曲线的切线
任意曲线的切线公式
任意曲线的切线公式切线是数学中的一种重要概念，它代表了曲线在某一点上的线性近似。
在这篇文章中，我们将讨论任意曲线的切线公式。
假设有一条曲线，可以用函数的形式表示为 y = f(x)。
我们的目标是找到曲线上某一点 P 的切线。
切线是通过点 P 并与曲线恰好相切的一条直线。
为了求解切线公式，我们需要利用微积分的基本原理。
切线的斜率等于曲线在该点的导数。
所以，首先我们需要找到函数 f(x) 的导函数 f'(x)。
导函数表示了曲线在每一点的斜率。
一旦我们找到导函数 f'(x)，我们就可以使用点斜式来表达切线的方程。
点斜式由一个已知点和切线的斜率组成。
斜率已经由导函数表示，所以我们只需要知道切线上的一个点。
对于函数 y = f(x)，假设点 P 的横坐标是 a。
我们可以找到点 P 的纵坐标 f(a)。
此外，点 P 上的切线的斜率等于导函数在点 a 处的值，即 f'(a)。
最后，我们可以使用点斜式来找到切线的方程。
一般形式的点斜式方程为 y -y1 = m(x - x1)，其中 (x1, y1) 是曲线上的已知点，m 是切线的斜率。
所以，我们把点 P 的坐标代入点斜式方程，得到切线的公式为 y - f(a) = f'(a)(x - a)。
综上所述，任意曲线的切线公式为 y - f(a) = f'(a)(x - a)。
这个公式可以帮助我们找到曲线上任意一点的切线方程。
总而言之，切线是曲线在某一点处的线性近似，切线公式则可以帮助我们准确描述切线的方程。
通过使用微积分的导数概念，我们能找到任意曲线上的切线公式。
曲线的切线(详解)
曲线的切线(详解)曲线的切线一、基础知识：1、切线的定义：设P是曲线上的一点，Q是曲线上与P邻近的一点。
当点Q沿着曲线无限接近点P时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT就叫做曲线在点P处的切线。
2、函数y=f(x)在x=x0处可导，则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)3、关于切线的几个问题：（1）曲线的切线和曲线可以有几个交点？（答：可以有无数个交点）（2）直线y=kx+b在其上一点P处有切线吗？（答：有，切线与直线重合）二、例题选讲：例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是（）（A）y=x3+sinx （B）y=x+cosx （C）y=xx+1 （D）y=|x|答：选D，因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。
问1：（B）中函数在x=0处也没有导数，它有切线吗？答：有，切线为直线x=0。
小结：f(x)在x0处可导⇒f(x)在x0处有切线，反之不成立f(x)在x0处不可导≠>f(x)在x0处没有切线。
问2：既然不能从可导不可导来判定是否存在切线，那么怎么来判定呢？答：围绕定义。
小结：要深入体会运动变化思想：两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合（切点），从而割线→切线。
3例2 已知曲线y=。
x+33（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程。
解：（1）所求切线斜率k=4，故所求切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=04（2）设曲线与过点P的切线相切于点A（x0,1），则切线的斜率k=y'|x=x0=x0，x0+∴切线方程为y-(， 3x0+3)=x0(x-x0)3232∵点P(2,4)在切线上，∴4-( 3x0+3)=x0(2-x0)32解得x0=2或-1，故所求的切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0。
变式：从点（-1，1）向曲线y=x+1引切线，试求切线的方程。
曲线的切线概念
曲线的切线概念曲线的切线概念简介•曲线的切线概念是微积分中的重要概念之一，用于描述曲线上某一点的切线的性质和特征。
•切线是与曲线在某一点相切并且方向与曲线在该点的切点重合的直线。
切线的定义•在曲线上给定一点P，如果曲线在该点处可导，则直线通过该点P且与曲线在该点的切线相切，称之为曲线在该点的切线。
切线的性质•切线与曲线在切点处的切线相切，并且切线与曲线在切点的切线在该点重合。
•切线与曲线在切点处的切线的斜率相等。
•切线在切点附近与曲线的变化趋势相似。
切线的求法1.首先，设曲线方程为y=f(x)，其中f(x)为曲线的函数。
2.然后，求出曲线在给定点的导函数f’(x)。
3.接着，确定给定点的横坐标x0，并求出该点的纵坐标y0。
4.最后，使用点斜式得到切线的方程为y-y0=f’(x0)(x-x0)。
切线的应用•切线的概念在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛应用。
•在物理学中，切线可用于描述物体运动的瞬时速度和加速度。
•在工程学中，切线可用于解析曲线的接触、接触线的设计等工程问题。
•在经济学中，切线可用于分析经济曲线的边际效应和最优决策。
总结•曲线的切线概念是微积分中的重要概念，用于描述曲线上某一点的切线性质和特征。
•切线与曲线在切点处的切线相切，并且具有相同的斜率。
•切线的求法可以通过导函数和点斜式来实现。
•切线的应用广泛，涉及物理学、工程学、经济学等多个领域。
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•曲线在一点处可导的充要条件是曲线在该点的左、右导数相等。
•曲线在该点处的左、右切线方程相同。
•曲线在该点处具有切线。
切线的方程•如果曲线在一点处可导，曲线在该点的切线方程为y−y0= f′(x0)(x−x0)，其中(x0,y0)为该点的坐标，f′(x0)为曲线在该点处的导数。
切线的斜率•切线的斜率等于曲线在切点处的导数，即切线的斜率为f′(x0)。
切线的几何意义•切线可以看作是曲线在切点处的线性近似。
函数中切线的概念及性质
函数中切线的概念及性质切线是解析几何中的重要概念，用于描述曲线在某一点处的局部特性。
切线与曲线的切点处相切，并且在该点附近近似代表曲线的变化情况。
在数学中，切线经常应用于函数的求导和微分等问题中。
下面我将详细介绍切线的定义、性质以及一些具体的应用。
1. 切线的定义：对于一条曲线C，取其上一点P(x0, y0)。
如果存在一个直线L，使得曲线C与直线L在点P处相切，并且曲线C与直线L在点P处的切线方向与曲线在该点处的切线方向相同，那么直线L就称为曲线C在点P处的切线。
2. 切线的性质：（1）切线与曲线在切点处相切；（2）切线是通过曲线上的一点的一次线性逼近；（3）切线与曲线在切点上切线方向相同。
3. 切线的求法：对于给定的函数y=f(x)，我们要求其在点P(x0, y0)处的切线。
有以下步骤：（1）计算函数在点P处的斜率，即求导数f'(x0)；（2）使用点斜式方程(y-y0) = f'(x0)(x-x0)得到切线的方程。
4. 切线的几何意义：切线可以近似地描述曲线在某一点的变化情况，即切线的斜率可以表示曲线在该点处的变化速率。
切线还可以与曲线的图像相切，便于我们研究曲线的局部性质。
5. 切线与导数的关系：函数在某一点的导数恰好是函数在该点处的切线的斜率。
因此，求导数的过程实质上是求曲线在各个点处的切线的斜率。
6. 切线的应用：（1）求曲线的近似值：由于切线可以近似替代曲线，所以我们可以通过求解切线的问题来近似地求解曲线的问题。
（2）求函数的变化率：函数在某一点的切线的斜率可以表示函数在该点处的变化率，从而可以帮助我们研究函数的增减性、极值、趋势等问题。
（3）求最优解：对于一些优化问题，我们可以通过研究曲线的切线来找到函数极值的位置，从而得到函数的最优解。
总之，切线是解析几何中的重要概念，用于描述曲线在某一点处的局部特性。
切线的定义、性质以及与导数的关系有助于我们深入理解曲线变化的情况，并在数学、物理等领域中有广泛的应用。
曲线的切线与法线
曲线的切线与法线曲线是数学中的一个重要概念，它描述了在平面上或者空间中由连续的点组成的线段。
在曲线的研究中，切线与法线是两个基本的概念。
本文将讨论曲线的切线与法线，并探讨它们在数学和实际应用中的重要性。
一、切线的定义与性质切线是曲线上某一点的一条特殊直线，它与曲线相切于该点。
切线的性质如下：1. 切线与曲线相切于一个点，在该点上切线与曲线的切点的切线斜率相等。
2. 切线在与曲线相切的点上与曲线的切线方向相同。
切线的斜率可以通过求曲线在该点的导数来计算。
给定一个曲线方程y = f(x)，点P(x0, y0)处的切线斜率可以通过计算f'(x0)来获得。
利用该斜率和点P，我们可以得到切线的方程。
二、法线的定义与性质法线是曲线上某一点的一条垂直于切线的直线。
法线的性质如下：1. 法线与切线垂直，即法线与切线的斜率互为倒数且乘积为-1。
2. 曲线上的每一点都有唯一的垂直于曲线的法线。
法线的斜率可以通过切线的斜率求得，再将其倒数取负即可。
我们可以利用法线的斜率和点P来得到法线的方程。
三、切线与法线的应用切线与法线在数学和实际应用中起着重要的作用。
1. 函数图像的性质分析：通过研究函数图像上每个点处的切线和法线，我们可以获得函数的增减性、拐点和极值等重要信息。
这对于理解函数的行为和解决相关问题非常有帮助。
2. 物体移动的分析：在物理学中，切线和法线被广泛用于分析物体的运动。
例如，当我们研究物体在曲线路径上的运动时，切线和法线可以帮助我们确定物体在每一点的速度和加速度的方向和大小。
3. 工程与建筑设计：在工程和建筑设计中，切线和法线的概念也具有重要意义。
例如，曲线道路的设计中，我们需要考虑车辆在各个点上的行驶方向，这可以通过曲线的切线方向得到。
同样地，在建筑设计中，法线可以被用来确定建筑物表面的法线方向，以确保光线的合理照明。
四、总结切线与法线是曲线研究中的重要概念，它们能够提供关于曲线性质和物体运动的重要信息。
参数方程与曲线的切线
参数方程与曲线的切线参数方程是用参数表示自变量 x 和 y 的方程。
在数学中，参数方程常用于描述曲线的运动和变化规律。
与之相关的概念是曲线的切线，它表示曲线在某一点上的斜率和方向。
一、参数方程的定义参数方程是一种用参数表示自变量的方程。
通常用 t 表示参数，将自变量 x 和 y 表示为 t 的函数。
参数方程可以描述出不同种类的曲线，包括直线、圆、椭圆等。
常见的参数方程表示如下：1. 直线的参数方程：x = at + by = ct + d2. 圆的参数方程：x = r cos(t)y = r sin(t)3. 椭圆的参数方程：x = a cos(t)y = b sin(t)二、参数方程与曲线的关系参数方程描述了曲线上每个点的坐标，通过改变参数 t 的值，可以得到曲线上的不同点。
当参数方程中 t 的取值范围确定时，曲线上的点也就确定了。
例如，对于直线的参数方程 x = at + b，y = ct + d，当 t 取遍所有实数时，可以得到一条直线。
直线上的不同点由不同的 t 值确定。
同样地，对于圆的参数方程 x = r cos(t)，y = r sin(t)，通过改变 t 的值，我们可以得到圆上的不同点，当 t 取遍所有实数时，可以得到一个完整的圆。
三、曲线的切线曲线的切线是指曲线上某一点处的切线。
切线的斜率等于曲线在该点的导数。
可以通过参数方程来求解曲线的切线。
对于参数方程 x = f(t)，y = g(t)，可以先求出曲线上某一点 P 的切线斜率 k，然后利用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 或一般式方程 Ax + By + C = 0 来表示切线。
具体求解过程如下：1. 求得曲线的导数：dy/dx = dy/dt / dx/dt2. 求得某一点 P 的斜率 k：在参数方程中取 t = t0，求得点 P 的坐标 (x0, y0)，计算 dy/dx 的值，即可得到切线斜率 k。
3. 利用点斜式方程或一般式方程表示切线：根据切线的斜率 k 和点 P 的坐标 (x0, y0)，可以得到切线的方程。
求曲线在某点的切线方程方法
求曲线在某点的切线方程方法引言在数学和物理学中，研究曲线的切线是很常见的问题。
切线可以帮助我们了解曲线的局部特征和性质，它在微积分、力学和工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的方法来求解曲线在某点的切线方程。
切线的定义在数学中，曲线上某点的切线可以被定义为通过该点并且与曲线在该点附近重合的直线。
切线的斜率即为曲线在该点的导数。
方法一：求导法一种常见的方法是使用导数来求解曲线在某点的切线方程。
设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.首先求曲线的导数f'(x)。
2.将点(x0,y0)带入导数函数，求出导数的值f'(x0)。
3.使用切线方程的一般形式y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法二：斜率和点法另一种常用的方法是使用斜率和已知点来求解切线方程。
同样假设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.计算曲线在点(x0,y0)处的斜率，即f'(x0)。
2.使用点斜式切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法三：曲线近似法第三种方法是使用曲线的近似来求解切线方程。
此方法适用于那些难以计算导数的曲线。
1.在点(x0,y0)处取曲线的一个非常小的线段，该线段基本上与切线重合。
2.使用线性函数来拟合这个线段，得到近似切线方程。
方法四：参数法对于参数方程表示的曲线，我们可以使用参数法来求解切线方程。
假设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，我们要求解曲线在参数值t0处的切线方程。
1.计算参数值t0对应的点的坐标(x0,y0)。
2.求解参数方程的导数dx/d t和dy/dt。
3.使用点斜式切线方程y-y0=(dy/d t)/(dx/d t)(x-x0)，将(x0,y0)、dx/d t和d y/dt代入，得到切线方程。
专题(一)曲线的切线
导数与函数专题（一）——曲线的切线一、知识归纳1．导数的几何意义即曲线切线的斜率，因此，对牵涉到曲线切线斜率的问题可考虑由函数求导数，利用导数知识来帮助解题．2．已知切线方程时，可由切线方程求得切线斜率，即等于函数在切点处的导数．另外，切点坐标满足曲线方程，也满足切线方程，这在解题时常用到．3．已知切点坐标00()x y ，时，先求出函数在该点处的导数，即得切线斜率0()k f x '=，再利用直线方程的点斜式写出切线相乘000()()()y f x f x x x '-=-．4．切点坐标未知时，先设出切点00()P x y ，，代入曲线方程()y f x =得00()y f x =，再根据题设条件得出另一个有关00x y ，的关系式，解方程组求出00x y ，，然后再求切线方程．二、典型例题【例1】求曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程． 解：由2()36f x x x '=-，则(1)3k f '==- 故所求切线方程为：32y x =-+．【例2】求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设切点为00()P x y ，，则切线斜率为200()32k f x x '==-，则切线方程为2000(32)()y y x x x -=--，即320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =或012x =-， 故所求切线为20x y --=或5410x y +-=．【例3】若两条曲线39y x b =-与ln y x =在x a =处有公切线，求a b ，的值，并写出公切线的方程．解：曲线29y x b =-在点3(9)P a a b -，处的切线方程为32(9)27()y a b a x a --=-，即232718y a x a b =--…………①曲线ln y x =在点(ln )P a a ，处的切线方程为1ln ()y a x a a -=-， 即1ln 1y x a a=++……②式子①，②表示同一个直线方程，于是2312718ln 1a a a b a ⎧=⎪⎨⎪--=-⎩，解得131ln 33a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，公切线方程为3ln31y x =--．【例4】已知曲线21:C y x =与22:(2)C y x =--，直线l 是1C 和2C 的公切线，求公切线l 的方程．解：设l 与1C 的切点211()x x ，，l 与2C 的切点222((2))x x --，，曲线1C 在1x 处的导数为12x ，过点211()x x ，的1C 的切线方程为： 21112()y x x x x -=-，即：2112y x x x =-曲线2C 在2x 处的导数为22(2)x --，过点222((2))x x --，的2C 的切线方程为：2222(2)4y x x x =--+-．由题意直线2112y x x x =-与2222(2)4y x x x =--+-重合，则有12221222(2)4x x x x =--⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1202x x =⎧⎨=⎩或1220x x =⎧⎨=⎩， 所以两曲线1C 和2C 的公切线l 的方程为0y =或44y x =-．三、巩固练习（1）设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0]4π，，则点P 横坐标的取值范围为（ A ）（A ）1[1]2--，（B ）[10]-， （C ）[01]，（D ）1[1]2，（2）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(0)4M π，处的切线的斜率为（ B ）（A ）12-（B ）12（C） （D（3）曲线21x y e -=+在点(02)，处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（ A ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）1（4）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数()(0)x f x e x =>的图象上的动点，该图象在P处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，该线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ．212e e+（5）在抛物线22x y =上求一点P ，使P 到直线4y x =-的距离最短，并求出这个最短距离． 解：212y x =，y x '=．设直线l 平行直线4y x =-，并与抛物线22x y =相切，切点为00()x y ，，则00200|12x x y x x y ='==⎧⎪⎨=⎪⎩，解得00112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1(1)2P ，．切点离直线的最短距离为1|14|d --==． （6）已知函数3()f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（Ⅱ）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<． 解：（Ⅰ）()f x 的导数2()31f x x '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（Ⅱ）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--． 若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线， 则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根． 记32()23g t t at a b =-++，则2()666()g t t at t t a '=-=-．当t 变化时，()g t 、()g t '变化情况如下表：一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异实根，则()0a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<． （7）已知抛物线21:2C y x x =+和22:C y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段． （Ⅰ）a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程．（Ⅱ）若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．解：（Ⅰ）函数22y x x =+的导数2+2y x '=，曲线1C 在点2111(2)P x x x +，的切线方程是：21111(2)(22)()y x x x x x -+=+-，即211(22)y x x x =+-………①函数2y x a =-+的导数2y x '=-，曲线2C 在点222()Q x x a -+，的切线方程是： 2222()2()y x a x x x -+=--，即2222y x x x a =-++………②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，可得1222121x x x x a+=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩，消去2x 得方程2112210x x a +++=． 若判别式442(1)0a ∆=-⨯+=时，即12a =-时解得112x =-，此时点P 与Q 重合．即当12a =-时，1C 和2C 有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为14y x =-．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当12a <-时，1C 和2C 有两条公切线．设一条公切线上切点为1122()()P x y Q x y ，，，．其中P 在1C 上，Q 在2C 上，则有121x x +=-，2222121121112()2(1)1y y x x x a x x x a a +=++-+=+-++=-+，线段PQ 的中点为11()22a -+-，．同理，另一条公切线段P Q ''的中点也是11()22a-+-，．所以公且线段PQ 和P Q ''互相平分．（8）已知定义在正实数集上的函数221()2()3ln 2f x x axg x a x b =+=+，，其中0a >，设两曲线()()y f x y g x ==，有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （Ⅱ）求证：()()(0)f x g x x >≥．解：（Ⅰ）23()2()a f x x a g x x''=+=，． 设()y f x =与()y g x =(0)x >在公共点00()x y ，处的切线相同，由题意，()y f x =与()y g x =在公共点处的函数值相同，切线的斜率也相同． 于是0000()()()()f x g x f x g x =⎧⎨''=⎩，即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 由20032a x a x +=得0x a =或03x a =-（舍去）．即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-．把b 看作a 的函数，令225()3ln (0)2h a a a a a =->，则()2(13ln )h a a a '=-．于是当(13ln )0a a ->，即130a e <<时，()0h a '>； 当(13ln )0a a -<，即13a e >时，()0h a '<．故()h a 在13(0)e ，为增函数，在13()e +∞，为减函数． 于是()h a 在(0)+∞，的最大值为12333()2h e e =，即23max 32b e =． （Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->，只需证明()F x 的最小值等于0即可．因为23()(3)()2(0)a x a x a F x x a x x x-+'=+-=>．故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +∞，为增函数． 于是函数()F x 在(0)+∞，上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．。
初中数学 什么是切线
初中数学什么是切线在几何学中，切线是指与给定曲线（如圆、椭圆、抛物线等）仅有一个公共点且与该曲线相切的直线。
切线在数学中有着重要的应用和意义。
在本文中，我将详细解释切线的概念、性质和应用。
切线的定义如下：对于给定曲线上的一点P，经过P点且与曲线相切的直线称为曲线在P点的切线。
切线与曲线仅有一个公共点，即切点。
切线的位置和方向是由曲线在该点的切线斜率决定的。
切线的性质包括以下几个方面：1. 切线与曲线在切点处的切线斜率相等。
切线斜率可以用导数来表示，即切线斜率等于曲线在该点的导数值。
2. 切线与曲线在切点处的切线垂直。
这是因为切线斜率与曲线的斜率相等，而曲线的斜率是垂直于切线的。
3. 切线在切点处与曲线有公共的切点。
这是切线的定义所决定的，切线与曲线仅有一个公共点，即切点。
通过切线的性质，我们可以进行切线的求解和应用。
以下是一些常见的切线应用：1. 求解曲线的切线方程。
根据切线的性质，我们可以通过求解切线的斜率和切点来确定切线的方程。
通常，切线方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k为切线的斜率，b为切线与y轴的截距。
2. 计算曲线上某点切线的斜率。
通过求解曲线在该点的导数，我们可以得到切线的斜率，从而确定切线的性质和方程。
3. 解决与切线相关的几何问题。
切线在几何学中有着广泛的应用，如切线与圆的性质、切线与曲线的相交问题等。
通过应用切线的性质和定理，我们可以解决与切线相关的几何问题。
总结起来，切线是与给定曲线仅有一个公共点且与曲线相切的直线。
切线的性质包括切线斜率相等、切线垂直于曲线、切线与曲线有一个公共切点等。
切线在数学中有着广泛的应用和意义，可以用于求解切线方程、计算切线斜率以及解决与切线相关的几何问题。
曲线的切线与法线
曲线的切线与法线曲线是数学中重要的概念，在多个领域都有广泛的应用。
当我们研究曲线时，切线与法线是两个重要的概念。
本文将探讨曲线的切线与法线的定义、性质以及计算方法。
一、切线的定义与性质切线是指曲线上的一条直线，与曲线在交点处重合，并且在该交点附近具有与曲线相切的性质。
对于曲线上的任意一点，都可以找到一条与曲线切于该点的切线。
切线有以下几个性质：1. 切线与曲线相交的点称为切点，切点与曲线的斜率相等。
2. 切线在切点处具有与曲线相切的性质，即曲线与切线在该点处重合。
3. 切线在曲线上两个不同点处具有相同的斜率。
4. 在平面上，曲线的每个点都存在唯一的切线。
二、切线的计算方法计算曲线的切线可以采用以下步骤：1. 求曲线的导函数，导函数表示了曲线在每个点处的斜率。
2. 找出感兴趣的点，即要计算切线的点。
3. 将点的横坐标代入导函数得到斜率。
4. 使用点斜式或两点式等方法确定切线的方程。
举例说明：考虑曲线y = x^2，在点(2, 4)处计算切线的方程。
1. 求导函数，对y = x^2求导得到y' = 2x。
2. 点(2, 4)是我们感兴趣的点。
3. 将横坐标2代入导函数，得到斜率y' = 2(2) = 4。
4. 使用点斜式的方法，切线的方程为 y - 4 = 4(x - 2)，化简得到 y =4x - 4。
三、法线的定义与性质法线是与曲线相交且垂直于切线的一条直线。
在曲线上的任意一点，都可以找到一条与曲线垂直的法线。
法线有以下几个性质：1. 法线与曲线相交的点称为法点，法点处的切线斜率与法线斜率的乘积等于-1。
2. 法线具有垂直于切线的性质，与曲线垂直相交。
四、法线的计算方法计算曲线的法线可以使用以下步骤：1. 求曲线在感兴趣点处的切线斜率。
2. 使用切线斜率的倒数得到法线的斜率。
3. 使用感兴趣点和法线斜率来确定法线的方程。
继续以上面的例子为例：在点(2, 4)处计算曲线y = x^2的法线。
曲线的切线的严格定义
曲线的切线的严格定义曲线是数学中非常基础的概念，它是指一个平面上的点随时间的变化轨迹。
在曲线的研究中，涉及到曲线的切线，而切线也是曲线研究中必须要掌握的概念之一。
在本文中，我们将探讨曲线的切线的严格定义。
首先，我们来回顾一下什么是曲线。
曲线是指平面上的一个点在时间的变化下所走的路径。
我们经常接触到的曲线有直线、圆、抛物线等等。
比如，我们将一根线在平面上蜿蜒曲折地延伸，就可以形成各种各样的曲线。
在研究曲线的过程中，要了解曲线上某一点切线的概念。
曲线上的每个点都有一个对应的切线，它在该点的切向即是曲线的斜率。
以直线为例，直线的斜率表示它的倾斜程度，用切线会更好理解。
当切线垂直于X轴时，斜率为0；当切线垂直于Y轴时，切线无斜率。
然而，我们需要注意的是，曲线上某点的切线并不是唯一的。
换句话说，一个曲线上的点可以有多条切线。
这是因为曲线在这个点附近可以看作是一条线性函数的局部逼近，而线性函数的任意一条切线都可以该点所对应的切线。
针对切线的多个解的问题，我们需要借助导数的概念来确定曲线某一点的切线。
导数是用来描述曲线变化率的概念，如果对曲线在某一点的导数进行计算，就可以得到该点切线的斜率。
所以，严格来说，曲线某点的切线不是任意的一条，而是该点导数所对应直线的切线。
在实际计算中，我们可以用函数的导数来求出曲线某一点的切线。
比如，对于y=x^2，求在x=1处的切线，我们可以先求出该函数在x=1处的导数f'(1)，然后用f'(1)作为x=1时切线的斜率k，并构建切线y-f(1)=k(x-1)。
总的来说，曲线的切线是描述曲线在某一点变化的斜率，是我们研究曲线最基本的概念之一。
虽然切线并不是唯一的，但通过导数可以得到曲线在某一点的切线斜率，而曲线的解析式和导数计算方法的掌握可以帮助我们更方便地求解切线。
高考第17课曲线的切线
第17课曲线的切线【自主学习】第17课曲线的切线(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-2P26习题5改编)曲线y=12x-cos x在x=π6处的切线方程为.【答案】x-y-π12-32=0【解析】设f(x)=12x-cos x，则f'π6⎛⎫⎪⎝⎭=12+sinπ6=1，故切线方程为y-π3122⎛⎫⎪⎪⎝⎭=x-π6，化简可得x-y-π12-32=0.2.(选修2-2P22例3改编)已知曲线f(x)=x sin x+1在点π1 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与直线ax-y+1=0互相垂直，那么实数a= .【答案】-1【解析】f'(x)=sin x+x cos x，当x=π2时，f'(x)=1，所以a=-1.3.(选修2-2P20练习7改编)若直线y=12x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线，则实数b= .【答案】ln2-1【解析】设切点为(x0，ln x0)，则切线斜率k=01x=12，所以x=2.又因为切点(2，ln2)在切线y=12x+b上，所以b=ln2-1.4.(选修2-2P16习题3改编)设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为.【答案】4【解析】因为曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，所以g'(1)=2.又f'(x)=g'(x)+2x，所以f'(1)=g'(1)+2=4，故切线的斜率为4.1.导数的几何意义导数f'(x 0)的几何意义就是曲线y=f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k=f'(x 0)，相应地，切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0).2.解与曲线的切线有关的问题的一般步骤：第一步：设出切点坐标(x 0，y 0)；第二步：计算切线的斜率为k=f'(x 0)；第三步：写出切线方程y-y 0=f'(x 0)(x-x 0)；第四步：将问题转化为函数与方程问题求解.【要点导学】要点导学 各个击破过曲线上点的切线方程例1 已知曲线S ：y=-23x 3+x 2+4x 及点P (0，0)，求过点P 的曲线S 的切线方程.【思维引导】本题考查导数的几何意义和导数的运算，这类题比较常见.本题要注意点与曲线的位置关系.【解答】设过点P 的切线与曲线S 切于点Q (x 0，y 0)，则过点Q 的曲线S 的切线斜率为k=y'|x x =-220x +2x 0+4，又当x0≠0时，k PQ=y x，所以-22x+2x+4=yx. ①因为点Q在曲线S上，所以y0=-323x+2x+4x. ②将②代入①得-22x+2x+4=320002-43x x xx++，化简，得343x-2x=0，所以x=34.则k=358，过点P的切线方程为y=358x.当x0=0时，则k=4，过点P的切线方程为y=4x.所以过点P的曲线S的切线方程为y=4x或y=358x.【精要点评】曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点P凑巧在曲线S上，求过点P的切线方程，却并非说切点就是点P.变式已知曲线f(x)=13x3+43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.【思维引导】曲线y=f(x)“过点P”与“在点P处”的切线是不相同的，在点P 处的切线是以P为切点；过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点的坐标.【解答】(1)因为f'(x)=x2，所以在点P(2，4)处的切线的斜率k=f'(2)=4，所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.(2)设曲线f(x)=13x3+43与过点P(2，4)的切线相切于点A3001433x x⎛⎫+⎪⎝⎭，，则切线的斜率k=f'(x0)=2x，所以切线方程为y-313x-43=2x(x-x0)，即y=2xx-323x+43.因为点P(2，4)在切线上，所以4=22x-323x+43，即3x-32x+4=0，所以(x+1)(x-2)2=0，解得x0=2或-1，故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.【精要点评】解决此类问题，一定要分清楚是“在某点”还是“过某点”处的切线.在某点处的切线比较好求，过某点处的切线，一般要设出切线坐标，然后通过解方程的方法解出该切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程.过某点的曲线的切线方程例2已知函数f(x)=x ln x，过点A21-0e⎛⎫⎪⎝⎭，作函数y=f(x)图象的切线，则切线的方程为.【思维引导】点A不在曲线y=f(x)上，故先设切点，利用切线过点A，建立方程确定切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程.【答案】x+y+21e =0【解析】设切点为T (x 0，y 0)，则k AT =f'(x 0)，所以0002ln?1e x x x +=ln x 0+1，即e 2x 0+ln x 0+1=0. 设h (x )=e 2x+ln x+1，则h'(x )=e 2+1x ，当x>0时，h'(x )>0，所以h (x )在(0，+∞)上是单调增函数，所以h (x )=0最多只有一个根.又h 21e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=e 2×21e +ln 21e +1=0，所以x 0=21e .由f'(x 0)=-1得切线方程是x+y+21e =0.【精要点评】对于曲线的切线问题，一定要注意题目所给的条件；当已知切点位置时，可以直接求导数，然后将切点的横坐标代入，即可以得到切线的斜率；当已知切线经过某一个点时，应该设出切点，求解出切线方程，再利用切线经过切点求解.变式 已知曲线C ：f (x )=x 3-ax+a ，若过曲线C 外一点A (1，0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a 的值为 .【答案】278【解析】设切点坐标为(t ，t 3-at+a ).由题意知，f'(x )=3x 2-a ， 切线的斜率为k=y'|x=t =3t 2-a ， ①所以切线方程为y-(t 3-at+a )=(3t 2-a )(x-t )， ② 将点(1，0)代入②式，得-(t 3-at+a )=(3t 2-a )(1-t )，解得t=0或t=32.分别将t=0和t=32代入①式，得k=-a和k=274-a，由题意得它们互为相反数，故a=27 8.导数几何意义的应用例3在抛物线f(x)=12x2上求一点P，使点P到直线x-y-1=0的距离最短，并求出这个最短距离.【思维引导】设P(x0，y0)，利用数形结合知与直线x-y-1=0平行的抛物线的切线对应的切点即为所求.【解答】由题知当点P在与直线x-y-1=0平行的抛物线的切线上时，点P到直线的距离最短.因为f'(x)=x，设点P(x0，y0)，则f'(x0)=x0=1，所以切点为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.因为切点离直线最短，所以最短距离11--12222=24.【精要点评】本题利用抛物线解题有两种方法，一是设与直线x-y-1=0平行且与抛物线相切的方程为x-y+m=0，将y=12x2与x-y+m=0联立方程组，且把方程组转化为关于x的一元二次方程，利用此方程中Δ=0求出m的值.二是设P(x0，y0)，由点到直线的距离得002求解，但利用二次函数的性质求解较麻烦，所以利用导数求切点比较直观简单.【高频考点·题组强化】1.(2016·苏州期中)已知函数f (x )=ax+bx (a ，b ∈R ，b>0)的图象在点P (1，f (1))处的切线与直线x+2y-1=0垂直，且函数f (x )在区间12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上单调递增，那么b 的最大值为 .【答案】23【解析】函数f (x )的定义域为{x|x ≠0}，f'(x )=a-2bx ，由题意知f'(1)·1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-1，所以a-b=2，所以a=b+2.又f'(x )=a-2b x ≥0在12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上恒成立，所以a ≥2b x ≥4b ，所以b+2≥4b ，解得b ≤23，即b 的最大值为23.2.(2015·全国卷改编)已知函数f (x )=x 3+ax+14，问：当a 为何值时，x 轴为曲线y=f (x )的切线?【解答】设曲线y=f (x )与x 轴相切于点(x 0，0)，则f (x 0)=0，f'(x 0)=0，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，，解得x 0=12，a=-34.所以当a=-34时，x 轴为曲线y=f (x )的切线.3.(2015·汇龙中学)已知函数f (x )=2axx b +，且f (x )的图象在x=1处与直线y=2相切.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为函数f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象切于点P ，求直线l 的斜率k 的取值范围.【解答】(1)对函数f (x )求导，得f'(x )=222()-(2)()a x b ax x x b ++=222-()ab ax x b +. 因为f (x )的图象在x=1处与直线y=2相切，所以'(1)0(1)2f f =⎧⎨=⎩，，即-01021ab a b ab ⎧⎪=⎪+≠⎨⎪⎪=+⎩，，，所以a=4，b=1，所以f (x )=241xx +.(2)由(1)知f'(x )=2224-4(1)x x +，所以直线l 的斜率k=f'(x 0)=202204-4(1)x x +=42220021-(1)1x x ⎡⎤⎢⎥++⎣⎦，令t=2011x +，t ∈(0，1]，则k=4(2t 2-t )=821-4t ⎛⎫ ⎪⎝⎭-12，所以k ∈1-42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.4.设函数f (x )=ax-bx ，曲线y=f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求证：曲线y=f (x )上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.【解答】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=74x-3，当x=2时，y=12，又f'(x )=a+2bx ，于是12-22744b a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得13a b =⎧⎨=⎩，，所以f (x )=x-3x .(2)设点P (x 0，y 0)为曲线上任意一点，由f'(x )=1+23x 知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y-y 0=2031x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·(x-x 0)， 即y-003-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2031x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x-x 0).令x=0，得y=-06x ，从而得切线与直线x=0的交点坐标为060-x ⎛⎫⎪⎝⎭，.令y=x ，得y=x=2x 0，从而得切线与直线y=x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x=0，y=x 所围成的三角形的面积S=12×06x⎛⎫- ⎪⎝⎭×|2x 0|=6.故曲线y=f (x )上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.5.设函数f (x )=ax+1x b +(a ，b ∈Z )，曲线y=f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y=3.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求证：函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)求证：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.【解答】(1)f'(x)=a-21()x b +，由题知212321-0(2)abab⎧+=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩，，解得1-1ab=⎧⎨=⎩，或948-.3ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为a，b∈Z，所以f(x)=x+1-1 x.(2)已知函数y1=x，y2=1x都是奇函数，所以函数g(x)=x+1x也是奇函数，其图象是以原点为对称中心的中心对称图形.而f(x)=x-1+1-1x+1，故函数f(x)的图象是以点(1，1)为对称中心的中心对称图形.(3)在曲线上任取一点001-1x xx⎛⎫+⎪⎝⎭，，由f'(x0)=1-21(-1)x知，过此点的切线方程为y-200-1-1x xx+=211-(-1)x⎡⎤⎢⎥⎣⎦(x-x).令x=1，得y=1 -1xx+，切线与直线x=1的交点为11-1xx⎛⎫+⎪⎝⎭，.令y=x，得y=2x0-1，切线与直线y=x的交点为(2x0-1，2x0-1)；直线x=1与直线y=x的交点为(1，1)，从而所围成的三角形的面积S=1211-1xx+-·|2x0-1-1|=12·02-1x·|2x-2|=2，所以所围成的三角形的面积为定值2.1.(2015·南通二调)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ln x在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0互相垂直，则实数a的值为.【答案】-e【解析】因为y=ln x，所以y'=1x，则曲线y=ln x在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为y'|x=e=1e.又因为曲线y=ln x在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直，所以1e×a=-1，解得a=-e.2.(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+bx(a，b为常数)过点P(2，-5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值为.【答案】-3【解析】y'=2ax-2bx，由题意得-54274--42baba⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，解得-1-2ab=⎧⎨=⎩，，故a+b=-3.3.若曲线f(x)=ax3+ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是. 【答案】(-∞，0)【解析】f'(x)=3ax2+1x，因为存在垂直于y轴的切线，则f'(x)=0在(0，+∞)上有解，即3ax2+1x=0有正解，则3a=-31x.因为-31x<0，所以3a<0，即a<0时，方程有正解，所以实数a的取值范围是(-∞，0).4.已知两条曲线y=sin x，y=cos x，问：这两条曲线是否存在一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.【解答】设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，则在点P处两条曲线的切线斜率分别为k1=cos x0，k2=-sin x0，要使两条切线互相垂直，即使cos x0·(-sin x0)=-1，得sin2x0=2，这与|sin x|≤1矛盾，故不可能.因此不存在这样的公共点，使得这一点处两条曲线的切线互相垂直.【融会贯通】融会贯通能力提升已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2，-6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直，求切点坐标与切线方程.【思维引导】【规范解答】(1)由函数f(x)的解析式可知点(2，-6)在曲线y=f(x)上，所以f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1，所以在点(2，-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13，…………………………………………2分所以切线的方程为y-(-6)=13(x-2)，即y=13x-32.…………………………………………5分(2)方法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f'(x0)=32x+1，所以直线l的方程为y=(32x+1)(x-x)+3x+x-16.…………………………………………7分又因为直线l过点(0，0)，所以0=(32x+1)(-x)+3x+x-16，整理得3x=-8，所以x=-2.所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26，f'(-2)=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x，切点坐标为(-2，-26).………………………………………10分方法二：设直线l的方程为y=kx，切点坐标为(x0，y0)，则k=-0-0yx=300-16x xx.又因为k=f'(x 0)=320x +1，所以3000-16x x x +=320x +1，解得x 0=-2，……………………………………………………7分所以y 0=(-2)3+(-2)-16=-26，k=3×(-2)2+1=13.所以直线l 的方程为y=13x ，切点坐标为(-2，-26).………………………………………10分(3)因为曲线f (x )的某一切线与直线y=-4x+3垂直，所以该切线的斜率k=4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f'(x 0)=320x +1=4，…………………………………………12分所以x 0=±1，所以001-14x y =⎧⎨=⎩，或00-1-18.x y =⎧⎨=⎩，故切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-(-18)=4(x+1)，即y=4x-18或y=4x-14.………………16分【精要点评】利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件： (1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标.(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其他的公共点. (3)曲线y=f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别：曲线y=f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k=f'(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y=f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第33~34页.【检测与评估】第17课曲线的切线一、填空题1.已知曲线f(x)=ax2+3x-2在点(2，f(2))处的切线的斜率为7，那么实数a的值为.2.(2014·广东卷)曲线y=-5e x+3在点(0，-2)处的切线方程为.3.(2015·南师附中调研)设曲线f(x)=2ax3-a在点(1，a)处的切线与直线2x-y+1=0平行，则实数a的值为.4.(2014·青岛一中)已知a为实数，函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x)，若f'(x)是偶函数，则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为.5.(2015·如东模拟)已知函数f(x)=f'(0)cos x+sin x，则函数f(x)在x0=π2处的切线方程为.6.若曲线y=1-2x在点1-2a a⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则实数a= .7.设P是函数yx+1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是.8.(2015·通州模拟)已知曲线C1：y=x2与C2：y=-(x-2)2，直线l与C1，C2都相切，则直线l的方程为.二、解答题9.对于函数f(x)=x3+ax2-9x-1，当曲线y=f(x)斜率最小的切线与直线12x+y=6平行时，求实数a的值.10.已知函数f(x)=x+tx(t>0)和点P(1，0)，过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM，PN，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2).(1)求证：x1，x2为关于x的方程x2+2tx-t=0的两根；(2)设MN=g(t)，求函数g(t)的表达式.11.已知曲线y=21xx+(x>0).(1)求曲线在x=2处的切线方程；(2)求曲线上的点到直线3x-4y-11=0的距离的最小值.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.设曲线y=(ax-1)e x在点A(x0，y1)处的切线为l1，曲线y=(1-x)e-x在点B(x0，y2)处的切线为l2.若存在x0∈32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，使得l1⊥l2，求实数a的取值范围.【检测与评估答案】第17课曲线的切线1.1【解析】因为f'(x)=2ax+3，由题意知2a×2+3=7，解得a=1.2.5x+y+2=0【解析】因为y'=-5e x，所以所求切线的斜率k=-5e0=-5，所以切线方程是y-(-2)=-5(x-0)，即5x+y+2=0.3.13【解析】由题意得f'(x)=6ax2，所以6ax2|x=1=2，所以a=13.4.y=-3x 【解析】因为f'(x)=3x2+2ax+(a-3)，又f'(x)为偶函数，所以a=0，所以f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3，所以f'(0)=-3，所以f(x)在原点处的切线方程为y=-3x.5.y=-x+1+π2 【解析】因为f'(x )=-f'(0)sin x+cos x ，则f'(0)=-f'(0)·sin0+cos0，所以f'(0)=1，所以f (x )=cos x+sin x ，所以f'π2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-1，f π2⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，所以切线方程为y=-x+1+π2.6.64 【解析】由题知x>0，y'=-3-212x ，所以k=-3-212a ，切线方程为y-1-2a =-3-212a (x-a ).令x=0，得y=1-232a ；令y=0，得x=3a.所以三角形的面积S=12·3a ·1-232a =1294a =18，解得a=64.7.ππ32⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】由题意得tan θ=y'=12⎛ ⎝x=13时，取等号，所以θ∈ππ32⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.8.y=0或y=4x-4 【解析】设两个切点的坐标依次为(x 1，21x )，(x 2，-(x 2-2)2)，由题意得1222121122-24-[-(-2)]2-x x x x x x x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得1202x x =⎧⎨=⎩，或1220x x =⎧⎨=⎩，，从而可求直线方程为y=0或y=4x-4.9.由题意知f'(x )=3x 2+2ax-9=323a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-9-23a ， 即当x=-3a时，函数f'(x )取得最小值-9-23a .因为曲线y=f (x )斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，所以-9-23a =-12，即a 2=9， 所以a=±3.10.(1)由题意可知y 1=x 1+1t x ，y 2=x 2+2tx .因为f'(x )=1-2t x ，所以切线PM 的方程为y-11t x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=211-t x ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x-x 1). 又切线PM 过点P (1，0)，所以0-11t x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=211-t x ⎛⎫⎪⎝⎭(1-x 1)， 即21x +2tx 1-t=0. ①同理，由切线PN 也过点P (1，0)，得22x +2tx 2-t=0. ②由①②可得x 1，x 2是关于x 的方程x 2+2tx-t=0的两根.(2)由(1)知1212-2-.x x t x x t +=⎧⎨=⎩，， 所以g (t )(t>0).-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达11.(1)设f (x )=21x x +，则f'(x )=1-21x ，所以k=f'(2)=1-212=34. 又因为f (2)=2212+=52，所以所求切线方程为y-52=34(x-2)， 即3x-4y+4=0.(2)由题知曲线y=21x x +(x>0)与直线3x-4y-11=0不相交，所以设曲线在点(x 0，y 0)处的切线与直线3x-4y-11=0平行，因为y'=1-21x ，令1-201x =34，解得x 0=2，所以切点为522⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以距离的最小值为点522⎛⎫⎪⎝⎭，到直线3x-4y-11=0的距离，即为3.12.由y=(ax-1)e x ，得y'=a e x +(ax-1)e x =(ax+a-1)e x .由y=1-e x x，得y'=2-e -(1-)e (e )x x x x =-2e x x .由题意知(ax 0+a-1)0e x ·00-2e x x =-1，即(ax 0+a-1)(x 0-2)=-1在302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解.方程可化为ax 0+a-1=-01-2x ，设f (x 0)=ax 0+a-1，g (x 0)=-01-2x ，作图可知1≤a ≤32. 另法：方程可化为a=0200-3--2x x x .求函数t (x 0)=0200-3--2x x x 在x 0∈302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域即可.。
高中数学切线方程公式
高中数学切线方程公式在数学中，切线是一条与曲线有且只有一个公共点的直线。
切线方程是描述切线位置的数学表达式。
在高中数学中，我们学习了如何求解曲线的切线方程，这个过程需要使用到切线方程的公式。
一、切线方程的一般形式切线方程的一般形式为y-y₁=k(x-x₁)，其中(x₁,y₁)为切点的坐标，k 为曲线在切点处的斜率。
这个公式可以帮助我们在已知曲线上某一点的坐标和斜率的情况下求解切线方程。
二、切线方程的推导过程我们通过一个例子来推导切线方程的公式。
考虑曲线y=f(x)，在点(x₁,y₁)处的切线。
我们设切线的方程为y-y₁=k(x-x₁)。
我们需要求解切线的斜率k。
根据切线的定义，切线与曲线在切点处相切，也就是说切线经过曲线上的该点。
因此，切线上的任意一点(x,y)都满足曲线的方程y=f(x)。
将这个点代入切线方程中，得到y-y₁=k(x-x₁)。
将y=f(x)代入，得到f(x)-y₁=k(x-x₁)。
我们知道切线过曲线上的点(x₁,y₁)，因此f(x₁)=y₁。
将这个等式代入上式，得到f(x)-f(x₁)=k(x-x₁)。
我们现在来考虑切线的斜率k。
当x趋近于x₁时，曲线上的两点(x,f(x))和(x₁,f(x₁))趋近于同一点。
因此，当x趋近于x₁时，切线的斜率k趋近于曲线在点(x₁,y₁)处的斜率f'(x₁)。
我们得到了切线方程的一般形式y-y₁=f'(x₁)(x-x₁)。
三、切线方程的具体应用切线方程的公式在解决实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，我们经常需要求解曲线的切线方程来描述物体在某一点的运动状态。
切线方程还可以用来求解曲线的切点、切线与坐标轴的交点等问题。
通过求解切线方程，我们可以获得曲线在某一点的切线的斜率和位置信息，进而帮助我们更好地理解曲线的性质和特点。
四、注意事项在应用切线方程的过程中，需要注意以下几点：1. 切线方程只在切点附近有效，不能代表整条曲线的性质。
判定切线的方法
判定切线的方法
在数学中，切线是一条与曲线相切的直线，它在曲线上只有一个公共点，并且
与曲线在该点处有相同的斜率。
切线的概念在微积分中占据着重要的地位，因此切线的判定方法也是我们需要掌握的重要知识之一。
首先，我们来看一下判定一条直线是否为曲线的切线的方法。
在给定曲线上的
一点P，我们需要判定一条直线l是否为曲线在点P处的切线。
为了判定这一点，
我们可以沿着曲线在点P处取一点Q，并计算直线l与曲线在点P和点Q处的斜率。
如果这两个斜率相等，那么直线l就是曲线在点P处的切线。
其次，我们来看一下如何利用导数来判定切线。
在微积分中，我们知道曲线在
某一点的切线斜率等于曲线在该点的导数值。
因此，我们可以通过计算曲线在点P
处的导数值来判定切线。
如果直线l的斜率等于曲线在点P处的导数值，那么直线
l就是曲线在点P处的切线。
除了以上两种方法外，我们还可以利用切线的定义来判定切线。
根据切线的定义，切线与曲线在点P处有且仅有一个公共点，并且有相同的斜率。
因此，我们
可以通过求解曲线和直线的交点来判定直线是否为曲线在点P处的切线。
如果曲
线和直线在点P处有且仅有一个公共点，并且在该点处有相同的斜率，那么直线l
就是曲线在点P处的切线。
总结一下，判定切线的方法包括利用斜率的定义、导数的概念以及切线的定义。
通过掌握这些方法，我们可以更加准确地判定一条直线是否为曲线在某一点处的切线。
同时，这些方法也为我们在微积分中的学习提供了重要的理论支持。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读。
曲线切线求法
曲线切线求法1. 引言在数学中，曲线切线是指曲线上一点处的切线，它是曲线在该点处的局部近似。
求解曲线切线是解析几何中常见的问题之一，对于理解曲线的性质和研究其变化趋势具有重要意义。
本文将介绍常见的曲线切线求法，包括直角坐标系下的求法和参数方程下的求法。
2. 直角坐标系下的曲线切线求法2.1 曲线方程与斜率首先，我们需要确定曲线的方程，并计算出该点处的斜率。
以一元函数为例，在直角坐标系下，函数可以表示为y=f(x)，其中f(x)为给定函数。
对于给定点P(x0,y0)，我们可以通过计算导数f’(x)来得到该点处的斜率k。
2.2 切点坐标确定接下来，我们需要确定切点坐标。
由于切点在曲线上，所以它满足曲线方程y=f(x)。
将x0代入方程中可以得到相应的y值。
2.3 构建切线方程已知切点坐标和斜率，我们可以使用直线的点斜式来构建切线方程。
切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中(x0,y0)为切点坐标，k为斜率。
2.4 示例假设我们要求解曲线y=x2在点P(2,4)处的切线。
首先，我们计算出函数f(x)=x2的导数f’(x)=2x。
然后，将x=2代入函数得到y=4。
接下来，我们使用切线方程的点斜式构建切线方程y-4=4(x-2)。
3. 参数方程下的曲线切线求法3.1 曲线参数化对于参数方程表示的曲线，我们需要将其参数化，以便计算切线。
假设曲线由参数方程x=f(t)，y=g(t)给出。
3.2 切点坐标确定与直角坐标系下类似，我们需要确定切点坐标。
将给定参数t代入参数方程中得到相应的x和y值。
3.3 斜率计算在参数化后的表达中，我们可以通过计算导数dy/dx来得到斜率k。
3.4 构建切线方程已知切点坐标和斜率，我们可以使用直线的点斜式来构建切线方程。
与直角坐标系下类似，切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中(x0,y0)为切点坐标，k为斜率。
3.5 示例假设我们要求解参数方程x=cos(t)，y=sin(t)表示的单位圆在点P(√3/2, 1/2)处的切线。
曲线切线求法
曲线切线求法曲线切线是解析几何中一个重要的概念，它可以帮助我们研究曲线的性质、求解曲线上某一点的切线方程等问题。
在这篇文章中，我将介绍曲线切线的定义、求解方法和一些应用。
我们来定义曲线的切线。
对于一个连续可导函数f(x)，如果存在一个实数a，使得曲线上的点(x, f(x))在点(a, f(a))处有一条直线通过，并且当点(x, f(x))无限接近点(a, f(a))时，这条直线的斜率无限接近于曲线在点(a, f(a))处的斜率，那么我们称这条直线为曲线在点(a, f(a))处的切线。
接下来，我们来讨论曲线切线的求解方法。
要求解曲线在点(a, f(a))处的切线，我们需要先求出曲线在点(a, f(a))处的斜率，然后再根据该斜率和点(a, f(a))来确定切线的方程。
为了求解斜率，我们可以使用导数的概念。
对于一个函数f(x)，它的导数f'(x)表示函数在某一点x处的切线的斜率。
因此，我们可以先求出函数f(x)的导函数f'(x)，然后将x=a代入得到导数值f'(a)，从而得到曲线在点(a, f(a))处的斜率。
在得到切线斜率之后，我们可以使用点斜式来确定曲线在点(a,f(a))处的切线方程。
点斜式的一般形式为y-y1=m(x-x1)，其中m为切线的斜率，(x1, y1)为切线上的一点。
将切线在点(a, f(a))处的切线斜率m和点(a, f(a))代入点斜式，即可得到曲线在点(a, f(a))处的切线方程。
除了点斜式外，我们还可以使用斜截式和一般式等形式来表示切线方程。
斜截式的一般形式为y=mx+n，其中m为切线的斜率，n为切线与y轴的交点的纵坐标。
一般式的一般形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，代表切线的方程系数。
将切线斜率m和切线上的一点(a, f(a))代入斜截式或一般式，即可得到曲线在点(a, f(a))处的切线方程。
在应用方面，曲线切线有许多重要的应用。
曲线与曲面的切线与法线
曲线与曲面的切线与法线曲线与曲面是几何学中重要的概念，它们在多个学科领域中有广泛的应用。
在研究曲线和曲面性质的过程中，切线和法线是两个非常重要的概念。
本文将深入探讨曲线与曲面的切线与法线的定义、求解方法以及它们在几何学和实际应用中的意义和应用。
一、曲线的切线与法线1. 切线的定义在曲线上的某一点P，过该点的一条直线T被称为曲线在该点的切线。
切线的特点是与曲线在该点上重合，且与曲线的其他部分无交点。
2. 法线的定义在曲线上的某一点P，过该点的一条直线N被称为曲线在该点的法线。
法线与曲线在该点的切线垂直。
二、曲线的切线与法线的求解方法1. 切线的求解方法对于曲线y=f(x)，可以使用以下步骤求解曲线在某一点(x0, y0)的切线：a. 求出曲线在点(x0, y0)处的斜率k，即导数f'(x0)；b. 利用点斜式公式y-y0=k(x-x0)，代入(x0, y0)和k，求解切线的方程。
2. 法线的求解方法对于曲线y=f(x)，可以使用以下步骤求解曲线在某一点(x0, y0)的法线：a. 求出曲线在点(x0, y0)处的斜率k，即导数f'(x0)；b. 法线的斜率与切线的斜率互为倒数，即k'=-1/k；c. 利用点斜式公式y-y0=k'(x-x0)，代入(x0, y0)和k'，求解法线的方程。
三、曲面的切线与法线1. 切线的定义在曲面上的某一点P，过该点的一条直线T被称为曲面在该点的切线。
切线的特点是与曲面在该点上重合，且与曲面的其他部分无交点。
2. 法线的定义在曲面上的某一点P，过该点的一条直线N被称为曲面在该点的法线。
法线与曲面在该点的切线垂直。
四、曲面的切线与法线的求解方法1. 切线的求解方法对于曲面z=f(x, y)，可以使用以下步骤求解曲面在某一点(x0, y0, z0)的切线：a. 求出曲面在点(x0, y0, z0)处的局部斜率，即偏导数f_x(x0, y0)和f_y(x0, y0)；b. 利用点法式公式z-z0=f_x(x0, y0)(x-x0)+f_y(x0, y0)(y-y0)，代入(x0, y0, z0)和f_x(x0, y0), f_y(x0, y0)，求解切线的方程。
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课 题： 导数的概念（一）—曲线的切线教学目标：1知识与技能：了解曲线的切线的概念，掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法，会求过曲线上一点的切线斜率与切线方程.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义. 会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度。
.理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法. 理解掌握开区间内的导数概念，会求一个函数的导数. 理解函数在一点处可导，则函数在这点连续.2过程与方法：掌握用极限思想研究问题的方法。
3情感态度价值观：通过探究曲线的切线斜率这一过程，培养学生主动探索，发现问题，并积极尝试解决问题的精神，帮助学生养成探索学习的良好习惯。
教学重点：导数的定义与求导数的方法.教学难点：导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，从导数的定义归纳出求导数的方法.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题。
教学过程： 一、复习引入：圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线二、讲解新课： （一）１．曲线的切线 如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线y=f(x)β∆x ∆yQM Px O y2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率切线x O y就够了设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即tan α=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x 0x∆我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.3.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 4. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s =s (t )，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs =s (t 0+Δt )－s (t 0)(Δt 称时间增量)平均速度tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度tt s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(lim lim 0000 所以当Δt →0时，平均速度的极限就是瞬时速度（二）导数的定义1定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即 xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0 (3)xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 )(()(00/0x x x f x f y -=- (5)导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关(6)在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成00000/lim )()(lim )(0x x x x f x x f x f x x o x -=∆-∆+=→→∆ (7)若极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导(8)若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在反之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函数)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线2. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00 函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作(0/x f 注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值 3.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导4. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.从f (x )在x 0处可导的定义可以知道，f (x )在x 0处有定义，考察 f (x )在x 0处是否有极限，并且是否等于f (x 0).已知f ′(x 0)=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 令x =x 0+Δx ，当Δx →0时，x →x 0∴0lim →∆x f (x )=0lim →∆x f (x 0+Δx )=0lim →∆x ［f (x 0+Δx )－f (x 0)+f (x 0)］ =0lim →∆x ［xx f x x f ∆-∆+)()(00·Δx +f (x 0)］ =0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00·0lim →∆x Δx +0lim →∆x f (x 0)=f ′(x 0)·0+f (x 0)=f (x 0) ∴f (x )在x 0处连续.连续未必可导可通过反例说明，如y =|x |=⎩⎨⎧<-≥00 x x x x 在x 0=0处 ∵-→0lim x y =-→0lim x (－x )=0，+→0lim x y =+→0lim x x =0，∴0lim →x y =0 ∴y =|x |在x =0处连续.0lim →∆x x y ∆∆==∆∆=∆-∆→∆→∆x x x x x x ||lim |0|||lim 00⎩⎨⎧<∆->∆010 1x x ∴y =|x |在x 0=0处不可导.5. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 三、讲解范例：例1求y =x 2在点x =1处的导数.分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy ，再求x y ∆∆，最后求0lim →∆x xy ∆∆. 解：Δy =(1+Δx )2－12=2Δx +(Δx )2，xx x x y ∆∆+∆=∆∆2)(2=2+Δx ∴0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x (2+Δx )=2. ∴y ′|x =1=2. 注意：(Δx )2括号别忘了写.例2已知y =x ，求y ′.分析：求函数在一点的导数，与求函数在一个区间上的导数，方法是一样的，也是三个步骤，只是把x 0换成x .解：Δy =x x x -∆+，xx x x x y ∆-∆+=∆∆ ∴)(lim lim lim 000x x x x x x x x x x x x y x x x +∆+∆-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆ =x x x x x 211lim 0=+∆+→∆. 点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法不能忘掉.例3 已知y =x 3－2x +1，求y ′，y ′|x =2.解：Δy =(x +Δx )3－2(x +Δx )+1－(x 3－2x +1)=x 3+3x 2Δx +3x (Δx )2+(Δx )3－2x －2Δx +1－x 3+2x －1=(Δx )3+3x (Δx )2+(3x 2－2)Δxxy ∆∆=(Δx )2+3x Δx +3x 2－2 ∴y ′=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x ［(Δx )2+3x Δx +3x 2－2］=3x 2－2.方法一：∵y ′=3x 2－2，∴y ′|x =2=3×22－2=10.方法二：Δy =(2+Δx )3－2(2+Δx )+1－(23－2·2+1)=(Δx )3+6(Δx )2+10Δx xy ∆∆=(Δx )2+6Δx +10 ∴y ′|x =2=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x ［(Δx )2+6Δx +10］=10. 点评：如果题目中要求y ′，那么求y ′|x =2时用方法一简便如果只要求y ′|x =2，用方法二比较简便四、课堂练习：1．求y =2x 2+4x 在点x =3处的导数.解：Δy =2(3+Δx )2+4(3+Δx )－(2×32+4×3)=2(Δx )2+16Δx ，x y ∆∆=2Δx +16 ∴0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x (2Δx +16)=16，即y ′|x =3=16 2.已知y =4+x ，求y ′解：Δy =44+-+∆+x x x ，xx x x x y ∆+-+∆+=∆∆44 ∴0lim →∆x x y ∆∆=44(lim 44lim 00+++∆+∆∆=∆+-+∆+→∆→∆x x x x x x x x x x x =421441lim 0+=+++∆+→∆x x x x x ，∴y ′=421+x 五、小结 ：这节课主要学习了导数的定义，以及求导数方法的三个步骤.f ′(x 0)=y ′|0x x = =0lim →∆x xy ∆∆=x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 f ′(x )=y ′=0lim →∆x x y ∆∆=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 00 三个步骤：①求函数的增量Δy ，②求平均变化率x y ∆∆，③取极限f ′(x 0)= 0lim →∆x x y ∆∆，以及函数的连续性是函数的可导性的必要条件而不是充分条件题目：导数的概念学校：黑龙江省实验中学姓名：赵春梅教龄：3年。