全等三角形题型总结

全等三角形的判定题型

类型一、全等三角形的判定1——“边边边”

例题、已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.

(答案）证明：连接DC ，

在△ACD 与△BDC 中

()AD BC AC BD

CD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩

公共边 ∴△ACD ≌△BDC （SSS ）

∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）

类型二、全等三角形的判定2——“边角边”

例题、已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且

AE ＝12

（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°. (答案）证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，

∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°

在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩

∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE

∵AE ＝12

（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB ∵AE ＝AF ＋EF ，

∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF

在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

角平分线定义）

∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D

∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. 类型三、全等三角形的判定3——“角边角”

例题、已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．

求证：HN ＝PM.

证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，

又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2

在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩

∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN

类型四、全等三角形的判定4——“角角边”

例题、已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D 点旋转，它的两边分别交AC、CB于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证

1

2

DEF CEF ABC

S S S

+=

△△△

；当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.

解：图2成立；证明图2：过点D作DM AC DN BC

⊥⊥

，

则90

DME DNF MDN

∠=∠=∠=°

在△AMD和△DNB中，

AMD=DNB=90

A B

AD BD

∠∠︒

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△AMD≌△DNB（AAS）∴DM＝DN ∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，∴∠ MDE＝∠NDF

在△DME与△DNF中，

90

EMD FDN

DM DN

MDE NDF

∠=∠=︒

⎧

⎪

=

⎨

⎪∠=∠

⎩

∴△DME≌△DNF（ASA）∴

DME DNF

S S

=

△△

∴

DEF CEF

DMCN DECF

S=S=S S.

+

△△

四边形四边形

可知

ABC

DMCN

1

S=S

2△

四边形

，∴

1

2

DEF CEF ABC

S S S

+=

△△△

类型五、直角三角形全等的判定——“HL”

下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.

（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）

（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）

（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）

(答案）（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一边上的高，AE＝DF

（3）×. 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AH为第三边上的高，如下图：

1、已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.

(答案与解析）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩

＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ） ∴AE ＝CF ，DE ＝BF ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE

在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BF DEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF ∴AB ∥DC.

(点评）从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt △CDE ≌Rt △ABF.我们可

以从已知和结论向中间推进，证出题目.

2、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，

过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D.

（1）求证：AE ＝CD ；

（2）若AC ＝12cm ，求BD 的长.

(答案与解析）（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB ＋∠D ＝∠DCB ＋∠AEC ＝90°．

∴∠D ＝∠AEC ．

又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE ＝CD ．

（2）解：由（1）得AE ＝CD ，AC ＝BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ） ∴BD ＝EC ＝12BC ＝12

AC ，且AC ＝12．

∴BD ＝6cm ．

(点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件

三角形角平分线的性质

三角形三条角平分线交于三角形部一点，此点叫做三角形的心且这一点到三角形三边的距离相等.

三角形的一角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角

形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4

个.如图所示：△ABC 的心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直

线距离相等.

角的平分线的性质及判定

1、如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC

于点F ，且DB ＝DC.求证：BE ＝CF.

(答案）证明：∵DE ⊥AE ，DF ⊥AC ，AD 是∠BAC 的平分线， ∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠DFC ＝90°

在Rt △BDE 与Rt △CDF 中，DB DC DE DF

=⎧⎨=⎩，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ） ∴BE ＝CF