利用函数的对称性可以化简一些较为繁琐的计算

积分与微分中对称问题的研究

PB07210207 王铭明

利用函数的对称性可以化简一些较为繁琐的计算，可以大大提高做题的效率与准确性，这篇论文我总结了函数求导与函数积分的利用对称性求解的方法和一些典型例题，算是对对称性应用的一点心得。

1、 对称函数的求导

a,对函数Ϝ(x 1.,x 2,…x n ),若它的任意两个变元对换时函数不变，如函数 z = x +y +√x 2+y 2 就是对称函数，对于对称函数具有这样的性质，即对任一变元所得的结果都可经变元（字母）的对换直接转移到其他变元。

证明∂∂x (Ϝ(x,y,z ))=f (x,y,z ),

由Ϝ(x,y,z )=Ϝ(y,x,z ),

有∂∂y (Ϝ(x,y,z ))=∂∂y (Ϝ(y,x,z)),

在变换(x →y,y →x,z →z )下，上式变为∂∂x (Ϝ(x,y,z ))=f (x,y,z ),

取反变换，则有∂∂x (Ϝ(y,x,z ))=f (y,x,z ),

考虑有由Ϝ(x,y,z )=Ϝ(y,x,z ),

则∂∂y (Ϝ(x,y,z ))= f (y,x,z )，

同理∂∂y (Ϝ(x,y,z ))= f (z,y,x ).

b,而有些函数不是对称函数，如u=ln (x y y z z x ) 不是三元对称函数，但在变换 (x →y,y →z,z →x ) 下 ,函数仍然不变，此时我们称函数为三元轮换对称函数，类似于对称函数，对于一个轮换对称函数，他对某任一变元所得的结果都可经变元（字母）的轮换直接转移到其他变元。

c,有些函数如f (x,y )=−f (y,x ),x 与y 互换后与原函数相差一个正负号，其不是对称函数，但由

∂∂y

[f(x,y)]=−∂∂y [−f(x,y)]=−∂∂y [f(x,y)]， 可知若已知∂z ∂x ，我们只需将x 与y 互换，将结果再乘以(−1)，就立即可得出∂z ∂y .

（对称变换）例1：设z=x 2tan −1

y x +y 2tan −1

x y ,求∂z ∂x ,∂z ∂y .

∂z ∂x =2x tan −1y x +x 2−y x 2+y 2+y 2y

x 2+y 2

=2x tan −1y x +y(y 2_x 2)x y , 由对称函数性质，将x 与y 互换,

∂z ∂y =2y tan −1x y +x(x 2_y 2)x 2+y 2.

(轮换对称变换)例2：u=ln (x y y z z x )，

∂u ∂x =y x +ln z,

由于u 为轮换对称函数，在变换(x →y,y →z,x →z )下，有

∂u ∂y =z y

+ln x , ∂u ∂z =x z +ln y,

例3.z=xy - 2xy 3x +y ,

解得∂z ∂x =y +

2y 3(x 2−y 2)(x 2+y 2)2, 考虑到函数z 的表达式中x 与y 互换后，结果与原函数仅差一个符号，则有 解得∂z ∂y =−x +2x 3(x 2−y 2)

(x 2+y 2)2.

2,积分中函数对称性的应用。

1·理论

若f (P )是区域N 上的连续函数，且区域N 具有某种对称性，当函数 f (p )在N 中对称点处的函数值的绝对值相等且符号相反(称f (p )为相应区域内的奇函数)时，有：

∫N f (p )dN =0

当函数 f (p )在N 中对称点处的函数值相等(称f (p )为相应区域内的偶函数)时，有:

∫N f (p )dN =2∫N 1 f (p )dN

其中区域N 1为区域N 的对称的一半。

其中区域N 可以是一维或高维空间。

2·典型例题

例1：利用高斯公式计算曲面积分∯ε(x −y )dxdy +(y −z )xdydz

其中ε为柱面x 2+y 2=1及平面z=0,z=3所围成空间闭区域的边界曲面的外侧。

解：利用高斯公式有

∯ε(x −y )dxdy +(y −z )xdydz =∭N (y −z )dxdydz ,

因为N 关于xoy 平面对称，且y 为相应于N 的奇函数，固有

∭N ydxdydz =0，

又因N 关于平面z=32对称，且(z −32)是相应N 奇函数，故有

∭N (z −32)dxdydz =0，

所以原式=∭N (y −z )dxdydz =-∭N zdxdydz =∭N [(z −3/2)+3/

2]dxdydz =-32∭N dxdydz =-32V=-32×3π=-9π2.

例2：计算曲面积分∬(xy+yz+zx)

ε

ds，其中ε为锥面z=√x2+y2被曲面x2+y2=2ax(a>0)所截得的部分。

解：考虑到ε关于xoz平面对称且(xy+yz)是相应与ε的奇函数，故有：

I= ∬(xy+yz+zx)εds =∬zxdS

ε

，

又因为√1+z x2+z y2=√2,化I为二重积分并利用极坐标，有：

I=∬zxdS

ε=∬√2

x2+y2≤2ax

x√x2+y2dxdy=√2∫dθ

π

2

−π

2

∫r3

2a cosθ

cosθdr

=64

15

√2a4.

例3：

计算三重积分

I=∭(√2x+z)2 dxdydz，

∁

其中∁为x2+y2+z2≤1，z≥0.

解：I=∭(√2x+z)2 dxdydz

∁=∭(2x2+2√2xz+z2)dxdydz ∁

。

因为区域关于yoz平面对称且2√2xz是相应区域内的奇函数。于是

∭2√2xzdxdydz

∁

=0，

又因为积分区域关于平面x=y对称，于是

∭x2dxdydz ∁=∭y2dxdydz

∁

，从而有

I=∭(2x2+z2)dxdydz ∁=∭(x2+y2+z2)dxdydz

∁

=∫dθ

2π

∫dφ∫r2r2

1

π

2

sinφdr=2π

5

例4：

求均匀半球面z=√a2−x2−y2对z轴转动惯量I，其中面密度ρ=1.

解：记∁为半球面z=√a2−x2−y2；记∁1为球面x2+y2+z2=a2因为∁1关于z=0平面对称且(x2+y2)是相对于∁1的偶函数，所以有：

I=∫(x2+y2)dS ∁=1

2

∫(x2+y2)dS

∁1

又因∁1中x，y，z地位对称，考虑到积分仅与积分域及被积函数有关而与积分变量的字母无关，有：

∫x2dS ∁1=∫y2

∁1

dS=∫z2

∁1

dS

于是I=1

2∫(x2+y2)dS

∁1

=1

3

∫(x2+y2+z2)dS

∁1

=1

3

∫a2dS

∁1

=4π

3

a4

例5：

计算三重积分∭(x3y−3xy2+3xy)

∁

dxdydz

其中∁是由球面(x−1)2+(y−1)2+(z−1)2=1所围成的空间闭区域。解：因为积分区域关于平面x=y对称，故有