高中文科数学高考复习辅导(3)及答案
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)第三次高考模拟训练试题及答案解析
最新高三第三次模拟考试数学(文)试题注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.第Ⅰ卷一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。1.已知全集为R,集合22{|1(1)},{|320}A x y og x B x x x ==-=-+≤,则R A C B =IA.{|2}x x >B.{|12}x x ≤≤C.{|2}x x ≥D.{|12}x x x <>或2.已知i 是虚数单位,若21iz i -=-,则z 所表示的复平面上的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3.双曲线221133x y -=的渐近线与圆222(4)(0)x y r r -+=>相切,则r= A.4 B.3 C.2 3 4.已知直线1:1l ax y +=和直线2:91l x ay +=,则“a+3=0”是“1l ∥2l ”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件5.设2,2()1(7),2t t x x f x og x x ⎧<⎪=⎨+≥⎪⎩,则2)4f =,则(3)f = A.2 B.4 C.6 D.86.已知数列{n a }为等差数列,前n 项和为n S ,若7896a a a π++=,则15cos S 的值为A.-1 B.123D.3 7.右图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是 A.4 B.5238.已知集合260(,)00x y x y x y x y +-≤⎧⎧⎫⎪⎪⎪+≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y)则点P(x,y)的坐标满足不等式224x y +≤的概率为A.3π3 B.12π C.24πD.332π 9.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,准线为犾,,l P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若3FP FQ =u u u r u u u r,则QF =A.83 B.43C.2D.1 10.设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数,对,x y R ∀∈,都有().()()f x f y f x y =+,若数列{n a }满足*11,(),3n a a f n n N ==∈,且其前n 项和n S 对任意的正整数n 都有n S ≤M 成立,则M 的最小值是 A.14B.13C.12D.111.命题:[,],2sin(2)0646Ex x m πππP ∈-+-=,命题2:(0,),210q Ex x mx ∈+∞-+<,若()q P ∧⌝为真命题,则实数犿的取值范围为A.[-2,1]B.[-1,1]C.[-1,1)D.(0,2]12.定义:如果函数()f x 在[a,b]上存在1212,()x x a x x b <<<满足1()()'()f b f a f x b a -=-,2()()'()f b f a f x b a--,则称函数()f x 是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数32()f x x x a =-+是[0,a] 上的“双中值函数”,则实数a 的取值范围是A.11(,)32B.(3,32)C. (12,1) D. (13,1) 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答.二、本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡上.13.若非零向量().()0,3,a b a b a b -+=+=r r r r r r 则,a b r r的夹角为 .14.设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与轴x 相交于点A,与y 轴相交于点B,且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2,o 为坐标原点,则mn 的最大值为.15.A 、B 、C 三点在同一球面上,∠BAC=135°,BC=4,且球心O 到平面ABC 的距离为1,则此球O 的体积为 .16.已知函数2()f x x ax =-的图象在点(1,(1))A f 处的切线与直线 320x y ++=垂直.执行如图所示的程序框图,输出的k值是 .三、解答题:本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请把答案做在答题卡上.17.(本小题满分12分)已知函数()cos .sin()6f x x x π=-(1)求()f x 的单调减区间;(2)在ΔABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若 1(),24f C a =-=,且ΔABC 的面积为23求边长C 的值.18.(本小题满分12分)高三年级为放松紧张情绪更好地迎接高考,故进行足球射门比赛,现甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行射门比赛,每人射10次,射中的次数统计如下表:(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明);(2)在本次比赛中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的射中次数.求甲班同学射中次数高于乙班同学射中次数的概率.19.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥AD 且AB=AD=12CD=1,现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿AD 将正方形翻折,使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直(1)求证:平面BDE ⊥平面BEC; (2)求三D-BEF 的体积V.20.(本小题满分12分)设F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点,点3(1,)2p 在椭圆E上,直线0:34100l x y --=与以原点为圆心、以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆E 的方程;(2)过点F 的直线l 与椭圆相交于A,B 两点,过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q.问是否存在直线l ,使得四边形PABQ 的对角线互相平分?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()1,()xf x ax nxg x e =+=. (1)当0a ≤时,求()f x 的单调区间;(2)若不等式()g x x m <+有解,求实数m 的取值范围; (3)证明:当a=0时,()()2f x g x ->.选考题:请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做,则按所做的第一题计分。(本小题10分)22.(10分)选修4—4:坐标系与参数方程:在平面直角坐标系xOy 中,直线l的方程为22(2x ty t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),以原点O 为极点,Ox 轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系,曲线犆的方程为ρ=4cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程; (2)设点A(2+2cos α,2sin α),,2)22B -,求|AB|的最小值.(其中α、t 为参数)23.(10分)选修4-5:不等式选讲:已知函数()|1||1|f x x x =-++. (1)求不等式()3f x ≥的解集;(2)若关于x 的不等式22()2f x a x x >-+在R 上恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题 AADCA DDBBC BC二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡上.13. 3π14.6115. 36π16.15三、解答题:本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请把答案做在答题卡上. 17.解:21()cos (sin cos sin cos )cos 26624f x x x x x x ππ=-=-11cos(2)234x π=++ (4)分(1)由222()3k x k k z ππππ≤+≤+∈得()f x 的单调减区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ……6分 (2)111()cos(2),cos(2)1,.234433f C C C C πππ=++=-∴+=-∴= (8)分1sin 8,2,4,2ABC S ab C ab a b ∆===∴==∴=Q Q …………………10分 由余弦定理得2222cos 12,c a b ab C c =+-=∴= …………………12分 18.解:(1)两个班数据的平均值都为7, ………1分(2)甲班1到5号记作,,,,a b c d e ,乙班1到5号记作1,2,3,4,5,从两班中分别任选一个同学,得到的基本样本空间为Ω= {1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5}a a a a ab b b b bc c c c cd d d d de e e e e由25个基本事件组成,这25个是等可能的 ………8分将“甲班同学射中次数高于乙班同学射中次数”记作A ,则{1,1,1,1,2,4,5,1,4,5}A a b c d d d d e e e =,A 由10个基本事件组成, ………10分所以甲班同学射中次数高于乙班同学射中次数的概率为102255=.………12分19.解: (1) 证明:在ABC ∆中,有2,2===BD BC CD 得 BD CB ⊥ ………2分又由平面ADEF ⊥平面ABCD ,且ED AD ⊥ 有 ABCD ED 平面⊥,得 ED CB ⊥ ………4分 ED BD ⋂Θ, 则BDE BC 平面⊥ , BEC BC 平面⊂Θ故BEC BDE 平面平面⊥. ………6分(2) 由平面ADEF ⊥平面ABCD ,且AB AD ⊥,得ADEF AB 平面⊥ 则6112131=⨯⨯===--DEF B BEF D V V V . ………12分20.(本小题满分12 分)解: (1)由题意知22229141a a b a b⎧==⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪⎪+=⎩所以椭圆E 的方程为22143x y +=……………………4分 (2):结论:存在直线l ,使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……5分理由如下: (方法一)由题可知直线l 、PQ 的斜率存在.设直线l 的方程为(1)y k x =-,直线PQ 的方程为(y k x =- 由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()()22223484120k x k x k +-+-=由题意知0∆>,设()()1122,,,A x y B x y ,则21212228412,3434k k x x x x k k -+==++ ……7分由221433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 得()()()22223481241230k x k k x k k +--+--= 由0∆>知12k ≠-,设()333,,1,2Q x y P ⎛⎫⎪⎝⎭Q ,则22332281241231,13434k k k k x x k k ---+==++g ……9分 若四边形PABQ 的对角线互相平分,则PB 与AQ 的中点重合. 132122x x x ++=,即()()22123121231,41x x x x x x x x -=-∴+-=- 2222222841241233413434344k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫---∴-=-⇒= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭g 所以直线l 的方程为3430x y --=时, 四边形PABQ 的对角线互相平分. …12分理由如下: (方法二)由题可知直线l 、PQ 的斜率存在.设直线l 的方程为(1)y k x =-,直线PQ 的方程为3(1)2y k x =-+由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()()22223484120k x k x k +-+-=则AB ==, ……7分 由221433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 得()()()22223481241230k x k k x k k +--+--=则PQ ==, ……9分 若四边形PABQ 的对角线互相平分,则四边形PABQ 为平行四边形,AB PQ ∴=2213144k k k k ∴+=++⇒=所以直线l 的方程为3430x y --=时, 四边形PABQ 的对角线互相平分. …12分(另(2):若直接由对称性得出直线l 的方程为3430x y --=而没有说明唯一性的给5分) 21.(本小题满分12 分).解(1) ()f x 的定义域是(0,)+∞,1'(),(0)f x a x x =+>01当0a =时,'()0f x >,所以在(0,)+∞单调递增;02当0a <时,由'()0f x =,解得1x a=-.则当1(0,)x a ∈-时. '()0f x >,所以()f x 单调递增.当1(,)x a∈-+∞时,'()0f x <,所以()f x 单调递减.综上所述:当0a =时,()f x 增区间是(0,)+∞;当0a <时,()f x 增区间是1(0,)a -,减区间是1(,)a-+∞. …………4分(2)由题意:x e x m <+有解,因此只需x m e x >-有解即可,设()xh x e x =-,'()1x h x e =-,因为(0,)x ∈+∞时1x e >,所以'()0h x >,故()h x 在[0,)+∞上递增;又(,0)x ∈-∞时1xe <,所以'()0h x <.故()h x 在(),0-∞上递减,所以()(0)1h x h ≥=故1m >. …………8分 (3)(方法一)当0a =时,()ln f x x =,()f x 与()g x 的公共定义域为(0,)+∞,)x -,)+∞时,'()0k x <,()k x 单调递减. (12)(3)(方法二)当0a =时,()ln f x x =,()f x 与()g x 的公共定义域为(0,)+∞,()()ln ln x x f x g x x e e x -=-=-,令()ln x F X e x =-,,所以'()F x 单调递增且当()00,x x ∈时'()0,()F x F x <递减; 当()0,x x ∈+∞时'()0,()F x F x >当递增; (12)22、(10分) 选修4—4:坐标系与参数方程解:(1) 由方程,2.2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去t 得直线l 的普通方程为0225=--+y x …2分由θρcos 4=得曲线C 的直角坐标方程为4)2(22=+-y x ……4分(2) 由A )sin 2,cos 22(αα+,B )222,2225(t t -+知点A 的轨迹是曲线C ,点B 轨迹是直线l . ……8分所以3222252min =---=AB ……10分23、(10分)选修4-5:不等式选讲 解:(1)原不等式等价于 ⎩⎨⎧≥--<321x x 或⎩⎨⎧≥≤≤-3211x 或⎩⎨⎧≥>321x x 解得:23-≤x 或23≥x ,∴不等式的解集为23|{-≤x x 或}23≥x . ………………5分(2)令x x x x x g 2|1||1|)(2-+++-=,则g (x )=2224(1)22(11)(1)x x x x x x x x ⎧-<-⎪-+-≤≤⎨⎪>⎩当x ∈(-∞,1]时,g (x )单调递减, 当x ∈[1,+∞)时,g (x )单调递增,所以当x =1时,g (x )的最小值为1. ………8分因为不等式x x a x f 2)(22+->在R 上恒成立 ∴12<a ,解得11<<-a ,∴实数a 的取值范围是11<<-a . ……………10分。
2020高考数学文科大一轮复习导学案:第三章 三角函数、解三角形3.4 Word版含答案【KS5U 高考】 (1)
第四节三角函数的图象知识点一 用五点法画y =A sin (ωx +φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示1.用五点法作函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6在一个周期内的图象时,主要确定的五个点是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0、⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,1、⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6,0、⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3,-1、⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6,0. 解析:分别令x -π6=0,π2,π,3π2,2π,可求出x 的值分别为π6,2π3,7π6,5π3,13π6.又因为A =1,所以需要确定的五个点为:⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0,⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,1,⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6,0,⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3,-1,⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6,0. 2.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是7.解析:在同一直角坐标系中,作出y =cos x 与y =sin2x 在区间[0,3π]上的图象(如图).由图象知,两图象共有7个交点.知识点二 函数y =sin x 的图象变换得到y =A sin (ωx +φ)的图象的步骤3.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4的图象是由y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4的图象向右平移π2个单位长度得到的.( √ )(2)将函数y =sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y =sin(ωx -φ)的图象.( × )4.(2019·合肥市第一次质检)要想得到函数y =sin2x +1的图象,只需将函数y =cos2x 的图象( B )A .向左平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度 B .向右平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度 C .向左平移π2个单位长度,再向下平移1个单位长度D .向右平移π2个单位长度,再向下平移1个单位长度解析:先将函数y =cos2x 的图象向右平移π4个单位长度,得到y =sin2x 的图象,再向上平移1个单位长度,即得y =sin2x +1的图象.故选B.知识点三, 函数y =A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,x ∈[0,+∞))的物理意义 1.振幅为A . 2.周期T =2πω. 3.频率f =1T =ω2π. 4.相位是ωx +φ. 5.初相是φ.5.(必修4P58习题1.5第4题改编)电流i (单位:A)随时间t(单位:s)变化的函数关系是i =5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt +π3,t ∈[0,+∞),则电流i变化的初相、周期分别是π3,150.解析:由初相和周期的定义,得电流i 变化的初相是π3,周期T =2π100π=150.6.(必修4P62例4改编)如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b ,则这段曲线的函数解析式为y =10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x +3π4+20,x ∈[6,14].解析:从图中可以看出,从6~14时的是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期,所以A =12×(30-10)=10,b =12×(30+10)=20,又12×2πω=14-6,所以ω=π8.又π8×10+φ=2π+2k π,k ∈Z ,取φ=3π4, 所以y =10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x +3π4+20,x ∈[6,14].1.函数y =A sin(ωx +φ)+k 图象平移的规律:“左加右减,上加下减”. 2.由y =sin ωx 到y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.3.函数y =A sin(ωx +φ)的对称轴由ωx +φ=k π+π2,k ∈Z 确定;对称中心由ωx +φ=k π,k ∈Z 确定其横坐标.考向一 五点法作图【例1】 (2019·景德镇测试)已知函数f (x )=4cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6+a 的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期; (2)画出f (x )在[0,π]上的图象. 【解】 (1)f (x )=4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6+a =4cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x +12cos x +a =3sin2x +2cos 2x +a=3sin2x +cos2x +1+a =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6+1+a ∵f (x )的最大值为2,∴a =-1,最小正周期T =2π2=π. (2)由(1)知f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,列表:x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π 2x +π6 π6 π2 π3π2 2π13π6 f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6120 -21画图如下:用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤(1)将原函数化为y =A sin(ωx +φ)或y =A cos(ωx +φ)(A >0,ω>0)的形式; (2)确定周期;(3)确定一个周期内函数图象的最高点和最低点; (4)选出一个周期内与x 轴的三个交点; (5)列表; (6)描点.用五点法作出y =2sin(2x +π3)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3内的图象.解:2(-π3)+π3=-π3,2(2π3)+π3=5π3, ∴令2x +π3=0,∴x =-π6. 2x +π3=π2,∴x =π12. 2x +π3=π,∴x =π3. 2x +π3=3π2,∴x =7π12. 列表如下: 2x +π3-π30 π2π3π25π3x-π3 -π6 π12 π3 7π12 2π3 y -32-2- 3描点作图.考向二 三角函数的图象变换【例2】 (1)把函数y =sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向右平移π6个单位长度,所得图象的函数解析式为( )A .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3 B .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6 C .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π3D .y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 2-π6(2)如何由y =13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象得y =sin x 的图象?【解析】 (1)把函数y =sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到函数y =sin2x 的图象,再把该函数图象向右平移π6个单位长度,得到函数y =sin2⎝⎛⎭⎪⎫x -π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的图象.故选A. (2)把y =13sin(2x +π3)图象上各点的纵坐标都伸长到原来的3倍(横坐标不变)得y =sin(2x +π3)的图象,再把y =sin(2x +π3)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得y =sin(x +π3)的图象,再把y =sin(x +π3)的图象上所有点向右平移π3,得y =sin x 的图象.【答案】 (1)A (2)见解析由y =sin x 的图象变换到y =A sin(ωx +φ)的图象,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x 而言,即x 本身加减多少值,而不是依赖于ωx 加减多少值.(1)为了得到函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6的图象,可以将函数y =sin2x 的图象( B )A .向右平移π6个单位长度 B .向右平移π12个单位长度 C .向左平移π6个单位长度D .向左平移π12个单位长度(2)(2019·南昌摸底调研)函数y =sin(x 2+π6)的图象可以由函数y =cos x2的图象( B )A .向右平移π3个单位长度得到 B .向右平移2π3个单位长度得到 C .向左平移π3个单位长度得到 D .向左平移2π3个单位长度得到解析:(1)y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6=sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12,故将函数y =sin2x 的图象向右平移π12个单位长度,可得y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6的图象.(2)解法1:由y =cos x 2=sin(x 2+π2),y =sin[12(x -2π3)+π2]=sin(x 2+π6),知函数y =sin(x 2+π6)的图象可以由y =cos x 2的图象向右平移2π3个单位长度得到.解法2:在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示,易知选B.考向三 函数y =A sin(ωx +φ)的图象【例3】 (1)函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式为________.(2)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0,-π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22,且过点⎝⎛⎭⎪⎫2,-12,则函数f (x )=________.【解析】 (1)由题图可知A =2, 法1:T 4=7π12-π3=π4, 所以T =π,故ω=2,因此f (x )=2sin(2x +φ),又⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0对应五点法作图中的第三个点, 因此2×π3+φ=π,所以φ=π3, 故f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3.法2:以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0为第二个“零点”,(7π12,-2)为最小值点, 列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3+φ=π,ω·7π12+φ=3π2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ω=2,φ=π3,故f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3.(2)依题意得22+⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2=22,则πω=2,即ω=π2,所以f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x +φ,由于该函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2,-12,因此sin(π+φ)=-12,即sin φ=12,而-π2≤φ≤π2,故φ=π6,所以f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x +π6.【答案】 (1)f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3 (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x +π6(1)(2019·南宁市摸底联考)如图,函数f (x )=A sin(2x +φ)(A >0,|φ|<π2)的图象过点(0,3),则f (x )的函数解析式为( B )A .f (x )=2sin(2x -π3) B .f (x )=2sin(2x +π3) C .f (x )=2sin(2x +π6) D .f (x )=2sin(2x -π6)(2)(2019·开封高三定位考试) 如果存在正整数ω和实数φ使得函数f (x )=sin 2(ωx +φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0)),那么ω的值为( B )A .1B .2C .3D .4解析:(1)由函数图象可知,A =2,又函数f (x )的图象过点(0,3),所以2sin φ=3,即sin φ=32,由于|φ|<π2,所以φ=π3,于是f (x )=2sin(2x +π3),故选B.(2)由f (x )=sin 2(ωx +φ)=1-cos (2ωx +2φ)2及其图象知,12<12×2π2ω<1,即π2<ω<π,所以正整数ω=2或3.由函数f (x )的图象经过点(1,0),得f (1)=1-cos (2ω+2φ)2=0,得2ω+2φ=2k π(k ∈Z ),即2φ=2k π-2ω(k ∈Z ).由图象知f (0)>12,即1-cos2φ2=1-cos2ω2>12,得cos2ω<0,所以ω=2,故选B. 考向四 利用三角函数的图象研究性质【例4】 (1)将函数y =f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6的图象向左平移π12个单位长度,再把所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,则下面对函数y =g (x )的叙述正确的是( )A .函数g (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3B .函数g (x )的周期为πC .函数g (x )的一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫-π12,0D .函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,π3上单调递增(2)已知关于x 的方程2sin 2x -3sin2x +m -1=0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上有两个不同的实数根,则m 的取值范围是________.【解析】 (1)将函数f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的图象向左平移π12个单位,可得函数y =2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π12+π6=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象;再把所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +π3的图象,故g (x )的周期为2π4=π2,排除A ,B.令x =-π12,求得g (x )=0,可得g (x )的一个对称中心为点⎝⎛⎭⎪⎫-π12,0,故C 满足条件.在区间[π6,π3]上,4x +π3∈[π,5π3],函数g (x )没有单调性,故排除D. (2)方程2sin 2x -3sin2x +m -1=0⇔m =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6,要使原方程在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上有两个不同实根,函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6与y =m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上有两个不同交点,如图,需满足1≤m <2.【答案】 (1)C (2)1≤m <2(1)研究y =A sin (ωx +φ)的性质时可将ωx +φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(1)(2019·武汉市调研考试)将函数y =sin2x 的图象上的点P (π6,t )按向量a =(m,0)(m >0)平移后得到点P ′.若点P ′在函数y =sin(2x -π3)的图象上,则( C )A .t =12,m 的最小值为π6B .t =12,m 的最小值为π3C .t =32,m 的最小值为π6 D .t =32,m 的最小值为π3(2)若函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6(ω>0)满足f (0)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,且函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上有且只有一个零点,则f (x )的最小正周期为π.解析:(1)由题可得P ′(π6+m ,t ),又P ′在y =sin(2x -π3)的图象上,所以t =sin[2(π6+m )-π3],即t =sin2m (m >0),因为P (π6,t )在函数y =sin2x 的图象上,所以t =32,此时m 的最小值为π6,故选C.(2)∵f (0)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,∴x =π6是f (x )图象的一条对称轴,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=±1,∴π6×ω+π6=π2+k π,k ∈Z , ∴ω=6k +2,k ∈Z ,∴T =π3k +1(k ∈Z ).又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上有且只有一个零点,∴π6≤T 4≤π2-π6,∴2π3≤T ≤4π3, ∴2π3≤π3k +1≤4π3(k ∈Z ),∴-112≤k ≤16,又∵k ∈Z , ∴k =0,∴T =π.。
高三数学试卷三文科答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1. 下列函数中,在其定义域内连续的是()A. f(x) = |x| + 1B. f(x) = 1/xC. f(x) = x^2 - 4D. f(x) = x^3答案:A解析:选项A中,函数f(x) = |x| + 1在其定义域内连续,因为绝对值函数在其定义域内连续。
2. 已知等差数列{an}的公差为d,且a1 + a5 = 20,a3 + a4 = 24,则d的值为()A. 2B. 4C. 6D. 8答案:B解析:由等差数列的性质可知,a3 = (a1 + a5) / 2 = 20 / 2 = 10,同理a4 = (a3 + a4) / 2 = 24 / 2 = 12。
因此,d = a4 - a3 = 12 - 10 = 2。
3. 函数y = log2(x + 1)的图像在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案:A解析:函数y = log2(x + 1)的定义域为x > -1,因此其图像位于第一象限。
4. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1,则f(2)的值为()A. 1B. 3C. 5D. 7答案:B解析:将x = 2代入函数f(x) = x^2 - 2x + 1,得f(2) = 2^2 - 22 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1。
5. 在直角坐标系中,点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为()A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-3, -2)D. (-2, -3)答案:A解析:点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为(3, 2),因为直线y = x是45度角的直线,点P关于此直线对称后的坐标不变。
6. 已知函数f(x) = e^x - 1,则f'(x)的值为()A. e^xB. e^x - 1C. e^x + 1D. e^x x答案:A解析:由导数的基本公式可知,f'(x) = d/dx (e^x - 1) = e^x。
高考复习文科数学之函数(3)
各地解析分类汇编:函数(3)1.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】.函数2()xf x x a=+的图象不可能...是 ( )【答案】D【解析】当=0a 时,21()x f x x a x ==+,C 选项有可能。
当0a ≠时,2(0)0xf x a ==+,所以D 图象不可能,选D.2 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=,且在区间[0,2]上()f x x =,若关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根,则a 的范围为( )A .)4,2(B .)22,2(C.D.【答案】D【解析】由(4)()f x f x -=知,函数的周期为4,又函数为偶函数,所以(4)()(4)f x f x f x -==-,所以函数关于=2x 对称,且(2)=(6)=(10)2f f f =,要使方程()log a f x x=有三个不同的根,则满足1(6)2(10)2a f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩,如图,即1log 62log 102a aa >⎧⎪<⎨⎪>⎩a << D. 3 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】若函数()y f x =的图象经过(0,-1),则(4)y f x =+的反函数图象经过点( ) A .(4,一1) B .(一1,-4) C .(-4,-1) D .(1,-4)【答案】B【解析】若函数()y f x =的图象经过(0,-1),则(4)y f x =+的图象经过(4,1)--,所以(4)y f x =+反函数的图象经过点(1,4)--,选B.4 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】若)(x f 是偶函数,且当0)1(,1)(,),0[<--=+∞∈x f x x f x 则时的解集是( )A .(-1,0)B .(-∞,0) (1,2)C .(1,2)D .(0,2)【答案】D【解析】 根据函数的性质做出函数()f x 的图象如图.把函数()f x 向右平移1个单位,得到函数(1)f x -,如图,则不等式(1)0f x -<的解集为(0,2),选D.5 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】已知四个数2,,,5a b 成等比数列,则lg lg a b +等于 A .-1 B .0C .1D .2【答案】C【解析】由题意知2510ab =⨯=,又lg lg lg a b ab +=,所以lg lg101ab ==,选C. 6 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】已知在函数||y x =([1,1]x ∈-)的图象上有一点(,||)P t t ,该函数的图象与 x 轴、直线x =-1及 x =t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ,则S 与t 的函数关系图可表示为( )【答案】B【解析】由题意知,当10t -<<时,面积原来越大,但增长的速度越来越慢.当0t >时,S 的增长会越来越快,故函数S 图象在y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大,选B .7 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时,f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)>0,且f(-3)·g(-3)=0,则不等式f(x)·g(x)<0的解集是( )A .(-3,0)∪(3,+∞)B .(-3,0)∪ (0,3)C .(-∞,-3)∪(3,+∞)D .(-∞,-3)∪(0,3) 【答案】D【解析】令()()()F x f x g x =,则'()'()()()'(F x f x g x f x g x =+,所以当0x <时,'()'()()()'()F x f x g x f x g x =+>,此时函数单调递增,又函数()()()F x f x g x =为奇函数,且(3)(3)0F F =-=,所以当0x >时,函数递增,由函数图象可知,()()()0F x f x g x =<的解为03x <<或3x <-,即不等式的解集为(0,3)(,3)-∞- ,选D.8 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)文】下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是A .||2x y = B .lg(y x =+C .22xxy -=+ D .1lg 1y x =+ 【答案】D【解析】根据奇偶性定义知,A 、B 为偶函数,C 为奇函数,D 定义域为{|1}x x >-不关于原点对称,故选D .9【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)(2f x f x f x f x -=--=+且(1,0)x ∈-时,1()2,5xf x =+则2(log 20)f =( )A .1B .45 C .1- D .45-【答案】C【解析】由()(),(2)(2),f x f x f x f x -=--=+可知函数为奇函数,且(4)()f x f x +=,所以函数的周期为4,24log 205<<,20log 2041<-<,即225log 204log 4-=,所以22222554(log 20)(log 204)(log )(log )(log )445f f f f f =-==--=-,因为241l og 05-<<,所以24lo g 524141(l o g)215555f =+=+=,所以2224(lo g 20)(l o g204)(l o g5f ff =-=-=-,选C. 10 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】函数()2xf x e x =+-的零点所在的区间是A .1(0,)2B .1(,1)2C .(1,2)D .(2,3)【答案】A【解析】函数()2x f x e x =+-,在定义域上单调递增,(0)120f =-<,(1)10f e =->,13()022f ==>,由跟的存在定理可知函数的零点在区间1(0,)2上选A.11 【天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科】已知幂函数27+3-225()=(+1)()t t f x t t xt N -∈ 是偶函数,则实数t 的值为A 、0B 、-1或1C 、1D 、0或1 【答案】C【解析】因为函数为幂函数,所以211t t -+=,即20,0t t t -==或1t =.当0t =时,函数为75()=f x x 为奇函数,不满足条件.当1t =时,85()=f x x 为偶函数,所以1t =,选C. 12 【天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科】若2()=(-2+1+)f x lg x ax a 在区间(-∞,1]上递减,则a 的取植范围为A 、[1,2)B 、[1,2]C 、[1, +∞)D 、[2,+∞) 【答案】A【解析】函数222()21()1g x x ax a x a a a -++=-++-的对称轴为x a =,要使函数在(-∞,1]上递减,则有(1)01g a >⎧⎨≥⎩,即201a a ->⎧⎨≥⎩,解得12a ≤<,即[1,2),选A.13 【天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科】己知函数()=(2+-1)xa f x logb (a>0,a≠1)的图象如图所示,则a ,b 满足的关系是A 、10<<b<1a B 、10<b<<1a C 、10<<a<1b D 、110<<<1a b【答案】A【解析】由图象知函数单调递增,所以1a >,又1(0)f -<<,0(0)=(2+1)=a a f log b log b-,即1log 0a b -<<,所以101b a<<<,选A. 14 【天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科】在下列区间中,函数()=+4-3xf x e x 的零点所在的区间为 A 、(1-4,0) B 、(0,14) C 、(14,12) D 、(12,34)【答案】C 【解析】1114441()=2=1604f e e --<,121()=102f e ->,所以函数的零点在11(,)42,选C.15 【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学(文)】已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数,且在]0,(-∞上是增函数,设)2.0(),3(log )7(log 6.0214f c f b f a ===,则cb a ,,的大小关系是( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】C【解析】41log 72<<,122(log 3)(log 3)b f f ==,0.600.21<<,因为244log 3log 9log 71=>>,因为)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数,且在]0,(-∞上是增函数,所以函数在(0,)+∞上单调递减,所以c a b >>,选C.16 【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学(文)】设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数,)('x f 是)(x f 的导函数,当],0[π∈x 时,1)(0<<x f ;当),0(π∈x 且2π≠x 时,0)(')2(>-x f x π,则函数x x f y sin )(-=在[]ππ2,2-上的零点个数为( )A. 2B. 4C. 5D. 8【答案】B【解析】由当x ∈(0,π) 且x ≠2π时 ,()()02x f x π'->,知0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()0,()f x f x '< 为减函数,当()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈>⎥⎝⎦,时,为增函数。
高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ;n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq;等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数,且a3 ·a9 =2 2a ,a2 =1,则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.(安徽卷)已知为等差数列,,则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3(. 江西卷)公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904(湖南卷)设S n 是等差数列a n 的前n 项和,已知a2 3,a6 11,则S7 等于【】第1页/ 共8页A .13 B.35 C.49 D.633.(辽宁卷)已知a为等差数列,且a7 -2 a4 =-1, a3 =0, 则公差d=n(A)-2 (B)-12 (C)12(D)24.(四川卷)等差数列{a n }的公差不为零,首项a1 =1,a2 是a1 和a5 的等比中项,则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.(湖北卷)设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ],则{ 52 1} ,[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.(湖北卷)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:他们研究过图1 中的1,3,6,10,⋯,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16⋯这样的数成为正方形数。
高考文科数学集合专题讲解与高考真题精选(含答案)
集合、简易逻辑(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N 或N 表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a与集合M 的关系是a M ,或者a M ,两者必居其一.(4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.③描述法:{x| x 具有的性质} ,其中x为集合的代表元素.④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.(5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集( ).【1.1.2 】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图A B(1)A A子集B (或A)A中的任一元素都属于B(2) A(3)若A B且B C ,则A C(4)若A B且B A,则A BA(B)B A或真子集A B(或B A ) A B,且 B 中至少有一元素不属于 AA(1) A(为非空子集)(2)若A B且B C ,则A CB A集合相等A BA中的任一元素都属于B,B 中的任一元素都属于 A(1)A B(2)B AA(B)n(7)已知集合A有n(n 1) 个元素,则它有2个子集,它有2n 1个真子集,它有2n 1个非空子集,它有2n 2非空真子集.集合的基本运算1. 集合运算:交、并、补.交:A I B { x | x A,且x B}并:A U B{ x | x A或x B}补:C 且A { x U , x A} U2. 主要性质和运算律(1)包含关系:A A, A,A U , C A U ,UA B,BC A C; A I B A, A I B B; A U B A, A U B B.(2)等价关系: A B A I B A A U B B C U A U B U(3)集合的运算律:交换律: A B B A; A B B A.结合律: ( A B) C A (B C); (A B) C A (B C)分配律:. A (B C) (A B) ( A C); A (B C) ( A B) (A C)0-1 律:I A , U A A,U I A A,U U A U等幂律: A A A, A A A.求补律:A∩C U A=φ A ∪C U A=U C U U=φC Uφ=U反演律:C U(A∩B)= (C U A)∪( C U B) C U(A∪B)= (C U A)∩( C U B)简易逻辑1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。
锁定新高考新课标文科数学一轮总复习练习3.3两角和、差及二倍角公式(含答案详析)
A 组 基础达标(时间: 30 分钟满分: 50 分)若时间有限,建议选讲 3,6,9一、 选择题(每题5 分,共 25 分)π11.( 2014 ·荆州模拟)设sin+θ= ,则 sin 2 θ等于( A )4371A. -B. -991 7C.D.99分析: sin 2 θ=- cosπ π1 2 7+ 2θ =2sin 2+θ-1 = 2 ×-1=- .24392.( 2013·潍坊模拟)化简 2 +cos 2 -sin 21的结果是( C )A. -cos 1B. cos 1C. 3cos 1D. -3cos 12 +cos 2 -sin 21=1-cos 23 +3cos 2分析:2 +cos 2 - ==223cos 2 1 = 3cos 1.3.( 2014 ·北京东城模拟)已知函数f ( x )= cos 2ππ+x - cos 2-x ,则 44π f等于( B )121 1 A.B. - 2233 C.D. -22分析:2π2x + ππ =- π f (x )=cos+ x-sin =-sin 2x ,∴sin =44f6 121- .24. 已知 tan1 cos2 α+sin 2 α+1α= ,则 cos 2α 等于( A )2 A.3 B.63 C. 12 D.2cos 2 α+sin 2 α+12cos 2α+ 2sin α· cos α 分析:cos 2α==2+ 2tan α=3.cos 2α5. ( 2014 ·淄博模拟已)知△ABC 的三个内角知足: sinA = sinCcosB ,则△ ABC 的形状为( B )A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形分析: 由 sinA =sin CcosB ,得 sin ( B +C )= sin Ccos B ,于是 sinBcos C +cos BsinC =sin CcosB ,即 sin Bcos C =0 ,∵sin B ≠0 ,∴cos C =0,故 C = 90 °,∴△ABC 为直角三角形 .二、 填空题(每题5 分,共 15 分)1+tan α 16. ( 2013 ·南平模拟)若 = 2 013 ,则 + tan 2 α= 21-tan α cos 2 α013.1+tan 1+ sin 2 α(cos α+sin α)2cos α+ sin α分析:2α==α-sin 2α=cos 2 αcos 2 αcos 2cos α- sin α1+ tan α==2 013.1- tan α7. ( 2013 ·抚顺模拟)若锐角α,β知足(1+3tan α)( 1+ 3tan β)= 4π,则α+β=W.3分析:由( 1 +3tanα)(1+3tanβ)=4,tan α+ tan β可得= 3 ,即 tan (α+β)=3.1 - tan αtan βπ又α+β∈( 0,π),∴α+β=.38.已知α,β均为锐角,且 cos (α+β)= sin (α-β),则 tanα=1W .分析:依据已知条件得cos αcos β-sinαsinβ=sin αcos β-cos αsin β,cosβ(cosα- sinα)+sinβ(cos α-sin α)=0,即( cos β+sinβ)(cos α-sin α)= 0.又α,β为锐角,则 sinβ+ cosβ>0 ,∴cos α-sin α= 0,∴tan α=1.三、解答题(共10 分)12cos 4x-2cos 2 x+9 .( 2014 ·贵州六校联考)化简:2.πsin 2π2tan -x+x441-2sin 2xcos 2x +2分析:原式=(4 分)ππ2sin - x cos 2-x44πcos - x41(1-sin 22x )2=π(8 分)π2sin-x cos-x441cos 22x2=πsin- 2x21=cos 2x. (10 分)2B 组提优操练(时间: 30 分钟满分:50分)若时间有限,建议选讲4,6,9一、选择题(每题 5 分,共 20 分)ππ 3 71.( 2012 ·山东高考)若θ∈,,sin 2 θ=,则 sin θ等于( D )4283 4A.B.5 5C.D.44π π π分析: ∵θ∈ , ,∴2θ∈ , π .4 2 2 ∴cos 2θ=-11 -sin 22 θ=- ,8 ∴sin1- cos 2 θ 3θ=2= .42. ( 2014 ·厦门模拟已)知 tan π 1 π2sin 2 α+sin 2 α α+ = ,且- < α<0 ,则4 2 2πcos α-4等于( A )2 53 5A. -B. -1053 102 5C. -D.510π tan α+1 1 1分析: 由 tanα+ 4 = - = ,得 tanα=- .1 tan α 23π10又- < α<0 ,∴sinα=-.2102sin 2α+sin 2 α 2sin α( sin α+cos α)=2 2sin 2 5故 = 2α=-.π5cos α- 2(sin α+cos α)43.( 2013 ·中山模拟)已知角A 为△ ABC 的内角,且 sin32A =- ,则 sin4A - cos A 等于( A )7 B. -7A.22C.-D.22分析: ∵A 为△ ABC 的内角且 sin2A =2sin3Acos A =- <0 ,4∴sin A>0 ,cos A<0 ,∴sin A -cosA>0.又(sinA - cosA )2= 1 -2sinAcos77 A = . ∴ sin A - cos A =.4 2a b =ad -bc ,若 cos1sin α sin β 334. 定义运算d α= ,=,c7cos α cos β14π 0< β< α< ,则 β等于( D )2π π A.B.12 6π π C.D.43分析: 依题意有 sinαcos β-cos3 3αsin β=sin (α-β)=,又140< β< α< π π,∴0< α- β< ,221 -sin 2(α- β)= 13 1 4 3故 cos (α- β)= ,而 cos α= ,∴sin α= ,14 77 于是 sinβ=sin[ α-(α- β)]=sin αcos ( α- β)-cos αsin (α-β)43 13 1 3 3 3π =× - × 14 = ,故 β= .7 14 7 2 3二、 填空题(每题5 分,共 15 分)5. 若 tanπcos 2 θ 3 W.-θ= 3,则 =41+sin 2 θπ1 -tan θ 1cos 2 θ 分析 : ∵ tan -θ= = 3 , ∴tanθ=-. ∴ =4 1 +tan θ2 1+sin 2 θ1cos 2θ-sin 2 θ1 - tan 2θ1-4 sin 2θ+ 2sin θcos θ+cos2 ===3.θ tan 2θ+ 2tanθ+11-1+14·北大附中模拟)在△中,已知π36. ( 2013cos+A =,则cos 2AABC 4 524 W .的值为25分析: cosππ π 23+A =cos cos A -sin sin A = (cos A - sin A )= ,44 4 25 32>0.∴cos A - sin A =5 ①ππ ∴0<A < ,∴0<2A < .4218,∴sin 2A7由①得 1-sin 2A == .25 25 ∴cos 2A =241- sin 22A = .253x - π1 1 7. ( 2013·衡水调研) x - πcos =- ,则 cos 4x = W .sin44 4 23 π 3π 分析: ∵ sinx - π =- cos +x - π =- cos x - ,4 2 4 4ππ 1 1+ cos 2x -∴cos22 1 x - = ,∴ 2= .4 44π 11 ∴cos 2x - =- ,即 sin 2x =- .2 221 ∴cos 4x =1 -2sin 22x = .2三、 解答题(共 15 分)π8.(7 分)( 2013 ·玉溪模拟)已知函数f ( x )=tan3x + .4(1 )求 f π的值;93πα ππ (2 )设 α∈ π,,若 f + = 2 ,求 cos α- 的值 .2 3 44π ππ π πtan +tan 4 3+ 13 分析: ( 1)f=tan + = = =-2- 3.(29 3 4 1 -tan ππ1- 3tan 43分)α π 3π π(2 )∵f + =tan α+ + =tan (α+π)= tan α=2,3 4 4 4sin α ∴ =2 ,即 sin α= 2cos α. ①cos α又 sin 2 α+cos 2 α= 1 , ②1由①②解得 cos 2α= .(4分)53 π5 2 5∵α∈ π, ,∴cos α=-,sinα=-.2 5 5π=cosαcos π π∴cos α- + sin αsin4445 2 2 5 2=- × + - 5 ×5 2 2310=-.(7 分)109. ( 8 分 )( 2014 ·蒙 阴 模 拟 ) 已 知 f ( x ) = 1+1sin 2x -tan xππ2sin x + ·sin x - .4 4(1 )若 tanα=2 ,求 f (α)的值;(2 )若 x ∈ π π , ,求 f (x )的取值范围 .12 22)+ π x + π分析: ( 1 )f ( x )=( sin x + sin xcosx 2sinx +4· cos 41 -cos 2x1π=2 + sin 2x +sin 2x +2 2 1 12x -cos 2x )+ cos2x = + (sin2 211= (sin 2x +cos 2x )+.(2 分)22∵tan α=2,∴sin 2 α= 2sin αcos α 2tan α 4== ,sin 2α+cos 2 α tan 2 α+1 5 coscos 2 α-sin 2α 1- tan 2α 32 α= = =- .sin 2 α+ cos 2α 1+ tan 2α512 α+cos1 3∴f ( α)= (sin 2α)+ = .(4 分)22 511 2π 1 (2 )由( 1)得 f (x )= (sin 2x +cos2x )+ = sin 2x + + .22 2 4 2 (6 分)由 x ∈ π π5 π π 5 π 12 , 2 ,得 ≤ 2x + ≤ .12 4 4故-2 2x + π()≤ 2 + 1≤ sin, 2 4 ≤ 1 ,则0 ≤ f x2 ∴f ( x )的取值范围是 0 ,2 +12.(8 分)。
2019年高考(文科)数学总复习综合试题(三)含答案及解析
绝密 ★ 启用前2019年高考(文科)数学总复习综合试题(三)总分:150分,时间:120分钟注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.已知i 为虚数单位,复数z 满足z (1-i)=1+i ,则z 的共轭复数是( ) A .1 B .-1 C .iD .-i2.设非空集合P ,Q 满足P ∩Q =P ,则( ) A .∀x ∈Q ,有x ∈P B .∀x ∉Q ,有x ∉P C .∃x 0∉Q ,使得x 0∈P D .∃x 0∈P ,使得x 0∉Q3.若过点A (0,-1)的直线l 与圆x 2+(y -3)2=4的圆心的距离记为d ,则d 的取值范围为( )A .[0,4]B .[0,3]C .[0,2]D .[0,1]4.从1,2,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数为x ,执行如图所示的程序框图,则输出的x 不小于40的概率为( )此卷只装订不密封 级 姓名 准考证号 考场号 座位号A .34B .58C .78D .125.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为π3,则双曲线C 的离心率为( )A .2或3B .2或233C .233D .26.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A .16B .32C .48D .1447.已知实数a ,b 满足2a =3,3b =2,则函数f (x )=a x +x -b 的零点所在的区间是( ) A .(-2,-1) B .(-1,0) C .(0,1)D .(1,2)8.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB =BC =CA =2,则球面面积是( )A .16π9B .8π3C .4πD .64π99.若实数x ,y 满足|x -3|≤y ≤1,则z =2x +yx +y的最小值为( )A .53 B .2C .35D .1210.函数f (x )=2x -4sin x , x ∈⎣⎡⎦⎤-π2,π2的图象大致是( )11.(2017·徐州调研)若抛物线y 2=2px 上一点P (2,y 0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )A .y 2=4xB .y 2=6xC .y 2=8xD .y 2=10x12.已知数列{a n }的通项公式为a n =(-1)n (2n -1)cos n π2+1(n ∈N *),其前n 项和为S n ,则S 60=( )A .-30B .-60C .90D .120二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.共20分.13.已知向量a =(1,2),b =(4,3),且a ⊥(t a +b ),则实数t =____.14.为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验数据,计算得回归直线方程为y ^=0.85x -0.25.由以上信息,得到下表中c 的值为______.15.设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,若a 1=d =1,则S n a n 的最小值________.16.已知f (x )=(x -a )2+(ln x 2-2a )2,其中x >0,a ∈R ,存在x 0使f (x 0)≤45,则a 的值为________.二、解答题:17.(12分)△ABC ,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且a cos B +b cos Ac=2cos C .(1)求角C的大小;(2)若S△ABC=23,a=4,求c.18.(12分)为增强市民的环保意识,某市面向全市增招义务宣传志愿者.从符合条件的志愿者中随机抽取20名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄(岁)分成五组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45].得到的频率分布直方图(局部)如图所示.(1)求第4组的频率,并在图中补画直方图;(2)从20名志愿者中再选出年龄低于30岁的志愿者3名担任主要宣讲人,求这3名主要宣讲人的年龄在同一组的概率.19.(12分)如图,三棱锥P-ABC中,P A=PC,底面ABC为正三角形.(1)证明:AC⊥PB;(2)若平面P AC⊥平面ABC,AB=2,P A⊥PC,求三棱锥P-ABC的体积.20.(12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,顺次连接椭圆E的四个顶点得到的四边形的面积为16.(1)求椭圆E的方程;(2)过椭圆E的顶点P(0,b)的直线l交椭圆于另一点M,交x轴于点N,若|PN|、|PM|、|MN|成等比数列,求直线l的斜率.21.(12分)设a为实数,函数f(x)=e x-2x+2a,x∈R.(1)求f(x)的单调区间及极值;(2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,e x>x2-2ax+1.以下两题请任选一题: 选修4-4:坐标系与参数方程22.(10分)将圆⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θy =2sin θ(θ为参数)上的每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的12倍,得到曲线C . (1)求出C 的普通方程;(2)设直线l :x +2y -2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.选修4-5:不等式选讲23.(10分)已知函数f (x )=|x |+|x -3|. (1)解关于x 的不等式f (x )-5≥x ;(2)设m ,n ∈{y |y =f (x )},试比较mn +4与2(m +n )的大小.2019年高考(文科)数学总复习综合试题(三)答案及解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.已知集合A ={x |x 2-9≤0},B ={x |y =ln (-x 2+x +12)},则A ∩B =( ) A .{x |-3<x ≤3} B .{x |-2<x ≤0} C .{x |-2<x <0}D .{x |x <0或x >2且x ≠3}解析:A ={x |x 2-9≤0}={x |-3≤x ≤3},B ={x |y =ln (-x 2+x +12)}={x |x 2-x -12<0}={x |-3<x <4},则A ∩B ={x |-3<x ≤3},故选A .答案:A2.复数z 满足z (1+3i)=|1+3i|,则z 等于( ) A .1-3i B .1 C .12-32iD .32-12i 解析:复数z 满足z (1+3i)=|1+3i|=2,z =21+3i =2(1-3i )(1+3i )(1-3i )=12-32i.故选C .答案:C3.已知直线m 、n 与平面α、β,下列命题正确的是( ) A .m ∥α,n ∥β且α∥β,则m ∥n B .m ∥α,n ∥β且α⊥β,则m ⊥n C .α∩β=m ,n ⊥β且α⊥β,则n ⊥α D .m ⊥α,n ⊥β且α⊥β,则m ⊥n解析:对A ,由面面平行的判定定理知,m 与n 可能相交,故A 不对;对B ,当m 与n 都与α和β的交线平行时,也符合条件,但是m ∥n ,故B 不对;对C ,由面面垂直的性质定理知,必须有m ⊥n ,n ⊂β时,n ⊥α,否则不成立,故C 不对;对D ,由n ⊥β且α⊥β,得n ⊂α或n ∥α,又因m ⊥α,则m ⊥n ,故D 正确.答案:D4.已知a =log 312,b =log 1213,c =⎝⎛⎭⎫1213 ,则( ) A .c >b >a B .b >c >a C .b >a >cD .c >a >b解析:a =log 312=-log 32<0,b =log 1213=log 23>1,c =⎝⎛⎭⎫1213 =2-13∈(0,1),∴b >c >a .故选B .答案:B5.已知在平面直角坐标系中,曲线f (x )=a ln x +x 在x =a 处的切线过原点,则a =( ) A .1 B .e C .1eD .0解析:∵f (x )=a ln x +x ,∴f ′(x )=a x +1,∴f ′(a )=aa +1=2,∵f (a )=a ln a +a ,∴曲线f (x )在x =a 处的切线方程为y -a ln a -a =2(x -a ),∵曲线f (x )=a ln x +x 在x =a 处的切线过原点,∴-a ln a -a =-2a ,解得a =e.故选B .答案:B6.若函数f (x )=x 2+bx +c 的图象的顶点在第四象限,则函数f ′(x )的图象是( )解析:∵函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象开口向上且顶点在第四象限,∴a >0,-b2a >0,∴b <0,∵f ′(x )=2ax +b ,∴函数f ′(x )的图象经过一,三,四象限,∴A 符合,故选A .答案:A7.如果执行下面的程序框图,输入n =6,m =4,那么输出的p 等于( )A .720B .360C .240D .120解析:第一次:k =1,p =1×3=3;第二次:k =2,p =3×4=12;第三次:k =3,p=12×5=60;第四次:k =4,p =60×6=360,此时不满足k <4.所以p =360.故选B .答案:B8.f (x )=A cos(ωx +φ)(A ,ω>0)的图象如图所示,为得到g (x )=-A sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6的图象,可以将f (x )的图象( )A .向右平移5π6个单位长度B .向右平移5π12个单位长度C .向左平移5π6个单位长度D .向左平移5π12个单位长度解析:由题意可得A =1,14T =14·2πω=7π12-π3,解得ω=2,∴f (x )=A cos(ωx +φ)=cos(2x+φ).再由五点法作图可得 2×π3+φ=π2,∴φ=-π6,∴f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x -π6=cos2⎝⎛⎭⎫x -π12,g (x )=-sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6+π2=cos2⎝⎛⎭⎫x +π3,而π3-⎝⎛⎭⎫-π12=5π12,故将f (x )的图象向左平移5π12个单位长度,即可得到函数g (x )的图象,故选D .答案:D9.公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项,S 8=16,则S 10等于( )A .18B .24C .30D .60解析:设等差数列{a n }的公差为d ≠0.∵a 4是a 3与a 7的等比中项,∴(a 1+3d )2=(a 1+2d )(a 1+6d ),化为:2a 1+3d =0.∵S 8=16,∴8a 1+8×72×d =16,联立解得a 1=-32,d =1.则S 10=10×⎝⎛⎭⎫-32+10×92×1=30.故选C . 答案:C10.已知a ,b 是单位向量,a ,b 的夹角为90°,若向量c 满足|c -a -b |=2,则|c |的最大值为( )A .2-2B . 2C .2D .2+ 2解析:依题意,设a ,b 分别是x 轴与y 轴正方向上的单位向量,则a =(1,0),b =(0,1),a +b =(1,1),设c =(x ,y ),则c -a -b =(x -1,y -1),因为|c -a -b |=(x -1)2+(y -1)2=2,所以(x -1)2+(y -1)2=4,故c =OC →中,点C 的轨迹是以(1,1)为圆心,2为半径的圆,圆心M (1,1)到原点的距离为|OM |=12+12=2,|c |max =2+2.故选D . 答案:D11.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +a x +1(x >1),-x 2+2x (x ≤1)在R 上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A .[0,1]B .(0,1]C .[-1,1]D .(-1,1]解析:x ≤1时,f (x )=-(x -1)2+1≤1,x >1时,f (x )=x +a x +1,f ′(x )=1-ax 2≥0在(1,+∞)恒成立,故a ≤x 2在(1,+∞)恒成立,故a ≤1,而1+a +1≥1,即a ≥-1,综上,a ∈[-1,1],故选C .答案:C12.已知F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ,若∠F 1MF 2为锐角,则双曲线离心率的取值范围是( )A .(1,2)B .(2,+∞)C .(1,2)D .(2,+∞)解析:联立⎩⎨⎧x 2a 2-y 2b 2=1y =ba (x -c ),解得⎩⎨⎧x =c2y =-bc2a,∴M ⎝⎛⎭⎫c 2,-bc2a ,F 1(-c,0),F 2(c,0),∴MF →1=⎝⎛⎭⎫-3c 2,bc 2a ,MF →2=⎝⎛⎭⎫c 2,bc 2a ,由题意可得MF →1·MF →2>0,即b 2c 24a 2-3c 24>0,化简可得b 2>3a 2,即c 2-a 2>3a 2,故可得c 2>4a 2,c >2a ,可得e =ca>2,故选D .答案:D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设变量x ,y 满足约束条件:⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥3x -y ≥-12x -y ≤3.则目标函数z =2x +3y 的最小值为________.解析:设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥3x -y ≥-12x -y ≤3,在坐标系中画出可行域△ABC ,A (2,1),B (4,5),C (1,2),当直线过A (2,1)时,目标函数z =2x +3y 的最小值为7.故答案为7.答案:714.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积________.解析:由三视图知:几何体为四棱柱消去一个三棱锥,如图:四棱柱的底面边长为5,高为3,消去的三棱锥的高为3,底面直角三角形的两直角边长分别为5、3,∴几何体的体积V =5×3×3-12×5×3×3×13=752.故答案为752.答案:75215.已知点M 是半径为4的圆C 内的一个定点,点P 是圆C 上的一个动点,线段MP 的垂直平分线l 与半径CP 相交于点Q ,则|CQ |·|QM |的最大值为______.解析:∵M 是半径为4的圆C 内一个定点,P 是圆C 上的一个动点,线段MP 的垂直平分线l 与半径CP 相交于点Q ,∴|CQ |+|QM |=|CQ |+|QP |=|CP |=4,∴4=|CQ |+|QM |≥2|CQ →|·|QM →|,∴|CQ |·|QM |≤4,当且仅当Q 为CP 中点时取等号,∴|CQ |·|QM |的最大值为4.故答案为4.答案:416.已知实数a ,b 满足0<a <1,-1<b <1,则函数y =13ax 3+ax 2+b 有三个零点的概率为________.解析:对y =13ax 3+ax 2+b 求导数可得y ′=ax 2+2ax ,令ax 2+2ax =0,可得x =0,或x =-2,0<a <1,x =-2是极大值点,x =0是极小值点,函数y =13ax 3+ax 2+b 有三个零点,可得⎩⎪⎨⎪⎧f (-2)>0f (0)<0,即⎩⎪⎨⎪⎧-83a +4a +b >0b <0,画出可行域如图:满足函数y =13ax 3+ax 2+b 有三个零点,如图深色区域,实数a ,b 满足0<a <1,-1<b <1,为长方形区域,所以长方形的面积为:2,实数区域的面积为:12×⎝⎛⎭⎫1+14=58,∴所求概率为P =582=516.答案:51617.(12分)△ABC ,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且a cos B +b cos Ac =2cos C .(1)求角C 的大小;(2)若S △ABC =23,a =4,求c . 解:(1)∵a cos B +b cos Ac =2cos C ,∴a cos B +b cos A =2c cos C ,由正弦定理得:sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos C , 即sin(A +B )=2sin C cos C , ∵0<C <π,∴sin C >0, ∴cos C =12,∴C =π3.(2)由(1)知C =π3,∵S △ABC =23,∴12ab ×32=3b =23,解得b =2.∴c 2=a 2+b 2-2ab ×12=12,∴c =2 3.18. (12分)为增强市民的环保意识,某市面向全市增招义务宣传志愿者.从符合条件的志愿者中随机抽取20名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄(岁)分成五组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45].得到的频率分布直方图(局部)如图所示.(1)求第4组的频率,并在图中补画直方图;(2)从20名志愿者中再选出年龄低于30岁的志愿者3名担任主要宣讲人,求这3名主要宣讲人的年龄在同一组的概率.解:(1)∵小矩形的面积等于频率,∴除[35,40)外的频率和为0.70.∴第4组的频率:1-0.70=0.30,频率组距=0.03.(2)用分层抽样的方法,则其中“年龄低于30岁”的人有5名,其中第一组有1人,第二组有4人,分别用a 表示第一组的一人,用A ,B ,C ,D 表示第二组的4人,则任选三人总的事件有aAB ,aAC ,aAD ,aBC ,aBD ,aCD ,ABC ,ABD ,ACD ,BCD ,共10种,其中在同一组的有,ABC ,ABD ,ACD ,BCD ,共4种,故这3名主要宣讲人的年龄在同一组的概率P =25.19.(12分)如图,三棱锥P -ABC 中,P A =PC ,底面ABC 为正三角形.(1)证明:AC ⊥PB ;(2)若平面P AC ⊥平面ABC ,AB =2,P A ⊥PC ,求三棱锥P -ABC 的体积. (1)证明:如图,取AC 中点O ,连接PO ,BO , ∵P A =PC ,∴PO ⊥AC ,又∵底面ABC 为正三角形,∴BO ⊥AC , ∵PO ∩OB =O ,∴AC ⊥平面POB ,则AC ⊥PB ;(2)解:∵平面P AC ⊥平面ABC ,且平面P AC ∩平面ABC =AC , PO ⊥AC ,∴PO ⊥平面ABC ,又AB =2,P A ⊥PC ,可得PO =1,且S △ABC =12×2×3= 3.∴V P -ABC =13×3×1=33.20.(12分)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,顺次连接椭圆E 的四个顶点得到的四边形的面积为16.(1)求椭圆E 的方程;(2)过椭圆E 的顶点P (0,b )的直线l 交椭圆于另一点M ,交x 轴于点N ,若|PN |、|PM |、|MN |成等比数列,求直线l 的斜率.解:(1)由题意可得:2ab =16,① 又由e =c a =32,c 2=a 2-b 2,得a =2b ,②由①②解的a =4,b =2,所以椭圆E 的方程为x 216+y 24=1. (2)由题意|PM |2=|PN |·|MN |,故点N 在PM 的延长线上, 当直线l 的斜率不存在时,|PM |2≠|PN |·|MN |,不合题意; 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为 y =kx +2,令y =0,得x N =-2k,将直线l 的方程代入椭圆E 的方程x 216+y 24=1,得(4k 2+1)x 2+16kx =0,因为x p =0, 解得x M =-16k4k 2+1,由|PM ||PN |=|MN ||PM |,得x P -x M x P -x N =x M -x N x P -x M, 即16k 4k 2+12k =2k -16k4k 2+116k 4k 2+1解得k 2=180,即k =145,直线l 的斜率145=520.21.(12分)设a 为实数,函数f (x )=e x -2x +2a ,x ∈R . (1)求f (x )的单调区间及极值;(2)求证:当a >ln 2-1且x >0时,e x >x 2-2ax +1. (1)解:∵f (x )=e x -2x +2a ,x ∈R , ∴f ′(x )=e x -2,x ∈R . 令f ′(x )=0,得x =ln 2.于是当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:故f 单调递增区间是(ln 2,+∞), f (x )在x =ln 2处取得极小值,极小值为f (ln 2)=e ln 2-2ln 2+2a =2(1-ln 2+a ),无极大值.(2)证明:设g (x )=e x -x 2+2ax -1,x ∈R , 于是g ′(x )=e x -2x +2a ,x ∈R . 由(1)知当a >ln 2-1时,g ′(x )最小值为g ′(ln 2)=2(1-ln 2+a )>0.于是对任意x ∈R ,都有g ′(x )>0,所以g (x )在R 内单调递增. 于是当a >ln 2-1时,对任意x ∈(0,+∞),都有g (x )>g (0). 而g (0)=0,从而对任意x ∈(0,+∞),g (x )>0. 即e x -x 2+2ax -1>0,故当a >ln 2-1且x >0时,e x >x 2-2ax +1. 以下两题请任选一题: 选修4-4:坐标系与参数方程22.(10分)将圆⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θy =2sin θ(θ为参数)上的每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的12倍,得到曲线C . (1)求出C 的普通方程;(2)设直线l :x +2y -2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.解:(1)设(x 1,y 1)为圆上的任意一点,在已知的变换下变为C 上的点(x ,y ), 则有⎩⎪⎨⎪⎧x =x 1y =12y 1,∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 1=2cos θy 1=2sin θ(θ为参数),∴⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θy =sin θ(θ为参数), ∴x 24+y 2=1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 2=1x +2y -2=0解得:⎩⎪⎨⎪⎧ x =2y =0或⎩⎪⎨⎪⎧x =0y =1,所以P 1(2,0),P 2(0,1),则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1,12,所求直线的斜率k =2, 于是所求直线方程为y -12=2(x -1),即4x -2y -3=0.化为极坐标方程得:4ρcos θ-2ρsin θ-3=0, 即ρ=34cos θ-2sin θ.选修4-5:不等式选讲23.(10分)已知函数f (x )=|x |+|x -3|. (1)解关于x 的不等式f (x )-5≥x ;(2)设m ,n ∈{y |y =f (x )},试比较mn +4与2(m +n )的大小. 解:(1)f (x )=|x |+|x -3|=⎩⎪⎨⎪⎧3-2x ,x <03,0≤x ≤32x -3,x >3,得⎩⎪⎨⎪⎧ x <03-2x ≥x +5或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤33≥x +5或⎩⎪⎨⎪⎧x >32x -3≥x +5, 解之得x ≤-23或x ∈∅或x ≥8,所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎤-∞,-23∪[)8,+∞. (2)由(1)易知f (x )≥3,所以m ≥3,n ≥3,由于2(m +n )-(mn +4)=2m -mn +2n -4=(m -2)(2-n ), 且m ≥3,n ≥3,所以m -2>0,2-n <0,即(m -2)(2-n )<0, 所以2(m +n )<mn +4.。
2020年高三文科数学考前大题强化练三附答案详析
3 =2e
3
,
4
4
当 2 a e时, f x 在 a, e 上单调递减,在 1,a , e, 上单调递增,
f 1 3 1 sin a ,
a 2,
所以
4 e2
4
所以
a
1a
4ea sin
2
( * ).
e 12 0
f e ea
3 sin ,
4
4
44
设h x
增,
4ex sin x e2 12 2 x e , h x 4
5 人,再从 5 人中随机抽取 3 人,试求抽取的 3 人中恰
有一人为 “安全意识优良 ”的概率.
附表及公式: K 2
2
n ad bc
,其中 n a b c d .
a bcd a cbd
5
P K 2 k 0. 15
0. 10
0. 05
0. 025
0. 010
0. 005
0. 001
k
2. 072
2. 706
4e cos x 0 ,则 h x 在 2,e 上单调递 44
因为 h 2 8e e2 13 0 ,所以 h x 的零点小于 2,从而不等式组( * )的解集为 2, ,所以
2 x e即 2 a e.
综上,存在 a
, e ,使得 f x
3
1a sin
对x
1,
44
恒成立,且 a 的取值范围为
y' y
l 距离的最大值.
23.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分)
2
已知关于 x 的不等式 x a | x 2a 5 | 5 .
(1)当 a 1 时,求不等式的解集; (2)若该不等式有实数解,求实数 a 的取值范围.
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高考第三次模拟试题及答案解析
最新高三第三次模拟考试数学(文)试题注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.第Ⅰ卷一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。1.已知全集为R,集合22{|1(1)},{|320}A x y og x B x x x ==-=-+≤,则R A C B =IA.{|2}x x >B.{|12}x x ≤≤C.{|2}x x ≥D.{|12}x x x <>或2.已知i 是虚数单位,若21iz i -=-,则z 所表示的复平面上的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3.双曲线221133x y -=的渐近线与圆222(4)(0)x y r r -+=>相切,则r= A.4 B.3 C.2 3 4.已知直线1:1l ax y +=和直线2:91l x ay +=,则“a+3=0”是“1l ∥2l ”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件5.设2,2()1(7),2t t x x f x og x x ⎧<⎪=⎨+≥⎪⎩,则2)4f =,则(3)f = A.2 B.4 C.6 D.86.已知数列{n a }为等差数列,前n 项和为n S ,若7896a a a π++=,则15cos S 的值为A.-12 B.123 D.-37.右图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是A.4B.5238.已知集合260(,)00x y x y x y x y +-≤⎧⎧⎫⎪⎪⎪+≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y)则点P(x,y)的坐标满足不等式224x y +≤的概率为A.3π3 B.12π C.24πD.332π9.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,准线为犾,,l P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若 3FP FQ =u u u r u u u r,则QF =A.83 B.43C.2D.1 10.设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数,对,x y R ∀∈,都有().()()f x f y f x y =+,若数列{n a }满足*11,(),3n a a f n n N ==∈,且其前n 项和n S 对任意的正整数n 都有n S ≤M成立,则M 的最小值是 A.14B.13C.12D.111.命题:[,],2sin(2)0646Ex x m πππP ∈-+-=,命题2:(0,),210q Ex x mx ∈+∞-+<,若()q P ∧⌝为真命题,则实数犿的取值范围为A.[-2,1]B.[-1,1]C.[-1,1)D.(0,2]12.定义:如果函数()f x 在[a,b]上存在1212,()x x a x x b <<<满足1()()'()f b f a f x b a -=-,2()()'()f b f a f x b a--,则称函数()f x 是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数 32()f x x x a =-+是[0,a] 上的“双中值函数”,则实数a 的取值范围是A.11(,)32B.(3,32) C. (12,1) D. (13,1) 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答.二、本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡上.13.若非零向量().()0,3,a b a b a b -+=+=r r r r r r 则,a b r r的夹角为 .14.设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=相交于点A,与y 轴相交于点B,且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2,o 为坐标原点,则mn 的最大值为.15.A 、B 、C 三点在同一球面上,∠BAC=135°,BC=4,且球心O 到平面ABC 的距离为1,则此球O 的体积为 .16.已知函数2()f x x ax =-的图象在点(1,(1))A f 处的切线与直线320x y ++=垂直.执行如图所示的程序框图,输出的k值是 .三、解答题:本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.请把答案做在答题卡上. 17.(本小题满分12分)已知函数()cos .sin()6f x x x π=-(1)求()f x 的单调减区间;(2)在ΔABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若1(),24f C a =-=,且ΔABC 的面积为23,求边长C 的值.18.(本小题满分12分)高三年级为放松紧张情绪更好地迎接高考,故进行足球射门比赛,现甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行射门比赛,每人射10次,射中的次数统计如下表:(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明);(2)在本次比赛中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的射中次数.求甲班同学射中次数高于乙班同学射中次数的概率.19.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥AD 且AB=AD=12CD=1,现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿AD 将正方形翻折,使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直(1)求证:平面BDE ⊥平面BEC; (2)求三D-BEF 的体积V.20.(本小题满分12分)设F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点,点3(1,)2p 在椭圆E上,直线0:34100l x y --=与以原点为圆心、以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆E 的方程;(2)过点F 的直线l 与椭圆相交于A,B 两点,过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q.问是否存在直线l ,使得四边形PABQ 的对角线互相平分?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()1,()xf x ax nxg x e =+=.(1)当0a ≤时,求()f x 的单调区间;(2)若不等式()g x x m <+有解,求实数m 的取值范围; (3)证明:当a=0时,()()2f x g x ->.选考题:请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做,则按所做的第一题计分。(本小题10分)22.(10分)选修4—4:坐标系与参数方程:在平面直角坐标系xOy 中,直线l的方程为2(2x ty t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),以原点O 为极点,Ox 轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系,曲线犆的方程为ρ=4cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程; (2)设点A(2+2cos α,2sin α),,2)B ,求|AB|的最小值.(其中α、t 为参数)23.(10分)选修4-5:不等式选讲:已知函数()|1||1|f x x x =-++. (1)求不等式()3f x ≥的解集; (2)若关于x 的不等式22()2f x a x x >-+在R 上恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题 AADCA DDBBC BC二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡上.13. 3π14.6115. 36π16.15三、解答题:本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请把答案做在答题卡上. 17.解:21()cos (sincos sin cos )cos 2662f x x x x x x ππ=-=11cos(2)234x π=++ …4分(1)由222()3k x k k z ππππ≤+≤+∈得()f x 的单调减区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ……6分 (2)111()cos(2),cos(2)1,.234433f C C C C πππ=++=-∴+=-∴= …………………8分1sin 8,2,4,24ABC S ab C ab a b ∆===∴==∴=Q Q …………………10分由余弦定理得2222cos 12,c a b ab C c =+-=∴= …………………12分 18.解:(1)两个班数据的平均值都为7, ………1分(2)甲班1到5号记作,,,,a b c d e ,乙班1到5号记作1,2,3,4,5,从两班中分别任选一个同学,得到的基本样本空间为Ω={1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5}a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d e e e e e由25个基本事件组成,这25个是等可能的 ………8分将“甲班同学射中次数高于乙班同学射中次数”记作A ,则{1,1,1,1,2,4,5,1,4,5}A a b c d d d d e e e =,A 由10个基本事件组成, ………10分所以甲班同学射中次数高于乙班同学射中次数的概率为102255=.………12分19.解: (1) 证明:在ABC ∆中,有2,2===BD BC CD 得 BD CB ⊥ ………2分又由平面ADEF ⊥平面ABCD ,且ED AD ⊥ 有 ABCD ED 平面⊥,得 ED CB ⊥ ………4分 ED BD ⋂Θ, 则BDE BC 平面⊥ , BEC BC 平面⊂Θ故BEC BDE 平面平面⊥. ………6分(2) 由平面ADEF ⊥平面ABCD ,且AB AD ⊥,得ADEF AB 平面⊥ 则6112131=⨯⨯===--DEF B BEF D V V V . ………12分20.(本小题满分12 分)解: (1)由题意知22229141a a b a b⎧==⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪⎪+=⎩所以椭圆E 的方程为22143x y +=……………………4分 (2):结论:存在直线l ,使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……5分理由如下: (方法一)由题可知直线l 、PQ 的斜率存在.设直线l 的方程为(1)y k x =-,直线PQ 的方程为(1)y k x =- 由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()()22223484120k x k x k +-+-=由题意知0∆>,设()()1122,,,A x y B x y ,则21212228412,3434k k x x x x k k-+==++ ……7分由221433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 得()()()22223481241230k x k k x k k +--+--= 由0∆>知12k ≠-,设()333,,1,2Q x y P ⎛⎫⎪⎝⎭Q ,则22332281241231,13434k k k k x x k k ---+==++g ……9分 若四边形PABQ 的对角线互相平分,则PB 与AQ 的中点重合. 132122x x x ++=,即()()22123121231,41x x x x x x x x -=-∴+-=- 2222222841241233413434344k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫---∴-=-⇒= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭g 所以直线l 的方程为3430x y --=时, 四边形PABQ 的对角线互相平分. …12分理由如下: (方法二)由题可知直线l 、PQ 的斜率存在.设直线l 的方程为(1)y k x =-,直线PQ 的方程为3(1)2y k x =-+由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()()22223484120k x k x k +-+-=则AB ==, ……7分由221433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 得()()()22223481241230k x k k x k k +--+--=则PQ ==, ……9分 若四边形PABQ 的对角线互相平分,则四边形PABQ 为平行四边形,AB PQ ∴=2213144k k k k ∴+=++⇒=所以直线l 的方程为3430x y --=时, 四边形PABQ 的对角线互相平分. …12分 (另(2):若直接由对称性得出直线l 的方程为3430x y --=而没有说明唯一性的给5分) 21.(本小题满分12 分).解(1) ()f x 的定义域是(0,)+∞,1'(),(0)f x a x x =+>1当0a =时,'()0f x >,所以在(0,)+∞单调递增;02当0a <时,由'()0f x =,解得1x a=-.则当1(0,)x a ∈-时. '()0f x >,所以()f x 单调递增.当1(,)x a∈-+∞时,'()0f x <,所以()f x 单调递减.综上所述:当0a =时,()f x 增区间是(0,)+∞;当0a <时,()f x 增区间是1(0,)a -,减区间是1(,)a-+∞. …………4分(2)由题意:x e x m <+有解,因此只需xm e x >-有解即可,设()x h x e x =-,'()1x h x e =-,因为(0,)x ∈+∞时1x e >,所以'()0h x >,故()h x 在[0,)+∞上递增;又(,0)x ∈-∞时1xe <,所以'()0h x <.故()h x 在(),0-∞上递减, 所以()(0)1h x h ≥=故1m >. …………8分 (3)(方法一)当0a =时,()ln f x x =,()f x 与()g x 的公共定义域为(0,)+∞,)x -,)+∞时,'()0k x <,()k x 单调递减. (12)(3)(方法二)当0a =时,()ln f x x =,()f x 与()g x 的公共定义域为(0,)+∞,()()ln ln x x f x g x x e e x -=-=-,令()ln x F X e x =-,,所以'()F x 单调递增且当()00,x x ∈时'()0,()F x F x <递减; 当()0,x x ∈+∞时'()0,()F x F x >当递增; (12)22、(10分) 选修4—4:坐标系与参数方程解:(1) 由方程,2.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去t 得直线l 的普通方程为0225=--+y x …2分由θρcos 4=得曲线C 的直角坐标方程为4)2(22=+-y x ……4分(2) 由A )sin 2,cos 22(αα+,B )222,2225(t t -+知点A 的轨迹是曲线C ,点B 轨迹是直线l . ……8分所以3222252min =---=AB ……10分23、(10分)选修4-5:不等式选讲 解:(1)原不等式等价于 ⎩⎨⎧≥--<321x x 或⎩⎨⎧≥≤≤-3211x 或⎩⎨⎧≥>321x x 解得:23-≤x 或23≥x ,∴不等式的解集为23|{-≤x x 或}23≥x . ………………5分(2)令x x x x x g 2|1||1|)(2-+++-=,则g (x )=2224(1)22(11)(1)x x x x x x x x ⎧-<-⎪-+-≤≤⎨⎪>⎩当x ∈(-∞,1]时,g (x )单调递减, 当x ∈[1,+∞)时,g (x )单调递增,所以当x =1时,g (x )的最小值为1. ………8分因为不等式x x a x f 2)(22+->在R 上恒成立 ∴12<a ,解得11<<-a ,∴实数a 的取值范围是11<<-a . ……………10分。
2013届高中文科数学高考复习辅导3及答案
2013届高中文科数学高考复习辅导3一、选择题:每小题只有一项是符合题目要求的,将答案填在题后括号内.1.幂函数)(x f y =的图像经过点1(,4)2,则1()3f 的值为 ( )A.1B.4C.9D.162.若集合},0{2m A =,}2,1{=B ,则“1=m ”是“{0,1,2}A B =”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件3.在ABC ∆中,若20AB BC AB ⋅+=,则ABC ∆是( ).A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 无法确定4.下列四个函数中,既是(0,)2π上的增函数,又是以π为周期的偶函数是( )A 、y =c os2xB 、y =|sin2x |C 、y =|c os x |D 、y =|sin x | 5.函数()2x f x e x =+-的零点所在的一个区间为( ) .(0,1).(1,0).(2,1).(1,2)A B C D --- 6. 函数y =x +cos x 的大致图象是 ( )7.定义在[2,2]-的函数满足()()f x f x -=-,且在[0,2]上是增函数,若(1)()f m f m -<成立,则实数m 的取值范围是 ( )A .122m <≤B .13m -≤≤C .112m -≤<D .12m >8.=)(x f ⎩⎨⎧>≤≤)1(log )10sin 2010x x x x (π若a ,b,c 互不相等,且f(a)=f(b )=f(c),则a +b+c 的取值范围是( )A (1,2010)B (1,2011)C (2,2011)D [2,2011]9. 在Rt ABC ∆中,090,C ∠=且A B C ∠∠∠、、所对的边分别为a b c 、、,若a b cx =+,则实数x 的取值范围是( )A .⎡⎣B .C .D . 二、填空题:将正确答案填在题后横线上.10.已知向量(3,1)a =,(1,3)b =,(,7)c k =,若()a c -∥b ,则k = 。
2013届高中文科数学高考复习基础辅导
2013届高中文科数学高考复习辅导3一、选择题:每小题只有一项是符合题目要求的,将答案填在题后括号内.1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )A .y =x 3B .y =|x |+1C .y =-x 2+1D .y =2-|x |2.函数f (x )=2xx +1在[1,2]上的最大值和最小值分别是( )A. 43,1 B .1,0 C. 43,23 D .1,23 3.函数f (x )=ln(4+3x -x 2)的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎭⎫32,4B.⎝⎛⎦⎤12,4C.⎝⎛⎦⎤1,52D.⎝⎛⎭⎫32,2 4.函数f (x )=a x+log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值是( )A .2 B.12 C .4 D.145.设f (x )=x 3+x ,x ∈R ,当0≤θ≤π2时,f (m sin θ)+f (1-m )>0恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .(0,1)B .(-∞,0) C.⎝⎛⎭⎫-∞,12 D .(-∞,1) 二、填空题:将正确答案填在题后横线上.6.设x 1,x 2为y =f (x )的定义域内的任意两个变量,有以下几个条件:①(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0; ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0;③f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0; ④f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0.其中能推出函数y =f (x )为定义域上增函数的条件为________(填序号).7. 已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(3a -1)x +4a (x <1),log a x (x ≥1)是(-∞,+∞)上的减函数,那么a 的取值范围是________.8.已知实数a ≠0,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +a ,x <1,-x -2a ,x ≥1, 若f (1-a )=f (1+a ),则a 的值为________.三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.9. 在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b,c 2sin c A =(1)求cosC 的值; (2)若52CB CA ∙= ,且a +b =9, 求c 的值.10. 已知以函数f(x)=mx3-x的图象上一点N(1,n)为切点的切线倾斜角为π4.(1) 求m、n的值;(2) 是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-1997,对于x∈[-1,3]恒成立?若存在,求出最小的正整数k,否则请说明理由.11.已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程;(2) 设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式.2013届高中文科数学高考复习辅导4一、选择题:每小题只有一项是符合题目要求的,将答案填在题后括号内.1.已知函数f (x )=lg(x +3)的定义域为M ,g (x )=12-x的定义域为N ,则M ∩N 等于( ) A .{x |x >-3} B .{x |-3<x <2} C .{x |x <2} D .{x |-3<x ≤2}2.已知f (x )=x +ax+1,f (3)=2,则f (-3)=( )A .-2B .-5C .0D .2 3.下表表示y 是x 的函数,则函数的值域是( )A.[2,5] 4. 根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )=⎩⎨⎧cx,x <A ,cA ,x ≥A(A ,c为常数). 已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( )A .75,25B .75,16C .60,25D .60,16二、填空题:将正确答案填在题后横线上.5.已知f (2x +1)=3x -4,f (a )=4,则a =________.6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x >0,x +1,x ≤0,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于7.已知集合P ={(x ,y )|y =m },Q ={(x ,y )|y =a x +1,a >0,a ≠1},如果P ∩Q 有且只有一个元素,那么实数m 的取值范围是 . 8.函数y =a x+2012+2011(a >0且a ≠1)的图象恒过定点 .三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 9. 已知1,6a b == . (1)若()2a b a ⋅-= ,求向量a 与b 的夹角;(2)若a 与b 的夹角为3π,求a b - 的值.11. 已知函211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πϕϕϕϕπ=+-+<<,其图像过点1(,)62π。
北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第3章 导数及其应用 指点迷津(三) 在导数应用中如何构造函数
()
g(x)= ;
e
(4)对于f(x)满足x2f'(x)>1,构造函数F(x)=f(x)+
1
.
对点训练1(1)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成
立,则(
)
A.f(1)<ef(0),f(2 020)>e2 020f(0)
B.f(1)>ef(0),f(2 020)>e2 020f(0)
f(x)=x-2ex 上和直线 g(x)=2-x 平行的切线方程,由 f'(x)=1-2ex=-1,得 x=0,所以
切点坐标为(0,-2),所以(a-c)2+(b-d)2 的最小值为
|0-2-2|
1+1
2
=8.
规律方法 解题中若遇到比较大小及有关不等式、方程及最值之类的问题,
设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最
3
1
2
,即
x=
,y=
时,等号成立,因为不等式
+
≥m
对任意的正实数
4
2
x,y 恒成立,所以
8
m≤ ,所以实数
3
m
8
的最大值为 .
3
b
,e e 这三个数先取自然对数再除以
a
(2)对 a ,b
ln
=
ln ln e e
,
1
e
= =
=
ln
=
ln ln
,
=
高考数学( 文科)一轮复习练习:第三章 导数及其应用 第3讲 含答案
基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、填空题1.函数f (x )=2x 3-6x 2-18x -7在[1,4]上的最小值为________. 解析 f ′(x )=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3) =6(x -3)(x +1),由f ′(x )>0,得x >3或x <-1; 由f ′(x )<0,得-1<x <3,故函数f (x )在[1,3]上单调递减,在[3,4]上单调递增, ∴f (x )min =f (3)=2×27-6×9-18×3-7=-61. 答案 -612.函数f (x )=x 3+3x 2+3x -a 的极值点的个数是________.解析 ∵f ′(x )=3x 2+6x +3=3(x 2+2x +1)=3(x +1)2≥0,∴函数f (x )在R 上单调递增,故f (x )无极值点. 答案 03.(2015·泰州调研)函数f (x )=x 3-3bx +3b 在(0,1)内有极小值,则b 的取值范围是________.解析 由f (x )=x 3-3bx +3b ,得f ′(x )=3x 2-3b .由已知可得f ′(x )=3x 2-3b 在(0,1)上与x 轴有交点,且满足⎩⎨⎧f ′(0)<0,f ′(1)>0,即⎩⎨⎧b >0,3-3b >0.∴0<b <1.∴b 的取值范围是(0,1). 答案 (0,1)4.(2015·扬州模拟)已知f (x )=x 3+3ax 2+bx +a 2在x =-1时有极值0,则a -b =________.解析 由题意得f ′(x )=3x 2+6ax +b ,则 ⎩⎨⎧a 2+3a -b -1=0,b -6a +3=0,解得⎩⎨⎧a =1,b =3或⎩⎨⎧a =2,b =9,经检验当a =1,b =3时,函数f (x )在x =-1处无法取得极值,而a =2,b =9满足题意,故a -b =-7. 答案 -75.(2016·长沙模拟)已知函数f (x )=x 3+ax 2+(a +6)x +1有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是________. 解析 ∵f ′(x )=3x 2+2ax +(a +6), 由已知可得f ′(x )=0有两个不相等的实根, ∴Δ=4a 2-4×3×(a +6)>0,即a 2-3a -18>0. ∴a >6或a <-3.答案 (-∞,-3)∪(6,+∞)6.设a ∈R ,若函数y =e x +ax ,x ∈R 有大于零的极值点,则a 的取值范围是________.解析 ∵y =e x +ax ,∴y ′=e x +a . ∵函数y =e x +ax 有大于零的极值点, 则方程y ′=e x +a =0有大于零的解, ∵x >0时,-e x <-1,∴a =-e x <-1. 答案 (-∞,-1)7.已知函数f (x )=x 3-12x +8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M ,m ,则M -m =________.解析 由题意,得f ′(x )=3x 2-12,令f ′(x )=0,得x =±2,又f (-3)=17,f (-2)=24,f (2)=-8,f (3)=-1,所以M =24,m =-8,M -m =32. 答案 328.(2015·苏、锡、常、镇模拟)函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 在x =0处有极大值1,在x =2处有极小值0,则常数a ,b ,c ,d 分别为________,________,________,________.解析 f ′(x )=3ax 2+2bx +c ,则⎩⎨⎧f (2)=0,f ′(2)=0,f (0)=1,f ′(0)=0,即⎩⎨⎧8a +4b +2c +d =0,12a +4b +c =0,d =1,c =0,解得a =14,b =-34,c =0,d =1.答案 14 34 0 1 二、解答题9.(2016·徐州一检)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-1e 时,函数f (x )=ax -1+ln x 在区间(0,e)上的最大值为-4,求a 的值.解 由题意f ′(x )=a +1x ,令f ′(x )=0,解得x =-1a .∵a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-1e ,∴0<-1a <e ,由f ′(x )>0,解得0<x <-1a,由f ′(x )<0,解得-1a <x <e.从而f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-1a ,减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-1a ,e .∴f (x )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1a =-1-1+ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1a =-4,解得a =-e 2.10.(2015·安徽卷)已知函数f (x )=ax(x +r )2(a >0,r >0).(1)求f (x )的定义域,并讨论f (x )的单调性; (2)若ar =400,求f (x )在(0,+∞)内的极值.解 (1)由题意知x ≠-r ,所求的定义域为(-∞,-r )∪(-r ,+∞). f (x )=ax (x +r )2=axx 2+2rx +r 2,f ′(x )=a (x 2+2rx +r 2)-ax (2x +2r )(x 2+2rx +r 2)2=a (r -x )(x +r )(x +r )4.所以当x <-r 或x >r 时,f ′(x )<0, 当-r <x <r 时,f ′(x )>0.因此,f (x )的单调递减区间为(-∞,-r ),(r ,+∞); f (x )的单调递增区间为(-r ,r ).(2)由(1)的解答可知f ′(r )=0,f (x )在(0,r )上单调递增,在(r ,+∞)上单调递减.因此,x =r 是f (x )的极大值点,所以f (x )在(0,+∞)内的极大值为f (r )=ar (2r )2=a 4r =4004=100.能力提升题组 (建议用时:25分钟)11.已知函数f (x )=-x 3+ax 2-4在x =2处取得极值,若m ,n ∈[-1,1],则f (m )+f ′(n )的最小值是________.解析 对函数f (x )求导得f ′(x )=-3x 2+2ax , 由函数f (x )在x =2处取得极值知f ′(2)=0, 即-3×4+2a ×2=0,∴a =3.由此可得f (x )=-x 3+3x 2-4,f ′(x )=-3x 2+6x , 易知f (x )在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增, ∴当m ∈[-1,1]时,f (m )min =f (0)=-4. 又∵f ′(x )=-3x 2+6x 的图象开口向下, 且对称轴为x =1,∴当n ∈[-1,1]时, f ′(n )min =f ′(-1)=-9. 故f (m )+f ′(n )的最小值为-13. 答案 -1312.(2016·南通调研)若函数f (x )=x 33-a 2x 2+x +1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3上有极值点,则实数a 的取值范围是________.解析 若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3上无极值,则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3时,f ′(x )=x 2-ax +1≥0恒成立或当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3时,f ′(x )=x 2-ax +1≤0恒成立.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3时,y =x +1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2,103;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3时,f ′(x )=x 2-ax +1≥0,即a ≤x +1x 恒成立,a ≤2;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3,f ′(x )=x 2-ax +1≤0,即a ≥x +1x 恒成立,a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3上有极值点,实数 a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2,103.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,10313.(2015·太原二模)已知f ′(x )=a (x +1)(x -a )是函数f (x )的导函数,若f (x )在x =a 处取得极大值,则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f ′(-1)=f ′(a )=0,∴当a <-1时,x <a 时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;a <x <-1时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;x >-1时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,此时f (x )在x =a 处取得极小值,不符合题意.当-1<a <0时,x <-1时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;-1<x <a 时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;x >a 时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,此时f (x )在x =a 处取得极大值,符合题意.当a >0时,x <-1时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;-1<x <a 时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;x >a 时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,此时f (x )在x =a 处取得极小值,不符合题意.∴实数a 的取值范围是(-1,0). 答案 (-1,0)14.(2015·南京、盐城调研)已知a ∈R ,函数f (x )=a x +ln x -1. (1)当a =1时,求曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程; (2)求f (x )在区间(0,e]上的最小值.解 (1)当a =1时,f (x )=1x +ln x -1,x ∈(0,+∞), 所以f ′(x )=-1x 2+1x =x -1x 2,x ∈(0,+∞).因此f ′(2)=14,即曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线斜率为14. 又f (2)=ln 2-12,所以曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为 y -⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2-12=14(x -2),即x -4y +4ln 2-4=0. (2)因为f (x )=ax +ln x -1,所以f ′(x )=-a x 2+1x =x -ax 2,x ∈(0,+∞). 令f ′(x )=0,得x =a .①若a ≤0,则f ′(x )>0,f (x )在区间(0,e]上单调递增,此时函数f (x )无最小值. ②若0<a <e ,当x ∈(0,a )时,f ′(x )<0, 函数f (x )在区间(0,a )上单调递减,当x ∈(a ,e]时, f ′(x )>0,函数f (x )在区间(a ,e]上单调递增,所以当x=a时,函数f(x)取得最小值ln a.③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,所以当x=e时,函数f(x)取得最小值a e.综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值;当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln a;当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为a e.。
高考数学试卷卷三文科答案
一、选择题1. 答案:A解析:本题考查指数函数的单调性,由指数函数的定义可知,当底数大于1时,函数在定义域内单调递增;当底数小于1时,函数在定义域内单调递减。
因此,选项A正确。
2. 答案:C解析:本题考查三角函数的周期性,正弦函数和余弦函数的周期都是2π,因此选项C正确。
3. 答案:D解析:本题考查数列的通项公式,根据数列的定义可知,an = an-1 + 2,且a1 = 1,所以数列{an}是等差数列,公差为2。
因此,选项D正确。
4. 答案:B解析:本题考查函数的极值问题,对函数f(x)求导,得f'(x) = 3x^2 - 6x + 9,令f'(x) = 0,解得x = 1。
当x < 1时,f'(x) > 0,函数单调递增;当x > 1时,f'(x) < 0,函数单调递减。
因此,x = 1时,函数取得极大值。
选项B正确。
5. 答案:C解析:本题考查立体几何中的体积问题,根据长方体的体积公式V = lwh,可得V = 2^3 = 8。
选项C正确。
二、填空题6. 答案:1/2解析:本题考查指数幂的运算,由指数幂的运算法则可知,(2^3)^(-1/2) =2^(3(-1/2)) = 2^(-3/2) = 1/2。
7. 答案:π/3解析:本题考查三角函数的值,由正弦函数的定义可知,sin(π/3) = √3/2,化简得sin(π/3) = 1/2。
8. 答案:3解析:本题考查数列的求和,由等差数列的求和公式可知,S_n = n(a_1 + a_n)/2,其中a_1 = 1,a_n = 1 + (n-1)2 = 2n-1。
代入公式得S_n = n(1 + 2n-1)/2 =n^2。
9. 答案:-2解析:本题考查函数的零点问题,令f(x) = x^2 - 4x + 3 = 0,解得x = 1或x = 3。
因为函数图像在x = 2时经过x轴,所以x = 2是函数的零点,即f(2) = 0。
2020-2021学年高考总复习数学(文)三轮复习模拟试题及答案解析二
最新高考数学三模试卷(文科)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一种集合A={3,5,x},B={2},若A∪B=A,则实数x的值为( )A.﹣2 B.2 C.3 D.52.“x2﹣2x<0”是“|x|<2”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形,则这个几何体的俯视图不可能是( )A.B.C.D.4.在△ABC内部随机取一点P,则事件“△PBC”的面积不大于△ABC面积的”的概率是( )A.B.C.D.5.执行如图所示的程序框图,输出的i值为( )A.2 B.3 C.4 D.56.函数y=(0<φ<)的图象如图,则( )A.k=,ω=,φ=B.k=,ω=,φ=C.k=﹣,ω=2,φ=D.k=﹣2,ω=2,φ=7.正项等比数列{a n}满足:a3=a2+2a1,若存在a m,a n,使得a m•a n=16a12,则的最小值为( )A.2 B.16 C.D.8.设x,y满足约束条件,则取值范围是( )A.[1,5] B.[2,6] C.[3,10] D.[3,11]9.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线C的离心率为2,△AOB的面积为,则△AOB的内切圆半径为( )A.﹣1 B.+1 C.2﹣3 D.2+310.定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b),满足f′(x1)=,f′(x2)=,则称数x1,x2为[a,b]上的“对望数”函数f(x)为[a,b]上的“对望函数”,已知函数f(x)=是[0,m]上的“对望函数”,则实数m的取值范围是( )A.(1,)B.(1,)∪(,3)C.(2,3)D.(,3)二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分把答案填在答題卡中对应题号后的横线上)11.已知(1+i)2=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则a+b=__________.12.已知点A(1,1),B(2,3),C(0,2),D(5,5)则向量在方向上的投影为__________.13.直角坐标系xOy中,点A,B分别在曲线C1:(θ为参数)上,则|AB|的最大值为__________.14.某学校从A、B两个班级中各选出7名学生参加市级比赛,他们去得的成绩(满分100分)的茎叶如图所示,其中A班学生成绩的众数是85,B班学生成绩的中位数是83.则x+y的值为__________.15.设满足条件x2+y2≤1的点(x,y)构成的平面区域的面积为S1,满足条件[x]2+[y]2≤1的点(x,y)构成的平面区域的面积为S2(其中[x],[y]分别表示不大于x,y的最大整数,例如[﹣0.3]=﹣1,[1.2]=1),给出下列结论:①点(S1,S2)在直线y=x左上方的区域内;②点(S1,S2)在直线x+y=7左下方的区域内;③S1<S2;④S1>S2.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答題:本大题共6小题•共75分.解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤16.在△ABC中,角A、B、C所对的边为a、b、c,且满足cos2A﹣cos2B=(1)求角B的值;(2)若且b≤a,求的取值范围.17.有2000名网购者在11月11日当天于某购物网站进行网购消费(每人消费金额不超过1000元),其中有女士1100名,男士900名,该购物网站为优化营销策略,根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分折,如下表(消费金額卑位:元)女士消费情况:消费金额(0.200)[200,400)[400.600)[600,800)[800,1000]人数10 25 35 30 X男士消费情况况:消费金额(0.200)[200,400)[400.600)[600,800)[800.1000]人数15 30 25 Y 5(1)计算算x,y的值;在抽出的200名且消费金额在[800,1000](单位:元)的网购者中随机选出两名发放网购红包,求选出的两名网购者都是男士的概率;(2)若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人,低于600元的网购者为“非网购达人”根据以上统计数据填写答题卡中的2×2列联表,并冋答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为网购达人与性别有关?”附表:P(K2≥k0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879(K2=,n=a+b+c+d)18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,且满足AB∥CD,AD=DC=AB,PA⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证:平面PBD⊥平面PAD;(Ⅱ)若PA=AB,求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.19.在数列{a n}中,已知a1=.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)求证:数列{b n}是等差数列;(Ⅲ)设数列{c n}满足c n=(﹣1)n+1b n b n+1,且{c n}的前n项和S n,若S n≥tn2对n∈N*恒成立,求实数t取值范围.20.已知F1、F2分别是椭圆C:+=1(a>0,b>0)的左、右焦点,椭圆C过点(﹣,1)且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点,直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点(1)求椭圆C方程;(2)P为直线x=3上的一点,若△ABP为等边三角形,求直线l的方程.21.已知函数f(x)=e x,g(x)=mx+n.(1)设h(x)=f(x)﹣g(x).①若函数h(x)在x=0处的切线过点(1,0),求m+n的值;②当n=0时,若函数h(x)在(﹣1,+∞)上没有零点,求m的取值范围;(2)设函数r(x)=+,且n=4m(m>0),求证:当x≥0时,r(x)≥1.高考数学三模试卷(文科)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一种集合A={3,5,x},B={2},若A∪B=A,则实数x的值为( ) A.﹣2 B.2 C.3 D.5考点:并集及其运算.专题:集合.分析:根据并集的意义,由A∪B=A得到集合B中的元素都属于集合A,求解即可.解答:解:因为A∪B=A,所以2∈A,而A={3,5,x},故x=2.故选B.点评:此题考查了并集的意义,以及集合中元素的特点.集合中元素有三个特点,即确定性,互异性,无序性.学生做题时注意利用元素的特点判断得到满足题意的a的值2.“x2﹣2x<0”是“|x|<2”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:阅读型.分析:解出不等式x2﹣2x<0和|x|<2的解集,分析它们之间的包含关系即可得出结论.解答:解:由x2﹣2x<0得0<x<2,此时满足|x|<2,由|x|<2,得﹣2<x<2,取x=﹣1时,x2﹣2x>0,所以“x2﹣2x<0”是“|x|<2”成立的充分不必要条件.故选A.点评:判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.3.若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形,则这个几何体的俯视图不可能是( )A.B.C.D.考点:简单空间图形的三视图.专题:空间位置关系与距离.分析:通过几何体的三视图判断选项即可.解答:解:正方体的三视图满足A;B是半圆柱的俯视图,所以B不满足题意;等边圆柱的三视图,C正确;D可以是正方体的一半,即三棱柱,正确;故选:B.点评:本题考查简单几何体的三视图的应用,考查基本知识的应用.4.在△ABC内部随机取一点P,则事件“△PBC”的面积不大于△ABC面积的”的概率是( )A.B.C.D.考点:几何概型.专题:概率与统计.分析:先求出“△PBC的面积等于△ABC面积的时,对应的位置,然后根据几何概型的概率公式求相应的面积,即可得到结论解答:解:作出△ABC的高AO,当“△PBC的面积等于△ABC面积的”时,此时OP=OA,要使““△PBC的面积不大于△ABC面积的”,则P位于阴影部分,则△AEF的面积S1=()2S=S,则阴影部分的面积为S﹣S=S,则根据几何概型的概率公式可得“△PBC的面积小于不大于△ABC面积的”的概率是:;故选:A点评:本题主要考查几何概型的概率公式的计算,根据面积之间的关系是解决本题的关键.5.执行如图所示的程序框图,输出的i值为( )A.2 B.3 C.4 D.5考点:程序框图.专题:算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当S=lg24时,满足条件S >1,退出循环,输出i的值为4.解答:解:模拟执行程序框图,可得i=1,S=0不满足条件S>1,i=2,S=lg2不满足条件S>1,i=3,S=lg2+lg3=lg6不满足条件S>1,i=4,S=lg6+lg4=lg24>lg10=1满足条件S>1,退出循环,输出i的值为4,故选:C点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,考查了对数的运算法则的应用,属于基础题.6.函数y=(0<φ<)的图象如图,则( )A.k=,ω=,φ=B.k=,ω=,φ=C.k=﹣,ω=2,φ=D.k=﹣2,ω=2,φ=考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.专题:三角函数的图像与性质.分析:用待定系数法求出k的值,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式.解答:解:把(﹣2,0)代入y=kx+1,求得k=.再根据•=﹣=π,可得ω=.再根据五点法作图可得×+φ=π,求得φ=,故选:A.点评:本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,属于基础题.7.正项等比数列{a n}满足:a3=a2+2a1,若存在a m,a n,使得a m•a n=16a12,则的最小值为( )A.2 B.16 C.D.考点:等差数列的性质;等比数列的通项公式.专题:综合题;等差数列与等比数列.分析:正项等比数列{a n}满足:a3=a2+2a1,知q=2,由存在两项a m,a n,使得a m a n=16a12,知m+n=6,由此问题得以解决.解答:解:∵正项等比数列{a n}满足:a3=a2+2a1,∴a1q2=a1q+2a1,即:q2=q+2,解得q=﹣1(舍),或q=2,∵存在a m,a n,使得a m a n=16a12,∴a12•2m+n﹣2=16a12,∴m+n=6,∴=(m+n)()=(10++)≥(10+2)=∴的最小值为.故选:C.点评:本题考查等比数列的通项公式的应用,解题时要认真审题,仔细解答.注意不等式也是2015届高考的热点,尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查,两者都兼顾到了.8.设x,y满足约束条件,则取值范围是( ) A.[1,5] B.[2,6] C.[3,10] D.[3,11]考点:简单线性规划的应用.专题:计算题;数形结合.分析:再根据约束条件画出可行域,利用几何意义求最值,只需求出直线l0过A(0,4)时l0最大,k也最大为11,当直线l0过B(0,0))时l0最小,k也最小为3即可.解答:解:根据约束条件画出可行域,∵设k==1+,整理得(k﹣1)x﹣2y+k﹣3=0,由图得,k>1.设直线l0=(k﹣1)x﹣2y+k﹣3,当直线l0过A(0,4)时l0最大,k也最大为11,当直线l0过B(0,0))时l0最小,k也最小为3.故选D.点评:本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.9.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线C的离心率为2,△AOB的面积为,则△AOB的内切圆半径为( )A.﹣1 B.+1 C.2﹣3 D.2+3考点:双曲线的简单性质.专题:解三角形;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由双曲线的离心率公式及a,b,c的关系可得b=a,由双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程解得A,B,求出三角形AOB的面积,进而解得p=2,即有A,B的坐标,进而得到三角形AOB的三边,再由内切圆的半径与三角形的面积之间的关系,计算即可得到r.解答:解:由e====2,可得=.由,求得A(﹣,),B(﹣,﹣),所以S△AOB=••=.将=代入,得p2=4,解得p=2.所以A(﹣1,),B(﹣1,﹣),则△AOB的三边分别为2,2,2,设△AOB的内切圆半径为r,由(2+2+2)r=,解得r=2﹣3,故选C.点评:本题考查双曲线和抛物线的综合应用.求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系,找到它们对应的几何量,然后利用图形中的平面几何性质解答问题.10.定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b),满足f′(x1)=,f′(x2)=,则称数x1,x2为[a,b]上的“对望数”函数f(x)为[a,b]上的“对望函数”,已知函数f(x)=是[0,m]上的“对望函数”,则实数m的取值范围是( )A.(1,)B.(1,)∪(,3)C.(2,3) D.(,3)考点:函数的单调性与导数的关系.专题:新定义;函数的性质及应用;导数的概念及应用.分析:由新定义可知f′(x1)=f′(x2)=m2﹣m,即方程x2﹣2x=m2﹣m在区间(0,m)有两个解,利用二次函数的性质可知实数m的取值范围.解答:解:由题意可知,在区间[0,m]存在x1,x2(0<x1<x2<m),满足f′(x1)===m2﹣m,∵f(x)=x3﹣x2+m,∴f′(x)=x2﹣2x,∴方程x2﹣2x=m2﹣m在区间(0,m)有两个解.令g(x)=x2﹣2x﹣m2+m,(0<x<m)则,解得<m<3,∴实数m的取值范围是(,3).故选:D.点评:本题主要考查了导数的几何意义,二次函数的性质与方程根的关系,属于中档题.二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分把答案填在答題卡中对应题号后的横线上)11.已知(1+i)2=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则a+b=2.考点:复数的代数表示法及其几何意义.专题:数系的扩充和复数.分析:通过题意直接计算即可.解答:解:(1+i)2=1+2i+i2=2i,∵(1+i)2=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),∴,∴a+b=2,故答案为:2.点评:本题考查复数的相关知识,注意解题方法的积累,属于基础题.12.已知点A(1,1),B(2,3),C(0,2),D(5,5)则向量在方向上的投影为﹣.考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:设向量与的夹角为θ,由条件求得cosθ=的值,再根据向量在方向上的投影为||•cosθ,计算求得结果.解答:解:由题意可得向量=(﹣1,1),=(3,2),∴||=,||==.设向量与的夹角为θ,则cosθ===﹣.故向量在方向上的投影为||•cosθ=﹣=﹣,故答案为:﹣.点评:本题主要考查两个向量的数量积的运算,求一个向量在另一个向量上的投影,属于基础题.13.直角坐标系xOy中,点A,B分别在曲线C1:(θ为参数)上,则|AB|的最大值为2.考点:参数方程化成普通方程.专题:坐标系和参数方程.分析:利用sin2θ+cos2θ=1即可把参数方程化为直角坐标方程,即可得出.解答:解:曲线C1:(θ为参数)化为(x﹣3)2+(y﹣4)2=1,因此|AB|的最大值为直径2,.故答案为:2.点评:本题考查了同角三角函数基本关系式、把参数方程化为直角坐标方程、圆的性质,考查了计算能力,属于基础题.14.某学校从A、B两个班级中各选出7名学生参加市级比赛,他们去得的成绩(满分100分)的茎叶如图所示,其中A班学生成绩的众数是85,B班学生成绩的中位数是83.则x+y的值为8.考点:茎叶图.专题:概率与统计.分析:根据茎叶图以及众数和中位数的定义求出x,y即可.解答:解:∵A班学生成绩的众数是85,∴x=5,∵B班学生成绩的中位数是83,∴y=3,故x+y=5+3=8,故答案为:8点评:本题主要考查茎叶图的应用,以及中位数和众数的概念,比较基础.15.设满足条件x2+y2≤1的点(x,y)构成的平面区域的面积为S1,满足条件[x]2+[y]2≤1的点(x,y)构成的平面区域的面积为S2(其中[x],[y]分别表示不大于x,y的最大整数,例如[﹣0.3]=﹣1,[1.2]=1),给出下列结论:①点(S1,S2)在直线y=x左上方的区域内;②点(S1,S2)在直线x+y=7左下方的区域内;③S1<S2;④S1>S2.其中所有正确结论的序号是①③.考点:直线与圆的位置关系.专题:不等式的解法及应用.分析:先把满足条件x2+y2≤1的点(x,y)构成的平面区域,满足条件[x]2+[y]2≤1的点(x,y)构成的平面区域表达出来,然后看二者的区域的面积,再求S1与S2的关系.解答:解:满足条件x2+y2≤1的点(x,y)构成的平面区域为一个圆,其面积为:π当0≤x<1,0≤y<1时,满足条件[x]2+[y]2≤1;当0≤x<1,1≤y<2时,满足条件[x]2+[y]2≤1;当0≤x<1,﹣1≤y<0时,满足条件[x]2+[y]2≤1;当﹣1≤x<0,0≤y<1时,满足条件[x]2+[y]2≤1;当0≤y<1,1≤x<2时,满足条件[x]2+[y]2≤1;∴满足条件[x]2+[y]2≤1的点(x,y)构成的平面区域是五个边长为1的正方形,其面积为:5综上得:S1与S2的关系是S1<S2,点(S1,S2)一定在直线y=x左上方的区域内故答案为:①③.点评:本题考查平面区域,处理两个不等式的形式中,第二个难度较大,[x]2+[y]2≤1的平面区域不易理解.三、解答題:本大题共6小题•共75分.解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤16.在△ABC中,角A、B、C所对的边为a、b、c,且满足cos2A﹣cos2B=(1)求角B的值;(2)若且b≤a,求的取值范围.考点:正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用.专题:解三角形.分析:(1)由条件利用三角恒等变换化简可得2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A,求得cos2B 的值,可得cosB的值,从而求得B的值.(2)由b=≤a,可得B=60°.再由正弦定理可得.解答:解:(1)在△ABC中,∵cos2A﹣cos2B==2(cosA+sinA)(cosA﹣sinA)=2(cos2A﹣sin2A)=cos2A﹣sin2A=﹣2sin2A.又因为cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣(2cos2B﹣1)=2﹣2sin2A﹣2cos2B,∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A,∴cos2B=,∴cosB=±,∴B=或.(2)∵b=≤a,∴B=,由正弦====2,得a=2sinA,c=2sinC,故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin(﹣A)=sinA﹣cosA=sin(A﹣),因为b≤a,所以≤A<,≤A﹣<,所以a﹣c=sin(A﹣)∈[,).点评:本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,三角恒等变换,属于中档题.17.有2000名网购者在11月11日当天于某购物网站进行网购消费(每人消费金额不超过1000元),其中有女士1100名,男士900名,该购物网站为优化营销策略,根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分折,如下表(消费金額卑位:元)女士消费情况:消费金额(0.200)[200,400)[400.600)[600,800)[800,1000]人数10 25 35 30 X男士消费情况况:消费金额(0.200)[200,400)[400.600)[600,800)[800.1000]人数15 30 25 Y 5(1)计算算x,y的值;在抽出的200名且消费金额在[800,1000](单位:元)的网购者中随机选出两名发放网购红包,求选出的两名网购者都是男士的概率;(2)若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人,低于600元的网购者为“非网购达人”根据以上统计数据填写答题卡中的2×2列联表,并冋答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为网购达人与性别有关?”附表:P(K2≥k0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879(K2=,n=a+b+c+d)考点:独立性检验.专题:应用题;概率与统计.分析:(1)根据分层抽样方法求出x、y的值,利用组合数计算基本事件数,求出对应的概率;(2)列出2×2列联表,计算观测值K2,对照表中数据,判断结论是否成立即可.解答:解:(1)根据题意,样本中应抽取女士200×=110人,男士200﹣110=90人;∴x=110﹣(10+25+35+30)=10,y=90﹣(15+30+25+5)=15;∴消费金额在[800,1000](单位:元)的网购者有女士10人,男士5人,从中任选2名,基本事件为=105种,其中选出的2名都是男士的基本事件为=10种,∴所求的概率为P==.(2)把“网购达人与非网购达人”根据男、女性别填写2×2列联表,如下;非网购达人数网购达人数合计女士a=70 b=40 110男士c=70 d=20 90合计140 60 200∴K2==≈4.72>3.841,∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“网购达人与性别有关”.点评:本题考查了分层抽样方法的应用问题,也考查了2×2列联表的应用问题,是基础题目.18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,且满足AB∥CD,AD=DC=AB,PA⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证:平面PBD⊥平面PAD;(Ⅱ)若PA=AB,求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.考点:直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(Ⅰ)首先利用中点得到△BCE为正三角形,进一步利用勾股定理的逆定理得到线线垂直,再利用线面垂直的判定定理证得:线面垂直.最后转化成面面垂直.(Ⅱ)首先作出直线与平面的夹角的平面角,进一步利用解直角三角形知识求得结果.解答:(Ⅰ)证明:取AB的中点,连接CE,则由题意知:△BCE为正三角形,所以:∠ABC=60°,由等腰梯形知:∠BCD=120°,设AD=CD=BC=2,则:AB=4,BD=2,故:AD2+BD2=AB2,即得:∠ADB=90°,所以:AD⊥BD,又因为:PA⊥平面ABCD,所以:PA⊥BD,则:BD⊥平面PAD,且BC⊂平面PBD,所以:平面PBD⊥平面PAD.(Ⅱ)在平面ABCD中,过点C作CH∥BD交AD的延长线于点H,由(Ⅰ)知:BD⊥平面PAD,所以:CH⊥平面PAD,连接PH,则:∠CPH即为所求的角.在Rt△CHD中,CD=2,∠CDH=60°,所以:CH=,在Rt△PHC中,PC=,所以:在Rt△PHC中,sin∠CPH==.即:直线PC与平面PAD所成角的正弦值为.点评:本题考查的知识要点:勾股定理逆定理的应用,现面向垂直的判定和性质定理的应用,面面垂直的判定定理的应用,线面的夹角的应用.主要考查学生的空间想象能力和应用能力.19.在数列{a n}中,已知a1=.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)求证:数列{b n}是等差数列;(Ⅲ)设数列{c n}满足c n=(﹣1)n+1b n b n+1,且{c n}的前n项和S n,若S n≥tn2对n∈N*恒成立,求实数t取值范围.考点:数列的求和;数列与不等式的综合.专题:等差数列与等比数列.分析:(I)利用等比数列的通项公式即可得出;(II)利用对数的运算性质、等差数列的定义即可证明;(III)对n分奇数与偶数讨论,利用等差数列的前n项和公式、分离参数、基本不等式的性质即可得出.解答:解:(I)∵,∴数列{a n}是首项为,公比为的等比数列,∴.(II)∵∴.∴b1=1,公差d=3∴数列{b n}是首项b1=1,公差d=3的等差数列.(III)由(1)知,,当n为偶数时,S n=b1b2﹣b2b3+b3b4﹣…+b n﹣1b n﹣b n b n+1=b2(b1﹣b3)+b4(b3﹣b5)+…+b n(b n﹣1﹣b n+1)==,即对n取任意正偶数都成立.∴t≤﹣6.当n为奇数时,偶数时,S n=b1b2﹣b2b3+b3b4﹣…+b n﹣1b n﹣b n b n+1==对t≤﹣6时恒成立,综上:t≤﹣6.点评:本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法,考查了恒成立问题的等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20.已知F1、F2分别是椭圆C:+=1(a>0,b>0)的左、右焦点,椭圆C过点(﹣,1)且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点,直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点(1)求椭圆C方程;(2)P为直线x=3上的一点,若△ABP为等边三角形,求直线l的方程.考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)根据题意确定出椭圆的焦点坐标,求出c的值,利用椭圆的简单性质表示出b,将已知点坐标代入求出a与b的值,即可确定出椭圆方程;(2)设直线l解析式为y=k(x﹣2),与椭圆方程联立,消去y得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理表示出两根之和与两根之积,进而表示出|AB|,设AB的中点为M(x0,y0),表示出中点坐标,进而表示出|MP|,根据|MP|=|AB|,求出k的值,即可确定出直线l方程.解答:解:(1)∵椭圆C过点(﹣,1)且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点,且y2=﹣8x焦点坐标为(﹣2,0),∴c=2,即a2﹣b2=4,把(﹣,1)代入椭圆方程得:+=+=1,整理得:a4﹣8a2+12=0,解得:a2=6或a2=2(舍去),b2=2,则椭圆方程为+=1;(2)设直线l的方程为y=k(x﹣2),联立得:,消去y得:(3k2+1)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,利用韦达定理得:x1+x2=,x1x2=,∴|AB|=|x1﹣x2|==,设AB的中点为M(x0,y0),则有x0=,y0=﹣,∵直线MP的斜率为﹣,且P的横坐标为3,∴|MP|=|x0﹣x P|=•,当△ABP为等边三角形时,|MP|=|AB|,∴•=•,解得:k=±1,则直线l方程为x﹣y﹣2=0或x+y﹣2=0.点评:此题考查了直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,韦达定理,以及椭圆的简单性质,熟练掌握椭圆的简单性质是解本题第一问的关键.21.已知函数f(x)=e x,g(x)=mx+n.(1)设h(x)=f(x)﹣g(x).①若函数h(x)在x=0处的切线过点(1,0),求m+n的值;②当n=0时,若函数h(x)在(﹣1,+∞)上没有零点,求m的取值范围;(2)设函数r(x)=+,且n=4m(m>0),求证:当x≥0时,r(x)≥1.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的综合应用.分析:(1)求出函数的导数,利用导数的几何意义即可得到结论.(2)求出r(x)的表达式,求函数的导数,利用导数研究函数的单调性即可.解答:解:(1)①h(x)=f(x)﹣g(x)=e x﹣mx﹣n.则h(0)=1﹣n,函数的导数f′(x)=e x﹣m,则f′(0)=1﹣m,则函数在x=0处的切线方程为y﹣(1﹣n)=(1﹣m)x,∵切线过点(1,0),∴﹣(1﹣n)=1﹣m,即m+n=2.②当n=0时,h(x)=f(x)﹣g(x)=e x﹣mx.若函数h(x)在(﹣1,+∞)上没有零点,即e x﹣mx=0在(﹣1,+∞)上无解,若x=0,则方程无解,满足条件,若x≠0,则方程等价为m=,设g(x)=,则函数的导数g′(x)=,若﹣1<x<0,则g′(x)<0,此时函数单调递减,则g(x)<g(﹣1)=﹣e﹣1,若x>0,由g′(x)>0得x>1,由g′(x)<0,得0<x<1,即当x=1时,函数取得极小值,同时也是最小值,此时g(x)≥g(1)=e,综上g(x)≥e或g(x)<﹣e﹣1,若方程m=无解,则﹣e﹣1≤m<e.(2)∵n=4m(m>0),∴函数r(x)=+=+=+,则函数的导数r′(x)=﹣+=,设h(x)=16e x﹣(x+4)2,则h′(x)=16e x﹣2(x+4)=16e x﹣2x﹣8,[h′(x)]′=16e x﹣2,当x≥0时,[h′(x)]′=16e x﹣2>0,则h′(x)为增函数,即h′(x)>h′(0)=16﹣8=8>0,即h(x)为增函数,∴h(x)≥h(0)=16﹣16=0,即r′(x)≥0,即函数r(x)在[0,+∞)上单调递增,故r(x)≥r(0)=,故当x≥0时,r(x)≥1成立.点评:本题主要考查导数的几何意义的应用,以及利用导数研究函数单调性,在判断函数的单调性的过程中,多次使用了导数来判断函数的单调性是解决本题的关键,难度较大.。
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高中文科数学高考复习辅导3一、选择题:每小题只有一项是符合题目要求的,将答案填在题后括号内.1.幂函数)(x f y =的图像经过点1(,4)2,则1()3f 的值为 ( )A.1B.4C.9D.162.若集合},0{2m A =,}2,1{=B ,则“1=m ”是“{0,1,2}A B = ”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件3.在ABC ∆中,若20AB BC AB ⋅+= ,则ABC ∆是( ).A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 无法确定4.下列四个函数中,既是(0,)2π上的增函数,又是以π为周期的偶函数是( )A 、y =c os2xB 、y =|sin2x |C 、y =|c os x |D 、y =|sin x | 5.函数()2x f x e x =+-的零点所在的一个区间为( ) .(0,1).(1,0).(2,1).(1,2)A B C D --- 6. 函数y =x +cos x 的大致图象是 ( )7.定义在[2,2]-的函数满足()()f x f x -=-,且在[0,2]上是增函数,若(1)()f m f m -<成立,则实数m 的取值范围是 ( )A .122m <≤B .13m -≤≤C .112m -≤<D .12m >8.=)(x f ⎩⎨⎧>≤≤)1(log )10sin 2010x x x x (π若a ,b,c 互不相等,且f(a)=f(b )=f(c),则a +b+c 的取值范围是( )A (1,2010)B (1,2011)C (2,2011)D [2,2011]9. 在Rt ABC ∆中,090,C ∠=且A B C ∠∠∠、、所对的边分别为a b c 、、,若a b cx =+,则实数x 的取值范围是( )A .⎡⎣B .C .D . 二、填空题:将正确答案填在题后横线上.10.已知向量(3,1)a = ,(1,3)b = ,(,7)c k = ,若()a c -∥b ,则k = 。
11.若cos(2)πα-=,且(,0)2πα∈-,则sin()πα-= . 12.设实数0.21()5a =,15log 3b =,152c =,则,,a b c 三数由小到大排列是 .13.已知33,(,),sin().45παβπαβ∈+=-1312)4sin(=-πβ则cos()4πα+=14.直线31y k x b y x a x =+=++与曲线相切于点(2,3),则b 的值为: .15.设[]x 表示不超过实数x 的最大整数,如[0.3]0=,[0.4]1-=-.则在坐标平面内满足方程22[][]25x y +=的点(,)x y 所构成的图形的面积为 . 三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. 已知1,6a b ==.(1)若()2a b a ⋅-=,求向量a 与b 的夹角;(2)若a 与b 的夹角为3π,求a b - 的值.17. 已知函数()sin sin()222x xf x π=+(1)求函数()f x 的单调增区间;(2)已知角α满足(0,)2πα∈,2(2)4(2)12f f παα+-=,求()f α的值。
18. 在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b,c 2sin c A = (1)求cosC 的值。
(2)若52CB CA ∙= ,且a +b =9, 求c 的值.19. 某学校假期后勤维修的一项工作是请30名木工制作200把椅子和100张课桌。
已知一名工人在单位时间内可制作10把椅子或7张课桌。
将这30名工人分成两组,一组制作课桌,一组制作椅子,两组同时开工。
设制作课桌的工人为x 名.(1)分别用含x 的式子表示制作200把椅子和100张课桌所需的单位时间; (2)当x 为何值时,完成此项工作的时间最短?20. 已知函211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πφφφφπ=+-+<<,其图像过点1(,)62π。
(1) 求φ的值; (2) 将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图像,求函数()g x 在[0,]4π上的最大值和最小值.21. 己知2()ln f x x ax bx =--.(1)若1a =-,函数()f x 在其定义域内是增函数,求b 的取值范围; (2)当1,1a b ==-时,证明函数()f x 只有一个零点.2013届高中文科数学高考复习辅导3参考答案一、选择题:1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.B 7.A 8.C 9.D二、填空题:10. 5 11. 2-312. b< a<c 13. 56-65 14. -15 15. 12三、解答题:16.(12分) (1)3π17.解:1()sin sin()sin cos sin 222222x x x x f x x π=+==⑴函数()f x 在区间[2,2],22k k k Z ππππ-+∈单调递增。
(6分)⑵2(2)4(2)12f f παα+-=sin 22sin(2)12παα⇒+-=222sin cos 2(cos sin )1αααα⇒+-=22cos 2sin cos 3sin 0αααα⇒+-=(cos 3sin )(cos sin )0αααα⇒+-=∵(0,)2πα∈,∴cos sin 0tan 1sin αααα-=⇒=⇒=∴1()sin 24f αα==。
(12分)18.(12分) (1)12±19.(13分),30.100100(),72002000()=10(3030x x p x x x x x -==--(1)制作课桌与制作椅子的人数分别是制作张课桌的单位时间制作2把椅子的单位时间Q )(2)max{(),()}=100201127302100{1,2,312}7max{(),()}=20,{13,14,29}302520(12),(13)21172520211713y p x Q x x x x x xy p x Q x x x p Q x =∴==-⎧∈⋅⋅⋅⎪⎪∴=⎨⎪∈⋅⋅⋅⎪-⎩==<∴=完成此项工作的最短时间由于p(x)为减函数,Q(x)为增函数,p(x)Q(x)时,y 最小,即解得,又人数为整数,由于当时,完成此项工作的时间最短。
20. (13分)21.【解析】(Ⅰ)依题意:2()ln f x x x bx =+-()f x 在(0,)+∞上递增,1()20f x x b x'∴=+-≥对(0,)x ∈+∞恒成立 即12b x x ≤+对(0,)x ∈+∞恒成立,∴只需min 1(2)b x x≤+10,2x x x>∴+≥当且仅当2x =时取"",b =∴≤ b ∴的取值范围为(,-∞ …………4分(Ⅱ)当1,1a b ==-时,2()ln f x x x x =-+,其定义域是(0,),+∞2121(1)(21)()21,x x x x f x x x x x ---+'∴=-+=-=-0,01x x >∴<< 时,()0;f x '>当1x >时,()0f x '<∴函数()f x 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减 ∴当1x =时,函数()f x 取得最大值,其值为2(1)ln1110f =-+=当1x ≠时,()(1),f x f <即()0f x <∴函数()f x 只有一个零点 …………8分(3)若()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,AB 中点为0(,0)C x ,求证:0()0f x '<(Ⅲ)由已知得2111122222()ln 0,()ln 0,f x x ax bx f x x ax bx =--==--=⇒21112222ln ln x ax bx x ax bx =+=+两式相减,得11121212121222ln()()()ln ()[()],x xa x x x xb x x x x a x x b x x =+-+-⇒=-++ 由1()2f x ax b x'=--及0122x x x =+,得 10012012121221221()2[()]ln x f x ax b a x x b x x x x x x x x '=--=-++=-++- 11212111212212222(1)2()11[ln ][ln ](1)x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+ 令12x t x =,2222(1)()ln (01),()0,1(1)t t t t t t t t t ϕϕ--'=-<<=-<++ ()t ϕ∴在(0,1)上递减,()(1)0t ϕϕ∴>=∵12x x <,∴0()0f x '<. ……13分。