山东省枣庄市2016届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2015-2016学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{﹣2，0} D．{0，2}2．直线l：x+y﹣3=0的倾斜角α为（）A．B． C．D．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2，C=30°，则角B等于（）A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°4．已知实数x，y满足，则x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a6．已知命题p：∀x∈（1，+∞），＞1；命题q：∀a∈（0，1），函数y=a x在（﹣∞，+∞）上为减函数，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q7．若函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象的对称中心与f（x）图象的对称中心重合，则ω的最小值是（）A．1 B．2 C．4 D．88．已知△ABC，若对∀t∈R，||，则△ABC的形状为（）A．必为锐角三角形B．必为直角三角形C．必为钝角三角形D．答案不确定9．函数的零点的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．610．已知圆C：x2+y2=1，点P在直线l：y=x+2上，若圆C上存在两点A，B使得，则点P的横坐标的取值范围为（）A．B．C．[﹣1，0] D．[﹣2，0]二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知随机变量X﹣B（n，p），且E（X）=2，D（X）=1，则p=______．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x [0，1）时，f（x）=x，则=______．13．观察如图等式，照此规律，第n个等式为______．14．某几何体的三视图如图所示，其俯视图的外轮廓是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是______．15．已知直线y=k（x﹣m）与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，OA ⊥OB，OD⊥AB于D，点D在曲线x2+y2﹣4x=0上，则p=______．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知直线x=与直线x=是函数的图象的两条相邻的对称轴．（1）求ω，φ的值；（2）若，f（α）=﹣，求sinα的值．17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=，公比q＞0，S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求a n；（2）设b n=，求数列{c n}的前n项和T n．18．甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分（2）求m，n的值；（3）求ξ的数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求锐二面角C﹣PB﹣D的大小．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）上一点与它的左、右两个焦点F1，F2的距离之和为2，且它的离心率与双曲线x2﹣y2=2的离心率互为倒数．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），AF1的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．21．已知函数f（x）=x4lnx﹣a（x4﹣1），a∈R．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）f（x）的极小值为φ（a），当a＞0时，求证：．（e=2.71828…为自然对数的底）2015-2016学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{﹣2，0} D．{0，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即B=[﹣1，2]，∵A={﹣2，0，2}，∴A∩B={0，2}，故选：D．2．直线l：x+y﹣3=0的倾斜角α为（）A．B． C．D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程易得斜率，进而可得倾斜角．【解答】解：由题意可得直线的斜率k==﹣，即tanα=﹣，故α=，故选D3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2，C=30°，则角B等于（A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求得sinB==，由范围B∈（30°，180°）利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵c=2，b=2，C=30°，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b＞c，可得：B∈（30°，180°），∴B=60°或120°．故选：D．4．已知实数x，y满足，则x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+y，得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，得，即A（1，1），此时z的最小值为z=1+1=2，故选：A．5．设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log0.32＜0，0＜b=log32＜1，c=20.3＞1，∴c＞b＞a．故选：D．6．已知命题p：∀x∈（1，+∞），＞1；命题q：∀a∈（0，1），函数y=a x在（﹣∞，+∞）上为减函数，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】复合命题的真假．【分析】利用函数的单调性先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∀x∈（1，+∞），由幂函数的性质可得＞1，是真命题；命题q：∀a∈（0，1），函数y=a x在（﹣∞，+∞）上为减函数，利用指数函数的单调性可知：是真命题．则下列命题为真命题的是p∧q，其余的为假命题．故选；A．7．若函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象的对称中心与f（x）图象的对称中心重合，则ω的最小值是（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：=k×，k∈N+，即可解得当k=1时，ω取得最小值．【解答】解：∵将函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到的函数图象的对称中心与f（x）图象的对称中心重合，设T为函数f（x）=sin（ωx+）的最小正周期，∴=k×=k×，k∈N+，即：ω=4k，k∈N+，∴当k=1时，ω取得最小值是4，故选：C．8．已知△ABC，若对∀t∈R，||，则△ABC的形状为（）A．必为锐角三角形B．必为直角三角形C．必为钝角三角形D．答案不确定【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可延长BC到D，使BD=2BC，并连接DA，从而可以得到，在直线BC上任取一点E，满足，并连接EA，从而可以得到，这样便可得到，从而有AD⊥BD，这便得到∠ACB为钝角，从而△ABC为钝角三角形．【解答】解：如图，延长BC到D，使BD=2BC，连接DA，则：，；设，则E在直线BC上，连接EA，则：；∵；∴；∴AD⊥BD；∴∠ACD为锐角；∴∠ACB为钝角；∴△ABC为钝角三角形．故选：C．9．函数的零点的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）=0得|lg（x﹣）|﹣cosx=0，即|lg（x﹣）|=cosx，分别作出两个函数的图象，利用数形结合进行判断即可．【解答】解：∵f（x）=|lg（x﹣）|﹣cosx，∴由f（x）=0得|lg（x﹣）|﹣cosx=0，即|lg（x﹣）|=cosx，作出函数y=|lg（x﹣）|和y=cosx的图象如图：则由图象知两个图象的交点个数为4，故函数f（x）的零点个数为4，故选：B10．已知圆C ：x 2+y 2=1，点P 在直线l ：y=x +2上，若圆C 上存在两点A ，B 使得，则点P 的横坐标的取值范围为（ ）A ．B ．C ．[﹣1，0]D ．[﹣2，0]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得点P 到圆上的点的最小距离应小于或等于半径，设点P 的坐标为（m ，m +2），则有﹣1≤1，化简求得m 的范围．【解答】解：由题意可得得圆心C （0，0），根据圆C 上存在两点A 、B 使得，则点P 到圆上的点的最小距离应小于或等于半径．设点P 的坐标为（m ，m +2），则有﹣1≤1，化简求得﹣2≤m ≤0，故选：D ．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知随机变量X ﹣B （n ，p ），且E （X ）=2，D （X ）=1，则p= ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】直接利用离散型随机变量的期望与方差，列出方程求解即可． 【解答】解：随机变量X ﹣B （n ，p ），且E （X ）=2，D （X ）=1， 可得np=2，np （1﹣p ）=1，解得p=．故答案为：．12．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x [0，1）时，f （x ）=x ，则=___21-___． 【考点】对数的运算性质；函数奇偶性的性质．【分析】根据对数恒等式进行化简，然后利用奇函数的定义进行转化求解即可．【解答】解：=f （），∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=x，∴f（）=﹣f（）=，故答案为：﹣13．观察如图等式，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．【考点】归纳推理；进行简单的合情推理．【分析】根据前4个式子的规律，利用归纳推理进行归纳即可．【解答】解：等式的右边为1，9，25，49，即12，32，52，72…，为奇数的平方．等式的左边为正整数为首项，每行个数为对应奇数的和，∴第n个式子的右边为（2n﹣1）2，左边为n+（n+1）+…+（3n﹣2），∴第n个等式为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．故答案为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．14．某几何体的三视图如图所示，其俯视图的外轮廓是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知几何体的三视图还原为几何体，然后计算体积．【解答】解：由已知几何体的三视图得到几何体是半个底面直径为4高为1的圆柱与个底面半径为2，高为2的圆锥的组合体，所以几何体的条件为；故答案为：15．已知直线y=k（x﹣m）与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，OA ⊥OB，OD⊥AB于D，点D在曲线x2+y2﹣4x=0上，则p=4．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】设出D的坐标，求出OD的斜率，利用OD⊥AB于D，动点D的坐标满足方程x2+y2﹣4x=0，确定x的值，代入k•k′=﹣1，化简即可求出m的值．【解答】解：∵点D在直线AB：y=k（x﹣m）上，∴设D坐标为（x，k（x﹣m）），则OD的斜率为k′=；又∵OD⊥AB，AB的斜率为k，∴k•k′==﹣1，即k（x﹣m）=﹣；又∵动点D的坐标满足x2+y2﹣4x=0，即x2+[k（x﹣m）]2﹣4x=0，将k（x﹣m）=﹣代入上式，得x=；再把x代入到=﹣1中，化简得4k2﹣mk2+4﹣m=0，即（4﹣m）•（k2+1）=0，∵k2+1≠0，∴4﹣m=0，∴m=4．故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知直线x=与直线x=是函数的图象的两条相邻的对称轴．（1）求ω，φ的值；（2）若，f（α）=﹣，求sinα的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．【分析】（1）由题意及正弦函数的图象和性质可求函数的最小正周期T，由周期公式可求ω，由函数f（x）关于直线对称，可得，结合范围，即可解得φ的值．（2）由（1）得，由，得．可求，利用两角差的正弦函数公式即可求值得解．【解答】解：（1）因为直线、是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以，函数的最小正周期T=2×=2π，从而，因为函数f（x）关于直线对称．所以，即．…又因为，所以．…（2）由（1），得．由题意，．…由，得．从而．…，…=．…17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=，公比q＞0，S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求a n；（2）设b n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）通过S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列化简可知4a3=a1，进而可知，计算即得结论；（2）通过（1）裂项可知c n= [﹣]，进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）因为S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，所以S3+a3﹣S1﹣a1=S2+a2﹣S3﹣a3．…化简得4a3=a1．…所以．因为q＞0，所以．…故．…（2）由（1）可知．…．…T n=c1+c2+c3+…+c n+c n﹣1===…18．甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分（）求至少有一位学生做对该题的概率；（2）求m，n的值；（3）求ξ的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）利用“至少有一位学生做对该题”事件的对立事件的概率即可得出；（2）利用P（ξ=0）与P（ξ=3）的概率即可得出m，n；（3）利用（2）及与b=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）即可得出a，b．【解答】解：设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，由题意知，．（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是．（2）由题意知，，整理得mn=，．由m＞n，解得，．（3）由题意知=，b=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=，∴ξ的数学期望为Eξ==．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求锐二面角C﹣PB﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；圆锥曲线的存在性问题．【分析】（1）解法一：以D为坐标原点，分别以所在的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D﹣xyz．求出相关点的坐标．法一，推出．然后证明PA∥平面EDB．法二：取BD的中点G，则G（1，1，0），利用，说明PA∥EG．证明PA∥平面EDB．法三：求出平面EDB的一个法向量，证明，推出PA∥平面EDB．解法二：连接AC，设AC∩BD=G．证明PA∥EG．然后证明PA∥平面EDB．（2）解法一：由（1）中的解法一，求出平面CPB的一个法向量，证明AC⊥BD．PD⊥AC．推出AC⊥平面PDB．求出平面PDB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解锐二面角C﹣PB﹣D的大小．解法二：过G作GF⊥PB于F，连接FC．说明∠GFC就是二面角C﹣PB﹣D的一个平面角通过求解三角形即可．【解答】（1）解法一：如图，以D为坐标原点，分别以所在的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（2，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，1，1）．…法一：．设，即（2，0，﹣2）=λ（2，2，0）+μ（0，1，1）．解得λ=1，μ=﹣2．所以．又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB．…法二：取BD的中点G，则G（1，1，0）.，．所以，所以PA∥EG．又PA⊄平面EDB，EG⊂平面EDB，所以PA∥平面EDB．…法三：．设=（x，y，z）为平面EDB的一个法向量，则，即2x+2y=0，y+z=0．取y=﹣1，则x=z=1．于是=（1，﹣1，1）．又，所以．所以．又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB．…解法二：连接AC，设AC∩BD=G．因为ABCD是正方形，所以G是线段AC的中点．又E是线段PC的中点，所以，EG是△PAC的中位线．所以PA∥EG．…又PA⊄平面EDB，EG⊂平面EDB，所以PA∥平面EDB．…（2）解法一：由（1）中的解法一，，．设=（x1，y1，z1）为平面CPB的一个法向量，则，．取y1=1，则z1=1．于是=（0，1，1）．…因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC．又PD∩BD=D，所以AC⊥平面PDB．所以是平面PDB的一个法向量．…所以．…所以，锐二面角C﹣PB﹣D的大小为60°．…解法二：如图，设AC∩BD=G．在Rt△PDB中，过G作GF⊥PB于F，连接FC．…因为四边形ABCD是正方形，所以CA⊥BD，即CG⊥BD．…因为侧棱PD⊥底面ABCD，CG⊂平面ABCD，所以CG⊥PD．…又CG⊥BD，PD∩BD=D，所以CG⊥平面PDB．所以CG⊥PB．…又PB⊥GF，CG∩GF=G，所以PB⊥平面CGF．所以PB⊥FC．从而∠GFC就是二面角C﹣PB﹣D的一个平面角…在Rt△PDB中，．…在Rt△FGC中，．所以∠GFC=60°．所以二面角C﹣PB﹣D的大小为60°．…20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）上一点与它的左、右两个焦点F1，F2的距离之和为2，且它的离心率与双曲线x2﹣y2=2的离心率互为倒数．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），AF1的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）易知2a=2，e=，从而解得；（2）①设A（x A，y A），B（x B，y B），则C（﹣x A，﹣y A），从而设直线BA的方程为y=k（x+1），联立方程化简（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，从而可得x A+x B=﹣，y A+y B=k，从而证明．②分情况讨论以分别确定△ABC的面积的取值范围，从而解得．【解答】解：（1）由椭圆的定义知2a=2，双曲线x2﹣y2=2的离心率为，故椭圆+=1的离心率e=，故a=，c=1，b=1；故椭圆的方程为+y2=1；（2）①证明：设A（x A，y A），B（x B，y B），则C（﹣x A，﹣y A），设直线BA的方程为y=k（x+1），联立方程化简得，（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴x A+x B=﹣，y A+y B=k（x A+x B）+2k=k（﹣+2）=k，∴k AB k BC=k•==﹣；②当直线AB的斜率不存在时，可知A（﹣1，），B（﹣1，﹣），C（1，﹣），故S△ABC=，当直线AB的斜率存在时，由①知，x A+x B=﹣，x A x B=，故|x A﹣x B|==•，故|AB|=|x A﹣x B|=••，点C到直线AB的距离d==，故S△ABC=•（••）•=2=2•＜，故△ABC面积的最大值为，此时AB的方程为x+1=0．21．已知函数f（x）=x4lnx﹣a（x4﹣1），a∈R．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）f（x）的极小值为φ（a），当a＞0时，求证：．（e=2.71828…为自然对数的底）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数，利用导函数的概念求切线的斜率，点斜式写出方程即可；（2）f（x）≥0恒成立，只需求出f（x）的最小值大于等于零即可，求出导函数，对参数a 分类讨论，讨论是否满足题意；（3）根据导函数求出函数的极小值φ（a），对极小值进行求导，利用导函数得出极小值的最大值等于零，右右不等式得证，再利用构造函数的方法，通过导函数证明左式成立．【解答】解：（1）f'（x）=4x3lnx+x3﹣4ax3．…则f'（1）=1﹣4a．又f（1）=0，所以，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（1﹣4a）（x﹣1）．…（2）由（1）得f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）．①当时，因为y=4lnx+1﹣4a为增函数，所以当x≥1时，4lnx+1﹣4a≥4ln1+1﹣4a=1﹣4a＞0，因此f'（x）≥0．当且仅当，且x=1时等号成立，所以f（x）在（1，+∞）上为增函数．因此，当x≥1时，f（x）≥f（1）=0．所以，满足题意．…②当时，由f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）=0，得，解得．因为，所以，所以．当时，f'（x）＜0，因此f（x）在上为减函数．所以当时，f（x）＜f（1）=0，不合题意．综上所述，实数a的取值范围是．…（3）由f'（x ）=x 3（4lnx +1﹣4a ）=0，得，．当时，f'（x ）＜0，f （x ）为减函数；当时，f'（x ）＞0，f （x ）为增函数．所以f （x ）的极小值=．…由φ'（a ）=1﹣e 4a ﹣1=0，得．当时，φ'（a ）＞0，φ（a ）为增函数；当时，φ'（a ）＜0，φ（a ）为减函数．所以．…==．下证：a ＞0时，．，∴，∴，∴．…令，则．当时，r'（a）＜0，r（a）为减函数；当时，r'（a）＞0，r（a）为增函数．所以，即．所以，即．所以．综上所述，要证的不等式成立．…2016年9月14日。