
15
例6-2 已知：简支梁受力如图示。F、EI、l、a、
b均为已知。试：讨论这一梁的弯曲变形。
y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
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解：
AC段：M (x1)
EIw1
Fb l
x1
Fb l
x1
y A
x1
EIw1
Fb l
x12 2
EIw1
Fb l
x13 6
CB段：M (x2 )
= （x）
规定：向上的挠度为正，向下的挠度为负。 逆时针转角为正，顺时针转角为负。
挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、
弯曲刚度之间存在下列关系：
1＝M
EI
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在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：
dw tan
dx
y
在小变形条件下，挠曲
线较为平坦，即很小，因而 上式中tan。于是有
第六章 弯曲变形
基本要求
1．明确挠曲线、挠度和转角的概念，深刻理解 梁挠曲线近似微分方程的建立。
2．掌握计算梁变形的积分法和叠加法。 3．了解梁的刚度条件。
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§6-1 引 言
一．工程实际中的弯曲变形
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2
二．基本概念
1．挠曲线：梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹
~
~ ~
~ ~
~
~ ~~
~
~ ~ ~~
位移边界条件
AA
A
A
AA
A
A
A
A AA
wA 0
wA 0
A 0
光滑连续条件
A
A A AA
A
A AA A
A AA A
wA
－弹簧变形
wAL wAR
AL AR
wAL wAR
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积分法求解步骤
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段点：集中力、集中力偶、分布载荷起止点、EI不同 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续光滑条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
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w
d2w M dx 2 EI
M O
M x
d2w M dx2 EI
由于规定挠度向上为正，有
d 2w dx 2
M EI
——挠曲线微分方程
仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。
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§6-3 用积分法求弯曲变形
d 2w dx2
M (x) EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩
EIw2
Fb l
x2
C1
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Fb
C1x1 D1FRA l
Fb l
x2
F
(
x2
a)
F (x2 a)
F
C
x2
B
b
l
FRB
Fa l
x
EIw2
Fb l
x22 2
F
( x2
a)2 2
C2
EIw2
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Fb l
x23 6
F
( x2
6
a)3
C2 x2
D2
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EIw1
Fb l
x12 2
C1
CB段
2
Fb 6lEI
[(l 2
b2
3x22 )
3l b
( x2
a)2 ]
性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲
线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线（elastic curve），
或挠度曲线（deflection curve），简称弹性线或挠曲线。
y
F
O
x
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2．挠度与转角
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位 置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：
w2
Fb 6lEI
[(l 2
b2
x22 )x2
l b
( x2
a)3 ]
最大转角：
A
Fab 6lEI
(l
b)
B
Fab 6lEI
(l
a)
当a>b时，B为最大转角。
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AC段
1
Fb 6lEI
(l 2
b2
3x12 )
w1
Fbx1 6lEI
(l
2
b2
x12
)
y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
由边界条件： x 0时，w 0, w 0
得： C D 0
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F Bx
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梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
F x (x 2l)
2EI w F x2 (x 3l)
6EI
y
A x l
最大转角和最大挠度分别为：
max
B
Fl2 2EI
Fl 3
wmax
vB
3EI
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dw
dx
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§6-2 挠曲线的微分方程
力学中的曲率公式
1M
EI
数学中的曲率公式
d2w
1
dx 2
3
1
dw dx
2
2
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小挠度情形下
dw
2
1
dx
d2w
1
dx 2
3
1
dw
2
2
dx
d2w M
dx2 EI
弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号 与 w 坐标的取向有关。