曲线的切线

课 题： 导数的概念（一）—曲线的切线

教学目标：

1知识与技能：了解曲线的切线的概念，掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法，会求过曲线上一点的切线斜率与切线方程.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义. 会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度。.理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法. 理解掌握开区间内的导数概念，会求一个函数的导数. 理解函数在一点处可导，则函数在这点连续.

2过程与方法：掌握用极限思想研究问题的方法。

3情感态度价值观：通过探究曲线的切线斜率这一过程，培养学生主动探索，发现问题，并积极尝试解决问题的精神，帮助学生养成探索学习的良好习惯。

教学重点：导数的定义与求导数的方法.

教学难点：导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，从导数的定义归纳出求导数的方法.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题。

教学过程： 一、复习引入：

圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公

共点并且位于曲线一边的直线叫切线

二、讲解新课： （一）１．曲线的切线 如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点

00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q

沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线

y=f(x)

β

∆x ∆y

Q

M P

x O y

2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：

因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率

切线x O y

就够了设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即

tan α=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x 0x

∆我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以

后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.

3.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻

(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 4. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方

法：

要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A

点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上

的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.

当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了.

我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s =s (t )，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：

位移为Δs =s (t 0+Δt )－s (t 0)(Δt 称时间增量)

平均速度t

t s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.

现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度

瞬时速度t

t s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(lim lim 0000 所以当Δt →0时，平均速度的极限就是瞬时速度

（二）导数的定义

1定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x

y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即 x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/

注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0 (3)x

y ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率

(4)导数x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/

是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度

它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 )(()(00/0x x x f x f y -=- (5)导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关

(6)在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成

00000/lim )()(lim )(0x x x x f x x f x f x x o x -=∆-∆+=→→∆ (7)若极限x

x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导(8)若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在反之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函数)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线

2. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝x

x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00 函数)(x f y =在0x 处的导数0/

x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a ))

,((b a x ∈