线性空间-基和维数
线性空间的基与维数
2,
a
3,
a
T
4)
线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的
坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是
唯一的．
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
0 0
0 0
E
21
1
0
,
E
22
( x1, x2 , , xn )T
结论
１．数域 P上任意两个n 维线性空间都同
构２．．同构的线性空间之间具有反身性、对称性
与传递性．
３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
( 2)
V中任一元素总可由1,2 ,
,
线
n
性
表示,
那末, 1,2 , ,n 就称为线性空间V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为n 维线性空间,记作Vn . 当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关
的向量时，就称 V 是无限维的．
若1 ,2 , ,n为Vn的一个基,则Vn可表示为
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
线形空间的维数与基
浅谈线性空间的维数与基摘要本文通过对有限维线性空间中基和维数的讨论，总结出了有限维线性空间的基和维数的求解方法，并且，用不同的方法对线性空间的基和维数的应用进行了探讨.关键词：线性空间；维数；基；同构；子空间THE DISCUSSING TO THE DIMENSIONS ANDBASES OF LINEAR SPACEABSTRACTIn this paper, by discussing dimensions and bases of finite dimensions linear space, we Summarizes the methods to soluting dimensions and bases of finite dimensional linear space. Moreover, the application of the bases and dimensions are discussed in different ways.Keywords: linear space; dimension; base; isomorphism; subspace .目录摘要 (1)关键词： (1)ABSTRACT (2)一、基本概念 (4)二、线性空间的基和维数求解方法 (5)2.1、定义法 (5)2.2、利用相关定理求维数与基 (8)三、线性空间基和维数的应用 (10)3.1、次子空间的应用 (10)3.2、在同构线性空间中的应用 (12)四、有限维线性空间基的扩充 (13)五、参考文献 (15)致谢 (15)一、基本概念定义1.2、U 中向量集H 如果满足下述两个条件，① 向量集H 是线性相关的；② U 中每一个向量可以由H 中有限个向量线性表出；则H 是U 的一个基，只含0向量的基是空集。
定义1.3、U 称为有限维的，如果U 有一个基包含有限多个向量，否则U 称为无限维的，有限维线性空间的一个基所含向量个数称为U 的维数。
第二章3基与维数
1
例：设
1
1
,
0
2
2
1
,
3
3
3
1
,
2
5
0 7
,
验证1,2 ,3 是R3的基，并求向量 在基1,2 ,3
下的坐标。
3
2.3.2、 坐标变换公式
设V是n维线性空间.给了V的两组基
B (v1,…,vn )和B' (v1 ',…,vn ')
则有
p1 j
v
j
'
v1
p1
j
1
0
0
1'= 1，2'=
1
，
，
n
'=
0
1
1
1
构成Rn的另一组基B' (1 ',2 ', ,n ').
5ห้องสมุดไป่ตู้
从E到B的过渡矩阵为
1 0
0
1 1
0
1 1
1
6
命题:设矩阵P是基B到B’的过渡矩阵，则P可逆.
证明:P是基B到B’的过渡矩阵，故B’=BP. 又B’也是线性空间V的基，故有基B’到基B的过 渡矩阵Q，满足B=B’Q. 于是B=B’Q=BPQ.即
1
,
1 ;
0 0 1
都是向量空间R3的基。
1 1 1
2
,
1
,
0
;
3 0 1
2
定义：设V是Rn 中的r 维子空间，1,2 , ,r 是V 的一个基，对任意的 V , 有
x1 1 x2 2 xr r
称 x1, x2 , , xr T 是向量 在基 1,2, ,r 下的坐标。
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是由一组元素构成的集合，这些元素之间满足线性运算的性质。
在线性空间中，基与维数是两个重要的概念。
一、线性空间的基线性空间的基是指线性空间中的一组线性无关的元素，通过这组元素可以表示整个线性空间中的任意元素。
换言之，线性空间中的每个元素都可以唯一地由基中的元素线性组合而成。
线性空间的基具有以下特性：1. 基中的元素线性无关，即任意一个基中的元素不能被其他基中的元素线性表示。
2. 基中的元素张成整个线性空间，即线性空间中的任意元素都可以由基中的元素线性组合而成。
3. 基中的元素个数是唯一的，即同一个线性空间中的不同基所包含的元素个数是相同的，这个个数称为线性空间的维数。
二、线性空间的维数线性空间的维数是指线性空间中的基所包含的元素的个数，用整数表示。
维数是衡量线性空间大小的一个重要指标。
线性空间的维数具有以下性质：1. 对于一个线性空间，如果存在一个有限的基，则该线性空间的维数是有限的。
2. 对于一个线性空间，如果不存在有限的基，则该线性空间的维数是无限的。
维数是线性空间一个重要的性质，它决定了线性空间的很多性质。
在线性代数中，我们可以通过求解线性方程组的秩来确定线性空间的维数。
三、基与维数的应用基与维数在线性代数的各个分支中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 线性变换的表示：线性变换可以由一个矩阵表示，基的选择与线性变换的矩阵表示密切相关。
2. 向量空间的表示：向量空间中的向量可以由线性组合表示，基的选择可以简化向量空间中向量的表示和计算。
3. 子空间的判断：基与维数可以用来判断一个子集是否构成了线性空间的子空间。
4. 线性方程组的解空间：线性方程组的解空间可以由基与维数表示。
总结：线性空间的基与维数是线性代数中的重要概念。
基是线性空间中一组线性无关的元素，可以表示线性空间中的任意元素；维数是基所包含的元素的个数，它决定了线性空间的很多性质。
基与维数的求法
线性空间基和维数的求法 〔邓云斯、李秀珍、高华艳〕方法一(定义法):根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足:(1)n ααα,2,1 线性无关；(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示. 那么称V 为n 维〔有限维〕线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基.如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就成为无限维的. 例1 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基. 解 易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2. 方法二(维数确定基法):在线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基.例2 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----构成[]n R x 的基.证明 ()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=由1n x-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=依此类推便有110n n k k k -====，故()()11,1,,1n x x ---线性无关又[]nR x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---为[]nR x 的基.方法三(利用同构求维数法):数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 例3 设0110A -⎛⎫=⎪⎝⎭，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的空间()0110V f A A ⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间{}',V a bi a b R =+∈｜同构，并求它们的维数.证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈，建立'V 到V 的如下映射()()11111111:,a bi f A a E b A a b R σα=+→=+∈易证σ是'V 到V 上既是单射又是满射即一一映射. 再设222,a b i α=+ 22,,a b R K R ∈∈，那么有()()()()()()()121212121212a a b b i a a E b b A σαασσασα+=+++=+++=+⎡⎤⎣⎦()()()111111k ka kbi ka E ka A k x σασσ=+=+=故σ是'V 到V 的同构映射，所以V 到'V 同构 另外，易证'V 的一个基为1，i ，故'dim 2V ='VVdim 2V ∴=方法四(求可逆矩阵确定基法)：设12,,,n ααα与12,,,n βββ是n 维线性空间V 中两组向量，12,,,n βββ可由12,,,n ααα线性表出：11112121n n a a a βααα=+++21212222n n a a a βααα=+++ 1122n n n nn n a a a βααα=+++令111212122212n n n n nn a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭如果12,,,n ααα为V 的一组基，那么当且仅当A 可逆时，12,,,n βββ也是V 的一组基.例4 231,,,x x x 是[]4p x 的一组基，证明()()231,1,1,1x x x +++也是[]4p x 的一组基. 证明 因为23111000x x x =⋅+⋅+⋅+⋅23111100x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅()223111210x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅ ()323111331x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅且11110123000120001A =≠所以()()231,1,1,1x x x +++也为[]4p x 的一组基.方法五(向量等价求基法):如果空间V 中一向量组与V 中一组基等价，那么此向量组一定为此空间的一组基.例5 设[]2R x 表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明22,,1x x x x x +-+为这空间的一组基. 证明 ()()()2212310k x x k x x k x ++-++= 那么121233000k k k k k k +=⎧⎪-+=⎨⎪= ⎩解得3210k k k ===于是22,,1x x x x x +-+线性无关，它们皆可由2,,1x x 线性表示，因此22,,1x x x x x +-+与2,,1x x 等价，从而[]2R x 中任意多项式皆可由22,,1x x x x x +-+线性表示，故22,,1x x x x x +-+为[]2R x 的基.方法六〔求两个子空间交集的基确定维数法〕：对以一组向量1212,,,ααββ为列向量做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不改变矩阵1212,,,ααββ间的线性关系.任何一个m n ⨯矩阵A ，总可以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯型矩阵：00rI B ⎛⎫⎪⎝⎭，其中r I 表示r 阶单位矩阵.依据这两个定理，我们可以很方便地求出12V V 的一个基，从而确定了维数.例 6 设()()112212,,,V L V L ααββ==是数域F 上四维线性空间的子空间，且()()()()12121,2,1,0,1,1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.ααββ==-=-=-求12V V 的一个基与维数.解 假设12r V V ∈，那么存在1212,,,x x y y F --∈，使11221122r x x y y ααββ=+=-- (1)即有112211220x x y y ααββ+++= (2)假设1212,,,ααββ线性无关，〔2〕仅当2120x x y y ====时成立 那么12V V 是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12V V +是直和假设存在不全为零的数1212,,,x x y y 使〔2〕成立，那么12V V 有可能是非零子空间假设为非零子空间，由〔1〕便可得到基向量r .以1212,,,ααββ为列向量作矩阵A ，经行初等变换将A 化为标准阶梯形矩阵A .11211001211101041103001301170000A A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−−→= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行初等变换212143βααβ=-++()1212435,2,3,4r ααββ∴=-+=-+=-是12V V 的一个基 ()12dim 1V V =同时知，12,αα是1V 的一个基，1dim 2V =12,ββ是2V 的一个基，2dim 2V =1212,,,ααββ是12V V +的一个基，()()12dim =3V V A +=秩方法七(极大无关组确定基法):线性空间V 中任意一个向量α，都可以表示成V 中的一组线性无关向量组的线性组合，那么这一组线性无关向量组就是V 的基. 例7 求112()V L αα=，与212()V L ββ=，的交的基和维数. 设12(1,2,1,0)(11,1,1)αα=⎧⎨=-⎩，，12(21,0,1)(11,3,7)ββ=-⎧⎨=-⎩，，解 任取12V V α∈，那么11122V x x αααα∈=+，，且21122V y y ααββ∈=+，，1122112x x y y αααββ=+=+〔注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在1V 、2V 中的表示，并非此题所求，即要在空间21V V 中将α线性表出〕 11221120x x y y ααββ∴+--=，求1212,,,x x y y121212121222122020300x x y y x x y y x x y x y y ---=⎧⎪+-+=⎪⎨+-=⎪⎪--=⎩ ７ 解得1212(,,,)(,4,3,)x x y y k k k k =--1212(4)(3)(5,2,3,4)k k k αααββ∴=-=-+=-故12V V 是一维的，基是(5,2,3,4)-易知(5,2,3,4)-是非零向量，是线性无关的.方法八〔利用维数公式求子空间的基和维数法〕：按维数公式求子空间的交与和的维数和基 维数公式：如果1,2V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，那么()()()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=++例8 ()()123,1,2,1,0,1,0,2αα=-=()()121,0,1,3,2,3,1,6ββ==--求由向量12,αα生成的4p 的子空间()112,V L αα=与向量1,2ββ生成的子空间()212,V L ββ=的交与和空间的维数的一组基.解 因为()121212,,,V V L ααββ+=，对以1212,,,ααββ为列的矩阵施行行初等变换：30120000110311032011001112360003A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭秩A =秩3B =，所以12V V +的维数是3且1212,,,ααββ为极大线性无关组，故它们是12V V +的一组基.又由12,αα线性无关知1V 的维数为2，同理2V 的维数也为2，由维数公式知12V V 的维数为()2231+-=.从矩阵B 易知12122ββαα+=-,故()123,3,2,3ββ+=--是12,V V 公有的非零向量，所以它是交空间12V V 的一组基.方法九(替换定理法):由替换定理确定交空间的维数. 替换定理：设向量组12,,,r ααα线性无关，并且12,,,r ααα可由向量组12,,,s βββ线性表出，那么()1r s ≤()2必要时可适当对12,,,s βββ中的向量重新编号，使得用12,,,r ααα替换12,,,r βββ后所得到的向量组121,,,,,,r r s αααββ+与向量组12,,,s βββ等价.特别，当r s =时，向量组12,,,s ααα与向量组12,,,s βββ等价.例9 向量组()()()()12342,0,1,3,0,3,1,0,1,2,0,2,2,6,3,3,αααα====设它们是向量组1,23,βββ的线性组合，又设向量组12,,,m r r r 与向量组123,,βββ等价，试求12,,,m r r r 生成的空间的交空间的基和维数.解 201304110701031003100310120212021202263306200000----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然1234,,,αααα线性相关，123,,ααα线性无关 由替换定理知123,,ααα与123,,βββ等价，进而知12,,,m r r r 与123,,ααα等价于是()12,,,m L r r r 维数为3，基为()123124,,;,,L αααααα维数为2，基为12,,αα因此，()()12412,,,,,m L L r r r ααα⊂故()124,,L ααα与()12,,,m L r r r 的交空间的基为12,,αα维数为2。
线性空间,基和维数
§1 集合映射 集合 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数基与坐标 维数 §4 基变换与坐标变换 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题
§6.3 维数 基与坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标 线性空间的维数、
§6.3 维数 基 坐标
（ 2） 基 在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
ε 1 , ε 2 ,L , ε n ，称为 V 的一组基； 的一组基
（3）坐标
ε1 , ε 2 ,L, ε n 为线性空间 V 的一组基， ∈ V , α 的一组基， 若 α = a1ε 1 + a2ε 2 + L + anε n , a1 , a2 ,L , an ∈ P
注：任意数域 看成是它自身上的线性空间是一维的， 任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的 看成是它自身上的线性空间是一维的，
就是它的一组基. 数1就是它的一组基 就是它的一组基
§6.3 维数 基 坐标
例5
求数域P上的线性空间 求数域 上的线性空间 P
2×2
的维数和一组基． 的维数和一组基．
解：令 E11 = 1 0 , E12 = 0 1 , E21 = 0 0 , E22 = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
§6.3 维数 基 坐标
注意： 注意：
的基不是唯一的， 中任意 个 ① n 维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个 的基不是唯一的 线性无关的向量都是V的一组基． 线性无关的向量都是 的一组基． 的一组基 任意两组基向量是等价的． ② 任意两组基向量是等价的． 例3（1）证明：线性空间 维的， （ ）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基． ， ， 的一组基． ， － （2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 ）证明： ， － ， － ， － － 也为P[x]n的一组基． 的一组基． 也为
02 第二节 维数、基与坐标
例6 (E04) 证明维线性空间 与维数组向量空间同构.
证 (1) 中的元素与中的元素形成一一对应关系;
(2) 则有
结论 1. 数域上任意两个维线性空间都同构. 2. 同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性. 3. 同维数的线性空间必同构.
例4(E02) 所有二阶实矩阵组成的集合对于矩阵的加法和数量乘法, 构成实数域R上的一个线性空间. 试证
,,, 是中的一组基, 并求其中矩阵A在该基下的坐标.
证 先证其线性无关, 由有
即线性无关. 又对于任意二阶实矩阵 有 因此为的一组基. 而矩阵在这组基下的坐标是
例5 (E03) 求子空间的维数，其中 解 易知是由下列向量的全体线性组合所构成的集合：
第二节 基、维数与坐标
分布图示
★ 引言
★ 线性空间的基与维数
★ 生成子空间
★ 例1
★ 坐标
★ 例2
★ 例3 ★ 例4
★ 线性空间的同构
★ 例6
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题6-2
★ 例5 ★ 例7
内容要点
一、线性空间的基与维数 我们已知在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向
量都是线行相关的。现在我们要问：在线性空间中，最多能有多少个线 性无关的向量？
元素有序数组 定义2 设是线性空间的一个基,对于任一元素, 有且仅有一组有序数 使，则称有序数组为元素在基下的坐标, 并记作.
二、线性空间的同构 设是维线性空间的一组基，在这组基下，中的每个向量都有唯一确
定的坐标，而向量的坐标可以看作中的元素，因此向量与它的坐标之间 的对应就是到的一个映射。对于中不同的向量它们的坐标也不同，即对 应于中的不同元素。反过来，由于中的每个元素都有中的向量与之对 应，我们称这样的映射是与的一个一一对应的映射。这个映射的一个重 要特征表现在它保持线性运算（加法和数乘）的关系不变。
高等代数 第6章线性空间 6.2 基底、坐标与维数
任一不超过4次的多项式 p a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a1 x a 0 可表示为 p a 0 p1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p 4 a 4 p 5
因此 p 在这个基下的坐标为 ( a 0 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 )
T
若取另一基q1 1, q 2 1 x , q 3 2 x 2 , q 4 x 3 , q5 x4 , 则 1 p (a 0 a 1 )q1 a 1 q 2 a 2 q 3 a 3 q 4 a 4 q 5 2 因此 p 在这个基下的坐标为
1 ( a 0 a 1, a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意 线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的．
T
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间．对于 V 中的矩阵
有
1 E 11 0 0 E 21 1
0 0 1 , E 12 , 0 0 0 0 0 0 , E 22 0 0 1
而矩阵A在这组基下的坐标是 (a 11, a 12, a 21, a 22) .
T
例3 在线性空间R, 2 ( x a ), 3 ( x a ) , , n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是
§3.4线性空间、基、维数和坐标
一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广。
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题。
定义设F 是数的集合，若其满足（1）F∈1,0 （2）F ，均有∈∀b a ,∈≠÷×−+)0(,,,b b a b a b a b a 则称F 是一个数域。
R ，实数域Q ，有理数域常用数域C ，复数域F},,1, |),,{(1n i a a a i n =∈=},,2,1,,2,1, |]{[n j m i a a ij n m ij ==∈=×；F [x ]F F m ×n F },2,1,0,,1,0 , |){2210 ==∈++++=n n i a x a x a x a a i nn ；Fn F }0)( ,)( ],[F )(|)({≡∈=x f n x f x x f x f 或的次数小于}],[)(|)({上的连续函数是闭区间b a x f x f =F [x ]n C [a ,b ]βαγ+=若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的数量积，记作∈k V ∈αV ∈δk ααδk =定义设是一个非空集合，F 为数域．如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为元素与的和，记作V ∈βα,V ∈γαβV F对F ，总有,,,,V k l αβγ∈∈;,,)3(αθααθ=+∈都有对任何中存在在V V ;)1(αββα+=+ ()();)2(γβαγβα++=++ 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域F 上的线性空间：V 零元素(5) 1αα=()()(6) k l kl αα=()(8)k k k αβαβ+=+()(7) k l k l ααα+=+;),,)(θααααα=−+∈−∈( 4使的都存在对任何V V 负元素说明1．凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算；2．线性空间中的向量不一定是有序数组；3．若一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间。
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有加法和数乘运算的集合，并满足线性空间的定义和性质。
在线性空间中，基和维数是两个核心概念，它们对于理解线性空间的结构和性质具有重要意义。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指满足以下定义和性质的集合：1. 集合中存在加法运算，即对于任意两个元素x和y，存在相应的元素x+y；2. 集合中存在数乘运算，即对于任意元素x和数k，存在相应的元素kx；3. 加法和数乘运算满足封闭性，即对于任意元素x和y，x+y和kx 仍然属于该集合；4. 加法满足结合律和交换律，即对于任意元素x、y和z，(x+y)+z=x+(y+z)和x+y=y+x；5. 加法满足单位元存在性，即存在一个元素0，对于任意元素x，有x+0=x；6. 加法满足逆元存在性，即对于任意元素x，存在相应的元素-y，使得x+(-y)=0；7. 数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意元素x和k、l，有k(lx)=(kl)x和(k+l)x=kx+lx；8. 数乘运算满足单位元存在性，即对于任意元素x，有1x=x。
二、在线性空间中，基是指一个线性无关且能生成整个空间的向量组。
即对于线性空间V，存在向量组{v1, v2, ..., vn}，满足以下条件：1. 线性无关性：向量组中的任意有限个向量线性无关，即不存在非零标量c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0；2. 生成性：向量组的线性组合能够生成整个线性空间V，即对于任意向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn。
线性空间的维数是指基中向量的个数，用n表示。
记作dim(V) = n。
三、线性空间的基与维数的性质线性空间的基与维数具有以下性质：1. 基的个数是唯一的：线性空间V的任意两个基所含向量个数相同；2. 维数的唯一性：线性空间V的维数唯一，与基的选择无关；3. 向量组的性质：线性空间V中的任意向量组若线性无关，则含有的向量个数不超过维数；4. 维数与子空间：线性空间V的任意非零子空间的维数小于等于V的维数；5. 维数与线性变换：线性空间V到线性空间W的线性映射T是满射时，有dim(W) ≤ dim(V)；当T是一一映射时，有dim(W) ≥ dim(V)。
线性空间的基与维数及线性同构
有
1 E 11 = 0 0 E 21 = 1
0 0 , E 12 = 0 0 0 0 , E 22 = 0 0
1 , 0 0 1
k1 k 2 , k 1 E 11 + k 2 E 12 + k 3 E 21 + k 4 E 22 = k3 k4
1 ( a 0 − a 1 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意 线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同， 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的． 唯一的．
T
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V，对于矩阵 的加法和数量乘法， 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间． 空间．对于 V 中的矩阵
λα ↔ λ ( x1 , x2 ,⋯, xn )
T
结论 １．数域 P上任意两个n 维线性空间都同 构． 同构的线性空间之间具有反身性、对称性 ２．同构的线性空间之间具有反身性、 与传递性． 与传递性． ３．同维数的线性空间必同构． 同维数的线性空间必同构．
同构的意义 在线性空间的抽象讨论中， 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的， 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质． 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的， 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数． 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 定义２ 设α 1 , α 2 ,⋯ ,α n是线性空间 Vn的一个基 , 对
于任一元素 α ∈ Vn , 总有且仅有一组有序 数 x1 , x 2 ,⋯ , x n , 使
基与维数的基本概念与应用
基与维数的基本概念与应用线性代数是现代数学中非常重要的一部分，而作为线性代数的基本概念之一，基与维数在很多领域中都有着重要的应用和作用。
在本文中，我们将着眼于基与维数的基本概念和应用，希望能够给读者带来全面且深入的了解。
基的概念基是线性空间的一个基本概念。
在线性代数中，所谓线性空间就是一个向量空间的特殊情形，向量空间由向量组成，这些向量可以用数字来表示。
而基就是指这些向量的数量最少的子集，这个子集中的向量可以表示出这个向量空间中的其他所有向量。
具体来说，基的定义是：如果一个向量空间V中的向量集S有以下两个性质：1. 向量集S中的向量是线性无关的；2. 向量集S中的任意向量都可以用向量集S中的有限个向量线性组合表示（即，对于任意一个向量v∈V，都存在一组系数a1,a2,……,an使得v=a1s1+a2s2+……+ansn，其中si∈S，ai∈K，K是所在域）那么，S就是V的一个基。
基的一些性质包括:1. 基是线性无关的。
2. 基中的任意向量都不可由其他向量线性组合得到。
3. 维数相同的向量空间会有同样数量的基。
4. 所有向量空间都有基，包括零向量空间。
维数的概念维数是向量空间的另一个重要概念。
在数学中，向量空间的维数是指基中向量的数量的大小。
具体来说，如果一个向量空间V有一个n个线性无关向量的基，那么V就称为一个n维向量空间。
维数可以理解为空间中向量的独立自由度，向量空间的维数可以用来区分不同的向量空间，也用来确定矩阵的秩等重要性质。
基的应用基作为线性代数中的基本概念，应用十分广泛。
以下列举了一些基的应用：1. 矩阵乘法：矩阵乘法的前提是两个矩阵的行列数满足要求。
具体来说，矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数。
而每一个矩阵可以看做是向量空间中向量的组合，因而矩阵的乘法实际上就是向量之间的线性组合，而基恰好是向量的组合表示。
2. 解方程组：在线性代数中，矩阵可以看做是线性方程组的系数，而矩阵的秩和向量空间的维数有密切关系。
线性空间的基与维数及线性同构
f
(
n
1)( a
)
T
设 1 , 2 ,, n 是n维线性空间V n的一组基,在
这组基下,V n中的每个向量都有唯一确定的坐标. 而向量的坐标可以看作Rn中的元素,因此向量与它 的坐标之间的对应就是V n到 Rn的一个映射.
由于 Rn中的每个元素都有V n中的向量与之对 应,同时V n中不同的向量的坐标不同,因而对应Rn 中的不同元素.我们称这样的映射是V n与 Rn的一个 1 1对应的映射.这个对应的重要性表现在它与运 算的关系上.
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义１ 满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n个元素
1,2 ,,n
(1) 1 , 2 ,, n线性无关;
思考题解答
解令
k1 f 1(x) k2 f 2(x) k3 f 3(x) k4 f 4(x) 0 则得
(k1 2 k 2 k 3 2 k 4) x3 (2 k1 3 k 2 5 k 4) x2
(4 k1 9 k 2 6 k 3 7 k 4)x (k1 k 2 5 k 3 5 k 4) 0.
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
E
21
0 1
0 0
,
E
22
0 0
0 1
线性空间维数与基的求法
线性空间维数与基的求法维数与基是线性空间V 的一个基本属性，它的确立对于我们认识线性空间有着很大的作用.因为确定了维数和基以后n 线性空间V 上任意向量的坐标（即n 元数组）也就相应确定了,在学习了线性空间的同构的知识后会知道，任意n 维线性空间V 都与n P 同构,这样，我们可以通过n P 的性质来研究任意n 线性空间V 的性质。
同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同构、线性变换、欧氏空间的基础。
但是,鉴于它是线性空间的一个基本概念,多数教科书对于该部分的处理往往是泛泛而谈，比如文献1250P 例3更是一笔带过，这对学生深入理解相关概念造成了一定的障碍.虽然它的求法没有统一的方法，但却有着一致的要求，即要符合定义。
本文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的归纳和总结,同时也是对《高等代数》250P 例3的补充说明，希望对初学者认识线性空间以及后续的学习有一定的帮助。
一、数域P 上的线性空间V ——数域P 的作用和角色凡是涉及数与空间中向量（取自集合V 中的元素)的乘积，即通常所说的数量乘法，其中的数都是取自数域P 。
例如:线性变换、同构定义中的第二条保持数量乘法,判别向量的线性相关性等这些问题都是依赖数域P 的。
同一线性空间V 指定数域的不同，通常对于我们的结果也会造成很大差别。
1.数域P 对线性空间V 的线性变换判别的影响例1：把复数域看作复数域上的线性空间，ξξ=A解：举反例如下，系数k 取自复数域i k =，)())(()(ai b bi a i k +-A =+A =A αai b --=，而ai b bi a i bi a i k +=-=+A =A )())(()(α，显然)()(ααA ≠A k k ，故变换A 不是线性的。
例2：把复数域看作实数域上的线性空间，ξξ=A解:系数k 取自实数域R k ∈，kbi ka kbi ka bi a k k -=+A =+A =A )())(()(α，kbi ka bi a k bi a k k -=-=+A =A )())(()(α，容易验证A 也保持向量的加法，故A 是线性的. 可见，同一线性空间的同一变换在不同数域上有些是线性的，有些不是线性的。
线性空间的概念,维数、基与坐标
统计软202件1/4分/22析与应用
线性代数A
4
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
那么,V 就称为数域 F上的线性空间(或向量空 间),V 中的元素称为向量(或元).
线性代数A
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6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
三、线性空间的子空间
定义2 设 V 是一个线性空间, U 是 V 的一个 非空子集,如果 U 对于 V 中所定义的加法和乘数 运算也构成一个线性空间, 则称 U 是 V 的一个子 空间．
线性空间中的零元构成一子空间, 称为零空间. V 自身是V 的子空间. 我们称这两个子空间为V 的 平凡子空间.
记作
;
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线性代数A
3
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
如果上述两种运算满足以下八条运算规律
( 设 , , V;, F )：
(1) ;
(2) ;
(3) 在V中存在零元素 0 ,对任何 V ,都有 0 ;
于是有 定理2 线性空间V 的非空子集U 构成子空间的
充分必要条件是： ⑴ 如果 , U, 则 U;
⑵ 如果 U, k R,则 k U.
[证略]
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线性代数A
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6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
例7
证明： N 2
a 0
b
0
a, b R
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
基与维数的几种求法
线性空间基和维数的求法方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V 中，如果有n 个向量宀，…n 满足:⑴1,2…，n 线性无关。
⑵V 中任一向量G 总可以由 S ,..0n线性表示。
那么称V 为n 维(有限维)线性空间，n 为V 的维数，记为dim V = n ,并称O∙ι,Ct 2,…，ct n 为线性空间V 的一组基。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。
例1设V=IXAX=O?，A 为数域P 上m n 矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。
解设矩阵A 的秩为r ,则齐次线性方程组 AX=O 的任一基础解系都是 V 的基，且V 的 维数为n -r 。
[0 a例2数域P 上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成'<-a b 」的线性空间，求此空间的维数和一组基。
方法二 在已知线性空间的维数为 n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线 性空间的基。
例3假定R IX I n 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间， 证明：1,X -1 , X-1 2川|, X-1 n 4 构成 R IX ]n的基。
n证明 考察 k 1+k 2(x -1)+IH+k n (x -1) =0由X n4的系数为0得k n =0 ,并代入上式可得X nJ 的系数k n ∕=0 依此类推便有k n = k n 4I = k 1= 0 ,a,b P 的一组线性无关的向量组，且对V 中任广O a有r0 a=a '0 1、 + b'0 O Ai —a b 」I a b 」J 0」<01‘0 1 ' ‘0 0'<1 0」' <0 1」V 的维数为2。
元素按定义为V 的一组基,故1,(x_1 )，HI,(x_1 )^ 线性无关n 1又RlX n的维数为n,于是I) x_1 ,川，x_1 为RlX(I的基。
维数和基的个数的关系
维数和基的个数的关系维数和基的个数是线性代数当中非常重要的概念，很多人在学习线性代数时都会遇到。
在这里，我们将围绕这个概念进行详细的阐述，希望能够帮助大家更好地理解它们之间的关系。
步骤一：什么是维数？维数是线性空间的一种度量，它用来描述一个线性空间的“大小”。
具体来说，维数是指线性空间的一组基中所含向量的个数。
例如，一个二维向量空间的基包含两个线性无关的向量，因此它的维数为2。
在线性代数的学习过程中，我们通常会遇到很多和维数有关的问题。
其中最常见的就是如何确定一个线性空间的维数。
对于有限维的线性空间，我们可以通过找到它的一个基来确定它的维数。
而对于无限维的线性空间，则需要借助更高级的数学工具来进行刻画。
步骤二：什么是基？基是线性空间当中的一个非常重要的概念，它是用来描述向量空间的“构成元素”。
具体来说，一个线性空间的基是一个线性无关的向量组，它能够表示出该空间中的任何一个向量。
在学习线性代数的过程中，我们经常需要用到基来描述向量空间的某些性质。
例如，我们可以通过找到一个基来确定一个向量空间的维数，也可以利用基来求解线性方程组的解。
步骤三：维数和基的个数的关系根据定义，我们可以发现，线性空间的维数和它的基的个数是非常紧密相关的。
具体来说，一个线性空间的维数等于它的任意一个基的向量个数。
这个结论在很多时候都是非常有用的。
例如，在求解线性方程组的过程中，我们可以通过线性空间的基来确定它的维数，从而得出方程组的解的个数。
同样地，在理解矩阵的秩的时候，我们也可以利用线性空间的基来进行刻画。
总之，维数和基的个数是线性代数中两个非常重要的概念。
它们之间的关系非常密切，在很多时候都能够相互联系。
学习线性代数的同学们，一定要认真掌握和理解它们之间的内在关系，才能更好地应用它们解决实际问题。
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它在数学和应用领域中都有广泛的应用。
本文将探讨线性空间的基与维数，以及它们在线性代数中的意义和应用。
一、线性空间的概念与性质线性空间是指一个具备了加法运算和数乘运算的集合，且满足以下性质：1. 封闭性：对于任意向量组成的集合S，如果对于任意向量a，b∈S和任意标量c∈F（其中F表示该线性空间定义域内的域），都有a + b和c·a仍然属于S，则称S是该线性空间的一个子空间；2. 零向量：对于线性空间V，存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v∈V，有v + 0 = v；3. 加法逆元：对于线性空间V中的任意向量v，存在一个逆元向量−v，使得v + (−v) = 0；4. 结合律和分配律：对于线性空间V中的任意向量a，b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)和c(a + b) = ca + cb。
二、线性空间的基在线性空间V中，如果存在一组向量{v1, v2, ..., vn}，满足：1. 这组向量线性无关；2. 任意向量v∈V都可以由这组向量线性表示。
那么，这组向量{v1, v2, ..., vn}被称为线性空间V的一个基。
基是线性空间中最重要的概念之一，它可以用来表示线性空间中的任意向量。
三、线性空间的维数线性空间的维数是指该线性空间的基所包含的向量个数。
记线性空间V的维数为dim(V)，则对于线性空间V的任意基，它所包含的向量个数都相同，即dim(V)是唯一确定的。
维数的概念在线性代数中具有重要的意义。
它可以用来衡量线性空间的大小以及其所能表示的向量的种类。
维数为1的线性空间只包含一个向量，而维数为n的线性空间可以表示任意n维向量。
四、线性空间的维数与基的关系线性空间的维数与其基是密切相关的。
根据线性代数的基本定理，任意线性空间中的所有基都包含相同数量的向量，即具有相同的维数。
设线性空间V的维数为n，则任意一个基包含n个线性无关的向量。
基与维数的求法
例1数域P 上全体形解易证I a.bep\P 1、 (J 0, AO+h 为V 的一组基，V线性空间基和维数的求法 （邓云斯、李秀珍、高华艳）方法一（定义法）:根据线性空间基和维数的走义求空间的基和维数，即：在线性空间V 中,如 果有〃个向呈满足:⑴ms …，弘线性无关；（2）V 中任一向星a 总可以由 6,氏2,.久线性表示.那么称V 为n 维（有限维践性空间，"为V 的维数，记为dim v = n , 并称 qar ：%为线性空间V 的一组基•如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向呈，那么V 就成为无限维的.的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间r 求此空间的维数和一组基.方法二（维数确定基法）:在已知线性空间的维数为〃时，任意〃个向呈组成的线性无关向呈组 均作成线性空间的基.例2假走/?[•{]”是一切次数小于〃的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明： l,（x —l ）,（x —1）2，…,（x —1）' I 构成/?[虬的基.证明何•1 +他（牙一1） +・・・+兌（尤一1）"“ =0 由疋"的系数为0得心=0 ,并代入上式可得疋J 的系数k n _{ = 0 依此类推便有k“=kz=・.・ = k\=0 , 故1,（—1）,…，（―1厂线性无关组，且对V 中任一元素 0 b '0 1 、一 1 0按定义 r0>又川虬的维数为心于是1心一1),…心一1)2为乩吐的基方法三(利用同构求维数法):数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.(0 _1\例3设人= ,证明：由实数域上的矩阵A的全体实系数多项式/(A)组成的空间11 °丿f fo -1YV=y(A)\A=(与复数域C作为实数域/?上的线性空间I I】。
/V = {a+bi\ a.b w R}同构，并求它们的维数.证明V中任一多项式可记为f(A)=aE+bA,(abwR)，建立V到V的如下映射b：e =a A +Z?J—> /；(4) = «]£+/?[A wR)易证CT是/到V上既是单射又是满射即一一映射.再设弘=心+加，a^b. eR.K eR，则有■■■厶■b(y + a2) =+«2)4-(/?1+优"]=(® +a1)E+(b x 4-Z?2)A = <7(a1) + o-(6Z2)<T( toj) = b( ka、+ kbj) = ka{E+ka y A = kb(xj故cr是/到'/的同构映射，所以V到V同构另外，易证H的一个基为1 , / ,故dimV =2vV^V.•.dimV = 2方法四(求可逆矩阵确走基法)：设冬,勺,匕与卩、、・•••、卩“是"维线性空间V中两组向星，已知0],02，・-，0”可由少心，…“线性表出：A =如匕+佝勺+- + %心Pl =叱|+eg+••• + %"5令人=«21 如…d\Cl nl Cl n2 …a nn 7如果^，色，…，％为V 的一组基，另吆当且仅当A 可逆时，卩\、卩J …、卩"也是u 的一组基. 例4已知1,圮疋,_?是卩[虬的一组基，证明1,1 +兀(1 +龙)2,(1+刃'也是“[虬的一组基・ 证明因为l = ll + 0x+0x 2+0-x 3l + x = 1-1 + 1-x+O-x 2+0-x 3(l + x)~ = 1-1 + 2-x+l-x 2+0x 3(1 + X)3= 1 • 1 + 3 • A + 3 • x 2+1 • X 311110 0 0 1所以1,1 + X, (1 + ,(1 +町"也为P [x]4的一组基.方法五(向呈等价求基法):如果空间y 中一向量组与V 中一组基等价,则此向量组一走为此 空间的一组基.例5设/?卜】2表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间 的一组基，证明x 2+ x,疋一圮％ +1为这空间的一组基. 证明 k } (x 2+x)+k 2 (x 2一/)+他(兀+1) = 0 则 k l +k 2=0< « _ 他 + £3 = o&3=0解得他=鸟2=/=0于是V 2+ X, * - X, X + 1线性无关,它们皆可由%2, X, 1线性表示，因此A-2+ X, F - X, X+ 1与 x\x,\等价，从而R[X ]2中任意多项式皆可由x 2+x t x 2-x,x+\线性表示，故X2 + X,x2 -x,x + l 为[x],的基.方法六(求两个子空间交集的基确走维数法):对以一组向量a\、j、卩、、P"为列向呈做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不改变矩阵卬,色，0，02间的线性关系•任何一个m x H(j B、矩阵A ,总可以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯型矩阵：' ，其中表示邛介I。
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二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设 , , , 是线性空间 V 的一个基 ,对 1 2 n n
于任一元素 V ,总有且仅有一组有 n 数 x ,x , ,x ,使 1 2 n
x x x ,
1 1 2 2 n n
维数为 n 的线性空间称为 n 维线性空 , 记作 V . n
当一个线性空间 V中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 V是无限维的．
若 , , , 为 V 的一个基 , 则 V 可表 1 2 n n n
V x x x x , x , , x R n 1 1 2 2 n n 1 2 n
有序数组 x , x , , x 称为元素 在 , , , 这 1 2 n 1 2 n
T x , x , , x 基下的坐标 , 并记作 1 2 n.
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2 例1 在线性空间 P [ x ] 中 , 1 , x , ,p p p p x 4 1 2 3 4
1 (a0 ,a , a2, a3, a4) a 1 1 2 注意 线性空间 V 的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的．
T
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例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性 空间．对于 V中的矩阵
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一、线性空间的基与维数
已知：在 R 中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n1 个向量都是线性相关的．
n
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间 V 中，最多能有多少线性无关的向量？
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（3）若向量组 1,2, ,r 线性无关，但向量组
1,2, ,r,线性相关，则 可被向量组
1,2, ,r线性表出，且表法是唯一的．
6.3 维数 基 坐标
二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间．
k1
k1 k2 k3
k2 2k3
0
0
②
k1 2k2 k3 0
其系数行列式
11 1
1 2 (1)(21)(2)0 1 2
6.3 维数 基 坐标
∴方程组②只有零解： k1k2k30 故 E, A, A2 线性无关. 又由①知，任意均可表成 E, A, A2 的线性组合， 所以V为三维线性空间， E, A, A2 就是V的一组基.
注意：
① n维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基．
② 任意两组基向量是等价的．
例3（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
则数组 a1,a2, ,an，就称为 在基1,2, ,n
下的坐标，记为 (a1,a2, ,an).
6.3 维数 基 坐标
有时也形式地记作 ( 1 , 2 ,
注意：
a1
,
n
)
a
2
a
n
向量 的坐标(a1,a2, ,an)是被向量 和基1,2, ,n
唯一确定的．即向量 在基 1,2, ,n 下的坐标唯一的.
一般地，向量空间
P n { ( a 1 ,a 2 ,,a n ) a i P , i 1 ,2 ,,n } 为n维的，
1 ( 1 , 0 , , 0 ) , 2 ( 0 , 1 , , 0 ) , , n ( 0 , , 0 , 1 ) 就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
6.3 维数 基 坐标
使 k 11 k 22 k rr
则称向量 可经向量组 1,2, ,r 线性表出；
6.3 维数 基 坐标
若向量组 1,2, ,s 中每一向量皆可经向量组
1,2, ,r线性表出，则称向量组 1,2, ,s
可经向量组 1,2, ,r线性表出；
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的．
则称 1,2, ,r 为线性无关的．
2、有关结论
（1）单个向量 线性相关 0. 单个向量 线性无关 0
向量组 1,2, ,r线性相关 1, 2, , r中有一个向量可经其余向量线性表出．
6.3 维数 基 坐标
（2）若向量组1,2, ,r 线性无关，且可被
向量组 1,2, ,s 线性表出，则 r s ;
(n 1 )! 即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.
∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．
注： 此时， f( x ) a 0 a 1 x a n 1 x n 1
在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是
(f(a), f(a),
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间
（1） 1 ,2 ,,r V ( r 1 ) ,k 1 , k 2 ,, k r P ,和式
k 11 k 22 k rr
称为向量组 1,2, ,r的一个线性组合．
（2） 1 , 2 , ,r, V ，若存在 k1,k2, ,kr P
但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
6.3 维数 基 坐标
3、线性空间的基与维数的确定
定理：若线性空间V中的向量组1,2, ,n满足 ⅰ） 1,2, ,n线性无关； ⅱ） V, 可经 1,2, ,n线性表出 ,
则V为n 维线性空间，1,2, ,n为V的一组基．
6.3 维数 基 坐标
证明：∵ a1,a2, ,an线性无关，
dimV＝ 0 V＝{0}
6.3 维数 基 坐标
（2）基 在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
1,2, ,n，称为 V 的一组基；
（3）坐标
设 1,2, ,n 为线性空间 V 的一组基， V,
若 a 1 1 a 2 2 a n n , a 1 , a 2 ,, a n P
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
§6.3 维数 · 基与坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标
6.3 维数 基 坐标
6.3 维数 基 坐标
练习 1.已知全体正实数R＋对于加法与数量乘法：
a b a b , k a a k a , b R , k R
构成实数域R上的线性空间，求R＋的维数与一组基. 2.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里
1 0 0
Vf(A)
f(x)R[x],A0 0
0
第 j列
mn
A (a ij) P m n , 有 A a ijE ij
6.3 维数 基 坐标
i 1i 1
例6 在线性空间 P 4 中求向量 (1,2,1,1)在基
1,2,3,4下的坐标，其中
1 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , 2 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , 3 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , 4 ( 1 , 1 , 1 , 1 )
（3）1,2, ,r V，若存在不全为零的数
k1,k2, ,kr P，使得
k 1 1 k 22 k rr 0
则称向量组 1,2, ,r 为线性相关的；
6.3 维数 基 坐标
（4）如果向量组 1,2, ,r不是线性相关的，即
k 1 1 k 22 k rr 0
只有在 k 1 k 2 k r 0时才成立，
a c
b d
0
有 a b c d 0 .
又对 Aaa1211 aa1222P22，有
A a 1 1 E 1 1 a 1 2 E 1 2 a 2 1 E 2 1 a 2 2 E 2 2 ∴ E 11,E 12,E 21,E 22是 P 2 2 的一组基，P 2 2 是4维的．
6.3 维数 基 坐标
6.3 维数 基 坐标
注： 此时， f( x ) a 0 a 1 x a n 1 x n 1
在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是
(a0,a1, ,an1)
6.3 维数 基 坐标
（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．
又对 f(x)P[x]n，按泰勒展开公式有 f(x ) f(a ) f(a )(x a ) f(n 1 )(a )(x a )n 1
引 问题Ⅰ （基的问题） 入 如何把线性空间的全体元素表示出来？
这些元素之间的关系又如何呢？ 即线性空间的构造如何？
问题Ⅱ （坐标问题）
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？
怎样才能便于运算？
6.3 维数 基 坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系
6.3 维数 基 坐标
证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的． 其次， f ( x ) a 0 a 1 x a n 1 x n 1 P [ x ] n f ( x ) 可经 1，x，x2，…，xn－1线性表出．
∴ 1，x，x2，…，xn－1 为P[x]n的一组基， 从而，P[x]n是n维的.
数1就是它的一组基.
6.3 维数 基 坐标
例5 求数域P上的线性空间 P 22 的维数和一组基．
解：令
E11
1 0
0 0
,
E12
0 0
1 0
,
E21
0 1
0 0
,
E22
0 0
0 1
则 E 11,E 12,E 21,E 22是线性无关的．
事实上，由 a E 1 1 b E 1 2 c E 2 1 d E 2 2 0 ，即
注：
ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵
A
a11 a21
a12 a22
在基
E 11,E 12,E 21,E 22下的
坐标就是 (a11,a12,a21,a22).
一般地，数域P上的全体 mn矩阵构成的线性空间
P mn 为 mn维的，
矩阵单位
0
0
E ij
01 0
第 i行 i 1,2, ,m
j 1,2, ,n
0
0
就是 P mn 的一组基．
例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是
无限维的.
因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的
向量
1，x，x2，…，xn－1
6.3 维数 基 坐标
2、有限维线性空间
（1）n 维线性空间： 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是
任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个 n 维线性空间；常记作 dimV＝ n . 注：零空间的维数定义为0.
故，V是n 维的，1,2, ,n就是V的一组基．
6.3 维数 基 坐标
例2 3 维几何空间R3＝ {(x,y,z)x,y,z R }
1 ( 1 , 0 , 0 ) ,2 ( 0 , 1 , 0 ) ,3 ( 0 , 0 , 1 ) 是R3的一组基；