材料力学弯曲变形(内力)
第十章 弯曲内力讲解
8 kN
1
2
12 kN /m
A
2m
1.5 m B
1
2
RA 1. 5 m 1. 5 m
3m
RB
8 kN
1. 5 m 1
截面形心
A
RA
2 m 1 O M1 Fs1 M 2
2 12 kN /m
B
1.5 m
Fs22
RB
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
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弯曲的概念
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
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qa
Fy 0,
RB
1 4
qa
q1 2
3 4m=3qa2
A
B
C
D
a 12a 3 4 a
（2）求剪力
RB
RD
FS1 qa
FS 2
FS 3
qa RB qa
qa
RB
5 4
( qa
1 4
qa)
5 4
qa
M3
qa
3 2
a
RBa
3 qa2 ( 1 qa)a 7 qa2
A c1 AM A FA Fs A
0
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材料力学-弯曲变形
(向下)
qB
qmax
w(l)
Pl 2 2EI
(顺时针)
例题2
图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度为
EI，在右端受有集中力偶M0的作用，求梁任
一截面的转角和挠度。
y
解:
由整体平衡得 FAx=0， FAy= FBy= M0/l 从而，截面的弯矩为
M(x)= xFAy= xM0/l
FAx A x o
FAy
横截面变形：
线位移：长度变化
水平方向—小变形假定，挠曲轴平坦，忽略不计 垂直方向—挠度 w= w(x)
转角：角度变化
横截面相对于原位置转过的夹角，
一般用q (x)表示截面转角，并且以逆时针为正
q'
对于细长梁，略去剪力对变形影响 平截面假设成立: 变形的横截面与挠曲轴垂直
q q tan q dw
(l 2
a2)
y
例题3
P x
A
C
于是，梁的挠曲线方程为 FAx
l
w
w1 w2
(x) (x)
0 xa a xb
FAy
a
b
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x3 (b2 l2 )x (l x)3 (a2 l2
)(l
x)
0 xa a xl
转角方程为
q w ww12((xx))
0 xa a xb
Pb 2EIl
x2
C1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
Pb 6EIl
x3
C1x
D1
同理，对CB段
w2
w2dx C2
Pa EIl
(l
x)dx
C2
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
材料力学课件 第六章弯 曲 内 力(土木专业)
M
A
0
FRA
A
a
F1
C
F2
D
FRB
B
FRB l F1a F2b 0
MB 0
c
E
F
d
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l
b l
FRB
F1a F2b l
第六章
记 E 截面处的剪力为
FRA
A
弯曲内力
a F1 C F2 D B
FSE 和弯矩 ME ，且假设
FSE 和弯矩ME 的指向和转 向均为正值.取左段为研究
E
c b l
F
d
对象。
Fy 0 , M 0,
E
FRA FS E 0
M E FRA c 0
FRA
A E
FSE
解得 FSE FRA
ME
M E FRA c
第六章
6.1引言
1.弯曲的概念
弯曲内力
工程实例
第六章
工程实例
弯曲内力
第六章
弯曲内力
车刀轴
第六章
弯曲内力
火车轮轴
第六章
弯曲内力
起重机大梁
第六章
弯曲内力
镗刀杆轴
第六章
基本概念
弯曲内力
1.弯曲变形 （1） 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. （2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2.梁 以弯曲变形为主的杆件 3.平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
材料力学(刘鸿文)第四章-弯曲内力
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
P a q
a
P
a
a
a M＝qa2
q
a a
P=2qa
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
q
a
2a
P=qa
a
a M=qa2
a
§4-4
剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩
一、内力方程： 任意截面处的内力表示为截面位置的函数； q x q x 例1、悬臂梁上作用均布载荷 写内力方程，并作内力图
M ( x) m Pa
x
(0 x a )
BC段:
Fs ( x) P
M ( x) m P( x a) 2 Pa Px
( a x 2a )
Fs ( x) 0
m=Pa
P
B C
M ( x) m Pa
(0 x a )
A
Fs ( x) P
弯矩图上凸；
总结3 3、梁上没有均布载荷时：
剪力的图 弯矩图
FS
Fb / l
F C
x
水平；
斜直线；
M
Fa / l
Fab / l
且剪力大于零时， 弯矩图上升； 剪力小于零时， 弯矩图下降；
x
总结4 4、集中力的作用点处
FS
Fb / l
F
C
Fa / l
剪力图 突变； 突变量 =集中力的大小； 突变的方向 弯矩图 顺集中力的方向
固定端截面处；
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2
M
ql 2 / 2
x
仔细观察内力图的特点 1885年，俄国人别斯帕罗夫开 始使用弯矩图；
材料力学-第7章 弯曲变形
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
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FS FS
FS
+
FS FS +
FS
23
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
相关知识-剪力和弯矩
弯曲变形
（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。
左顺右逆为正
可以装水为正
M
M
M
MM
M
(+)
(+)
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机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
左顺右逆为正 M
弯曲变形
可以装水为正 M
a l
F
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机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
LOGO
Add your company slogan
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2021/3/9
2021/3/9
任务拓展-做剪力图和弯矩图 弯曲变形
FRA
MO
a
b
A
C
x1
x2
l
(2)写出内力方程
AC段：
FQ1 FRA
MO l
FRB 解：(1)求支座反力
B
FA
MO l
FB
MO l
CB段：
FQ2
FRA
MO l
34
M1
FRA x1
MO l
x1
机械基础-材料力学-弯曲变形
M 2 FRAx2 M O
4
32
x 3l
,
M
3ql 2
4
32
31
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021形
A
x l
B
(5)内力图特征
➢在均布力作用的梁段上，剪力 图为斜直线；弯矩图为二次抛
FQ
1 ql 2
+
l
2
M
ql 2
物线，均布力向下作用，抛物 线开口向下。
x ➢梁的两端截面上剪力最大，中
点截面上弯矩最大。
解：1、求支座反力
Fx 0 , FAx 0
MA 0,
FB
Fa l
M B 0 , FAy Fb
l
弯曲变形
F
a
b
A
B
x
l
FAx
A FAy
F
B
FB
21
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
相关知识-剪力和弯矩
弯曲变形
2、求内力——截面法 剪力FS 弯矩M
取左段：
A FAy
x
mF
m
B
❖知识目标 ❖能力目标 ❖任务描述 ❖任务分析 ❖相关知识 ❖任务实施 ❖任务拓展 ❖思考与练习
弯曲变形
28
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
任务实施
FRA
q
A
x l
弯曲变形
FRB 解：(1)求支座反力
B
1
FRA
FRB
2
ql
(2)写出剪力方程
FQ
(x)
FRA
qx
1 2
ql
qx
➢剪力=截面左侧所有外力在y轴上投影代数 之和，向上为正。
模块三 材料力学
课题二 弯曲变形
船厂建造船只
弯曲变形
2
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
码头吊运集装箱
弯曲变形
3
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
油田采油
弯曲变形
4
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
桥梁
弯曲变形
5
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
厂房吊运物料
弯曲变形
6
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖知识目标 ❖能力目标 ❖任务描述 ❖任务分析 ❖相关知识 ❖任务实施 ❖任务拓展 ❖思考与练习
① 平面弯曲的概念及实例
➢ 剪②力和受弯弯矩杆的件计的算简化 ③ 剪力图和弯矩图
7
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
15
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
相关知识-梁的简化及受力情况
弯曲变形
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M
Fy
16
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
相关知识-平面弯曲的概念
弯曲变形
非对称弯曲 若梁不具有纵向对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但
外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。
C
本模块随后的内容，将以对称弯曲（平面弯曲）为主，讨论梁的应力和变形计算。
13
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
相关知识
弯曲变形
9
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
相关知识
弯曲变形
❖一、平面弯曲的概念 ❖二、工程中梁的简化及受力情况 ❖ 三、弯曲时横截面上的内力—剪力和弯矩 ❖四、剪力图和弯矩图
10
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
相关知识-平面弯曲的概念
弯曲变形
弯曲的概念
受力特点：杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。 变形特点：轴线变成了曲线。
可动铰 可动铰
2021/3/9
相关知识-梁的简化及受力情况
弯曲变形
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
(3)悬臂梁
17
q
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
相关知识-梁的简化及受力情况
弯曲变形
4. 载荷的简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
FB
Fy 0 , FAy FS 0
FS
FS
FAy
Fb l
C
A
M
FAy
F
MC 0 , FAy x M 0
M
FAy
x
Fb l
x
M FS
22
机械基础-材料力学-弯曲变形
F 2021/3/9 B
相关知识-剪力和弯矩
弯曲变形
3、内力的正负规定 左上右下为正
（1）剪力FS: 左上右下为正;反之为负。
任务描述
弯曲变形
❖ 计算承受均匀载荷的简支梁发生弯曲时的内力 ▪ 已知：q、l
q
A
B
x
FRA
l
FRB
8
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖知识目标 ❖能力目标 ❖任务描述 ❖任务分析 ❖相关知识 ❖任务实施 ❖任务拓展 ❖思考与练习
✓ 分析梁的变形。 ✓ 分析梁发生弯曲变形时受的内力。 ✓ 求出梁弯曲时的内力。
弯曲变形
❖作剪力（弯矩）图的步骤 ▪ 求出梁的支座反力 ▪ 求出各集中力、集中力偶的作用点处截面的值 ▪ 取横坐标x平行于梁的轴线表示梁的截面位置， 纵坐标FQ(M)表示各截面的剪力(弯矩) ▪ 将各控制点画在坐标平面上，然后连接各点
27
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
任务一 计算梁的弯曲变形内力
b 37 l M O
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
任务一 计算梁的弯曲变形内力
❖知识目标 ❖能力目标 ❖任务描述 ❖任务分析 ❖相关知识 ❖任务实施 ❖任务拓展 ❖思考与练习
弯曲变形
38
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
思考与练习-2、悬臂梁集中力
弯曲变形
x
l
FQ F +
M
－
Fl
39
F
解：求x截面上的内力。
FQ F
M F(l x)
F
x
x0 ，FQ F, M Fl
xl ，FQ F, M 0
x
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/9
思考与练习-3、简支梁集中力
弯曲变形
FA a F
b
A x1
C
x2
l
(2)写出内力方程
AC段：
FQ
( x1 )
FA
b l
F
M (x1) FAx1
40
b l
Fx1
FB 解:(1)求支座反力
B
FA
b l
F
FB
a l
F
CB段： FQ (x2 )
FA
F
b l
F
F
b
l
l
F
a l
F
M (x2 ) FB (l x2 ) FAx2 F(x2 a)
a
F(l x ) Fa F x 2 l 机械基础-材料力学-弯曲变形
FQ
MO
➢梁在某一段内有均布载荷，其剪力图是斜直 线，弯矩图是抛物线，且弯矩图与变形方向相 反；
+
l
➢在集中力作用处，剪力图有一突变（自左向
右作图时，若集中力向上，剪力图向上突变；
x 若集中力向下，剪力图向下突变） ，大小等于
在集中力偶作用的地方，剪力图无突