2018北京市海淀区初三(上)期中数学
北京市海淀区2018届九年级数学上学期期中试题
北京市海淀区2018届九年级数学上学期期中试题一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．一元二次方程23610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，6，1B ．3，6，1-C ．3，6-，1D ．3，6-，1-2．把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．21y x =-+D ．21y x =--3．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C = 35°，则∠AOB 的大小为 A ．35° B ．55°C ．65°D ．70°4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是A B C D 5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是A ．()222x -= B ．()222x +=C ．()222x -=- D ．()226x -=6．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．1207．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是A ．30x -<<B ．3x <-或0x >C ．3x <-或1x >D ．03x <<8．如图1，动点P 从格点A 出发，在网格平面内运动，设点P 走过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d . 已知d 与s 的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P 的运动路线的是A B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P （1-，2）关于原点的对称点的坐标为________． 10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：________．11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 的延长线上一点．若∠B=110°，则∠ADE 的大小为________．l l ll l12．抛物线21y x x =--与x 轴的公共点的个数是________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别为（0，2），（1-，0），将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若 点A 的对应点A '的坐标为（2，0），则点B 的对应点B '的 坐标为________．14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4)y -，，2(1)y ，，则1y ________2y （填“＞”，“=”，或“＜”）．15．如图，⊙O 的半径OA 与弦BC 交于点D ，若OD = 3，AD = 2，BD = CD ，则BC 的长为________．16．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC ．A求作：BC 边上的高AD ． 作法：如图，（1）分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的 长为半径作弧，两弧相交于P ，Q 两点；（2）作直线PQ ，交AC 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，与CB 的延长线交于点D ，连接AD ．线段AD 即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是_____________________ _________________ _________ ．三、解答题（本题共72分，第17题4分，第18~23题，每小题5分，第24~25题，每小题7分，第26~ 28题，每小题8分） 17．解方程：2430x x -+=．18．如图，等边三角形ABC 的边长为3，点D 是线段BC 上的点，CD = 2，以AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE ．求CE 的长．19．已知m 是方程2310x x -+=的一个根，求()()()2322m m m -++-的值．20．如图，在⊙O 中，»»AB CD =．求证：∠B =∠C ．EB D CA21．如图，ABCD 是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG 的形状，其中点E 在AB 边上，点G 在AD 的延长线上，DG = 2BE ．设BE 的长为x 米，改造后苗圃AEFG 的面积为y 平方米．（1）y 与x 之间的函数关系式为_____________________（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG 的面积与原正方形苗圃ABCD 的面积相等，请问此时BE 的长为多少米？22．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得120x x =成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．23．古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在研究一E元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．以21039x x +=为例，花拉子米的几何解法如下：如图，在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为x 和 5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补 成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()2________39x +=+，从而得到此方程的正根是________．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，0），点P 的横坐标为2，将点A 绕点P旋转，使它的对应点B 恰好落在x 轴上（不与A 将点B绕点O 逆时针旋转90°得到点C ． （1）直接写出点B 和点C 的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式．25．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点O 作OD ⊥BC 交BC 于点E ，交⊙O 于点D ，CD ∥AB ．（1）求证：E 为OD 的中点；（2）若CB = 6，求四边形CAOD 的面积．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：244y x x =-+和直线l ：2(0)y kx k k =->．（1）抛物线C 的顶点D 的坐标为________； （2）请判断点D 是否在直线l 上，并说明理由；（3）记函数2442,22x x x y kx k x ⎧-+≤=⎨->⎩，，的图象为G ，点(0,)M t ，过点M 垂直于y 轴的直线与图象G 交于点11()P x y ，，22()Q x y ，．当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，结合图象，求k 的取值范围．55 5xx xx 527．对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≤，则称1d 为点P 的“引力值”；若12d d >，则称2d 为点P 的“引力值”．特别地，若点P 在坐标轴上，则点P 的“引力值”为0．例如，点P （2-，3）到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，因为23<，所以点P 的“引力值”为2．（1）①点A （1，4-）的“引力值”为________；②若点B （a ，3）的“引力值”为2，则a 的值为________；（2）若点C 在直线24y x =-+上，且点C 的“引力值”为2，求点C 的坐标；（3）已知点M 是以D （3，4）为圆心，半径为2的圆上的一个动点，那么点M 的“引力值”d 的取值范围是 ．28．在Rt△ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为点O，将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，如图所示．（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是________（填出满足条件的的角的序号）；（2）若∠A=α，求∠BEC的大小（用含α的式子表示）；（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．E DNMB CAO初三第一学期期中学业水平调研数 学 参 考 答 案 2017．11一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（1，2-） 10．答案不唯一，例如2y x = 11．110° 12．2 13．（0，1） 14．＞ 15．816．①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线． （注：写出前两个即可给3分，写出前两个中的一个得2分，其余正确的理由得1分）三、解答题（本题共72分） 17．解法一：解：2441x x -+=，()221x -=， ………………2分21x -=±，11x =，23x =． ………………4分解法二：解：()()130x x --=， ………………2分 10x -=或30x -=，11x =，23x =． ………………4分 18．解：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AB =BC =AC ，∠BAC =60°.∴ ∠1+∠3=60°. ………………1分∵ △ADE 是等边三角形， ∴ AD =AE ，∠DAE =60°.∴ ∠2+∠3=60°. ………………2分 ∴ ∠1=∠2. 在△ABD 与△ACE 中12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ △ABD ≌ △ACE （SAS ）. ∴ CE =BD . ………………4分 ∵ BC =3，CD =2， ∴ BD =BC -CD =1.∴ CE =1． ………………5分 19．解：∵ m 是方程2310x x -+=的一个根，∴ 2310m m -+=. ………………2分∴ 231m m -=-.∴ 原式22694m m m =-++- ………………4分()2235m m =-+3=． ………………5分20．方法1：321EDCBA证明：∵ 在⊙O 中，»»AB CD =， ∴ ∠AOB =∠COD . ………………2分 ∵ OA =OB ，OC =OD ，∴ 在△AOB 中，1902B AOB ∠=︒-∠，在△COD 中，1902C COD ∠=︒-∠. ………………4分∴ ∠B =∠C ． ………………5分方法2：证明：∵ 在⊙O 中，»»AB CD =， ∴ AB =CD . ………………2分 ∵ OA =OB ，OC =OD ，∴ △AOB ≌ △COD （SSS ）. ………………4分 ∴ ∠B =∠C ． ………………5分21．解：（1）22416y x x =-++（或()()442y x x =-+） ………………3分（2）由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得2241616x x -++=.解得：12x =，20x =（不合题意，舍去）. ………………5分 答：此时BE 的长为2米. 22．解：（1）∵ 方程()222110xm x m +-+-=有两个不相等的实数根，∴ ()()224141880m m m ∆=---=-+>，∴ 1m <． ………………2分 （2）存在实数m 使得120x x =.120x x =，即是说0是原方程的一个根，则210m -=. ………………3分解得：1m =- 或 1m =. ………………4分当1m =时，方程为20x =，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去．∴ 1m =-． ………………5分23．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()25 x + ………………1分39 25 =+ ………………3分从而得到此方程的正根是 3 ． ………………5分24．（1）点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3）； ………………2分 （2）方法1：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++. 因为 它经过A （1，0），B （3，0），C （0，3），则0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩………………4分解得 1,4,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩………………6分∴ 经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+． ………………7分 方法2：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），故可设其表达式为(1)(3)(0)y a x x a =--≠. ………………4分 因为 点C （0，3）在抛物线上，所以 ()()01033a --=，得1a =. ………………6分 ∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+． ………………7分 方法3：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），则其对称轴为2x =.设抛物线的表达式为()22y a x k =-+. ………………4分 将A （1，0），C （0，3）代入，得 0,4 3.a k a k +=⎧⎨+=⎩解得 1,1.a k =⎧⎨=-⎩ ………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+． ………………7分 25．（1）证明：∵ 在⊙O 中，OD ⊥BC 于E ，∴ CE =BE . ………………1分 ∵ CD ∥AB ，∴ ∠DCE =∠B . ………………2分 在△DCE 与△OBE 中,,.DCE B CE BE CED BEO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △DCE ≌ △OBE （ASA ）. ∴ DE =OE .∴ E 为OD 的中点． ………………4分（2）解： 连接OC .∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACB =90°.∵ OD ⊥BC ，∴ ∠CED =90°=∠ACB .∴ AC ∥OD . ………………5分 ∵ CD ∥AB ，∴ 四边形CAOD 是平行四边形. ∵ E 是OD 的中点，CE ⊥OD ， ∴ OC =CD . ∵ OC =OD ， ∴ OC =OD =CD .∴ △OCD 是等边三角形.∴ ∠D =60°. ………………6分 ∴ ∠DCE =90°-∠D =30°. ∴ 在Rt △CDE 中，CD =2DE .ABAB∵ BC =6， ∴ CE =BE =3.∵ 22224CE DE CD DE +==，∴ DE CD =.∴ OD CD ==∴ CAOD S OD CE =⋅=四边形………………7分26．（1）（2，0）； ………………2分 （2）点D 在直线l 上，理由如下： 直线l 的表达式为2(0)y kx k k =->，∵ 当2x =时，220y k k =-=， ………………3分 ∴ 点D （2，0）在直线l 上． ………………4分注：如果只有结论正确，给1分.（3）如图，不妨设点P 在点Q 左侧.由题意知：要使得124x x =+成立，即是要求点P 与点Q 关于直线2x =对称.又因为 函数244y x x =-+的图象关于直线2x =对称，所以 当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，即要求点Q 在244(2,13)y x x x y =-+><<的图象上. ………………6分根据图象，临界位置为射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与1y =的交点(3,1)A 处，以及射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与3y =的交点(2B 处.此时1k =以及k =k的取值范围是1k << (8)分27．（1）① 1，② 2±； ………………2分注：错一个得1分.（2）解：设点C 的坐标为（x ，y ）.由于点C 的“引力值”为2，则2x =或2y =，即2x =±，或2y =±. 当2x =时，240y x =-+=，此时点C 的“引力值”为0，舍去； 当2x =-时，248y x =-+=，此时C 点坐标为（-2，8）；当2y =时，242x -+=，解得1x =，此时点C 的“引力值”为1，舍去； 当2y =-时，242x -+=-，3x =，此时C 点坐标为（3，-2）；综上所述，点C 的坐标为（2-，8）或（3，2-）. (5)分注：得出一个正确答案得2分.（3）1d≤≤. (8)分注：答对一边给2分；两端数值正确，少等号给2分；一端数值正确且少等号给1分.28．（1）③；………………1分（2）连接BM，OB，OC，OE.∵ Rt△ABC中，∠ABC=90°，M为AC的中点，∴MA=MB=MC=12AC. ………………2分∴∠A=∠ABM.∵∠A=α，∴∠BMC=∠A+∠ABM=2α.∵点M和点O关于直线BC对称，∴∠BOC=∠BMC=2α. ………………3分∵OC=OB=OE，∴点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上.∴12BEC BOCα∠=∠=. ………………4分（3）12MN BE=，证明如下：连接BM并延长到点F，使BM=MF，连接FD.∵∠A=α，∠ABC=90°，∴∠ACB=90°-∠A=90°-α.∴∠DEC=∠ACB=90°-α.∵∠BEC=α，∴∠BED=∠BEC+∠DEC=90°.∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB=α.∵MB=MC，OMNABDCEBD∴∠MBC=∠ACB=90°-α.∴∠MBE=∠MBC+∠CBE=90°.∴∠MBE+∠BED=180°.∴BF∥DE. ………………6分∵BF=2BM，AC=2BM，∴BF=AC.∵AC=DE，∴BF=DE.∴四边形BFDE是平行四边形. ………………7分∴DF=BE.∵BM=MF，BN=ND，∴MN=12 DF.∴MN =12BE. ………………8分注：如果只有结论正确，给1分.解答题解法不唯一，如有其它解法相应给分.。
2018年-2018年学年北京市海淀区九上期中数学试题整理
2017-2018学年北京市海淀区九上期中数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，2. 把抛物线向上平移个单位长度得到的抛物线的表达式为A. B. C. D.3. 如图，，，是上的三个点．若，则的大小为A. B. C. D.4. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是A. B.C. D.5. 用配方法解方程，下列配方正确的是A. B.C. D.6. 风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么的值可能是A. B. C. D.7. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围是A. B. 或C. 或D.8. 如图，动点从格点出发，在网格平面内运动，设点走过的路程为，点到直线的距离为．已知与的关系如图所示．下列选项中，可能是点的运动路线的是A. B.C. D.二、填空题（共8小题；共40分）9. 点关于原点的对称点的坐标为．10. 写出一个图象开口向上，过点的二次函数的表达式：．11. 如图，四边形内接于，为的延长线上一点．若，则的大小为．12. 抛物线与轴的公共点的个数是．13. 如图，在平面直角坐标系中，点，点的坐标分别为，，将线段绕点顺时针旋转，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为．14. 已知抛物线经过点，，则（填“”，“”，或“”）．15. 如图，的半径与弦交于点，若，，，则的长为．16. 下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：．求作：边上的高．作法：如图，（）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；（）作直线，交于点；（）以为圆心，为半径作，与的延长线交于点，连接．线段即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（共12小题；共156分）17. 解方程：．18. 如图，等边三角形的边长为，是线段上的点，，以为边作等边三角形，连接．求的长．19. 已知是方程的一个根，求的值．20. 如图，在中，．求证：．21. 如图，是一块边长为米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，其中点在边上，点在的延长线上，．设的长为米，改造后苗圃的面积为平方米．（1）与之间的函数关系式为（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，请问此时的长为多少米?22. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得成立?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．23. 古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．以为例，花拉子米的几何解法如下：如图，在边长为的正方形的两个相邻边上作边长分别为和的矩形，再补上一个边长为的小正方形，最终把图形补成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为，从而得到此方程的正根是．24. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的横坐标为，将点绕点旋转，使它的对应点恰好落在轴上（不与点重合）；再将点绕点逆时针旋转得到点．（1）直接写出点和点的坐标；（2）求经过，，三点的抛物线的表达式．25. 如图，为的直径，点在上，过点作交于点，交于点，．（1）求证：为的中点；（2）若，求四边形的面积．26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线．（1）抛物线的顶点的坐标为；（2）请判断点是否在直线上，并说明理由；（3）记函数的图象为，，过点垂直于轴的直线与图象交于，．当时，若存在使得成立，结合图象，求的取值范围．27. 对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：记点到轴的距离为，到轴的距离为，若，则称为点的“引力值”；若，则称为点的“引力值”．特别地，若点在坐标轴上，则点的“引力值”为．例如，到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“引力值”为．（1）① 的“引力值”为；②若的“引力值”为，则的值为；（2）若点在直线上，且点的“引力值”为，求点的坐标；（3）已知是以为圆心，半径为的圆上的一个动点，那么点的“引力值”的取值范围是．28. 在中，斜边的中点关于的对称点为点，将绕点顺时针旋转至，连接，，如图所示．（1）在① ，② ，中，等于旋转角的是（填出满足条件的的角的序号）；（2）若，求的大小（用含的式子表示）；（3）是的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．答案第一部分1. D2. A3. D4. B5. A6. D7. A8. D第二部分9.10. 答案不唯一，例如11.12.13.14.15.. ①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角； 两点确定一条直线第三部分17.所以或所以18. 如图，是等边三角形，，．．是等边三角形，，．．．在和中．．，，．．19. 是方程的一个根，．．原式20. 在中，，．，，在中，，在中，．．21. （1）（或）（2）由题意，原正方形苗圃的面积为平方米，得解得：不合题意舍去答：此时的长为米．22. （1）因为方程有两个不相等的实数根，所以，所以．（2）存在实数使得．，即是说是原方程的一个根，则．解得：或．当时，方程为，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去．所以．23. ；；【解析】通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为，从而得到此方程的正根是．24. （1）点的坐标为，点的坐标为．（2）方法：设抛物线的解析式为．因为它经过，，，则解得所以经过，，三点的抛物线的表达式为．【解析】方法：抛物线经过，，故可设其表达式为．因为在抛物线上，所以，得．所以经过，，三点的抛物线的表达式为．方法：抛物线经过，，则其对称轴为直线．设抛物线的表达式为．将，代入，得解得所以经过，，三点的抛物线的表达式为．25. （1）在中，于点，，，，在和中，，，为的中点．（2）连接，如图．是的直径，，，，，，四边形是平行四边形，是的中点，，，，，是等边三角形，，，在中，，，，，，，，．四边形26. （1）（2）点在直线上，理由如下：直线的表达式为，当时，，在直线上．（3）如图，不妨设点在点左侧．由题意知：要使得成立，即是要求点与点关于直线对称．又函数的图象关于直线对称，当时，若存在使得成立，即要求点在的图象上．根据图象，临界位置为射线过与的交点处，以及射线过与的交点处．此时以及，故的取值范围是．27. （1）；（2）设点的坐标为，由于点的“引力值”为，则或，即或，当时，，此时点的“引力值”为，舍去；当时，，此时点坐标为；当时，，解得，此时点的“引力值”为，舍去，当时，，，此时点坐标为；综上所述，点的坐标为或．（3）28. （1）（2）连接，，，，如图，中，，为的中点，．．，．点和点关于直线对称，．，点，，在以为圆心，为半径的圆上．．（3），证明如下：连接并延长到点，使，连接，如图，，，．．，．，．，．．．．，，．，．四边形是平行四边形．．，，．．。
2017-2018学年北京市海淀区九年级上期中数学试题含答案
第 1 页 共 14 页初三第一学期期中学业水平调研数学2017.11学校班级___________姓名成绩 一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．一元二次方程3610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，6，1B ．3，6，1-C ．3，6-，1D ．3，6-，1-2．把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．21y x =-+D ．21y x =--3．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C =35°，则∠AOB 的 大小为 A ．35° B ．55° C ．65° D ．70° 4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是A B C D 5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是 A ．()222x -= B．()222x +=C ．()222x -=-D ．()226x -=6．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．120第 1 页 共 14 页7．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是A ．30x -<<B ．3x <-或0x >C ．3x <-或1x >D ．03x <<8．如图1，动点P 从格点A 出发，在网格平面内运动，设点P 走过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d . 已知d 与s 的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P 的运动路线的是A B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P （1-，2）关于原点的对称点的坐标为________． 10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：________．11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 的延长线上一点． 若∠B =110°，则∠ADE 的大小为________． 12．抛物线21y x x =--与x 轴的公共点的个数是________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别 为（0，2），（1-，0），将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若点A 的对应点A '的坐标为（2，0），则点B 的对应点B '的 坐标为________．14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4)y -，，2(1)y ，，则1y ________2y （填“＞”，“=”，或“＜”）．15．如图，⊙O 的半径OA 与弦BC 交于点D ，若OD =3，AD =2， BD =CD ，则BC 的长为________．lllll。
学年北京市海淀区九年级上期中数学试卷
2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（2分）抛物线21y x=+的对称轴是()A．直线1y=x=-B．直线1x=D．直线1x=C．直线02．（2分）点(2,1)P-关于原点对称的点P'的坐标是()A．(2,1)--B．(2,1)--C．(1,2)-D．(1,2)3．（2分）下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是()A．B．C．D．4．（2分）用配方法解方程2240--=，配方正确的是()x xA．2x-=D．2(1)3x+=(1)5x-=C．2(1)3x-=B．2(1)45．（2分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2 ，小圆半径为 1 ，则AB的长为()A ．23B ．22C ．5D ．26．（2分）将抛物线2=+-向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为(y x(1)2)A．1-B．1C．2-D．27．（2分）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90︒后能与原来的图案重合的是() A．B．C．D ．8．（2分）已知一个二次函数图象经过11(3,)P y -，22(1,)Py -，33(1,)P y ，44(3,)P y 四点，若324y y y <<，则1y ，2y ，3y ，4y 的最值情况是( )A ．3y 最小，1y 最大B ．3y 最小，4y 最大C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）写出一个以0和2为根的一元二次方程： ．10．（2分）若二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则ac 0（填“>”或“=”或“<” )． 11．（2分）若关于x 的方程2410x x k -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．12．（2分）如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为直径CD 延长线上一点，且//AB CD ，若70C ∠=︒，则ADE ∠的大小为 ．13．（2分）已知O 为ABC ∆的外接圆圆心，若O 在ABC ∆外，则ABC ∆是 （填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形” )． 14．（2分）在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x ，依题意，可列方程为 ．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)，(3,0)两点，请写出一个满足0y <的x 的值 ．16．（2分）如图，O 的动弦AB ，CD 相交于点E ，且AB CD =，(090)BED αα∠=︒<<︒．在①BOD α∠=，①90OAB α∠=︒-，①12ABC α∠=中，一定成立的是 （填序号）．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）17．（5分）解方程：(2)36x x x +=+．18．（5分）如图，将ABC ∆绕点B 旋转得到DBE ∆，且A ，D ，C 三点在同一条直线上．求证：DB 平分ADE ∠． 19．（5分）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程． 已知：O ．求作：O 的内接正三角形． 作法：如图， ①作直径AB ；①以B 为圆心，OB 为半径作弧，与O 交于C ，D 两点； ①连接AC ，AD ，CD ． 所以ACD ∆就是所求的三角形． 根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明：证明：在O 中，连接OC ，OD ，BC ，BD ， OC OB BC ==，OBC ∴∆为等边三角形( )（填推理的依据）． 60BOC ∴∠=︒．180120AOC BOC ∴∠=︒-∠=︒．同理120AOD ∠=︒，120COD AOC AOD ∴∠=∠=∠=︒．(AC CD AD ∴== )（填推理的依据）． ACD ∴∆是等边三角形．20．（5分）已知1-是方程20x ax b +-=的一个根，求222a b b -+的值．21．（5分）生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O 为圆心AB 为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A 到顶棚的距离为0.8a ，顶棚到路面的距离是3.2a ，点B 到路面的距离为2a ．请你求出路面的宽度l ．（用含a 的式子表示）22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x ax b =++经过点(2,0)A -，(1,3)B -．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C ，直接写出点C 的坐标和BOC ∠的度数．23．（6分）如图，用长为6m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y 2m （铝合金条的宽度不计）． （1）求出y 与x 的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24．（6分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作O 交BC 于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ． （1）求证：DE 与O 相切；（2）若CD BF =，3AE =，求DF 的长． 25．（6分）有这样一个问题：探究函数|3|32x x y -++=的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数|3|32x x y -++=的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当3x 时，y = ，当3x <时y = ； （2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数|3|32x x y -++=的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x 的方程|3|312x x ax -+++=只有一个实数根，直接写出实数a 的取值范围： ．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y ax x a =-≠与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）． （1）当1a =-时，求A ，B 两点的坐标；（2）过点(3,0)P 作垂直于x 轴的直线l ，交抛物线于点C ． ①当2a =时，求PB PC +的值；①若点B 在直线l 左侧，且14PB PC +，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围． 27．（7分）已知MON α∠=，P 为射线OM 上的点，1OP =．（1）如图1，60α=︒，A ，B 均为射线ON 上的点，1OA =，OB OA >，PBC ∆为等边三角形，且O ，C 两点位于直线PB 的异侧，连接AC ．①依题意将图1补全；①判断直线AC 与OM 的位置关系并加以证明；（2）若45α=︒，Q 为射线ON 上一动点(Q 与O 不重合），以PQ 为斜边作等腰直角PQR ∆，使O ，R 两点位于直线PQ 的异侧，连接OR ．根据（1）的解答经验，直接写出POR ∆的面积．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 是x 轴外的一点，若平面内的点B 满足：线段AB 的长度与点A 到x 轴的距离相等，则称点B 是点A 的“等距点”．（1）若点A 的坐标为(0,2)，点1(2,2)P ，2(1,4)P -，3(P ，1)中，点A 的“等距点”是 ； （2）若点(1,2)M 和点(1,8)N 是点A 的两个“等距点”，求点A 的坐标；（3）记函数(0)y x =>的图象为L ，T 的半径为2，圆心坐标为(0,)T t ．若在L 上存在点M ，T 上存在点N ，满足点N 是点M 的“等距点”，直接写出t 的取值范围．2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置． 1．（2分）抛物线21y x =+的对称轴是( ) A ．直线1x =-B ．直线1x =C ．直线0x =D ．直线1y =【解答】解：抛物线21y x =+，∴抛物线对称轴为直线0x =，即y 轴，故选：C ．2．（2分）点(2,1)P -关于原点对称的点P '的坐标是( ) A ．(2,1)-B ．(2,1)--C ．(1,2)-D ．(1,2)-【解答】解：点(2,1)P -关于原点对称的点P '的坐标是(2,1)-， 故选：A ．3．（2分）下列App 图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．此图案是轴对称图形，不符合题意；B ．此图案既不是中心对称图形也不是轴对称图形，符合题意；C ．此图案是轴对称图形，不符合题意；D ．此图案是中心对称图形，不符合题意；故选：B ．4．（2分）用配方法解方程2240x x --=，配方正确的是( ) A ．2(1)3x -= B ．2(1)4x -=C ．2(1)5x -=D ．2(1)3x +=【解答】解：2240x x --=故选：C ．5．（2分）如图， 以O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB 是小圆的切线， 点P 为切点 ． 若大圆半径为 2 ，小圆半径为 1 ，则AB 的长为( )A ．B ．CD ． 2【解答】解： 如图： 连接OP ，AOAB 是O 切线OP AB ∴⊥，在Rt APO ∆中，AP ==故选：A ．6．（2分）将抛物线2(1)2y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为() A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：新抛物线的解析式为：22(1)221y x a x x a =+-+=+-+， 新抛物线恰好与x 轴有一个交点，∴①44(1)0a =--+=，解得2a =． 故选：D ．7．（2分）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90︒后能与原来的图案重合的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．此图案绕中心旋转36︒或36︒的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；B ．此图案绕中心旋转45︒或45︒的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；C ．此图案绕中心旋转60︒或60︒的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；D ．此图案绕中心旋转72︒或72︒的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；故选：B ．8．（2分）已知一个二次函数图象经过11(3,)P y -，22(1,)Py -，33(1,)P y ，44(3,)P y 四点，若324y y y <<，则1y ，2y ，3y ，4y 的最值情况是( )A ．3y 最小，1y 最大B ．3y 最小，4y 最大C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定【解答】解：二次函数图象经过11(3,)P y -，22(1,)Py -，33(1,)P y ，44(3,)P y 四点，且324y y y <<， ∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，11(3,)P y ∴-离对称轴的距离最大，33(1,)P y 离对称轴距离最小， 3y ∴最小，1y 最大，故选：A ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）写出一个以0和2为根的一元二次方程： 220x x -= ．【解答】解：022+=，020⨯=，所以以0和2为根的一元二次方程为220x x -=， 故答案为：220x x -=．10．（2分）若二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则ac < 0（填“>”或“=”或“<” )． 【解答】解：抛物线的开口向下， 0a ∴<，与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上， 0c ∴>， 0ac ∴<．故答案为<．11．（2分）若关于x 的方程2410x x k -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 5k < ． 【解答】解：根据题意得①2(4)4(1)0k =--->， 解得5k <． 故答案为5k <．12．（2分）如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为直径CD 延长线上一点，且//AB CD ，若70C ∠=︒，则ADE ∠的大小为 110︒ ．【解答】解：70C ∠=︒，//AB CD ， 110ADE ∴∠=︒．故答案为：110︒．13．（2分）已知O 为ABC ∆的外接圆圆心，若O 在ABC ∆外，则ABC ∆是 钝角三角形 （填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形” )．【解答】解：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．又O 为ABC ∆的外接圆圆心，若O 在ABC ∆外， ABC ∴∆是钝角三角形，故答案为钝角三角形．14．（2分）在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x ，依题意，可列方程为 245.1(1)172.9x += ． 【解答】解：设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x ， 根据题意得：245.1(1)172.9x +=． 故答案为：245.1(1)172.9x +=．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)，(3,0)两点，请写出一个满足0y <的x 的值 2（答案不唯一） ．【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)，(3,0)两点，∴当0y <的x 的取值范围是：13x <<，x ∴的值可以是2．故答案是：2（答案不唯一）．16．（2分）如图，O 的动弦AB ，CD 相交于点E ，且AB CD =，(090)BED αα∠=︒<<︒．在①BOD α∠=，①90OAB α∠=︒-，①12ABC α∠=中，一定成立的是 ①① （填序号）．【解答】解：如图，连接OC ，设OB 交CD 于K ． AB CD =，OD OC OB OA ===，()AOB COD SSS ∴∆≅∆， CDO OBA ∴∠=∠， DKO BKE ∠=∠， DOK BEK α∴∠=∠=，即BOD α∠=，故①正确， 不妨设，90OAB α∠=︒-， OA OB =， OAB OBA ∴∠=∠， 90OBE BEK ∴∠+∠=︒， 90BKE ∴∠=︒，OB CD ∴⊥，显然不可能成立，故①错误， CD AB =，∴CB CD =，∴BD AC =，1122ABC DOB α∴∠=∠=，故①正确．故答案为①①．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）17．（5分）解方程：(2)36x x x +=+． 【解答】解：(2)3(2)0x x x +-+=， (2)(3)0x x +-=， 20x +=或30x -=，所以12x =-，23x =．18．（5分）如图，将ABC ∆绕点B 旋转得到DBE ∆，且A ，D ，C 三点在同一条直线上．求证：DB 平分ADE ∠． 【解答】证明：将ABC ∆绕点B 旋转得到DBE ∆，BA BD ∴=． A ADB ∴∠=∠． A BDE ∠=∠， ADB BDE ∴∠=∠． DB ∴平分ADE ∠．19．（5分）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程． 已知：O ．求作：O 的内接正三角形． 作法：如图， ①作直径AB ；①以B 为圆心，OB 为半径作弧，与O 交于C ，D 两点； ①连接AC ，AD ，CD ． 所以ACD ∆就是所求的三角形． 根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明：证明：在O 中，连接OC ，OD ，BC ，BD ， OC OB BC ==，OBC ∴∆为等边三角形( 三条边都相等的三角形是等边三角形 )（填推理的依据）． 60BOC ∴∠=︒．180120AOC BOC ∴∠=︒-∠=︒．同理120AOD ∠=︒，120COD AOC AOD ∴∠=∠=∠=︒．(AC CD AD ∴== )（填推理的依据）． ACD ∴∆是等边三角形．【解答】（1）解：如图，ACD ∆为所作；（2）证明：在O 中，连接OC ，OD ，BC ，BD ， OC OB BC ==，OBC ∴∆为等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）． 60BOC ∴∠=︒．180120AOC BOC ∴∠=︒-∠=︒．同理120AOD ∠=︒，120COD AOC AOD ∴∠=∠=∠=︒．AC CD AD ∴==（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等）， ACD ∴∆是等边三角形．故答案为三条边都相等的三角形是等边三角形；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等．20．（5分）已知1-是方程20x ax b +-=的一个根，求222a b b -+的值． 【解答】解：1-是方程20x ax b +-=的一个根，10a b ∴--=， 1a b ∴+=，222()()221a b b a b a b b a b b a b ∴-+=+-+=-+=+=．21．（5分）生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O 为圆心AB 为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A 到顶棚的距离为0.8a ，顶棚到路面的距离是3.2a ，点B 到路面的距离为2a ．请你求出路面的宽度l ．（用含a 的式子表示）【解答】解：如图，连接OC ，AB 交CD 于E ，由题意知：0.8 3.226AB a a a a =++=， 所以3OC OB a ==，32OE OB BE a a a =-=-=，由题意可知：AB CD ⊥，AB 过O ，2CD CE ∴=，在Rt OCE ∆中，由勾股定理得：CE ===，2CD CE ∴==，所以路面的宽度l 为．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x ax b =++经过点(2,0)A -，(1,3)B -． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C ，直接写出点C 的坐标和BOC ∠的度数． 【解答】解：（1）抛物线2y x ax b =++经过点(2,0)A -，(1,3)B -， ∴42013a b a b -+=⎧⎨-+=-⎩， 解得68a b =⎧⎨=⎩，268y x x ∴=++． （2）2268(3)1y x x x =++=+-，∴顶点C 坐标为(3,1)--，(1,3)B -．2221310OB ∴=+=，2223110OC =+=，222[(3)(1)](13)20BC =---+--=， 222OB OC BC ∴+=，则OBC ∆是以BC 为斜边的直角三角形， 90BOC ∴∠=︒．23．（6分）如图，用长为6m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y 2m （铝合金条的宽度不计）． （1）求出y 与x 的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【解答】解：（1）大长方形的周长为6m ，宽为xm ，∴长为632xm -， 2(63)33(02)22x y xx x x -∴==-+<<， （2）由（1）可知：y 和x 是二次函数关系， 302a =-<，∴函数有最大值，当3132()2x=-=⨯-时，232y m=最大．答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为21.5m．24．（6分）如图，在ABC∆中，AB AC=，以AB为直径作O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC 于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与O相切；（2）若CD BF=，3AE=，求DF的长．【解答】（1）证明：连接OD，AB是O的直径，90ADB∴∠=︒，AD BC∴⊥，又AB AC=，12∴∠=∠，OA OD=，2ADO∴∠=∠，1ADO∴∠=∠，//OD AC∴，DE AC⊥，90ODF AED∴∠=∠=︒，OD ED∴⊥，OD过0，DE∴与O相切；（2）解：AB AC=，AD BC⊥，12∴∠=∠，CD BD=，CD BF=，BF BD ∴=，3F ∴∠=∠，4323F ∴∠=∠+∠=∠，OB OD =， 423ODB ∴∠=∠=∠， 90ODF ∠=︒，330F ∴∠=∠=︒，460ODB ∠=∠=︒， 90ADB ∠=︒， 2130∴∠=∠=︒，2F ∴∠=∠， DF AD ∴=，130∠=︒，90AED ∠=︒，2AD ED ∴=，222AE DE AD +=，3AE =，AD ∴=，DF ∴=25．（6分）有这样一个问题：探究函数|3|32x x y -++=的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数|3|32x x y -++=的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当3x 时，y = x ，当3x <时y = ；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数|3|32x x y -++=的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x 的方程|3|312x x ax -+++=只有一个实数根，直接写出实数a 的取值范围： ． 【解答】解：（1）当3x 时，|3|33322x x x x y x -++-++===；当3x <时，|3|333322x x x x y -++-++===；故答案为x ，3；（2）根据（1）中的结果，画出函数|3|32x x y -++=的图象如下：（3）根据画出的函数图象，当0a <时，直线1y ax =+与函数|3|32x x y -++=只有一个交点；当1a 时，直线1y ax =+与函数3(3)y x =<的图象有一个交点，与函数(3)y x x =无交点；当23a =时，直线213y x =+经过点(3,3)． 故若关于x 的方程|3|312x x ax -+++=只有一个实数根，实数a 的取值范围：0a <或1a 或23a =，故答案为0a <或1a 或23a =． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y ax x a =-≠与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）． （1）当1a =-时，求A ，B 两点的坐标；（2）过点(3,0)P 作垂直于x 轴的直线l ，交抛物线于点C ． ①当2a =时，求PB PC +的值；①若点B 在直线l 左侧，且14PB PC +，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =-时，有22y x x =--． 令0y =，得：220x x --=． 解得10x =，22x =-． 点A 在点B 的左侧， (2,0)A ∴-，(0,0)B ．（2）①当2a =时，有222y x x =-． 令0y =，得2220x x -=． 解得10x =，21x =． 点A 在点B 的左侧， (0,0)A ∴，(1,0)B ．2PB ∴=．当3x =时，292312C y =⨯-⨯=． 12PC ∴=． 14PB PC ∴+=．①点B 在直线l 左侧，14PB PC +，23214x ax x ∴-+-，可得：59a -或2a ， 结合图象和①的结论，可得：0a >时，2a ， 0a <时，59a -． 27．（7分）已知MON α∠=，P 为射线OM 上的点，1OP =．（1）如图1，60α=︒，A ，B 均为射线ON 上的点，1OA =，OB OA >，PBC ∆为等边三角形，且O ，C 两点位于直线PB 的异侧，连接AC ． ①依题意将图1补全；①判断直线AC 与OM 的位置关系并加以证明；（2）若45α=︒，Q 为射线ON 上一动点(Q 与O 不重合），以PQ 为斜边作等腰直角PQR ∆，使O ，R 两点位于直线PQ 的异侧，连接OR ．根据（1）的解答经验，直接写出POR ∆的面积． 【解答】解：（1）①如图所示： ①结论：//AC OM ．． 理由：连接AP1OA OP ==，60POA ∠=︒， OAP ∴∆是等边三角形．OP PA ∴=，60OPA OAP ∠=∠=︒，PBC ∆是等边三角形， PB PC ∴=，60BPC ∠=︒， OPA APB BPC APB ∴∠+∠=∠+∠，即OPB APC ∠=∠， ()OBP ACP SAS ∴∆≅∆． 60PAC O ∴∠=∠=︒， OPA PAC ∴∠=∠， //AC OM ∴．（2）作PH OQ ⊥于H ，取PQ 的中点K ，连接HK ，RK ． 90PHQ PRQ ∠=∠=︒，PK KQ =， HK PK KQ RK ∴===，P ∴，R ，Q ，H 四点共圆，45RHQ RPQ ∴∠=∠=︒， 45RHQ POQ ∴∠=∠=︒， //RH OP ∴，1124POR POH S S ∆∆∴===． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 是x 轴外的一点，若平面内的点B 满足：线段AB 的长度与点A 到x 轴的距离相等，则称点B 是点A 的“等距点”．（1）若点A 的坐标为(0,2)，点1(2,2)P ，2(1,4)P -，3(P ，1)中，点A 的“等距点”是 1P ，3P ； （2）若点(1,2)M 和点(1,8)N 是点A 的两个“等距点”，求点A 的坐标；（3）记函数(0)y x =>的图象为L ，T 的半径为2，圆心坐标为(0,)T t ．若在L 上存在点M ，T 上存在点N ，满足点N 是点M 的“等距点”，直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）1202AP =-=，2AP =32AP， ∴点A 的“等距点”是1P ，3P ．故答案为：1P ，3P ．（2）点(1,2)M 和点(1,8)N 是点A 的两个“等距点”， AM AN ∴=，∴点A 在线段MN 的垂直平分线上．设MN 与其垂直平分线交于点C ，点A 的坐标为(,)m n ，如图1所示． 点(1,2)M ，点(1,8)N ，∴点C 的坐标为(1,5)，5AM AN n ===，3CM ∴=，4AC =， 143m ∴=-=-或145m =+=，∴点A 的坐标为(3,5)-或(5,5)．（3）依照题意画出图象，如图2所示． ①当1T 过点O 时，1T 与L 没有交点，1T 的半径为2，∴此时点1T 的坐标为(0,2)-；①当2T 上只有一个点M 的“等距点”时，过点2T 作2T M ⊥图象L 于点M ，交2T 于点N ，过点M 作MD x ⊥轴于点D ，图象L 的解析式为(0)y x =>， 60MOT ∴∠=︒，230OT M ∠=︒．点2T 的坐标为(0,)t ，12OM t ∴=，1124DM OM t ==，2T M ．由“等距点”的定义可知：22MN T M T N DM =-=124t -=，解得：163811t+ =．综上所述：t的取值范围为1638211t+-<．更多资料，访问微博。
2018-2019学年北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷含答案解析
2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（2分）（2019•武汉模拟）抛物线y＝x2+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝0D．直线y＝1 2．（2分）（2018秋•门头沟区期末）点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）3．（2分）（2018秋•海淀区期中）下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）（2018秋•海淀区期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝3B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝5D．（x+1）2＝3 5．（2分）（2018秋•上杭县期末）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A．2B．2C．D．26．（2分）（2018秋•克东县期末）将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．27．（2分）（2018秋•槐荫区期末）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（）A．B．C．D．8．（2分）（2018秋•海淀区期中）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018秋•海淀区期中）写出一个以0和2为根的一元二次方程：．10．（2分）（2001•济南）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac0（填“＞”或“＝”或“＜”）．11．（2分）（2018秋•海淀区期中）若关于x的方程x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C＝70°，则∠ADE的大小为．13．（2分）（2018秋•海淀区期中）已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．14．（2分）（2018秋•海淀区期中）在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，依题意，可列方程为．15．（2分）（2018秋•冷水江市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值．16．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABCα中，一定成立的是（填序号）．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）17．（5分）（2018秋•海淀区期中）解方程：x（x+2）＝3x+6．18．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C 三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．19．（5分）（2018秋•上杭县期末）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正三角形．作法：如图，①作直径AB；②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC为等边三角形（）（填推理的依据）．∴∠BOC＝60°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝120°．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（）（填推理的依据）．∴△ACD是等边三角形．20．（5分）（2018秋•海淀区期中）已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．21．（5分）（2018秋•海淀区期中）生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）22．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax+b 经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C，直接写出点C的坐标和∠BOC的度数．23．（6分）（2016秋•东丽区期末）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24．（6分）（2018秋•海淀区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．25．（6分）（2018秋•海淀区期中）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥3时，y＝，当x＜3时y＝；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：．26．（6分）（2018秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）当a＝﹣1时，求A，B两点的坐标；（2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．①当a＝2时，求PB+PC的值；②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．27．（7分）（2018秋•海淀区期中）已知∠MON＝α，P为射线OM上的点，OP＝1．（1）如图1，α＝60°，A，B均为射线ON上的点，OA＝1，OB＞OA，△PBC为等边三角形，且O，C两点位于直线PB的异侧，连接AC．①依题意将图1补全；②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明；（2）若α＝45°，Q为射线ON上一动点（Q与O不重合），以PQ为斜边作等腰直角△PQR，使O，R两点位于直线PQ的异侧，连接OR．根据（1）的解答经验，直接写出△POR的面积．28．（7分）（2018秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外的一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等，则称点B是点A的“等距点”．（1）若点A的坐标为（0，2），点P1（2，2），P2（1，﹣4），P3（，1）中，点A 的“等距点”是；（2）若点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，求点A的坐标；（3）记函数y x（x＞0）的图象为L，⊙T的半径为2，圆心坐标为T（0，t）．若在L上存在点M，⊙T上存在点N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出t的取值范围．2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（2分）（2019•武汉模拟）抛物线y＝x2+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝0D．直线y＝1【解答】解：∵抛物线y＝x2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝0，即y轴，故选：C．2．（2分）（2018秋•门头沟区期末）点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）【解答】解：点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，1），故选：A．3．（2分）（2018秋•海淀区期中）下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．此图案是轴对称图形，不符合题意；B．此图案既不是中心对称图形也不是轴对称图形，符合题意；C．此图案是轴对称图形，不符合题意；D．此图案是中心对称图形，不符合题意；故选：B．4．（2分）（2018秋•海淀区期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝3B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝5D．（x+1）2＝3【解答】解：∵x2﹣2x﹣4＝0∴x2﹣2x＝4∴x2﹣2x+1＝4+1∴（x﹣1）2＝5故选：C．5．（2分）（2018秋•上杭县期末）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A．2B．2C．D．2【解答】解：如图：连接OP，AO∵AB是⊙O切线∴OP⊥AB，∴AP＝PB AB在Rt△APO中，AP∴AB＝2故选：A．6．（2分）（2018秋•克东县期末）将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【解答】解：新抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣2+a＝x2+2x﹣1+a，∵新抛物线恰好与x轴有一个交点，∴△＝4﹣4（﹣1+a）＝0，解得a＝2．故选：D．7．（2分）（2018秋•槐荫区期末）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．此图案绕中心旋转36°或36°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；B．此图案绕中心旋转45°或45°的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；C．此图案绕中心旋转60°或60°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；D．此图案绕中心旋转72°或72°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；故选：B．8．（2分）（2018秋•海淀区期中）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定【解答】解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，∴y3最小，y1最大，故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018秋•海淀区期中）写出一个以0和2为根的一元二次方程：x2﹣2x＝0．【解答】解：∵0+2＝2，0×2＝0，所以以0和2为根的一元二次方程为x2﹣2x＝0，故答案为：x2﹣2x＝0．10．（2分）（2001•济南）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac＜0（填“＞”或“＝”或“＜”）．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0．故答案为＜．11．（2分）（2018秋•海淀区期中）若关于x的方程x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜5．【解答】解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）＞0，解得k＜5．故答案为k＜5．12．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C＝70°，则∠ADE的大小为110°．【解答】解：∵∠C＝70°，AB∥CD，∴∠B＝110°∴∠ADE＝110°．故答案为：110°．13．（2分）（2018秋•海淀区期中）已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是钝角三角形（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．【解答】解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，∴△ABC是钝角三角形，故答案为钝角三角形．14．（2分）（2018秋•海淀区期中）在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，依题意，可列方程为45.1（1+x）2＝172.9．【解答】解：设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，根据题意得：45.1（1+x）2＝172.9．故答案为：45.1（1+x）2＝172.9．15．（2分）（2018秋•冷水江市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值2（答案不唯一）．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，∴当y＜0的x的取值范围是：1＜x＜3，∴x的值可以是2．故答案是：2（答案不唯一）．16．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABCα中，一定成立的是①③（填序号）．【解答】解：如图，连接OC，设OB交CD于K．∵AB＝CD，OD＝OC＝OB＝OA，∴△AOB≌△COD（SSS），∴∠CDO＝∠OBA，∵∠DKO＝∠BKE，∴∠DOK＝∠BEK＝α，即∠BOD＝α，故①正确，不妨设，∠OAB＝90°﹣α，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBE+∠BEK＝90°，∴∠BKE＝90°，∴OB⊥CD，显然不可能成立，故②错误，∵CD＝AB，∴，∴，∴∠ABC∠DOBα，故③正确．故答案为①③．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）17．（5分）（2018秋•海淀区期中）解方程：x（x+2）＝3x+6．【解答】解：x（x+2）﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x﹣3）＝0，x+2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣2，x2＝3．18．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C 三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．【解答】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，∴△ABC≌△DBE∴BA＝BD．∴∠A＝∠ADB．∵∠A＝∠BDE，∴∠ADB＝∠BDE．∴DB平分∠ADE．19．（5分）（2018秋•上杭县期末）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正三角形．作法：如图，①作直径AB；②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC为等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）（填推理的依据）．∴∠BOC＝60°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝120°．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等）（填推理的依据）．∴△ACD是等边三角形．【解答】（1）解：如图，△ACD为所作；（2）证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC为等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）．∴∠BOC＝60°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝120°．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），∴△ACD是等边三角形．故答案为三条边都相等的三角形是等边三角形；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等．20．（5分）（2018秋•海淀区期中）已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．【解答】解：∵﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，∴1﹣a﹣b＝0，∴a+b＝1，∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1．21．（5分）（2018秋•海淀区期中）生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB＝0.8a+3.2a+2a＝6a，所以OC＝OB＝3a，OE＝OB﹣BE＝3a﹣2a＝a，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD＝2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE2a，∴CD＝2CE＝4a，所以路面的宽度l为4a．22．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax+b 经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C，直接写出点C的坐标和∠BOC的度数．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+ax+b经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3），∴，解得，∴y＝x2+6x+8．（2）∵y＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，∴顶点C坐标为（﹣3，﹣1），∵B（﹣1，3）．∴OB2＝12+32＝10，OC2＝32+12＝10，BC2＝[（﹣3）﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，∴OB2+OC2＝BC2，则△OBC是以BC为斜边的直角三角形，∴∠BOC＝90°．23．（6分）（2016秋•东丽区期末）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．【解答】解：（1）∵大长方形的周长为6m，宽为xm，∴长为m，∴y＝x•（0＜x＜2），（2）由（1）可知：y和x是二次函数关系，a＜0，∴函数有最大值，当x时，y最大m2．答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．24．（6分）（2018秋•海淀区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ADO，∴∠1＝∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∴OD⊥ED，∵OD过0，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，CD＝BD，∵CD＝BF，∴BF＝BD，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠4＝2∠3，∵∠ODF＝90°，∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠2＝∠F，∴DF＝AD，∵∠1＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2ED，∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，∴AD＝2，∴DF＝2．25．（6分）（2018秋•海淀区期中）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥3时，y＝x，当x＜3时y＝3；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：a＜0或a≥1或a．【解答】解：（1）当x≥3时，y x；当x＜3时，y3；故答案为x，3；（2）根据（1）中的结果，画出函数y的图象如下：（3）根据画出的函数图象，当a＜0时，直线y＝ax+1与函数y只有一个交点；当a≥1时，直线y＝ax+1与函数y＝3（x＜3）的图象有一个交点，与函数y＝x（x ≥3）无交点；当a时，直线y x+1经过点（3，3）．故若关于x的方程ax+1只有一个实数根，实数a的取值范围：a＜0或a≥1或a，故答案为a＜0或a≥1或a．26．（6分）（2018秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）当a＝﹣1时，求A，B两点的坐标；（2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．①当a＝2时，求PB+PC的值；②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，有y＝﹣x2﹣2x．令y＝0，得：﹣x2﹣2x＝0．解得x1＝0，x2＝﹣2．∵点A在点B的左侧，∴A（﹣2，0），B（0，0）．（2）①当a＝2时，有y＝2x2﹣2x．令y＝0，得2x2﹣2x＝0．解得x1＝0，x2＝1．∵点A在点B的左侧，∴A（0，0），B（1，0）．∴PB＝2．当x＝3时，y C＝2×9﹣2×3＝12．∴PC＝12．∴PB+PC＝14．②点B在直线l左侧，∵PB+PC≥14，∴3﹣x+ax2﹣2x≥14，可得：a或a≥2，由题意得A（0，0），B（，0）又A在B的左侧，所以a只可能大于0结合图象和①的结论，可得：a＞0时，a≥2，27．（7分）（2018秋•海淀区期中）已知∠MON＝α，P为射线OM上的点，OP＝1．（1）如图1，α＝60°，A，B均为射线ON上的点，OA＝1，OB＞OA，△PBC为等边三角形，且O，C两点位于直线PB的异侧，连接AC．①依题意将图1补全；②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明；（2）若α＝45°，Q为射线ON上一动点（Q与O不重合），以PQ为斜边作等腰直角△PQR，使O，R两点位于直线PQ的异侧，连接OR．根据（1）的解答经验，直接写出△POR的面积．【解答】解：（1）①如图所示：②结论：AC∥OM．．理由：连接AP∵OA＝OP＝1，∠POA＝60°，∴△OAP是等边三角形．∴OP＝P A，∠OP A＝∠OAP＝60°，∵△PBC是等边三角形，∴PB＝PC，∠BPC＝60°，∴∠OP A+∠APB＝∠BPC+∠APB，即∠OPB＝∠APC，∴△OBP≌△ACP（SAS）．∴∠P AC＝∠O＝60°，∴∠OP A＝∠P AC，∴AC∥OM．（2）作PH⊥OQ于H，取PQ的中点K，连接HK，RK．∵∠PHQ＝∠PRQ＝90°，PK＝KQ，∴HK＝PK＝KQ＝RK，∴P，R，Q，H四点共圆，∴∠RHQ＝∠RPQ＝45°，∴∠RHQ＝∠POQ＝45°，∴RH∥OP，∴S△POR＝S△POH．28．（7分）（2018秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外的一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等，则称点B是点A的“等距点”．（1）若点A的坐标为（0，2），点P1（2，2），P2（1，﹣4），P3（，1）中，点A 的“等距点”是P1，P3；（2）若点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，求点A的坐标；（3）记函数y x（x＞0）的图象为L，⊙T的半径为2，圆心坐标为T（0，t）．若在L上存在点M，⊙T上存在点N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）∵AP1＝2﹣0＝2，AP2，AP32，∴点A的“等距点”是P1，P3．故答案为：P1，P3．（2）∵点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，∴AM＝AN，∴点A在线段MN的垂直平分线上．设MN与其垂直平分线交于点C，点A的坐标为（m，n），如图1所示．∵点M（1，2），点N（1，8），∴点C的坐标为（1，5），AM＝AN＝n＝5，∴CM＝3，AC4，∴m＝1﹣4＝﹣3或m＝1+4＝5，∴点A的坐标为（﹣3，5）或（5，5）．（3）依照题意画出图象，如图2所示．①当⊙T1过点O时，⊙T1与L没有交点，∵⊙T1的半径为2，∴此时点T1的坐标为（0，﹣2）；②当⊙T2上只有一个点M的“等距点”时，过点T2作T2M⊥图象L于点M，交⊙T2于点N，过点M作MD⊥x轴于点D，∵图象L的解析式为y x（x＞0），∴∠MOT＝60°，∠OT2M＝30°．∵点T2的坐标为（0，t），∴OM t，DM OM t，T2M t．由“等距点”的定义可知：MN＝T2M﹣T2N＝DM，即t﹣2t，解得：t．综上所述：t的取值范围为﹣2＜t．。
2017-2018学年北京市海淀区九年级上期中数学试题含答案
初三第一学期期中学业水平调研数学2017.11学校班级___________姓名成绩一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应 的位置．题号 答案12 3 4 5 6 7 81．一元二次方程 3x 2 6 x 1 0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A ．3，6，1B ．3，6，1C ．3， 6，1D ．3， 6，12．把抛物线 y x 向上平移 1 个单位长度得到的抛物线的表达式为A ． y x 1C ． yx 1B ． y x 1D ． yx 13．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C =35°，则∠AOB 的C大小为 A ．35° B ．55° C ．65° D ．70° 4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是OA BAB C D5．用配方法解方程 x 2 4 x 2 0 ，配方正确的是A ．x 222B ．x 222C ．x 22D ．x 266．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重 合，那么 n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．1207．二次函数yax 2 bx c与一次函数y mx n的图象如图所示，则满足．． 2 222 2 22ax2bx c mx n的x的取值范围是A．3x 0C．x 3或x 1 8．如图1，动点P从格点AB．x 3或x 0D．0x 3出发，在网格平面内运动，设点P走过的路程为s，点P到直线l的距离为d.已知d与s的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P的运动路线的是l d43A21 l l l lO图1A A A AA B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P（1，2）关于原点的对称点的坐标为________．12345图2s10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：________．A B11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD的延长线上一点．若∠B=110°，则∠ADE的大小为________．OE D C12．抛物线y x2x 1与x轴的公共点的个数是________．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（1，0），将线段AB绕点O顺时针旋转，若y A点A的对应点A的坐标为（2，0），则点B的对应点B 的坐标为________．BO A'x14．已知抛物线y x22x经过点(4，y )，(1，y )12，则y 1________y（填“＞”，“=”，或“＜”）．215．如图，⊙O的半径OA与弦BC交于点D，若OD=3，AD=2，BD=CD，则BC的长为________．OB DAC16．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知△：ABC．AB C 求作：BC边上的高AD．作法：如图，1（1）分别以点A和点C为圆心，大于AC的2长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；A POD Q B C（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是_______________________________________________．三、解答题（本题共72分，第17题4分，第18~23题，每小题5分，第24~25题，每小题7分，第26~ 28题，每小题8分）17．解方程：x24x 30．18．如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是线段BC上的点，CD=2，以AD 为边作等边三角形ADE，连接CE．求CE的长．AEB D C19．已知m 是方程x23x 10的一个根，求m 32m 2m 2的值．20．如图，在⊙O中，AB CD．求证：∠B=∠C．BO C A D21．如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形A EFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃A EFG的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为_____________________（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？A D GEH FB C22．关于x的一元二次方程x22m 1x m210有两个不相等的实数根x,x12．（1）求实数m的取值范围；（2）是否存在实数m，使得x x 012由．成立？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理23．古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．»»以x210x 39为例，花拉子米的几何解法如下：如图，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和x55的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为x xx55x ____239____，从而得到此方程的正根是________．524．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），点P 的横坐标为2，将点A绕点P旋转，使它的对应点B恰好落在x轴上（不与A点重合）；再B绕点O逆时针旋转90°得到点C．（1）直接写出点B和点C的坐标；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式．yPO A x将点25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥BC交BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB=6，求四边形CAOD的面积．C DEA O B26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y x24x 4和直线l：y kx 2k(k 0)．（1）抛物线C的顶点D的坐标为________；（2）请判断点D是否在直线l上，并说明理由；x 2 4x 4，x 2,（3）记函数ykx 2k，x 2的图象为G，点M(0,t)，过点M垂直于y轴的直线与图象G交于点P(x，y )11，Q(x，y)22．当1t 3时，若存在t使得x x124成立，结合图象，求k的取值范围．y6543x27．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d，到y轴的距1离为d2，若d d12，则称d1为点P的“引力值”；若d d12，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．例如，点P（2力值”为2．，3）到x 轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为23，所以点P的“引（1）①点A（1，4）的“引力值”为________；②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为________；（2）若点C在直线y 2x 4y8765432上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；1–4 –3–2–1O–1–2–3–412345678xy8765（3）已知点M是以D（3，4）为圆心，半径为2上的一个动点，那么点M的“引力值”d 4321的圆的取值范围是．–4 –3–2–1O–112345678x–2–3–428．在△R t ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为点O，△将ABC绕点O 顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，如图所示．（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是________（填出满足条件的的角的序号）；（2）若∠A=α，求∠BEC 的大小（用含 α 的式子表示）；（3）点 N 是 BD 的中点，连接 MN ，用等式表示线段 MN 与 BE 之间的数量关系，并证明．ADMNBCEO初三第一学期期中学业水平调研数学参考答案一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）2017．11题号答案1D 2A 3D 4B 5A 6D 7A 8D二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）9．（1，2 ）10．答案不唯一，例如yx211．110°12．213．（0，1）14．＞15．816．①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点 确定一条直线．（注：写出前两个即可给 3 分，写出前两个中的一个得 2 分，其余正确的理由得 1 分）三、解答题（本题共 72 分）17．解法一：解： x2 4 x 4 1，x 221，………………2 分x 21，x11，x3 2．………………4 分解法二：解：x 1x 3，………………2 分x 10或 x 3 0，18．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB =BC =AC ，∠BAC =60°. ∴∠1+∠3=60°.………………1 分 ∵△ADE 是等边三角形，A1 3 2∴AD =AE ，∠DAE =60°.∴∠2+∠3=60°.………………2 分E∴∠1=∠2.在△ABD 与△ACE 中AB AC12 ，BDCAD AE ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）. ∴CE =BD .………………4 分 ∵BC =3，CD =2， ∴BD =BC -CD =1.∴CE =1．………………5 分 19．解：∵m 是方程 x 3 x 1 0的一个根，∴ m 23m 1 0.………………2 分∴ m 2 3m1 .∴原式m 2 6m 9 m 2m 23m 53 ．………………5 分24………………4 分20．方法 1：AB CD ，证明：∵在⊙O 中，∴∠AOB =∠COD .………………2 分 ∵OA =OB ，OC =OD ， 1∴在△AOB 中， B 90 AOB ， 21在△COD 中， C 90COD .………………4 分 2BOCAD∴∠B =∠C ．………………5 分方法 2：证明：∵在⊙O 中， AB CD，∴AB =CD .………………2 分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴△AOB ≌△COD （SSS ）.………………4 分 ∴∠B =∠C ．………………5 分2» »» »）………………3分21．解：（1）y 2x24x 16（或y4x 42x（2）由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得2x24x 1616.解得：x 2，x 0（不合题意，舍去）.………………5分12答：此时BE的长为2米.有两个不相等的实数根，22．解：（1）∵方程x22m 1x m 210∴4，m 124m 218m 80∴m 1．………………2分0.（2）存在实数m使得x x12x x 0，即是说0是原方程的一个根，则m210.………………3分12解得：m 1或m 1.………………4分当m 1时，方程为x20，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去．∴m．………………5分123．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为x 5………………1分23925………………3分从而得到此方程的正根是3．………………5分24．（1）点B的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3）；………………2分（2）方法1：设抛物线的解析式为y ax2bx c. 因为它经过A（1，0），B（3，0），C（0，3），a b c 0,则9a 3b c 0,………………4分c 3.a 1,解得b 4,………………6分c 3.方法2：抛物线经过点A（1，0），B（3，0），故可设其表达式为………………4分因为点C（0，3）在抛物线上，a 01033，得a1.………………6分所以y a(x 1)(x 3)(a 0).∴经过A,B,C三点的抛物线的表达式为y x24x 3．………………7分方法3：抛物线经过点A（1，0），B（3，0），则其对称轴为x 2.设抛物线的表达式为y a x 22k.………………4分将A（1，0），C（0，3）代入，得a k 0, 4a k 3.解得a 1,k 1.………………6分∴经过A,B,C三点的抛物线的表达式为y x24x 3．………………7分25．（1）证明：∵在⊙O中，OD⊥BC于E，∴CE=BE.………………1分∵CD∥AB，∴∠DCE=∠B.………………2分AC DEO B在△DCE与△OBE 中DCE B,CE BE,CED BEO.∴△DCE≌△OBE（ASA）.∴DE=OE.∴E为OD 的中点．………………4分（2）解：连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.∵OD⊥BC，∴∠CED=90°=∠ACB.∴AC∥OD.………………5分AC DEO B∵CD∥AB，∴四边形CAOD 是平行四边形.∵E是OD 的中点，CE⊥OD，∴OC=CD.∵OC=OD，∴OC=OD=CD.∴△OCD是等边三角形.∴∠D=60°.………………6分∴∠DCE=90°-∠D=30°. ∴在△R t CDE中，CD=2DE.∵BC=6，∴CE=BE=3.∵C E2DE2CD24D E2，∴DE 3，C D 23.∴O D CD 23.∴S四边形C AODOD CE 63.………………7分26．（1）（2，0）；………………2分（2）点D 在直线l上，理由如下：直线l 的表达式为y kx 2k(k 0)，∵当x 2时，y 2k 2k 0，………………3分∴点D（2，0）在直线l 上．………………4分注：如果只有结论正确，给1分.（3）如图，不妨设点P在点Q左侧.由题意知：要使得x x 4成立，即是要求点P 与12y 6 5点Q 关于直线x 2对称.又因为函数y x24x 4的图象关于直线x 2对称，所以当1t 3时，若存在t使得x x 4 成立，即要求点Q12在y x24x 4(x 2,1y 3)的图象–2–14321OBP QA123456x上.………………6分根据图象，临界位置为射线y kx 2k(k 0,x 2)过–1–2y x24x 4(x 2)与y 1的交点A(3,1)处，以及射线y kx 2k(k 0,x 2)过y x24x 4(x 2)与y 3的交点B(23,3)处.此时k 1以及k 3，故k的取值范围是1k 3.………………8分27．（1）①1，②2；………………2分注：错一个得1分.（2）解：设点C的坐标为（x，y）.由于点C 的“引力值”为2，则x 2或y 2，即x 2，或y 2.当x 2时，y 2x 40，此时点C的“引力值”为0，舍去；当x2时，y 2x 48，此时C 点坐标为（-2，8）；当y 2时，2x 42，解得x 1，此时点C 的“引力值”为1，舍去；当y 2时，2x 42，x 3，此时C 点坐标为（3，-2）；综上所述，点C的坐标为（2，8）或（3，2）.………………5分注：得出一个正确答案得2 分.（3）1d 772.………………8分注：答对一边给2分；两端数值正确，少等号给2分；一端数值正确且少等号给1分.28．（1）③；………………1分（2）连接BM，OB，OC，OE.∵△R t ABC中，∠ABC=90°，M为AC的中点，1∴MA=MB=MC=AC.………………2分2∴∠A=∠ABM.∵∠A=α，∴∠BMC=∠A+∠ABM=2α.∵点M 和点O关于直线BC对称，AMNB CD∴∠BOC=∠BMC=2α.………………3分E ∵OC=OB=OE，∴点C，B，E 在以O 为圆心，OB为半径的圆上.O1∴BEC BOC2.………………4分（3）MN 12BE，证明如下：连接BM并延长到点F，使BM=MF，连接FD.∵∠A=α，∠ABC=90°，∴∠ACB=90°-∠A=90°-α.∴∠DEC=∠ACB=90°-α.A F∵∠BEC=α，D∴∠BED=∠BEC+∠DEC=90°.∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB=α.MN∵MB=MC，B C∴∠MBC=∠ACB=90°-α.∴∠MBE=∠MBC+∠CBE=90°.E ∴∠MBE+∠BED=180°.∴BF∥DE.………………6分∵BF=2BM，AC=2BM，∴BF=AC.∵AC=DE，∴BF=DE.∴四边形BFDE是平行四边形.………………7分∴DF=BE.∵BM=MF，BN=ND，1∴MN=DF.21∴MN=BE.………………8分2O注：如果只有结论正确，给1分.解答题解法不唯一，如有其它解法相应给分.。
北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷
北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（3分）一元二次方程3x2﹣x﹣2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，﹣1，﹣2B．3，1，﹣2C．3，﹣1，2D．3，1，2 2．（3分）里约奥运会后，受到奥运健儿的感召，群众参与体育运动的热度不减，全民健身再次成为了一种时尚，球场上也出现了更多年轻人的身影．请问下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）用配方法解方程x2+6x+2=0，配方正确的是（）A．（x+3）2=9B．（x﹣3）2=9C．（x+3）2=6D．（x+3）2=7 4．（3分）如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．80°5．（3分）将抛物线y=2x2平移后得到抛物线y=2x2+1，则平移方式为（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向上平移1个单位D．向下平移1个单位6．（3分）在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，以BC长为半径作圆，点A与该圆的位置关系为（）A．点A在圆外B．点A在圆内C．点A在圆上D．无法确定7．（3分）若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3πD．4π8．（3分）已知2是关于x的方程x2+ax﹣3a=0的根，则a的值为（）A．﹣4B．4C．2D．9．（3分）给出一种运算：对于函数y=x n，规定y′=nx n﹣1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（）A．x1=4，x2=﹣4B．x1=2，x2=﹣2C．x1=x2=0D．x1=2，x2=﹣210．（3分）太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度l（单位：米）与时刻t（单位：时）的关系满足函数关系l=at2+bt+c （a，b，c是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（）A．12.75B．13C．13.33D．13.5二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）方程x2﹣x=0的解是．12．（3分）请写出一个对称轴为x=3的抛物线的解析式．13．（3分）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是图（填“甲”、“乙”或“丙”），你的根据是．14．（3分）若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是．15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，半径OB的长为3，则AB的长为．16．（3分）CPI指居民消费价格指数，反映居民家庭购买消费商品及服务的价格水平的变动情况．CPI的涨跌率在一定程度受到季节性因素和天气因素的影响．根据北京市2015年与2016年CPI涨跌率的统计图中的信息，请判断2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份比较CPI涨跌率下降最多的月份是月；请根据图中提供的信息，预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是，你的预估理由是．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）解方程：x2+4x=6．18．（5分）求抛物线y=x2﹣2x的对称轴和顶点坐标，并画出图象．19．（5分）如图，A，D是半圆上的两点，O为圆心，BC是直径，∠D=35°，求∠OAC的度数．20．（5分）已知：m2+2m﹣3=0．求证：关于x的方程x2﹣2mx﹣2m=0有两个不相等的实数根．21．（5分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD 绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．22．（5分）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC•AB=AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取2.2）．23．（5分）如图1是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图．如图2，A，B 两点的距离为18米，求这种装置能够喷灌的草坪面积．24．（5分）表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x，y的对应值：x…﹣1﹣0123…y…m﹣1﹣2﹣12…（1）二次函数图象的开口向，顶点坐标是，m的值为；（2）当x＞0时，y的取值范围是；（3）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是．25．（5分）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点F，连接AE．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）过点C作CM⊥AF于M点，若CM=4，BE=6，求AE的长．26．（5分）小华在研究函数y1=x与y2=2x图象关系时发现：如图所示，当x=1时，y1=1，y2=2；当x=2时，y1=2，y2=4；…；当x=a时，y1=a，y2=2a．他得出如果将函数y1=x图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可以得到函数y2=2x的图象．类比小华的研究方法，解决下列问题：（1）如果函数y=3x图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到的函数图象的表达式为；（2）①将函数y=x2图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数y=4x2的图象；②将函数y=x2图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到图象的函数表达式为．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n﹣1的对称轴为x=2．（1）m的值为；（2）若抛物线与y轴正半轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，当△OAB是等腰直角三角形时，求n的值；（3）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个交点，求n的取值范围．28．（7分）在菱形ABCD中，∠BAD=α，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．小宇发现点E的位置，α和β的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．（1）如图1，当α=β=90°时，菱形ABCD是正方形．小宇发现，在正方形中，AC 平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分线的性质可知EM=EN，进而可得△EMF≌△ENB，并由全等三角形的性质得到EB与EF的数量关系为．（2）如图2，当α=60°，β=120°时，①依题意补全图形；②请帮小宇继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明；（3）小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE=γ，若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足（1）中的结论，请直接写出角α，β，γ满足的关系：29．（8分）点P到∠AOB的距离定义如下：点Q为∠AOB的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到∠AOB的距离，记为d（P，∠AOB）．特别的，当点P在∠AOB的边上时，d（P，∠AOB）=0．在平面直角坐标系xOy中，A（4，0）．（1）如图1，若M（0，2），N（﹣1，0），则d（M，∠AOB）=，d（N，∠AOB）=；（2）在正方形OABC中，点B（4，4）．①如图2，若点P在直线y=3x+4上，且d（P，∠AOB）=2，求点P的坐标；②如图3，若点P在抛物线y=x2﹣4上，满足d（P，∠AOB）=2的点P有个，请你画出示意图，并标出点P．北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．A；2．C；3．D；4．B；5．C；6．A；7．B；8．B；9．B；10．C；二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．0或1；12．y=（x﹣3）2（答案不唯一）；13．乙；90°圆周角所对的弦是直径；14．﹣1；15．3；16．8；先减后增；2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，所以预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增；三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．上；（1，﹣2）；2；y≥﹣2；n＞﹣3；25．；26．y=9x；4；y=x2；27．﹣4；28．EB=EF；α+β=180°或°；29．1；1；4；。
北京市海淀区2018-2019学年初三第一学期期中学业水平调研数学精彩试题
△ 是________（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．
14．在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，依题意，可列方程为．
2．点 关于原点对称的点 的坐标是
A． B． C． D．
3．下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是
AB C D
4．用配方法解方程 ，配方正确的是
A． B． C． D．
5．如图，以 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 是小圆的切线，点 为切点.若大圆半径为2，小圆半径为1，则 的长为
A． B．
（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．
24．如图，在△ABC中， ，以 为直径作⊙O交 于点 ，过点 作 的垂线交 于点 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： 与⊙O相切；
（2）若 ， ，求 的长．
25．有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．
所以△ACD就是所求的三角形．
根据小董设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，
∵OC=OB=BC，
∴△OBC为等边三角形（___________）（填推理的依据）．
∴∠BOC=60°．
∴∠AOC=180°-∠BOC=120°．
同理∠AOD=120°，
∴∠COD=∠AOC=∠AOD=1）．
北京市海淀区2018-2019年初三上期中学业水平调研数学试题有答案[精品]
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北京市海淀区初三第一学期期中学业水平调研数 学2018．11学校___________________ 姓名________________ 准考证号__________________一、选择题 （本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置． 1．抛物线21y x =+的对称轴是 A ．直线1x =-B ．直线1x =C ．直线0x =D ．直线1y =2．点(21)P -，关于原点对称的点P '的坐标是 A ．(21)-，B ．(21)--，C ．(12)-，D ．(12)-， 3．下列App 图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是A B C D 4．用配方法解方程2240x x --=，配方正确的是 A ．()213x -=B ．()214x -=C ．()215x -=D ．()213x +=5．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点.若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB 的长为 A ． B ． CD ．26．将抛物线2(1)2y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为A ．1-B ．1C ．2-D ．27．下图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原的图案重合的是A B C D8．已知一个二次函数图象经过11(3)P y -，，22(1)P y -，，33(1)P y ，，44(3)P y ，四点，若324y y y <<，则1234y y y y ，，，的最值情况是 A ．3y 最小，1y 最大 B ．3y 最小，4y 最大 C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．写出一个以0和2为根的一元二次方程：________．10．函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则ac 0．（填“>”，“=”，或“<”）11．若关于x 的方程2410x x k -+-=有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为直径CD 延长线上一点，且AB ∥CD ，若∠C =70°，则∠ADE 的大小为________．13．已知O 为△ABC 的外接圆圆心，若O 在△ABC 外，则△ABC 是________（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．14．在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能汽车保有量年平均增长率为，依题意，可列方程为 ．EC2015年和2017年我国新能源汽车保有量统计图保有量/15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足0y <的x 的值 ．16．如图，⊙O 的动弦AB ，CD 相交于点E ，且AB CD =，BED α∠=(090)α︒<<︒．在①BOD α∠=，②90OAB α∠=︒-，③12ABC α∠=中，一定成立的 是 （填序号）．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）17．解方程：()236x x x +=+．18．如图，将ABC △绕点B 旋转得到DBE △，且A ，D ，C三点在同一条直线上． 求证：DB 平分ADE ∠．EDCBA19．下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.已知：⊙O．求作：⊙O的内接正三角形作法：如图，①作直径AB；②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC=OB=BC，∴△OBC为等边三角形（___________）（填推理的依据）．∴∠BOC=60°．∴∠AOC=180°-∠BOC=120°．同理∠AOD=120°，∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．∴AC=CD=AD（___________）（填推理的依据）．∴△ACD是等边三角形．20．已知1-是方程20+-=的一个根，求222x ax b-+的值．a b b21．生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB 为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x ax b =++经过点()20A -，，()13B -，． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C ，直接写出点C 的坐标和BOC ∠的度数．23．用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x 米，窗户的透光面积为y 平方米（铝合金条的宽度不计）．x 米（1）y 与x 之间的函数关系式为 （不要求写自变量的取值范围）； （2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24．如图，在△ABC 中，AB AC =，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）若CD BF =，3AE =，求DF 的长．25．有这样一个问题：探究函数332x x y -++=的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数332x x y -++=的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当3x ≥时，y =___________，当3x <时y =____________； （2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数332x x y -++=的图象；备用图 （3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x 的方程3312x x ax -+++=只有一个实数根，直接写出实数a 的取值范围：___________________________．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y ax x a =-≠与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．（1）当1a =-时，求A ，B 两点的坐标；（2）过点(30)P ，作垂直于x 轴的直线l ，交抛物线于点C ． ①当2a =时，求PB PC +的值；②若点B 在直线l 左侧，且14PB PC +≥，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．27． 已知∠MON =α，P 为射线OM 上的点，OP =1．（1）如图1，︒=60α，A ，B 均为射线ON 上的点，OA =1，OB >OA ，△PBC 为等边三角形，且O ，C 两点位于直线PB 的异侧，连接AC ．①依题意将图1补全；②判断直线AC 与OM 的位置关系并加以证明；（2）若︒=45α，Q 为射线ON 上一动点（Q 与O 不重合），以PQ 为斜边作等腰直角△PQR ，使O ，R 两点位于直线PQ 的异侧，连接OR ． 根据（1）的解答经验，直接写出△POR 的面积．图1 备用图28．在平面直角坐标系Oy 中，点A 是轴外的一点，若平面内的点B 满足：线段AB 的长度与点A到轴的距离相等，则称点B 是点A 的“等距点”．（1）若点A 的坐标为（0，2），点1P （2，2），2P （1，4-），3P （1）中，点A 的“等距点”是_______________；（2）若点M （1，2）和点N （1，8）是点A 的两个“等距点”，求点A 的坐标；（3）记函数3y x =（0x >）的图象为L ，T 的半径为2，圆心坐标为(0,)T t .若在L 上存在点M ，T 上存在点N ，满足点N 是点M 的“等距点”，直接写出t 的取值范围．初三第一学期期中学业水平调研数 学 参 考 答 案 2018．11一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、 9．220-=x x （答案不唯一） 10．< 11．5<k 12．110°13．钝角三角形 14．245.1(1)172.9+=x 15．2 （答案不唯一）16．①③（注：每写对一个得1分） 三、解答题（本题共68分） 17．解法一：解：(2)3(2)x x x +=+，(2)3(2)0+-+=x x x ，(2)(3)0+-=x x ， 20x +=或30x -=，12=-x ，23x =．解法二：解：方程化为 260x x --=. 2425b ac ∆=-=.152x ±==, 12=-x ，23x =．18．证明：∵ 将△ABC 绕点B 旋转得到△DBE ， ∴△ABC ≌△DBE∴BA=BD ．∴∠A =∠ADB ． ∵∠A =∠BDE ， ∴ ∠ADB =∠BDE ． ∴ DB 平分∠ADE ．19． 解：（1）（2）三条边都相等的三角形是等边三角形．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等．20．解：∵1-是方程20+-=x ax b 的一个根， ∴ 10--=a b ． ∴1+=a b ． ∴222a b b -+()()2a b a b b =+-+2a b b =-+EDCBAa b =+1= ．21．解：如图，连接OC ．由题意知0.8 3.226=++=AB a a a a ．3OC OB a ∴==． ∴=-=OE OB BE a ．由题意可知AB CD ⊥于E ，∴2CD CE =.在Rt OCE △中，===CE ．CD ∴=．22．解：（1）∵抛物线2y x ax b =++经过点(20)(13)A B --，，，， ∴4201 3.a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得68.a b =⎧⎨=⎩，∴268y x x =++．（2）(3,1)C --，90BOC ∠=︒．23．（1）2332=-+y x x ； 注：没有化简不扣分．（2）当31322()2b x a =-=-=⨯-时，y 有最大值24933424()2ac b a --==⨯-． 答：当窗框的高为1米，宽为32米时，窗户的透光面积最大，最大面积为32平方米． 24．（1）证明：连接OD ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ADB ∠=°． ∴AD BC ⊥. 又∵AB AC =， ∴12∠=∠．∵OA OD =， ∴2ADO ∠=∠． ∴1ADO ∠=∠． ∴OD ∥AC ． ∵DE AC ⊥于点E ， ∴=90ODF AED =︒∠∠． ∴OD ⊥ED ． ∴DE 与⊙O 相切． （2）∵AB AC =，AD BC ⊥，∴12∠=∠，CD BD =. ∵CD BF =， ∴=BF BD ． ∴3F =∠∠．∴4323F =∠+∠=∠∠． ∵OB OD =， ∴5=423=∠∠∠． ∵90ODF =︒∠，∴330F ==︒∠∠，4560=∠=︒∠． ∵90ADB =︒∠， ∴2130∠=∠=︒. ∴2F =∠∠． ∴ DF AD =．∵130=︒∠，90AED =︒∠， ∴2AD ED =．∵222AE DEAD +=，3AE =，∴AD = ∴DF =25．（1）化简函数解析式，当3x ≥时，y =，当3x <时y = 3 ； （2）根据（1）中的结果，画出函数332x x y -++=的图象如下：（3）0<a 或1≥a 或23=a ． （注：每得出一个正确范围得1分） 26．（1）当1=-a 时，有22y x x =--．令0y =，得220x x --=． 解得120,2x x ==-． ∵点A 在点B 的左侧， ∴(20)A -，，(00)B ，．（2）①当2=a 时，有222y x x =-．令0y =，得2220x x -=． 解得1201x x ==，． ∵点A 在点B 的左侧， ∴(00)A ，，(10)B ，． ∴2PB =．当3=x 时，292312=⨯-⨯=c y ． ∴12PC =． ∴14PB PC +=． ②59≤-a 或2≥a ． 27．（1）①依题意，将图1补全；NCMPB A O②AC OM ∥．证明：连接AP∵1OA OP ==，︒=60α ，∴△OAP 是等边三角形． ∴=60OP PA OPA OAP ==︒，∠∠． ∵△PBC 是等边三角形， ∴=60PB PC BPC =︒，∠．∴OPA APB BPC APB +=+∠∠∠∠．即OPB APC =∠∠． ∴△OBP ≌△ACP ． ∴60PAC O ==︒∠∠． ∴OPA PAC =∠∠． ∴AC OM ∥．（2）14POR S =△． 28．（1）1P ，3P ；（2）∵点()12M ，和点()18N ，是点A 的两个“等距点” ， ∴AM AN =．∴点A 在线段MN 的垂直平分线上．设MN 与其垂直平分线交于点C ，()A A A x y ，，∴(15)C ，，==5A AM AN y =． ∴=3CM .∴4AC ==．∴点A 的坐标为(35)-，或(55)，． （3）24t -<≤．OABPMCN。
2017-2018学年北京市海淀区九年级上期中数学试题含答案
初三第一学期期中学业水平调研数学2017.11学校班级___________姓名成绩 一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．一元二次方程23610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，6，1B ．3，6，1-C ．3，6-，1D ．3，6-，1-2．把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．21y x =-+D ．21y x =--3．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C =35°，则∠AOB 的 大小为 A ．35° B ．55° C ．65° D ．70° 4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是A B C D 5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是 A ．()222x -=B ．()222x +=C ．()222x -=-D ．()226x -=6．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．1207．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是A ．30x -<<B ．3x <-或0x >C ．3x <-或1x >D ．03x <<8．如图1，动点P 从格点A 出发，在网格平面内运动，设点P 走过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d . 已知d 与s 的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P 的运动路线的是A B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P （1-，2）关于原点的对称点的坐标为________． 10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：________．11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 的延长线上一点． 若∠B =110°，则∠ADE 的大小为________． 12．抛物线21y x x =--与x 轴的公共点的个数是________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别 为（0，2），（1-，0），将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若点A 的对应点A '的坐标为（2，0），则点B 的对应点B '的 坐标为________．14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4)y -，，2(1)y ，，则1y ________2y （填“＞”，“=”，或“＜”）．15．如图，⊙O 的半径OA 与弦BC 交于点D ，若OD =3，AD =2， BD =CD ，则BC 的长为________．lllll16请回答：该尺规作图的依据是_______________________________________________．三、解答题（本题共72分，第17题4分，第18~23题，每小题5分，第24~25题，每小题7分，第26~ 28题，每小题8分） 17．解方程：2430x x -+=．18．如图，等边三角形ABC 的边长为3，点D 是线段BC 上的点，CD =2，以AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE ．求CE 的长．EB D CA19．已知m 是方程2310x x -+=的一个根，求()()()2322m m m -++-的值．20．如图，在⊙O 中，»»AB CD =．求证：∠B =∠C ．21．如图，ABCD 是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG 的形状，其中点E 在AB 边上，点G 在AD 的延长线上，DG =2BE ．设BE 的长为x 米，改造后苗圃AEFG 的面积为y 平方米． （1）y 与x 之间的函数关系式为_____________________（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG 的面积与原正方形苗圃ABCD 的面积相等，请问此时BE 的长为多少米？22．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得120x x =成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．ExyPAO23．古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．以21039x x +=为例，花拉子米的几何解法如下：如图，在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为x 和 5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补 成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()2________39x +=+，从而得到此方程的正根是________．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，0），点P 的横坐标为2，将点A绕点P 旋转，使它的对应点B 恰好落在x 轴上（不与A 点重合）；再将点B 绕点O 逆时针旋转90°得到点C ． （1）直接写出点B 和点C 的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式．25．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点O 作OD ⊥BC 交BC 于点E ，交⊙O 点D ，CD ∥AB ．（1）求证：E 为OD 的中点；（2）若CB =6，求四边形CAOD 的面积．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：244y x x =-+和直线l ：2(0)y kx k k =->．（1）抛物线C 的顶点D 的坐标为________； （2）请判断点D 是否在直线l 上，并说明理由；（3）记函数2442,22x x x y kx k x ⎧-+≤=⎨->⎩，，的图象为G ，点(0,)M t ，过点M 垂直于y 轴的直线与图象G 交于点11()P x y ，，22()Q x y ，．当13t <<时，若存在t 使得124x x =+55 5x x xx 5EC DA O B成立，结合图象，求k 的取值范围．27．对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≤，则称1d 为点P 的“引力值”；若12d d >，则称2d 为点P 的“引力值”．特别地，若点P 在坐标轴上，则点P 的“引力值”为0．例如，点P （2-，3）到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，因为23<，所以点P 的“引力值”为2．（1）①点A （1，4-）的“引力值”为________；②若点B （a ，3）的“引力值”为2，则a 的值为________；（2）若点C 在直线24y x =-+上，且点C 的“引力值”为2，求点C 的坐标；（3）已知点M 是以D （3，4）为圆心，半径为2的圆上的一个动点，那么点M 的“引力值”d 的取值范围是．28．在Rt △ABC 中，斜边AC 的中点M 关于BC 的对称点为点O ，将△ABC 绕点O 顺时针旋转至△DCE ，连接BD ，BE ，如图所示．（1）在①∠BOE ，②∠ACD ，③∠COE 中，等于旋转角的是________（填出满足条件的的角的序号）；（2）若∠A =α，求∠BEC 的大小（用含α的式子表示）；（3）点N 是BD 的中点，连接MN ，用等式表示线段MN 与BE 之间的数量关系，并证明．初三第一学期期中学业水平调研数学参考答案2017．11一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（1，2-） 10．答案不唯一，例如2y x = 11．110° 12．2 13．（0，1）14．＞15．816．①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线．（注：写出前两个即可给3分，写出前两个中的一个得2分，其余正确的理由得1分）三、解答题（本题共72分） 17．解法一：解：2441x x -+=，()221x -=，………………2分ED NMB CA21x -=±，11x =，23x =．………………4分解法二：解：()()130x x --=，………………2分 10x -=或30x -=，11x =，23x =．………………4分 18．解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =BC =AC ，∠BAC =60°. ∴∠1+∠3=60°.………………1分 ∵△ADE 是等边三角形， ∴AD =AE ，∠DAE =60°.∴∠2+∠3=60°.………………2分 ∴∠1=∠2.在△ABD 与△ACE 中12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）. ∴CE =BD .………………4分 ∵BC =3，CD =2， ∴BD =BC -CD =1.∴CE =1．………………5分19．解：∵m 是方程2310x x -+=的一个根，∴2310m m -+=.………………2分 ∴231m m -=-.∴原式22694m m m =-++-………………4分()2235m m =-+3=．………………5分20．方法1：证明：∵在⊙O 中，»»AB CD =， ∴∠AOB =∠COD .………………2分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴在△AOB 中，1902B AOB ∠=︒-∠，在△COD 中，1902C COD ∠=︒-∠.………………4分321EDCBA∴∠B =∠C ．………………5分方法2：证明：∵在⊙O 中，»»AB CD =， ∴AB =CD .………………2分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴△AOB ≌△COD （SSS ）.………………4分 ∴∠B =∠C ．………………5分21．解：（1）22416y x x =-++（或()()442y x x =-+）………………3分（2）由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得2241616x x -++=. 解得：12x =，20x =（不合题意，舍去）.………………5分 答：此时BE 的长为2米. 22．解：（1）∵方程()222110xm x m +-+-=有两个不相等的实数根，∴()()224141880m m m ∆=---=-+>，∴1m <．………………2分 （2）存在实数m 使得120x x =.120x x =，即是说0是原方程的一个根，则210m -=.………………3分解得：1m =-或1m =.………………4分当1m =时，方程为20x =，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去． ∴1m =-．………………5分23．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()25 x +………………1分39 25 =+………………3分从而得到此方程的正根是 3 ．………………5分24．（1）点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3）；………………2分 （2）方法1：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++. 因为它经过A （1，0），B （3，0），C （0，3），则0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩………………4分 解得1,4,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩………………6分∴ 经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分 方法2：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），故可设其表达式为(1)(3)(0)y a x x a =--≠. ………………4分因为点C （0，3）在抛物线上，所以()()01033a --=，得1a =.………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分 方法3：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），则其对称轴为2x =. 设抛物线的表达式为()22y a x k =-+.………………4分 将A （1，0），C （0，3）代入，得0,4 3.a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,1.a k =⎧⎨=-⎩………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分25．（1）证明：∵在⊙O 中，OD ⊥BC 于E ， ∴CE =BE .………………1分 ∵CD ∥AB ，∴∠DCE =∠B .………………2分 在△DCE 与△OBE 中,,.DCE B CE BE CED BEO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DCE ≌△OBE （ASA ）. ∴DE =OE .∴E 为OD 的中点．………………4分（2）解： 连接OC .∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°. ∵OD ⊥BC ， ∴∠CED =90°=∠ACB . ∴AC ∥OD .………………5分 ∵CD ∥AB ，∴四边形CAOD 是平行四边形. ∵E 是OD 的中点，CE ⊥OD ， ∴OC =CD . ∵OC =OD ， ∴OC =OD =CD .∴△OCD 是等边三角形. ∴∠D =60°.………………6分 ∴∠DCE =90°-∠D =30°. ∴在Rt △CDE 中，CD =2DE . ∵BC =6， ∴CE =BE =3.∵22224CE DE CD DE +==，∴DECD =.∴OD CD ==∴CAOD S OD CE =⋅=四边形………………7分AAB26．（1）（2，0）；………………2分 （2）点D 在直线l 上，理由如下： 直线l 的表达式为2(0)y kx k k =->，∵当2x =时，220y k k =-=，………………3分 ∴点D （2，0）在直线l 上．………………4分 注：如果只有结论正确，给1分.（3）如图，不妨设点P 在点Q 左侧.由题意知：要使得124x x =+成立，即是要求点P 与点Q 关于直线2x =对称.又因为函数244y x x =-+的图象关于直线2x =对称，所以当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，即要求点Q在244(2,13)y x x x y =-+><<的图象上.………………6分根据图象，临界位置为射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与1y =的交点(3,1)A 处，以及射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与3y =的交点(2B +处. 此时1k =以及k=k的取值范围是1k <<………………8分27．（1）①1，②2±；………………2分 注：错一个得1分.（2）解：设点C 的坐标为（x ，y ）.由于点C 的“引力值”为2，则2x =或2y =，即2x =±，或2y =±. 当2x =时，240y x =-+=，此时点C 的“引力值”为0，舍去； 当2x =-时，248y x =-+=，此时C 点坐标为（-2，8）；当2y =时，242x -+=，解得1x =，此时点C 的“引力值”为1，舍去； 当2y =-时，242x -+=-，3x =，此时C 点坐标为（3，-2）； 综上所述，点C 的坐标为（2-，8）或（3，2-）.………………5分 注：得出一个正确答案得2分. （3）1d ≤≤.………………8分 注：答对一边给2分；两端数值正确，少等号给2分；一端数值正确且少等号给1分.28．（1）③；………………1分（2）连接BM，OB，OC，OE.∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，M为AC的中点，∴MA=MB=MC=12 AC.………………2分∴∠A=∠ABM.∵∠A=α，∴∠BMC=∠A+∠ABM=2α.∵点M和点O关于直线BC对称，∴∠BOC=∠BMC=2α.………………3分∵OC=OB=OE，∴点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上.∴12BEC BOCα∠=∠=.………………4分（3）12MN BE=，证明如下：连接BM并延长到点F，使BM=MF，连接FD. ∵∠A=α，∠ABC=90°，∴∠ACB=90°-∠A=90°-α.∴∠DEC=∠ACB=90°-α.∵∠BEC=α，∴∠BED=∠BEC+∠DEC=90°.∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB=α.∵MB=MC，∴∠MBC=∠ACB=90°-α.∴∠MBE=∠MBC+∠CBE=90°.∴∠MBE+∠BED=180°.∴BF∥DE.………………6分∵BF=2BM，AC=2BM，∴BF=AC.∵AC=DE，∴BF=DE.∴四边形BFDE是平行四边形.………………7分∴DF=BE.∵BM=MF，BN=ND，OMNABDCEBD∴MN=12 DF.∴MN =12 BE.………………8分注：如果只有结论正确，给1分.解答题解法不唯一，如有其它解法相应给分.。
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18.（1）问题发现：如图 1，如果△ACB 和△CDE 均为等边三角形，点 A、D、E 在同一直线上，连接 BE.则 AD 与 BE
的数量关系为
；∠AEB 的度数为
度.
（2）拓展探究：如图 2，如果△ACB 和△CDE 均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点 A、D、E 在同一直线上，连
接 BE，判断线段 AE 与 BE 的位置关系，并说明理由.
∴S= BQ·BP=
=-t2+3t（0≤t≤3），
观察只有 C 选项符合， 故选 C. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，动点问题的函数图象，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键. 二.填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分） 9. 【答案】（﹣1，2）. 【解析】 试题分析：根据“平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点， 横纵坐标都变成相反数”解答． 解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， ∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）． 故答案为：（﹣1，2）． 考点：关于原点对称的点的坐标． 10. 【答案】y=﹣x2+4.
= （x2﹣12x）+21
= [（x﹣6）2﹣36]+21
= （x﹣6）2+3，
故 y= （x﹣6）2+3，向左平移 2 个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y= （x﹣4）2+3． 故选 D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记函数图象平移的规律并正确配方将原式变形是解题关 键． 3. 【答案】D 【解析】
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22.已知关于 x 的方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相等的实数根 x1、x2 （1）求实数 m 的取值范围； （2）若 x1﹣x2=2，求实数 m 的值． 23.解方程：x2+6x﹣2=0. 24.在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别是（0，4），（﹣1，0），将此平行四边形 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A′B′C′D′. （1）若抛物线经过点 C、A、A′，求此抛物线的解析式； （2）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，为点 M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此到 点 M 的坐标.
2018 北京市海淀区初三（上）期中 数学
一.选择题（每小题 3 分，共 8 小题，满分 18 分） 1.一元二次方程 2x2﹣（m+1）x+1=x（x﹣1）化成一般形式后一次项的系数为﹣2，则 m 的值为（ ） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2 2.将抛物线 y= x2﹣6x+21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）
；
（3）在直线 y=﹣2x+7 上是否存在点 Q，使△OAQ 的面积等于 6？若存在，请求出 Q 点的坐标，若不存在，请说明理
由.
28.阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们 的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图 1，在 “手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则 BD=CE. （1）在图 1 中证明小胖的发现； 借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题： （2）如图 2，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求证：AD+CD=BD； （3）如图 3，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=m°，点 E 为△ABC 外一点，点 D 为 BC 中点，∠EBC=∠ACF，ED⊥FD，求 ∠EAF 的度数（用含有 m 的式子表示）.
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【分析】 连接 OB，进而得出∠AOB 的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠AOC 的度 数． 【详解】连接 OB，
∵OA=OB，∠BAO=37°，
∴∠AOB=180°-2×37°=106°，
∵
，
∴∠AOC=∠BOC=
＝127°，
故选 D． 【点睛】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的 应用是解此题的关键． 4. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据中心对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确． 故选 D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 5. 【答案】D 【解析】 分析：本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一 半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
键
7.
【答案】D
【解析】
【分析】 首先判断数 y1=-2x，二次函数 y2=x2+1，只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题．
【详解】由
，消去 y 得到：x2+2x+1=0，
∵△=0， ∴直线 y=-2x 与抛物线 y=x2+1 只有一个交点，如图所示， 观察图象可知：y1≤y2，
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数学试题答案
一.选择题（每小题 3 分，共 8 小题，满分 18 分） 1. 【答案】D 【解析】 【分析】 整理为一般形式后，根据一次项的系数为-2，列方程求解即可． 【详解】整理得：x2-mx+1=0， ∵一次项的系数为-2， ∴-m=-2， 解得：m=2． 故选 D． 【点睛】考查了一元二次方程的一般形式，解决本题的关键是得到整理后的相关式子．在一般形式中 ax2 叫二次项， bx 叫一次项，c 是常数项．其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案． 【详解】y= x2﹣6x+21
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【解析】 试题解析：开口向下，则
y 轴的交点坐标为
16.如图所示，已知线段 AB=6，现按照以下步骤作图： ①分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 C 和点 D； ②连结 CD 交 AB 于点 P.
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则线段 PB 的长为_____.
三.解答题（共 12 小题，满分 72 分）
17.解方程：x2﹣4x﹣5=0.
19.已知 x=1 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣4mx+m2=0 的根，求代数式 2m（m﹣2）﹣（m+ ）（m﹣ ）的值.
20.如图，在⊙O 中，弦 AB 与 DC 相交于 E，且 BE=DE，求证：
.
21.已知：如图所示，在△ABC 中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移 动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动. （1）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于 4cm2？ （2）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 中 PQ 的长度等于 5cm？ （3）在（1）中，当 P，Q 出发几秒时，△PBQ 有最大面积？
A.
B.
C.
D.
5.用配方法解方程 x2﹣ x﹣1=0 时，应将其变形为（ ）
A. （x﹣ ）2=
B. （x+ ）2=
C. （x﹣ ）2=0 D. （x﹣ ）2=
6.正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 180° 7.已知一次函数 y1=﹣2x，二次函数 y2=x2+1，对于 x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为 y1 和 y2，则下列关 系正确的是（ ） A. y1＞y2 B. y1≥y2 C. y1＜y2 D. y1≤y2 8.如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=3cm，BC=6cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，若 P，Q 两点分别从 A，B 两点同时出发，P 点到达 B 点运动停止，则 △PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象大致是（ ）
12.如果抛物线 y=ax2﹣2ax+c 与 x 轴的一个交点为（5，0），那么与 x 轴的另一个交点的坐标是_____. 13.如图，在平面直角坐标系中，△DEF 是由 △ABC 旋转得到的，则旋转的角度是_____°.
14.抛物线 y=2x2+3x+k﹣2 经过点（﹣1，0），若 EB=1cm，CD=4cm，则弦心距 OE 的长是_____cm.
故选 D． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是判断出直线与抛物线只有一个交点，学会利用图象法 解决问题． 8. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得 PB=3-t，BQ=2t，根据三角形面积公式可得 S 与 t 的函数关系式，由此进行判断即可得. 【详解】由题意 AP=t，BQ=2t，则 BP=3-t，
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O1、B1.若△A1O1B1 的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 A1 的横坐标.
27.如图，直线 y=﹣2x+7 与 x 轴、y 轴分别相交于点 C、B，与直线 y= x 相交于点 A.
（1）求 A 点坐标；
（2）如果在 y 轴上存在一点 P，使△OAP 是以 OA 为底边的等腰三角形，则 P 点坐标是
（1）求 n 的值和抛物线的解析式； （2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0＜t＜4）.DE∥y 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线 l 上，且四边形 DFEG 为矩形（如图 2）.若矩形 DFEG 的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值； （3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90°后，得到△A1O1B1，点 A、O、B 的对应点分别是点 A1、