第二章 傅立叶变换(FT)
傅里叶变换三部曲（二）·傅里叶变换的定义
傅⾥叶变换三部曲（⼆）·傅⾥叶变换的定义Part1:傅⾥叶级数的复数形式设f(x)是周期为l的周期函数,若f(x)∼a02+∞∑n=1(a n cosnπxl+bn sinnπxl),an=1l∫l−lf(x)cosnπxl d x,(n=0,1,2,…)bn=1l∫l−lf(x)sinnπxl d x.(n=1,2,…)记ω=πl,引进复数形式:cos nωx=e i nωx+e−i nωx2,sin nωx=e i nωx−e−i nωx2i级数化为f(x)∼a02+∞∑n=1(a ne i nωx+e−i nωx2+bne i nωx−e−i nωx2i)=a02+∞∑n=1(a n−ib n2e i nωx+a n+ib n2e−i nωx)令c0=a02,cn=a n−ib n2,dn=a n+ib n2,则c0=12l∫l−lf(x)d x,c n=12l∫l−lf(x)(cos nωx−isin nωx)d x=12l∫l−lf(x)e−i nωx d x,d n=12l∫l−lf(x)(cos nωx+isin nωx)d x=12l∫l−lf(x)e i nωx d x≜c−n=¯c n,(n=1,2,…)合并为c n=12l=∫l−lf(x)e−i nωx d x,(n∈Z)级数化为+∞∑n=−∞c n e−i nωx=12l+∞∑n=−∞∫l−l f(x)e−i nωx d x e i nωx我们称c n为f(x)的离散频谱(discrete spectrum),|c n|为f(x)的离散振幅频谱(discrete amplitude spectrum),arg c n为f(x)的离散相位频谱(discrete phase spectrum).对任何⼀个⾮周期函数f(t)都可以看成是由某个由某个周期为l的函数f(x)当l→∞时得来的.Part2:傅⾥叶积分和傅⾥叶变换傅⾥叶积分公式设f T(t)是周期为T的周期函数,在[−T2,T2]上满⾜狄利克雷条件,则f T(t)=1T∞∑n=−∞∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t e j nωt,ω=2πT(上式中j是虚数单位,在傅⾥叶分析中我们不⽤i⽽通常记作j)由limT→∞f T(t)=f(t)知,f(t)=limT→∞1T∞∑n=−∞[∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t]e j nωt记Δω=2πT,则Δω→0⇔T→∞,则f(t)=limT→∞1T∞∑n=−∞[∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t]e j nωt=limΔω→012π+∞∑n=−∞∫T2T2f T(t)e−j nωt d t e j nωtΔω[][][]令F T(nω)=∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t,则f(t)=limΔω→012π+∞∑n=−∞F T(nω)e j nωtΔω,F T(t)→∫+∞−∞f(t)e−jωt d t≜F(ω)(T→∞),由定积分定义f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)e jωt dω,即f(t)=12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω上述公式称为傅⾥叶积分公式.傅⾥叶积分存在定理若f(t)在任何有限区间上满⾜狄利克雷条件,且在R上绝对可积,则12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω=f(t),t为连续点,f(t−)+f(t+)2,t为间断点.傅⾥叶变换设f(t)满⾜傅⾥叶积分存在定理,定义F(ω)=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t 为f(t)的傅⾥叶变换(Fourier Transform)(实际上是⼀个实⾃变量的复值函数),记作F(ω)=F[f(t)]类似地,定义f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)e−jωt dω为F(ω)的傅⾥叶逆变换(Inverse Fourier Transform),记作f(t)=F−1[F(ω)]在⼀定条件下,有F[f(t)]=F(ω)⇒F−1[F(ω)]=f(t);F−1[F(ω)]=f(t)⇒F[f(t)]=F(ω). f(t)与F(ω)在傅⽒变换意义下是⼀个⼀⼀对应,称f(t)与F(ω)构成⼀个傅⽒变换对,记作f(t)F↔F(ω)在不引起混淆的情况下,简记为f(t)↔F(ω).f(t)称为原象函数(original image function),F(ω)称为象函数(image function).在频谱分析中,F(ω)⼜称为f(t)的频谱(密度)函数(spectrum function),|F(ω)|称为f(t)的振幅频谱(amplitude spectrum),arg F(ω)称为f(t)的相位频谱(phase spectrum).下⾯我们来求⼏个常见信号函数的傅⽒变换.例1 求矩形脉冲函数(rectangular pulse function)R(t)=1,|t|≤1, 0,|t|>1的傅⽒变换及其频谱积分表达式.解:F(ω)=F[R(t)]=∫+∞−∞R(t)e−jωt d t=∫1−1R(t)e−jωt t=e−jωt−jω1−1=−e−jω−e jωjω=2sinωω;R(t)=12π∫∞−∞F(ω)e jωt dω=1π∫+∞F(ω)cosωt dω=1π∫+∞2sinωωcosωt dω=2π∫+∞sinωcosωtωdω=1,|t|<1, 12,|t|=1, 0,|t|>1因此可知,当t=0时,有[] []{{ []{∫+∞0sin t xd t =π2例2 求指数衰减函数(exponential decay function)E (t )=0,t <0,e −βt ,t ≥0的傅⽒变换及其频谱积分表达式,其中β>0为常数.解:F (ω)=F [E (t )]=∫+∞−∞E (t )e −j ωt d t=∫+∞0e −βt e −j ωtd t =∫+∞0e (β+j ω)t d t =1β+j ωβ−j ωβ2+ω2E (t )=12π∫+∞−∞F (ω)e j ωt ω=12π∫+∞−∞β−j ωβ2+ω2e j ωtω=1π∫+∞βcos ωt +ωsin ωtβ2+ω2d ω=0,t <0,12,t =0,e −βt ,t >0Part3:单位脉冲函数我们记电流脉冲函数q (t )=0,t ≠0,1,t =0,严格地,由于q (t )在t =0出不连续,所以q (t )在t =0点是不可导的.但是,如果我们形式地计算这个导数,有q ′(0)=limΔt →0q (0+Δt )−q (0)Δt=limΔt →0−1Δt=∞我们引进这样⼀个函数,称为单位脉冲函数(unit pulse function)或狄拉克(Dirac)函数,简记为δ−函数,即δ(t )=0,t ≠0,∞,t =0,⼀般地,给定⼀个函数序列δε(t )=0,t <0,1ε,0≤t ≤ε,0,t >ε则有δ(t )=lim ε→0δε(t )=0,t ≠0,∞,t =0于是∫+∞−∞δ(t )d t =limε→0∫+∞−∞δεd t =limε→0∫ε01εd t =1若设f (t )为连续函数,则δ−函数有以下性质:∫+∞−∞δ(t )f (t )d t =f (0);∫+∞−∞δ(t −t 0)f (t )d t =f (t 0)于是我们可得:F [δ(t )]=∫+∞−∞δ(t )e −j ωt t =e −j ωt t =0=1于是δ(t )与常数1构成了⼀对傅⾥叶变换对.例3: 证明:e j ω0t ↔2πδ(ω−ω0)其中ω0是常数.证:{{{{{{|f(t)=F−1[F(ω)]=12π∫+∞−∞2πδ(ω−ω0)e jωt dω=e jωtω=ω=e jω0t在物理学和⼯程技术中,有许多重要函数不满⾜傅⽒积分定理中的绝对可积条件,即不满⾜条件∫+∞−∞|f(t)|d t<∞例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等, 然⽽它们的⼴义傅⽒变换也是存在的,利⽤单位脉冲函数及其傅⽒变换就可以求出它们的傅⽒变换.所谓⼴义是相对于古典意义⽽⾔的,在⼴义意义下,同样可以说,原象函数f(t)和象函数F(ω)构成⼀个傅⽒变换对.例求正弦函数f(t)=sinω0t的傅⽒变换.解:F(ω)=F[f(t)]=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t=∫+∞−∞e jω0t−e−jω0t2je−jωt d t=12j∫+∞−∞e−j(ω−ω0)t−e−j(ω+ω0)t d t=jπδ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)同样我们易得F(cosω0t)=πδ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)例证明:单位阶跃函数(unit step function)u(t)=0,t<0, 1,t>0的傅⽒变换为F[u(t)]=1jω+πδ(ω)证:F−11jω+πδ(ω)=12π∫+∞−∞1jω+πδ(ω)e jωt dω=12π∫+∞−∞[πδ(ω)]e jωt dω+12π∫+∞−∞1jωe jωt dω=12+12π∫+∞−∞cosωt+jsinωtjωdω=12+12π∫+∞−∞sinωtωdω=12+1π∫+∞sinωtωdω∫+∞0sinωtωdω=π2,t>0,−π2,t<0⇒F−11jω+πδ(ω)=12+1π−π2=0,t<012,t=0,12+1ππ2=1,t>0=u(t).本⽂完|()[][]{[][][][][][] { []{()()。
傅里叶变换(FT)及其性质
实验四傅里叶变换(FT)及其性质一、实验目的1、学会运用Matlab求连续时间信号的傅里叶2、学会运用Matlab求连续时间信号的频谱图3、学会运用Matlab分析连续时间信号的傅里叶变换的性质二．实验内容clear all;close all;clcft=sym('sin(2*pi*(t-1))/(pi*(t-1))');fw=fourier(ft)ftt=sym('(sin(pi*t)/(pi*t))^2');fww=fourier(ftt)subplot(2,2,1)ezplot(abs(fw)),grid ontitle('幅度谱a')phase=atan(imag(fw)/real(fw));subplot(2,2,2)ezplot(phase),grid ontitle('相位谱A')subplot(2,2,3)ezplot(abs(fww)),grid on title('幅度谱b')phasee=atan(imag(fww)/real(fww)); subplot(2,2,4) ezplot(phasee),grid on title('相位谱B')-50511111w 幅度谱a-505-11w 相位谱A-5050.51w幅度谱b-505-1-0.500.51w相位谱B2、clear all;close all;clc syms tfw1=sym('10/(3+iw)-4/(5+iw)'); ft1=ifourier(fw1,t) fw2=sym('exp(-4*w*w)');ft2=ifourier(fw2,t) subplot(2,1,1)ezplot(t,ft1,[-15,15]),grid on title('时域信号a') subplot(2,1,2)ezplot(t,ft2,[-10,10]),grid on title('时域信号b')-20-15-10-505101520-505xy时域信号a-10-8-6-4-20246810-202xy时域信号b[注意：(1)写代码时j i]3、分别利用Matlab 符号运算求解法和数值计算法求下图所示信号的FT ，并画出其频谱图。
傅里叶变换及其性质
αt
1
单边指数函数e-αt; (b) e-αt
的幅度谱
o
(b)
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
01 02 e(j)t (j)
01j
1
ja rcta n
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分
解
别为
F ( ) 1
2 2
( ) arctan
例 2.4-3 求图 2.43(a)所示 双边指数 函数的频 谱函数。
02 或
2
B
2(rad/s)
1
Bf
(Hz)
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的， 因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信 号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。 显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电
流信号，其平均功率均为 T
12 2
P f (t)dt 2.3.3 周期信号的功率T T2
( )
02
－
4
－
2
o
门函数； (b) 门函数的频谱；－ 4(c)－幅2 度谱； (d) 相位谱
o 2 4
2 4
－
(c)
(d )
f
(t)
e at
0
f (t)
例 2.4-2 求指数函数f(t)
的1频 谱 函 数 。 e－t (＞0)
o
t
(a)
t 0 ( 0)
t 0
图 2.4-2 单边指F(数)函数e-
性。
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
f (t) Fnejnt
2.2.1 指数形式的傅里叶级数 n
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣
归纳4种傅里叶变换.ppt
x(t )
X ( jk0 )
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk0
)
1 Tp
Tp / 2 x(t )e jk0t dt
Tp / 2
反 : x(t )
X ( jk 0 )e jk0t
k
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 周期的
频域信号 非周期的 离散的
时域：连续、周期（周期为Tp） 频域：非周期、离散（谱线间隔为2π/Tp）
.,
4种傅里叶变换
.,
4种傅里叶变换2.连续傅里叶变换(FT)
非周期连续时间信号 FT 非周期连续频谱
x(t)
正变换：
0
X ( j ) x(t)e jtdt
t
X ( j )
反变换：
0
x(t) 1 X ( j )e jtd
2
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
.,
4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
.,
--t
s
2 T
正 : X (e j )
x(n)e jn
n
反 : x(n) 1 X (e j )e jn d
2
.,
---
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的
频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T）
傅里叶全部公式
傅里叶全部公式
傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域的数学工具。
它通过将时域函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加来实现。
傅里叶变换和逆变换的公式如下：
傅里叶变换公式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^−jωt dt
逆傅里叶变换公式：f(t) = (1 / 2π) ∫[−∞,+∞] F(ω) e^jωt dω
其中，f(t)是时域函数，F(ω)是频域函数，e是自然常数，j 是虚数单位√(-1)，ω是频率，t是时间。
此外，傅里叶级数展开公式也是傅里叶变换的一种形式，它用来将周期函数分解成一系列振幅和相位不同的正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数展开公式：f(t) = a0/2 + ∑[n=1,∞] (an cos(nωt) + bn sin(nωt))
其中，a0、an、bn是常数系数，表示不同频率分量的振幅，ω是基本频率。
这些公式是傅里叶变换和级数展开的基础公式，用于将函数在时域和频域之间进行转换，并在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛应用。
需要注意的是，傅里叶变换和级数展开还有一些特定的性质和变体公式，这些公式可以根据具体的应用场景进行扩展和变换。
傅里叶变换的性质
1 0 1
21 31
即：
T
t
1 e jn1t T n
再求这个级数的傅氏变换
F
1 T n
e
j
n1t
2
T
n
n1
1 n1
n
T t 的频谱函数如图2-25b所示。 F
1
1
0 1
21 31
单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列。
9、奇、偶、虚、实性
f t为实函数时， F 的模与幅角、实部与虚部表示形式
-1
0
0
0
/2
0
0
0
/2
例2-5 求如图2.-18所示
f t 的 F 并作图。
f t
A
t
2
2
-A
解 令 f1t Ag t ， f t f1tcos0t 0 2 /
图 2 .
F1 ASa / 2
3
4
则
F
1 2
F1
0
F1
0
A
2
S
a
0 2
Sa
0 2
其中 0 2 /
F1以及 F 如图2-19所示。
a a
特别地，当 a 1 时，得到 其频谱亦为原频谱的折叠，即
f t 的折叠函数 f t ，
f t F 。
尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反 之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号 的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频 宽无限，反之亦然。
可以理解为信号波形压缩（扩展）
为
F f te jtdt
f
t co std t
j
f tsin tdt
信号与系统第2章
第二章 傅立叶变换
(5) 微分特性 如果 那么
（6）积分特性 如果 那么
如果F(0)=0
第二章 傅立叶变换
(7)卷积定理 1．时域卷积定理 如果 那么 (8)频域卷积定理 如果
那么
第二章 傅立叶变换
11周期信号的傅里叶变换
周期信号的频谱------用傅里叶级数表示。 非周期信号的频谱——用傅里叶变换表示。 周期信号的频谱可以用傅里叶变换表示吗？ （1）正弦、余弦信号的傅里叶变换 直流信号的博立叶变换为
n1 ) 2 n1 2
2 E sin( An T
2 E sin( An T
2
)
2
这里
2 1 T
Hale Waihona Puke n1第二章 2 E sin( An T
傅立叶变换
2
)
2
若: 2 An 0 （1） 2 （2） 2
该式表明：周期信号f(t)的傅里叶变换F(ω )是由一些冲击函数组成的， 并位于基波ω 1的整数倍处，冲击强度为f(t)的指数傅里叶级数的系数Cn 的2π 倍。
第二章 傅立叶变换
例4. 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。
傅里叶级数为
第二章 傅立叶变换
例5. 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换 矩形脉冲信号f(t)的 傅里叶系数为：
第二章 傅立叶变换
例1已知矩形脉冲f1(t)如图(a)所示，其相位谱如图(b)所示， 将f1(t)右移τ /2得到如图（c）所示f2(t),试画出其相位谱。
由题意可知
根据时移特性，可得f2(t)的频谱函数 为
第二章 傅立叶变换
f2(t)幅度谱没有变化，其相位谱比图(b)滞后τ ω /2、如图（d）所示。要
数字信号处理第二章z变换与离散时间傅里叶变换DTFT
0 4 Re[z]
x(n)是一个因果序列，即x(n) 0，n 0
同样当n 0时，由F (z)
z n 1
在c外无
(4 z)(z 1/ 4)
极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由
围线外极点留数为0可得x(n) 0
当n 0时 F(z)
z n 1
(4 z)(z 1/ 4)
Roc : a < z 1/ a
j Im[z]
零点：z 0, 极点：z a,a1
a
Re[z]
0
1/ a
• 给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列， 只有同时给出收敛域才能唯一确定。
• X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
– 右边序列的z变换收敛域一定在模最大 的有限极点所在圆之外
– 左边序列的z变换收敛域一定在模最小 的有限极点所在圆之内
ZT
[a
nu
(n)]
1
1 az
1
za
ZT
[a
nu(n
1)]
1
1 az
1
z 2
2n u(n)
za
1 1 3z1
z 3 3n u(n 1)
xn 2nun 3n un 1
例2 设
1 X (z) (1 2z1)(1 0.5z1) ,
利用部分分式法求z反变换。
解：
z2 X (z)
(z 2)(z 0.5) 4 z 1 z
本章主要内容：
1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述
§2.1 z变换的定义及收敛域
傅立叶变换(FT)
t
（a）FS项数越多，合成波形误 差越小； （b）低频分量组成方波的主体，高频分 量主要影响脉冲前沿； （c）不论n为多大，在间断点总有9% 的 偏差，称为吉布斯现象。
n=5 n=3
9% E
0
/2
t
§2-3 非周期信号频谱分析— 傅里叶变换（FT）
2.3-1 FT 定义 周期信号的频谱谱线的间隔为 周期信号的频谱谱线的长度为
(4) 带宽只与脉冲脉宽有关，而与脉高和周期均无关。信号 带宽定义为=0～2/ 这段范围，即 B=2/ 或 f B=1/
(5) 时域参数对频谱的影响
f(t)
E
2E 5
傅里叶频谱
cn
T1=5
- /2 0 /2
T1
2 T1
t
E 5
0
2/
4/
6/
- /2 0 /2
f (t )e jn t dt
1
F (ω) lim F (nω1 )T1 lim
T1
F (ω) f (t )e jt dt
T 1 2 T1 2
f (t )e jn t dt
FT变换
f(t)
F(n1)
傅立叶变换FT
F(0)
…
-T1 - /2 0 /2 T1
1 jn 1t f (t )e dt T1
2
Ee jn 1t dt
2
Eτ T1
sin(
nτ ) T1 nω1τ Eτ Sa ( ) nτ T1 2 T1
1
所以
nω1 jn t Eτ j f (t ) Sa( )e | Fn | e e jn t T 2 n 1 n
傅里叶变换的意义及基础
傅里叶变换的意义及基础傅里叶变换的意义傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。
傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值(或频率值)，我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。
这都是一个信号的不同表示形式。
它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅立叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。
幅度是表示这个频率分量的大小。
那么相位呢，它又有什么物理意义呢,频域的相位与时域的相位有关系吗,信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系,傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。
也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。
想一想这个问题，给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢。
答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。
所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。
傅立叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。
傅里叶变换红外光谱(ftir)
傅里叶变换红外光谱（FTIR）是一种广泛应用于化学、生物学和材料科学领域的分析技术。
它利用样品对红外光的吸收和散射来确定样品的化学成分和结构。
傅里叶变换红外光谱分析的过程涉及到复杂的光学原理和数学算法，其深度和广度远超一般人的想象。
让我们从简单的红外光谱开始。
红外光谱是指物质在接受红外辐射后发生的吸收、透射或反射现象。
这些现象与物质的分子运动和振动有关，因此可以通过观察红外光谱图来了解物质的分子结构、功能团及化学键等信息。
红外光谱是一种非常有用的分析手段，能够对各种物质进行快速、无损的分析，因此在化学、材料科学、生命科学等领域被广泛应用。
我们可以深入了解傅里叶变换红外光谱。
傅里叶变换（FT）是一种数学方法，用于将信号在时域和频域之间进行转换。
在傅里叶变换红外光谱中，FT将时间域的红外光谱信号转换为频率域的光谱信息，从而能够更准确地分析样品的化学成分和结构。
傅里叶变换的原理和算法需要深入的数学和物理知识来支撑，通过FTIR技术获得的光谱数据也需要复杂的数据处理和解释。
让我们讨论FTIR在化学和材料科学中的应用。
FTIR技术可以用于分析化合物的官能团、结构和构象，从而在有机化学合成、聚合物材料研究、医药化学等领域发挥重要作用。
FTIR还可以用于检测样品的纯度、鉴定杂质和表征材料的特性，因此在材料科学、制药工业、环境监测等领域有着广泛的应用价值。
我想共享一下我对FTIR的个人观点和理解。
作为一种高级的红外光谱分析技术，FTIR需要掌握复杂的原理和操作技巧，但其所获得的化学信息和结构信息也是非常丰富和准确的。
在我看来，FTIR不仅是一种分析手段，更是一种深入探索物质本质的工具，它的应用范围和研究意义将会越来越广泛，对于推动化学和材料科学的发展将会发挥重要作用。
总结而言，傅里叶变换红外光谱（FTIR）作为一种高级的分析技术，其深度和广度远超一般的红外光谱分析，需要深入的理论基础和实践技能来支撑。
通过FTIR技术可以获得大量的化学和结构信息，对于化学、材料科学和生命科学领域具有重要的应用价值。
第二章离散时间傅立叶变换DTFT
jX I (e j ) FT[xo (n)] xo (n)e jn n
即序列对称、反对称分解，频域作实部、虚部的分解
证明
由：
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
有：
FT [ xe
(n)]
1 2
[X
(e
j
)
X
* (e
j
)]
X
R
(e
j
)
FT[xo (n)]
RN (n)e jn e jn
nn01 e jN 1 Nhomakorabeae je (e jN / 2 jN / 2 e jN / 2 ) e j / 2 (e j / 2 e j / 2 )
e j(N 1) / 2 sin( N / 2) sin( / 2)
| X (e j ) | sin(N / 2) sin( / 2)
n
2
内容：时域、频域能量守恒。 即信号时域的总能量等于频域的总能量。
X (e j ) 2 称为能量谱密度
证明：
2
x(n) x(n)x*(n)
x*(n)[ 1
X (e j )e jnd)]
n
n
n
2
1 X (e j ) x (n)e jnd
2
n
1 X (e j ) X *(e j )d
[x(n)
x(n)]
例 x(n)=anu(n); 0<a<1; 求其偶函数xe(n) 和奇函数xo(n)。
解: 序列x(n)
共轭对称部分xe(n)
共轭反对称部分xo(n)
2.3 周期序列的离散傅立叶级数 及傅立叶变换
数字信号处理(第三版)第2章习题答案
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3
求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频 率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频 特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5 章）等。
X e (e j ) FT[xr (n)]
Hale Waihona Puke 1 1 ej2 1 e j2 1 (1 cos 2)
24
4
2
因为 所以
Xe
(e j
)
1 2
[X
(e j
)
X
(e j
)]
X(ejω)=0π≤ω≤2π
X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=0 0≤ω≤π
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
当0≤ω≤π时，
用留数定理求其逆变换， 或者将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收 敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取 单位圆。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为
X
(e
j
)
1
1 ae
j
a 1
1 求其反变换x(n)。 将z=ejω代入X(ejω)中， 得到 X (z) 1 az 1
三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统 的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推 广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
傅里叶变换ft
傅里叶变换ft傅里叶变换（Fourier Transform, 缩写为FT）是一种常用于信号分析和数字信号处理（DSP）的数学工具。
通过FT，我们可以将一个复杂的信号分解为基础频率的正弦波，从而更好地理解信号特点。
为了更好地了解FT的原理，我们需要先了解一些相关的概念：1. 周期函数周期函数是指具有某个周期T，能够在这个周期内反复出现的函数。
例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期函数，它们的周期都是2π，即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期函数分解成基础频率（也称为基频）的正弦波的数学工具。
在傅里叶级数中，一个周期函数可以表示为：f(x) = a0/2 + Σ[an*cos(nωx) + bn*sin(nωx)]其中，a0 = (1/T) ∫T(-T)f(x)dxan = (2/T) ∫T(-T)f(x)cos(nωx)dx （n为正整数）bn = (2/T) ∫T(-T)f(x)sin(nωx)dx （n为正整数）其中ω=2π/T为基频，an和bn分别表示正弦波和余弦波的振幅。
3. 连续傅里叶变换连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform, 缩写为CFT）是指将非周期函数（例如一些信号）分解成基础频率的正弦波的数学工具。
CFT的公式为：F(ω) = ∫(无穷大到无穷小)f(x)exp(-iωx)dx其中，F(ω)为频率为ω的正弦波在信号f(x)中的振幅，i为虚数单位。
4. 离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, 缩写为DFT）是指将离散的非周期信号（例如数字音频信号）分解成基础频率的正弦波的数学工具。
DFT的公式为：X[k] = Σ(N-1到n=0)x[n]exp(-i2πkn/N)其中，X[k]为频率为k的正弦波在离散信号x[n]中的振幅，N为输入信号的长度。
23周期序列的傅里叶变换级数及傅里叶变换表达式
其Fourier变换是
在 0 处的单位冲激函数，幅度是2π,即
X a ( j) FT[x a (t )] e j 0t e jt dt 2( 0 )
(2.3.8)
对于时域离散系统， x(n) e j 0n 由于n是整数，故有
e j 0n e j(0 2r )n 因此，x(n)的FT为
对于一般周期序列 ~ x (n ) 按式(2.3.5)展开后，第k次谐波为：
因此，k次谐波和复指数序列 x(n) e j 0n 的FT相比较，见(2.3.9) k次谐波的FT为： (其频率为ωk= 2πk / N )
~ (X(k) / N)
这样，序列 ~ x (n )的FT应为：
N1
r
设x(n)是以N为周期的序列，因是周期的，可展成Fourier级数:
j 2N kn ~ x (n ) a k e
N 1 k 0
(2.3.1)
ak是周期序列,为什 么?
式中，ak 是Fourier级数的系数：
ak
1 N
N1 n 0
j kn ~ x(n)e N , k
第二章 时域离散信号和系统的频域分析 2.3.1 周期序列的离散Fourier级数
2.3 周期序列的离散傅 里叶级数及傅里叶变换
2.3 周期序列的离散Fourier级数及Fourier变换表示式
周期序列因不满足式(2.2.2)绝对可和条件，因此它的FT不存 在，但由于是周期性的，可以展成离散Fourier级数。
2
(2.3.3)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
ak
1 N N1 n 0 j kn ~ x(n)e N , k 2
信号处理第二章知识点
第二章 连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS(1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞<⎰dt t f T 1)(。
(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集}:{1Z n e t jn ∈ω，函数周期为T 1，角频率为11122T f π=π=ω。
(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。
(4) 三角形式的FS ：(i) 展开式：∑∞=ω+ω+=1110)sin ()(n n n t n b t con a a t f(ii) 系数计算公式：(a) 直流分量：⎰=1)(110Tdt t f T a (b) n 次谐波余弦分量：N n tdt n t f T a Tn ∈ω=⎰,cos )(2111(c) n 次谐波的正弦分量：N n tdt n t f T b Tn ∈ω=⎰1,sin )(211(iii) 系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。
(iv) 称11/1T f =为信号的基波、基频；1nf 为信号的n 次谐波。
(v) 合并同频率的正余弦项得：(a) ∑∞=ψ+ω+=110)cos()(n n n t n c c t f(b) ∑∞=θ+ω+=110)sin()(n n n t n d d t fn ψ和n θ分别对应合并后n 次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi) 傅里叶系数之间的关系：(a) 000d c a ==(b) n n n n n d c a θ=ψ=sin cos (c) n n n n n n d c b θ=ψ-=cos sin (d) 000a d c ==(e) 2222n n n n b a d c +==(f) nnn a b arctg -=ψ(g) nnn b a arctg=θ (5) 复指数形式的FS ：(i) 展开式：∑∞-∞=ω=n t jn n e F t f 1)((ii)系数计算：Z n dt e t f T F Tt jn n ∈=⎰ω-,)(1111(iii) 系数之间的关系：⎪⎩⎪⎨⎧≠-==0),(210,0n jb a n a F n n n **,nn n n F F F F ==--)0(,21212122≠+====-n b a d c F F n n n n n n)0(,≠==+-n d c F F n n nnn n n a F F =+- j b F F n n n /=--)0(4422222≠==+==-n F F F b a d c nn n n n n n(iv) n F 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。
傅里叶变换推导
傅里叶变换推导
傅里叶变换函数所要满足的条件：
以T为周期，且在区间上满足狄利克雷〔dirichlet〕条件：1，f(t)在上连续或只有有限个第一类连续点；
2，f(t)在上只有有限个连续点。
如此函数在连续点处可表示有
其中
利用欧拉公式
改写上式：
(n=1,2,3….)
〔n=0,-1,-2,-3….〕
如此它们可合成一个式子： (n=…-2,-1,0,1,2,3….)
假如令 (n=…..-2,-1,0,1,2…..)
如此可表示为：
这就是傅里叶级数的复指数形式，或者表示为：
一般函数可看作周期无限大的周期函数
最终可求出傅里叶积分公式
傅里叶变换的根本性质
性质时域f(t) 频域F〔f〕时域频域
对应关系线性线性叠加对称性F(t) 2f f(-f) 对称
尺度变换压缩与扩展
反
时移时移与相移
频移F(f-f
)
调制与频
移
时域微分频域微分时域积分
时域卷积)
成绩与卷
积
频域卷积)
时域抽样
抽样与重
复
频域抽样
相关R
12 (τ) R
21 (τ)
自相关R(τ)。
快速傅里叶逆变换ifft
快速傅里叶逆变换ifft快速傅里叶逆变换（Inverse Fast Fourier Transform，简称 IFFT）是一种数学计算方法，可以将频域信号转换为时域信号。
该技术在信号处理、图像处理、语音处理、音频处理等领域有着广泛的应用。
1. 傅里叶变换和逆变换的介绍傅里叶变换是一种信号分析方法，将时域信号分解成不同频率的正弦和余弦信号，然后在频域对信号进行分析。
傅里叶逆变换是将频域信号重新合成为时域信号的方法。
假设一个连续信号 x(t)，其傅里叶变换为 X(f)。
其中，f 表示信号的频率。
傅里叶逆变换可以表示为：x(t) = 1/2π ∫ X(f) e^(j2πft) df其中，j 是虚数单位，e^(j2πft) 是频率为 f 的复指数函数，代表正弦和余弦信号的和。
该式表示将频域信号 X(f) 再次合成为时域信号 x(t)。
传统的傅里叶逆变换方法需要进行复杂的积分计算，计算复杂度较高，运算时间也会随着信号长度的增加而大大增加。
在实际应用中，通常需要对更复杂的信号进行处理，而传统的傅里叶逆变换方法已经不再适用。
快速傅里叶逆变换（IFFT）是为了解决这个问题而提出的算法。
它可以大大缩短计算时间，提高计算效率。
IFFT 是快速傅里叶变换（FFT）的逆变换。
FFT 的计算速度非常快，因此 IFFT 可以利用 FFT 的计算结果来加速计算。
IFFT 的计算公式如下：其中，k 为时域信号的频率，N 为信号的长度，X(n) 为频域信号的值。
该公式表示，在频率为 k 的位置计算时域信号的值。
在 n 和 k 的循环中，n 的值从 0 到 N-1，k 的值从 0 到 N-1。
3. IFFT 的算法流程IFFT 的算法流程主要分为输入数据变换、运算和输出数据变换三个步骤。
具体流程如下：（1）输入数据变换：将时域信号变换成复数域中的频域信号。
（2）运算：通过运算计算得到时域信号。
IFFT 技术广泛应用于信号处理、图像处理、语音处理、音频处理等领域。
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T1 2
非周期信号可以看成是周期T1趋于无限大的周期信号
非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线的长 度趋于零。
解决 方法
T1
F (nω1)T1
2 f (t)e jn1t dt
T1 2
T1
F (ω)
lim
T1
F (nω1)T1
lim
T1
2
T1 2
f (t)e jnt dt
F (ω) f (t)e jtdt
n
arctg
bn an
n
arctg
an bn
初相位
复指数形式的FS
设周期函数 f(t)的周期为T1 展开成复指数函数的无穷级数形式
f (t)
Fn e jn1t
n
系数计算方法
Fn
1 T1
t0 T1
f
t0
(t)e jn1t dt
其中：n 1， 2， 3，
复指数形式的FS
三角函数FS与复指数FS的系数间的关系
(3) Fn是双边谱，正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度；
(4) 带宽只与脉冲脉宽有关，而与脉高和周期均无关。信号
带宽定义为=0～2/ 这段范围，即
B=2/
或
f B=1/
(5) 时域参数对频谱的影响
f(t)
E
cn
2E
5
傅里叶频谱
T1=5
- /2 0 /2
T1
2T1 t 0
E 5
2/ 4/ 6/
傅里叶频谱
2.2-3 周期脉冲信号的傅里叶频谱特点
(1) 谱线包络线为Sa函数，仅在一些离散频率点(n1)上有值， 离散间隔为1=2/T1 ；
(2) 频谱中包含无穷多条谱线，表示为无穷多个频率分量，
且在n1=m·2/ (m=±1, ±2,±3, …)的频率点处出现零
点，在频域，能量集中在第一个过零点之内；
1. 矩形脉冲信号： f (t) EG (t)
F() E Sa 2
F()为实函数
f (t)=EG(t) E
F ()
E
Sa
2
幅频谱
(ω)
0
π
4nπ ω 2(2n 1)π
τ
2(2n 1) ω 4(n 1)π
(n 0,1,2,3,)
(F (ω) 0) (F (ω) 0)
F()
an c，d
f (t) c0 cn cos (n1t n ) n1
f (t) d0 dn sin(n1t θ n ) n 1
a0 c0 d0
an cn cosn dn sinn
bn cn sin n dn cosn
a，b
c0 d0 a0 cn2 dn2 an2 bn2
2
a0 an T1
f (t) cos n1tdt 0
T1
积分项为奇函数
f(t)
…
…
-T1 -T1/2 0 T1/2 T1
t
周期信号的FS
奇谐周期信号(奇谐函数)的FS
f (t)= -f (t±T1/2) FS系数只含有奇次谐波分量，不含直流分量和偶次谐波分 量。从波形上看，奇谐函数半周期为正，半周期为负。
n
傅里叶频谱
其中：
Fn
Eτ T1
Sa ( nω1τ ) 2
0 n
Fn 0 Fn 0
Fn
Eτ
T1
…
0
n
1
21
2/
幅频谱 相频谱
指数形式的 FS 频谱图
…
4/
-
将两者合并画出的频谱图如下图所示
Eτ Fn
T1
…
0 1 21 2/
傅里叶频谱
…
4/
Fn FS谱
Fn
FS 幅度谱
n Arg (Fn ) FS相位谱
设 f(t)的FS为
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
若取前2N +1项作为有限项
N
f N (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
则 fN(t)近似 f(t)的误差函数为
ε N (t) f (t) - fN (t)
而均方误差为
f (t)
τ
0
t
(a)
F()
信号等效脉宽
F(0)/ f (0)
信号等效带宽
B B
fB f (0) / F(0)
0
(b)
2. 单边指数信号：
f (t) eat (t)
F () 1 a j
f (t)
1
典型非周期信号的FT
(a 0)
F()
1
a2 2
幅频谱
相频谱
(ω)
Arg
F (ω)
Arg
c0
Eτ T1
傅里叶频谱
cn
an2 bn2
| an |
2Eτ T1
Sa
(nω1
τ 2
)
n
arccos( an cn
)
arccos( |
an an
) |
0
an 0 an 0
幅频 特性
2Eτ cn
T1 Eτ
T1
三角形式的 FS 频谱图
…
0n1 21 2/
4/
相频
特性
-
2.2-2 展开成复指数形式的FS
f (t)= f (-t)
Fn是偶对称的实数序列，FS系数只有直流分量和余弦项。
2
bn T1
f (t) sin n1tdt 0
T1
积分项为奇函数 f(t)
…
…
-T1 -T1/2 0 T1/2 T1
t
周期信号的FS
奇周期信号(奇函数)的FS
f (t)= -f (-t)
Fn是奇对称的纯虚序列，FS系数只有正弦项。
a jω a2 ω2
arctgω a
|F()|
()
/2
1/a
0
0
t
(a)
0
(b)
-/2 (c)
3. 偶双边指数信号： f (t) ea t
F ()
2a a2 2
(实偶函数)
典型非周期信号的FT
(a 0)
F ()
2a a2 2
() 0
幅频谱 相频谱
F()
f (t) 2/a
1
0
t
(a)
（c）不论n为多大，在间断点总有9% 的 偏差，称为吉布斯现象。
n=5
f(t)
n=3
0
T1 t
n=1
9% E
/2
t
§2-3 非周期信号频谱分析— 傅里叶变换（FT）
2.3-1 FT 定义
周期信号的频谱谱线的间隔为
1
2 T1
周期信号的频谱谱线的长度为
1
Fn F (nω1) T1
T1
2 f (t)e jnω1t dt
FT变换
f(t)
…
…
-T1 - /2 0 /2 T1
t
…
…
-T1
- /2 0 /2
T1
t
…
-T1
…
- /2 0 /2
…
T1
t
…
- /2 0 /2
t
F(n1) 傅立叶变换FT
F(0)
0 1 21 2/
F(n1)
F(n1)/1
F(n1)
1
F()
0
2/
傅里叶变换对(FT、IFT)
傅立叶变换FT
t
2.2-1 展开成三角函数形式的FS
由于f (t)为偶函数，其FS 系数只有直流分量和余弦项。
a0
1 T1
T1 2 T1 2
f (t)dt
1 T1
2
Edt
2
Eτ T1
傅里叶频谱
an
2 T1
T1 2 T1 2
f (t) cos n1tdt
2 T1
2 2
E
cos
2π T1
nt dt
第二章 傅立叶变换（FT）
内容提要
• 傅立叶级数 • 傅立叶变换 • 典型信号的傅立叶变换 • 周期信号的傅立叶变换 • 抽样信号的傅立叶变换 • 抽样定理
§2-1 周期信号频谱分析—傅里叶级数（FS） 狄里赫利条件
(1) 在一个周期内，间断点的个数有限; (2) 极大值和极小值的数目有限; (3) 信号绝对可积。
eN
1 t0 T1 ε
T1 t0
2 N
(t)dt
1 T1
t0 T1
f 2 (t)dt [a02
t0
1 2
N
(an2 bn2 )]
n 1
傅里叶频谱
以矩形脉冲信号为例，从下图来探讨误差与项数的关系：
f(t)
- /2 0 /2
（a）FS项数越多，合成波形误 差越小；
（b）低频分量组成方波的主体，高频分 量主要影响脉冲前沿；
FT：
F () f (t)e jtdt
IFT： f (t) 1 F()e jtd 2
变换核函数 e jt
FT/IFT 的性质
唯一性： 如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。
可逆性： 如果 F f (t) F(，)则必有 F 1F()，f (反t) 之亦然。
FT存在的充分条件：时域信号绝对可积。
则按式
f (t)
Fn e jn1t
n
傅里叶频谱
T1
其中：Fn
1 T1
2
f (t)e jn1t dt