高中数学直线和圆知识点总结

直线和圆

一．直线

1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,

)2

π

θ∈时，0k ≥；

（2）2

πθ=时，k 不存在；（3）(

,)2

π

θπ∈时，0k <

（4）当倾斜角从0︒

增加到90︒

时，斜率从0增加到+∞；

当倾斜角从90︒

增加到180︒

时，斜率从-∞增加到0

2．直线方程

（1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：

1

21121x x x x y y y y --=--

（4）截距式：

1x y a b

+= （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式

（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP =

（2）点

00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =

（3）平行线间的距离：

10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d =

4．位置关系

（1）截距式：y kx b =+形式

重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ⋅=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式

重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠

垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系

1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所

有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程

（1）标准形式：2

2

2

()()x a y b R -+-=（0R >）

（2）一般式：2

2

0x y Dx Ey F ++++=（22

40D E F +->）

（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θ

θ

=+⎧⎨

=+⎩（θ是参数）

【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.

（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系

（1）点00(,)P x y 和圆222

()()x a y b R -+-=的位置关系：

当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222

()()x a y b R -+-=部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222

()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222

()()x a y b R -+-=外

（2）直线0Ax By C ++=和圆2

2

2

()()x a y b R -+-=的位置关系：

判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=

的距离d =R 的大小关系

当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆可判断直线与圆相交．

3．圆和圆的位置关系

判断圆心距12d OO =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系 当12d R R >+时，两圆相离，有4条公切线； 当12d R R =+时，两圆外切，有3条公切线；

当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线； 当12d R R =-时，两圆切，有1条公切线； 当120d R R ≤<-时，两圆含，没有公切线；

4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减

5．弦长公式：l =

例1若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值围是________．

解析：由题意知2

1＋k 2

＞1，解得－3＜k ＜ 3.

答案：(－3， 3)

例2已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．

解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝0

例3设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．

解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±3

3.

答案：±

3

3

例4若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．

解析：由题意可知圆C ：x 2

＋y 2

＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2

4－⎝ ⎛⎭

⎪

⎫c a 2＋b 22，由于a 2

＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 3