材料力学 第六章 弯曲变形

(Deflection of Beams)
２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。 案 例 1：
汽车板簧应有较大的弯曲变形, 才能更好的起到缓和减振的作用；
(Deflection of Beams)
案例2： 安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS
要求其在碰撞的过程中有较大的变形 吸收落物或碰撞能量， 保证驾驶员的人身安全
(Deflection of Beams)
案例3： 车间桁吊大梁的过大变形
(Deflection of Beams)
会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；
还会引起较严重的振动；
(Deflection of Beams)
桥梁如果产生过大变形
楼板、 床、 双杠横梁
屋顶
等都必须把它们的变形限制在允许的范围内。
仅保证构件不会发生破坏， 但如果构件的变形太大也不能正常工作。 1、构件的变形限制在允许的范围内。
(Deflection of Beams)
案例1： 车削加工一等截面构件， 如果构件的的变形过大， 会加工成变截面；
(Deflection of Beams)
案例2： 摇臂钻床简化为刚架， 如果钻床的变形过大， 受工件的反力作用； 不能准确定位。
M 0 w
M
M 0 w Biblioteka Baidu 0
M
w 与 M 的正负号相同
(6.5)
O
M 0 w 0
x
M ( x) w" EI
x
O
曲线向下凸时: w 0
M 0
(Deflection of Beams)
M ( x) w" EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响;
tan w ' w '( x )
y
A B
C C'
挠曲线 转角
x
w挠度

B
(Deflection of Beams)
5.挠度和转角符号的规定 （Sign convention for deflection and slope）
挠度和转角的符号是根据所选坐标系而定的 挠度：与y轴正向一致为正，反之为负。 转角：挠曲线上某点处斜率为正时，转角为正，反之为负。
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI
(Deflection of Beams)
2.由数学得到平面曲线的曲率 （The curvature from the mathematics）
1 w 3 2 2 ( x) (1 w )
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
(Deflection of Beams)
1.积分一次得转角方程 （The first integration gives the equation for the slope）
EIw M ( x )d x C1
(Deflection of Beams)
案例3：
当今时代汽车工业飞速发展， 道路越来越拥挤，
一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？
(Deflection of Beams)
案例4： 蹦床、跳板跳水 要有大变形， 才能积蓄能量， 将人体弹射到一定高度。
(Deflection of Beams)
Chapter6 Deflection of Beams
(Deflection of Beams)
第六章
弯曲变形 (Deflection of Beams)
§6-1 基本概念及工程实例
（Basic concepts and example problems)
§6-2 挠曲线的微分方程（Differential equation of the
max
ql 3 A B 24 EI
x l 2
在梁跨中点处有最大挠度值 wmax w
5ql 4 384 EI
(Deflection of Beams)
例题3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作 用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转 角. F
挠曲线方程（equation of deflection curve）为
w f ( x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. y
A C'
挠曲线
C
B
x w挠度（

B
转角
(Deflection of Beams)
4.挠度与转角的关系 （Relationship between deflection and slope）：
2.再积分一次,得挠度方程 （Integrating again gives the equation for the deflection）
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
二、积分常数的确定 （Evaluating the constants of integration）
2
(4)
(Deflection of Beams)
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6 边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0
(4)
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C 1 0 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
(Deflection of Beams)
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的 均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max 和 wmax
q A l B
(Deflection of Beams)
q
解:由对称性可知,梁的两 个支反力为
A
x
B
FRA FRB
(a x l )
(Deflection of Beams)
两段梁的挠曲线方程分别为
（a）（0 x a）
b 近似微分方程 EIw 1 M 1 F l x
（b）（ a x l ）
b EIw 2 M 2 F x F ( x a ) l
2 2 b F ( x a ) x C2 EIw 2 F l 2 2
b x 转角方程 EIw1 F C1 l 2
2
b x3 b x 3 F ( x a )3 C 2x D 2 挠度方程 EIw1 F C1 x D1 EIw 2 F l 6 6 l 6
deflection curve)
§6-3 用积分法求弯曲变形
（Beam deflection by integration )
§6-4 用叠加法求弯曲变形
( Beam deflections by superposition )
§6-5 静不定梁的解法(Solution methods
for statically indeterminate beams)
C2 0
Fx 2 EIw Flx 2
EIw Flx Fx 2 6
2
3
(Deflection of Beams)
y
F
A B x
wmax
l
max
max 和 wmax都发生在自由端截面处
Fl 2 Fl 2 Fl 2 （ ） max | x l EI 2 EI 2 EI Pl 3 wmax w | x l （ ） 3 EI
y A C B
x
w挠度
C'
B'
(Deflection of Beams)
2.转角 （Slope） 横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示 y
A
C' C B
x
w挠度（

转角
B
(Deflection of Beams)
3.挠曲线 （Deflection curve） 梁变形后的轴线称为挠曲线 .
§6-6 提高弯曲刚度的措施
(The measures to strengthen rigidity)
(Deflection of Beams)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、为何要研究弯曲变形
M [ ] Wz
ql 2
FRA
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w
0
x
q
wmax
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为
B
A
l
B
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
最大转角和最大挠度分别为
FRA
FRB
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A D B b
a l
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
x
b FRA F l a FRB F l
两段梁的弯矩方程分别为
F FRA
A
x l
1
a
D b
2
FRB
B
b M 1 FRA x F x l
(0 x a )
b M2 F x F ( x a) l
（2） 略去了 w 项;
2
（3） tan w w ( x )
(Deflection of Beams)
§6-3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )
w A
F
B x x
M ( x ) F (l x )
(1)
（2） 挠曲线的近似微分方程为
l
EIw M ( x ) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
Fx EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6
y
A C B x
挠曲线
C'
w挠度

转角
B
(Deflection of Beams)
§6-2 挠曲线的微分方程
（ Differential equation of the deflection curve)
一、推导公式（Derivation of the formula)
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系（Relationship between the curvature of beam and the bending moment）
A
B
wA 0
A 0
(Deflection of Beams)
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max w
A
F
B x
l
(Deflection of Beams)
解： （1） 弯矩方程为

w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
w 2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
M ( x) w" EI
(Deflection of Beams)
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 为正, w轴竖直向上为正. w
M
M
曲线向上凸时: 因此,
w 0
1.边界条件（Boundary conditions） 2.连续条件（Continue conditions）
(Deflection of Beams)
在简支梁中, 左右两铰支座处的 挠度 w A 和 w B 都等于0.
A
B
wA 0
在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A
wB 0
和转角 A 都应等于0.
3、研究弯曲变形 除了解决构件的刚度外， 还广泛应用于超静定问题分析、 稳定性分析 以及振动分析等方面。
(Deflection of Beams) 二、基本概念（Basic concepts）
1.挠度（ Deflection ）
横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移, 称为该截面的挠度.用w表示.